(完整版)2019上海高中数学二模基础题汇编,推荐文档

2019二模汇编-函数一、 填空题.1.（崇明3）设函数)0()(2>=x x x f 的反函数为)(1x fy -=，则=-)4(1f _____________. 【答案】22.（崇明11）已知函数a a xx x f +-+=9)(在区间][91，上的最大值是10，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】](8-，∞3.（奉贤3）设函数2()log y f x x c ==+的图像经过点（2,5），则()y f x =的反函数1()f x -=【答案】R x x ∈-,244.（奉贤9）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞单调递减，当2019x y +=时，恒有()(2019)()f x f f y +>成立，则x 的取值范围是【答案】)0,(-∞【解析】由题意，可以用特殊函数做，比如x x f y -==)(，则可得)2019(2019x y x --=->--，可解得0<x 。

5.（虹口7）若函数()||4f x x x a =--（a ∈R ）有3个零点，则实数a 的取值范围是【答案】),4(+∞【解析】x a x a x x 4||04||=-⇒=--令xx g a x x h 4)(|,|)(=-=根据两函数的图像可知要想要函数)(x f 有3个零点，即)()(x g x h 、有三个交点，如下图找到相切的解即404=⇒=∆⇒=-a xx a 那么想要有三个交点即4>a .6.（虹口8）若函数3()log (91)x f x kx =++（k ∈R ）为偶函数，则k 的值为【答案】1- 【解析】由02229log 21919log )()(33=+=+=+++=---kx x kx kx x f x f x x x 可得1-=k 7.（虹口11）若函数20()(1)(2)0x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩，则(2019)f 的值为【答案】1-【解析】.1)0()3()2019(),()3()6();()1()]()1([)1()2()3(,0-=-==∴=+-=+-=+--+=+-+=+>f f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x8.（金山1）函数()f x 的定义域是 . 【答案】[)4,+∞【解析】404x x -≥⇒≥∴定义域为[)4,+∞9.（闵行3）已知函数()2 f x log x =的反函数为()1fx -，则()12=f -_ ． 【答案】4．【解析】由题意可得2log 2x =，所以4x =． 10.（闵行11）若函数()()24292918x x f x x x x =+-⋅+-+有零点,则其所有零点的集合为_______________．【答案】{}2,1,1,2--．11.（浦东12）已知2()22f x x x b =++，是定义在[]-1,0上的函数，若[]()0f f x ≤，在定义域上恒成立。

上海市虹口区2019届高三数学二模试题（含解析）一. 填空题（本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分）1.设全集,若,则________【答案】【解析】【分析】先化简集合A,再利用补集定义直接求解．【详解】∵全集U＝R,集合A＝{x||x﹣3|＞1}＝{x|x＞4或x＜2）,∴∁U A＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]故答案为：[2,4]【点睛】本题考查补集的求法,考查补集定义、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．2.若复数（为虚数单位）,则的共轭复数________【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i,得．故答案为：1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查共轭复数的基本概念,是基础题．3.已知,在第四象限,则________【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及诱导公式,求得的值．【详解】∵cosθ,且θ是第四象限角,则sinθ,又sinθ=,故答案为．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用,考查了三角函数在各个象限中的符号,属于基础题．4.行列式的元素的代数余子式的值等于________【答案】7【解析】【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【详解】行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1（4cos9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法,考查代数余子式的定义和性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．5.5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________【答案】【解析】【分析】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动},计算出事件A包含的基本事件的个数,除以基本事件的总数可得．【详解】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动},基本事件的总数为25＝32个,而5人都选同一天包含2种基本事件,故A包含32﹣2＝30个基本事件,∴p（A）．故填：．【点睛】本题考查古典概型的概率计算,考查了利用对立事件来求事件A包含的基本事件的方法,属于基础题．6.已知、是椭圆的两个焦点,点为椭圆上的点,,若为线段的中点,则线段的长为________【答案】2【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标,利用椭圆的定义转化求解即可．【详解】F1、F2是椭圆的两个焦点,可得F1（﹣3,0）,F2（3,0）．a＝6．点P为椭圆C上的点,|PF1|＝8,则|PF2|＝4,M为线段PF1的中点,则线段OM的长为：|PF2|＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用,是基本知识的考查．7.若函数（）有3个零点,则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】利用数形结合,通过a与0的大小讨论,转化求解a的范围即可．【详解】函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4有三个不同的零点,就是x|x﹣a|＝4有三个不同的根；当a＞0时,函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4（a∈R）有3个零点,必须,解得a＞4；当a≤0时,函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4不可能有三个不同的零点,综上a∈（4,+∞）．故答案为：（4,+∞）．【点睛】本题考查函数与方程的综合应用,考查数形结合以及分类讨论思想的应用,考查计算能力．8.若函数（）为偶函数,则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意,由函数奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x）,即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k （﹣x）,变形可得k的值,即可得答案．【详解】根据题意,函数（k∈R）为偶函数,则有f（﹣x）＝f（x）,即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x）,变形可得：2kx＝log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）＝﹣2x,则有k＝﹣1；故答案为：﹣1【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用以及对数的运算性质,关键是掌握函数奇偶性的定义,属于基础题．9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,由三视图的数据可分析出底面的底和高及棱锥的高,代入棱锥体积公式,可得答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,如图:由三视图可知：底面的底和高均为2,棱锥的高为2,故底面S2×2故棱锥的体积V Sh2,故答案为．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中由已知中的三视图判断出几何体的形状,及棱长,高等几何量是解答的关键．10.在平面直角坐标系中,边长为1的正六边形的中心为坐标原点,如图所示,双曲线是以、为焦点的,且经过正六边形的顶点、、、,则双曲线的方程为________【答案】【解析】【分析】求出B的坐标,代入双曲线方程,结合焦距,求出a,b即可得到双曲线方程．【详解】由题意可得c＝1,边长为1的正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O,如图所示,双曲线Γ是以C、F为焦点的,且经过正六边形的顶点A、B、D、E,可得B（,）,代入双曲线方程可得：,a2+b2＝1,解得a2,b2,所求双曲线的方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法,是基本知识的考查．11.若函数,则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意,由函数的解析式求出f（0）与f（﹣1）的值,据此依次求出f（1）、f（2）、f（3）的值,分析可得f（x）＝f（x+6）,（x>0）,据此可得f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）,即可得答案．【详解】根据题意,函数,当x≤0时,f（x）＝2﹣x,则f（0）＝20＝1,f（﹣1）＝2﹣1＝2,当x＞0时,f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2）,①f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1）,②①+②得f（x+1）＝﹣f（x﹣2）,∴f（x+4）＝﹣f（x+1）= f（x﹣2）,即f（x+6）＝f（x）,,又f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）而f（1）＝f（0）﹣f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1,f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1﹣1＝﹣2,f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1,∴f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）＝﹣1；故答案为：﹣1．【点睛】本题考查分段函数值的计算,考查了周期性的推导与应用,属于中档题．12.过点作圆（）的切线,切点分别为、,则的最小值为________【答案】【解析】【分析】根据圆心到点P的距离以及平面向量的数量积定义,求出PC的最小值,计算再计算的最小值．【详解】圆C：（x m）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m,m﹣1）,半径为1,∴PC,PA＝PB,cos∠APC,∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1,∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2,当且仅当PC时取等号,∴的最小值为23．故答案为：23．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义及基本不等式求最值问题,考查了直线与圆的位置关系应用问题,是中档题．二. 选择题（本大题共4题,每题5分,共20分）13.已知、是两个不同平面,为内的一条直线,则“∥”是“∥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】m∥β不一定得到直线与平面平行,由此可判断不充分,由面面平行的定义及性质可判断必要性.【详解】α、β表示两个不同的平面,直线m⊂α,m∥β,不一定得到直线与平面平行,还有一种情况可能是直线和平面相交, ∴不满足充分性；当两个平面平行时,由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面,一定存在m∥β,∴满足必要性,∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用,解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理,是一个基础题．14.钝角三角形的面积是,,,则等于（）A. 1B. 2C.D. 5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式求得角B,再由余弦定理求得AC的值．【详解】由题意,钝角△ABC的面积是S•AB•BC•sin B1sin B sin B,∴sin B,∴B或（不合题意,舍去）；∴cos B,由余弦定理得：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cos B＝1+2﹣2×1（）＝5,解得AC的值为．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题,是基础题．15.已知直线经过不等式组表示的平面区域,且与圆相交于、两点,则当最小时,直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的区域,过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A、B两点,则|AB|的最小值时,区域内的点到原点（0,0）的距离最大．由此可得结论．【详解】不等式组表示的区域如图阴影部分,其中AB的中点为P,则AP⊥OP,所以|OP|最长时,AB最小,因为最小l经过可行域,由图形可知点P为直线x﹣2y+1＝0与y﹣2＝0的交点（3,2）时,|OP|最长,因为k OP,则直线l的方程为：y﹣2（x﹣4）,即．故选：D．【点睛】本题考查线性规划知识,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是|AB|的最小值时,区域内的点到原点（0,0）的距离最大．16.已知等比数列的首项为2,公比为,其前项和记为,若对任意的,均有恒成立,则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】S n•,①n为奇数时,S n•,根据单调性可得：S n≤2；②n为偶数时,S n•,根据单调性可得：≤S n．可得S n的最大值与最小值分别为：2,．考虑到函数y＝3t在（0,+∞）上单调递增,即可得出．【详解】S n•,①n为奇数时,S n•,可知：S n单调递减,且•,∴S n≤S1＝2；②n为偶数时,S n•,可知：S n单调递增,且•,∴S2≤S n．∴S n的最大值与最小值分别为：2,．考虑到函数y＝3t在（0,+∞）上单调递增,∴A．B．∴B﹣A的最小值．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题,考查了恒成立问题的转化,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三. 解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分）17.已知函数（,）.（1）若函数的反函数是其本身,求的值；（2）当时,求函数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式．（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值．【详解】（1）由题意知函数f（x）的反函数是其本身,所以f（x）的反函数a y＝9﹣3x,x＝,反函数为y＝,所以a＝3．（2）当时,f（x）＝,f（﹣x）＝,则y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣3,故最小值为﹣3．【点睛】本题考查了反函数和基本不等式的应用,属于简单题．18.如图,在多面体中,、、均垂直于平面,,,,.（1）求与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系．（1）由已知分别求出的坐标与平面A1B1C1的一个法向量,则线面角可求；（2）求出平面AA1B1的一个法向量,结合（1）,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1B1﹣C1的大小．【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系,∵AA1＝4,CC1＝3,BB1＝AB＝AC＝2,∠BAC＝120°,∴A（0,0,0）,A1（0,0,4）,B1（,﹣1,2）,C1（0,2,3）．（1）,,,设平面A1B1C1的一个法向量为,由,取y＝1,得．∴AB1与A1B1C1所成角的最小值sinθ＝|cos|．∴AB1与A1B1C1所成角的大小为；（2）设平面AA1B1的一个法向量为,由,取x1＝1,得．∴cos．∴二面角A﹣A1B1﹣C1的大小为．【点睛】本题考查利用空间向量法求解空间角,考查计算能力,是中档题．19.如图,一块长方形区域,,,在边的中点处有一个可转动的探照灯,其照射角始终为,设,探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）求关于的函数关系式；（2）当时,求的最大值.【答案】（1）S（2）【解析】【分析】（1）根据条件讨论α的范围,结合三角形的面积公式进行求解即可．（2）利用两角和差的三角公式进行化简,结合基本不等式的性质进行转化求解即可．【详解】（1）,则OA＝1,即AE＝tanα,∠HOFα,HF＝tan（α）,则△AOE,△HOF得面积分别为tanα,tan（α）, 则阴影部分的面积S＝1,,当∈[,）时,E在BH上,F在线段CH上,如图②,EH,FH,则EF,则S（）,即,；同理当,；即S．（2）当时,S＝12（1+tanα）∵0≤tanα≤1,即1≤1+tanα≤2,则1+tanα22,当且仅当1+tanα,即1+tanα时取等号,即,即S的最大值为2【点睛】本题主要考查函数的应用问题,结合三角形的面积公式以及两角和差的正切公式以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键,考查学生的运算能力,属于中档题．20.设为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于、两点.（1）若,求此时直线的方程；（2）若与直线垂直的直线过点,且与抛物线相交于点、,设线段、的中点分别为、,如图,求证：直线过定点；（3）设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、,若△的面积是△的面积的两倍,如图,求线段中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标,由直线方程的点斜式写出直线l的方程,和抛物线方程联立后利用2得直线方程．（2由（1）得点P,又直线与直线垂直,将m换为,同理可得Q（,﹣）．由此可求直线PQ的方程,可得结论；（3）利用△的面积是△的面积的两倍,求出N的坐标,再利用直线的斜率公式及点差法求TS中点的轨迹方程．【详解】（1）抛物线焦点坐标为F（1,0）,设直线方程为x＝my+1,设点A（x1,y1）,B（x2,y2）,联立,得：y2﹣4my﹣4＝0,则由韦达定理有：y1+y2＝4m,①,y1y2＝﹣4,②∵2,∴1﹣x1＝2（x2﹣1）,﹣y1＝2y2,③,由①②③可得m2,∴,∴直线方程为x＝y+1,即．（2）由（1）得点P,又直线与直线垂直,将m换为,同理可得Q（,﹣）．m时,直线PQ的斜率k PQ,直线PQ的方程为：y-2m（x﹣1﹣2）,整理为m（x﹣3）﹣（m2﹣1）y＝0,于是直线PQ恒过定点E（3,0）,m＝±1时,直线PQ的方程为：x＝3,也经过点E（3,0）．综上所述：直线PQ恒过定点E（3,0）．（3）设S（x1,y1）,T（x2,y2）,F（1,0）,准线为x＝﹣1,2||＝|y1﹣y2|,设直线TS与x轴交点为N,∴S△TSF|FN||y1﹣y2|,∵的面积是△TSF的面积的两倍,∴|FN|＝,∴|FN|=1,∴x N＝2,即N（2,0）．设TS中点为M（x,y）,由得﹣＝4（x1﹣x2）,又,∴,即y2＝2x﹣4．∴TS中点轨迹方程为y2＝2x﹣4．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用,考查轨迹方程的求解,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了推理能力与计算能力,是中档题．21.设各项均为正数的数列的前项和为,且,（,）,数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设,是的前项和,求正整数,使得对任意的,均有；（3）设,且,其中（,）,求集合中所有元素的和.【答案】（1）,；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①a1＝1,a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*,n≥2）,S n+1+S n,相减可得：a n+1+a n,化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得a n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时,b1b2•…b n﹣1,相除可得b n．（2）c n,利用求和公式与裂项求和方法可得：T n．作差T n+1﹣T n,利用其单调性即可得出．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n,且x＞0,其中k1,k2,…,k n∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,①要使x＞0,则必须k n＝1．其它k1,k2,…,k n﹣1∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,可任取1,﹣1．通过放缩及其求和公式即可证明．另外k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＞0．②其它k1,k2,…,k n﹣1∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,可任取1,﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数,利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．利用反证法证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等,再分析求解所有元素的和．【详解】（1）①a1＝1,a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*,n≥2）,∴S n+1+S n,相减可得：a n+1+a n,化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0,∵a n+1+a n＞0,∴a n+1﹣a n＝1,又S2+S1,可得a2﹣2＝0,a2＞0,解得：a2＝2,∴a2﹣a1＝1,∴数列{a n}设等差数列,a n＝1+n﹣1＝n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时,b1b2•…b n﹣1,∴．（2）c n,∴T n（1）．T n+1﹣T n（）．n≤3时,T n+1≥T n．n≥4时,T n+1≤T n．当m＝4时,使得对任意的n∈N*,均有T m≥T n．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n,且x＞0,其中k1,k2,…,k n∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,①要使x＞0,则必须k n＝1．其它k1,k2,…,k n﹣1∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,可任取1,﹣1．证明：若k n＝﹣1,则x＝k1•2+k2•22+…+k n﹣1•2n﹣1﹣k n•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n ＝﹣2＜0,此时x恒为负数,不成立．∴k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0,故k1,k2,…,k n﹣1∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,可任取1,﹣1．②其它k1,k2,…,k n﹣1∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,可任取1,﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．证明：k1,k2,…,k n﹣1∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等,具体如下：证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数,x1＝2n+k n﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．k i,∈{﹣1,1}（i∈N*,n﹣1≥i≥2）,即满足k i∈{﹣1,1}（i∈N*,n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2,而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．因此,假设不成立,即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含k n b n＝2n）．又k i＝1或﹣1（i＝1,2,……,n﹣1）等可能出现,因此所有k i b i（i＝1,2,……,n﹣1）部分的和为0．故集合B中所有元素的和为所有k n b n＝2n的和,即2n•2n﹣1＝22n﹣1．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数学归纳法、方程与不等式的解法、反证法,考查了推理能力与计算能力,属于难题．。

2019二模汇编-立体几何1.（宝山区2019年二模7）将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是____________【答案】13123π【解析】根据体积不变，得大铅球半径为3331239r r R πππ+==，则表面积1234123S R ππ==2.（崇明区2019年二模8）已知圆锥的体积为π33，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的侧面积为_________. 【答案】π2【解析】设底面半径为r ，则根据母线与底面所成角为3π，可知圆锥的高为r 3，母线长为r2；由体积公式ππ333312==r r S 得1=r ；所以侧面积ππ22122121=⋅⋅⋅==lr S3.（虹口区2019年二模9）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】34 【解析】由三视图可知，三棱锥高为2,底面为底边长为2的等腰三角形，底边上的高为2，从而可求体积，342212231=⨯⨯⨯⨯=V .4.（黄浦区2019年高三二模5）若球主视图的面积为9π，则该球的体积等于 【答案】π36【解析】293r r ππ=⇒=，34363V r ππ==5.（嘉定区2019年高三二模5）若球主视图的面积为9π，则该球的体积等于 【答案】π36【解析】293r r ππ=⇒=，34363V r ππ==6.（松江区2019年高三二模10）在正方体1111ABCD A B C D 的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为【答案】255． 【解析】如图，将正方体12条棱分成3组，记为A 、B 、C ，在A 组找一条直线，可以在B 、C 组找到两组与A 组直线异面的，A 组直线有4条，顾基本事件有8种，样本容量为312C ，所以，本题概率为3128C =255． 7.（普陀区2019年高三二模6）若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为______. 【参考答案】π3【解析】由题意，圆柱体是放倒的，左视图宽为2，设左视图的长为h ，则326=÷=h ，故体积ππ32===h r sh V8.（普陀区2019年高三二模11）《九章算术》中称四个角均为直角三角形的四面体为鳖臑。

1 二模真题汇编-三角比与三角函数一、填空题1、（金山区2019年二模2题）函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是 .【答案】π【解析】()2sin cos 12sin cos 1sin 2y x x x x x =+=+=+则22T ππ== 2、（宝山区2019年二模9题）如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧AB 上异于,A B 的点，且PQ OB ⊥交OB 于点Q ，当POQ ∆时，POQ ∠的大小范围为_________【答案】,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】()111sin 11cos sin sin 2224S OP OQ θθθθ===>,63ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭3、（崇明区2019年二模2题）函数sin cos y x x =的最小正周期=T _______________.【答案】π2 【解析】x x x y 2sin 21cos sin ==，则ππωπ===222T4、（徐汇区2019年二模5题）函数cos2sin ()cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为【答案】【解析】23)(34,3)32(2,0),32sin()(cos sin 2cos 23)(min -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=+=x f x x x x f x x x x f πππππ5、（杨浦区2019年二模1题）函数2()12sin f x x =-的最小正周期是 【答案】π【解析】()212sin cos2f x x x =-=22T ππ⇒==．6、（杨浦区2019年二模7题）函数arcsin 211xx y =-的值域是【答案】14[,]22ππ-+【解析】由题意()arcsin 211x y x x =+-≤≤，在[]1,1-上单调递增，当1x =-时，12y π-=，当1x =时，42y π+=，故该函数的值域是14,22ππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦3 7、（杨浦区2019年二模11题） 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的 最小值为【答案】45【解析】0GA GB ⋅=90AGB ⇒∠=︒，如图，CD 为AB 边上中线，设GD k =，则AD BD k ==，3CD k =，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据平行四边形的性质（四条边的平方和等于两条对角线的平方和），可得()()222222CA CB AB CD +=+，即()222221436202a b k k k +=+=， 所以222220ab a b k ≤+=， 在ABC ∆中由余弦定理得2222222044cos 2205a b c k k C ab k +--==≥，所以()min 4cos 5C =．8、（闵行区2019年二模6题）在ABC D 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积()22213S a c b =+-，则 tanB = ． 【答案】43． 【解析】1sinB 2S ac =，222cos 2a b c B ab +-=，sin tan cos B B B =由上述三个公式可得4tan 3B =．4 9、（闵行区2019年二模9题）若函数()2x sin xcos x x f w w w =的图像关于直线3x p=对称， 则正数w 的最小值为 ． 【答案】14． 【解析】化简可得()sin(2)3f x x p w =+3x p =对称，所以3x p=的时候，()f x 取得最值，所以2sin 133p w 骣???琪桫，即2332k p p w p +=+（k Z ∈），所以1342k w =+（k Z ∈），即最小的正数w 为14． 10、（浦东新区2019年二模6题）已知函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>是偶函数，则ϕ的最小值是______.【答案】4π【解析】()()0sin 21,=024k f k Z ππϕϕ==±+∈>得,min 4πϕ∴=11、（青浦区2019年二模7题）函数|sin arcsin |y x x =+的最大值为________ 【答案】sin12π+【解析】|sin arcsin |y x x =+在[]1,1-上为偶函数，且在[]0,1上为单调递增，所以最大值为sin12π+ 二、选择题1.（长宁、嘉定区2019年二模16题）对于ABC ∆,若存在111C B A ∆，满足1cos cos sin cos sin cos 111===C C B B A A ，则称ABC ∆为类三角形”“V .类三角形”“V 一定满足 （ ）5 【A 】有一个内角为︒30 【B 】有一个内角为︒45 【C 】有一个内角为︒60 【D 】有一个内角为︒75 【答案】B【解析】由题意可得等腰三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,均为锐角，且1,11sin cos sin cos ,sin cos C C B B A A ===，απα2,-===A C B 则设，由于111C B A ∆中，111,,C B A 不会全是锐角，否则，有2,2,2111πππ=+=+=+C C B B A A ，与三角形内角和矛盾，所以111,,C B A 必有一个钝角，只能是顶角1A 为钝角，11B C 和为锐角.所以απαπ-2-211==C B ，，所以α21=A ，再根据1sin cos A A =,可得ααπ2sin )2cos(=-，即02cos 2sin =+αα，432πα=，顶角为4π.2.（普陀区2019年二模16题）设函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin πx x f ，若对于任意,2,65⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈ππα在区间[]m ,0上总存在唯一确定的β，使得()(),0=+βαf f 则m 的最小值为（ ） A 、6π B 、2π C 、67πD 、π 【参考答案】B【解析】画出()x f 图像，()()βαππαf f ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈23,00,232,65，所以m 的最小值为2π，选B3.（青浦区2019年二模14题）已知△ABC 是斜三角形，则“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）6 【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件 【D 】 既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】A B >可得B 为锐角；充分性：当A 为锐角时，tan y x =在(0,)2π上单调递增，tan tan A B >成立；当A 为钝角时，A B π+<，则B A π<-，tan()tan A B π->；|tan ||tan |A B >成立。