2012年石家庄市高中毕业班二模理科数学试卷及答案

石家庄市2011-2012学年度第二学期期末考试高二数学（理科答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分） 1-5 CBCDC 6-10 CBACC 11-12 DB 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13. 710 14. 2164 15. 213t三、解答题 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）解法一：因为如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式的的中间一项12+n T 的二项式的系数最大，……………3分所以512=+n, 8=∴n .……………5分解法二：二项式n x )1(-的第5项的二项式系数为4n C ，由题意可得不等式4543,.n n n n C C C C ⎧>⎪⎨>⎪⎩…………3分 解得97<<n ，*N n ∈,8=∴n .……………5分 （Ⅱ）当1=x 时，08210=++++a a a a ， -----①当1-=x 时，2562883210==++-+-a a a a a -----② 由①②可得1288420=++++a a a a ,………………9分 当0=x 时，10=a1278642=+++∴a a a a .………………12分 18.（本小题满分12分） 解：------6分（Ⅱ）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ , ∴99.5％的把握认为是否会俄语与性别有关.----------------12分 19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）若1a =,32()3f x x x x =--，(1)3f =-,……………3分 2()323f x x x '=--,(1)2f '=-,所以曲线()f x 在点(1,(1)f )处的切线方程为2+10x y +=.………………6分 （Ⅱ）解：因为()f x 在区间[1,)+∞上是增函数， 2()3230f x x ax '=--≥在[)+∞,1上恒成立，即xx a 2323-≤ 在[)+∞,1上恒成立．………………8分令xx x h 2323)(-=,02323)(2>+='x x h ,所以()h x 在[)+∞,1上是增函数；………………10分 所以0)1(=≤h a .………………12分 20. （本小题满分12分） （Ⅰ）解：由直方图可得140003.0200065.020025.020=⨯+⨯+⨯+⨯x解得0125.0=x ， …………3分学生上学不少于40分钟的百分比为： 25.040003.0200065.0=⨯+⨯=25%，该校学生申请在校住宿的百分比估计为25%. …………6分 （Ⅱ）X 可能取得值为0,1,2,3,4.由直方图可知每一个学生的时间少于20分钟的概率为41，)4,3,2,1,0()43()41()(44===-k C k x P kk k --------8分分812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1414EX =⨯=）所以X 的均值为1.……………12分 21．（本小题满分12分）此题第三问应为（Ⅲ）证明不等式：nn 131211)1ln(++++<+ *()N n ∈.因印刷厂的印刷问题给老师和学生造成了一定的困扰，敬请谅解！ 解：（Ⅰ）()ln(1)1f x x '=++，当11x e>-时，()0f x '>;当111-<<-ex 时，()0f x '<.)(x f ∴的单调递增区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,11e ,单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛--11,1e ……………3分（Ⅱ）)]1ln(x [2)1ln(22)(x x x x g +-=+-= ，则xx x x g +=+-='12)111(2)(, 当0x >时，()0g x '>; 当10x -<<时，()0g x '<.所以函数)(g x 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数.…………5分 则函数)(g x 的最小值为0)0(g = ,所以，要使方程a x =)(g 有解，则0≥a ，即a 的最小值为0 .……………7分(Ⅲ)由（Ⅱ）可知： 0)]1ln(x [2)(g ≥+-=x x 在),1(∞+-上恒成立所以 x x ≤+)1ln(，当且仅当x=0时等号成立.令)(1x *N n n ∈=，则)1,0(∈x 代入上面不等式得：n n 1)11ln(<+, 即n n n 11ln <+， 即 nn n 1ln )1ln(<-+,…………10分 所以，11ln 2ln <-，212ln 3ln <-，313ln 4ln <-，…，nn n 1ln )1ln(<-+将以上n 个等式相加即可得到：nn 131211)1ln(++++<+ . ………………………………12分22. （本小题满分10分） 解：连结BD, 又因AB 为⊙O 的直径，所以 90=∠ADB ，……………3分30CD ACB =∠=︒,在BCD ∆中，2BC =,又AB BC =，所以2=AB .…………5分 连结0D,1OD OB ∴==，30=∠ACB ，DE BC ⊥,在DEC ∆中,2DE =.……………8分 OD OA = ， 30=∠∴ADO ，可知 90=∠∴ODE ，27143=+=∴OE ……………10分 23. （本小题满分10分） 解：（Ⅰ）设点P 、Q 的极坐标分别为(ρ0，θ)、(ρ，θ)，则)sin (cos 2)sin (cos 421210θθθθρρ+=+⋅==，点Q 轨迹C 2的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)，…………2分两边同乘以ρ，得)sin cos (22θρθρρ+=，C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2．………5分 （Ⅱ）将l 的方程代入曲线C 2的直角坐标方程，得(t cos φ＋1)2＋(t sin φ－1)2＝2，即t 2＋2(cos φ－sin φ)t ＝0， t 1＝0，t 2＝2sin φ－2cos φ，……………8分由直线l 与曲线C 2有且只有一个公共点，得sin φ－cos φ＝0，因为0≤φ＜π，所以φ＝ π4． ………………10分 24. （本小题满分10分） 解：（Ⅰ）1a =时，.314)(++-=ax x x f ，当41≥x 时，7)(≤x f ，解得141≤≤x ； 当41<x 时，7)(≤x f ，解得114x -≤<.………………3分综上可得，原不等式的解集为{}11x x -≤≤ (5)A OBE DC（Ⅱ）1(4)2,()4()4131(4)4,()4a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩……………7分函数()f x 有最小值的充要条件为⎩⎨⎧≤-≥+0404a a 即44≤≤-a ……………………10分。

2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)理科综合能力测试二、选择题：本大题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．极光是由来自宇宙空间的高能带电粒子进入地级附近的大气层后，由于地磁场的作用而产生的。

如图所示，科学家发现并证实，这些高能带电粒子流向两极做螺旋运动，旋转半径不断减小。

此运动形成的原因可能是( )．A．洛伦兹力对粒子做负功，使其动能减小B．介质阻力对粒子做负功，使其动能减小C．粒子的带电量减少D．南北两极的磁感应强度较强15．如图甲所示理想变压器的原线圈的匝数n1与副线圈的匝数n2之比为10：1。

原线圈接如图乙所示的正弦交流电，两个阻值均为11 的定值电阻串联接在副线圈两端(电压表均为理想电表)，则( )A．通过两电阻的交流电频率为5HzB．当t=1×10-2s时，电压表V1示数为零C．当t=1．5×10-2s时，电压表V2示数为11VD．原线圈的输人功率为44W16．如图所示是某同学站在力板传感器上做下蹲一起立的动作时记录的压力F随时间t变化的图线。

由图线可知该同学( )A．体重约为650NB．做了两次下蹲-起立的动作C．做了一次下蹲-起立的动作，且下蹲后约2s起立D．下蹲过程中先处于超重状态后处于失重状态17．某物理兴趣小组利用电脑模拟卫星绕地球做匀速圆周运动的情景，当卫星绕地球运动的轨道半径为R时，线速度为v，周期为T。

下列变换符合物理规律的是( )A．若卫星轨道半径从R变为2R，则卫星运行周期从T变为22TB ．若卫星运行周期从T 变为8T ，则卫星轨道半径从R 变为4RC ．若卫星轨道半径从R 变为2R ，则卫星运行线速度从v 变为21v D ．若卫星运行线速度从v 变为21v ，则卫星运行周期从T 变为2T 18．小明同学发现一只老鼠在地球仪表面缓慢爬行，他把老鼠看作质点，在竖直面内抽象出如图所示模型：ON 水平，OM 竖直。

sin B 0 sin A cos A A (0, ) A
(Ⅱ) 又
4
…………………….(6 分) ………………….(8 分)
1 2 2 1 S ABC bc sin A bc bc 2 2 2 4 2
2
a 2 b 2 c 2 2bc cos A 2 (b c ) 2 (2 2)bc
15 1024
90 1024
270 1024
405 1024
243 1024
........................................8 分
19.（Ⅰ）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴CD⊥BC. ∵平面 PBC⊥平面 ABCD，平面 PBC∩平面 ABCD=BC，CD 平面 ABCD， ∴CD⊥平面 PBC， ┈┈┈┈┈2 分 ∴CD⊥PB. ┈┈┈┈3 分 ∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD 平面 PCD，∴PB⊥平面 PCD. ┈┈┈┈4 分 ∵PB 平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PCD. ┈┈┈┈┈5 分 （2）设 BC 中点为 O ,连接 PO , OE ，
a P 0,0,1 , E 1, ,0 , A 1, a,0 , B 1,0,0 , 2 可得 a a PE 1, , 1 , EA 2, ,0 , 2 由题得 PE EA 0 ，解得 a 2 2 . ┈┈ 7 分 2 所以 BA 0,2 2,0 , PA 1,2 2, 1 , EA 2, 2,0 , 所以 n PA 0 x 2 2 y z 0 n BA 0 n ( x , y , z ) 2 2 y 0 设 是平面 PAB 的法向量，则 ，即 ， 可取 n (1,0, 1) . ┈┈┈┈┈9 分 m PA 0 x 2 2 y z 0 m EA 0 m ( x , y , z ) 2 x 2 y 0 设 是平面 PAE 的法向量，则 ，即 ，

2012河北石家庄二模文数一、选择题（2012河北石家庄二模文1）已知集合{}5,6,7M =，{}5,7,8N =，则（ ） A ．M N ⊆ B ．M N ⊇C ．{}5,7M N ⋂=D ．{}6,7,8M N ⋃= 【答案】C 【解析】{}{}5,6,7,5,7,8M N ==，{}5,7M N ∴⋂=，故选C ．（2012河北石家庄二模文2）复数3iz i=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B 【解析】(3i)31133(3i)(3i)101010i i i z i i +-====-+--+，故选B ． （2012河北石家庄二模文3）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出，则[](2)f g 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A 【解析】由题意得(2)2g =，所以[](2)(2)1f g f ==，故选A ．（2012河北石家庄二模文4）x ，y 若满足约束条件0400x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则3z x y =-（ ）A ．最小值8-，最大值0B ．最小值4-，最大值0C ．有最小值4-，无最大值D ．有最大值4-，无最小值 【答案】C 【解析】满足约束条件0400x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩的可行域如图所示，作出直线30x y -=，对该直线进行平移，可以发现经过点()0,4A 时，z 取得最小值4-，随着直线30x y -=向上平移，z →+∞，没有最大值，故选C ．（2012河北石家庄二模文5）1tan151tan15-︒+︒的值为（ ）A ．1 BC．2D【答案】B 【解析】1tan15tan 45tan15tan 301tan151tan 45tan15-︒︒-︒==︒=+︒+︒︒B ． （2012河北石家庄二模文6）已知向量()1,2a =，()2,3b =，则4λ<-是向量m a b λ=+与向量()3,1n =-夹角为钝角的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 【答案】A 【解析】()()()()1,22,32,23,3,1m n λλλ=+=++=-，36230m n λλ∴⋅=+--<，解得：3λ<-．3λ<-推不出4λ<-，是充分条件，反之，4λ<-推出3λ<-，不是必要条件，故选A ．（2012河北石家庄二模文7）—个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形加上一个正方形，其对应的几何体的上部分可能是正四棱锥，下部分有可能是圆柱，则其俯视图可能是：，故选B ．（2012河北石家庄二模文8）程序框图如下图，若5n =，则输出的s 值为（ ）A ．30B ．50C ．62D ．66 【答案】C 【解析】第一次循环后2s =，2i =，第二次循环后6s =，3i =，第三次循环后14s =，4i =，第四次循环后30s =，5i =，第五循环后62s =，6i =，由题意此时输出，故5n =，故选C ．（2012河北石家庄二模文9）从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程ˆˆ0.56yx a =+，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为（ ）A ．70.09B ．70.12C ．70.55D ．71.05 【答案】B 【解析】 由表中数据可得：1601651701751806366707274170,6955x y ++++++++====．(),x y 一定在回归直线方程ˆˆ0.56yx a =+上，故ˆ690.56170a =⨯+，解得ˆ26.2a =-．故ˆ0.5626.2yx =-，当172x =时，ˆ0.5617226.270.12y =⨯-=，故选B ． （2012河北石家庄二模文10）已知拋物线28y x =的焦点为F ，点M 在该拋物线上，且在x 轴上方，直线的倾斜角为6︒，则FM =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 【答案】C 【解析】由抛物线28y x =，可得焦点()2,0，由直线FM 的倾斜角为60︒，所以直线FM的斜率为tan 60︒=FM的方程为1)y x =-，连立22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，化为2320120x x -+=，解得23x =或6x =，因为点M 在x 轴上方，所以取6x =，所以628FM =+=，故选C ．（2012河北石家庄二模文11）已知a 是实数，则函数()cos 1f x a ax =-的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为2T aπ=，1a >，2T n ∴<，显然B 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2n ，故选B ．（2012河北石家庄二模文12）已知函数2,0()2,0x f x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则满足不等式2(3)(2)f x f x -<的x 的取值范围为（ ）A ．(3,-B ．()3,1-C ．[)3,0-D ．()3,0- 【答案】D 【解析】 当22030x x ≥⎧⎨-<⎩时，应满足2232x >-+，此时不等式无解；当22030x x <⎧⎨-≥⎩时，应满足222x <-+，解得0x ≤<；当22030x x <⎧⎨-<⎩时，应满足232x x ->，解得3x -<<x 的范围为()3,0-，故选D ．二、填空题（2012河北石家庄二模文13）双曲线221169x y -=的离心率为_________．【答案】54【解析】22222516,9,25,4c a b c a b e a ==∴=+=∴==．（2012河北石家庄二模文14）在ABC ∆中，6B π∠=，1AC =，AB =BC 的长度为________．【答案】1或2 【解析】因为在ABC ∆中，6B π∠=，1AC =，AB =sin sin6C π==，所以3C π=或23C π=，当3C π=时，三角形是直角三角形，所以2BC =；当23C π=时，三角形是等腰三角形，所以1BC =． （2012河北石家庄二模文15）在区间[]1,3上随机选取一个数x ，x e （e 为自然对数的底数）的值介于e 到2e 之间的概率为________． 【答案】12【解析】[]1,3x ∈，数x 的可能取值为2，满足x e 在e 和2e 之间的x 的取值长度为1，故所求事件的概率为12． （2012河北石家庄二模文16）已知长方体1111ABCD A BC D -的外接球的体积为36π，则该长方体的表面积的最大值为________ 【答案】72【解析】设长方体1111ABCD A BC D -的长宽高分别为,,x y z ，因为外接球的直径就是长方体对角线，且外接球的体积为36π，3436,33R R ππ∴=∴=，所以长方体1111ABCD A BC D -的外接球的直径为6，则有22236x y z ++=，则长方体1111ABCD A BC D -的表面积22222222272S xy yz xz x y z x y z =++≤+++++=，则长方体的表面积的最大值为72． 三、解答题（2012河北石家庄二模文17）已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，12a =，123,2,3S S S 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n n b a -是首项为6-，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和．【解析】（Ⅰ）由已知21343S S S =+，211114()3(1)a a q a a q q +=+++，230q q -=，0q ∴=（舍）或13q =，112()3n n a -∴=⋅．（Ⅱ）由题意得：28n n b a n -=-，11282()283n n n b a n n -=+-=⋅+-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ．21121()(628)137()312313n n n n n T n n -⎡⎤-⎢⎥-+-⎣⎦=+=--+-．（2012河北石家庄二模文18）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A为矩形，11,AB AA ==D 为1AA 中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A ．（Ⅰ）证明：1BC AB ⊥；（Ⅱ）若OC CA =，求二面角1B ABC -的体积． 【解析】（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA中点，11,2AB AA AD ===所以在直角三角形1ABB中，11tan 2AB AB B BB ∠==， 在直角三角形ABD中，1tan AD ABD AB ∠==， 所以1AB B ABD ∠=∠，又11190,90BAB AB B BAB ABD ∠+∠=︒∠+∠=︒，所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=︒，即1BD AB ⊥，又因为CO ⊥侧面11ABB A ，1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1CO AB ⊥． 所以1AB ⊥面BCD ，BC ⊂面BCD ，故1BC AB ⊥．（Ⅱ）在Rt ABD ∆中，可求得123AD AB BD OC OA BD ⨯=====．11122ABB S AB BB ∆=⋅=，11111332318B ABC C ABB ABB V V S OC --∆==⋅=⋅⋅=． （2012河北石家庄二模文19）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t ），制作了频率分布直方图．（Ⅰ）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；（Ⅱ）用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；（Ⅲ）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表）． 【解析】 （Ⅰ）（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨．样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨．（Ⅲ）这100位居民的月均用水量的平均数为：1357911130.5(0.100.200.300.400.600.300.1) 1.8754444444⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2012河北石家庄二模文20）已知点P ⎛ ⎝⎭在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，且该椭圆的离心率为12． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过椭圆E 上一点()0,3P x 作圆22(1)1x y +-=的两条切线，分别交x 轴于点B ，C ，求PBC ∆的面积． 【解析】（Ⅰ）依题意得：222221245141c e a a b c a b ⎧⎪==⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩，解之得4,2,a c b ===∴椭圆E 的方程为2211612x y +=． （Ⅱ）把()0,3P x 代入2211612x y +=，求得02x =±，不妨取02x =， 易知过椭圆E 上一点()0,3P x 作圆22(1)1x y +-=的两条切线的斜率存在，设为k ，则切线的方程为：3(2)y k x -=-，1=，化简得23830k k -+=，则124433k k +==，∴切线的方程为：32)y x -=-， 令0y =，得22B C x x =-=-∴132PBC S ∆=⋅= （2012河北石家庄二模文21）已知函数2()()x f x x ax a e =-+（2a <，e 为自然对数的底数）（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若存在[]2,2x ∈-，使得22()3f x a e ≥，求实数a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当1a =时，2()(1)x f x x x e =-+，切点为()1,e ， 于是有2()()x f x x x e '=+，(1)2k f e '==， ∴切线方程为2y ex e =-． （Ⅱ）()(2)xf x x x a e '=-+，令()0f x '=，得20x a =-<或0x =， （1）当220a -≤-<，即02a ≤<时，∴，当02a ≤<时，有(2)(2)f f a ≥-，若存在[]2,2x ∈-使得22()3f x a e ≥，只须222(4)3e a a e -≥，解得413a -≤≤，∴01a ≤≤． （2）当22a -<-，即0a <时，∴(2)(43),(2)(4)f e a f e a -=+=-，∵22(43)(4)e a e a -+<-，∴(2)(2)f f >-，若存在[]2,2x ∈-使得22()3f x a e ≥，只须222(4)3e a a e -≥，解得413a -≤≤，∴403a -≤<．综上所述413a -≤≤．（2012河北石家庄二模文22A ）已知四边形ACBE ，AB 交CE于D 点，BCE ACE ∠=∠，BCE ACE ∠=∠．（Ⅰ）求证：EBD ACD ∆~∆；（Ⅱ）求证：,,,A E B C 四点共圆．【解析】（Ⅰ）依题意，,11DEBEBE EC =∠=∠，所以DEB BEC ∆~∆，得34∠=∠，因为45∠=∠，所以35∠=∠，又26∠=∠，可得EBD ACD ∆~∆．（Ⅱ）因为EBD ACD ∆~∆，所以ED BDAD CD =，即EDABD CD =，又,ADE CDB ADE CDB ∠=∠∆~∆，所以48∠=∠，因为123180∠+∠+∠=︒，因为278∠=∠+∠，即274∠=∠+∠，由（Ⅰ）知35∠=∠，所以1745180∠+∠+∠+∠=︒，即180ACB AEB ∠+∠=︒．所以,,,A E B C 四点共圆．（2012河北石家庄二模文22B ）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系．曲线1C 的参数方程为：cos sin x a y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；射线2C 的极坐标方程为：4πθ=，且射线2C 与曲线1C 的交点的横坐标为（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程；（Ⅱ）设,A B 为曲线1C 与y 轴的两个交点，M 为曲线1C 上不同于,A B 的任意一点，若直线AM 与MB 分别与x 轴交于,P Q 两点，求证OP OQ ⋅为定值．【解析】（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为2221x y a+=，射线2C 的直角坐标方程为(0)y x x =≥，可知它们的交点为⎝⎭，代入曲线1C 的普通方程可求得22a =． 所以曲线1C 的普通方程为2212x y +=． （Ⅱ）OP OQ ⋅为定值．由（Ⅰ）可知曲线1C 为椭圆，不妨设A 为椭圆1C 的上顶点，设)()(),sin ,,0,,0P Q M P x Q x ϕϕ， 因为直线AM 与MB 分别与x 轴交于,P Q 两点，所以,AM AP BM BQ K K K K ==．由斜率公式并计算得：P Q x x ==， 所以2P Q OP OQ x x ⋅=⋅=．可得OP OQ ⋅为定值．（2012河北石家庄二模文22C ）设函数()361y f x x ==++．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象；（Ⅱ）若不等式，()f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由于37,2()35,2x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，则函数的图象如图所示：（图略）．（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知， 当且仅当132a -≤≤时，函数y ax =的图象与函数()y f x =图象没有交点， 所以不等式()f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围为1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。