2018年上海市徐汇区高三二模数学卷(含问题详细讲解)

2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .3．函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________． 4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 5．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________． 6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--r ，向量()1,1b =r，则向量a b ⊥r r 的概率．．是 . 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .11．若函数222(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ．12．已知向量,a b r r 的夹角为锐角，且满足||a =r、||b =r ，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>r r ，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅r r的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。

上海市徐汇区2017-2018 学年高考数学二模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56 分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，不然一律得0分．1．（ 4 分）已知会集 A=，会集 B={y|y=x 2， x∈A} ，则 A ∩B= ．2．（ 4 分）若复数 z=1﹣ 2i（ i 为虚数单位），则=．3．（ 4 分）已知直线l 的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为．4．（ 4 分）某中学采纳系统抽样的方法从该校2014-2015 学年高一年级全体800 名学生中抽取50 名学生进行体能测试．现将800名学生从 1 到 800 进行编号，求得间隔数k==16．若从1～ 16 中随机抽取 1 个数的结果是抽到了 7，则在编号为 33～ 48 的这 16 个学生中抽取的一名学生其编号应当是．5．（ 4 分）在△ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为a， b， c，若 a=，则△ ABC 的面积为．x﹣1（log2 5）的解为．6．（ 4 分）设函数 f （x） =log 2（ 2 +1），则不等式2f（ x）≤f7．（ 4 分）直线 y=x 与曲线 C：（θ为参数，π≤θ≤2）的交点坐标是．8．（ 4 分）甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6 和 0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为．9．（ 4 分）矩阵中每一行都构成公比为 2 的等比数列，第i 列各元素之和为S i，则=．10．（ 4 分）以以下图：在直三棱柱 ABC ﹣ A 1B 1C1中， AB ⊥BC ，AB=BC=BB 1，则平面 A1B1C 与平面 ABC 所成的二面角的大小为．11．（ 4 分）履行以以下图的程序框图，输出的结果为a，二项式的睁开式中x3项的系数为，则常数m= ．12．（ 4 分）设 f （ x）是定义域为 R 的奇函数， g（ x）是定义域为 R 的偶函数，若函数 f （ x）+g （ x）的值域为 [1， 3），则函数 f（ x）﹣ g（ x）的值域为．13．（ 4 分）△ABC 所在平面上一点P 满足，若△ ABP的面积为 6，则△ ABC 的面积为．14．（ 4 分）关于曲线 C 所在平面上的定点 P0，若存在以点P0为极点的角α，使得α≥∠ AP 0B 关于曲线 C 上的任意两个不一样的点 A ，B 恒建立，则称角α为曲线 C 相关于点 P0的“界角”，并称此中最小的“界角”为曲线C相关于点P0的“确界角”．曲线 C：y=相关于坐标原点O 的“确界角”的大小是．二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，不然一律得 0 分．15．（ 5 分）以下不等式中，与不等式≥0 同解的是（）A ． （ x3）（ 2 x ） ≥0 B ． （ x 3）（ 2 x ）＞ 0 C ． ≥0 D ．≥016．（ 5 分） M 、N 两个随机事件，假如 M 、 N 互斥事件，那么（） A ． 是必然事件B ．M ∪ N 是必然事件C ．与 必定 互斥事件D ．与 必定不 互斥事件17．（ 5 分）在极坐 系中，与曲 ρ=cos θ+1 关于直 θ= （ ρ∈R ） 称的曲 的极坐 方程是（） A ． ρ=sin （+θ）+1 B ． ρ=sin （θ）+1 C ． ρ=sin （ +θ） +1 D ． ρ=sin （ θ） +1218．（ 5 分）已知函数f （ x ） =x ?sinx ，各 均不相等的数列{x n } 足 |x i |≤（ i=1 ， 2，3， ⋯，*n ）．令 F （ n ） =（x 1+x 2+⋯+x n ） ?[f （ x 1） +f （ x 2）+⋯f （ x n ） ]（ n ∈N ）． 出以下三个：（ 2）若数列 {x n } 的通 公式， F （ 2k ）＞ 0 k ∈N *恒建立；（ 3）若数列 {x n } 是等差数列， F （n ） ≥0 n ∈N *恒建立．此中真的序号是（）A ． （ 1）（2）B ． （ 1）（ 3）C ． （ 2）（ 3）D ．（ 1）（ 2）（3）三．解答 （本大 分 74 分）本大 共有 5 ，解答以下各 必 在答 相 号的 定地域内写出必需的步 ．19．（ 12 分）如 ，在 Rt △AOB 中，∠ OAB= ，斜 AB=4 ，D 是 AB 的中点． 将 Rt △ AOB以直角AO 旋 一周获得一个 ，点C 底面 周上的一点，且∠BOC=．（ 1）求 的全面 ； （ 2）求异面直AO 与 CD 所成角的大小．（ 果用反三角函数 表示）20．（ 14 分）一个随机 量 ξ的概率分布律以下：ξ x 1 x 2Pcos2Asin （ B+C ）此中 A ， B ， C 角三角形 ABC 的三个内角．（ 1）求 A 的 ；（ 2）若 x 1=cosB ，x 2=sinC ，求数学希望 E ξ的取 范 ．21．（ 14 分）用 管 接而成的花 构件如右 所示， 它的外框是一个等腰梯形 PQRS ，内部是一段抛物 和一根横梁．抛物 的 点与梯形上底中点是 接点 O ，梯形的腰 靠在抛 物 上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物 以及横梁的 接点A ，B ，抛物 与梯形下底的两个 接点 C ， D ．已知梯形的高是 40 厘米， C 、 D 两点 的距离 40 厘米．（ 1）求横梁 AB 的 度； （ 2）求梯形外框的用料 度．（注： 管的粗 等要素忽视不 ， 算 果精确到1 厘米．）22．（ 16 分）已知函数f （ x ） =， g （ x ） = ．（ 1）求函数 h （x ） =f （ x ） +2g （ x ）的零点；（ 2）若直 l ：ax+by+c=0 （ a ，b ，c 常数） 与 f （ x ）的 象交于不一样的两点的 象交于不一样的两点 C 、 D ，求 ： |AC|=|BD| ；A 、B ，与g （ x ）（ 3）求函数F （ x ） =[f （ x ） ] 2n [g （ x ） ] 2n （ n ∈N *）的最小 ．23．（ 18 分） 于一 向量（ n ∈N *），令，假如存在（ p ∈{1 ，2，3⋯，n} ），使得 ||，那么称是 向量 的 “h 向量 ”．（ 1）=（n ， x+n ）（n ∈N *），若是向量的 “h 向量 ”，求 数 x 的取 范 ；（ 2）若（ n ∈N *），向量能否存在 “h 向量 ”？ 出你的 并 明原由；（ 3）已知均是向量的 “h 向量 ”，此中 =（ sinx ，cosx ）， =（ 2cosx ，2sinx ）． 在平面直角坐 系中有一点列Q 1，Q 2，Q 3，⋯，Q n 足： Q 1 坐 原点，Q 2 为 的地点向量的终点，且Q 2k+1 与 Q 2k 关于点 Q 1 对称， Q 2k+2 与 Q 2k+1（ k ∈N *）关于点Q 2 对称，求 | |的最小值．上海市徐汇区 2015 届高考数学二模试卷（理科）参照答案与试题分析一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得 4 分，不然一律得0 分．1．（ 4 分）已知会集 A=，会集 B={y|y=x2， x ∈A} ，则 A ∩B={1} ．考点 ： 交集及其运算． 专题 ： 会集． 分析： 把 A 中元素代入 B 中求出 y 的值，确立出B ，找出 A 与 B 的交集即可．解答：解：∵ A={1 ， 2， } ， B={y|y=x 2，x ∈A} ，∴ B={ ，1， 4}，则 A ∩B={1} ， 故答案为： {1}评论： 此题观察了交集及其运算，娴熟掌握交集的定义是解此题的要点．2．（ 4 分）若复数 z=1﹣ 2i （ i 为虚数单位） ，则 =6﹣ 2i ．考点 ： 复数的基本看法；复数代数形式的乘除运算． 专题 ： 计算题．分析： 把复数 z=1﹣ 2i 及它的共轭复数代入，将其化简为 a+bi （ a ， b ∈R ）的形式，即可．解答： 解：观察复数基本运算=（ 1﹣ 2i ）（ 1+2i ）+1﹣ 2i=6 ﹣ 2i ．故答案为： 6﹣ 2i ．评论：此题观察复数的基本看法，复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（ 4 分）已知直线 l 的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为 ．考点 ： 直线的斜率． 专题 ： 直线与圆．分析： 设直线的方向向量为 =（ a ， b ），直线的倾斜角为 α．利用 =0，即可得出．解答：解：设直线的方向向量为 =（ a ， b ），直线的倾斜角为 α．则=a ﹣b=0，∴ =tan α，∴ α= ，故答案为：．评论： 此题观察了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数目积的关系，观察了计算能力，属于基础题．4．（ 4 分）某中学采纳系统抽样的方法从该校 2014-2015 学年高一年级全体 800 名学生中抽取 50 名学生进行体能测试． 现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号， 求得间隔数 k==16．若从1～ 16 中随机抽取 1 个数的结果是抽到了 7，则在编号为 33～ 48 的这 16 个学生中抽取的一名学生其编号应当是39．考点 ： 系统抽样方法． 专题 ： 概率与统计．分析： 依据系统抽样的定义进行求解．解答：解：∵样本间隔 k=16 ，若从 1～ 16 中随机抽取 1 个数的结果是抽到了7，∴抽取的号码数为 7+16x ，当 x=2 时， 7+16×2=39 ， 即在编号为 33～48 的这 16 个学生中抽取的一名学生其编号应当 39，故答案为： 39评论： 此题主要观察系统抽样的应用，比较基础．5．（ 4 分）在 △ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 a= ，则△ ABC 的面积为．考点 ： 正弦定理． 专题 ： 解三角形． 分析： 利用余弦定理可得 b ，再利用三角形面积计算公式即可得出．解答：解：∵ a=，∴ a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，∴ 3=4+b 2﹣ 4b ×，化为 b 2﹣ 2b+1=0，解得 b=1．∴ S △ABC ===．故答案为：．评论： 此题观察了余弦定理、三角形面积计算公式，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．x ﹣1（log 2 5）的解为（﹣ ∞， 0] ．6．（ 4 分）设函数 f （x ） =log 2（ 2 +1），则不等式 2f （ x ） ≤f 考点 ： 指、对数不等式的解法．专题 ： 函数的性质及应用．分析：先依据函数的定义域求出x 的范围，而后代入分析式，解对数不等式，转变为指数不等式进行求解，即可求出 x 的取值范围解答：解： f ﹣ 1x（ x ）=log 2（ 2 ﹣ 1），x ∈（ 0，+∞）．由 2f （ x ） ≤f ﹣1（log 25），2log 2（ 2x+1 ）≤log 2（﹣ 1） =log 24，∴ log 2（ 2x+1）≤1∴ 0＜ 2x +1≤2，∴ 0＜ 2x≤1，? x ≤0； 综上， x ≤0；故答案为：（﹣ ∞， 0]．评论： 此题主要观察了反函数的求解，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时观察转变与划归的思想，计算能力，属于中档题7．（ 4 分）直线 y=x 与曲线 C ：（ θ为参数， π≤θ≤2）的交点坐标是．考点 ： 参数方程化成一般方程． 专题 ： 坐标系和参数方程．分析： 此题由曲线 C 的参数方程消去参数后，获得其一般方程，再用双方程联列方程组，获得交点坐标，即此题结论．解题时要注意纵坐标的取值范围．解答：解：由曲线 C ：（θ为参数， π≤θ≤2），获得：（y ≤0）．由，获得，∵ y ≤0，∴，∴．∴直y=x与曲C：（θ 参数，π≤θ≤2）的交点坐是．故答案：．点：本考了将曲的参数方程化一般方程，本度不大，属于基．8．（ 4 分）甲、乙两人各行一次射，假两人中目的概率分是0.6 和 0.7，且射果相互独立，甲、乙至多一人中目的概率0.58．考点：相互独立事件的概率乘法公式．：算；概率与．分析：依据意可得两人能否中目是相互独立的，利用相互独立事件的概率乘法公式可得答案．解答：解：由意可得：两人能否中目是相互独立的，因两人中目的概率分是0.6 和 0.7，所以两人都中目的概率：0.6×0.7=0.42 ，所以甲、乙至多一人中目的概率：1 0.42=0.58 ．故答案： 0.58 ．点：本主要考相互独立事件的定与相互独立事件的概率乘法公式的用，此属于基，只要学生知心的算即可获得全分．9．（ 4 分）矩中每一行都构成公比 2 的等比数列，第i 列各元素之和S i，=．考点：数列的极限；数列的乞降．：算；等差数列与等比数列．分析：i ﹣ 1（1+2+ ⋯+n）=i ﹣1，再求极限即可．先求出 S i =2?2解答：解：∵矩中每一行都构成公比 2 的等比数列，第i 列各元素之和S i，∴ S i=2i﹣1（ 1+2+ ⋯+n） =?2i﹣1，∴==．故答案：．点：本考数列的极限与乞降，考学生的算能力，正确乞降是关．10．（ 4 分）如所示：在直三棱柱ABC A 1B 1C1中， AB ⊥BC ，AB=BC=BB 1，平面 A 1B1C与平面 ABC 所成的二面角的大小．考点：二面角的平面角及求法．：空角．分析：通意易得直三棱柱ABC A1B 1C1即正方体的一半，直接得出答案．解答：解：依据意，易得直三棱柱ABC A 1B1C1即正方体的一半，∴所求即平面 A 1B1C 与平面 A 1B1C1所成的二面角，即∠C1B 1C，又∵△ B 1C1C 等腰直角三角形，∴∠C1B1C= ，故答案：．点：本考二面角的求法，“直三棱柱 ABC A 1 1 1 即正方体的一半”是解决本B C的关，属于中档．11．（ 4 分）行如所示的程序框，出的果 a，二式的睁开式中x 3的系数，常数 m= ．考点 ： 程序框图．专题 ： 算法和程序框图；二项式定理． 分析：依据程序求出 a 的值，而后利用二项式定理的内容即可获得结论．解答：解：当 i=1 ，满足条件t ＜ 2014， a==﹣ 1， i=2 ，当 i=2 ，满足条件t ＜ 2014， a== ， i=3 ，当 i=3 ，满足条件t ＜ 2014， a==2， i=4 ，当 i=4 ，满足条件t ＜ 2014， a==﹣ 1， i=5 ，∴ s 的取值具备周期性，周期数为3，∴当 i=2014 ，不满足条件 i ＜ 2014 ，∴当 i=2013 时， a=2，二项式的睁开式的通项公式为 （2 4 ﹣ k）x ） ?（k?x ，由 8﹣ =3，解得： k=2= m ∴当 k=2 时 x 3项的系数是m=1，可解得： m= ．故答案为： ．评论： 此题主要观察程序框图的应用，以及二项式定理的应用，综合性较强．12．（ 4 分）设 f （ x ）是定义域为 R 的奇函数， g （ x ）是定义域为 R 的偶函数，若函数 f （ x ）+g （ x ）的值域为 [1， 3），则函数 f （ x ）﹣ g （ x ）的值域为（﹣ 3，﹣ 1] ．考点 ： 奇偶性与单调性的综合；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数奇偶性的性质． 专题 ： 函数的性质及应用．分析： 依据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．解答：解：∵ f （ x ）是定义域为 R 的奇函数， g （ x ）是定义域为R 的偶函数，∴﹣ [f （ x ）﹣ g （ x ） ]=﹣ f （ x ）+g （ x ） =f （﹣ x ） +g （﹣ x ），∵函数 f （ x） +g（ x）的值域为 [1， 3），∴1≤f（﹣ x） +g （﹣ x）＜ 3，即 1≤﹣[f （ x）﹣ g（ x） ] ＜ 3，则﹣ 3＜f （x）﹣ g（x）≤﹣ 1，即函数 f （ x）﹣ g（ x）的值域为（﹣3，﹣ 1]，故答案为：（﹣ 3，﹣ 1]评论：此题主要观察函数值域的求解，依据函数奇偶性的性质进行转变是解决此题的要点．13．（ 4 分）△ABC 所在平面上一点P 满足，若△ ABP的面积为 6，则△ ABC 的面积为12．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由已知中P 是△ABC 所在平面内一点，且满足，我们依据向量加法的三角形法规可得m =2 ， C 到直线 AB 的距离等于 P 到直线 AB 的距离的 2 倍，故 S△ABC =2S△ABP，联合已知中△ABP 的面积为6，即可获得答案．解答：解：取 AC 的中点 O，则，∵，∴m =2 ，∴C 到直线 AB 的距离等于 P 到直线 AB 的距离的 2 倍，故 S△ABC=2S△ABP=12 ．故答案为： 12．评论：此题观察的知识点是向量的加减法及其几何意义，此中依据m =2，获得S△ABC =2S△ABP，是解答此题的要点．14．（ 4 分）关于曲线 C 所在平面上的定点 P0，若存在以点P0为极点的角α，使得α≥∠ AP 0B 关于曲线 C 上的任意两个不一样的点 A ，B 恒建立，则称角α为曲线 C 相关于点 P0的“界角”，并称此中最小的“界角”为曲线C相关于点P0的“确界角”．曲线 C：y=相关于坐标原点O 的“确界角”的大小是．考点：曲线与方程．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：画出函数（f x）的图象，过点 O 作出两条直线与曲线无穷凑近，x≥0 时，曲线 y=与直线 y=k 1x 无穷凑近，考虑渐近线，求出22（ x k1=1； x＜ 0 时，曲线可化为 x +（y﹣ 2） =1＜ 0），圆心到直线的距离为=1，故 k2=﹣，再由两直线的夹角公式即可获得所求的“确界角”．解答：解：画出函数 f（ x）的图象，过点 O 作出两条直线与曲线无穷凑近，设它们的方程分别为 y=k 1x， y=k 2x，当 x≥0 时，曲线 y=与直线 y=k 1x 无穷凑近，即为双曲线的渐近线，故k1=1；当 x＜ 0 时，曲线可化为22=1，故 k2= x +（ y﹣ 2） =1（ x＜ 0），圆心到直线的距离为﹣，由两直线的夹角公式得，tanθ=||=2+ ，故曲线 C 相关于点 O 的“确界角”为．故答案为：．评论：此题观察新定义“确界角”及应用，观察直线与圆的地点关系，属于中档题．双曲线的性质：渐近线，二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，不然一律得 0 分．15．（ 5 分）以下不等式中，与不等式≥0 同解的是（）A ．（ x﹣ 3）（ 2﹣ x）≥0B ．（x﹣3）（2﹣x）＞0C．≥0 D ．≥0考点：其余不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式进行等价变形进行比较即可．解答：解：不等式≥0等价为，即≥0，应选： D．评论：此题主要观察分式不等式的求解和变形，比较基础．16．（ 5 分）设 M 、N 为两个随机事件，假如M 、 N 为互斥事件，那么（）A ．是必然事件B．M∪ N 是必然事件C．与必定为互斥事件D．与必定不为互斥事件考点：互斥事件与对峙事件；随机事件．专题：概率与统计．分析：有 M 、 N 是互斥事件，作出相应的表示图，即可得．解答：解：由于 M 、 N 为互斥事件，如图：，无论哪一种状况，是必然事件．应选 A．评论：此题观察借助表示图判断事件间的关系，观察互斥事件的定义，属于基础题17．（ 5 分）在极坐标系中，与曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=（ρ∈R）对称的曲线的极坐标方程是（）A ．ρ=sin（+θ）+1 B．ρ=sin（﹣θ）+1 C．ρ=sin（+θ） +1 D ．ρ=sin（﹣θ）+1考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：第一步：将对称轴方程化为直角坐标方程；第二步：在已知曲线ρ=cosθ+1 上任取一点，并化为直角坐标；第三步：求 点关于 称 称的点，并化 极坐 形式；第四步：将此极坐 逐一代入四个 中 即可达到目的． 解答：解：由 θ=，得tan θ=，即，得 称 方程．在方程 ρ=cos θ+1 中，取 θ=，，由，得点（， 1）的直角坐 （0， 1），点（0， 1）且与直垂直的直 的直角坐 方程，从而此两直 的交点坐 ，由中点公式，得点（0， 1）关于直称的点，其极坐 （ρ0，θ0）， ，取 ，又，得点 ，此点必在曲ρ=cos θ+1 关于直 θ= （ ρ∈R ） 称的曲 上，在四个 中，只有 C 中的方程 足．故 ： C ．点 ： 本 考 了极坐 与直角坐 之 的相互 化，及 称 的 理， 点是点关于直 称的点的求法，求解 擅长运用中点公式及两直 相互垂直的充要条件．18．（ 5 分）已知函数2 ni（ i=1 ， 2，3， ⋯，f （ x ） =x ?sinx ，各 均不相等的数列 {x } 足 |x |≤*n ）．令 F （ n ） =（x 1+x 2+⋯+x n ） ?[f （ x 1） +f （ x 2）+⋯f （ x n ） ]（ n ∈N ）． 出以下三个：（ 2）若数列 {x n } 的通 公式， F （ 2k ）＞ 0 k ∈N *恒建立；（ 3）若数列 {x n } 是等差数列， F （n ） ≥0 n ∈N *恒建立．此中真的序号是（）A ． （ 1）（2）B ． （ 1）（ 3）C ． （ 2）（ 3）D ．（ 1）（ 2）（3）考点 ： 的真假判断与 用．：等差数列与等比数列；不等式的解法及 用．分析：由 意， f （x ）=x 2s inx 是奇函数，只要考 0＜x ≤1 的性 ，此 y=x2，y=sinx 都是增函数，得 f （ x ）=x 2sinx 在[0，1] 上是增函数；即x 1+x 2≠0 ，（ x 1+x 2）（f （x 1） +f （ x 2））＞ 0；于（ 1），取≤x 1= x 3 ， x 2=0，即可判断；于（ 2），运用等比数列的乞降公式和性 ，即可判断；于（ 3），运用等差数列的乞降公式和性 ， 合函数f （x ）的 性，即可判断．2解答： 解：由 意得 f （ x ）=x sinx 是奇函数，当 0＜ x ≤ ， y=x 2， y=sinx 都是增函数， ∴ f （ x ） =x 2sinx 在[0 ， ] 上 增，∴ f （ x ） =x 2sinx 在[， ] 上是增函数；若 x 1+x 2＜ 0， x 1＜ x 2，∴ f （x 1）＜ f （ x 2），即 f （ x 1）＜ f （ x 2），∴ f （ x 1） +f （ x 2）＜ 0；同理若 x 1+x 2＞ 0，可得 f （ x 1）+f （x 2）＞ 0； ∴ x 1+x 2≠0 ，（ x 1+x 2）（ f （ x 1）+f （ x 2））＞ 0．于（ 1），取≤x 1=x 3， x 2=0， F （ 3） =（ x 1+x 2+x 3） ?[f （x 1） +f （ x 2） +f （ x 3） ] =0，所以（ 1）正确；于（ 2），∵ ，∴ x 1+x 2+⋯+x n = ＜ 0，又 f （ 2k 1） +f （ 2k ）= + =＜ 0，∴ F （ 2k ）＞ 0 k ∈N *恒建立，故（ 2）正确；于（ 3），如 x 1+x 2+⋯+x n =0， F （ n ） =0 ，若数列 {x n } 是等差数列，x 1+x 2+⋯+x n ＞ 0， x 1+x n ＞0，f （ x 1）＞ f （ x n ），可得 x 2+x n ﹣ 1＞ 0，⋯，f （ x 2）＞ f （ x n ﹣1），⋯相加即可获得 F （ n ）＞ 0，同理 x 1+x 2+⋯+x n ＜ 0，即有 f （ x 1）+f （ x 2）+⋯f （ x n ）＜ 0，即 F （ n ）＞ 0，（ 3）正确．故D ．点 ： 本 通 真假的判断，考 了新定 的函数的性 以及 用 ，函数的 性与奇偶性 ，等差与等比数列的性 与 用 ，是 合 ．三．解答 （本大 分 74 分）本大 共有 5 ，解答以下各 必 在答 相 号的 定地域内写出必需的步 ．19．（ 12 分）如 ，在 Rt △AOB 中，∠ OAB= ，斜 AB=4 ，D 是 AB 的中点． 将 Rt △ AOB以直角AO 旋 一周获得一个 ，点C 底面 周上的一点，且∠BOC=．（ 1）求 的全面 ；（2）求异面直 AO 与 CD 所成角的大小．（果用反三角函数表示）考点：异面直及其所成的角；棱柱、棱、棱台的面和表面．：空地点关系与距离．分析：（ 1）求出底面半径，的面S 侧，而后求解的全面．（ 2） D 作 DM ∥ AO 交 BO 于 M， CM ，明∠ CDM 异面直 AO 与 CD 所成角，在Rt△ CDM 中，求解异面直 AO 与 CD 所成角的大小．解答：解：（ 1） Rt△ AOB 中， OB=2即底面半径 2的面S 侧=πrl=8 π⋯.4’故的全面S 全 =S 侧 +S 底 =8π+4π=12 π⋯.6’（2） D 作 DM∥AO 交 BO 于 M， CM∠ CDM 异面直AO 与 CD 所成角⋯.8’∵AO ⊥平面 OBC ∴ DM ⊥平面 OBC ∴ DM ⊥ MC在 Rt△ AOB 中，∴，∵D 是 AB 的中点∴ M 是 OB 的中点，∴OM=1 ∴．在 Rt△ CDM中，，⋯.10’∴，即异面直 AO 与 CD 所成角的大小⋯.12’点：本考异面直所成角的求法，几何体的全面的求法，考空想象能力以及算能力．20．（ 14 分）一个随机量ξ的概率分布律以下：ξx1x2P cos2A sin（ B+C ）此中 A ， B， C 角三角形ABC 的三个内角．（1）求 A 的；（2）若 x1=cosB ，x2=sinC ，求数学希望 Eξ的取范．考点：失散型随机量的希望与方差．：概率与．分析：（ 1）通概率和1，利用三角形的内角和化求解即可．（ 2）利用（ 1）的果求出B+C ，表示出的范，而后求解希望的范．解答：解：（ 1）由 cos2A+sin（ B+C ） =1，⋯2’12⋯4’2sin A+sinA=1又 A 角，得⋯6’（ 2）由得，，即⋯8’⋯9’==，⋯11’由△ ABC 角三角形，得，得⋯14’点：本考概率的用，希望的求法，概率与三角函数相合，目新，是好．21．（ 14 分）用管接而成的花构件如右所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物和一根横梁．抛物的点与梯形上底中点是接点O，梯形的腰靠在抛物上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物以及横梁的接点 A ，B，抛物与梯形下底的两个接点C， D ．已知梯形的高是40 厘米， C、 D 两点的距离40 厘米．（1）求横梁 AB 的度；（2）求梯形外框的用料度．（注：管的粗等要素忽视不，算果精确到1 厘米．）考点：直与曲的关系．：曲的定、性与方程．分析：（ 1）以 O 原点，梯形的上底所在直x ，建立直角坐系，梯形下底与y交于点2（ p＜ 0），利用 D，求出 p，获得抛物方程，即可求M ，抛物的方程： x =2py解横梁 AB 的度．（2）明梯形腰的中点是梯形的腰与抛物独一的公共点，立在与抛物方程，通相切关系，求出直的斜率，而后求解制作梯形外框的用料度．解答：解：（ 1）如，以O 原点，梯形的上底所在直x ，建立直角坐系，2梯形下底与y 交于点M ，抛物的方程：x =2py（ p＜ 0），2由意 D ，得 p= 5，x = 10y⋯3’，取，即，答：横梁AB 的度28cm．⋯6’（ 2）由意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物独一的公共点⋯7’，，即⋯10’得，梯形周．答：制作梯形外框的用料度141cm⋯14’点：本考抛物方程的用，直与抛物的地点关系的用，考分析解决的能力．22．（ 16 分）已知函数 f （ x） =， g（ x） =．（ 1）求函数h（x） =f （ x） +2g（ x）的零点；（ 2）若直 l ：ax+by+c=0 （ a，b，c 常数）与 f（ x）的象交于不一样的两点A、B，与g（ x）的象交于不一样的两点C、 D，求： |AC|=|BD| ；（ 3）求函数F（ x） =[f （ x） ] 2n[g（ x） ]2n（ n∈N*）的最小．考点 ： 函数与方程的 合运用；函数的最 及其几何意 ． ： 函数的性 及 用；二 式定理． 分析：（ 1）求出 H （ x ）的分析式，令H （x ） =0 ，解方程即可获得零点；（ 2） 出 A ， B ，C ， D 的坐 ， 立直 方程和 f （ x ）、 g （ x ）消去 y ，运用 达定理和中点坐 公式，即可得 ；（ 3）运用二 式定理睁开和合并，再由基本不等式 合二 式系数的性 ，即可求得最小 1．解答：解：（ 1）由 意可得，即有函数 h （ x ）的零点；（ 2） 明：A （ x 1 ，y 1），B （ x 2， y 2），C （ x 3， y 3），D （ x 4，y 4），，同原由， ，AB 中点与 CD 中点重合，即 |AC|=|BD| ；（ 3）由 意可得==[（ x2n ﹣ 2 2﹣ 2n2n ﹣66﹣ 2n（ x6﹣2n2n ﹣ 6（ x2﹣2n 2n+x）+（ x+x）+⋯++x）++x﹣2 ） ]=2n ﹣ 1?2?2=1，当且 当 x= ±1 ，等号建立．所以函数 F （ x ）的最小 1．点 ：本 考 函数的性 和运用，主要考 函数的零点和最 的求法，注意运用函数和方程的思想，以及二 式定理和基本不等式的运用：求最 ，属于中档 和易 ．23．（ 18 分） 于一 向量（ n ∈N *），令，假如存在 （ p ∈{1 ，2，3⋯，n} ），使得 ||，那么称是 向量 的 “h 向量 ”．（ 1）=（n ， x+n ）（n ∈N *），若是向量的 “h 向量 ”，求 数 x 的取 范 ；（ 2）若（ n ∈N *），向量能否存在 “h 向量 ”？出你的 并 明原由；（ 3）已知均是向量的 “h 向量 ”，此中=（ sinx ，cosx ），=（ 2cosx ，2sinx ）． 在平面直角坐 系中有一点列Q 1，Q 2，Q 3，⋯，Q n 足： Q 1 坐 原点，Q 2的地点向量的 点，且Q 2k+1 与 Q 2k 关于点 Q 1 称， Q 2k+2 与 Q 2k+1（ k ∈N *）关于点Q 2 称，求 | |的最小 ．考点 ： 数列与向量的 合． ： 平面向量及 用．分析：（ 1）通 “h 向量 ”的定 直接 算即可；（ 2）通 “h 向量 ”的定 ， n 分奇偶数 即可；（ 3）通 算可得，、 Q n （ x n ， y n ），依 意 算可得 =，利用基本不等式可得≥1 当且 当（ t ∈Z ） 等号建立，故 ．解答：解：（ 1）由 意，得：，，解得： 2≤x ≤0；（ 2） ：是向量 的 “h 向量 ”．原由以下：，，当 n 奇数 ，，∴ ，故= ，即 ；上海市徐汇区20172018学年高考数学二模试卷理科Word版含解析当 n 为偶数时，，故=，即；综合得：是向量组的“h 向量”；（ 3）由题意，得：，，即，即，同理，，三式相加并化简，得：，即，，所以，设，由得：，设 Q（ x，y ），则依题意得：，n n n得（ x2k+2， y2k+2）=2[ （x2， y2）﹣（ x1， y1）]+（ x2k， y2k）故（ x2k+2， y2k+2）=2k[ （ x2， y2）﹣（ x1， y1） ] +（ x2， y2）（ x2k+1， y2k+1）=﹣ 2k[ （ x2，y2）﹣（ x1， y1） ]+（ x2， y2），所以，当且仅当（ t∈Z）时等号建立，故．评论：此题观察新定义，向量模的计算，等比数列的乞降，二倍角公式，基本不等式，注意解题方法的累积，属于中档题．。

1．A【解析】由题意，根据两个向量相等的定义，由AB DC =，可知AB 与DC 平行且相等，所以四边形ABCD 为平行四边形，又0AC BD ⋅=，即AC BD ⊥，亦是平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，因此可判断平行四边形ABCD 为菱形.3．B【解析】试题分析：由cos sin cos sin A A B B +=+两边平方，得1+sin2=1sin2,2222A B A B A B A B π+=+=因为、为三角形的内角，所以或,所以2A B A B π=+=或，即2A B C π==或；若2C π=，则A+B=2π，所以cos +sin =cos -sin sin +cos 22A A B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此选B. 考点：充分、必要、充要条件的判断；二倍角公式；诱导公式. 点评：熟练掌握三角形内的隐含条件：sin()sin ,sin()sin ,sin(B )sin A B C A C B C A +=+=+=；cos()-cos ,cos()-cos ,cos(B )-cos A B C A C B C A +=+=+=.4．A【解析】由题意，可设切线的斜率为k （k 必存在），圆C 的半径为r ，则切线的方程为()1200kx y k x r -+-=≤≤r =， ()12y k x -=-，则点,M N 的坐标分别为21,0k k -⎛⎫⎪⎝⎭， ()012k -，，且210{ 120k kk ->->，，即0k <，所以MON C ∆= 10. 5．[]1,3-【解析】由已知得， {}()()2230,13,A x x x =--=-∞-⋃+∞，又全集为R ，根据补集的定义可得[]13U A =-，ð.所以正确答案为[]13-，.7．()0,+∞【解析】由题意，根据对数函数的概念及其定义域可得， 320x x ->，即32x x>，由指数函数13x y =与22x y =的图象可知，如图所示，当0x >时， 32x x >恒成立，所以正确答案为()0+∞，.8．1【解析】由题意，可知该抛物线的开口方向为y 轴的正半轴，其标准方程为()220x py p =>，又其准线方程为14y =-，所以124p =，则12p =，所以21a p ==. 9．16π【解析】由题意，根据球的体积公式343V R π=，则343233R ππ=，解得2R =，又根据球的表面积公式24S R π=，所以该球的表面积为24216S ππ=⋅=.10．1-点睛：此题主要考查简单线性规划问题中的最优解，以及数形结合法在解决实际问题中的应用等有关方面的知识与基本技能，属于中低档题型，也是常考题.此类问题一般流程是：首先根据约束条件画出可行域区域图；第二步是将目标函数进行转化，常转化为直线的斜截式；第三步，通过平移该直线（在区域范围内），找到直线在y 轴上截距的最值.从而得到问题的最优解.学科*网 11．π【解析】由题意得， ()()2sin cos 1sin22f x x x x =++=+，结合正弦函数()sin y A x ωϕ=+的最小正周期的计算公式2T πω=，得函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 12．15π【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线， 221131233V r h h πππ==⋅⋅=， 4h =，5l ==， 15S rl ππ==侧．考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质． 13．16【解析】由题意知， {},1,2,3,4,5,6m n ∈，则(),m n 共有36种，由a b ⊥，得()()220m n -+-=，即m n =，共有6种，根据古典概型的计算公式可得，所求概率为16p =.点睛：此题主要考了向量的位置关系在求概率问题中的应用，以及古典概型概率的计算等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考题.此题中，抛掷两颗骰子的试验中所有可能的情况为36种，结合题中条件，从中找出满足条件所求事件的个数，再根据古典概型概率的计算公式进行求解，从而问题可得解. 14．2220x y x y +--= 【解析】由题意，联立两直线方程0{20xm y x my m -=+--=，利用代入消元法，消去m 得20y yx y x x+⋅--=，整理后可得，所求定圆方程是2220x y x y +--=. 15．114⎛⎫⎪⎝⎭，点睛：此题主要考查函数的奇偶性、最值、对称中心，以及三角函数值的运算等方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题.此题中需要对函数的解析式进行化简整理，观察其解析式是由常函数与奇函数加减而成，从而通过计算其中奇函数的最值，由其性质易知，奇函数的最大值与最小值互为相反函数，从而问题可得解. 16．815【解析】17．（1）8（2）arccos10【解析】试题分析：（1）由题意，长方体的体对角线长为1AC =,从而可求得该长方体的高1AA ，再由长方体体积的计算公式即可求其体积；（2）根据题意，可采用坐标法进行求解，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，根据向量数量积公式求出向量1A M 与1B N 的夹角，从而可求出异面直线1AM 与1B N 所成的角.（2）解法一：如图建立空间直角坐标系则()14,0,1A 、()4,1,0M 、()14,2,1B 、()2,2,0N ，所以()10,1,1A M =- 、()12,0,1B N =--，10分 则向量1A M 与1B N所成角θ满足1111cos A M B N A M B Nθ⋅==⋅∴异面直线1A M 与1B N所成的角等于． 解法二：取AD 的中点E ，连1A E 、EM ． 11////EN AB A B ， ∴四边形11A B NE 为平行四边形， 11//A E B N ∴， ∴ 1EA M ∠等于异面直线1A M与1B N 所成的角或其补角． 1AM =， 2AE =， 11AA =，得1A M =1A EEM =∴1cos EA M ∠==1EA M ∠=． ∴异面直线1A M 与1B N所成的角等于． 18．（1）不能（2）能试题解析：（1）10AB =（公里），BCD ∆中，由00sin45sin30BD BC=，得BC =于是，由106051.215020+≈>知， 快递小哥不能在50分钟内将快件送到C 处． （2）在ABD ∆中，由22211010210103002AD ⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，得AD =，在BCD ∆中， 0105CBD ∠=，由0sin105CD =，得(51CD =+（公里），-由(5160152045.9851.2160+⨯+=+≈<（分钟）知，汽车能先到达C 处．点睛：此题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理在实际生活中的应用，以及关于路程问题的求解运算等方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在此类问题中，总是正弦定理、余弦定理，以及相关联的三角函数的知识，所以根据题目条件、图形进行挖掘，找到与问题衔接处，从而寻找到问题的解决方案. 学科*网19．（1）[][]38,1{373,136x y x ∈-=∈（2）][()][(),02,46,810,t ∈-∞⋃⋃⋃+∞试题解析：(1) [][]38,1{373,136x y x ∈-=+∈；(2) 01 若302t≤，即0t ≤，则()y f x =在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分 02 若3152t≥，即10t ≥，则()y f x =在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分 03 当33122t ≤≤，即28t ≤≤时，由于区间[]0,3关于对称轴32t的对称区间是[]33,3t t -，于是当312{ 332t t <≥或3315{ 3122t t ->≤，即[)2,4t ∈或(]6,8t ∈时，函数()y f x =在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数． 综上， ][()][(),02,46,810,t ∈-∞⋃⋃⋃+∞．点睛：此题主要考查了函数的单调性、对称性、反函数，以及分段函数的定义域、值域等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型.若要求一函数的反函数，首先要求出此函数的单调区间，最好求出对应的值域，然后在各个单调区间进行运算求解，并将,x y 进行互换，定义域与值域互换，从而得到反函数.20．（1）2312k k ⋅=-（2）见解析（3）落在定直线2x t=上（3）同（2）法，由点,M N 的纵坐标，求出直线,AM BN 的方程，联立两直线方程，求出其交点Q 的横坐标2x t =与点,M N 的坐标无关，从而可判断交点Q 落在定直线2x t=上，从而问题可得解. 试题解析：(1)设()00,N x y，由于()),A B，所以223202y k k x ⋅==-， 因为()00,N x y 在椭圆C 上，于是220012x y +=，即220022x y -=-， 所以202320122y k k x ⋅==--.(2)设直线:2MN x my =+， ()()1122,,,M x y N x y，由22{ 222x my x y =++=得()223202m y ++-=，于是()1212223,222y y y y m m +=-⋅=-++，13k k ⋅==()()2222332212396322222m m m m m --+===---+++．两式相除，可知1222211my y t yy yy y++===((()22212212122222222t mtm t y m t t m ym mtm t ym-⎛⎫⋅+--⎪--++++⎝⎭==-⋅+-+()212m t m y--+==于是2xt=，所以2xt=，即直线AM与直线BN的交点Q落在定直线2xt=上．21．（1）()*na n n N=∈，()1*nb n n N=-∈（2）2221,243{,4 341,414nn n knS n knn k=+==--=-（3）当2k≥时，存在正整数221,452l k m k k=-=-+，满足k l m<<，且使得,,k l mc c c成等差数列．试题解析： (1)因为()*1112n n A A n N n n +-=∈+，于是数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列， 所以1122n A n n =+，即()()*12n n n A n N +=∈， 当2n ≥时， 1n n n a A A n -=-=，又因为11a =，所以()*n a n n N =∈.- 又因为()*2120n n n b b b n N ++-+=∈，于是数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，由于95936B b ==，则54b =，由于32b =， 所以()1*n b n n N =-∈． (2)数列{}n a 的前n 项和()12n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和()12nn n B -=．当()2*n k k N =∈时， ()()221122n k k k k k k k S S A B k +-==+=+=；当()43*n k k N =-∈时，()()()243212221231463n k k k S S A B k k k k k k ---==+=-+--=-+；-当()41*n k k N =-∈时，()()241212212142n k k k S S A B k k k k k k --==+=-+-=-；-所以2221,243{,4 3 41,414n n n k n S n k n n k =+==--=-，其中*k N ∈．--()2211421k k k l -=-+--，即()2211421k m k k l -=+---，--则对任意的()*2,k k k N ≥∈， 421k l --能整除()221k -，且4210k l -->. 由于当2k ≥时， 21k -中存在多个质数，所以421k l --只能取1或21k -或()221k ---若4211k l --=，则21l k =-， 2452m k k =-+，于是 ()()24734310m l k k k k -=-+=-->，符合k l m <<；-若42121k l k --=-，则k l =，矛盾，舍去；-若()242121k l k --=-，则2m k +=，于是0m ≤，矛盾．综上，当2k ≥时，存在正整数221,452l k m k k =-=-+，满足k l m <<，且使得,,k l m c c c 成等差数列．。

2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学201８.4一、填空题（本大题共有１２题，满分5４分，第１－6题每题４分,第７－１２题每题５分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =,集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U ．2.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中,常数项是 .3.函数()lg(32)x x f x =-的定义域为___＿＿________. ４．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-,则a = . ５．若一个球的体积为323π,则该球的表面积为_____＿___. 6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为____＿______.7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是__________＿.8.若一圆锥的底面半径为3,体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次,记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ,向量()2,2a m n =--,向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时,1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .11．若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 . 12.已知向量,a b 满足||a =、||b =,若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值NMD 1C 1B 1A 1DCBA为 .二、选择题（本大题共有４题，满分2０分，每题5分)每题有且只有一个正确选项。

上海市徐汇区达标名校2018年高考二月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数22sin ()1x x f xx=+，则()y f x=，[],xππ∈-的大致图象大致是的( )A．B．C．D．2．已知函数()f x是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x xx-=+----，若对11[,]62x∀∈，(1)(1)f ax f x+<-恒成立，则a的取值范围是（）A．(3,1)--B．(4,1)--C．(3,0)-D．(4,0)-3．已知集合|03xA x Zx⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．84．设全集()(){}130U x Z x x=∈+-≤，集合{}0,1,2A=，则UC A＝( )A．{}1,3-B．{}1,0-C．{}0,3D．{}1,0,3-5．若实数,x y满足的约束条件3020yx yx y≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y=+的取值范围是（）A．[)4+∞，B．[]06，C．[]04，D．[)6+∞，6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．257．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．648．已知集合{}15{|},|2M x x N x x =-≤<=<，则M N =（ ）A ．{|12}x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{}|02x x <<9．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =10．函数1()1x xe f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．D ．11．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．1212．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A 6B 6C ．32π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2018.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．12的二项展开式中，常数项是 .3_____________．45_________． 6___________．7___________．8，则该圆锥的侧面积等于 .9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点．．是.10恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函的最大值和最小值分别为则函数图像的一个对称中心是．12．已知向量的夹角为锐角，且满若对任意的，都有成立，则的最小值为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。

考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．130--------（）（A）菱形（B）矩形（C）直角梯形（D）等腰梯形14.----------（）（A）第一象限．（B）第二象限．（C）第三象限．（D）第四象限．15------------（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件16------------------------------------------------------------------( )（A）10 （B）8 （C（D）12NMD 1C 1B 1A 1DCBA三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图在长方（1（2示）．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图：20送快件到（1） 试问，快递小哥能否在50（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派6019．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)[12,15](1)(2)20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线(1)(2)(3)，21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)9项和为36．(1)(2)项的位置上，(3))；若不存在，请说明理由．2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准2018.4 一．填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分2．2034 5678910．1112二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）13．A14．D15．B16．A三．解答题：（本大题共5题，满分74分）17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1）--------6分（2）解法一：如图建立空间直角坐标系则、、、，所以1、10分1110A MB N=⋅14分ENMD 1C 1B 1A 1D CBA四边形平行四边形，角或其补角．----------------------------------------9分----------------------------14分18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 【解】（1，-------------------2分快递小哥不能在50---------------------------------------6分（2，------------------------------------------------------------8分，-----------------------------------------------------10分-----------------------------------------------------------14分19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1)------------------------------------------------------6分---8分--10分1-1对应关系，具有反函数．------------------------------------------14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)【解】(1)分(2)------------------------------------6分10分(3)分两式相除，可知16分21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 【解】答案：(1)1，数列，分---------------------------------------------------------------------------------4分(2)n----5分-----------6分----------7分------------------------8分------------------------------------------------10分(3)由(1)---------------------------------------11分------------------------------------------13分1分----------------------------15分---------------------------------------------16分-------------------------------17分综上，成等差数列．-----------------------------------------------------------------------------------------------------18分。

2018年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则∁U A=．2．（4分）在的二项展开式中，常数项是．3．（4分）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为．4．（4分）已知抛物线x2=ay的准线方程是，则a=．5．（4分）若一个球的体积为，则该球的表面积为．6．（4分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．7．（5分）函数f（x）=的最小正周期是．8．（5分）若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于．9．（5分）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量，向量，则向量的概率是．10．（5分）已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是．11．（5分）若函数的最大值和最小值分别为M、m，则函数g（x）=（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]图象的一个对称中心是．12．（5分）已知向量的夹角为锐角，且满足|、|，若对任意的（x，y）∈，都有|x+y|≤1成立，则的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形14．（5分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为，且，（n∈N*），则复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）如图，圆C分别与x轴正半轴，y轴正半轴相切于点A，B，过劣弧上一点T作圆C的切线，分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点M，N，若点Q （2，1）是切线上一点，则△MON周长的最小值为（）A．10B．8C．D．12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=4，，点M 为AB的中点，点N为BC的中点．（1）求长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）求异面直线A1M与B1N所成角的大小（用反三角函数表示）．18．（14分）如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD=10（公里），∠DCB=45°，∠CDB=30°，△ABD 是等腰三角形，∠ABD=120°．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，（1）当t=2时，求函数y=f（x）的反函数；（2）如果函数y=f（x）在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．20．（16分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，BN，AN的斜率分别是k1，k2，k3．（1）求k2•k3的值；（2）若直线MN过点，求证：；（3）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．21．（18分）已知数列{a n}的前n项和A n满足，且a1=1，数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），b3=2，其前9项和为36．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）当n为奇数时，将a n放在b n的前面一项的位置上；当n为偶数时，将b n 放在a n前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，…，求该数列的前n项和S n；（3）设c n=，对于任意给定的正整数k（k≥2），是否存在正整数l，m（k ＜l＜m），使得c k，c l，c m成等差数列？若存在，求出l，m（用k表示）；若不存在，请说明理由．2018年上海市徐汇区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则∁U A=[﹣1，3] ．【考点】1D：并集及其运算．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，所以∁U A={x|﹣1≤x≤3}，即∁U A=[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．【点评】本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2．（4分）在的二项展开式中，常数项是20．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由．由6﹣2r=0，得r=3．∴常数项是．故答案为：20．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．3．（4分）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为（0，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】35：转化思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）=lg（3x﹣2x），∴3x﹣2x＞0，∴3x＞2x，∴＞1，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．4．（4分）已知抛物线x2=ay的准线方程是，则a=1．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程求出其准线方程，结合题意可得﹣=﹣，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为：x2=ay，则其准线方程为y=﹣，又由抛物线x2=ay的准线方程是，则有﹣=﹣，解可得a=1；故答案为：1【点评】本题考查抛物线的标准方程以及准线方程的求法，5．（4分）若一个球的体积为，则该球的表面积为16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由球的体积，由球的体积公式能求出这个球的半径，再由球的表面积的计算公式能求出结果．【解答】解：一个球的体积V=π×r3=，设这个球的半径r=2，则4πr2=16π，故答案为：16π．【点评】本题考查球的体积和表面积的应用，解题时要认真审题，仔细解答．6．（4分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域，化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）函数f（x）=的最小正周期是π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据行列式的运算化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数f（x）==（sinx+cosx）2+1=2+sin2x，故它的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查行列式的运算，正弦函数的周期性，属于基础题．8．（5分）若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于15π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】首先根据圆锥的体积求出圆锥的高度，然后求出母线长度，根据侧面积公式解答．【解答】解：由已知得到圆锥的体积12π=，解得h=4，所以圆锥的母线长度为=5，所以圆锥的侧面积为=15π；故答案为：15π．【点评】本题考查了圆锥的体积和侧面积公式的运用；属于基础题．9．（5分）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量，向量，则向量的概率是．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】易得总的基本事件有36种，由向量垂直可得m﹣n=0，共6种，由概率公式可得．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次出现的点数情况共6×6=36种，由，向量，由于向量，所以m﹣2+2﹣n=0，即m﹣n=0，上述满足m﹣n=0的有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）共6种，故所求概率为P==故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式和向量垂直的条件，属基础题．10．（5分）已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是（x﹣1）2+（y﹣）2=．【考点】J2：圆的一般方程．【专题】35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】联立两条直线方程，消去m，即得到l1和l2的交点P的方程，判断对m ∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上．【解答】解：如图所示：l1：mx﹣y=0，过定点O（0，0），k=m；l2：x+my﹣m﹣2=0，m（y﹣1）+x﹣2=0，过定点A（2，1），k=﹣，∵k•k=﹣1，∴直线与直线互相垂直，故有PO⊥PA，∴直线与直线的交点P必在以O（0，0），A（2，1）为一条直径端点的圆上，且圆心为AO线段的中点C（1，），半径r=OA==，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=．【点评】本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解，曲线轨迹方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．11．（5分）若函数的最大值和最小值分别为M、m，则函数g（x）=（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]图象的一个对称中心是．【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．【分析】对函数f（x）进行化简，结合奇偶性考虑最值，可求出M+m，从而可得函数g（x）的对称中心；【解答】解：函数==2+令h（x）=由h（﹣x）==g（x），∴h（x）是奇函数，∴h（x）的最大值h（x）mxx，最小值h（x）min即h（x）mxx+h（x）min=0那么：函数f（x）的最大值M=2+h（x）mxx，最小值为m=2+h（x）min∴：M+m=2+h（x）mxx+2+h（x）min=4可得：函数g（x）=（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]=4x+sin（4x﹣1）．令4x﹣1=kπ，k∈Z．可得x=，当k=0时，可得x=，此时g（）=1，故得一个对称中心为．故答案为：．【点评】本题考查了函数的最值问题和奇偶性的应用．将函数化简，转化为奇函数的最值之和是关键．12．（5分）已知向量的夹角为锐角，且满足|、|，若对任意的（x，y）∈，都有|x+y|≤1成立，则的最小值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用．【分析】设单位向量的夹角为锐角θ，由||=1，xy＞0，得（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2=，由|x+y|≤1，得[（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2][（）2]≥（x+y）2=1，令t=cosθ，得≥，求不等式解集可得结果．【解答】解：设单位向量的夹角为锐角θ，由||=1，xy＞0，得=1，∴，∴（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2=，由|x+y|≤1，利用柯西不等式得：[（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2][（）2]≥（x+y）2=1，令t=cosθ，得≥，化简，得64t2﹣60t+11≤0，解得，∴=，∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积与不等式的角法与应用问题，考查柯西不等式等基础知识，考查函数与方程思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【考点】91：向量的概念与向量的模；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】由，可得四边形ABCD的对边AB∥CD且AB=CD，四边形ABCD 为平行四边形=0，可得平行四边形的对角线AC⊥BD，从而可得四边形ABCD为菱形【解答】解：∵=即一组对边平行且相等，•=0即对角线互相垂直；∴该四边形ABCD为菱形．故选：B．【点评】利用向量的知识进行判断是解决本题的关键，本题主要考查了由向量相等及向量垂直的知识进行判断四边形的知识14．（5分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为，且，（n∈N*），则复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】15：综合题；38：对应思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列；5N：数系的扩充和复数．【分析】由无穷递缩等比数列所有项和公式求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z的坐标得答案．【解答】解：由题意，，即a=2．∴=，∴复数在复平面上对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查无穷递缩等比数列所有项和公式的应用，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．15．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据三角函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若C=90°，则A+B=90°，则B=90°﹣A，cosB+sinB=cos（90°﹣A）+sin（90°﹣A）=sinA+cosA，即必要性成立．若A=B=30°，满足cosA+sinA=cosB+sinB，但C=90°不成立，即充分性不成立，故“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的诱导公式是解决本题的关键．16．（5分）如图，圆C分别与x轴正半轴，y轴正半轴相切于点A，B，过劣弧上一点T作圆C的切线，分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点M，N，若点Q （2，1）是切线上一点，则△MON周长的最小值为（）A．10B．8C．D．12【考点】J7：圆的切线方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆．【分析】可设切线方程为+=1（a＞0，b＞0），代入点（2，1），求得周长关于a的式子：t=a+b+（t＞2），运用平方和二次方程的判别式大于等于0，解不等式可得周长的最小值．【解答】解：可设切线方程为+=1（a＞0，b＞0），由切线经过点（2，1），可得：+=1，可得b=，a＞2，则周长为t=a+b+（t＞2），即为（t﹣a﹣b）2=a2+b2，化为t2﹣2（a+b）t+2ab=0，即有t2﹣2（a+）t+2a（）=0，即（2﹣2t）a2+（2t+t2）a﹣2t2=0，△=（2t+t2）2+8t2（2﹣2t）≥0，化为t2﹣12t+20≥0，解得t≥10或t≤2（舍去），可得a=，b=时，△MON的周长取得最小值10．故选：A．【点评】本题考查直线方程的运用，考查最值的求法，注意运用转化思想和二次方程的判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=4，，点M 为AB的中点，点N为BC的中点．（1）求长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）求异面直线A1M与B1N所成角的大小（用反三角函数表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）连AC、AC1，推导出C1C⊥BC，C1C⊥CD，从而C1C⊥平面ABCD，进而C1C⊥AC．由此能求出CC1．从而能求出长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1M与B1N 所成的角．【解答】解：（1）连AC、AC1．∵△ABC 是直角三角形，∴AC==2．∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴C1C⊥BC，C1C⊥CD，又DC∩BC=C，C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥AC．又在Rt△ACC1中，AC1=，AC=2，∴CC1=1，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=S矩形ABCD×CC1=AB×AD×CC1=2×4×1=8．（2）如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（4，0，1），M（4，1，0），B1（4，2，1），N（2，2，0），∴=（0，1，﹣1），=（﹣2，0，﹣1），10分则向量与所成角θ满足cosθ==．异面直线A1M与B1N 所成的角等于arccos．14分【点评】本题考查长方体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查几何体的体积、空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查统计与概率思想、函数与方程思想，是基础题．18．（14分）如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD=10（公里），∠DCB=45°，∠CDB=30°，△ABD 是等腰三角形，∠ABD=120°．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）首先利用正弦定理求出结果．（2）直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．【解答】解：（1）已知：AB=10 （公里），在△BCD中，由，得BC=5（公里）．于是，由于：＞50，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．（2）在△ABD中，）=300，得AD=10（公里），在△BCD中，∠CBD=105°，由：，得CD=5（1+）（公里），由：≈45.98＜51.21（分钟）知，汽车能先到达C 处．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用．19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，（1）当t=2时，求函数y=f（x）的反函数；（2）如果函数y=f（x）在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据反函数的定义即可求出，（2）分类讨论，即可求出t的范围．【解答】解：（1）当t=2，f（x）=x2﹣6x+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，∴y=；（2）若，即t≤0，则y=f（x）在定义域上单调递增，所以具有反函数；若，即t≥10，则y=f（x）在定义域上单调递减，所以具有反函数；当3，即2≤t≤8时，由于区间[0，3]关于对称轴的对称区间是[3t﹣3，3t]，于是当或，即t∈[2，4）或t∈（6，8]时，函数在定义域上满足1﹣1对应关系，具有反函数．综上，t∈（﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞）．【点评】本题考查了反函数的定义和函数解析函式的求法，考查了分类讨论的能力，属于中档题．20．（16分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，BN，AN的斜率分别是k1，k2，k3．（1）求k2•k3的值；（2）若直线MN过点，求证：；（3）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】31：数形结合；34：方程思想；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设N（x0，y0），由于A，B，由点N在椭圆C 上，可得+=1，于是=﹣2，利用斜率计算公式可得：k2•k3=•=，即可得出．（2）设直线MN的方程为：x=my+，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立得（m2+2）y2+my﹣=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．（3）由于直线MN 与x 轴的交点为（t，0），于是MN：x=my+t，与椭圆方程联立得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，直线AM：y=（x+），直线BN：y=（x﹣），两式相除，可知：=•=•=，把根与系数的关系代入化简即可得出．【解答】（1）解：设N（x0，y0），由于A，B，∵点N在椭圆C 上，∴+=1，于是=﹣2，∴k2•k3=•==﹣．（2）证明：设直线MN的方程为：x=my+，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（m2+2）y2+my﹣=0，于是y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴k1•k3=•====﹣．（3）解：由于直线MN 与x 轴的交点为（t，0），于是MN：x=my+t，联立直线MN：，可得：得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，于是：y1+y2=﹣，y1y2=．∵直线AM：y=（x+），直线BN：y=（x﹣），两式相除，可知：=•=•====•=．于是xt=2，所以x=，即直线与直线BN的交点Q落在定直线x=上．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（18分）已知数列{a n}的前n项和A n满足，且a1=1，数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），b3=2，其前9项和为36．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）当n为奇数时，将a n放在b n的前面一项的位置上；当n为偶数时，将b n 放在a n前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，…，求该数列的前n项和S n；（3）设c n=，对于任意给定的正整数k（k≥2），是否存在正整数l，m（k ＜l＜m），使得c k，c l，c m成等差数列？若存在，求出l，m（用k表示）；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论和分类讨论思想求出结果．（3）利用分类讨论思想和整除问题求出数列为等差数列．【解答】解：（1）因为，于是数列{}是首项为1，公差为的等差数列，所以，则：，当n≥2时，a n=A n﹣A n﹣1=n，又因为a1=1，所以a n=n，﹣2b n+1+b n=0，又因为b n+2于是数列{b n}是等差数列，设{b n}的前n 项和为B n，由于B9=9b5=36，则：b5=4，由于：b3=2，则：2d=b5﹣b3=2，解得：d=1．所以：b n=2+（n﹣3）=n﹣1；（2）当n为奇数时，将a n放在b n的前面一项的位置上；当n为偶数时，将b n放在a n前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，…，则：数列{a n}的前n项和．当n=2k时，=．当n=4k﹣3时，=k（2k﹣1）+（2k﹣3）（k﹣1）=4k2﹣6k+3．当n=4k﹣1时，S n=S4k﹣1=A2k﹣1+B2k=（2k﹣1）k+（2k﹣1）k=4k2﹣2k；进一步整理得：S n=．（3）由（1）可知：，若对于任意给定的正整数k（k≥2）存在正整数l，m（k＜l＜m），使得c k，c l，c m成等差数列．则：2c l=c m+c k，即：，解得：m==，即：．则对于任意的正整数k（k≥2）4k﹣2l﹣1能整除（2k﹣1）2，且4k﹣2l﹣1＞0．由于当k≥2时，2k﹣1中存在多个质数．所以：4k﹣2l﹣1只能取1和2k﹣1或（2k﹣1）2．若4k﹣2l﹣1=1时，则l=2k﹣1，m=4k2﹣5k+2．于是，m﹣l=4k2﹣7k+3=（4k﹣3）（k﹣1）＞0，符合k＜l＜m．若4k﹣2l﹣1=2k﹣1时，k=l出现矛盾，则舍去．若4k﹣2l﹣1=（2k﹣1）2，则：m+k=2，于是m≤0，出现矛盾，故舍去．综上所述：当k≥2时，存在正整数l=2k﹣1，m=4k2﹣5k+2，满足k＜l＜m，使得c k，c l，c m成等差数列．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用．。

上海市徐汇区2018届高三下学期学习能力诊断（二模）数学试题一、填空题1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是.3．函数()lg(32)x x f x =-的定义域为_____________． 4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =. 5．若一个球的体积为32π3，则该球的表面积为_________． 6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =-- ，向量()1,1b =，则向量a b ⊥ 的概率．．是. 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交 点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是．12．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||a =、||b = ，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=> ，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为.二、选择题13．在四边形ABCD 中，AB DC = ，且AC ·BD＝0，则四边形ABCD 是（ ） A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形14. 若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为12，且a S n n =∞→lim ，(n ∈*N )，则复数ia z +=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限15．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的（ ） A .充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ∆周长的最小值为( ) A.10 B.8C.三、解答题17． 如图在长方体1111D C B A ABCD -中，2AB =，4AD =，1AC =，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点．（1）求长方体1111D C B A ABCD -的体积；（2）求异面直线M A 1与N B 1所成角的大小（用反三角函数表示）．NMD 1C 1B 1A 1DCBA18．如图：某快递小哥从A 地出发，沿小路AB BC →以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知10BD =（公里），0045,30DCB CDB ∠=∠=，ABD ∆是等腰三角形，0120ABD ∠=．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD DC →追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？19．已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15] ， (1) 当2t =时，求函数()y f x =的反函数；(2) 如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围．20．如图，,A B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k .(1)求23k k ⋅的值；(2)若直线MN 过点⎫⎪⎪⎝⎭，求证：1316k k ⋅=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．21．已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足*11()12n n A A n n n +-=∈+N ，且11a =，数列{}n b 满足*2120()n n n b b b n ++-+=∈N ，32b =，其前9项和为36．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1122334455,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b ⋅⋅⋅，求该数列的前n 项和n S ； (3)设1n n nc a b =+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成等差数列？若存在，求出,l m (用k 表示)；若不存在，请说明理由．【参考答案】一． 填空题１．]3,1[- 2．20 3．(0,)+∞ 4．1 5．16π 6．1- 7．π 8．15π9．16 10． 2220x y x y +--= 11．114⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12．815 二．选择题13．A 14．D 15．B 16．A 三. 解答题17．解：（1） 连AC 、1AC ． ABC ∆是直角三角形，∴AC =1111D C B A ABCD -是长方体，∴BC C C ⊥1，CD C C ⊥1，又C BC DC =⋂， ∴⊥C C 1平面ABCD ，∴AC C C ⊥1．又在1ACC Rt ∆中，1AC =，AC =∴11CC =，∴11118ABCD A B C D V -=． （2）解法一：如图建立空间直角坐标系.则()14,0,1A 、()4,1,0M 、()14,2,1B 、()2,2,0N ，所以()10,1,1A M =- 、()12,0,1B N =--， 则向量1AM 与1B N 所成角θ满足1111cos 10A M B N A M B Nθ⋅==⋅． ∴异面直线M A 1与N B 1所成的角等于．14分解法二：取AD 的中点E ，连E A 1、EM ．11////B A AB EN ，∴四边形NE B A 11为平行四边形，N B E A 11//∴，∴M EA 1∠等于异面直线M A 1与N B 1所成的角或其补角．1AM =，2AE =，11=AA，得1AM =1AE =，5=EM ，∴1cos EA M ∠==110EA M ∠=． ∴异面直线M A 1与N B 1所成的角等于． 18．解：（1）10AB =（公里），BCD ∆中，由00sin 45sin 30BD BC=，得BC =，于是，由106051.215020+≈>知， 快递小哥不能在50分钟内将快件送到C 处．（2）在ABD ∆中，由22211010210103002AD ⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，得AD =， 在BCD ∆中，0105CBD ∠=，由00sin105sin30CD =，得(51CD =+（公里），由(5160152045.9851.2160⨯+=+≈<（分钟）知，汽车能先到达C 处．END 1C 1B 1A 1D CBA19．解：(1) 3[8,1]3[73,136]x y x ⎧∈-⎪=⎨+∈⎪⎩； (2)01 若302t ≤，即0t ≤，则()y f x =在定义域上单调递增，所以具有反函数；02 若3152t≥，即10t ≥，则()y f x =在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分 03 当33122t ≤≤，即28t ≤≤时，由于区间[]0,3关于对称轴32t的对称区间是[]33,3t t -，于是当312332t t <⎧⎪⎨≥⎪⎩或33153122t t->⎧⎪⎨≤⎪⎩，即[)2,4t ∈或(]6,8t ∈时， 函数()y f x =在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数． 综上，(,0][2,4)(6,8][10,)t ∈-∞+∞ ． 20．解：(1)设00(,)N x y，由于(A B ，所以223202y k k x ⋅==-，因为00(,)N x y 在椭圆C 上，于是220012x y +=，即220022x y -=-， 所以202320122y k k x ⋅==--.(2)设直线:2MN x my =+，1122(,),(,)M x y N x y，由22222x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得223(2)02m y ++-=，于是()1212223,222y y y y m m +=-⋅=-++，13k k ⋅==()()2222332212396322222m m m m m --+===---+++．(3)由于直线MN 与x 轴的交点为(,0)t ，于是:MN x my t =+，联立直线:MN x my t =+与椭圆22:12x C y +=的方程，可得 222(2)220m y mty t +++-=，于是212122222,22mt t y y yy m m -+=-⋅=++.因为直线:AM y x =，直线:BN yx =，两式相除，可知2211y y y y===22212221222()222(2t mtm t y m m t m t y m -⋅++--++==-⋅++2==， 于是2xt =，所以2x t =，即直线AM 与直线BN 的交点Q 落在定直线2x t=上． 21．解： (1)因为*11()12n n A A n n n +-=∈+N ，于是数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，所以1122n A n n =+，即*(1)()2n n n A n +=∈N ， 当2n ≥时，1n n n a A A n -=-=，又因为11a =，所以*()n a n n =∈N . 又因为*2120()n n n b b b n ++-+=∈N ，于是数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，由于95936B b ==，则54b =，由于32b =， 所以1(*)n b n n =-∈N ． (2)数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和(1)2n n nB -=． 当2(*)n k k =∈N 时，22(1)(1)22n k k k k k k kS S A B k +-==+=+=； 当43(*)n k k =-∈N 时，2432122(21)(23)(1)463n k k k S S A B k k k k k k ---==+=-+--=-+；当41(*)n k k =-∈N 时，241212(21)(21)42n k k k S S A B k k k k k k --==+=-+-=-； 所以2221,243,4341,414n n n k n S n k n n k ⎧=⎪⎪+⎪==-⎨⎪⎪-=-⎪⎩，其中*k ∈N ．(3)由(1)可知，121n c n =-. 若对于任意给定的正整数()2k k ≥，存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成等差数列，则2l k m c c c =+，即211212121l k m =+---， 于是121421212121(21)(21)k l m l k l k --=-=-----，所以222(1)(214)(21)421421kl k l k l k k m k l k l +--+-+-==----2(21)1421k k k l -=-+--，即2(21)1421k m k k l -=+---， 则对任意的()2,k k k N *≥∈，421k l --能整除2(21)k -，且4210k l -->.由于当2k ≥时，21k -中存在多个质数， 所以421k l --只能取1或21k -或()221k -，若4211k l --=，则21l k =-，2452m k k =-+，于是2473(43)(1)0m l k k k k -=-+=-->，符合k l m <<；若42121k l k --=-，则k l =，矛盾，舍去；若2421(21)k l k --=-，则2m k +=，于是0m ≤，矛盾．综上，当2k ≥时，存在正整数221,452l k m k k =-=-+，满足k l m <<，且使得,,k l m c c c 成等差数列．。

2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2018.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .3．函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________． 4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 5．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________． 6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--r ，向量()1,1b =r，则向量a b ⊥r r 的概率．．是 . 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .11．若函数222(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ．12．已知向量,a b r r 的夹角为锐角，且满足||a =r、||b =r ，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>r r ，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅r r的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。

2017-2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2018.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是.3．函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________．4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =.5．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，．则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是. 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函数222(1)s i n()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()s i n 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是． 12．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||15a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。

2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学 试卷 2019.4【考生注意】考试设试卷和答题纸两部分，所有答案必须填涂（选择题）或书写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

考试时间120分钟，试卷满分150分。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设全集U R =，若集合{1,2,3,4},{|23}A B x x ==≤≤，则=U A B I ð___________.2. 已知点(2,5)在函数x a x f +=1)((0a >且1a ≠)的图像上，则()f x 的反函数1()=f x -______________.3. 不等式+11x x>的解为___________. 4. 已知球的主视图所表示图形的面积为9π，则该球的体积是 .5.函数cos 2sin ()cos x xf x x-=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为___________. 6. 若2+i （i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，则圆锥曲线221x y m n+=的焦距为 . 7.设无穷等比数列{}n a 的公比为q .若{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是 .8.已知点(0,0),(2,0),(1,O A B -，P是曲线y =则OP BA ⋅u u u r u u u r 的取值范围是 .9. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为________.（结果用数值表示）10.已知函数4()1f x x x =+-，若存在121,,,,44n x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦L ，使得121()()()()n n f x f x f x f x -+++=L ，则正整数n 的最大值是___________.11.在平面直角坐标系中，设点00O （，），(3,A ，点(,)P x y的坐标满足0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u r 在OP uuu r上的投影的取值范围是 .12.函数()sin (0)f x x ωω=>的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为123,,,,,,n A A A A L L 在点列{}n A 中存在三个不同的点,,k l p A A A ，使得k l p A A A ∆是等腰直角三角形.将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω=___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 满足条件i 34i z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面上对应的点的轨迹是（ ）（A ）直线 （B ）圆 （C ）椭圆 （D ）双曲线14. 设*n N ∈，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件15. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） （A ）3716（B ）115 （C ）2 （D ）7416. 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈,使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ,那么以下函数： ①1(0)()0(0)x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩； ②3()f x x =； ③2()1f x x =-； ④2()f x x =中，不具有性质P 的函数为（ ）（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2+4cos()30A B C ++=. （1）求角A 的大小； （2）若3=a ，3=+c b ，求b 和c 的值.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，1BC 与底面ABCD 所成角的大小为arctan 2，M 是1DD 的中点，N 是BD 上的一动点，设(01)DN DB λλ=<<u u u r u u u r.（1）当1=2λ时，证明：MN 与平面11ABC D 平行；（2）若点N 到平面BCM 的距离为d ，试用λ表示d ，并求出d 的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如下图：A 、B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为045.机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚8v 秒(注：信号每秒传播0v 米).在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米. （1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）对于项数为(3)m m ≥的有穷数列{}n a ，若存在项数为1m +，公差为d 的等差数列{}n b ，使得1k k k b a b +<<，其中1,2,,k m =…，则称数列{}n a 为“等差分割数列”. （1）判断数列{}:1,4,8,13n a 是否为“等差分割数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 的通项公式为2(1,2,,)nn a n m ==L ，求证：当5m ≥时，数列{}n a 不是“等差分割数列”；（3）已知数列{}n a 的通项公式为43(1,2,,)n a n n m =+=L ，且数列{}n a 为“等差分割数列”.1A若数列{}n b 的首项13b =，求数列{}n b 的公差d 的取值范围（用m 表示） .21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数()1y f x =，()2y f x =，定义函数()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩.（1）设函数()()()11210,2x f x f x x -⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭求函数()y f x =的值域；（2）设函数()1lg(1)f x p x =-+（10,2x p <≤为实常数），()21lg f x x= 102x ⎛⎫<≤⎪⎝⎭，当102x <≤时，恒有()()1,f x f x =求实常数p 的取值范围； （3）设函数12()2,()32,x x pf x f x -==⋅p 为正常数，若关于x 的方程()f x m =(m 为实常数）恰有三个不同的解，求p 的取值范围及这三个解的和（用p 表示）.参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}14，2. 2log (1)x -3. (0,+)∞4. 36π5.6. 67. 1(2,0)0,4⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦ 8. []2,4- 9. 34 10. 611. [3,3]- 12.40372π 二、 选择题：(共20分，每题5分)13. B 14. A 15. C 16. D 三、 解答题17、解：（1）由2cos 2+4cos()30A B C ++=，得01)cos(4cos 42=+++C B A ，…（2分） 因为π=++C B A ，所以A C B cos )cos(-=+，故0)1cos 2(2=-A ，…………（4分）所以，21cos =A ，3π=A ． ………………（6分） （2）由余弦定理，A bc c b a cos 2222-+=，得322=-+bc c b ， ………………（8分）33)(2=-+bc c b ，得2=bc ， ………………（10分）由⎩⎨⎧==+,2,3bc c b 解得⎩⎨⎧==,1,2c b 或⎩⎨⎧==.2,1c b ……………（14分）18、解：(1) 因为1C 是1BC 上的点，且1C 在平面ABCD 上的射影是C ，即BC 是1BC 在平面ABCD 上的射影，于是1C BC ∠是1BC 与底面ABCD 所成的角，而111tan 22CC CC C BC BC ∠===,所以14CC =. ………（2分） 如图，以D 为原点，直线DA 为x 轴，直线DC 为y 直线1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.连结1BD ，因为M 是1DD 的中点，N 是BD 中点， 所以1//MN BD ， ………（4分）于是1//MN BD u u u u r u u u u r ，令1()MN tBD t R =∈u u u u r u u u u r. 设1n u r 是平面11ABC D 的法向量，则11n BD ⊥u r u u u u r ，于是11111()0n MN n tBD tn BD ⋅=⋅=⋅=u r u u u u r u r u u u u r u r u u u u r ，即1n MN ⊥u r u u u u r ，又因为MN 不在平面11ABC D 内，所以MN 与平面11ABC D 平行. (2)由于(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C M ，于是(2,0,0),(0,2,2)CB CM ==-u u u r u u u u r. ………（设平面BCM 的法向量2(,,)n x y z =u u r，因为220,0n CB n CM ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u u r ，于是20220x y z =⎧⎨-+=⎩，取1y =，则平面BCM 的一个法向量为2(0,1,1)n =u u r.………（10分） 因为(01)DN DB λλ=<<u u u r u u u r，于是(2,2,0)(01)N λλλ<<，则(2,2,2)MN λλ=-u u u u r， ………（11分）所以点N 到平面BCM的距离22,(0,1)||MN n d n λ⋅==∈u u u u r u u r u u r ，………（13分） 从而d的取值范围是. ………（14分） 19、解：（1）设机器鼠在点(,)P x y 处，则由题意，得0088PA PB v AB v -=⋅=< 所以，P 为以A 、B 为焦点，实轴长为8，焦距为10 的双曲线右支上的点，……（2分）该双曲线的方程为()2214169x y x -=≥， ………（4分）又4PO =，解得(4,0)P ，即在时刻0t 时，机器鼠所在位置的坐标为40（，）. ………（6分） （2）与直线l 平行且距离不超过1.5的直线方程为(2y x m m =+≤……（8分）考虑(2y x m m =+≤与()2214169x y x -=≥是否有交点， 2222217321614405764032169x y x mx m m y x m ⎧-=⎪⇒+++=⇒∆=-⎨⎪=+⎩……（10分）因为2m ≤，所以0∆< ……（12分）所以，(2y x m m =+≤与()2214169x y x -=≥没有交点， 即机器鼠保持目前的运动轨迹不变，没有“被抓”风险. ……（14分） 20、解：(1)因为存在等差数列1,3,7,11,15-， ……（2分） 满足113478111315-<<<<<<<<，所以数列{}:1,4,8,13n a 是“等差分割数列”. ……（4分） (2)当5m ≥时，若存在公差为d ，项数为1m +项的等差数列{}n b 满足：1k k k b a b +<<， 其中1,2,,k m =…，则有1234562481632m b b b b b b b <<<<<<<<<<<<…，……（6分） 于是32826d b b =-<-=，所以633681826b b <+⨯<+=，与632b >矛盾， ……（8分） 即5m ≥时，{}n a 不是“等差分割数列”. ……（10分） (3)由题意知,111213141512345b a b d a b d a b d a b d a b d <<+<<+<<+<<+<<+<… 11(1)m b m d a b md <+-<<+，于是一方面11213111114,()4,()4,,()423m d a b d a b d a b d a b m>-=>-=>-=>-=…，所以4d >. ……（11分）另一方面，2131411111,(),(),,()231m d a b d a b d a b d a b m <-<-<-<--…， ……（13分）由于111114()()12(1)(2)m m a b a b m m m m -----=----，又因为3m ≥， 于是11111()()12m m a b a b m m --<---，所以114()11m md a b m m <-=--.……（15分） 综上所述，441md m <<-. ……（16分）21、解：（1）因为()()12111f f ==，当[]0,1x ∈时，()1f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()1212x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减.所以 ()111,12x x f x x -≤≤=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩ ……（2分）当01x ≤≤时，()[]0,1f x ∈；当1x >时，()()0,1f x ∈()y f x ∴=值域为[]0,1……（4分）（2）102x <≤时，()()1f x f x =恒成立，等价于()()12,f x f x ≤对102x <≤恒成立，即()1lg 1lg ,p x x -+≤ 11p x x -+≤，11,p x x -≤-1111p x x x-+≤-≤-即1111x p x x x -+≤≤+-对102x <≤恒成立， ……（5分）11x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Q 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递增12x ∴=时，max 11+12x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭……（7分）又11 xx⎛⎫+- ⎪⎝⎭Q在10,2 x⎛⎤∈⎥⎝⎦上递减，12x∴=时，min1312xx⎛⎫+-=⎪⎝⎭……（9分）1322p∴-≤≤……（10分）（3）11()(),f x f x=-Q22()()f p x f p x+=-∴函数12(),()f x f x图像分别关于直线0,x x p==对称.当x R∈时，若1()()f x f x=恒成立，等价于12()()f x f x≤恒成立，即232x x p-≤⋅即23x x p--≤，即2log3x x p--≤恒成立.当0p>时，设(),(0)2,(0),()p xg x x x p x p x pp x p-<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪>⎩max()g x p∴=，故20log3p<≤成立.……（12分）当20log3p<≤时，1()()f x f x=()(][)1,00+f x-∞∞Q为偶函数，且在上递减、，上递增，方程()f x m=最多有两个解.如下图.故关于x的方程()f x m=恰有三个不同的解，则2log3p>……（14分）当0x≤时，()()()()12122,x p xf x f x f x f x--=<<=从而当x p≥时，1()222x p x pf x-==⋅>2log3222()x p f x-⋅=从而2()().f x f x=当0x p<<时，1()2xf x=及2()32p xf x-=⋅由00232,x p x-=⋅得2log32px+=显然2log32px p+<=<表明x在0与p之间Q在(]00,x x∈时，1()2xf x=递增，2()32p xf x-=⋅递减；在(),x x p∈时，1()2xf x=递增，2()32p xf x-=⋅递减1020(),(0)()(),()f x x x f x f x x x p <≤⎧∴=⎨<<⎩综上可知，1020(),()()(),()f x x x f x f x x x ≤⎧=⎨>⎩……（16分）()f x 在(][]0,0,,x p -∞上单调减，在[][)00,,,x p +∞上单调增. 如下图故关于x 的方程()f x m =恰有三个不同的解，则3m =或20log 3210()22p x m f x +===01当3m =时，三个解的和为p ……（17分） 02当20log 3210()22p x m f x +===时，三个解的和为203log 32.2p p x --=……（18分）更多高考数学信息，请关注。

2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 试卷【考生注意】考试设试卷和答题纸两部分，所有答案必须填涂（选择题）或书写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

考试时间120分钟，试卷满分150分。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设全集U R =，若集合{1,2,3,4},{|23}A B x x ==≤≤，则=UAB ___________.2. 已知点(2,5)在函数x a x f +=1)((0a >且1a ≠)的图像上，则()f x 的反函数1()=f x -______________. 3. 不等式+11x x>的解为___________. 4. 已知球的主视图所表示图形的面积为9π，则该球的体积是 .5.函数cos 2sin ()cos x xf x x-=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为___________. 6. 若2+i （i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，则圆锥曲线221x y m n+=的焦距为 .7.设无穷等比数列{}n a 的公比为q .若{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是 .8.已知点(0,0),(2,0),(1,O A B -，P是曲线y =则OP BA⋅的取值范围是 .9. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为________.（结果用数值表示）10.已知函数4()1f x x x =+-，若存在121,,,,44n x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得121()()()()n n f x f x f x f x -+++=，则正整数n 的最大值是___________.11.在平面直角坐标系中，设点00O （，），(3,A ，点(,)P x y 的坐标满足0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA 在OP 上的投影的取值范围是 . 12.函数()sin (0)f x x ωω=>的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为123,,,,,,n A A A A 在点列{}n A 中存在三个不同的点,,k l p A A A ，使得k l p A A A ∆是等腰直角三角形.将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω=___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 满足条件i 34i z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面上对应的点的轨迹是（ ）（A ）直线 （B ）圆 （C ）椭圆 （D ）双曲线 14. 设*n N ∈，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 15. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） （A ）3716 （B ）115 （C ）2 （D ）7416. 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈,使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ,那么以下函数： ①1(0)()0(0)x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩； ②3()f x x =； ③2()1f x x =-； ④2()f x x =中，不具有性质P 的函数为（ ）（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2+4cos()30A B C ++=. （1）求角A 的大小；（2）若3=a ，3=+c b ，求b 和c 的值.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）1A如图：正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，1BC 与底面ABCD 所成角的大小为arctan 2，M 是1DD 的中点，N 是BD 上的一动点， 设(01)DN DB λλ=<<.（1）当1=2λ时，证明：MN 与平面11ABC D 平行；（2）若点N 到平面BCM 的距离为d ，试用λ表示d ，并求出d 的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如下图：A 、B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为045.机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚8v 秒(注：信号每秒传播0v 米).在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）对于项数为(3)m m ≥的有穷数列{}n a ，若存在项数为1m +，公差为d 的等差数列{}n b ，使得1k k k b a b +<<，其中1,2,,k m =…，则称数列{}n a 为“等差分割数列”.（1）判断数列{}:1,4,8,13n a 是否为“等差分割数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 的通项公式为2(1,2,,)n n a n m ==，求证：当5m ≥时，数列{}n a 不是“等差分割数列”；（3）已知数列{}n a 的通项公式为43(1,2,,)n a n n m =+=，且数列{}n a 为“等差分割数列”.若数列{}n b 的首项13b =，求数列{}n b 的公差d 的取值范围（用m 表示） .21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数()1y f x =，()2y f x =，定义函数()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩.（1）设函数()()()11210,2x f x f x x -⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭求函数()y f x =的值域；（2）设函数()1lg(1)f x p x =-+（10,2x p <≤为实常数），()21lg f x x=102x ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，当102x <≤时，恒有()()1,f x f x =求实常数p 的取值范围； （3）设函数12()2,()32,x x p f x f x -==⋅p 为正常数，若关于x 的方程()f x m =(m为实常数）恰有三个不同的解，求p的取值范围及这三个解的和（用p表示）.。