高中数学人教A版高一必修四课下能力提升：(九) 含解析

学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1．4.3正切函数的性质与图象学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标学案·新知自解学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1．能画出y ＝tan x 的图象． 2．理解正切函数y ＝tan x在⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上的性质． 3．能够熟练应用正切函数y ＝tan x 的性质．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标函数y ＝tan x 的图象与性质解析式y ＝tan x图象定义域__________________________⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标值域 ___ 周期 ___ 奇偶性 ______单调性在开区间________________________上都是增函数R π 奇函数 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[化解疑难]如何作正切函数的图象 (1)几何法就是利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线”法“三点”是指⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1．f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A .π4 B .π2 C ．πD ．2π学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析： 方法一：函数y ＝tan (ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接套用公式，可得T ＝π|2|＝π2.方法二：由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2.答案： B学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，k π＋π)，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析： 由k π－π2<x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z)，得k π－34π<x <k π＋π4，k ∈Z ，所以函数f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－34π，k π＋π4(k ∈Z)．答案： C学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标3．函数f (x )＝tan 2xtan x的定义域为________．解析： 函数应满足⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x ≠k π＋π2，x ≠k π＋π2，tan x ≠0(k ∈Z)，即⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ≠k π2＋π4，x ≠k π＋π2，x ≠k π，(k ∈Z)，所以x ≠k π4，k ∈Z. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π4，k ∈Z学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标教案·课堂探究学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标正切函数的定义域自主练透型求下列函数的定义域：(1)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .解析： (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈Z .学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标(2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3. 结合y ＝tan x的图象可知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2＜x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－π2＜x ≤k π＋π3，k ∈Z .学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[归纳升华]求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠π2＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y＝A tan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋π2，k∈Z，解得x.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1．求函数y ＝11＋tan x的定义域．解析： 要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.因此，函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标与正切函数有关的周期性、奇偶性问题多维探究型(1)求f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期；(2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析： (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan(2x ＋π3)，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.(2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[归纳升华]与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标2．(1)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋3的最小正周期是()A ．4B ．4πC ．2πD ．2(2)已知函数f (x )＝tan x ＋1tan x，若f (a )＝5，则f (－a )＝________.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析： (1)T ＝ππ2＝π·2π＝2.(2)f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．可知f (x )的定义域关于原点对称．又f (－x )＝tan(－x )＋1tan （－x ）＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∴f (－a )＝－f (a )＝－5.答案： (1)D (2)－5学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标正切函数的单调性的应用多维探究型(1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调区间；(2)比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[边听边记] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)得，2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛2k π－π2，2k π＋⎭⎪⎫32π(k ∈Z)． (2)由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋34π ＝tan 34π＝－tan π4，学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5＝－tan 2π5，又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[归纳升华](1)求函数y＝A tan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2<ωx＋φ<kπ＋π2，解得x的范围即可.②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan(ωx＋φ)转化为y＝A tan[－(－ωx－φ)]＝－A tan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．(2)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标3．(1)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，求函数的单调区间；(2)利用正切函数的单调性比较下列函数值的大小：①tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7； ②tan 1，tan 2，tan 3.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析： (1)由于正切函数y ＝tan x 在区间⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π(k ∈Z)上为增函数，因此令－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π，解得k π3－π18<x <k π3＋5π18(k ∈Z)，即函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的单调递增区间为⎝⎛k π3－π18，k π3＋⎭⎪⎫5π18(k ∈Z)．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标(2)①∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan π7.又∵函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， 而－π2<－π5<π7<π2.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5<tanπ7，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标②因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又因为π2<2<π，所以－π2<2－π<0.因为π2<3<π，所以－π2<3－π<0.显然－π2<2－π<3－π<1<π2，又y ＝tan x在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是增函数， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标练案·学业达标点击进入WORD链接数学必修4 第一章三角函数学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标谢谢观看！。

课时作业(七) 诱导公式五、六 A组 基础巩固 1.河北衡水中学高一调研已知sin5π2＋α＝15，α为第四象限角，那么sinα＝( ) A．－25 B．－15

C．－265 D.265 解析：∵sin5π2＋α＝15，∴cosα＝15. 又∵α为第四象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－152＝－265，故选C. 答案：C 2.广东潮州市高一期末已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则

cosπ2－α的值为( )

A．－45 B.35 C.45 D．－35 解析：角α的终边经过点P0(－3，－4)，由三角函数定义可得sinα＝－4－2＋－2＝－45，可得cosπ2－α＝sinα＝－45，故选A.

答案：A 3．(2015·湖北孝感市高一期末)sin2(π－α)＋cos(－α)·sinπ2－α的值为( ) A．cos2α B．2sin2α C．1 D．0 解析：原式＝sin2α＋cosα·cosα＝sin2α＋cos2α＝1，故选C. 答案：C 4.2015·重庆一中高一期末设a＝tan35°，b＝cos55°，c＝sin23°，则( ) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 解析：b＝cos55°＝cos(90°－35°)＝sin35°. 由单位圆中的三角函数线可知tan35°＞sin35°＞sin23°，即a＞b＞c，故选A. 答案：A

5．若sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－m，则cos3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )

A．－23m B．－32m C.23m D.32m 解析：∵sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－m， 即－sinα－sinα＝－2sinα＝－m，从而sinα＝m2， ∴cos3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－32m. 答案：B 6．在△ABC中，下列各表达式为常数的是( ) A．sin(A＋B)＋sinC B．cos(B＋C)－cosA

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，则y 的范围是( )A ．[－1，1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1【解析】 y ＝sin x 的图象如图所示，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以由图知y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.【答案】 B2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数【解析】 因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2＝sin 12x ，所以为奇函数．【答案】 A3．y ＝sin x －|sin x |的值域是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[－1，1]D ．[－2，0]【解析】 y ＝⎩⎨⎧0，0≤sin x ≤1，2sin x ，－1≤sin x <0，因此函数的值域为[－2，0]．故选D ．【答案】 D4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°【解析】 由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y ＝sin x 在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C ． 【答案】 C5．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0【解析】 令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z ，又－π≤x ≤0，∴－π6≤x ≤0，故选D ．【答案】 D 二、填空题6．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【导学号：00680020】【解析】 由0≤x ≤π2，得0≤2x ≤π，于是－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，即－32≤3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，37．若已知f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝sin 2x ＋cos x ．则x <0时，f (x )＝__________．【解析】 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝sin(－2x )＋cos(－x )， ∴f (－x )＝－sin 2x ＋cos x . ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－[－sin 2x ＋cos x ]＝sin 2x －cos x . 【答案】 sin 2x －cos x 三、解答题8．求下列函数的值域(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6；(2)f (x )＝1－2sin 2x ＋2cos x .【解】 (1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴0≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤2，∴原函数的值域为[0，2]．(2)f (x )＝1－2sin 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－32，∴当cos x ＝－12时，f (x )min ＝－32，当cos x ＝1时，f (x )max ＝3， ∴该函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.9．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.(1)求f (x )的最小正周期T ； (2)求f (x )的单调递增区间．【解】 (1)由已知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，则T ＝2πω＝4π.(2)当2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z )，即4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )时， 函数f (x )单调递增，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z )．[能力提升]1．(2016·安庆期末)关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的是( ) A ．②③ B ．①③ C ．①④D ．②④【解析】 函数f (x )的最小正周期为π，故②错； f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故①正确；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝0，知函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，不关于直线x ＝－π6对称，故③正确，④错误． 【答案】 B2．(2016·常州高一检测)若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于________．【解析】 根据题意知f (x )在x ＝π3处取得最大值1，∴sinωπ3＝1， ∴ωπ3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋32，k ∈Z .又0<ω<2，∴ω＝32.【答案】 323．设函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋b .(1)若a >0，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )的值域为[1，3]，求a ，b 的值．【解】 (1)由于a >0，令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，π3≤2x ＋π3≤5π6，则12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， 由f (x )的值域为[1，3]知： ⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋b ＝3，12a ＋b ＝1⇔⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－1； 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ＋b ＝1，12a ＋b ＝3⇔⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝5.综上得：⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－1或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝5.。

课下能力提升(六)[学业水平达标练]题组1 用反证法证明“否定性”命题1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是( )①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②④2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________．6．若x >0，y >0，且x ＋y >2，求证：1＋x y 与1＋y x中至少有一个小于2. 题组3 用反证法证明“唯一性”命题7．用反证法证明命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)( )A ．无解B ．有两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解8．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( )A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．[能力提升综合练]1．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除2．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确3．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a ＞b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个5．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．6．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．①因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________②＝________③＝0.这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．7．设a ，b 是异面直线，在a 上任取两点A 1，A 2，在b 上任取两点B 1，B 2，试证：A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．8．用反证法证明：对于直线l ：y ＝x ＋k ，不存在这样的非零实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝－x 对称．答案[学业水平达标练]题组1 用反证法证明“否定性”命题1．解析：选C 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．2．答案：③①②3．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.又p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr . (p －r )2＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题4．解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________．解析：假设a 、b 、c 都小于13， 则a ＋b ＋c ＜1与a ＋b ＋c ＝1矛盾．故a 、b 、c 中至少有一个不小于13. 答案：136．解：假设1＋x y与1＋y x 都不小于2， 即1＋x y≥2，1＋y x ≥2. 又∵x >0，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾．所以假设不成立，所以1＋x y 与1＋y x 中至少有一个小于2. 题组3 用反证法证明“唯一性”命题7．解析：选D “唯一”的否定上“至少两解或无解”．8．解析：选D 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．9．证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a ，b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A ，B 的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[能力提升综合练]1．解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B 正确．2．解析：选D 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p ＋q >2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．3．解析：选D 因为a 、b 、c 都是正数，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6.故三个数中至少有一个不小于2. 4．解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a ＞b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，∴不存在n 使得a n ＝b n .5．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交6．解析：证明过程应为：假设p 为奇数，则有a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0.这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．答案：a 1－1，a 2－2，…，a 7－7(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)7．证明：假设A 1B 1与A 2B 2不是异面直线，则A 1B 1与A 2B 2可以确定一个平面α，点A 1，A 2，B 1，B 2都在平面α内，于是A 1A 2⊂α，B 1B 2⊂α，即a ⊂α，b ⊂α，这与已知a ，b 是异面直线矛盾，所以假设错误．所以A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．8．证明：假设存在非零实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝－x 上， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋k ，y 2＝3x 2－1得2x 2－2kx －1－k 2＝0.∴x 1＋x 2＝k ，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，3k 2. 这与M 在直线y ＝－x 上矛盾．所以假设不成立，故不存在非零实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称．。