2018年上海高三数学二模分类汇编

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青浦区2018届高三年级第二次学业质量调研测试数学试卷2018。

04（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式|3|2x -<的解集为__________________．2．若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 3．若1sin 3α=,则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．4．已知两个不同向量(1,)OA m =,(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥,则实数m =____________． 5．在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ． 6．若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．7．如图所示,一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________． 8．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________． 9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考,已知这位同 学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512， 这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ． 10．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数 2()2g x x x m =-+。

1（2018金山二模）. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T =3（2018虹口二模）. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=3（2018青浦二模）. 若1sin 3α=，则cos()2πα-= 4（2018黄浦二模）. 已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是4（2018宝山二模）. 函数()2sin 4cos4f x x x =的最小正周期为 5（2018奉贤二模）. 已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 所对的边. 若222b c a +-=，则A ∠=5（2018普陀二模）. 在锐角三角形ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为7（2018静安二模）. 方程cos2x =的解集为 7（2018黄浦二模）. 已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是7（2018徐汇二模）. 函数2(sin cos )1()11x x f x +-=的最小正周期是8（2018浦东二模）. 函数2()cos 2f x x x =，x ∈R 的单调递增区间为 9（2018杨浦二模）. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=，则tan2y 的值为11（2018杨浦二模）. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =. 若B 为钝角，1cos24C =-，则ABC ∆的面积为12（2018虹口二模）. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()n M f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+()|n f x -，则M 的最大值等于12（2018奉贤二模）. 已知函数()5sin(2)f x x θ=-，(0,]2πθ∈，[0,5]x π∈，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ，且1231n n x x x x x -<<<<<，n ∈*N ， 若123218322222n n n x x x x x x π--++++++=，则θ=12（2018金山二模）. 若2018100922sin (2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+=13（2018杨浦二模）. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A.4π B. 2π C. 2π- D. 3π-15（2018静安二模）. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分图像如图所示，则()3f π的值为（ ）A.B.C. D. 015（2018崇明二模）. 将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）A. 12t =，s 的最小值为6πB. 2t =，s 的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为3πD. 2t =，s 的最小值为3π16（2018奉贤二模）. 设a ∈R ，函数()cos cos f x x ax =+，下列三个命题： ① 函数()cos cos f x x ax =+是偶函数；② 存在无数个有理数a ，函数()f x 的最大值为2； ③ 当a 为无理数时，函数()cos cos f x x ax =+是周期函数. 以上命题正确的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 017（2018静安二模）. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间t 的连续函数（即函数图像不间断）. 昆虫密度C 是指每平方米的昆虫数量，已知函数21000(cos(4)2)990,816()2,081624t t C t m t t ππ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪≤<<≤⎩或，这里的t 是从午夜开始的小时数，m 是实常数，(8)m C =.（1）求m 的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻. 17（2018长嘉二模）. 已知函数2()2sin sin(2)6f x x x π=++.（1）求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，若1cos 3B =，()2f A =，求sin C 的值. 18（2018松江二模）.已知函数()cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C的对边，a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.18（2018普陀二模）. 已知函数2()sin cos sin f x x x x =-，x ∈R . （1）若函数()f x 在区间[,]16a π上递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称，且1[,]44x ππ∈-，求点Q 的坐标.18（2018虹口二模）. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值； （2）求ABC ∆面积的最大值.18（2018浦东二模）. 在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.（1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b Ab a BC a b A-=-+-，求角C 的大小； （2）若4sin 5A =，23C π=，c =ABC ∆的面积.18（2018青浦二模）. 已知向量(cos ,1)2x m =-u r，2,cos )22x xn =r ，设函数()1f x m n =⋅+u r r.（1）若[0,]2x π∈，11()10f x =，求x 的值；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c且满足2cos 2b A c ≤-，求()f B的取值范围.18（2018青浦二模）. 如图，某快递小哥从A 地出发，沿小路AB →BC 以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知10BD =公里，45DCB ︒∠=，30CDB ︒∠=，△ABD 是等腰三角形，120ABD ︒∠=.（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD →DC 追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？19（2018奉贤二模）. 某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n 个月从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()cos()f n A wn k θ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[1,12]n ∈，例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0w >，(0,)θπ∈. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：① 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人； ③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. （1）试根据已知信息，求()f n 的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.19（2018崇明二模）. 如图，某公园有三条观光大道AB 、BC 、AC 围成直角三角形，其中直角边200BC m =，斜边400AB m =，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB 、BC 、AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D 、E 、F .（1）若甲乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时 即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离； （2）设CEF θ∠=，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且3DEF π∠=，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离.。

宝山2018届高三二模数学卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1. 设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .2. 设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.4. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 .5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .6. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）8. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则2a ()n n a a a +⋅⋅⋅++=∞→54lim ，则=q .9. 若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数）． 若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .11. 如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .12. 将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S . 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.13. “1sin 2x =”是“6x π=”的 （ ） )(A 充分不必要条件． )(B 必要不充分条件． )(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．14.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 （ ）)(A 160- )(B 160 )(C 150- )(D 15015.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ）)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数 )(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数16. 对于数列12,,,x x L 若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。

2018届上海市高三数学二模分类汇编一、填空题1.集合1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .【答案】{}2【来源】18届宝山二模1【难度】集合、基础题2.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=02x x x A ，{|}B x x Z =∈，则A B ⋂等于 ． 【答案】{}1或{}1=x x 【来源】18届奉贤二模1【难度】集合、基础题3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅I ，则实数a 的范围是【答案】1a ≥【来源】18届虹口二模1【难度】集合、基础题4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ．【答案】2【来源】18届黄浦二模1【难度】集合、基础题5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A Y ，则实数=m _______．【答案】3【来源】18届长嘉二模1【难度】集合、基础题6. 设集合1|,2x M y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1,0)-【来源】18届普陀二模11【难度】集合、中档题7．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .【答案】]3,1[-【来源】18届徐汇二模1【难度】集合、基础题8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =I【答案】(2,3)【来源】18届金山二模3【难度】集合、基础题9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =【答案】{1,3}【来源】18届崇明二模1【难度】集合、基础题2.命题、不等式1．不等式|1|1x ->的解集是 ．【答案】(,0)(2,)-∞+∞U【来源】18届黄浦二模2【难度】不等式、基础题2．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ． 【答案】3【来源】18届黄浦二模2【难度】不等式、压轴题3．不等式|3|2x -<的解集为__________________． 【答案】{}15x x <<或()1,5【来源】18届青浦二模1【难度】不等式、基础题4．若为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为 ． {}n a【答案】4【来源】18届杨浦二模10【难度】不等式、中档题5. 函数9y x x=+，(0,)x ∈+∞的最小值是 【答案】6【来源】18届金山二模4【难度】不等式、基础题3.函数1.给出下列函数：①1y x x=+；②x x y +=2；③2x y =；④23y x =；⑤x y tan =；⑥()sin arccos y x =；⑦(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】37【来源】18届奉贤二模9【难度】函数、中档题2.已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321Λ，且n n x x x x x <<<<<-1321Λ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x Λ，则=θ ． 【答案】9π【来源】18届奉贤二模12【难度】函数、压轴题3.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---= 【答案】-2【来源】18届虹口二模5【难度】函数、基础题4.若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是 ．【答案】[2,2]-【来源】18届黄浦二模3【难度】函数、基础题5.已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．【答案】]1,1[-【来源】18届长嘉二模10【难度】函数、中档题6.若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【来源】18届普陀二模2【难度】函数、基础题7.若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【来源】18届普陀二模3【难度】函数、基础题8.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是 .【答案】5m ≥-【来源】18届青浦二模10【难度】函数、中档题9.若函数222(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ． 【答案】114⎛⎫⎪⎝⎭， 【来源】18届徐汇二模11【难度】函数、中档题10.设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是【答案】2()log (3)f x x =-【来源】18届崇明二模9【难度】函数、中档题4.指数函数、对数函数1.方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ．【答案】2【来源】18届黄浦二模6【难度】对数函数、基础题2.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 【答案】12x =或1x =- 【来源】18届虹口二模11【难度】指数函数、中档题3.若实数x 、y 满足112244+++=+y x y x ，则y x S 22+=的取值范围是____________．【答案】]4,2(【来源】18届长嘉二模12【难度】指数函数、压轴题4.函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________．【答案】(0,)+∞【来源】18届徐汇二模3【难度】对数函数、基础题5.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 【答案】2【来源】18届松江二模4【难度】指数函数、基础题6.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围【答案】()[)0,12,+∞U【来源】18届松江二模10【难度】指数函数、中档题7.函数lg 1y x =-的零点是 ．【答案】10x =【来源】18届杨浦二模1【难度】对数函数、基础题8.函数lg y x =的反函数是【答案】1()10x f x -=【来源】18届金山二模2【难度】对数函数、基础题5. 三角函数1.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为AB ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ． 【答案】4π或045 【来源】18届奉贤二模5【难度】三角函数、基础题2.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ． 【答案】4π【来源】18届黄浦二模4【难度】三角函数、基础题3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________． 【答案】13【来源】18届青浦二模3【难度】三角函数、基础题4.在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π 【来源】18届普陀二模5【难度】三角函数、基础题5..函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模4【难度】三角函数、基础题6.已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是 ．【答案】⎣⎦ 【来源】18届青浦二模12【难度】三角函数、压轴题7. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T = 【答案】π【来源】18届金山二模1【难度】三角函数、基础题8.若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 【答案】2424.77-或 【来源】18届杨浦二模9【难度】三角函数、中档题9.在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =． 若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ．【来源】18届杨浦二模11【难度】三角函数、中档题10. 若2018100922sin (2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+= 【答案】-1或1【来源】18届金山二模12【难度】三角函数、压轴题题6. 数列1.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q =【答案】1或12- 【来源】18届虹口二模7【难度】数列、基础题2.已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nn a a n k a +-=-=-L ，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．【答案】50【来源】18届黄浦二模11【难度】数列、中档题3.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =L ，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++L 的值为_________. 【答案】1990-【来源】18届普陀二模9【难度】数列、中档题4.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ．【答案】33【来源】18届青浦二模5【难度】数列、基础题7. 向量1.如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .【答案】-4【来源】18届宝山二模11【难度】向量、中档题2.已知向量a r 在向量b r 方向上的投影为2-，且3b =r ，则a b ⋅r r = ．(结果用数值表示)【答案】-6【来源】18届黄浦二模5【难度】向量、基础题3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅，则线段AM 长的最小值为____________． 【答案】21 【来源】18届长嘉二模114.已知曲线C y =：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=u u u r ，则m 取值范围是 ．11、 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】18届青浦二模11【难度】向量、中档题5.已知向量a r 、b r 的夹角为60°，||1a =r ，||2b =r ，若(2)()a b xa b +⊥-r r r r ，则实数x 的值为【答案】3【来源】18届松江二模7【难度】向量、基础题6.点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MN MF MF =⋅u u u u r u u u u r u u u u r ，则122MF MF +u u u u r u u u u r 的最大值为__________.【答案】6【来源】18届普陀二模12【难度】向量、压轴题7.已知两个不同向量(1,)OA m =u u u r ，(1,2)OB m =-u u u r ，若OA AB ⊥u u u r u u u r ，则实数m =____________．【答案】1【来源】18届青浦二模48.已知非零向量OP uuu r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++u u u u r u u u r u u u r ，定义点集{|}||||FP FM FQ FM A F FP FQ ⋅⋅==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤u u u u r u u u r 恒成立，则实数k 的最小值为 ． 【答案】34【来源】18届杨浦二模12【难度】向量、压轴题9.已知向量,a b r r的夹角为锐角，且满足||a =r、||b =r ，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>r r ，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅r r 的最小值为 . 【答案】815【来源】18届徐汇二模12【难度】向量、压轴题10. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为【答案】10【来源】18届崇明二模12【难度】向量、压轴题8. 解析几何1.设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 .【答案】24y x =【来源】18届宝山二模2【难度】解析几何、基础题2.抛物线2y x =的焦点坐标是 ． 【答案】（0，14） 【来源】18届奉贤二模3【难度】解析几何、基础题3.椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【答案】2mn 【来源】18届虹口二模10【难度】解析几何、中档题4.角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是 ．（用一般式表示）11、【答案】7241250x y ±+=【来源】18届奉贤二模11【难度】解析几何、压轴题5.直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =【答案】2【来源】18届虹口二模2【难度】解析几何、基础题 ααα26.已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________．【答案】x y 42=【来源】18届长嘉二模4【难度】解析几何、基础题7. 抛物线212x y =的准线方程为_______.【答案】3y =-【来源】18届普陀二模1【难度】解析几何、基础题8.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 【答案】2a =【来源】18届松江二模1【难度】解析几何、基础题9.已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .【答案】2220x y x y +--=【来源】18届徐汇二模10【难度】解析几何、中档题10.已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 【答案】1【来源】18届徐汇二模4【难度】解析几何、基础题11.若双曲线222161(0)3x y p p -=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模8【难度】解析几何、中档题12.平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =【答案】{2,1,0}--【来源】18届金山二模10【难度】解析几何、中档题13.已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r =【答案】2【来源】18届金山二模11【难度】解析几何、中档题14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π）【答案】12π【来源】18届崇明二模6【难度】解析几何、基础题15. 已知椭圆2221x y a+=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若 123F F FF =u u u r u u u u r ，则a =【来源】18届崇明二模8【难度】解析几何、中档题9. 复数1.设z 是复数，()a z 表示满足1n z =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则⎪⎭⎫⎝⎛-+i i a 11=______．【答案】4【来源】18届奉贤二模7【难度】复数、基础题2.已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3(4-【来源】18届黄浦二模8【难度】复数、中档题3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________． 【答案】5【来源】18届长嘉二模3【难度】复数、基础题4.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 【答案】512i - 【来源】18届青浦二模2【难度】复数、基础题5.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =【答案】-1【来源】18届松江二模3【难度】复数、基础题6.若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ．【答案】2【来源】18届杨浦二模6【难度】复数、中档题7.i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为【答案】-2【来源】18届崇明二模3【难度】复数、基础题10. 立体几何1.已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .【答案】4π【来源】18届宝山 二模5【难度】立体几何、基础题2.已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为 ．【答案】8或1:8【来源】18届奉贤 二模2【难度】立体几何、基础题3.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=4.2【答案】2【来源】18届虹口 二模4【难度】立体几何、中档题4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于 【答案】3π 【来源】18届虹口 二模9【难度】立体几何、中档题5.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．【答案】π322【来源】18届长嘉二模7【难度】立体几何、中档题6.三棱锥ABCP-及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．【答案】24【来源】18届长嘉二模8【难度】立体几何、中档题7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．【答案】4π【来源】18届青浦二模7【难度】立体几何、中档题8.若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【来源】18届徐汇二模5【难度】立体几何、基础题9.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .【答案】15π【来源】18届徐汇二模8【难度】立体几何、中档题10.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【答案】16π【来源】18届松江二模8【难度】立体几何、中档题11.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的体积是 ．【来源】18届杨浦二模7【难度】立体几何、中档题12.记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 【答案】23【来源】18届金山二模6【难度】立体几何、中档题11. 排列组合、概率统计、二项式定理1.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.【答案】1.72【来源】18届宝山二模3【难度】统计、基础题2.若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 【答案】310【来源】18届宝山二模9【难度】概率、中档题3.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）【答案】1688【来源】18届宝山二模7【难度】排列组合、中档题4.从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【答案】12【来源】18届虹口二模6【难度】概率、中档题5.若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于【答案】20【来源】18届虹口二模8【难度】二项式、中档题6.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．【答案】140【来源】18届黄浦二模9【难度】概率统计、中档题7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示) 10．【答案】5 16【来源】18届黄浦二模10 【难度】概率统计、中档题8.nxx⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n___________．【答案】4【来源】18届长嘉二模2【难度】二项式、基础题9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．9．【答案】167【难度】概率统计、中档题10.代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答） 【答案】3【来源】18届奉贤二模10【难度】二项式、中档题11.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）.【答案】24【来源】18届普陀二模4【难度】二项式、基础题12.若321()n x x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5 【答案】5【来源】18届普陀二模6【难度】二项式、基础题13.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【难度】概率统计、中档题14.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对 1234(,,,)x x x x 的组数为【答案】45【来源】18届松江二模11【难度】排列组合、压轴题15.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R1222[][][]555n n n na a a b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为 【答案】25【来源】18届松江二模12【难度】二项式、压轴题16.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【答案】20【来源】18届徐汇二模2【难度】二项式、基础题17.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．8、30【答案】30【来源】18届青浦二模8【难度】二项式、中档题18.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ． 【答案】151192【来源】18届青浦二模9【难度】概率统计、中档题19.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--r ，向量()1,1b =r ，则向量a b ⊥r r 的概率．．是 . 【答案】16【来源】18届徐汇二模9【难度】概率统计、中档题20.若的二项展开式中项的系数是，则n = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模3【难度】概率统计、基础题21.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ． ()13nx +2x 542【来源】18届杨浦二模4【难度】概率统计、基础题22.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是 【答案】11322535C C C ⋅= 【来源】18届金山二模8【难度】概率统计、中档题23.(12)n x +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n =【答案】5【来源】18届金山二模9【难度】二项式、中档题24.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字）【答案】169.1【来源】18届崇明二模5【难度】统计、基础题25. 若二项式7(2)a x x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=3【来源】18届崇明二模7【难度】二项式、基础题26.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在 相邻车位的概率是 【答案】47【来源】18届崇明二模10【难度】概率、中档题12. 行列式、矩阵、程序框图1.若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是【答案】0D ≠，即2m ≠±【来源】18届金山二模7【难度】矩阵、中档题2.三阶行列式130124765x-中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】2log 3x =【来源】18届奉贤二模6【难度】矩阵、中档题3.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【答案】 40【来源】18届松江二模2【难度】矩阵、基础题4.函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．【答案】π【来源】18届徐汇二模7【难度】矩阵、基础题5.若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 【答案】9【来源】18届宝山二模6【难度】矩阵、基础题6.已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x -=，则函数()f x 的单调递增区间 是 ． 【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【来源】18届黄浦二模7【难度】矩阵、基础题7.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 【答案】5【来源】18届崇明二模2【难度】矩阵、基础题8.若2log 1042x -=-，则x =【答案】4【来源】18届崇明二模4 【难度】行列式、基础题13. 数学归纳法、极限1.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【答案】12【来源】18届松江二模6 【难度】极限、基础题2.计算：=+∞→142limn nn ．【答案】12【来源】18届杨浦二模2 【难度】极限、基础题14. 参数方程、线性规划1.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是 ．【答案】4 【来源】18届奉贤二模4 【难度】线性规划、中档题2.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．【答案】4 【来源】18届长嘉二模6 【难度】线性规划、基础题3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.【答案】(24-【来源】18届普陀二模8 【难度】参数方程、中档题4.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】4(0,1][,)3+∞U 【来源】18届普陀二模10 【难度】参数方程、中档题5.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．【答案】12-【来源】18届青浦二模6 【难度】参数方程、中档题6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】-1【来源】18届徐汇二模6 【难度】线性规划、基础题7.若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．【答案】3【来源】18届杨浦二模5 【难度】线性规划、基础题8.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【答案】()2,1- 【来源】18届松江二模5 【难度】线性规划、基础题9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k = 【答案】5k =【来源】18届松江二模9 【难度】线性规划、中档题10.已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为【答案】6π【来源】18届崇明二模11 【难度】线性规划、中档题15.其它1.函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于 【答案】16【来源】18届虹口二模12 【难度】其它、压轴题 二、选择题1.命题、不等式)(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．【答案】 B 【来源】18届宝山二模13 【难度】命题与条件、基础题2.在给出的下列命题中，是ggg假命题的是 答( )．(A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈u u u r u u u r u u u r，则点A B C 、、必共线(B )若向量a b r r 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c r都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈r r r、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC u u u r u u u r u u u r、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>u u u r u u u r u u u r |=|，且0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ， 则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d r r r u r、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【来源】18届黄浦二模16 【难度】命题与条件、压轴题3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

1（2018杨浦二模）. 函数lg 1y x =-的零点是2（2018金山二模）. 函数lg y x =的反函数是2（2018普陀二模）. 若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =3（2018静安二模）. 函数y =的定义域为3（2018普陀二模）. 若函数()f x =的反函数为()g x ，则函数()g x 的零点为 3（2018徐汇二模）. 函数()lg(32)x x f x =-的定义域为3（2018黄浦二模）. 若函数()f x 是偶函数，则该函数的定义域是 4（2018浦东二模）. 已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=4（2018松江二模）. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 4（2018金山二模）. 函数9y x x =+，(0,)x ∈+∞的最小值是 4（2018崇明二模）. 若2log 1042x -=-，则x = 5（2018虹口二模）. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---= 6（2018黄浦二模）. 方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x =9（2018崇明二模）. 设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是9（2018奉贤二模）. 给出下列函数：①1y x x=+；②2y x x =+；③||2x y =；④23y x =；⑤tan y x =；⑥sin(arccos )y x =；⑦lg(lg2y x =-. 从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是10（2018长嘉二模）. 已知函数())f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是10（2018松江二模）. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是10（2018宝山二模）. 奇函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数），若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是10（2018青浦二模）. 已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是11（2018浦东二模）. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是11. 设1{|(),2x M y y x ==∈R }，1{|(1)(1)(||1)(2),12}1N y y x m x x m ==+-+--≤≤-，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 （普陀二模）11（2018虹口二模）. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 11（2018徐汇二模）. 若函数222(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()sin[()1]g x M m x M m x =+++-图像的一个对称中心是12（2018浦东二模）. 已知函数2()57f x x x =-+，若对于任意的正整数n ，在区间5[1,]n n +上存在1m +个实数0a 、1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a ，使得012()()()()m f a f a f a f a >++⋅⋅⋅+成立，则m 的最大值为12（2018黄浦二模）. 已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 13（2018虹口二模）. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩ 15（2018宝山二模）. 若函数()f x （x ∈R ）满足(1)f x -+、(1)f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ） A. ()f x -为奇函数 B. ()f x -为偶函数C. (3)f x +为奇函数D. (3)f x +为偶函数15（2018长嘉二模）. 点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M是CD 中点，则当P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM ∆的面积y 的函数()y f x =的图像的形状大致是下图中的（ ）A. B. C. D.15（2018青浦二模）. 已知函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，给出以下三个命题：① 直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴；② 函数()f x 在区间[9,6]--上为增函数；③ 函数()f x 在区间[9,9]-上有五个零点；问：以上命题中正确的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 16（2018静安二模）. 已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能16（2018松江二模）. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值；那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 316（2018浦东二模）. 设P 、Q 是R 上的两个非空子集，如果存在一个从P 到Q 的函数()y f x =满足：（1）{()|}Q f x x P =∈；（2）对任意12,x x P ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合构成“P Q →恒等态射”，以下集合可以构成“P Q →恒等态射”的是（ ）A. R →ZB. Z →QC. [1,2](0,1)→D. (1,2)→R 17（2018杨浦二模）. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系式21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润y x 的值最大？18（2018黄浦二模）. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）. 已知10OA =米，OB x =米，010x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值18（2018奉贤二模）. 已知函数21()12x xf x k =+-，0k ≠，k ∈R . （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）已知()f x 在(,0]-∞上单调递减，求实数k 的取值范围.19（2018宝山二模）. 某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为()g x （单位：千克/年）养殖密度为x ，0x >（单位：尾/立方分米），当x 不超过4时，()g x 的值恒为2；当420x ≤≤，()g x 是x 的一次函数，且当x 达到20时，因养殖空间受限等原因，()g x 的值为0.（1）当020x <≤时，求函数()g x 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数()()f x x g x =⋅的最大值.19（2018徐汇二模）. 已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15]U .（1）当2t =时，求函数()y f x =的反函数；（2）如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围.19（2018长嘉二模）. 某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y （单位：万元）随收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.（1）若建立函数()y f x =模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数()f x 模 型的基本要求，并分析2150x y =+是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因； （2）若该团队采用模型函数103()2x a f x x -=+作为奖励函数模型，试确定最小正整数a 的值. 19（2018松江二模）. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的 销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式；（2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20（2018青浦二模）. 设函数2()|5|f x ax x =-+（a ∈R ）. （1）求函数的零点；（2）当3a =时，求证：()f x 在区间(,1)-∞-上单调递减；（3）若对任意的正实数a ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m 的取值范围. 20（2018普陀二模）. 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立.（1）若函数()3f x kx =+，求实数k 和t 的值；（2）当2t =时，若[0,2]x ∈，()(2)f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[2,6]-上的值域；（3）设函数()f x 的值域为[,]a a -，证明：函数()f x 为周期函数.20（2018黄浦二模）. 已知函数22, 10,()1, 0 1.x x f x x x --≤<⎧=⎨-≤≤⎩ （1）求函数()f x 的反函数1()f x -；（2）试问：函数()f x 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程()|()240f x f x ax +---=的三个实数根123x x x 、、满足123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值.20（2018浦东二模）. 已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意x ∈R 恒有(2)2()f x f x =-.（1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；（2）若(1,2]x ∈时，2()22f x x x =-+，求函数()y f x =，(1,8]x ∈的解析式及值域；（3）若(1,2]x ∈时，3()||2f x x =--，求()y f x =在区间(1,2]n ，*n N ∈上的最大值与最小值. 20（2018崇明二模）. 已知函数2()21x x a f x +=+，x ∈R . （1）证明：当1a >时，函数()y f x =是减函数；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =，且b c <时，证明：对任意[(),()]d f c f b ∈，存在唯一的0x ∈R ，使得0()f x d =，且0[,]x b c ∈.21（2018杨浦二模）. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b-++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t =+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数； （3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.21（2018金山二模）. 若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使12()()1f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()2x g x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数2()(1)f x x =-在定义域[,]m n （1m >）上为“依赖函数”，求实数m 、n 乘积mn 的取值范围；（3）已知函数2()()f x x a =-（43a <）在定义域4[,4]3上为“依赖函数”，若存在实数 4[,4]3x ∈，使得对任意的t ∈R ，有不等式2()()4f x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最 大值.21（2018虹口二模）. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1x g x x=-（x ∈R ）.（1）如果2x =是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在(1,2-和[2的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥21（2018静安二模）. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）.（1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01x x>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设21()1x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.。

.函数y = lg x —1的零点是 ,函数y =lg x 的反函数是2 (2021普陀二模).假设函数f (x)=函数,那么实数m 二.假设函数f (x)=底工3的反函数为g(x),那么函数g(x)的零点为x x、3 (2021徐汇二模).函数f (x) =lg(3 -2 )的定义域为3 (2021黄浦二模).假设函数f (x) = J8—ax —2x 2是偶函数,那么该函数的定义域是4 (2021浦东二模).f 」(x)是函数f(x) = log 2(x+1)的反函数,那么f,(2)=4 (2021松江二模).定义在R 上的函数f (x) =2x -1的反函数为y = f,(x),那么f,(3)= ..... 一一 94 (2021金山二模).函数y=x+—, x = (0,+=叼的最小值是x, ,,, 4 10g 2 x -1e,4 (2021崇明二模).假设=0,那么x =-42-xx 芝0 —」 」5(2021 虹口二模).函数 f(x)=« 乂,那么 f ,［f ,(—9)］ =2 -1 x <0xx6(2021 黄浦二模).方程 10g 3(3 2 +5)—log 3(4 +1)=0 的解 x=9 (2021崇明二模).设f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数,当 xW ［0,1］时,f(x) =log 2(x +1),贝U 函数 f(x)在［1,2］上的解析式是29 (2021奉贤二模).给出以下函数：① y=x+,；②y = x 2+x ；③y =2|x|；④y = x 3； x ⑤ y =tanx;⑥ y =sin(arccosx);⑦ y =lg(x + J x 2 +4) -lg2 .从这 7 个函数中任取两个函数,那么其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是10(2021长嘉二模).函数f(x) = lg(dx 2+1+ax)的定义域为R,那么实数a 的取值范 围是 ________210 (2021松江二模).右函数f(x)=log a (x —ax +1) ( a > 0且a =1)没有最小值,那么a 的 取值范围是210 (2021宝山二模).奇函数f(x)定义域为R,当x>0时,f(x)=x+ -------------------------- 1 (这里m 为x正常数),假设f (x) Mm-2对一切x£0成立,那么m 的取值范围是10( 2021青浦二模).f(x)是定义在［—2,2］上的奇函数,当xW(0,2］时,f(x)=2x —1 , 函数g(x) =x 2 — 2x +m ,如果对于任意的 x 1亡［—2,2］,总存在x 2 €［-2,2］,使得3 (2021静安二模).函数y = Jlg(x+2)的定义域为1 (2021杨浦二模)2 (2021金山二模)3 (2021普陀二模)f(x 1) <g(x 2),那么实数m 的取值范围是11 (2021浦东二模).f(x)是定义在R 上的偶函数,且 f (x)在[0,收)上是增函数, 如果对于任意xw[1,2], f (ax+1) w f (x —3)恒成立,那么实数a 的取值范围是. ....................... 1、x . . 1.11.设 M ={y|y =(—) ,x w R } , N ={ y | y =(——+1)(x-1)+(| m |-1)(x-2),1 <x<2}, 2m —1假设N J M ,那么实数m 的取值范围是 (普陀二模)11 (2021虹口二模).[x]是不超过x 的最大整数,那么方程(2x )2—7 [2x ]—1=0满足x<1 4 4的所有实数解是22(x 7) ^sin x -11 (2021徐汇二模).假设函数f (x)=———2 ------------- 的取大值和取小值分别为M 、m,那么x 1函数g(x)=(M +m)x+sin[(M +m)x-1]图像的一个对称中央是25_12 (2021浦东二模).函数f(x)=x —5x +7 ,右对于任意的正整数 n,在区间[1,n+—] n上存在m+1个实数a .、a 1、a 2、■■■、a m ,使得f (a .)a f (a 1)十f (a 2)十…十f (a m )成立,那么m 的最大值为212 (2021黄浦二模).函数f(x) = ax +bx+c(0 <2a<b)对任意x =R 恒有f(x)至0 成立,那么代数式 _____ 9一的最小值是f(0) -f (-1) 13 (2021虹口二模).以下函数是奇函数的是()列四个结论正确的选项是(A. f(—x)为奇函数B. f(—x)为偶函数C. f(x+3)为奇函数D. f(x+3)为偶函数15 (2021青浦二模).函数f (x)是R 上的偶函数,对于任意X E R 都有f (X 1) f (x 2)f (x +6) =f (x) +f(3)成立,当 X i ,X2^[0,3],且 X i #X 2 时,都有————>0,给A. f (x) =x 1 C. f (x) = arccosxB. f (x) = sin x cosx D. 二xf (x)=-X x 0x :: 015 (2021宝山二模).假设函数f (x) (x W R)满足f (_1+x)、f (1+x)均为奇函数,那么下15 (2021长嘉二模).点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动, 是CD 中点,那么当P 沿A-B-C-M 运动时,点P 经过的路程x 与 △APM 的面积y 的函数y = f (x)的图像的形状大致是以下图中的(A. B.C. D.X1 - x2出以下三个命题：①直线x = -6是函数f (X)图像的一条对称轴；②函数f (x)在区间[_9,_6]上为增函数；③函数f (x)在区间[—9,9]上有五个零点；问：以上命题中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 316 (2021静安二模).函数f(x)=x +x+10,头数x1、x2、X3满足2+*2<0,X2 +X3 <0, X3 +X1 <0,那么f (X1)十f (X2) + f (X3)的值( )A. 一定大于30B. 一定小于30C.等于30D.大于30、小于30都有可能16 (2021松江二模).给出以下三个命题：命题1 ：存在奇函数f (x) (x W D1)和偶函数g(x) ( x W D2 ),使得函数f (x)g(x)(x w D1 Pl D2 )是偶函数；命题2：存在函数f(x)、g(x)及区间D ,使得f (x)、g(x)在D上均是增函数,但f (x)g(x)在D上是减函数；命题3：存在函数f(x)、g(x)(定义域均为D),使得f(x)、g(x)在x = x0( x0w D )处均取到最大值,但f(x)g(x)在x = x0处取到最小值；那么真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 316 (2021浦东二模).设P、Q是R上的两个非空子集,如果存在一个从P到Q的函数y = f(x)满足：(1) Q ={ f(x) |x w P} ；(2)对任意x,X2 W P,当x <X2 时,恒有f(xj < f (X2),那么称这两个集合构成“P T Q恒等态射〞,以下集合可以构成“P T Q恒等态射〞的是( )A. R- ZB. Z- QC. [1,2] > (0,1)D. (1,2) > R17 (2021杨浦二模).共享单车给市民出行带来了诸多便利, 某公司购置了一批单车投放到...... .... 一,,、、.... ........ ........ ...、、—一 . * 某地给市民使用,据市场分析,每辆单车的营运累计利润.... y(单位：元)与营运天数x(x w N )1 0满足函数关系式y = —-x2• 60X -800. 2(1)要使营运累计利润高于800元,求营运天数的取值范围；(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运利润、的值最大？X18 (2021黄浦二模).某企业欲做一个介绍企业开展史的铭牌, 铭牌的截面形状是如下图的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).OA = 10米,OB = x米,0<x<10,线段BA、线段CD与弧BC、弧AD的长度之和为30米,圆心角为日弧度.(1)求白关于x的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时,y的值最大？并求出最大值x2 1 .18 2021 奉贤二模.函数f(x)= —+ r—1, k#0,k 2(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)f (x)在(-g,0]上单调递减,求实数k的取值范围.19 (2021宝山二模).某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点,研究说明：用该技术进行淡水养虾时,在一定的条件下, 每尾虾的平均生长速度为g(x)(单位：千克/年)养殖密度为x , x >0 (单位：尾/立方分米),当x不超过4 时,g(x)的值恒为2;当4WxW20, g(x)是x的一次函数,且当x到达20时,因养殖空间受限等原因,g(x)的值为0.(1)当0<xE20时,求函数g(x)的表达式；(2)在(1)的条件下,求函数f(x)=x g(x)的最大值.219 (2021徐汇二模).函数f(x) = x —3tx+1,其定义域为[0,3] U[12,15].(1)当t=2时,求函数y = f(x)的反函数；(2)如果函数y = f(x)在其定义域内有反函数,求实数t的取值范围.19 (2021长嘉二模).某创新团队拟开发一种新产品,根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益,先准备制定一个奖励方案：奖金y (单位：万元)随收益x (单位：万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过收益的20%.(1)假设建立函数y = f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表示该团队对奖励函数 f (x)模x 一 .........型的根本要求,并分析y=——+2是否符合团队要求的奖励函数模型,并说明原因；15010x—3a作为奖励函数模型,试确定最小正整数a的值. (2)假设该团队采用模型函数f(x) :x 219 (2021松江二模).某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A,产品A在上市20天内全部售完,据统计,线上日销售量f(t)、线下日销售量g(t)(单位：件)与上市时间t10t 1 <t <10 , 、 2 2…一一系满足：f(t)=4 ,g(t)=—t +20t (lMtM20),广品 A 每件的-10t 200 10 :二t <20〞,、40 1 <t <15 、,、,销售利润为h(t)=V (单位：元)(日销售量=线上日销售量+线下日销售量).20 15 <t <20(1)设该公司产品A的日销售利润为F(t),写出F(t)的函数解析式；(2)产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？220 (2021 青浦二模).设函数f(x) =| ——ax+5| (a w R). x(1)求函数的零点；(2)当a =3时,求证：f (x)在区间(3,_1)上单调递减；(3)假设对任意的正实数a,总存在*0亡［1,2］,使得f(%)之m,求实数m的取值范围.20 (2021普陀二模).定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x ,存在非零常数t,都有f (x +t) = —tf (x)成立.(1)假设函数f (x) =kx+3 ,求实数k和t的值；(2)当t=2时,假设x^ ［0,2］ , f(x)=x(2—x),求函数f(x)在闭区间［—2,6］上的值域；(3)设函数f (x)的值域为［菖,a］,证实：函数f(x)为周期函数.-2x, -1 < x < 0,20 (2021黄浦二模).函数f(x) =42x -1, 0 - x -1.(1)求函数f (x)的反函数f/(x);(2)试问：函数f (x)的图像上是否存在关于坐标原点对称的点,假设存在,求出这些点的坐标；假设不存在,说明理由；(3)假设方程f(x)+2*一x2十| f (x) —221 —x2|—2ax —4 = 0的三个实数根x1、x2、x3满足X <x2 <x3,且x3 —x2 = 2(x2 -X I),求实数a 的值.20 (2021浦东二模).函数y = f(x)定义域为R,对于任意x W R恒有f (2x) =-2 f (x).(1)假设f(1) = —3 ,求f (16)的值；⑵假设x w (1,2］时,f(x) =x2—2x+2 ,求函数y=f(x), x w (1,8］的解析式及值域；3 .(3)右x=(1,2］时,f(x) = -|x--|,求y = f(x)在区间(1,2 ］, n= N 上的最大值与最小值.2x a _20 (2021 崇明二模).函数f(x)=2^, x w R.2 1(1)证实：当a >1时,函数y = f (x)是减函数；(2)根据a的不同取值,讨论函数y = f (x)的奇偶性,并说明理由；(3)当a =2,且b <c时,证实：对任意d w[f (c), f (b)],存在唯一的x° w R,使得f(%) = d , 且X [b,c].21 (2021杨浦二模).记函数f (x)的定义域为D.如果存在实数a、b使得f( a— X)十f( a+X b任意满足a-x w D且a+x w D的x恒成立,那么称f(x)为中函数.1(1)设函数f(x)=」-1,试判断f (x)是否为受函数,并说明理由；x1(2)设函数q(x) = ^^ ,其中常数t#0,证实：g(x)是中函数；2x t(3)假设h(x)是定义在R上的中函数,且函数h(x)的图象关于直线x = m ( m为常数)对称,试判断h(x)是否为周期函数？并证实你的结论.21 (2021金山二模).假设函数y= f(x)对定义域内的每一个值X I ,在其定义域内都存在唯一的x2 ,使f (x1) f诲)=1成立,那么称该函数为“依赖函数〞 .(1)判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数〞,并说明理由；(2)假设函数f(x)=(x-1)2在定义域[m,n] (m>1)上为“依赖函数〞,求实数m、n乘积mn的取值范围；2 4 4(3)函数f(x)=(x-a) ( a <-)在定义域[4,4]上为依赖函数,假设存在实数3 342x = [ —,4],使得对任意的t WR,有不等式f (x)至-t2+(s-t)x+4都成立,求实数s的最3大值.3 - - x z21 (2021 虹口二模).函数f(x)=ax +x—a (a = R, x - R) , g(x) = ------------------------------ 3 (x =1 -xR). …… … … .................................................................................. ............(1)如果x=—a一是关于x的不等式f(x)M0的解,求实数a的取值范围；…- -3 4 -34 .〜一,(2)判断g(x)在(-1,——]和[——,1)的单调性,并说明理由；2 2(3)证实：函数f (x)存在零点q ,使得a =q +q4+q7 + '" +q3n^十一成立的充要条件是-34 a .321 (2021 静安二模).设函数f(x) = |2x—7|+ax+1 ( a 为实数).(1)假设a = —1 ,解不等式f (x)至0 ;(2)假设当一x—A0时,关于x的不等式f(x)之1成立,求a的取值范围；1 -x2 x+1 一(3)设g(x)= ,假设存在x使不等式f(x)Eg(x)成立,求a的取值范围-a x -1。

(2018虹口二模5) 已知函数f (x)2xx2 1x 0，则f1[f1( 9)]—2018上海高三数学二模——函数汇编2(2018宝山二模)10.设奇函数f(x)定义为R，且当x 0时，f(x) x m 1 (这里xm为正常数).若f(x) m 2对一切x 0成立，则m的取值范围是答案：2,(2018宝山二模)15.若函数f x x R满足f 1 x、f 1 x均为奇函数，则下列四个结论正确的是( ) (A) f x为奇函数(B) f x为偶函数(C) f x 3为奇函数(D) f x 3为偶函数答案：C(2018宝山二模)19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明: 用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为g(x)(单位：千克/年)养殖密度为x,x 0 (单位：尾/立方分米)。

当x不超过4时，g(x)的值恒为2 ;当4 x 20 , g(x)是x的一次函数，且当x达到20时，因养殖空间受限等原因，g(x)的值为0.(1 )当0 x 20时，求函数g(x)的表达式。

(2)在(1)的条件下，求函数f (x) x g(x)的最大值。

2,x 0,41 5 , x N ； (2) 12.5千克/立方分米x ,x 4,208 2答案：(1) g x【解析】f 1(x) 、X, x 0, f 1( 9)3, f 1[f 1( 9)] f 1 (3) 2log 2(x 1), x 07 1(2018虹口二模11) [x]是不超过x 的最大整数，贝U 方程(2X )2 - [2X ] - 0满足x 14 4的所有实数解是 _________ 【解析】当 0x1 , [2x ] 1(2x )2 2 x 1 ；当 x 0 , [2x ] 0 , (2x )2 -,2 4••• x 1，二满足条件的所有实数解为x 0.5或x 1 (2018 虹口二模 21)已知函数 f(x) ax 3 x a (a R , x R ), g(x) 二(x R ).1 x(3)证明：函数f (x)存在零点q ，使得a q q 4q -q 3n 2成立的充要条件是34a.3I 解析】(1) f(二)02aq q 4 q - q 3n 2成立，根据无穷等比数列相关性质，q ( 1,1),1 qqV4 ^4结合第(2)问，a 茲 在(1,-］上递减，在［ ----------------------- ,1)上递增，1 q 32 2 q 诉V4 、、、二 a ( ------ )min g( ^ )-，反之亦然. 1 q 23(1) 如果x 4是关于x 的不等式2f (x) 0的解，求实数a 的取值范围;(2) (2)根据单调性定义分析，在(3) “函数 f (x)存在零点q ，使得a q q 4 q -3n 2q成立”说明判断g(x)在(1,,1)的单调性，并说明理由;和,1)上递增;(1,丁上递减，在（2018杨浦二模1）函数y Igx 1的零点是________________答案：x 10（2018杨浦二模17）（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用•据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x x N*满足1 2y x 60x 800.2（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围;（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润—的值最大?x【解】（1）要使营运累计收入高于800元，人 1 2令—x260x 800 800 , ............................................ 2 分2解得40 x 80. ........................................ 5分所以营运天数的取值范围为40到80天之间. ........................ 7分(2018杨浦二模21)(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分)记函数f(x)的定义域为D.如果存在实数a 、b 使得f(a x) f (a x) b 对任意满足a x D 且a x D 的x 恒成立，则称f (x)为 函数•1(1) 设函数f(x) 1，试判断f(x)是否为 函数，并说明理由；x1(2) 设函数g(x) 2—t ，其中常数t 0,证明：g(x)是 函数；(3) 若h(x)是定义在R 上的 函数，且函数h(x)的图象关于直线x m ( m 为常数)对称，试判断h(x)是否为周期函数？并证明你的结论•【解】1(1)f (x)1 是 函数... 1分x理由如下：f (x)1 1的定义域为｛ x |x 0｝，x只需证明存在实数 a ， b 使得 f (a x) f (a x)b 对任意x a 恒成立•1 1a x a x（2） 丫x1 800 x 60 ..........2 x.................................. 9 分2、400 60 20当且仅当 1 800 —x 时等号成立，解得x 400…2 x................ 1分 所以每辆单车营运 400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为 20元每天.…14分由f(a x) f (a x)b，得——2b，即b 2a x a x(a x)(a x)所以(b 2)(a2x2)2a对任意x a恒成立即b 2,a 0.从而存在a 0,b 2，使f (a x) f (a x) b 对任意x a 恒成立.所以f(x) 11是函数.x(取 t x 2m 2a 由(3)得)(2)记g(x)的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D 且a x D 时，g(a x) g(a x)b 恒成立，即1 2ax t1 2ax tb 恒成立.所以 2a x t 2a x t b(2a x t)(2a x t)，化简得，(1 bt)(2a x 2a x)2ab(2 2t ) 2t .所以 1 bt 0,b(22a t 2) 2t 0•因为 tlOg 2 | t | ,1即存在实数a ，b 满足条件，从而g(x) 一—是函数•2x t10分所以h(m x) h(m x)(1),又因为h(a x) h(a x) b(2),h(x 2m 2a) h[m (x m 2a)]由(1 )h[m (x m 2a)] h(2a 由(2)b h[a (a x)] b h(x)......... 12分所以当m a 时，x) h[a (a x)](3)所以 h(x 4m 4a)h[(x 2m 2a) 2m 2a] b h(x 2m 2a)(3)函数h(x)的图象关于直线x m ( m 为常数)对称,(x 4再利用(3)式，h(x 4m 4a) b [b h(x)] h(x).所以f(x)为周期函数，其一个周期为 4m 4a. .............. 15分当 m a 时，即 h(a x) h(a x)，又 h(a x) b h(a x),b所以h(a x)-为常数.2所以函数h(x)为常数函数，bh(x 1) h(x) - , h(x)是一个周期函数......... 17分综上，函数h(x)为周期函数。

上海市静安区2018 届高三二模数学试卷一 . 填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1.已知集合 A {1,3,5,7,9} ， B {0,1,2,3,4,5} ，则图中阴影部分集合用列举法表示的结果是2. 若复数z满足z(1i ) 2i （ i 是虚数单位），则 | z |3.函数 y lg（ x 2）的定义域为4.在从 4 个字母a、b、c、d中任意选出 2 个不同字母的试验中，其中含有字母 d 事件的概率是5.下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h6.如上右图，以长方体 ABCD A1 B1 C1 D1的顶点D为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线uuur uuur为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为 (4,3,2) ，则BD1的坐标为7.方程 cos2 x 3的解集为28.已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点 M ( a, 4) (a0) 到焦点F的距离为5，则该抛物线的标准方程为9.秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所着的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n、x 的值分别为4、 2，则输出q 的值为（在算法语言中用“ ”表示乘法运算符号，例如 5 2 10）10. 已知等比数列{ a n}的前n项和为S n（n N *），且S619， a4 a215，则 a3的S388值为11. 在直角三角形 ABC 中，A， AB 3， AC4 ， E 为三角形 ABC 内一点，2且 AEuuuruuur uuur4 的最大值等于2 ，若 AEAB AC ，则 3212. 已知集合 A {( x, y ) | ( xy)2x y 20} ，B {( x, y) |( x2a)2 ( y a 1)2a 2a} ，若 A I B，则实数 a 取值范围为2二 . 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 能反映一组数据的离散程度的是（）A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差14. 若实系数一元二次方程 z 2 zm 0 有两虚数根，，且 ||3 ，那么实数 m的值是（）5 B. 1C.1D.5A.2215. 函数 f (x) Asin( x) ( A 0, 0) 的部分图像如图所示，则f ( ) 的值为（ ）3A.23 C.6 D. 0B.22 216. 已知函数 f ( x) x 3x 10 ，实数 x 1 、x 2 、x 3 满足 x 1 x 2 0 ，x 2 x 30，x 3 x 1 0 ，则 f (x 1 )f ( x 2 )f ( x 3 ) 的值（）A. 一定大于 30B. 一定小于 30C. 等于 30D. 大于 30、小于 30 都有可能三 . 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间t 的连续函数（即函数图像不间断）. 昆虫密度 C 是指1000(cos( t4 ) 2)2 990, 8t 16每平方米的昆虫数量，已知函数C (t)2，m,0 t或t248 16这里的 t 是从午夜开始的小时数， m 是实常数， m C (8).（1）求 m 的值；（ 2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.18. 已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，两焦点分别为F1和 F2，椭圆上一点到F1和F2的距离之和为12.R )的圆心为A k.圆 A k: x2y 22kx 4 y21 0( k（1）求△A k F1 F2的面积；.（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆问：是否存在实数k 使得圆A k包围椭圆请说明理由.19. 如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是菱形，AC 与BD交于点O ，OP底面ABCD ，点 M为 PC 中点，AC 2 ， BD 1 ， OP 2 .（1）求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值 .20. 已知数列{ a n }中，a1 a (a R, a 1)2， a n2a n 111n n(n1)， n 2 ， n N *.又数列{b n }满足：b n a n1n1， n N *.（1）求证：数列{ b n } 是等比数列；（2）若数列{ a n }是单调递增数列，求实数 a 的取值范围；（3）若数列{ b n }的各项皆为正数，c n log1 b n，设T n是数列{ c n } 的前 n 和，问：是否存2在整数 a ，使得数列{T n }是单调递减数列若存在，求出整数 a ；若不存在，请说明理由.21. 设函数f(x)|2x7 |ax1（a为实数）.（1）若a1，解不等式 f (x)0 ；（2）若当x0时，关于 x 的不等式 f (x) 1 成立，求a的取值范围；1x（3）设g( x)2x1g( x) 成立，求a的取值范围.a x，若存在 x 使不等式 f (x)1参考答案一 . 填空1. {0,2,4}2.23. [ 1,) 1 5. 44.26. ( 4,3,2)7. { x | x k5 ,k Z}8. x 24y129. 5010. 911. 112. [19109 ,0]414二 . 13. D14. A15. C16. B三 . 解答17. 解（ 1） m C (8)=1000(cos0+2) 2 990 8010 ；⋯⋯ 4 分（2）当 cos((t 8))1 ， C 达到最小 ，得2(t 8)(2k+1) ,kZ ，⋯⋯ 8 分2又 t [8,16] ，解得 t 10或 14.所以在 10： 00 或者 14： 00 ，昆虫密度达到最小10. ⋯⋯ 14 分18. 解：（ 1） 方程 ：x 2 y 2 1(a b 0)，⋯⋯ 1 分a2b2由已知有 2a12, a2b ，⋯⋯2分所以 方程 ：x 2y 2 1 ，⋯⋯3 分369心 A k ( k, 2)⋯⋯ 5 分所以，△A k F 1F 2 的面 S A k F 1F 21 F 1 F2 yA K1 6 3 26 3⋯⋯ 6 分222 ）当 k 0 ，将 点（6 0）代入 方程得：（，62 02 12k 0 21 1512k 0 ，可知 点（6 ， 0）在 外；⋯⋯ 10 分当 k 0 ， (6)2 02 12k 0 2115 12k0 ，可知 点（-6， 0）在 外；所以，不kkΓ取何 ， A都不可能包 ．⋯⋯ 14 分19. 解：（ 1）因 ABCD 是菱形，所以 AC BD ．又 OP 底面 ABCD ，以 O 原点，直 OA, OB,OP分 x ， y ， z ，建立如 所示空 直角坐 系．⋯⋯ 1 分A(1,0,0) , B(0, 1,0) , P(0,0,2) , C ( 1,0,0) , M (1,0,1) ．2 2uuur (uuuur ( 1 1 ,1) ， uuur uuuur 5 所以 AP 1,0, 2) ， BM 2 ,AP BM ， 22uuur 5 uuuur|6 ．| AP |， | BM ⋯⋯3分2 uuuuruuur uuuuruuur530cosAP BMAP, BMuuur uuuur56．| AP || BM |6故异面直 AP 与 BM 所成角的余弦30⋯⋯ 6 分uuuruuuur6( 1, 1( 1 , 1,1) ．（2） AB,0) ， BM2 r 2 2平面 ABM 的一个法向量( x, y, z) ，n r uuurx1 yn AB22 ，得 y4 ， z 3 ．，令 xruuuur ，得11n BMx y z 02 2得平面 ABM 的一个法向量 r (2, 4,3)n． ⋯⋯9分又平面 PAC 的一个法向量uuur(0, 1,0) ，OB⋯⋯ 10分ruuur2 r uuur r uuurr uuur1n OB4 4 所以n OB2 ， | n |29 ， |OB |． cosn,OBruuur2929 .2| n || OB | 29故平面 ABM 与平面 PAC 所成 二面角的余弦4 29 .⋯⋯ 14 分2920. 解：（ 1） a n12a n 1 11 1 2a n 1111n n(n 1) n 11n 1n n n 1 n 12 1⋯⋯ 2 分即 b n2⋯⋯ 3 分2a n 12( a n 1)bn 1nn又 b 1 a 11 1 ，由 a 1a2 ， b 122所以 { b n } 是以 b 11 a2首 ， 2 公比的等比数列． ⋯⋯ 4 分（2） b n(a1 ) 2n 1 ，所以 a n a 12n 11 ⋯⋯ 6 分22n 1若 { a n } 是 增数列， 于n N * ， a n 1 a n 0 恒成立 ⋯⋯ 7 分an 1a na1 2n 1 a1 2n 112 n 2 2n 1= a1 2n 1 n 1 1 = a 1 2n 1(n 12)⋯⋯ 8 分2 1 n221)(n由 a1 2n 110 ，得 a112) 于 n N * 恒成立， 2(n 1)(n 2)22n 1 (n 1)(n∵1增，且1 0 ， lim[1 ] 0 ， n 1n 1n 1 2 (n 1)(n 2)2 ( n 1)(n 2) n 2(n 1)(n 2)所以 a1 0 ，又 a1 ， a1⋯⋯ 10 分2 2 ．21 （3）因 数列 { b n } 的各 皆 正数，所以a0 ，21． c n1)2 n 1 ]1) ，alog 1 [( a n 1 log 2 (a ⋯⋯ 13 分2 22 2 若数列 {T n } 是 减数列， T 2 T 1 ，即2log 2 ( a 1 1 log 2 (a 1 1 ) 11 1 ) ),log2 (a 2，即 a ，12 22 2 所以a 0 ．不存在整数 a ，使得数列 { T n } 是 减数列． ⋯⋯ 16 分 2 21. 解：（ 1）由 f ( x) 0 得 2 x 7 x 1 ，⋯⋯ 1 分解不等式得x | x8或x 6⋯⋯ 4 分3（利用 像求解也可）x 0 解得 0 x 1 ．由 f ( x)1得 | 2x 7 | ax 0 ，（2）由1 x当 0 x 1 ， 不等式即(a 2) x 7 0 ；⋯⋯ 5 分当 a=2 ，符合 条件； ⋯⋯ 6 分下面 a 2 的情形，当 a 2 ，符合 要求；⋯⋯ 7 分当 a2 ， x7 ，由 意得 7 1，解得 2 a5；a 2 a2上 ，得 数a 的取 范a | a 5⋯⋯ 10 分2x 11 a(x 1)，（3）由 g( x)=2 x⋯⋯ 12 分a x1代入 f (x) g( x) 得 | 2x 7 | 2 | x 1| 1a ，令 h(x)| 2x 7 | 2 | x 1| 1 ，6, x 1h( x)4x 10,1x 7 ，4 h( 7) h( x) h(1) 6 ，2 24, x72∴ h( x) min4⋯⋯ 15 分若存在 x 使不等式 f ( x) g( x) 成立， h(x)min a,即 a 4 ． ⋯⋯ 18 分。

2018年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是．2．已知集合A={x||x﹣2|＜a}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是．3．如果复数z满足|z|=1且z2=a+bi，其中a，b∈R，则a+b的最大值是．4．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是．5．某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元．6．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=．7．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边且ac+c2=b2﹣a2，若△ABC最大边长是且sinC=2sinA，则△ABC最小边的边长为．8．在极坐标系中，曲线ρ=sinθ+2与ρsinθ=2的公共点到极点的距离为．9．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段AB围成图形面积S的取值范围是．10．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．二、选择题本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．向量，均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|﹣|＞1”是命题q：θ∈[，）的（）条件（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件12．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π13．已知数列{a n}中，a n+1=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（理）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，点E在棱AB上移动．（1）探求AE等于何值时，直线D1E与平面AA1D1D成45°角；（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A1DC1的距离．15．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求证：存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）•g（x0）能按照某种顺序成等差数列．17．若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4．（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，问曲线C上关于点B（0，t）（t∈R）对称的不同点有几对？请说明理由．18．已知数列{a n}，S n为其前n项的和，满足S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；=n（T n （2）设数列{}的前n项和为T n，数列{T n}的前n项和为R n，求证：当n≥2，n∈N*时R n﹣1﹣1）；（3）已知当n∈N*，且n≥6时有（1﹣）n＜（）m，其中m=1，2，…，n，求满足3n+4n+…+（n+2）n=（aan的所有n的值．n+3）2018年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是12．【考点】指数函数的单调性与特殊点；函数的值．【专题】计算题．【分析】由f（1）=3可得到关于a的式子，由f（0）+f（1）+f（2）得到关于a的式子，寻找与已知表达式的联系即可求解．【解答】解：∵f（1）=a+a﹣1=3，f（0）=2，f（2）=a2+a﹣2=（a+a﹣1）2﹣2=7，∴f（1）+f（0）+f（2）=12．故答案为：12【点评】本题考查指数幂的运算和运算法则，属基本运算的考查．2．已知集合A={x||x﹣2|＜a}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是a≥3．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出A，B，再利用B⊆A即可得出．【解答】解：由|x﹣2|＜a，可得2﹣a＜x＜2+a（a＞0），∴A=（2﹣a，2+a）（a＞0）．由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．B=（﹣1，3）．∵B⊆A，则，解得a≥3．故答案为：a≥3．【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如果复数z满足|z|=1且z2=a+bi，其中a，b∈R，则a+b的最大值是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】由|z|=1，得|z2|=1，结合z2=a+bi，得a2+b2=1，然后利用基本不等式求得a+b的最大值．【解答】解：∵|z|=1，∴|z2|=1，由z2=a+bi，得a2+b2=1，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=2，故当时，a+b的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．4．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．【解答】解：向量，在向量方向上的投影相同，∴=•，∵A（a，1），B（2，b），C（3，4），∴3a+4=6+4b，∴3a﹣4b=2，故答案为：2．【点评】本题考查了向量的数量积运算、投影，考查了推理能力，属于基础题．5．某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是5000元．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由已知求出获得一、二、三等奖的概率分别为，由此利用一、三、三等奖相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，能求出参加此次大赛获得奖金的期望．【解答】解：∵某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，∴获得一、二、三等奖的概率分别为a，2a，4a，且a+2a+4a=1，解得a=，∴获得一、二、三等奖的概率分别为，∵一、三、三等奖相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，∴参加此次大赛获得奖金的期望E（X）==5000元．故答案为：5000．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．7．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边且ac+c2=b2﹣a2，若△ABC最大边长是且sinC=2sinA，则△ABC最小边的边长为1．【考点】正弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】根据余弦定理求出cosB=﹣，故b=，由sinC=2sinA得c=2a，代入余弦定理计算a．【解答】解：∵ac+c2=b2﹣a2，∴cosB==﹣，∴B=，∴b=．∵sinC=2sinA，∴c=2a，∴三角形的最短边为a．由余弦定理得cosB=，解得a=1．故答案为1．【点评】本题考查了余弦定理，正弦定理，判断三角形的最长边和最短边是关键，属于中档题．8．在极坐标系中，曲线ρ=sinθ+2与ρsinθ=2的公共点到极点的距离为1+．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】联立方程组消去sinθ求解即可．【解答】解：ρ=sinθ+2与ρsinθ=2消去sinθ，可得ρ（ρ﹣2）=2，由于ρ＞0，解得ρ=1+．故答案为：．【点评】本题考查极坐标方程的应用，利用ρ的几何意义是解题的关键．9．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段AB围成图形面积S的取值范围是．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】结合图形，可见当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S最大，圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S就是矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，解答即可．【解答】解：如图，当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S最大，此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，∴，随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，当C到直线l的距离d→0时，S→0，∴S∈．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，数形结合的思想，是中档题．10．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】函数的值；函数恒成立问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知得﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立，上由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：依据题意得﹣1﹣4m2（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4（m2﹣1）在x∈[，+∞）上恒定成立，即﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立．当x=时，函数y=﹣﹣+1取得最小值﹣，∴﹣4m2≤﹣，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得m≤﹣或m≥，故答案为：．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意函数性质和等价转化思想的合理运用．二、选择题本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．向量，均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|﹣|＞1”是命题q：θ∈[，）的（）条件（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】平面向量及应用；简易逻辑．【分析】根据向量数量积的运算公式，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若|﹣|＞1，则平方得：2﹣2•+2=2﹣2•＞1，即•＜，则cosθ==•＜，∴θ∈（，π]，即p：θ∈（，π]，∵命题q：θ∈[，），∴p是q的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积的应用求出向量夹角是解决本题的关键．12．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．【专题】压轴题．【分析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．【解答】解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点∴OA=OB=OC=OS=1又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，∴表面积为4πR2=4π．故选A．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．13．已知数列{a n}中，a n+1=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列【考点】等差关系的确定；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由条件可得S n+1=4S n，对S1分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵a n+1=3S n，∴S n+1﹣S n=3S n，∴S n+1=4S n，若S1=0，则数列{a n}为等差数列；若S1≠0，则数列{S n}为首项为S1，公比为4的等比数列，∴S n=S1•4n﹣1，=3S1•4n﹣2（n≥2），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列．此时a n=S n﹣S n﹣1综上，数列{a n}可能为等差数列，但不会为等比数列．故选C．【点评】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（理）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，点E在棱AB上移动．（1）探求AE等于何值时，直线D1E与平面AA1D1D成45°角；（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A1DC1的距离．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】（1）解法一：先找到直线D1E与平面AA1D1D所成的平面角，放入直角三角形中，根据角的大小为45°，来求三角形中边之间的关系，即可求出AE长度．解法二：利用空间向量来解，先建立空间直角坐标系，求出坐标，以及平面AA1D1D的法向量的坐标，因为直线D1E与平面AA1D1D成45°角，所以与平面AA1D1D的法向量成45°角，再用向量的数量积公式即可求出坐标，进而判断E点位置．（2）利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为E点到平面上任意一点的向量．【解答】解：（1）解法一：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为点E在棱AB上移动，所以EA⊥平面AA1D1D，从而∠ED1A为直线D1E与平面AA1D1D所成的平面角，Rt△ED1A中，∠ED1A=45°．解法二：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点D1（0，0，1），平面AA1D1D的法向量为，设E（1，y，0），得，由，得，故（2）以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点E（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，2，1），从而，，设平面DA1C1的法向量为，由令，所以点E到平面A1DC1的距离为=1．【点评】本题主要考查了向量法求直线与平面所成角，以及点到平面的距离．属于立体几何的常规题．15．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y=（4+）p﹣x﹣6（p+），将p=代入化简得：y=19﹣﹣x（0≤x≤a）；（Ⅱ）y=22﹣（+x+2）≤22﹣3=10，当且仅当=x+2，即x=2时，上式取等号；当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；y=19﹣﹣x，y′=﹣，∴a＜2时，函数在[0，a]上单调递增，∴x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求证：存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）•g（x0）能按照某种顺序成等差数列．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数与方程的综合运用．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由周期公式可得ω，ω＞0，再由对称中心可得φ值，可得f（x）解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得；（2）当x∈（，）时sinx＞cos2x＞sinx•cos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（，）内是否有解，由函数零点的存在性定理可得．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω＞0，∴，又曲线y=f（x）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），∴sin（2×+φ）=0，可得，∴f（x）=cos2x，将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，由诱导公式化简可得g（x）=sinx；（2）当x∈（，）时，，，∴sinx＞cos2x＞sinx•cos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（，）内是否有解．设G（x）=sinx+sinx•cos2x﹣2cos2x，x∈（，），∵，，且函数G（x）的图象连续不断，∴函数G（x）在（，）内存在零点x0，即存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）•g（x0）能按照某种顺序成等差数列．【点评】本题考查三角函数图象变换，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（，）内是否有解是解决问题的关键，属中档题．17．若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4．（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，问曲线C上关于点B（0，t）（t∈R）对称的不同点有几对？请说明理由．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设M（x，y），由题意，分类讨论，可得点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）当t≤0或t≥4显然不存在符合题意的对称点．当0＜t＜4时，注意到曲线C关于y轴对称，至少存在一对（关于y轴对称的）对称点，下面研究曲线C上关于B（0，t）对称但不关于y轴对称的对称点即可．【解答】解：（1）设M（x，y），由题意…①：当y≤3时，有，化简得：x2=4y②：当y＞3时，有，化简得：x2=﹣12（y﹣4）（二次函数）综上所述：点M的轨迹方程为（如图）…（2）当t≤0或t≥4显然不存在符合题意的对称点当0＜t＜4时，注意到曲线C关于y轴对称，至少存在一对（关于y轴对称的）对称点下面研究曲线C上关于B（0，t）对称但不关于y轴对称的对称点设P（x0，y0）是轨迹x2=4y（y≤3）上任意一点，则，它关于B（0，t）的对称点为Q（﹣x0，2t﹣y0），由于点Q在轨迹x2=﹣12（y﹣4）上，所以，联立方程组（*）得4y0=﹣12（2t﹣y0﹣4），化简得①当y0∈（0，3）时，t∈（2，3），此时方程组（*）有两解，即增加有两组对称点．②当y0=0时，t=2，此时方程组（*）只有一组解，即增加一组对称点．（注：对称点为P（0，0），Q（0，4））③当y0=3时，t=3，此时方程组（*）有两解为，没有增加新的对称点．综上所述：…【点评】本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大．18．已知数列{a n}，S n为其前n项的和，满足S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；=n（T n （2）设数列{}的前n项和为T n，数列{T n}的前n项和为R n，求证：当n≥2，n∈N*时R n﹣1﹣1）；（3）已知当n∈N*，且n≥6时有（1﹣）n＜（）m，其中m=1，2，…，n，求满足3n+4n+…+（n+2）an的所有n的值．n=（an+3）【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】分类讨论；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用递推关系即可得出；（2）法一：直接计算化简即可证明；法二：利用数学归纳法即可证明．（3）利用“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论即可得出．【解答】（1）解：当n≥2时，，又∵a1=S1=1，∴a n=n．（2）证明：＜法一＞：∵，∴，∴==．＜法二＞：数学归纳法①n=2时，，，=k（T k﹣1），②假设n=k（k≥2，k∈N*）时有R k﹣1当n=k+1时，=，∴n=k+1是原式成立=n（T n﹣1）．由①②可知当n≥2，n∈N*时R n﹣1（3）解：∵，m=1，2，…，n．⇒相加得，，∵，∴3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n，∴n≥6时，∴3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）n无解，又当n=1时；3＜4，n=2时，32+42=52；n=3时，33+43+53=63n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，不符合n=5时，35+45+55+65+75为奇数，而85为偶数，不符合．综上所述n=2或者n=3．【点评】本题考查了递推关系、学归纳法、“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2018届高三数学二模典题库一、填空题1.集合1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= . 【答案】{}2 【来源】18届宝山二模1 【难度】集合、基础题2.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=02x xxA ，{|}B x x Z =∈，则A B ⋂等于 ．【答案】{}1或{}1=x x 【来源】18届奉贤二模1 【难度】集合、基础题3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【答案】1a ≥ 【来源】18届虹口二模1 【难度】集合、基础题4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ．【答案】2 【来源】18届黄浦二模1 【难度】集合、基础题5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A ，则实数=m _______． 【答案】3【来源】18届长嘉二模1 【难度】集合、基础题6. 设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1,0)- 【来源】18届普陀二模11 【难度】集合、中档题7．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 【答案】]3,1[- 【来源】18届徐汇二模1 【难度】集合、基础题8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =【答案】(2,3) 【来源】18届金山二模3 【难度】集合、基础题9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =【答案】{1,3} 【来源】18届崇明二模1 【难度】集合、基础题2.命题、不等式1．不等式|1|1x ->的解集是 ．【答案】(,0)(2,)-∞+∞【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、基础题2．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ．【答案】3【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、压轴题3．不等式|3|2x -<的解集为__________________． 【答案】{}15x x <<或()1,5 【来源】18届青浦二模1 【难度】不等式、基础题4．若为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为 ．{}n a【答案】4【来源】18届杨浦二模10 【难度】不等式、中档题5. 函数9y x x=+，(0,)x ∈+∞的最小值是 【答案】6 【来源】18届金山二模4 【难度】不等式、基础题3.函数1.给出下列函数：①1y x x=+；②x x y +=2；③2x y =；④23y x =；⑤x y tan =；⑥()sin arccos y x =；⑦(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】37【来源】18届奉贤二模9 【难度】函数、中档题2.已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321 ，且n n x x x x x <<<<<-1321 ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x ，则=θ ． 【答案】9π【来源】18届奉贤二模12 【难度】函数、压轴题3.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【答案】-2【来源】18届虹口二模5 【难度】函数、基础题4.若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是 ． 【答案】[2,2]- 【来源】18届黄浦二模3 【难度】函数、基础题5.已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．【答案】]1,1[-【来源】18届长嘉二模10 【难度】函数、中档题6.若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【来源】18届普陀二模2 【难度】函数、基础题7.若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【来源】18届普陀二模3 【难度】函数、基础题8.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f xg x ≤，则实数m 的取值范围是 .【答案】5m ≥- 【来源】18届青浦二模10 【难度】函数、中档题9.若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ．【答案】114⎛⎫⎪⎝⎭，【来源】18届徐汇二模11 【难度】函数、中档题10.设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是 【答案】2()log (3)f x x =- 【来源】18届崇明二模9 【难度】函数、中档题4.指数函数、对数函数1.方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ． 【答案】2【来源】18届黄浦二模6 【难度】对数函数、基础题2.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是【答案】12x =或1x =- 【来源】18届虹口二模11 【难度】指数函数、中档题3.若实数x 、y 满足112244+++=+y x yx，则y x S 22+=的取值范围是____________．【答案】]4,2(【来源】18届长嘉二模12 【难度】指数函数、压轴题4.函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________． 【答案】(0,)+∞ 【来源】18届徐汇二模3 【难度】对数函数、基础题5.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=【答案】2【来源】18届松江二模4 【难度】指数函数、基础题6.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围 【答案】()[)0,12,+∞【来源】18届松江二模10 【难度】指数函数、中档题7.函数lg 1y x =-的零点是 ． 【答案】10x = 【来源】18届杨浦二模1 【难度】对数函数、基础题8.函数lg y x =的反函数是【答案】1()10xf x -=【来源】18届金山二模2 【难度】对数函数、基础题5. 三角函数1.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为AB ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ．【答案】4π或045 【来源】18届奉贤二模5 【难度】三角函数、基础题2.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ． 【答案】4π【来源】18届黄浦二模4 【难度】三角函数、基础题3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【答案】13【来源】18届青浦二模3 【难度】三角函数、基础题4.在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π 【来源】18届普陀二模5 【难度】三角函数、基础题5..函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模4 【难度】三角函数、基础题6.已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是 ．【答案】⎣⎦【来源】18届青浦二模12 【难度】三角函数、压轴题7. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T =【答案】π【来源】18届金山二模1 【难度】三角函数、基础题8.若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 【答案】2424.77-或 【来源】18届杨浦二模9 【难度】三角函数、中档题9.在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =． 若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ．【来源】18届杨浦二模11 【难度】三角函数、中档题 10. 若2018100922sin(2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+=【答案】-1或1【来源】18届金山二模12 【难度】三角函数、压轴题题6. 数列1.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【答案】1或12-【来源】18届虹口二模7 【难度】数列、基础题2.已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．【答案】50【来源】18届黄浦二模11 【难度】数列、中档题3.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.【答案】1990-【来源】18届普陀二模9 【难度】数列、中档题4.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ． 【答案】33【来源】18届青浦二模5 【难度】数列、基础题7. 向量1.如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅的值为 .【答案】-4 【来源】18届宝山二模11 【难度】向量、中档题2.已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅= ．(结果用数值表示) 【答案】-6 【来源】18届黄浦二模5 【难度】向量、基础题3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅AC AB ，则线段AM 长的最小值为____________． 【答案】21 【来源】18届长嘉二模114.已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是 ．11、 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】18届青浦二模11 【难度】向量、中档题5.已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 【答案】3【来源】18届松江二模7 【难度】向量、基础题6.点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MNMF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】6【来源】18届普陀二模12 【难度】向量、压轴题7.已知两个不同向量(1,)OA m =，(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥，则实数m =____________． 【答案】1【来源】18届青浦二模48.已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为 ． 【答案】34【来源】18届杨浦二模12 【难度】向量、压轴题9.已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为 . 【答案】815【来源】18届徐汇二模12 【难度】向量、压轴题10. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅的值为 【答案】10【来源】18届崇明二模12 【难度】向量、压轴题8. 解析几何1.设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 【答案】24y x = 【来源】18届宝山二模2【难度】解析几何、基础题2.抛物线2y x =的焦点坐标是 ．【答案】（0，14） 【来源】18届奉贤二模3 【难度】解析几何、基础题3.椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【答案】2mn【来源】18届虹口二模10 【难度】解析几何、中档题4.角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是 ．（用一般式表示）11、 【答案】7241250x y ±+= 【来源】18届奉贤二模11 【难度】解析几何、压轴题5.直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【答案】2 【来源】18届虹口二模2 【难度】解析几何、基础题ααα26.已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________． 【答案】x y 42= 【来源】18届长嘉二模4 【难度】解析几何、基础题7. 抛物线212x y =的准线方程为_______. 【答案】3y =- 【来源】18届普陀二模1 【难度】解析几何、基础题8.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =【答案】2a = 【来源】18届松江二模1 【难度】解析几何、基础题9.已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 . 【答案】2220x y x y +--= 【来源】18届徐汇二模10 【难度】解析几何、中档题10.已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 【答案】1【来源】18届徐汇二模4 【难度】解析几何、基础题11.若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模8 【难度】解析几何、中档题12.平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = 【答案】{2,1,0}-- 【来源】18届金山二模10 【难度】解析几何、中档题13.已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r = 【答案】2【来源】18届金山二模11 【难度】解析几何、中档题14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π） 【答案】12π【来源】18届崇明二模6 【难度】解析几何、基础题15. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =【来源】18届崇明二模8 【难度】解析几何、中档题9. 复数1.设z 是复数，()a z 表示满足1nz =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则⎪⎭⎫⎝⎛-+i i a 11=______． 【答案】4【来源】18届奉贤二模7 【难度】复数、基础题2.已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3(4- 【来源】18届黄浦二模8 【难度】复数、中档题3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________． 【答案】5【来源】18届长嘉二模3 【难度】复数、基础题4.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 【答案】512i -【来源】18届青浦二模2 【难度】复数、基础题5.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【答案】-1【来源】18届松江二模3 【难度】复数、基础题6.若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ． 【答案】2【来源】18届杨浦二模6 【难度】复数、中档题7.i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 【答案】-2【来源】18届崇明二模3 【难度】复数、基础题10. 立体几何1.已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山 二模5 【难度】立体几何、基础题2.已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为 ．【答案】8或1:8 【来源】18届奉贤 二模2 【难度】立体几何、基础题3.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++= 4.2【答案】2【来源】18届虹口 二模4 【难度】立体几何、中档题4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【答案】3π 【来源】18届虹口 二模9 【难度】立体几何、中档题5.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．【答案】π322【来源】18届长嘉二模7【难度】立体几何、中档题6.三棱锥ABCP-及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．【答案】24【来源】18届长嘉二模8【难度】立体几何、中档题7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．【答案】4π【来源】18届青浦二模7【难度】立体几何、中档题8.若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【来源】18届徐汇二模5【难度】立体几何、基础题9.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .【答案】15π【来源】18届徐汇二模8【难度】立体几何、中档题10.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【答案】16π【来源】18届松江二模8 【难度】立体几何、中档题11.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的体积是 ．【来源】18届杨浦二模7 【难度】立体几何、中档题12.记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 【答案】23【来源】18届金山二模6 【难度】立体几何、中档题11. 排列组合、概率统计、二项式定理1.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.【答案】1.72 【来源】18届宝山二模3 【难度】统计、基础题2.若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 【答案】310【来源】18届宝山二模9 【难度】概率、中档题3.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 【答案】1688 【来源】18届宝山二模7 【难度】排列组合、中档题4.从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【答案】12【来源】18届虹口二模6 【难度】概率、中档题5.若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于 【答案】20 【来源】18届虹口二模8 【难度】二项式、中档题6.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．【答案】140【来源】18届黄浦二模9【难度】概率统计、中档题7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示) 10．【答案】5 16【来源】18届黄浦二模10 【难度】概率统计、中档题8.nxx⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n___________．【答案】4【来源】18届长嘉二模2【难度】二项式、基础题9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．9．【答案】167【难度】概率统计、中档题10.代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答） 【答案】3【来源】18届奉贤二模10 【难度】二项式、中档题11.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）. 【答案】24【来源】18届普陀二模4 【难度】二项式、基础题12.若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5 【答案】5【来源】18届普陀二模6 【难度】二项式、基础题13.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【难度】概率统计、中档题14.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【答案】45【来源】18届松江二模11 【难度】排列组合、压轴题15.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n nx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为【答案】25【来源】18届松江二模12 【难度】二项式、压轴题16.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【答案】20【来源】18届徐汇二模2 【难度】二项式、基础题 17.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．8、30【答案】30【来源】18届青浦二模8 【难度】二项式、中档题18.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ．【答案】151192【来源】18届青浦二模9 【难度】概率统计、中档题19.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 【答案】16【来源】18届徐汇二模9 【难度】概率统计、中档题20.若的二项展开式中项的系数是，则n = ． 【答案】4【来源】18届杨浦二模3 【难度】概率统计、基础题21.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ．()13nx +2x 542【来源】18届杨浦二模4 【难度】概率统计、基础题22.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是【答案】11322535C C C ⋅=【来源】18届金山二模8 【难度】概率统计、中档题23.(12)nx +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍， 则正整数n = 【答案】5【来源】18届金山二模9 【难度】二项式、中档题24.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字） 【答案】169.1【来源】18届崇明二模5 【难度】统计、基础题25. 若二项式7(2)ax x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=3【来源】18届崇明二模7 【难度】二项式、基础题26.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在 相邻车位的概率是【答案】47【来源】18届崇明二模10 【难度】概率、中档题12. 行列式、矩阵、程序框图1.若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是 【答案】0D ≠，即2m ≠±【来源】18届金山二模7 【难度】矩阵、中档题2.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】2log 3x = 【来源】18届奉贤二模6 【难度】矩阵、中档题3.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【答案】 40【来源】18届松江二模2 【难度】矩阵、基础题4.函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．【答案】π【来源】18届徐汇二模7 【难度】矩阵、基础题5.若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 【答案】9【来源】18届宝山二模6 【难度】矩阵、基础题6.已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是 ． 【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【来源】18届黄浦二模7 【难度】矩阵、基础题7.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=【答案】5【来源】18届崇明二模2【难度】矩阵、基础题8.若2log 1042x -=-，则x =【答案】4【来源】18届崇明二模4 【难度】行列式、基础题13. 数学归纳法、极限1.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【答案】12【来源】18届松江二模6 【难度】极限、基础题2.计算：=+∞→142limn nn ．【答案】12【来源】18届杨浦二模2 【难度】极限、基础题14. 参数方程、线性规划1.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是 ．【答案】4 【来源】18届奉贤二模4 【难度】线性规划、中档题2.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．【答案】4 【来源】18届长嘉二模6 【难度】线性规划、基础题3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.【答案】(24-【来源】18届普陀二模8 【难度】参数方程、中档题4.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】4(0,1][,)3+∞ 【来源】18届普陀二模10 【难度】参数方程、中档题5.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．【答案】12-【来源】18届青浦二模6 【难度】参数方程、中档题6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】-1【来源】18届徐汇二模6 【难度】线性规划、基础题7.若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．【答案】3【来源】18届杨浦二模5 【难度】线性规划、基础题8.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【答案】()2,1- 【来源】18届松江二模5 【难度】线性规划、基础题9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k = 【答案】5k =【来源】18届松江二模9 【难度】线性规划、中档题10.已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为【答案】6π【来源】18届崇明二模11 【难度】线性规划、中档题15.其它1.函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于 【答案】16【来源】18届虹口二模12 【难度】其它、压轴题 二、选择题1.命题、不等式)(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．【答案】 B 【来源】18届宝山二模13 【难度】命题与条件、基础题2.在给出的下列命题中，是假命题的是 答( )． (A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈， 则点A B C 、、必共线(B )若向量a b 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=， 则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【来源】18届黄浦二模16 【难度】命题与条件、压轴题3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

上海市浦东新区2018届高三二模数学试卷2018.04一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)… 2n 11.Iimn n 12.不等式一X0的解集为x 13•已知｛a n｝是等比数列，它的前n项和为S n，且83 4，8，则S5 _________________4.已知f 1(x)是函数f(x) log2(x 1)的反函数，贝U f 1(2) ______5.Ox丄)9二项展开式中的常数项为____________xx 2cos6.椭圆_ (为参数)的右焦点坐标为_____________y v3sinx 2y 42x y 3 一7.满足约束条件的目标函数f 3x 2y的最大值为_____________x 0y 08.函数f(x) cos2x ' 3si n2x , x R的单调递增区间为29.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为________ 米10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0),则该四面体的体积为 __________11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f (x)在［0,)上是增函数，如果对于任意x ［1,2］, f (ax 1) f (x 3)恒成立，则实数a的取值范围是 _______________12.已知函数f (x) x2 5x 7 ,若对于任意的正整数n，在区间［1,n -］上存在m 1个n实数a。

、a1、a2、、a m，使得f(a°) f(Q) f(a2) f (a m)成立，则m 的最大值为_________二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)213.已知方程x px 1 0的两虚根为洛、X2，若|X1 X2I 1，则实数p的值为( )A. 3B. 、5C. - 3 , ■- 5D. , 514. 在复数运算中下列三个式子是正确的： （1 ）1乙Z 2| | Z 1 |匕|;（ 2） |Z 1 Z 2 ||Z 1 | | Z 2 |；r r r r（3）（z i Z 2） Z 3 Z 1 （Z 2 Z 3），相应的在向量运算中，下列式子：（1） | a b| | a | |b|;（2）|a b| |a| |b| ； （ 3）（a b ） c a （b c ），正确的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 315. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

黄浦区2018年高考模拟考数学试卷(理科) 2018年4月11日考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟. 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足109z z-=，则z 的值为___________. 2．函数()lg(42)f x x =-的定义域为___________. 3．若直线l 过点(1,3)A -，且与直线230x y --=垂直，则直线l 的方 程为___________.4．等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=___________.5．执行右边的程序框图，则输出的a 值是___________. 6．设a 为常数，函数2()43f x x x =-+，若()f x a +在[0,)+∞上是增函[来源:学.科.网Z.X.X.K] 数，则a 的取值范围是___________.7．在极坐标系中，直线:cos 1l ρθ=被圆:4cos C ρθ=所截得的线段长 为___________.8．已知点(2,3)P -是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是___________.9．在平行四边形ABCD 中，若2,1,60AB AD BAD ==∠=，则AB BD ⋅=___________.10．已知,,A B C 是球面上三点，且4,90AB AC cm BAC ==∠= ，若球心O到平面ABC的距离为__________3cm . 11．在ABC ∆中，120,5,7A AB BC ∠=== ，则sin sin BC的值为___________. 12．已知23230123(3)(3)(3)n x x x x a a x a x a x ++++=+-+-+- (3)n n a x ++-()n N *∈且012n n A a a a a =++++ ，则lim4nnn A →∞=___________. 13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________. 14．已知1()4f x x=-，若存在区间1[,](,)3a b ⊆+∞，使得{}(),[,][,]y y f x x a b ma mb =⊆=，则实数m 的取值范围是___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知4cos 25θ=，且sin 0θ<，则tan θ的值为A ．2425-B. 247±C. 247- D. 24716．函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是A ．3)y x ≤< B. 3)y x =>C ．3)y x =≤< D. 3)y x => 17．下列命题：①“102a <≤”是“存在n N *∈，使得1()2n a =成立”的充分条件；②“0a >”是“存在n N *∈，使得1()2n a <成立”的必要条件；③“12a >”是“不等式1()2n a <对一切n N *∈恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是A ．③ B. ②③ C. ①② D.①③18．如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ 的取值范围是A ．[1,1)- B. {}1,0- C. (,1][0,1)-∞- D.[1,0](1,)-+∞ABCDA 1B 1ED 1C 1三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，1AD . （1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知复数12sin ,(sin )z x i z x x i λ=+=-(,,x R i λ∈为虚数单位) （1）若122z z i =，且(0,)x π∈，求x 与λ的值；（2）设复数12,z z 在复平面上对应的向量分别为12,OZ OZ ，若12OZ OZ ⊥ ，且()f x λ=，求()f x 的最小正周期和单调递减区间.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足211(01)2(1)41x x axx x ay a x --⎧<<⎪⎪+=⎨⋅⎪>⎪⎩+， 其对应曲线（如图所示）过点16(2,)5.[来源:学科网]（1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值时对应的x 值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效， 那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时 间？（精确到0.01小时） [来源:学#科#网]22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线l 交抛物线C 于点11(,)A x y ，22(,)B x y 且124y y =-.（1）求抛物线C 的方程；（2）若2()OE OA OB =+(O 为坐标原点)，且点E 在抛物线C 上，求直线l 倾斜角；（3）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k .求证：当0k 为定值时，12k k +也为定值.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）设123m a =+(3m >且m ∈N)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N)时，都有0n a =.一、填空题1. 3i ±2. [)1,2-3. 21y x =-+4. 125. 1216. [)2,+∞7.8. 2213y x -= 9. 3-10. 64π 11. 35 12. 4313. 271014. []3,4二、选择题15. C 16. D 17. B 18. A三、解答题【题目19】【解析】⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高13AA ==∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=22312V =⨯⨯=⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ，[来源:学#科#网]∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角 ∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA ∥，[来源:学。

2018年上海市虹口区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知A=（﹣∞，a]，B=[1，2]，且A∩B=∅，则实数a的范围是2．（4分）直线ax+（a﹣1）y+1=0与直线4x+ay﹣2=0互相平行，则实数a= 3．（4分）已知α∈（0，π），cosα=﹣，则tan（α+）=．4．（4分）长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=5．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1[f﹣1（﹣9）]=6．（4分）从集合{﹣1，1，2，3}随机取一个为m，从集合{﹣2，﹣1，1，2}随机取一个为n，则方程表示双曲线的概率为7．（5分）已知{a n}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q=．8．（5分）若将函数f（x）=x6表示成f（x）=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x ﹣1）3+…+a6（x﹣1）6，则a3的值等于9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长AB=AA1=1，AD=，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面距离等于．10．（5分）椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为11．（5分）[x]是不超过x的最大整数，则方程（2x）2•[2x]满足x＜1的所有实数解是12．（5分）函数f（x）=sinx，对于x1＜x2＜x3＜…＜x n且x1，x2，…x n∈[0，8π]（n≥10），记M=|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f（x3）﹣f（x4）|+…+|f （x n）﹣f（x n）|，则M的最大值等于﹣1二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x+1B．f（x）=sinx•cosxC．f（x）=arccosx D．f（x）=14．（5分）在Rt△ABC中，AB=AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足=k，当取得最小值时，实数k的值为（）A．B．C．D．15．（5分）直线l：kx﹣y+k+1=0与圆x2+y2=8交于A、B两点，且|AB|=4，过点A、B分别作l的垂线与y轴交于点M、N，则|MN|等于（）A．2B．4C．4D．816．（5分）已知数列{a n}的首项a1=a，且0＜a≤4，a n+1=，S n是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（）A．不存在a和n使得S n=2015B．不存在a和n使得S n=2016C．不存在a和n使得S n=2017D．不存在a和n使得S n=2018三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，，高等于3，点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1﹣AM1N2的体积；（2）求异面直线A1N2、AM1所成的角的大小．18．（14分）已知△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，z=cosA+i•sinA （i是虚数单位）是方程z2﹣z+1=0的根，a=3．（1）若B=，求边长c的值；（2）求△ABC面积的最大值．19．（14分）平面内的“向量列”{}，如果对于任意的正整数n，均有=，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”，平面内的“向量列”{}，如果对于任意的正整数n，均有=q（q≠0），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q称为“公比”．（1）如果“向量列”{}是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；（2）已知{}是“等差向量列”，“公差向量”=（3，0），=（1，1），=（a n，y n），{}是“等比向量列”，“公比”q=2，=（1，3），=（m n，k n），求．20．（16分）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C：，点M（m，n）是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”．（1）证明：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M（m，n）不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点；（3）点M（m，n）不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等？并说明理由．21．（18分）已知函数f（x）=ax3+x﹣a（a∈R，xR），g（x）=（x∈R）．（1）如果x=是关于x的不等式f（x）≤0的解，求实数a的取值范围；（2）判断g（x）在（]和[）的单调性，并说明理由；（3）证明：函数f（x）存在零点q，使得a=q+q4+q7+…+q3n﹣2+…成立的充要条件是a．2018年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知A=（﹣∞，a]，B=[1，2]，且A∩B=∅，则实数a的范围是（﹣∞，1）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】由集合A，B，以及A∩B即可得出a＜1．【解答】解：∵A∩B=∅；∴a＜1；∴实数a的范围为（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】考查区间表示集合的概念，交集的概念及运算．2．（4分）直线ax+（a﹣1）y+1=0与直线4x+ay﹣2=0互相平行，则实数a=2【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5B：直线与圆．【分析】根据两直线平行的条件列出方程求得a的值．【解答】解：直线ax+（a﹣1）y+1=0与直线4x+ay﹣2=0互相平行，则a2﹣4（a﹣1）=0，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了直线方程平行条件的应用问题，是基础题．3．（4分）已知α∈（0，π），cosα=﹣，则tan（α+）=．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数关系式求解sinα，可得tanα，结合正切的和与差公式即可求解tan（α+）的值．【解答】解：由α∈（0，π），cosα=﹣，α在第二象限．∴sinα==．则tanα=．则tan（α+）===．故答案为：．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式，正切的和与差公式的应用，属于基本知识的考查．4．（4分）长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】跟据题意知，分别找出对角线AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，与面AD1所成的角为∠C1AD1=β；与面AC所成的角为∠C1AC=γ；，并且求出它们的余弦值，可求cos2α+cos2β+cos2γ的值．【解答】解：设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中三边为a、b、c，如图对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，=2∴则cos2α+cos2β+cos2γ=2，故答案为：2．【点评】考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．5．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1[f﹣1（﹣9）]=﹣2【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】推导出，从而f﹣1（﹣9）=3，进而f﹣1[f﹣1（﹣9）]=f﹣1（3），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴x≥0时，y=﹣x2，x=，x，y互换，得，x≤0，x＜0时，y=2﹣x﹣1，x=﹣log2（y+1），x，y互换得f﹣1（x）=﹣log2（x+1），x＞0，∴，∴f﹣1（﹣9）=3，f﹣1[f﹣1（﹣9）]=f﹣1（3）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（4分）从集合{﹣1，1，2，3}随机取一个为m，从集合{﹣2，﹣1，1，2}随机取一个为n，则方程表示双曲线的概率为【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数N=4×4=16，由方程表示双曲线，得mn＜0，从而方程表示双曲线包含的基本事件个数M=3×2+1×2=8，由此能求出方程表示双曲线的概率．【解答】解：∵从集合{﹣1，1，2，3}随机取一个为m，从集合{﹣2，﹣1，1，2}随机取一个为n，∴基本事件总数N=4×4=16，∵方程表示双曲线，∴mn＜0，∴方程表示双曲线包含的基本事件个数M=3×2+1×2=8，∴方程表示双曲线的概率为p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查双曲线、古典概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）已知{a n}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q=或1．【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】先利用等比数列的性质分别用a2和q表示出a3和a4，进而代入2a4=a2+a3中求得q．【解答】解：a3=qa2，a4=q2•a2∵a2，a4，a3成等差数列∴2a4=a2+a3即2a2•q2=a2+q•a2解得，q=1或﹣故答案为1或﹣【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．8．（5分）若将函数f（x）=x6表示成f（x）=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x ﹣1）3+…+a6（x﹣1）6，则a3的值等于20【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】由f（x）=x6=[（x﹣1）+1]6，展开即可求得a3的值．【解答】解：∵f（x）=x6=[（x﹣1）+1]6，∴a3（x﹣1）3=，则．故答案为：20．【点评】本题考查二项式系数的性质，考查数学转化思想方法，是基础题．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长AB=AA1=1，AD=，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面距离等于．【考点】L*：球面距离及相关计算．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】求出球的半径和∠AOA1，根据弧长公式得出答案．【解答】解：A1C==2，∴外接球半径为OA1=A1C=1，∴△OAA1为等边三角形，∴∠AOA1=，∴球A、A1这两点的球面距离为=．故答案为：．【点评】本题考查了球面距离的计算，属于基础题．10．（5分）椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，分析可得椭圆中a=，b=，则椭圆的方程为+=1，进而设x=cosθ，y=sinθ，则有椭圆的内接矩形的面积S=|2x||2y|=4|xy|=|sin2θ|，结合正弦函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，即2a=m，2b=n，则有a=，b=，则椭圆的方程为+=1，设x=cosθ，y=sinθ，则椭圆的内接矩形的面积S=|2x||2y|=4|xy|=|sin2θ|，又由|sin2θ|≤1，则S≤，当θ=时等号成立；即此椭圆的内接矩形的面积的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意椭圆的参数方程的应用．11．（5分）[x]是不超过x的最大整数，则方程（2x）2•[2x]满足x＜1的所有实数解是x=或x=﹣1【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】35：转化思想；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】分0≤x＜1，x＜0，分别求解符合条件的x．【解答】解：当0≤x＜1，[2x]=1，∴（2x）2=2⇒x=符合题意；当x＜0，[2x]=0，∴（2x）2=⇒x=﹣1符合题意，∴满足条件的所有实数解为x=或x=﹣1．故答案为：或﹣1【点评】本题考查了新定义问题，分类思想，属于中档题．12．（5分）函数f（x）=sinx，对于x1＜x2＜x3＜…＜x n且x1，x2，…x n∈[0，8π]（n≥10），记M=|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f（x3）﹣f（x4）|+…+|f ）﹣f（x n）|，则M的最大值等于16（x n﹣1【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦函数的图象及性质x1，x2，…x n∈[0，8π]（n≥10），在[0，8π]有4个周期，要使M的最大值，则|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f （x3）﹣f（x4）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|最大．则x1，x2，…x n都是顶点的横坐标．可得结论．【解答】解：根据正弦函数的图象及性质x1，x2，…x n∈[0，8π]（n≥10），在[0，8π]有4个周期，要使M的最大值，则|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f（x3）﹣f（x4）|+…+|f（x n﹣1）﹣f （x n）|最大．则x1，x2，…x n都是顶点的横坐标．故得M最大值为4×4=16．故答案为：16【点评】本题考查正弦型三角函数的图象性质的应用．属于基础题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x+1B．f（x）=s inx•cosxC．f（x）=arccosx D．f（x）=【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；34：方程思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x+1，则f（﹣x）=﹣x+1，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f （x），则函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）=sinxcosx，则f（﹣x）=sin（﹣x）cos（﹣x）=﹣sinxcosx=﹣f（x），函数f（x）为奇函数，符合题意；对于C，f（x）=arccosx，为反三角函数，则函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；对于D，f（x）=，有f（﹣x）=f（x），函数f（x）为偶函数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判定，注意函数奇偶性的判定方法．14．（5分）在Rt△ABC中，AB=AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足=k，当取得最小值时，实数k的值为（）A．B．C．D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面向量数量积的最小值与对应点P的坐标，即可求出k的值．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；设AB=AC=3，点P（x，3﹣x），M（1，0），N（2，0），则•=2x2﹣9x+11，其中x∈[0，3]，∴当x=时•取到最小值，此时P（，），∴k==．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．15．（5分）直线l：kx﹣y+k+1=0与圆x2+y2=8交于A、B两点，且|AB|=4，过点A、B分别作l的垂线与y轴交于点M、N，则|MN|等于（）A．2B．4C．4D．8【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】35：转化思想；48：分析法；5B：直线与圆．【分析】由|AB|=4等于圆的直径，可得直线l：kx﹣y+k+1=0经过原点，从而求出k=﹣1，则|MN|可求．【解答】解：∵|AB|=4等于圆的直径，∴直线l：kx﹣y+k+1=0经过原点，∴k=﹣1，∴|MN|=AB=8．故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．16．（5分）已知数列{a n}的首项a1=a，且0＜a≤4，a n+1=，S n是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（）A．不存在a和n使得S n=2015B．不存在a和n使得S n=2016C．不存在a和n使得S n=2017D．不存在a和n使得S n=2018【考点】8E：数列的求和．【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】令a1=1，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B、C；令a1=2，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D，问题得以解决．【解答】解：令a1=1，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B、C；令a1=2，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D，故选：A．【点评】本题考查了数列的递推公式，关键是利用特值法，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，，高等于3，点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1﹣AM1N2的体积；（2）求异面直线A1N2、AM1所成的角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．×AA1；三棱锥A1﹣AM1N2的体积【分析】（1）三棱柱的体积V=S△BAC=．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1N2、AM1所成的角．【解答】解：（1）∵直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，，高等于3，∴此三棱柱的体积V=S×AA1==．△BAC∵点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点．M1到平面AA1N2的距离d=AB=1，∴三棱锥A1﹣AM1N2的体积：==×d==．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，3），N2（0，1，2），A（0，0，0），M1（1，0，1），=（0，1，﹣1），=（1，0，1），设异面直线A1N2、AM1所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=，∴异面直线A1N2、AM1所成的角为．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）已知△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，z=cosA+i•sinA（i是虚数单位）是方程z2﹣z+1=0的根，a=3．（1）若B=，求边长c的值；（2）求△ABC面积的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）方程z2﹣z+1=0的解为i，从而A=再由B=，a=3，利用正弦定理能求出边长c的值．（2）由a=3，A=，得△ABC的面积S=，由此能求出△△ABCABC面积取最大值．【解答】解：（1）∵△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，z=cosA+i•sinA （i是虚数单位）是方程z2﹣z+1=0的根，a=3．方程z2﹣z+1=0的解为i，∴A=，∵B=，∴由正弦定理得：，即==，解得b=，c=．==，（2）∵a=3，A=，∴△ABC的面积S△ABC当AB=AC=BC=a=3时，△ABC面积取最大值为S==．【点评】本题考查三角形的边长的求法，考查三角形面积的最大值求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（14分）平面内的“向量列”{}，如果对于任意的正整数n，均有=，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”，平面内的“向量列”{}，如果对于任意的正整数n，均有=q（q≠0），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q称为“公比”．（1）如果“向量列”{}是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；（2）已知{}是“等差向量列”，“公差向量”=（3，0），=（1，1），=（a n，y n），{}是“等比向量列”，“公比”q=2，=（1，3），=（m n，k n），求．【考点】8L：数列与向量的综合．【专题】34：方程思想；4H：作差法；54：等差数列与等比数列；5A：平面向量及应用．【分析】（1）运用等差数列的求和公式和向量的加减运算，即可得到所求和；（2）求得•=（3n﹣2，1）•（2n﹣1，3•2n﹣1）=（3n﹣2）•2n﹣1+3•2n﹣1=（3n+1）•2n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）如果“向量列”{}是“等差向量列”，由和“公差向量”，=n+（1+2+…+n﹣1）=n+；（2）•=（3n﹣2，1）•（2n﹣1，3•2n﹣1）=（3n﹣2）•2n﹣1+3•2n﹣1=（3n+1）•2n﹣1，S n==4•20+7•21+…+（3n+1）•2n﹣1，2S n=4•2+7•22+…+（3n+1）•2n，相减可得﹣S n=4+3（2+22+…+2n﹣1）﹣（3n+1）•2n=4+3•﹣（3n+1）•2n，化简可得=（3n﹣2）•2n+2．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列、等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．20．（16分）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C：，点M（m，n）是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”．（1）证明：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M（m，n）不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点；（3）点M（m，n）不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等？并说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设切线方程，代入椭圆方程，由M在椭圆方程，利用△=0，即可求得k的值，求得“切线”方程是；方法二：将直线方程代入椭圆方程，由△=0，则直线与椭圆只有一个交点，故直线与椭圆相切；（2）求得直线MA，MB的方程，令x=0，即可求得P和Q点坐标，令x=0，求得D点坐标，由y P+y Q=2y D，即可求得点D是线段PQ的中点；（3）求得交点坐标，即可求得MF1及MF2斜率，根据直线的夹角公式，求得tanθ1=tanθ1，过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等【解答】解：（1）方法一：当n=0时，m=±，则切线方程x=±，满足，当m≠0时，设直线y=k（x﹣m）+n，联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（km﹣n）x+2（km﹣2）2﹣2=0，由△=16k2（km﹣n）2﹣4×（1+2k2）[2（km﹣2）2﹣2]=0，整理得：（2﹣m2）k2+2mnk+1﹣n2=0，由M（m，n）在椭圆上，则，2﹣m2=2n2，1﹣n2=，∴2n2k2+2mnk+=0，则（nk+）2=0，解得：k=﹣，∴切线方程y=﹣（x﹣m）+n，整理得：；综上可知：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；方法二：由直线，整理得：mx+2ny=2，，整理得：（2n2+m2）y2﹣4ny+2﹣m2=0，由M（m，n）在椭圆上，则，2﹣m2=2n2，2n2+m2=2，则y2﹣2ny+n2=0，则△=0，∴过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）由椭圆的左顶点A（﹣，0），右顶点B（，0），由直线MA的方程：y=（x+），令x=0，则y P=，同理y Q=，切线方程，令x=0，则y D=y P+y Q===2y D，∴点D是线段PQ的中点；（3）相等，由椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是，则直线MF1的斜率=，直线MF2的斜率=，则切线的斜率k=，由夹角公式tanθ1=||=，tanθ1=||=，所以所成夹角相等．【点评】本题考查椭圆的标准方程的性质，直线的切线方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查直线夹角公式的应用，中点坐标公式，考查转化思想，属于中档题．21．（18分）已知函数f（x）=ax3+x﹣a（a∈R，xR），g（x）=（x∈R）．（1）如果x=是关于x的不等式f（x）≤0的解，求实数a的取值范围；（2）判断g（x）在（]和[）的单调性，并说明理由；（3）证明：函数f（x）存在零点q，使得a=q+q4+q7+…+q3n﹣2+…成立的充要条件是a．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）x=是关于x的不等式f（x）≤0的解，可得≤0，解出即可得出．（2）g′（x）==，利用导数研究其单调性即可得出．（3）函数f（x）存在零点q，使得a=q+q4+q7+…+q3n﹣2+…成立的充要条件是a．a=成立，根据无穷等比数列相关性质，q∈（﹣1，1），q≠0，结合第（2）问，a=在（]上单调递减，在[）上单调递增．可得a≥=．【解答】解：（1）x=是关于x的不等式f（x）≤0的解，∴=a﹣﹣a≤0，解得：a≥﹣．∴实数a的取值范围是．（2）g′（x）==，∴函数g（x）在（]上单调递减，在[）上单调递增．（3）证明：函数f（x）存在零点q，使得a=q+q4+q7+…+q3n﹣2+…成立的充要条件是a．∴a=成立，根据无穷等比数列相关性质，q∈（﹣1，1），q≠0，结合第（2）问，a=在（]上单调递减，在[）上单调递增．∴a≥==﹣．反之亦然．【点评】本题考查了函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2017-2018学年第二学期普陀区高三数学质量调研2018.4考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 抛物线212x y =的准线方程为_______.2. 若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.3. 若函数()23f x x =+()g x ，则函数()g x 的零点为________.4. 书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）.5. 在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________. 6. 若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________. 7. 某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.8.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.9.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.10.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________.11.设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是.12. 点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MN MF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为__________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为………………（ ）)A (2()B 1()C 0()D 1-14.如图所示的几何体，其表面积为(55)π+，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆5 …………………………（ ）)A (4()B 6()C 8()D 1015.设n S 是无穷等差数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈），则“lim n n S →∞存在”是 “该数列公差0d =”的………………………………………………（ ）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件16.已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描叙正 确的是……………………………………………………………………………（ ）)A (若5k =，则至少．．存．在．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 ()B 若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都．存在．．以,,x y z 为边长的三角形 ()C 若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都．存在．．以,,x y z 为边长的三角形 ()D 若8k =，则对满足不等式的,,x y z 不．存在．．以,,x y z 为边长的直角三角形 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图所示的正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，侧棱12AA =,点A 1B 1C 1D 1EE 在棱1CC 上，且1=CE CC λ(0λ>). （1）当1=2λ时，求三棱锥1D EBC -的体积； （2）当异面直线BE 与1D C 所成角的大小为2arccos 3时，求λ的值.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分已知函数2(=sin cos sin f x x x x -），R x ∈. （1）若函数()f x 在区间[,]16a π上递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称，且1[,]44x ππ∈-，求点Q 的坐标.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通s 号点，,P Q线线路示意图如图所示.已知,M N 是东西方向主干道边两个景，是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O 均为线路AB 段上的任意一点到景点N 的距离比到景点M 的距离都多10km ，线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，线路CD 段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km ，以O 为原点建立平面直角坐标系xOy . （1）求轨道交通s 号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB 段上需建一站点G 到景点Q 的距离最近，问如何设置站点G 的位置？20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立. （1）若函数()3f x kx =+，求实数k 和t 的值；（2）当2t =时，若[0,2]x ∈，()(2)f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[2,6]-上的值域； （3）设函数()f x 的值域为[,]a a -，证明：函数()f x 为周期函数.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.若数列{}n a 同时满足条件：①存在互异的*,N p q ∈使得p q a a c ==（c 为常数）；②当n p ≠且n q ≠时，对任意*N n ∈都有n a c >，则称数列{}n a 为双底数列. （1）判断以下数列{}n a 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）； ①6n a n n=+； ②sin 2n n a π=； ③()()35n a n n =--（2）设501012,1502,50n n n n a m n --≤≤⎧=⎨+>⎩，若数列{}n a 是双底数列，求实数m 的值以及数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）设()9310nn a kn ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是否存在整数k ，使得数列{}n a 为双底数列？若存在，求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由.普陀区2017学年第二学期高三数学质量调研评分标准（参考）一、填空题4[,)3+∞二、选择题17.（1）由11=2CE CC ，得1CE =，又正四棱柱1111ABCD A B C D -，则11D C ⊥平面EBC ， 则11113D EBC Rt ECB V S D C -∆=⋅…………………………… 4分111326CE BC =⨯⋅=.………………………… 6分 （2）以D 为原点，射线DA 、DC 、1DD 作x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系（如图），……………… 2分 则(1,1,0)B ，(0,1,2)E λ，1(0,0,2)D ，(0,1,0)C ，即1(0,1,2)DC =-，(1,0,2)BE λ=-………………………………………………… 4分又异面直线BE与1D C 所成角的大小为2arccos3， 则11023D C BE D C BE ⋅⨯===⋅,……………………… 6分化简整理得2165λ=，又0λ>，即λ=……………………………………… 8分 18.（1）21cos 21(=sin cos sin sin 222x f x x x x x --=+），…………………………2分 1sin(2)242x π=+-，…………………………4分 y当16x π=时，则322416482x πππππ+=⨯+=<， 又函数()f x 在[,]16a π上递增，则242a ππ+≥-，即38a π≥-，………………………7分 则实数a 的取值范围为3[,)816a ππ∈-. …………………………………………………8分 （2）若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称，则1sin(2)04x π+=，………………2分即124x k ππ+=（Z k ∈），则128k x ππ=-[,]44ππ∈-，………………………………4分由Z k ∈得0k =，则点Q 的坐标为1(,)82π--. …………………………………………6分 19.（1）因为线路AB 段上的任意一点到景点N 的距离比到景点M 的距离都多10km ，所以线路AB 段所在曲线是以定点M ，N 为左、右焦点的双曲线的左支，则其方程为2225(0,0)x y x y -=<≥， …………………………………………………3分因为线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，所以线路BC 段所在曲线是以O 为圆心、以OB 长为半径的圆，由线路AB 段所在曲线方程可求得(5,0)B -，则其方程为2225(0,0)x y x y +=≤≤， …………………………………………………5分因为线路CD 段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km ，所以线路CD 段所在曲线是以定点Q 、P 为上、下焦点的双曲线下支，则其方程为2225(0,0)x y x y -=-≥<， …………………………………………………7分 故线路示意图所在曲线的方程为25x x y y +=-. ……………………………………8分（2）设00(,)G x y ，又Q ，则GQ =，由（1）得220025x y -=，即GQ =3分则GQ =02y =时，min GQ =则站点G 的坐标为⎛ ⎝，可使G 到景点Q 的距离最近.……………………6分20．（1）由()()f x t tf x +=-得，()3(3)k x t t kx ++=-+对R x ∈恒成立，即()(3)30k kt x k t ++++=对R x ∈恒成立，则(1)0(3)300k t k t t +=⎧⎪++=⎨⎪≠⎩，……………………2分即01k t =⎧⎨=-⎩. ……………………………………………………………………………4分（2）当[0,2]x ∈时，2()(2)1(1)[0,1]f x x x x =-=--∈，……………………………2分 当[2,0]x ∈-时，即2[0,2]x +∈， 由(2)2()f x f x +=-得1()(2)2f x f x =-+，则1()[,0]2f x ∈-，……………………3分 当[2,4]x ∈时，即2[0,2]x -∈，由(2)2()f x f x +=-得()2(2)f x f x =--，则()[2,0]f x ∈-，……………………4分 当[4,6]x ∈时，即2[2,4]x -∈，由()2(2)f x f x =--得()[0,4]f x ∈， …………………………………………………5分 综上得函数()f x 在闭区间[0,6]上的值域为[2,4]-. ……………………………………6分 （3）（证法一）由函数()f x 的值域为[,]a a -得，()f x t +的取值集合也为[,]a a -，当0t >时，()()[,]f x t tf x ta ta +=-∈-，则ta ata a-=-⎧⎨=⎩，即1t =.……………………2分由(1)()f x f x +=-得(2)(1)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是以2为周期的函数.…………………………………………………………3分 当0t <时，()()[,]f x t tf x ta ta +=-∈-，则ta ata a-=⎧⎨=-⎩，即1t =-.……………………5分即(1)()f x f x -=，则函数()f x 是以1为周期的函数.故满足条件的函数()f x 为周期函数.………………………………………………………6分 （证法二）由函数()f x 的值域为[,]a a -得，必存在0R x ∈，使得0()f x a =， 当1t >时，对1t >，有00()()f x t tf x ta a +=-=-<-，对1t <-，有00()()f x t tf x ta a +=-=->，则1t >不可能；当01t <<时，即11t >，001()()f x f x t t=-+， 由()f x 的值域为[,]a a -得，必存在0R x ∈，使得0()f x t a +=， 仿上证法同样得01t <<也不可能，则必有1t = ，以下同证法一.21. （1）①③是双底数列，②不是双底数列；……………………………………………4分 （2）数列{}n a 当150n ≤≤时递减，当50n >时递增，由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-，……………………………………………2分 当150n ≤≤时，数列成等差，()29910121002n n n S n n +-==-，当50n >时，()()()22501005*********n n S -=⨯-+-+-++-4922548n n -=-+， ………………………………………5分综上，249100,15022548,50n n n n n S n n -⎧-≤≤=⎨-+>⎩.……………………………………………………6分（3）()()1199331010n nn n a a kn k kn ++⎛⎫⎛⎫-=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()93931010nkn k kn ++⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()19931010nk kn ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ……………………………………2分 若数列{}n a 是双底数列，则93k kn -=有解（否则不是双底数列）， 即 39n k-=，………………………………………………………………………3分 得16k n =⎧⎨=⎩或38k n =⎧⎨=⎩或112k n =-⎧⎨=⎩或310k n =-⎧⎨=⎩故当1k =时，()13961010nn n a a n +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当15n ≤≤时，1n n a a +>；当6n =时，1n n a a +=；当7n ≥时，1n n a a +<； 从而 12345678a a a a a a a a <<<<<=>> ，数列{}n a 不是双底数列；同理可得：当3k =时，12891011a a a a a a <<<=>>> ，数列{}n a 不是双底数列； 当1k =-时，1212131415a a a a a a >>>=<<< ，数列{}n a 是双底数列； 当3k =-时，1210111213a a a a a a >>>=<<<，数列{}n a 是双底数列；…………………………………………………………………………………………………7分 综上，存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底数列.…………………………8分。

上海市松江区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 5. 直线l 的参数方程为112x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则l i m nn nS n a →∞=⋅7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-， 则常数k =10. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t bc -++的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz - 的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A.4323 D. 23- 15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若30S >，则20180a > B. 若30S <，则20180a < C. 若21a a >，则20192018a a > D. 若2111a a >，则20192018a a < 16. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点. （1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.18. 已知函数()cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关 系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q两点，1sin BF O ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值； （2）若b =l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:l y =M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.21. 无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值； （3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.上海市松江区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 【解析】2a =2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【解析】12103040c c +=+=3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【解析】虚部为零，101m m +=⇒=-4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 【解析】1213(3)2x f --=⇒=5. 直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【解析】12(1)230y x x y =-+-⇒--=，法向量可以是(2,1)-6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则li m nn nS n a →∞=⋅【解析】2352n n n S +=，1lim 2n n nS n a →∞=⋅7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为【解析】(2)()0(21)803a b xa b x x x +⋅-=⇒+--=⇒=8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 【解析】5R =，4r =，16S π= 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-， 则常数k = 【解析】数形结合，可知图像||||14x y k +=经过点(5,0)-，∴5k = 10. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 【解析】分类讨论，当01a <<时，没有最小值，当1a >时，即210x ax -+≤有解， ∴02a ∆≥⇒≥，综上，(0,1)[2,)a ∈+∞11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【解析】① 1234||||||||2x x x x +++=，有10组；② 1234||||||||3x x x x +++=， 有16组；③ 1234||||||||4x x x x +++=，有19组；综上，共45组 12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t bc -++的最小值为【解析】52nnn a =-，2[][]155nn n n na n n n ⋅=-=-，22n n n b -=，22()()n n t b c -++的几何意义为点2(,)2n nn -()n ∈*N 到点3(,2)4t t -的距离，由图得，最小值即(2,1)到324y x =- 的距离，为0.4二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【解析】B14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A.43B. 323 D. 23- 【解析】42cos 233||||OC n OC n θ⋅===⋅⋅，选C15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若30S >，则20180a > B. 若30S <，则20180a < C. 若21a a >，则20192018a a > D. 若2111a a >，则20192018a a < 【解析】A 反例，11a =，22a =-，34a =，则20180a <；B 反例，14a =-，22a =，31a =-，则20180a >；C 反例同B 反例，201920180a a <<；故选D16. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】命题1：()()0f x g x ==，x ∈R ；命题2：()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞； 命题3：2()()f x g x x ==-，x ∈R ；均为真命题，选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点. （1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1AE 与1DF 所成的角的大小. 【解析】（1）121233V =⨯⨯=（2）4cos 5θ==，所成角为4arccos 518.已知函数()cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C的对边，a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.【解析】（1）()2sin()6f x x πω=+，()0336f k πωπππ-=⇒-+=，||1ω<，∴12ω=（2）()1f A =⇒3A π=，由余弦定理，2bc =19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关 系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？【解析】（1）22240(30),110()40(10200),101520(10200),1520t t t F t t t t t t t ⎧-+≤≤⎪=-++<≤⎨⎪-++<≤⎩（2）()5000515F t t ≥⇒≤≤，第5天到第15天20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q两点，1sin 3BF O ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值； （2）若b =l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:l y =M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.【解析】（1）22231x y b +=，:l x =，2PF =，1PF =，12||5||PF PF = （2）22231x y +=，1:(2)2l y x =-，1(2,0)F -，关于l 对称点216(,)55E --，不在椭圆上 （3）设:()l y k x =，点差得1:3OM l y x k=-，联立1:l y =(M -， 代入直线l()k =-，∴6b =≥，k =56πα=21. 无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值； （3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.【解析】（1）2t =，对任意正整数n ，2n n a a +=恒成立，∴具有性质T （2）分类讨论，得结论，6n ≥，{}n a 有周期性，周期为3，∴2082a a == （3）略。

2017-2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2018.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是.3．函数()lg(32)x x f x =-的定义域为_____________．4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =.5．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，．则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--r ，向量()1,1b =r，则向量a b ⊥r r 的概率．．是. 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是．12．已知向量,a b r r 的夹角为锐角，且满足||a =r、||b =r ，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>r r ，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={2，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则实数m=．2．（4分）（x+）n的展开式中的第3项为常数项，则正整数n=．3．（4分）已知复数z满足z2=4+3i（i为虚数单位），则|z|=．4．（4分）已知平面直角坐标系xOy中动点P（x，y）到定点（1，0）的距离等于P到定直线x=﹣1的距离，则点P的轨迹方程为．5．（4分）已知数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是其前n项和，则=．6．（4分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．7．（5分）将圆心角为，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．8．（5分）三棱锥P﹣ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱PB的长为．9．（5分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为．10．（5分）已知函数f（x）=lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是．11．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，∠A=120°，•=﹣，则线段AM 长的最小值为．12．（5分）若实数x、y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则S=2x+2y的取值范围是．二、选择题（每题5分）13．（5分）“x=2”是“x≥1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支15．（5分）点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A．B．C．D．16．（5分）在计算机语言中，有一种函数y=INT（x）叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y等于不超过x的最大整数，如INT（0.9）=0，INT（3.14）=3，已知a n=INT（×10n），b1=a1，b n=a n﹣10a n﹣1（n∈N*，且n≥2），则b2018等于（）A．2B．5C．7D．8三、解答题17．（14分）已知函数f（x）=2sin2x+sin（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（A）=2，求sinC的值．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．（1）求异面直线BD与PC所成角的大小；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．19．（14分）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析y=+2是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．20．（16分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P的直线l与椭圆Γ交于两个不同的点C，D（点C在点D的上方），试求△COD面积的最大值；（3）若直线m经过点M（1，0），且与椭圆Γ交于两个不同的点A，B，是否存在直线l0：x=x0（其中x0＞2），使得A，B到直线l0的距离d A，d B满足=恒成立？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n=（a n+1）2，若数列{b n}满足b1=2，b2=4，且等式b n2=b nb n+1对任意n≥2成立．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}与{b n}的项相间排列构成新数列a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…，设该新数列为{c n}，求数列{c n}的通项公式和前2n项的和T2n；（3）对于（2）中的数列{c n}前n项和T n，若T n≥λ•c n对任意n∈N*都成立，求实数λ的取值范围．2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={2，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则实数m=3．【考点】1D：并集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】根据并集的定义与性质，直接写出m的值．【解答】解：集合A={1，2，m}，B={2，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2．（4分）（x+）n的展开式中的第3项为常数项，则正整数n=4．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，结合已知可得r=2时，x的指数为0，则答案可求．【解答】解：=．∵展开式中的第3项为常数项，∴n﹣4=0，得n=4．故答案为：4．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．3．（4分）已知复数z满足z2=4+3i（i为虚数单位），则|z|=．【考点】A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接把等式两边求模，然后开方即可求得|z|．【解答】解：由z2=3+4i，得|z2|=|z|2==5，∴|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．（4分）已知平面直角坐标系xOy中动点P（x，y）到定点（1，0）的距离等于P到定直线x=﹣1的距离，则点P的轨迹方程为y2=4x．【考点】J3：轨迹方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件通过抛物线的定义，写出动点P的轨迹方程．【解答】解：∵动点P（x，y）到定点（1，0）的距离等于P到定直线x=﹣1的距离，满足抛物线的定义，∴p=2，所以y2=4x所以动点P的轨迹方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查了抛物线的定义的应用，是基本知识的考查．5．（4分）已知数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是其前n项和，则=．【考点】8J：数列的极限．【专题】34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的定义求出数列的通项公式和前n项和公式，利用极限的定义进行求解即可．【解答】解：等差数列的通项公式a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，前n项和公式S n=n+×2=n+n2﹣n=n2，则===，故答案为：．【点评】本题主要考查数列极限的求解，结合等差数列的通项公式和前n项和公式是解决本题的关键．6．（4分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为4．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】作出满足不等式组的可行域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，结合图形可求z的最大值．【解答】解：作出满足不等式组的可行域，如图所示的阴影部分由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，作直线L：3x﹣y=0，可知把直线平移到A（2，2）时，Z最大，故z max=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．（5分）将圆心角为，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意画出图形，由已知求出扇形的半径，进一步得到圆锥的母线长，底面半径及高，则答案可求．【解答】解：如图，设扇形的半径为R，则，即R=3．∴圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，由，解得r=1．则圆锥的高为．∴圆锥的体积为V=．故答案为：．【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，明确圆锥剪展前后量的关系是关键，是中档题．8．（5分）三棱锥P﹣ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱PB的长为4．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5Q：立体几何．【分析】由主视图知CP⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CP长及△ABC中边AC的高，利用勾股定理即可求出棱BP的长．【解答】解：由主视图知CP⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=2；由左视图知CP=4，BE=2，在Rt△BCE中，BC==4，在Rt△BCP中，BP==4．故答案为：4【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．9．（5分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数n=4×4=16，利用列举法求出顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有7种，由此能求出顾客抽奖中三等奖的概率．【解答】解：规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，基本事件总数n=4×4=16，顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2），共7种，∴顾客抽奖中三等奖的概率为p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）已知函数f（x）=lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】35：转化思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax＞0恒成立，再求此不等式恒成立时a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=lg（+ax）的定义域为R，∴+ax＞0恒成立，∴＞﹣ax恒成立，即（1﹣a2）x2+1＞0恒成立；∴1﹣a2≥0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，是基础题．11．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，∠A=120°，•=﹣，则线段AM 长的最小值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据题意表示出向量，利用基本不等式求出的最小值，即可得出线段AM的最小值．【解答】解：△ABC中，点M是BC中点，∴=（+）；再由∠A=120°，•=﹣，可得||•||•cos120°=﹣，∴||•||=1；又=（+2•+）=[++2×（﹣）]≥（2||•||﹣1）=，∴||≥，即线段AM的最小值是．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题．12．（5分）若实数x、y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则S=2x+2y的取值范围是（2，4] ．【考点】4E：指数函数综合题；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于s的不等关系式，进而可求出s的取值范围．【解答】解：∵4x+4y=（2x+2y）2﹣2••2x2y=s2﹣2•2x2y，2x+1+2y+1=2（2x+2y）=2s，故原式变形为s2﹣2•2x2y=2s，即2•2x2y=s2﹣2s，∵0＜2•2x2y≤2•（）2，即0＜s2﹣2s≤，当且仅当2x=2y，即x=y时取等号；解得2＜s≤4，故答案为（2，4]．【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．二、选择题（每题5分）13．（5分）“x=2”是“x≥1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当x=2时，满足x≥1，当x=3时，满足x≥1但x=2不成立，即“x=2”是“x≥1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．14．（5分）参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】根据题意，由参数方程中t的范围分析可得x、y的范围，结合参数方程消去参数可得x﹣3y=10，结合x、y的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，参数方程，若0≤t≤3，则有：4≤x≤31，﹣2≤y≤7，又由参数方程，则y+2=（x﹣4），即x﹣3y=10，又由4≤x≤31，﹣2≤y≤7，则参数方程表示的是线段；故选：C．【点评】本题考查参数方程与普通方程的转化，注意t的取值范围．15．（5分）点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】31：数形结合．【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【解答】解：根据题意得f（x）=，分段函数图象分段画即可，故选：A．【点评】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．16．（5分）在计算机语言中，有一种函数y=INT（x）叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y等于不超过x的最大整数，如INT（0.9）=0，INT（3.14）=3，已知a n=INT（×10n），b1=a1，b n=a n﹣10a n﹣1（n∈N*，且n≥2），则b2018等于（）A．2B．5C．7D．8【考点】8H：数列递推式．【专题】49：综合法；4F：归纳法；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】a n=INT（×10n），b1=a1，b n=a n﹣10a n﹣1（n∈N*，且n≥2），可得：a1=2=b1，a2=28，b2=28﹣10×2=8，……，可得：b n+6=b n．利用周期性即可得出．【解答】解：∵a n=INT（×10n），b1=a1，b n=a n﹣10a n﹣1（n∈N*，且n≥2），∴a1=2=b1，a2=28，b2=28﹣10×2=8，同理可得：b3=5，b4=7，b5=1，b6=4，b7=2，b8=8，……，可得：b n=b n．+6则b2018=b336×6+2=b2=8．故选：D．【点评】本题考查了数列递推关系、取整函数、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．（14分）已知函数f（x）=2sin2x+sin（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（A）=2，求sinC的值．【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】（1）利用倍角公式及两角和的正弦化简变形，再由周期公式求得周期，结合正弦函数的值域求得原函数值域；（2）由已知求得sinB，再由f（A）=2求得A，结合sinC=sin（A+B），展开两角和的正弦求解．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin2x+sin（2x+）=1﹣cos2x+sin2xcos+cos2xsin==．∴T=，∵﹣1，∴函数值域为[0，2]；（2）∵A，B，C为△ABC的三个内角，∴由cosB=，得sinB=，又f（A）=2，即，则，∴2A=，得A=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查函数的周期及其最值的求法，训练了两角和的正弦的应用，是中档题．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．（1）求异面直线BD与PC所成角的大小；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD与PC所成角的大小．（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），D（0，1，0），P（0，0，4），C（2，4，0），=（﹣2，1，0），=（2，4，﹣4），∵=﹣4+4+0=0，∴BD⊥PC，∴异面直线BD与PC所成角的大小为．（2）=（0，0，4），=（2，4，0），=（0，﹣1，4），=（2，3，0），设平面APC的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，﹣1，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣6，4，1），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ===．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19．（14分）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析y=+2是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件得出f（x）的三个条件，并判断y=+2是否满足3个条件；（2）根据（1）的三个条件列不等式即可确定a的范围，从而可求满足条件的最小的正整数a的值．【解答】解：（1）f（x）满足的基本要求是：①f（x）是定义域[10，1000]上的增函数，②f（x）的最大值不超过9，③f（x）≤在[10，1000]上恒成立．若f（x）=+2，则当x=10时，f（10）=+2＞2，而=2，故不满足条件③，∴y=+2不符合团队要求的奖励函数模型．（2）f（x）==10﹣（10≤x≤1000）．∵f（x）是增函数，∴3a+20＞0，即a＞﹣．∴f（x）的最大值为f（1000）=10﹣≤9，解得：a≥．令≤在10，1000]上恒成立，即x2﹣48x+15a≥0在10，1000]上恒成立，∴242﹣48×24+15a≥0，解得a≥．综上，a≥．又a为正整数，∴符合条件的最小正整数a的值为328．【点评】本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言﹣﹣数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．20．（16分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P的直线l与椭圆Γ交于两个不同的点C，D（点C在点D的上方），试求△COD面积的最大值；（3）若直线m经过点M（1，0），且与椭圆Γ交于两个不同的点A，B，是否存在直线l0：x=x0（其中x0＞2），使得A，B到直线l0的距离d A，d B满足=恒成立？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】16：压轴题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆的焦距求出c，由P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上可得a=2，即可求出b2，可得椭圆方程，（2）设过点P（0，2）的直线方程为y=mx+2，代入椭圆方程，运用韦达定理，弦长公式和点到直线的距离，表示出三角形的面积，再根据函数的性质即可求出最值．（3）设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，运用韦达定理，假设存在这样的直线l0，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，可得=，化简整理代入，即可判断．【解答】解：（1）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，∴2c=2，即c=，∵P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上，∴（﹣2，0）在椭圆Γ上，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=1，∴+y2=1；（2）设过点P（0，2）的直线方程为y=mx+2，联立方程组可得，消y可得（1+4m2）x2+16mx+12=0，△=4m2﹣3＞0，设C（x C，y C），D（x D，y D），∴x C+x D=﹣，x C x D=，∴|CD|=•=•，∴点O到直线CD的距离d=，∴S=|CD|•d=4×，△COD设1+4m2=t，则t＞4，=4=4=4，∴S△COD当t=8时，取得最大值，即为1，（3）设直线l的方程为y=k（x﹣1），联立方程组，整理得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），即有x1+x2=，x1x2=，存在直线l0：x=x0（其中x0＞2），使得A，B到l0的距离d A，d B满足：=恒成立，∴=，即为2x1x2+2x0﹣（1+x0）（x1+x2）=0，即有+2x0﹣（1+x0）•=0，即为8k2﹣8+2x0（1+4k2）﹣8k2（1+x0）=0，∴2x0=8，解得x0=4＞2．故存在这样的x0的值：x0=4．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理的合理运用，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n=（a n+1）2，若数列{b n}满足b1=2，b2=4，且等式b n2=b nb n+1对任意n≥2成立．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}与{b n}的项相间排列构成新数列a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…，设该新数列为{c n}，求数列{c n}的通项公式和前2n项的和T2n；（3）对于（2）中的数列{c n}前n项和T n，若T n≥λ•c n对任意n∈N*都成立，求实数λ的取值范围．【考点】8E：数列的求和．【专题】32：分类讨论；34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由4S n=（a n+1）2，n=1时，4a1=，解得a1．n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，根据数列{a n}的各项均为正数，可得a n﹣a n﹣1=2，利用等差数列的通项公式可得a n．（2）数列{b n}满足b1=2，b2=4，且等式b n2=b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．利用等比数列的通项公式可得b n．进而得出c n，T2n．（3）T n≥λ•c n，即n2+2n+1﹣2≥λc n，对n分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由4S n=（a n+1）2，n=1时，4a1=，解得a1=1．n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=（a n+1）2﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）数列{b n}满足b1=2，b2=4，且等式b n2=b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．∴数列{b n}是等比数列，首项为2，公比为=2．∴b n=2n．∴c n=，k∈N*．∴T2n=+=n2+2n+1﹣2．（3）T n≥λ•c n，即n2+2n+1﹣2≥λc n，n=2k时，λ≤的最小值，f（k）==+2，k≥2时单调递减，∴f（k）≤+2=．k=1时，f（1）==．∴λ≤．n=2k﹣1时，λ≤的最小值，同理可得：λ≤1．综上可得：实数λ的取值范围是λ≤1．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。