【全国百强校】陕西省西安电子科技大学附属中学北师大版高中数学必修5教案：1.3.2等比数列的前n项和(2)

a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，

3.2一元二次不等式及其解法 第一课时 一元二次不等式及其解法 课前预习 ● 温故知新 学前温习1、一元一次不等式：ax ＞b ，当a ＞0时，解集是 ；当a ＜0时，解集是 ；当a ＝0，b ＞0时，解集是 ；当a ＝0，b ≤0时，解集是 .2、一元一次方程、一元一次不等式及与一次函数三者之间有什么关系？ 新课感知 1、一元二次不等式的定义： 。

2、2224、解一元二次不等式的步骤是： 课堂学习 ● 互动探究 知识精讲1、解一元二次不等式解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外）②设不等式20(0)ax bx c a ++<>，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内）说明：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，0a <,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法③当一元二次不等式为20ax bx c ++≥或20ax bx c ++≤时，要注意解集的端点． ④解一元二次不等式时，要将二次不等式以及与其对应的二次方程、二次函数的图象联系起来，真正做到“数形结合”．2、一元二次不等式的解集与二次函数和二次方程之间的关系： 一元二次方程、一元二次不等式和二次函数是紧密相连的．二次函数的图象从“形”上反映了一元二次方程的根和一元二次不等式解的情况，一元二次方程的根和一元二次不等式的解从“数”上反映了二次函数图象的位置．在解决一元二次不等式问题时，要注意从函数与方程思想的角度考虑问题．(1)从函数观点看(以0a >的二次函数为 )一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集，就是二次函数20(0)y ax bx c a =++>>的值满足0y >时的自变量x 组成的集合，同时也是二次函数20(0)y ax bx c a =++>>的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合，而一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根就是二次函数图象与x 轴交点的横坐标． (2)从方程观点看设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0和ax 2＋bx ＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x 1或x>x 2}、{x|x 1<x<x 2}(x 1<x 2)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1·x 2＝ca，即不等式解集的端点值是相应方程的根．(3)当一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集为R 时，意味着20ax bx c ++>恒成立．由图象可知：关于这类恒成立问题只需考虑开口方向和判别式Δ即可，而不必利用最值转化的思路求解．3、一元二次不等式在指定范围的恒成立(或者不等式在指定范围的恒成立)，其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间．解决这类问题的基本方法，一是引进函数关系后，通过函数图象实现数形结合；二是等价转化，转化为求函数的最值或是值域。

第三章不等式§1不等关系【必备知识·自主学习】1.不等关系在数学意义上,不等关系可以体现为以下几种:(1)常量与常量之间的不等关系.(2)变量与常量之间的不等关系.(3)函数与函数之间的不等关系.(4)一组变量之间的不等关系.【思考】表示不等关系的数学不等号有哪些?提示:表示不等关系的数学不等号有>,<,≥,≤,≠.2.实数比较大小法则任意两个实数a,b 都能比较大小:(1)如果a-b>0,那么a>b.(2)如果a-b<0,那么a<b.(3)如果a-b=0,那么a=b.【思考】如何比较两个实数的大小?提示:比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小,也可以比较它们的商与1的大小.3.不等式的八个性质①对称性:a>b⇔b<a;②传递性:a>b,b>c⇒a>c;③同加性:a>b⇔a+c>b+c;④同乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;⑤累加性:对于同向不等式⇒a+c>b+d;⑥累乘性:对于同向不等式⇒ac>bd;⑦不等式的乘方:a>b>0⇒a n>(n∈N,且n≥2);⑧不等式的开方:a>b>0⇒>(n∈N,且n≥2). 【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)对于实数a与b,a2+b2≥2ab. ( )(2)对于实数a与b,若a>b,则a2>b2. ( )(3)对于实数a与b,若a>b,则a3>b3. ( )(4)若a>b,则ac>bc. ( )(5)a2一定大于a. ( )提示:(1)√.对于实数a与b,(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab. (2)×.对于实数a与b,若a>b>0,则a2>b2;若a>0>b,则a2>b2不一定成立.(3)√.对于实数a与b,若a>b>0,则a3>b3;若a>0>b,则a3>0>b3;若0>a>b,则0<-a<-b,(-a)3<(-b)3,即-a3<-b3,所以a3>b3.综上所述,对于实数a与b,若a>b,则a3>b3.(4)×.当c=0时,ac=bc;当c<0时,ac<bc.(5)×.当0≤a≤1时,a2≤a.2.(2020·上海高一检测)若a<0<b,则下列不等式恒成立的是( )A.>B.-a>bC.a2>b2D.a3<b3【解析】选D.因为a<0<b,所以可设a=-1,b=1,从而可知A,B,C错误;对于D,根据幂函数的性质即可判断正确.3.(教材二次开发:例题改编)比较大小(用“>”“<”填空):(1)a+6 a-1;(2)a2-a a-2.【解析】(1)由(a+6)-(a-1)=7>0,知a+6>a-1.答案:>(2)由(a2-a)-(a-2)=a2-2a+2=(a-1)2+1>0,知a2-a>a-2.答案:>【关键能力·合作学习】类型一用不等式表示不等关系(数学抽象)【题组训练】1.今天的天气预报说:明天早晨最低温度为9℃,白天的最高温度为16℃,那么明天白天的温度t℃满足的不等关系为.2.如图,在一个面积为350 m2的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍,上述不等关系可用W表示为.3.某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的售价设为x元,用不等式表示销售的总收入不低于20万元为.【解析】1.白天的温度介于最低温度与最高温度之间,故9≤t≤16.答案:9≤t≤162.仓库的长L=-10,所以-10>4W.答案:-10>4W3.售价为x元时的销量为8-×0.2,故销售总收入不低于20万元表示为·x≥20.答案:·x≥20【解题策略】(1)常见的文字语言与数学符号之间的转换文字语言数学符号文字语言数学符号大于> 至多≤小于< 至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤(2)列不等式表示不等关系的步骤①分析题意,找出题中的各种量;②寻找各种量之间的相等或不等关系;③用代数式表示各种量;④用适当的不等号将表示不等关系的量连接起来.【补偿训练】某种植物适宜生长的地方为18℃-20℃的山区,已知山区海拔每升高100 m,气温下降0.55℃.现测得山脚下的平均气温为22℃,该植物种在山区多高处为宜?(只需列出关系式)【解析】设该植物适宜的种植高度为x m,由题意得18≤22-≤20.类型二不等式性质的应用(逻辑推理)【典例】已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>.四步内容理解题意分式证明可借助不等式性质.思路探求依据已知条件得出a-c与b-d的大小,从而得到与的大小,再利用e<0得出结论.书写表达因为c<d<0,所以-c>-d>0,又因为a>b>0,所以a+(-c)>b+(-d)>0,即a-c>b-d>0,所以0<<.又因为e<0,所以>.题后反思在利用不等式的性质,解决与不等式有关的问题时,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过对其条件与结论的分析,利用不等式的性质,探索论证的思路,选择合理的论证方法予以证明.【解题策略】利用不等式的性质证明不等式(1)不等式的性质是证明不等式的基础,对任意两个实数a,b,有a-b>0⇒a>b;a-b=0⇒a=b;a-b<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据,也是证明不等式的基础.(2)利用不等式的性质证明不等式,关键要对性质正确理解和运用,要弄清楚每一条性质的条件和结论,注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.说明:运用不等式的性质判断不等式是否成立时要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,更不要想当然地运用一些不存在的性质.【跟踪训练】1.(2020·济南高一检测)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是( ) A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ab>0,bc-ad>0,则-<0C.若a>b,c>d,则a-d>b-cD.若a>b,c>d>0,则>【解析】选C.若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故A错;若ab>0,bc-ad>0,则>0,化简得->0,故B错;若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>b-c,故C对;若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,==-1,故D错.2.已知1<a<4,2<b<8.试求2a+3b与a-b的取值范围.【解析】因为1<a<4,2<b<8,所以2<2a<8,6<3b<24,所以8<2a+3b<32.因为2<b<8,所以-8<-b<-2.又因为1<a<4,所以1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2.故2a+3b的取值范围是(8,32),a-b的取值范围是(-7,2).类型三比较大小(逻辑推理)角度1 作差法比较大小【典例】(2020·贺州高一检测)已知a>0,b>0,且a≠b,比较+与a+b的大小.【思路导引】将+与a+b进行作差、化简,然后利用a>0,b>0,a≠b判断式子的正负,即可得出大小关系.【解析】-(a+b)==.因为a>0,b>0,a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,所以>0,故+>a+b.【变式探究】已知x∈R,比较x3-1与2x2-2x的大小.【解析】(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),因为x2-x+1=+≥>0,所以当x>1时,(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x;当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;当x<1时,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.角度2 作商法比较大小【典例】若m>2,则m m与2m的大小关系是.【思路导引】比较m m与2m大小,如果作差,则不能再变形化简,可尝试作商再变形化简,与1比较大小即可得出结论.【解析】因为=,又m>2,所以>1,所以>1,又2m>0,故m m>2m.答案:m m>2m【解题策略】比较大小的方法(1)作差法:比较两个代数式的大小,可以根据它们的差的符号进行判断,一方面注意题目本身提供的字母的取值范围,另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘,或通过配方转化为几个非负实数之和,然后判断正负.作差法的一般步骤:作差——变形——判号——定论.(2)作商法:作商比较通常适用于两代数式同号的情形,然后比较它们的商与1的大小.作商法的一般步骤:作商——变形——与1比较大小——定论.(3)单调性法:利用函数单调性比较大小,通常先构造一个函数,再利用单调性.提醒:在用“比较法”时,有时可先将原数或式变形后再作差或作商进行比较,若是选择题还可用特殊值法比较大小.【题组训练】1.已知0<a<,且M=+,N=+,则M,N的大小关系是.【解析】因为0<a<,所以1+a>0,1+b>0,1-ab>0,所以M-N=+=>0,即M>N.答案:M>N2.若a>b>0,比较a a b b与a b b a的大小.【解析】=a a-b b b-a=()a-b,因为a>b>0,所以>1,a-b>0,所以()a-b>1,即>1,又因为a>b>0,所以a a b b>a b b a.3.(1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中x∈R.(2)设x,y,z∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.【解析】(1)因为x6+1-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)2(x2+1)≥0.所以当x=±1时,x6+1=x4+x2;当x≠±1时,x6+1>x4+x2.综上所述,x6+1≥x4+x2,当且仅当x=±1时取等号.(2)因为(5x2+y2+z2)-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0, 所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,当且仅当x=y=且z=1时取等号.【补偿训练】(2020·济南高一检测)已知a∈R,且a≠1,比较a+2与的大小.【解析】(a+2)-====.因为+>0恒成立,所以当a-1>0,即a>1时(a+2)->0;当a-1<0,即a<1时,(a+2)-<0.综上可知,当a>1时,a+2>;当a<1时,a+2<.【课堂检测·素养达标】1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中,同一车道上的车间距d 不得小于100 m,用不等式表示为( )A.v≤120或d≥100B.C.v≤120D.d≥100【解析】选B.最大限速与车距是同时的.2.若实数a,b满足0<a<1,-1<b<1,则a+2b的取值范围是( )A.(-2,3)B.(-3,2)C.(2,3)D.(-2,2)【解析】选A.因为-1<b<1,所以-2<2b<2,又因为0<a<1,所以-2<a+2b<3.3.(教材二次开发:习题改编)已知实数a>b>0,c∈R,则下列不等式恒成立的是( )A.ac<bcB.<C.>D.ac≥bc【解析】选C.当c≥0时,不等式ac<bc不成立,A错误;-==>0,故B 错误C正确;当c<0时,不等式ac≥bc不成立,D错误.4.某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持工厂正常生产,甲、乙两种材料总量至少需要120吨,则x,y应满足的不等关系是.【解析】两种总量至少120吨,用不等式表示为x+y≥120.答案:x+y≥1205.(2020·德阳高一检测)已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.【证明】x2+2y2-(2xy+2y-1)=x2-2xy+y2+y2-2y+1=(x-y)2+(y-1)2≥0,所以x2+2y2≥2xy+2y-1成立.。

数列单调性
零点存在 定理
数列放缩 不等式
多项式 函数
分类讨论 化归转化
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近5年来陕西卷压轴题试题特点
年份
设问 特点
涉及 知识点
函数模 型
e 2013 年
参数值 公共点个数
比较大小
导数几何意义 最值
x 型函 数
2014 年
函数表达式 参数范围 比较大小
最值，单调性 定积分 数列
含lnx的 函数
高考数学压轴题的解题思路和方法
关于“压轴题”的几点说明：
1.一题压的轴变为多题压轴； 2.解析几何题重点在于几何问题代数化的转化的
训练； 3.函数导数题重点体现创新能力的考查，有一定
难度； 4.和数列的结合往往增大了压轴题的难度; 5.我省与全国卷相比，压轴题比较稳，体现在考
查知识点、方法上稳中有进。
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（十三）不等式 2．一元二次不等式 （1）会从实际问题的情境中抽象出一元二次
不等式模型． （2）通过函数图像了解一元二次不等式与相
应的二次函数、一元二次方程的联系． （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二
次不等式，会设计求解的程序框图．
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（一）考纲的角度
（文）（十六）导数及其应用 （4）能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和
且在点 P 处有相同的切线 y 4x 2 （Ⅰ）求 a ， b ， c ， d 的值 （Ⅱ）若 x ≥－2 时， f (x) ≤ kg(x) ，求 k 的取值范围。
关键点：
设 函 数 F (x) = kg(x) f (x) = 2kex (x 1) x2 4x 2
（ x 2 ）， F(x) = 2kex (x 2) 2x 4 = 2(x 2)(kex 1) ，