有理数指数幂

1．整数指数幂的概念
2．运算法则
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
要点二、根式的概念和运算法则
1．n次方根的定义：
若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为 ；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为 ；零的奇次方根为零，记为 ；
【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.
举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1) ；(2) .
【答案】(1)112（2）
【解析】(1)原式= ；
(2)原式 .
例4.化简下列各式.
（1） ；
（2） ； （3） .
【答案】 ； ；0.09
【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；（3）具体数字的运算，学会如何简化运算.
【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求 及 的值，然后整体代入。
举一反三：
【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.
(2)已知x+y=12，xy=9，且x<y，求 的值.
【答案】 ；
【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3
举一反三：
【变式1】化简：（1） ；
（2）
【答案】（1） ；（2） 。
类型二、指数运算、化简、求值
例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中 ）：

• MATHEMATICS n数学第三章基本初等函数（I）3. 1指数与指数函数3. 1.1实数指数幕及其运算【课标要求】1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幕的意义.【核心扫描】1-根式与分数指数幕的互化.（重点）2.根式的性质.（易混点）3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI》课前探究学习挑战自我［点点落实自学导引1."次方根的概念（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。

的〃次方根.（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指数,a叫做被开方数.2.根式的性质（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）\a\3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：in _Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、m. e N * ,且几 > 1)；(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,dM（）;_2l_ ["〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.名师点睛1.根式紡的符号：根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。

225 4
(2)
m3n2 (
mn
)2

1 m2n

m6n4 m2n2

1 m2n

m n 622 421

m2n
练习1：化简（1） (ab2 )4 (a2b（)3 2）
x3y2 x3y2 2
x4y
[互动过程3] 探究：负整数指数幂是否也满足上述运算性质？
例2：计算：35 3和7
3,5并(判7) 断两者之间的关系
解：
35 37

35 37
1 375

1 32
1 9
35(7)
32

1 32

1 9
由此看出 35 =37
35 ( 7 )
练习2．（1）计算：（2-3）2和 2-6

（2）化简
(m n)2 (m n)3

(m n)4 (m n)1
（四）、作业：练习1,2

(4)
am an

(5)
(a )n b
(二)、例题探析与巩固训练

例1．（1）求值
105

33 28
（ 5223 ）化简
(
m3n2 mn
)2

1 m2
n
解：(1) 105

ห้องสมุดไป่ตู้
32 28
2 53

(2

5)5

32 28
2 53

25 55 32 2 28 53

52 9 22
(a (a

b)4 b)0
]3

有理指数幂及其运算⑤负分数指数幂：n a-＝1a m n＝1n a m （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）。

⑥0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝sr a+（a ＞0，r 、s ∈Q ）。

②（a r ）s ＝rsa （a ＞0，r 、s ∈Q ）。

③（ab ）r ＝rr b a （a ＞0，b ＞0，r ∈Q ）。

【典例精析】例题1 计算：131.5-×0)67(-＋80.25×42＋（32×3）6；思路导航：先化为分数指数幂，再进行运算。

3124134162131312（答题时间：15分钟）2. 下列各等式中，正确的是（ ） A.44a ＝a B. 62)2(-＝32-C. a 0＝1D.105)12(-＝（2－1）213. 计算下列各式。

（1）432981⨯；（2）（253）0＋2－2·（241）21-－（0.01）0.5。

4. 计算：（1）（27125）32-； （2）0.00832-；（3）（240181）43-；1. A 解析：考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为－2×（a －b ）－52＝－2（a －b ）－52，故选A 。

2. D 解析：要想判断等式是否正确，首先要使等式两边都有意义，然后计算两边的值，如果相等则正确，如果不等，则不正确，在计算时要充分应用幂的运算法则。

44a ＝|a|，由于不知道a 的符号，因此A 不正确；273323-2525（2）0.00832-＝（0.2 3）32-＝0.2－2＝（51）－2＝52＝25。

（3）（240181）3-＝（4473）－3＝3373--＝3337＝27343。

（4）当21-≠a 时，（2a ＋1）0＝1；当21-=a 时，无意义。

（5）［65－（53）－1］－1＝（65－35）－1＝（－65）－1＝－6。