函数的图像与性质一次函数

函数的图像与性质、一次函数
一、重点、难点突破
难点：函数的概念、函数自变量的取值范围、函数值的计算、一次函数（正比例函数）的图像、性质及利用待定系数法求一次函数的解析式
例1.下列函数中，自变量的取值范围是3≥x 的是 （ ） A.31-=x y B. 3
1-=x y C. 3-=x y D. 3-=x y 分析：分别求出各个选项的自变量的取值范围即可.
解：选择D
点评：函数自变量的取值范围必须含自变量的代数式有意义
例2.小命外出散步，从家走了20分钟后到达一个离家900米的报亭，看了10分钟报纸后再用了15分钟返回家.则下列图像能表示小明离家距离与时间关系的是 （ ）
A B C D
分析：根据题意可知图像分为三部分：第一部分，y 随x 增大而增大；第二部分，x 增大而y 不变；第三部分，y 随x 增大而减小，最后y 为0.选择D
点评：解函数图像的题，我们首先要读懂题意，看明白图像横纵坐标轴表示的意义，在将题意与坐标结合起来，学会“数形结合”的思想来分析、解答问题.
例3.明明骑自行车上学时，经过一段先上坡
然后下坡的路，在这段路上所走得路程为s
（单位：千米）与时间t （单位：分）之间
的函数关系如图1所示.放学后如果按照原
路返回，且往反路程过程中，上坡速度相同，
下坡速度也相同，那么他回来时，走这段路
所用的时间是 （ ）
A.12分
B.10分
C.16分
D.14分
分析：由图像上之上学时上坡的路程为1千米，下坡路程为2千米，上坡速度为6
1千米/分 下坡速度为21千米/分，返回时上坡和下坡的速度相等，故返回的时间为14211612=÷+÷分 故选择D
点评：本题应注意返回时上、下坡路程与了去时正好相反
例4.一次函数的图像经过点（0，2），且函数y 的值随自变量x 的增大而增大，请写出一个符合条件的解析式：
分析：一次函数经过点（0，2），则b=2.又y 的值随自变量x 的增大而增大，故k>0，从而
可写出一次函数的解析式.
解：答案不唯一，只要满足b=2，k>0既可，如24+=x y
点评：本题是一道结论开放性试题，解结论开放性试题的方法是从已知出手，寻求结论是应充分运用已知条件
例5.阅读下列材料：
在平面几何中，我们学习过两条直线.下面就两个一次函数的图像所确定的两条直线，给
出他们平行的定义：设一次函数b k x y 11+=（01≠k ）的图像为直线l 1，一次函数
b k x y 22+=（02≠k ）的图像为直线l 2，若k 1=k 2且b b 21≠，我们就称两条直线平行l 1与l 2
相互平行. 解答下列问题：
（1） 求过点P （1，4）且与一知直线12--=x y 平行的直线l 的函数解析式；
（2） 设直线l 分别与x 轴y 轴相交于A 、B 两点，如果直线m ：t kx y +=（0>t ）与直线l 平行且交x 轴与点C,求△ABC 的面积关于t 的函数解析式.
分析：（1）题可根据两直线平行的条件知直线l 的解析式中k 的值为-2，将P （1，4）带入所设的解析式中即可求得直线l 的解析式；（2）题由于与直线l 平行的直线m 可位于直线l 的左侧，也可位于l 得右侧，因此分两种情况讨论.
解：（1）设直线l 的解析式为b kx y +=.
∵直线l 与直线12--=x y 平行，则2-=k .
∵直线l 过点P （1，4），则有b +⨯-=124，解得6=b
∴直线l 的解析式为62+-=x y
（2）∵直线l 分别与x 轴y 轴相交于A 、B 两点
∴点A,B 的坐标分别为（0，6）、（3，0）.
∵m l //，∴直线m 为t x y +-=2，∴)0,2(t C .
∵0>t ，∴02
>t ∴C 在x 的正半轴上.当点C 在B 的左侧时，t t S 2396)213(21-=⨯--⨯=
； 当点C 在B 的右侧时，92
36)32(21-=⨯-⨯=t t S ∴△ABC 的面积S 关于t 的函数解析式为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<-=)6(92
3)60(239t t t t S
难点：一次函数的图像信息体、开放探索题、阅读理解题以及利用一次函数解决实际问题等.
例6.暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前，汽车油箱内存储了45升汽油；当行驶150千米时，发现油箱里剩余油量为30升.
（1） 已知油箱内余油量y （升）是行驶路程x （千米）的一次函数，求y 与x 得函数解析式；
（2） 当油箱中余油少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回家？说明理由.
分析：（1）题刻设为b kx y +=，分别将45,0==y x ；30,150==y x 带入上式中即可求出k,b 的值；（2）题计算当400=x 时函数的值是否大于3，若大于3则汽车可以再报警前
回到家
解：（1）设b kx y +=分别将45,0==y x ；30,150==y x 带入上式中解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=45
101b k ∴4510
1+-=x y （3） 当400=x 时，534540010
1>=+⨯-=y ∴他们能在汽车报警前回到家
评点：再解一次函数的实际应用题时，首先要根据已知的条件求出一次函数的解析式，它是解决后继问题的基础和关键.
例7.我市部分地区近年来出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村名捐一点的办法筹集资金维护和新建一批蓄水池。

该村一共有243户村民，准备维护
（1） 求y 与x 之间的函数解析式；
（2） 满足要求的方案有几个？
（3） 若平均每户捐出2000元，求村里最多出资和最少出资分别为多少？
分析：（1）实际上式用含有x 的代数式表示y ；（2）求满足要求的方案可由两个条件确定：一是可支配的土地面积不超过106m 2；二是可供使用的户数不能少于243户，可通过列一元一次方程组来解决；（3）可利用（1）的结论及一次函数的增减性来解决问题
解：（1）由题意：
)20(34x x y -+=，即60+=x y .
（2）由题意：
⎩⎨⎧≤-+≥-+106
)20(64243)20(185x x x x ，解得97≤≤x . 故有三种方案可满足要求：
新建7（或8或9）个，维护13（或12或11）个
（3）由60+=x y 知y 随x 增大而增大，
∴当7=x 时，67min =y 万元；当8=x ，68=y 万元；当9=x ，69max =y 万元
易知村民捐款共6.482.0243=⨯万元.
故村民最多出资20.4万元，最少出资18.4万元
点评：利用一次函数的性质求最值，求自变量的取值范围是关键，根据解析式中k 的正负形确定其增减性求最值.
历年考题回顾
1.（2009甘肃）函数3
12-+
-=x x y 中自变量x 的取值范围是 （ ） .A.2≤x B. 3=x C.32≠<x x 且 D. 32≠≤x x 且 2. （2009福建莆田）如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从，N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动到点M 处停止.设点R 运动的路程为x ，△MNR 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图图2所示，则当9=x 时，点R 应运动到
A.N 处
B.P 处
C.Q 处
D.M 处
3.（2009湖南邵阳）在平面直角坐标系中，函数1+-=x y 的图像经过 （ ）
A.一、二、三象限
B.二、三、四象限
C.一、三象限
D.一、二象限
4.（2009湖南黄冈）小高从家门口骑车去单
位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到
达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用
时间与路程之间关系如图3所示.下班后，如
果他沿原路返回，且走平路、上坡、下坡的
速度与去时相同，那么他从单位回到家要多
长时间（ ）
A.12分钟
B.15分钟
C.25分钟
D.27分钟
5.（2009长沙）一次函数42+-=x ，当函数值为正时，x 的取值范围是 .
答案：
1.A;
2.C;
3.D;
4.B;
5.2<x。