分数阶混沌系统有限时间稳定性分析及同步控制

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一个分数阶四维超混沌系统的同步研究

文章编号：１６７３— ２０５７（２０１３）０６— ０４６８— ０５
一
个分数阶四维超混沌系统的同步研究
潘红
（山西工程职业技术学院，太原０３０００２）
摘
要：本文对一个分数阶四维超混沌系统应用一步耦合法进行同步设计构造，并利用拉普拉斯终
中图分类号：ｏ１７７．９１文献标志码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－２０５７．２０１３．０６．０１５
一
从Ｏｔｔ、Ｐｅｃｏｒａ和Ｃａｒｒｏｌｌ等人¨ 对混沌同步开拓性研究以来，混沌同步就一直处于研究热潮之中，分数阶混沌系统的同步研究也备受瞩目，文献［２＿４］深入的研究分数阶混沌系统的同步问题；文献［５］发现了分数阶Ｃｈｅｎ系统的混沌行为，并研究了分数阶混沌系统的同步控制方法；虽然分数阶混沌系统同步控制方面的文献还很有限，但其实际应用价值是不可忽视的。随着分数阶微积分理论的发展，分数阶动力系统的混沌控制与混沌同步正成为近年来控制学科领域研究的重点。由于分数阶超混沌系统的动力学行为比一般混沌系统具有更强的随机性和更高的不可预测性，所以其
方程（４）两端同时做拉普拉斯变换，令巨（ｓ）＝Ｌ｛ｅｉ（ｔ）｝（ｉ＝１，２，３，４）并根据｛ｄ／ｄｔ｝＝ｓｑＥ（ｓ）

参数未知的分数阶混沌系统的自适应同步

ｏｆＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＫｕｎｍｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅＡｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＫｕｎｍｉｎｇＹｕｎｎａｎ，６５００９３，Ｃｈｉｎａ）【Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓａｄａｐｔｉｖｅｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｏｆｆｒａｃｔｉｏｎａｌ－ｏｒｄｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｕｎｋｎｏｗｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｃｈａｏｔｉｃ
（１．ＫｕｎｍｉｎｇＦｉｒｅＳｅｒｖｉｃｅｓＴｒａｉｎｉｎｇＳｃｈｏｏｌｏｆＭｉｉｓｎｔｒｙｏｆＰｕｂｌｉｃＳｅｃｕｒｉｔｙ，ＫｕｎｍｉｎｇＹｕｎｎａｎ，６５０２０８，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ
【摘要】针对一类混沌系统，研究了参数未知的混沌系统的自适应同步。以分数阶混沌系统的稳定性定理和混沌系统间的自适应反馈控
制为基础．通过设置未知参数的辨识规则和构造恰当的线性反馈控制器．从而实现了参数未知的分数阶Ｃｈｅｎ混沌系统同给定信号的分数阶Ｃｈｅｎ混沌系统的追踪控制与同步通过数值仿真证实了该方法的有效性【关键词】自适应反馈控制；混沌同步：自适应同步

分数阶duffing李雅普诺夫指数

分数阶Duffing 方程是经典的非线性动力系统方程之一，它是对Duffing 方程的一种扩展，将二阶导数改为分数阶导数。

分数阶Duffing 方程在许多领域，如力学、控制系统和电子工程中都有重要的应用。

利用李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent），可以评估一个动力系统的混沌性质。

李雅普诺夫指数是描述非线性系统稳定性和混沌行为的重要工具。

对于分数阶Duffing 方程，李雅普诺夫指数可以用来判断系统的混沌性质。

具体来说，当系统的李雅普诺夫指数是正值时，表示系统是混沌的；当指数为负值时，表示系统是稳定的；当指数等于零时，表示系统是临界的。

通过计算系统的李雅普诺夫指数，可以了解分数阶Duffing 方程的动力学行为，包括混沌运动、吸引子的结构等。

李雅普诺夫指数的计算通常需要借助数值方法和计算机仿真进行。

需要注意的是，详细的数学推导和计算方法超出了本回答的范围。

如果你对分数阶Duffing 方程和李雅普诺夫指数有更多研究兴趣，建议参考相关的数学和动力系统的文献。

分数阶脉冲和四元数值神经网络的稳定性和同步性

分数阶脉冲和四元数值神经网络的稳定性和同步性近年来, 分数阶微积分作为整数阶微积分在阶次上的任意推广,在科学和工程领域的诸多分支的理论研究和应用实践中都获得了广泛地关注。

这主要得益于和整数阶微积分相比, 分数阶微积分具有非局部性和弱奇异性。

分数阶微积分最大的优势在于它能够很好地描述具有记忆和遗传特性的各种材料和过程。

众所周知, 为了提高神经网络处理二维数据的能力, 人们提出了复数神经网络, 原因是复数神经网络可以在二维空间里将一个点看成一个整体来描述, 而不是像实值神经网络一样将这个点看作一个含有两个数据的集合来处理。

然而,在实际生活中,我们不可避免地会遇到处理三维数据,像身体图像,颜色图像等。

这个时候,复数神经网络就失去了它的优势了, 尽管我们仍然可以通过使用多个复数神经元来实现三维数据的处理。

于是,为了能够直接处理三维数据, 人们提出了四元数值神经网络。

由于四元数值神经网络能够高效、紧凑地直接对三维数据编码处理。

因此,四元数值神经网络迅速成为研究热点, 并广泛应用于图像压缩, 卫星姿态控制, 计算机制图等领域。

另外, 很多实际应用的系统模型, 诸如调频信号处理系统, 病理学中的节奏破裂模型, 人口交互模型以及飞行物运动模型等,它们的状态总是会不可避免地遭受瞬时的扰动, 或者在某些特定的时刻突然产生了跳变。

这些情况的发生主要来源于频率的变化, 切换现象或者一些突然噪声干扰等我们称之为脉冲影响。

本文主要结合上述涉及的内容, 研究非线性动力系统的稳定性和同步性问题。

具体有以下几方面内容: 首先, 分别研究了一类分数阶脉冲非线性系统的稳定性问题, 和一类带有不确定参数的分数阶脉冲非线性系统的稳定性问题。

基于分数阶微积分理论，脉冲微分方程理论,S-过程丄yapunov直接方法和一些矩阵不等式, 并通过设计合适的脉冲控制器, 建立了一些判定研究模型的Mittag-Leffler 稳定性的充分性判据。

第二, 研究了一类状态相关脉冲分数阶非线性系统的稳定性问题, 和一类状态相关脉冲分数阶神经网络的稳定性问题。

一类超混沌系统的全局有限时间同步与全局渐近同步

一类超混沌系统的全局有限时间同步与全局渐近同步
陈云;袁志民;陈璐;雷以良
【期刊名称】《海军工程大学学报》
【年(卷),期】2022(34)1
【摘要】为了给超混沌系统在保密通信中的应用提供理论支撑,研究了一类含交叉项、立方项和常数项的超混沌系统的全局有限时间同步和全局渐近同步问题。

首先,采用广义线性状态误差反馈控制器建立了该类超混沌系统的两个有限时间同步架构,应用有限时间稳定性理论和代数不等式技巧证明了该类超混沌系统的有限时间同步定理;然后,再将该定理应用于超混沌Rabinovich系统,进一步证明和优化了一些有限时间同步条件;最后,通过实例仿真,对超混沌Rabinovich系统的有限时间同步和渐近同步进行了比较,验证了所得结果的有效性。

【总页数】7页(P13-19)
【作者】陈云;袁志民;陈璐;雷以良
【作者单位】海军工程大学信息安全系;96832部队
【正文语种】中文
【中图分类】O231.2
【相关文献】
1.一类不确定时滞混沌系统的全局鲁棒自适应神经网络同步控制器设计
2.Froude 摆系统的全局有限时间同步
3.一类分数阶超混沌系统的有限时间同步
4.一类时滞混沌神经网络的全局渐近同步
5.基于两步控制策略的混沌系统全局有限时间同步
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基于输出反馈的分数阶混沌系统的异结构同步

Ｓｎｈ０ｉａｉｎｂｔｅｉｆｒｎｒｃｉｎｌｒｅｈｏｉｙｃｒｎｚｔｅｗｅｎｄｆｅｅｔｆａｔａ－ｄｒｃａｔｃ０ｏｏｓｓｅｓｂｓｄｏｕｐｔｆｅｂｃｙｔｍａｅｎｏｔｕｅｄａｋ
ＡｂｔａｔＴｉｗｒｒｓｎｓｈｏｎｈｏｉａｉｎｂｔｅｉｅｅｔｒｃｉｎｌｒｅｙｔｍｓＢｓｄｏｅｆｅｂｃｓｒｃ：ｈｓｏｋｐｅｅｔｃａｓｙｃｒｎｚｔｅｗｅｎｄｆｒｎａｔａ－ｄｒｓｅ，ａｅｎｔｄａｋｓｏｆｆｏｏｓｈｅｃｎｒｌｈｏｙａｄｔｅｓａｉｔｅｒｆｉｅｒｆｃｉｎｌｏｄｒｓｓｅ，ｔｅｃｎｒｌｒｉｒｐｓｄｔｒｕｈｏｔｕｏｔｅｒｎｈｔｂｌｙｔｏｏｎａｒｔａｒｅｙｔｍｓｈｏｔｌｐｏｏｅｈｏｇｕｐｔｏｔｉｈｙｌａｏｏｅｓｆｅｂｃｙｃｒｎｚｅｄｆｒｎａｔｎｌｒｅｈｏｉｙｔｍｓＴｋａｔｎｌｒｅｈｏｉｙｅｃｅｙｔｍｅｄａｋｔｓｎｈｏｉｔｉｅｅｔｒｃｉａ－ｄｒａｔｓｓｏｅｈｆｆｏｏｃｃｅ．ａｅｆｃｉａ－ｄｒａｔｈｐｒｈｎｓｓｅｒｏｏｃｃａｄｈｐｒｅｓｅａｅｎｍｅｃｉｌｔｎｅａｌ．ｍｅｉａｉｌｔｎｒｓｌｒｒｓｎｅｅｎｔａｅｎｙｅｎｗｓｔｍｓｈｕｒａｓｙｔｉｌｍｕａｉｘｍｐｅＮｕｒｃｌｍｕａｉｅｕｔａｅｐｅｅｔｄｔｄｍｏｓｔｏｓｏｓｏｒｔｅｆｃｉｅｅｓｎａｉｉｔｆｈｒｐｓｄｍｅｈｄｔｒｕｈＭａｌｂｓｆｒ．ｈｆｔｎｓｄｆｓｌｙｏｅｐｏｏｅｔｏｏｇｔｔｅｅｅｖａｅｂｉｔｈａｏｗａＫｅｗｏｄ：ｒｃｉｎｌｒｅｈｏｉｓｅｃａｔｎｈｏｉｔｎｈｐｒｈｏｉｓｓｅｏｔｕｅｂｃｙｒｓｆｔａ－ｄｒａｔｓｔｍ；ｈｏｉｓｃｒｎｚｉ；ｙｅａｔｔｍ；ｕｐｔｅｄａｋａｏｏｃｃｙｃｙａｏｃｃｙｆ

一类分数阶(超)混沌系统异结构同步及仿真

一类分数阶(超)混沌系统异结构同步及仿真邓玮;胡涛;吴振军【期刊名称】《计算机仿真》【年(卷),期】2012(29)4【摘要】针对一类分数阶(超)混沌系统的异结构同步问题,根据分数阶动力系统稳定性理论,结合反馈控制和主动控制方法提出了一种新的分数阶(超)混沌系统异结构同步方法.方法不仅不需要计算复杂的条件Lyapunov指数,而且保留了响应系统的非线性项.在数值研究过程中,可直接用时域进行数值计算,而不必进行时域与复频域转换.仿真结果表明:所设计的控制策略简单、易于实现,而且没有强加在系统上的限制条件,因此应用范围较宽.理论分析及仿真结果证明该方法的有效性.%Based on stability theory of fractional -order systems, feedback control and active control strategy, a new method was proposed for synchronizing and controlling different fractional chaotic ( hyperchaotic) systems. The method does not require the computation of the conditional Lyapunov exponents. Moreover it retains nonlinear terms of the response system. In the numerical research process, it can be calculated directly in the time domain, and need not conversion from time domain to frequency domain. There is no restrictive assumption imposed on the system, so the controller is simple and easy to implement. It broadens the range of applicability. Theoretical analysis and simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed synchronization method.【总页数】4页(P193-195,211)【作者】邓玮;胡涛;吴振军【作者单位】郑州轻工业学院电气信息工程学院,河南郑州450002;郑州轻工业学院电气信息工程学院,河南郑州450002;郑州轻工业学院电气信息工程学院,河南郑州450002【正文语种】中文【中图分类】TP391.9【相关文献】1.分数阶异结构超混沌系统完全同步与反相同步控制 [J], 董俊;张广军;姚宏;王珏;许根2.不确定分数阶超混沌Chen系统和分数阶Rössler系统的自适应异结构同步 [J], 杜永霞;李珊珊;高雅3.不同阶异结构分数阶混沌系统的广义投影同步 [J], 王亚民;朱鑫铨;姬天富;刘玉荣4.分数阶混沌系统同结构与异结构广义同步 [J], 闵富红;王执铨5.异结构分数阶混沌系统的柔性变结构同步控制 [J], 邵克勇;郭浩轩;韩峰;王婷婷因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

分数阶超混沌系统的自适应函数投影同步

由于函数投影同步的思想是驱动系统和响应系统以一定的比例函数进行同步，且比例函数的选择具有并
一
定的灵活性，因此将函数投影同步运用到保密通信中可更好地加强保密通信中信息的安全性，而引从
起越来越多的学者的关注。
Ｔｒｃｉｎｌ—ｏｄｅｙｅｃａｔｃＳｙｔｍｓａｔｏａ — ｒｒＨｐｒｈｏｉｓｅ
ＬＵＪｎ—ｇｈｓｓＨｕｉｎＩｓｔｔｏｅｈｏｏｙＨｕｉｎＪｎｓ２０３ＣｉａＦｃｌｆｈｍｔｓａｄＰｙｉ，ａｉｎｔｕｅｆｃｎｌ，ａａｉｇｕ２３０，ｈｎ）ｙＭａｃｃｙｉＴｇａ
踪控制的思想，利用分数阶系统稳定性理论分别讨论了分数阶系统的函数投影同步和分数阶混沌系统与整数阶混沌系统之间的混沌同步问题。文献［２基于滑模控制理论和自适应控制理论，究了分数阶１］研混沌系统的同步问题。文献［３基于分数阶系统稳定性理论，计了控制器和未知参数的辨识规则，１］设实现了分数阶超混沌系统的同步。然而，目前为止，论关于具有未知参数的分数阶超混沌系统的函数到讨
ｉｇｃｎｒｌｎｏｔｏ
Ｏ引言
自ＰｃｒＣｒｌ提出混沌同步原理以来，ｅｏａ和ａｒｌｏ混沌同步问题引起了人们的广泛关注。在同步问题的研究中，出了许多同步的方式，提如完全同步、同步、后同步、相滞广义同步、投影同步和函数投影同步等。

参数未知的分数阶混沌系统的自适应追踪控制

Ｍａｌ＂．２０１５
ｄｏｉ：１０．１６０５５／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２ — ０５８Ｘ．２０１５．０００３．００１
参数未知的分数阶混沌系统的自适应
追踪控制术
胡玉婷，李东，张兴鹏
文献［８］将Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ方法拓展到分数阶系统中并设计控制器实现了分数阶Ｎｅｗｔｏｎ．Ｌｅｉｐｎｉｋ系统的同步。
文献［９］基于滑模控制实现了分数阶混沌系统的自适应同步。利用自适应方法人们实现了分数阶混沌Ｃｈｅｎ系统 ¨ 、分数阶超混沌Ｌｏｒｅｎｚ系统 ¨ 以及一类不确定分数阶混沌系统和超混沌系统 ¨ ’ 的同步。由于混沌现象通常需要在特定的参数下才会表现，对于参数未知的混沌系统近年来也有较多的研究，文献［１４］对
混沌运动存在于自然界的各个领域中，是非线性动力学系统所特有的一种运动形式。混沌控制在生物学、流体力学、电力系统、保密通信等都有广泛应用。自１９９０年Ｐｅｃｏｒａ和Ｃａｒｒｏｌｌ … 实现了初始条件不同的
（重庆大学数学与统计学院，重庆４０１３３１）
摘
要：针对一类参数未知的分数阶混沌系统，基于分数阶系统稳定性理论，通过设计控制器和未知参

Qi系统的自适应混沌控制研究

第3、卷第3期2/2)年6月广东石油化工学院学报Josm/of Gpangdong UnOosity of PeWochemical TecknomapVol.37No.3June2/2、QO系统的自适应混沌控制研究I梁翠香，邓曙艳(广东石油化工学院建筑工程学院，广东茂名52540/)摘要:研究了四维混沌Qo系统的混沌控制策略。

利用Routh-HurcOr稳定性理论分析了Qo系统第二类非零平衡点的稳定性，绘制了系统的局部分岔图，同时给出了系统处于不同运动状态的时间历程图及相图。

设计基于系统变量为观测量的自适应控制器,并采用Lyayunoe稳定性理论证明受控系统具有全局稳定性。

数值计算结果表明，当系统参数受到的扰动量不相同时，施加控制后系统都能很快收敛到其平衡点,从而证明了文中所设计的控制器具有较快的收敛速度。

关键词:Qi系统;非零平衡点;Lyayunoe稳定性理论；自适应控制中图分类号：032文献标识码：A文章编号：2095-2562(2/2、)/3-0/66-/5混沌系统广泛存在于力学、机械、物理及生物等工程领域7］。

由于混沌系统具有运动不确定性和对初始条件敏感性的特点，系统表现为不稳定状态。

因此，混沌系统的控制成为工程界与学术界的研究热点。

混沌控制,广义上指的是人为并有效地通过某种方法控制混沌系统，使之达到实际所期望的状态。

当在混沌有害时，则设法抑制混沌或消除混沌;在混沌有利时，则设法使系统产生所需要的具有某些特点的混沌运动或某些特定的混沌轨道。

599年,Ott等人提出了混沌控制的OGY方法⑵。

此后，人们陆续提出了各种控制混沌的方法,如自适应控制72］、反馈控制76和变结构滑模控制［72］等。

Qi等人发现了一个四维混沌动力系统7］，该系统存在Hopf分岔、倍周期分岔及混沌等极其复杂的非线性动力学行为。

文献70］分析了Q0系统的Hopf分岔类型，采用washout滤波器实现了Q0系统的Hopf分岔控制。

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刘丹丹，高彩霞
对一类非线性分数阶混沌系统有限时间稳定的判定方法，与现有的结果相比其更具有一般性；并应用该方法设计了同步控制器，在满足系统所有变量有界的情况下实现了驱动系统和响应系统的异结构有限时间同步。数值仿真结果进一步验证了该方法的有效性。
关键词
分数阶混沌系统，有限时间稳定，同步控制
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
x0 ≤ c1 ⇒ x ≤ c2 , ∀t ∈ [ 0, T ]
则称系统(5)关于 ( 0, c1 , c2 , T ) 有限时间稳定。引理 1. 如果有 β > 0 ， a ( t ) 为定义在 [ 0, T ] 上的局部可积正定函数， g ( t ) 为定义在 [ 0, T ] 上的非负不
减少连续函数， g ( t ) ≤ M (常数)，存在一个非负局部可积函数 u ( t ) ∈ [ 0, T ] 满足：
th th th
Abstract
In this paper, the finite time stability and synchronization control of fractional order chaotic systems are studied; based on the Lyapunov fractional stability theory, the determination method of finite time stability for a class of nonlinear fractional chaotic systems is proposed, and it’s more generic than the existing results. And the synchronous controller is designed by the method; in the case of all the variables are met in the system, the different structure of the driver system and the response system are synchronized. Numerical simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed method.
Open Access
1. 引言
随着分数阶微积分理论的不断成熟，分数阶混沌系统稳定性研究得到了国内外广大学者的关注。许多物理学过程都展现出分数阶动力行为，研究表明用分数阶建模可以更好的描述实际的物理现象[1] [2] [3] [4]。混沌同步由于在通信领域的广泛应用得到了很快的发展，人们相继提出了很多种整数阶混沌系统的同步方法，如滑模变结构控制法、自适应控制法、模糊控制法、脉冲控制法和 Backstepping 控制法等，并进一步推广到了分数阶混动系统[5]-[13]。但是，这些方法只是对系统稳定或渐近稳定进行了研究[14] [15] [16]。然而，在实际应用当中，更多的时候是要求闭环系统能够在有限时间内稳定，因此更需要关注系统的有限时间控制。另外，在设计有限时间稳定控制器时，都会存在复杂的分数幂项，这让闭环系统具有了更好的鲁棒性和抗干扰性。针对分数阶混沌系统有限时间稳定，赵灵冬等利用分数阶微积分理论得到了一个分数阶混沌系统有限时间稳定的定理，并实现了分数阶超混沌 Lorenz 系统有限时间稳定[17]。赵建利等研究了洛伦兹–哈肯激光混沌系统有限时间稳定的主动控制方法，给出了整数阶混沌系统近似有限时间稳定的一个充分条件[18]。Jun Shen 研究了非线性分数阶系统在有限时间内不存在稳定点的问题，推动了非线性系统有限时间稳定性理论的发展[19]。在非线性系统有限时间稳定理论中，陈国培等通过函数构造和变量替换给出了新的非线性系统有限时间稳定的充分条件[20]，具有很强的应用性，但是只是针对整数阶非线性系统，对于分数阶非线性系统有限时间稳定性理论的研究还尚未深入。本文首先针对分数阶混沌系统，在原有的有限时间稳定理论的基础上，通过构造一个非负不减少连续函数，削弱了系统 Lyapunov 函数非负不增加的条件(允许在某些时间区间上出现单调增加的情况)，其次利用新提出的方法设计了同步控制器，实现了驱动系统和响应系统的同步，最后通过仿真实验，验证了该方法和控制器的有效性。
C 0
Dtα V ( x, t ) ≤ g ( t ) V ( x, t ) , ∞ ( g ( t ) )n−1 T nα −1 (3) α ( c2 ) ≥ β ( c1 ) + ∫ ∑ t − s) g ( s ) β ( c1 ) ds. ( 0 Γ ( nα ) n=1
C 0
{
(
)}
1 sα − β , R (s) > λ α . α s +a
Dtα x ( t ) = f ( x ( t ) , t ) .
(5)
其中 α ∈ ( 0,1) ， x ( t ) ∈ R n 为系统状态， x ( t0 ) = x0 ， f : R n × R → R n 为满足局部 Lipschitz 条件的非线性函数。定义 2. 对给定初始时刻 t0 = 0 和正数 c1 , c2 , T ，其中 c1 < c2 ，如果满足
摘
要
本文研究了分数阶混沌系统有限时间稳定性及其同步控制，并基于Lyapunov分数阶稳定性理论提出了针
文章引用: 刘丹丹, 高彩霞. 分数阶混沌系统有限时间稳定性分析及同步控制[J]. 理论数学, 2017, 7(3): 168-175. https:///10.12677/pm.2017.73022
注 1. 如果引理 1 中 a ( t ) 在 [ 0, T ] 上满足非负不减少，那么可以把结论简化为
(
)
α
单调增加。积函数 y ( t ) 使得
α 证明：只需证明引理的前半部分，后半部分证明思路同理。因为 C 0 Dt x ( t ) ≤ 0 ，所以一定存在非负可
那么系统(5)关于 ( 0, c1 , c2 , T ) 有限时间稳定。证明：对条件(2)两边同时取 α 阶积分
V ( x, t ) − V ( 0 ) ≤
(t − s ) Γ (α ) ∫0
t
1
α −1
g ( t ) V ( x ( s ) , s ) ds.
(11)
其中 V ( 0 ) = V ( x0 , 0 ) ，对(11)式两边同时乘以 g ( t )
(2)
其中， Γ ( ⋅) 为 Gamma 函数。当 0 < α < 1 时，Caputo 分数阶微分的解等价于
f (t ) = f (0) +
定义 1. 双参数 Mittag-Leffler 函数定义为
(t − τ ) Γ (α ) ∫0
t
∞
1
α −1 C
0
Dtα f (τ ) dτ .
(3)
Eα ,β ( z ) = ∑
Keywords
Fractional-Order Chaotic System, Finite-Time Stability, Synchronization Control
分数阶混沌系统有限时间稳定性分析及同步控制
刘丹丹，高彩霞
内蒙古大学数学科学学院, 内蒙古呼和浩特收稿日期：2017年4月29日；录用日期：2017年5月13日；发布日期：2017年5月17日
Pure Mathematics 理论数学, 2017, 7(3), 168-175 Published Online May 2017 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2017.73022
2. 分数阶微积分
分数阶微积分概念提出了很多种定义，文中采用 Caputo 定义作为研究工具。分数阶积分定义为
α = t0 I t f ( x )
(t − τ ) Γ (α ) ∫0
t
1
α −1
f (τ ) dτ .
(1)
Caputo 分数阶微分定义为
169
刘丹丹，高彩霞
t 1 n −α −1 (n) f (τ ) dτ , n − 1 < α < n Γ ( n − α ) ∫0 ( t − τ ) c α 0 Dt f ( x ) = n d f (t ) ,α = n dt n
(10)
3. 主要结果
3.1. 有限时间稳定性分析
定理 1. 考虑系统(1)，对给定初始时刻 t0 = 0 ，若存在 Lyapunov 函数 V ( x, t ) ， g ( t ) 为定义在 [ 0, T ] 上的非负不减少连续函数， α , β 为两个 κ -类函数，若满足： (1) α ( x ) ≤ V ( x, t ) ≤ β ( x ) , (2)
C t1
Dtα y ( t ) ≥ 0 ，这也就证明了 x ( t ) 在 [ 0, +∞ ) 上单调减少。 2
引理 3. 设 x ( t ) ∈ R n 且具有连续的一阶导数，则 1C α T T C α 0 Dt x ( t ) Px ( t ) ≤ x ( t ) P 0 Dt x ( t ) 2 其中 P 为任意的 n 阶正定矩阵。
Analysis of Finite-Time Stability of Fractional-Order Chaotic System and Its Synchronization Control