2020苏科版九下第六章《图形的相似》(难题)单元测试(一)(有答案)

第1页，共28页 2020苏科版九下第六章《图形的相似》（难题）单元测试（一）

班级：___________姓名：___________得分：___________

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，点D为边BC上的点，点E、F分别是边AB、AC上两点，且𝐸𝐹 // 𝐵𝐶，若AE：𝐸𝐵=𝑚，BD：𝐷𝐶=𝑛，则( )

A. 𝑚>1，𝑛>1，则2𝑠▵𝐴𝐸𝐹>𝑠▵𝐴𝐵𝐷

B. 𝑚>1，𝑛 <1，则2𝑠▵𝐴𝐸𝐹<𝑠▵𝐴𝐵𝐷

C. 𝑚<1，𝑛<1，则2𝑠▵𝐴𝐸𝐹>𝑠▵𝐴𝐵𝐷

D. 𝑚<1，𝑛>1，则2𝑠▵𝐴𝐸𝐹<𝑠▵𝐴𝐵𝐷

2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，𝐸𝑀//𝐴𝐷，交AB于点M，𝐸𝑁//𝐴𝐵，交AD于点N，则下列式子一定正确的是

A. 𝐴𝑀𝐵𝑀=𝑁𝐸𝐷𝐸 B.

𝐴𝑀𝐴𝐵=𝐴𝑁𝐴𝐷 C. 𝐵𝐶𝑀𝐸=𝐵𝐸𝐵𝐷 D. 𝐵𝐷𝐵𝐸=𝐵𝐶𝐸𝑀

3. 如图，四边形ABCD是矩形，𝐴𝐵= 6，𝐴𝐷= 10，点E为AD上动点，且∠𝐵𝐸𝐹=90°.当BF最小时，AE的长为( )

A. 2 B. 4 C. 5 D. 6

4. 如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE、BD交于点M、N，则下列结论①∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐸𝐷𝐴；②∠𝐴𝑀𝐸=90°；③𝑆△𝐴𝑁𝐷=4𝑆△𝐵𝑁𝐹；④𝑀𝐷=2𝐴𝑀=4𝐸𝑀，其中正确结论的个数是( )

第2页，共28页 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

5. 在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴1𝐵1𝐶1中，有下列条件：①𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝐵𝐶𝐵1𝐶1，②𝐵𝐶𝐵1𝐶1=𝐴𝐶𝐴1𝐶1，③∠𝐴=∠𝐴1 ，④∠𝐵=∠𝐵1，⑤∠𝐶=∠𝐶1，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴1𝐵1𝐶1的有( )

A. 4组 B. 5组 C. 6组 D. 7组

6. 如图7，在菱形ABCD中，𝐴𝐶=4，𝐵𝐷=6，P是BD上的任意一点，过点P作𝐸𝐹//𝐴𝐶，与菱形的两条边分别交于点E、F，设𝐵𝑃=𝑥，𝐸𝐹=𝑦，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是：

A. B.

C. D.

7. 如图，AB是⊙𝑂的直径，𝐵𝐶⊥ AB，垂足为点B，连结CO并延长交⊙𝑂于点D，𝐸.连结AD并延长交BC于点𝐹.则下列结论正确的为( )

①∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐸𝐵 ②点F是BC的中点③𝐵𝐷𝐵𝐸=𝐶𝐷𝐵𝐶 ④若𝐵𝐶𝐴𝐵=32，𝑡𝑎𝑛𝐸=√10−13 第3页，共28页 A. ① ② ③ B. ② ③④ C. ① ③ ④ D. ① ② ③④

8. 如图，AB是半圆直径，点C是弧AB中点，点D是弧AC中点，AC、BD交于点E，则𝐷𝐸𝐵𝐸的值为(

)

A.

√2−12

B. 14 C. 1−√22 D. 13

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 如图，在平行四边形ABCD中，𝐶𝐷=10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且𝐴𝐸𝐸𝐶=25，则△𝐴𝐸𝐹的面积△𝐶𝐷𝐸的面积=______，𝐵𝐹=______．

10. 如图，D，E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若𝑆△DOE:𝑆△COA=1:16，则𝑆△BDE与𝑆△CDE的比是______．

11. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且𝐴𝐸=32𝐸𝐷，EC交对角线BD于点F，则𝐸𝐹𝐹𝐶等于_____．

12. 如图，正方形ABCD中，𝐴𝐵=12，𝐴𝐸=14𝐴𝐵，点P在BC上运动(不与B、C重合)，过点P作𝑃𝑄⊥𝐸𝑃，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ．

第4页，共28页 13. 如图，点M是△𝐴𝐵𝐶内一点，过点M分别作直线平行于△𝐴𝐵𝐶的各边，所形成的三个小三角形(图中阴影部分)的面积分别是𝑆1=1，𝑆2=4，𝑆3=9，则△𝐴𝐵𝐶的面积是________．

14. 如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐵=3，E是BC的中点，AE与BD交于点F，且𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，则CF的长是

．

15. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=4.点P是边AC上一动点，过点P作𝑃𝑄 // 𝐴𝐵交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠𝐴𝐵𝐶时，AP的长度为______．

16. 如图，△𝐴𝐵𝐶的面积为1，取△𝐴𝐵𝐶各边的中点𝐴1，𝐵1，𝐶1，作第二个△𝐴1𝐵1𝐶1，再取△𝐴1𝐵1𝐶1各边的中点𝐴2，𝐵2，𝐶2，作第三个△𝐴2𝐵2𝐶2，…，则▵𝐴5𝐵5𝐶5的面积是________．

三、解答题（本大题共7小题，共102分）

17. 如图①，在正方形ABCD中，𝐴𝐵=6，M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合)，连接CM，过点M作𝑀𝑁⊥𝐶𝑀，交线段AB于点N

(1)求证：𝑀𝑁=𝑀𝐶；

(2)若DM：𝐷𝐵=2：5，求证：𝐴𝑁=4𝐵𝑁；

(3)如图②，连接NC交BD于点𝐺.若BG：𝑀𝐺=3：5，求𝑁𝐺⋅𝐶𝐺的值．

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18. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦=−34𝑥+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作𝐷𝐶⊥𝑥轴于点C，交直线AB于点E．

(1)求抛物线的函数表达式

(2)是否存在点D，使得△𝐵𝐷𝐸和△𝐴𝐶𝐸相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图2，F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．

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19. 如图，已知△𝐵𝐴𝐶为圆O内接三角形，𝐴𝐵=𝐴𝐶，D为⊙𝑂上一点，连接CD、BD，BD与AC交于点E，且𝐵𝐶2=𝐴𝐶·𝐶𝐸

①求证：∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐶𝐵𝐷；

②若∠𝐷=30°，且⊙𝑂的半径为3+√3，I为△𝐵𝐶𝐷内心，求OI的长．

20. 直线𝑦1=𝑘𝑥+𝑏与反比例函数𝑦2=8𝑥(𝑥>0)的图象分别交于点𝐴(𝑚,4)和点𝐵(𝑛,2)，与坐标轴分别交于点C和点D．

第7页，共28页 (1)根据图象直接写出不等式𝑘𝑥+𝑏−8𝑥≤0的解集；

(2)求三角形OAB的面积；

(3)若点P是x轴上一动点，当△𝐶𝑂𝐷与△𝐴𝐷𝑃相似时，求点P的坐标．

21. 如图，直线MN交⊙𝑂于A，B两点，AC是直径，AD平分∠𝐶𝐴𝑀交⊙𝑂于D，过D作𝐷𝐸⊥𝑀𝑁于E．

(1)求证：DE是⊙𝑂的切线；

(2)若𝐷𝐸=6，𝐴𝐸=2√3，求⊙𝑂的半径；

(3)在第(2)小题的条件下，求图中阴影部分的面积．

22. (12分)我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．

(1)已知：四边形ABCD是“等对角四边形”，∠𝐴=70°，∠𝐵=80°.求∠𝐶、∠𝐷的度数． 第8页，共28页 (2)如图1，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，∠𝐶=90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作𝐷𝐸⊥𝐶𝐷交AC于点E，求证：四边形BCED是“等对角四边形”．

(3)在平面直角坐标系中，点𝐴(0,5)，点𝐵(2√3,3)，在x轴上是否存在点C，使四边形AOCB为“等对角四边形”，若存在请求出AC的长，若不存在．请说明理由．

23. 若二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−2的图象与x轴交于点𝐴(4,0)，与y轴交于点B，且过点𝐶(3,−2)．

(1)求二次函数表达式；

(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且𝑆△𝑃𝐵𝐴=5，求点P的坐标；

(3)在抛物线上(𝐴𝐵下方)是否存在点M，使∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐴𝐵𝑀？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由． 第9页，共28页 答案和解析

1. D

解：解：∵𝐸𝐹//𝐵𝐶，

∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐶𝐵，

∴△𝐴𝐸𝐹∽△𝐴𝐵𝐶，

∵𝐴𝐸：𝐸𝐵=𝑚，

∴𝐴𝐸𝐴𝐵=𝑚𝑚+1，

∴𝑆△𝐴𝐸𝐹𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐸2𝐴𝐵2=(𝑚𝑚+1)2．

∵𝐵𝐷：𝐷𝐶=𝑛，

∴𝐵𝐷𝐵𝐶=𝐵𝐷𝐵𝐷+𝐷𝐶=𝑛𝑛+1，

又∵以BD为底的△𝐴𝐵𝐷和以BC为底的△𝐴𝐵𝐶的高相等，

∴𝑆△𝐴𝐵𝐷𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐷𝐵𝐶=𝑛𝑛+1，

∴𝑆△𝐴𝐸𝐹𝑆△𝐴𝐵𝐷=(𝑚𝑚+1)2·𝑛+1𝑛，

当𝑚=1时，EF为△𝐴𝐵𝐶的中位线，此时𝑆△𝐴𝐸𝐹𝑆△𝐴𝐵𝐶=14；

当𝑛=1时，D为BC中点，𝑆△𝐴𝐵𝐷=12𝑆△𝐴𝐵𝐶

则2𝑆△𝐴𝐸𝐹=12𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐷

A.𝑚>1，𝑛>1，

比如𝑚=32，𝑛=9，

则𝐴𝐸𝐴𝐵=35，

𝑆△𝐴𝐸𝐹𝑆△𝐴𝐵𝐶=925，

2𝑆△𝐴𝐸𝐹=1825𝑆△𝐴𝐵𝐶 ，

𝑆△𝐴𝐵𝐷=910𝑆△𝐴𝐵𝐶, 

2𝑆△𝐴𝐸𝐹<𝑆△𝐴𝐵𝐷,

故A错误；