上海市杨浦区2020年高三二模数学试卷(含答案)

2020 杨浦高三二模一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（3分）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5，7}，则A∩B＝．2．（3分）行列式的值为．3．（3分）函数y＝3cos2x+1的最小正周期为．4．（3分）设i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z＝．5．（3分）若{a n}是无穷等比数列，首项a1＝，公比q＝，则{a n}各项的和S＝．6．（3分）在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女的概率为．（结果用最简分数表示）7．（3分）实数x，y满足约束条件，目标函数f＝x+y的最大值为．8．（3分）已知曲线C1的参数方程为（t是参数），曲线C2的参数方程为（θ是参数），则C1和C2的两个交点之间的距离为．9．（3分）数列{a n}满足a1＝1，且a n+a n+1＝3n+2对任意n∈N*均成立，则a2020＝．10．（3分）设n∈N*，若的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n＝．11．（3分）设是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若（•）：（•）：（•）＝1：1：2，则的值为．12．（3分）已知抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（3分）不等式≤0的解集为（）A．[1，2]B．[1，2）C．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）14．（3分）设z是复数，则“z是虚数”是“z3是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件15．（3分）设F1，F2是椭圆的两焦点，A与B分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P是该椭圆上的一个动点，O是坐标原点，记，在动点的第一象限内从A沿椭圆向左上方运动到B的过程中，s的大小的变化情况为（）A．逐渐变大B．逐渐变小C．先变大后变小D．先变小后变大16．（3分）设{a n}是2020项的实数数列，{a n}中的每一项都不为零，{a n}中任意连续11项a n，a n+1，…，a n+10的乘积是定值（n＝1，2，3，…2020），命题：①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1；的真假情况为（）A．①和②都是真命题B．①是真命题②是假命题C．②是真命题，①是假命题D．①②都是假命题三. 解答题（本大题共4题，每题5分，共20分）17．如图，线段OA和OB是以P为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点M是母线BP的中点，已知OA＝OM＝2．（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM与AP所成角的大小．18．已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且a＝5，b＝7．（1）若B＝，求c；（2）设点M是边AB的中点，若CM＝3，求三角形ABC的面积19．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{I n}，{I n}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一；策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足I n+1＝1.02I n﹣0.20；策略B：杀灭害虫，“虫害指数“数列满足I n+1＝1.08I n﹣0.46；（1）设第一周的虫害指数I1∈[1，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数I1＝3，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？20．已知双曲线H：x2﹣，经过点D（2，0）的直线l与该双曲线交于M、N两点．（1）若l与x轴垂直，且|MN|＝6，求b的值；（2）b＝，且M、N的横坐标之和为﹣4，证明：∠MON＝90°；（3）设直线l与y轴交于点E，，求证：λ+μ为定值21．f（x）＝2x+m+mx+1，其中m是实常数．（1）若f，求m的取值范围；（2）若m＞0，求证：函数f（x）的零点有且仅有一个；（3）若m＞0，设函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若a1，a2，a3，a4是公差d＞0的等差数列且均在函数f（x）的值域中，求证：f﹣1（a1）+f﹣1（a4）＜f﹣1（a2）+f﹣1（a3）．参考答案一、填空题1．{1，3}；2．10；3．π；4．2﹣i；5．；6．；7．；8．；9．3031；10．10；11．；12．y＝；二、选择题13．B；14．B；15．B；16．D；三、解答题17.解：（1）如图所示，连接OP，则OP⊥底面OAB．点M是母线BP的中点，∴PB＝2OM＝4．∴OP＝＝＝2．∴该圆锥的体积V＝×π×22×2＝．（2）连接AB，取AB的中点D，连接OD，DM．△P AB中，DM∥P A，DM＝AP＝2．∴∠OMD为异面直线OM与AP所成角或其补角．在等腰直角三角形OAB中，OD＝AB＝．在△OMD中，由余弦定理可得：cos∠OMD＝＝，∴异面直线OM与AP所成角的大小∠OMD＝arccos．18.解：（1）△ABC中，a＝5，b＝7，B＝，由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即49＝25+c2﹣2×5×c×cos，整理得c2﹣5c﹣24＝0，解得c＝8或c＝﹣3（不合题意，舍去），所以c＝8；（2）如图所示，点M是边AB的中点，CM＝3，＝（+），所以＝（+2•+），即9＝×（49+2×7×5×cos∠ACB+25），解得cos∠ACB＝﹣，所以sin∠ACB＝＝，△ABC的面积S△ABC＝CA•CB•sin∠ACB＝×7×5×＝6．故答案为：6．19.解：（1）策略A：因为I n+1＝1.02I n﹣0.20，策略B：因为I n+1＝1.08I n﹣0.46当1.02I1﹣0.02＝1.08I1﹣0.46，可得I1＝，当I1＝时，两者相等，当I1∈[1，]时，策略B的I2更小；当I1∈（，8]时，策略A的I2更小；（Ⅱ）I1＝3时，选择策略B，当I n＝0，时则﹣＝（3﹣）•1.08n﹣1，可得＝1.08n﹣1，所以n＝+1≈9所以虫害的危机最快在第9周解除．20.（1）解：由题意可得直线l的方程为x＝2，代入双曲线的方程可得4﹣＝1，解得y＝±b，可设M（2，﹣b），N（2，b），即有|MN|＝2b＝6，解得b＝；（2）证明：由b＝，可得双曲线的方程为x2﹣＝1，设M（x1，y1），N（x2，y2），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立双曲线的方程可得（2﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣2＝0，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，由x1+x2＝﹣4，即﹣＝﹣4，解得k＝±1，此时x1x2＝﹣6，则•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣2）（x2﹣2），＝2x1x2﹣2（x1+x2）+4＝2×（﹣6）﹣2×（﹣4）+4＝0，可得⊥，即有∠MON＝90°；（3）证明：由题意可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），可得E（0，﹣2k），又点D（2，0），且设M（x1，y1），N（x2，y2），由＝λ，可得（x1，y1+2k）＝λ（2﹣x1，﹣y1），即x1＝λ（2﹣x1），y1+2k＝λ（﹣y1），可得x1＝，y1＝﹣，由M在双曲线上，可得x12﹣＝1，即有（）2﹣＝1，化简可得3b2λ2﹣2b2λ﹣4k2﹣b2＝0，由＝μ，可得（x2，y2+2k）＝μ（2﹣x2，﹣y2），同理可得3b2μ2﹣2b2μ﹣4k2﹣b2＝0，故λ、μ为方程3b2x2﹣2b2x﹣4k2﹣b2＝0的两个实根，可得λ+μ＝＝为定值．21.解：（1）依题意，，即，∴，显然m＞0，则m2﹣4m+1＞0，解得或，∴实数m的取值范围为；（2）证明：当m＞0时，易知函数f（x）在R上单调递增，又当x→﹣∞时，2x+m→0，则f（x）一定会取得负值，而f（0）＝2m+1＞0，则由零点存在性定理可知，函数f（x）的零点有且仅有一个，且零点小于零；（3）证明：由（2）知，f（x）在R上单调递增，任取x1＜x2，则＝，∴，可知，函数f（x）是类似于下图所示增长形式的函数图象，由题有，a1+a4＝a2+a3，且公差d＞0，则其在图象上可取如图所示符合条件的任意四点，且对应点A的横坐标，对应点B的横坐标，显然有，，即f﹣1（a1）+f﹣1（a4）＜f﹣1（a2）+f﹣1（a3）．。

上海市杨浦区高考数学二模试卷（文科）一、填空题1．函数的定义域是______．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=______．3．计算=______．4．若向量，满足且与的夹角为，则=______．5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为______．6．在的展开式中，常数项是______．（用数字作答）7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是______．8．已知等比数列{an }的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为______．9．已知变量x，y满足，则2x+3y的最大值为______．10．已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是______．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=______．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有______．（用数字作答）13．若关于x的方程在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为______．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|18．空间中n条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n至多等于（）A．2 B．3 C．4 D．5三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP ．设∠OAP=θ，四边形OAPB 的面积为S ． （1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； （2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值．21．已知函数，其中a ∈R ．（1）当a=﹣时，求证：函数f （x ）是偶函数；（2）已知a ＞0，函数f （x ）的反函数为f ﹣1（x ），若函数y=f （x ）+f ﹣1（x ）在区间[1，2]上的最小值为1+log 23，求函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值． 22．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=2，，且对一切n ∈N *，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n ； （3）设，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有T k ≥T n ．23．已知椭圆C ：的焦距为，且右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l 与椭圆C 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且在椭圆C 上存在点M ，使得：（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ．上海市杨浦区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．函数的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a= 2 ．【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．【分析】由已知得，把x=﹣1，y=2，能求出a的值．【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，∴，把x=﹣1，y=2，代入得﹣a+6=4，解得a=2．故答案为：2．3．计算= ．【考点】数列的极限．【分析】将1+2+3+…+n=的形式，在利用洛必达法则，求极限值．【解答】解：原式====故答案为：4．若向量，满足且与的夹角为，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为﹣3 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=1﹣2i，∴，，∴==，∴复数的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．6．在的展开式中，常数项是15 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•，令r﹣6=0，求得r=4，故的展开式中的常数项是5．故答案为：15．7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．【考点】二阶行列式的定义．【分析】由二阶行列式性质得a 2+b 2﹣c 2=ab ，由此利用余弦定理求出cosC=，从而能求出角C 的大小． 【解答】解：∵△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，，∴a 2﹣c 2=﹣b 2+ab ，即a 2+b 2﹣c 2=ab ， ∴cosC===， ∵C 是△ABC 的内角，∴C=．故答案为：．8．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为 7 ． 【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可得：a 1a 7=a 2a 6=a 3a 5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出． 【解答】解：由等比数列的性质可得：a 1a 7=a 2a 6=a 3a 5=4=4，∴数列{log 2a n }的前7项和=log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 7=log 2（a 1a 2…a 7）=log 227=7， 故答案为：7．9．已知变量x ，y 满足，则2x+3y 的最大值为 14 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A （1，4），令z=2x+3y，化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×1+3×4=14．故答案为：14．10．已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是6．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】求出底面正六边形对边之间的距离即为左视图矩形的底边长，左视图矩形的高为棱柱的侧棱长．【解答】解：设正六棱柱的底面为六边形ABCDEF，连结AC，则AB=AC=2，∠ABC=120°，∴AC=2．∴正六棱柱侧视图的面积为2×3=6．故答案为6．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x﹣），求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c==，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程，可得x=，可得P（，﹣），由直线OM：y=﹣x和直线y=2（x﹣），可得M（，﹣），即有==．故答案为：．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有54 ．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可．【解答】解：当甲，乙带不同班时：×=36种；当甲，乙带相同班时，=18种；故共有54中，故答案为：54．13．若关于x的方程在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为（6，10）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．【解答】解：当x≥1时，4x﹣≥0，∵方程，∴5x+﹣4x+=m，即x+=m；∵x+≥6；∴当m＜6时，方程x+=m无解；当m=6时，方程x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程x+=m在（1，+∞）上有两个解；当m=10时，方程x+=m的解为1，9；当x＜1时，4x﹣＜0，∵方程，∴5x++4x﹣=m，即9x+=m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+=m无解；当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；当m=10时，方程9x+=m的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为（6，10）．故答案为：（6，10）．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几何体体积的2倍．【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．故答案为：．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．函数y=2|x|为偶函数，不满足条件．B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．C.是奇函数，在（0，+∞）上递增，满足条件．D.是奇函数，当0＜x＜1时函数为减函数，当x＞1时函数为增函数，不满足条件．故选：C16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”，可得0≤tanα＜，“”；反之不成立，α可能为钝角．【解答】解：“”⇒0≤tanα＜⇒“”；反之不成立，α可能为钝角．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|【考点】基本不等式．【分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，即可判断出真假；B.﹣=﹣，即可判断出真假．C．取x=1，y=2，即可判断出真假；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假．【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，正确；B．∵＞，∴﹣=﹣≤0，∴≤，正确．C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+=1﹣1=0＜2，因此不正确；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确．故选：C．18．空间中n条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n至多等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】取与n条平行线垂直的平面α，则n条直线在平面α内的投影为n个点，将直线问题转化为平面内的点的问题解决．【解答】解：取平面α，使得两两平行的n条直线与平面α垂直，则n条直线在平面α内的投影为n个点，且这n个点之间的距离两两相等．∴n的最大值为3．此时n个投影点组成一个正三角形．故选：B．三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC ⊥平面ACC 1A 1，进一步得到BC ⊥DC 1；（2）利用等积法，把三棱锥C ﹣BDC 1的体积转化为三棱锥B ﹣CDC 1的体积求解． 【解答】（1）证明：如图，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ， ∴CC 1⊥底面ABC ，又CC 1⊂面ACC 1A 1，∴面ACC 1A 1⊥底面ABC ，而面ACC 1A 1∩底面ABC=AC ， 由△ABC 为Rt △，且AC=BC ，得BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴BC ⊥DC 1；（2）解：由（1）知，BC ⊥平面ACC 1A 1， ∵，∴AA 1=2， 则∴=．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP ．设∠OAP=θ，四边形OAPB 的面积为S ． （1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．再利用三角形面积计算公式即可得出．（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．所以，S==100（sinθcosθ+sin2θ），θ∈∪．（2）S=100（sinθcosθ+sin2θ）=50（2sinθcosθ+2sin2θ）=50（sin2θ﹣cos2θ+1）=，所以S的最大值为：50+50，θ=．21．已知函数，其中a∈R．（1）当a=﹣时，求证：函数f（x）是偶函数；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．1+log2【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．（2）根据f（x）与反函数的单调性相同，根据最小值建立方程关系求出a的值进行求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣时，，定义域为R，====f（x），∴函数f （x ）是偶函数．（2）∵函数f （x ）与f ﹣1（x ）单调性相同， ∴当a ＞0时，函数f （x ）为增函数，则y=f （x ）+f ﹣1（x ）在区间[1，2]上为增函数，则函数的最小值为当x=1时，y=f （1）+f ﹣1（1）=1+log 23， 即a+log 23+f ﹣1（1）=1+log 23，则f ﹣1（1）=1﹣a ， 即f （1﹣a ）=1，则a （1﹣a ）+log 2（21﹣a +1）=1， 得a=1，此时f （x ）=x+log 2（2x +1）在[1，2]上是增函数， 则函数的最大值为f （2）=2+log 2（22+1）=2+log 25．22．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=2，，且对一切n ∈N *，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n ； （3）设，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有T k ≥T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）数列{a n }满足：a 1=2，，变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）数列{b n }满足：对一切n ∈N *，均有．可得b 1=2．当n ≥2时，b n ==2n ．利用等比数列的前n 项和公式可得S n ． （3）由c n =﹣=﹣．利用等比数列的前n 项和公式、“裂项求和”方法可得数列{c n }的前n 项和为T n ．再利用其单调性即可得出． 【解答】（1）证明：数列{a n }满足：a 1=2，，∴﹣=1，∴数列为等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n ﹣1）=n+1，∴a n =n （n+1）．（2）解：数列{b n }满足：对一切n ∈N *，均有．∴b 1==2．当n ≥2时，b n ====2n ．（n=1时也成立）．∴数列{b n }的前n 项和S n ==2n+1﹣2．（3）解：，c n ==﹣=﹣．∴数列{c n }的前n 项和为T n =﹣=﹣．T n+1﹣T n =﹣=﹣=，可知：n=1，2，3时，T n+1＞T n ； n ≥4时，T n+1＜T n ．∴T 1＜T 2＜T 3＜T 4＞T 5＞T 6…， ∴T 4为最大值．∴取正整数k=4，使得对任意n ∈N *，均有T 4≥T n ．23．已知椭圆C ：的焦距为，且右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l 与椭圆C 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且在椭圆C 上存在点M ，使得：（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由椭圆的焦距为，右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设直线l ：x=t ，（﹣2＜t ＜2），则A （t ，y 1），B （t ，y 2），设M （x m ，y m ），求出，=﹣，由点M 在椭圆C 上，能求出直线l 的方程．（3）假设在椭圆C 上存在三个不同的点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），R （x 3，y 3），使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ． 【解答】解：（1）∵椭圆C ：的焦距为，∴c=，∵右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=，解得b=1，∴a 2=b 2+c 2=4， ∴椭圆C 的方程为．（2）设直线l ：x=t ，（﹣2＜t ＜2），则A （t ，y 1），B （t ，y 2）， 其中y 1，y 2满足：，y 1+y 2=0，设M （x m ，y m ）， ∵（其中O 为坐标原点），∴，=﹣，∵点M 在椭圆C 上，∴，∴49t 2+4﹣t 2=100，∴t=， ∴直线l 的方程为x=或x=﹣． 证明：（3）假设在椭圆C 上存在三个不同的点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），R （x 3，y 3）， 使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ，∵直线PQ 具有性质H ，∴在椭圆C 上存在点M ，使得：，设M （x m ，y m ），则，y m =，∵点M 在椭圆上，∴+（）2=1，又∵，，∴=0，①同理： =0，②，，③1）若x 1，x 2，x 3中至少一个为0，不妨设x 1=0，则y 1≠0，由①③得y 2=y 3=0，即Q ，R 为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾． 2）若x 1，x 2，x 3均不为0，则由①②③得=﹣＞0，矛盾．∵在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ．。

②不存在满足条件的数列，使得其中恰有 550 个 1；
的真假情况为（ ）
A. ①和②都是真命题
B. ①是真命题 ②是假命题
C. ②是真命题，①是假命题
D. ①②都是假命题
三、解答题
17. 如图，线段 OA 和 OB 是以 P 为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点 M 是母线 BP 的中点， 已知 OA=OM=2.
18.（1）8
（2） 6 6
19.（1）当
I1
1, 133
时，使用策略
B
更小；当
I1
=
13 3
时，两种策略一样；当
I1
13 3
, 8
时，使用策略
A
更小 （2）9
20.（1） 3
21.（1） 0 m 2 − 3 或 m 2 + 3
第5页
( ) ( ) ( ) 11. 设 a,b,c 是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若 a b : b c : c a = 1:1: 2 ，则 a b 的值为
____________
12. 已知抛物线 1 与 2 的焦点均为点 F(2,1)，准线方程分别为 x = 0 与 5x +12y = 0 ，设两抛物线交于 A、
B 两点，则直线 AB 的方程为____________
二、选择题 13. 不等式 x −1 0 的解集为（ ）
x−2
A. 1, 2
B. 1, 2)
C. (−,12, +)
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D. (−,1) (2, +)
14. 设 z 是复数，则“z 是虚数”是“ z3 是虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件

上海市杨浦区高三二模数学试题一、填空题1、行列式987654321中，元素5的代数余子式 2、设实数()()0,()cos sin f x x x ωωω>=+若函数的最小正周期为=ωπ，则 3、已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为4、设向量()()t ,6,3,2==，若与的夹角为钝角，则实数t 的取值范围5、集合{}2,3,1aA =，集合{}2,1++=a aB a A A B 则实数若,=⋃＝6、设21221-032,z z z z z z 的两根，则是方程=++=7、设()R x f 是定义在上的奇函数，当()023,x x f x >=-时，则不等式()5f x <-的解集是8、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤+020212y x y x y x ，则y x z -=的最小值为9、小明和小红各自扔一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立的进行，则小明扔出的点数不大于2或小红扔出的点数不小于3的概率为10、设）的坐标（上的动点，点是椭圆0,2-)0(142222F a a y a x A >=-+，若满足A AF 的点10=有且仅有两个，则实数a 的取值范围为11、已知()=++>>b abb a b a 取得最小值时，当14,0,0212、设函数()1,22≤+-+=y x a a x x x f 在圆盘在实数范围内变化时，当α内，且不在任一()x f α的图像上的点的全体组成的图形面积二、选择题13、”的是纯虚数”是““且设R z z z C z ∈≠∈2,0 （ ） A 、充分非必要 B 、必要非充分 C 、充要条件 D 、即非充分又非必要14、设等差数列{}n a 的公差为0,≠d d ，若{}n a 的前10项和大于其前21项和，则（ ） A 、0<d B 、0>d C 、016<a D 、016>aABCD1C 1B 1A 1PQ 15、如图，S N C O S N 和是经过直径的两个端点，圆是球1,点的大圆，32C C 和圆圆分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆。

- - - 1 -ABCD A 1B 1C 1D 1杨浦区2020学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2021.4考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 已知复数z 满足2i z =-（i 为虚数单位），则z z ⋅=___________． 2．已知函数()f x =1()f x - ，则1(3)f -= ___________．3．在行列式137252124D =-中，元素3的代数余子式的值为__________．4．在8(x 的二项展开式中，6x 项的系数是___________．5．已知,x y 满足:102040x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为___________.6．方程()()55log 4111log 23x x --=-的解为=x ___________．7．已知一组数据,3,2,6a -的中位数为4，则其总体方差为___________．8．已知函数()()|21|f x g x x =+-为奇函数，若(1)7g -=，则(1)g =___________． 9．直线l ：(2)210n x y n +-+-=（*n ∈N ）被圆C ：22(1)16x y -+=所截得的弦长为n d ，则lim n n d →+∞=___________．10．非空集合A 中所有元素乘积记为()T A . 已知集合{1,4,57,8}M =, ，从集合M 的所有非空子集中任选一个子集A ，则()T A 为偶数的概率是 ．（结果用最简分数表示） 11.函数()sin()(0)f x x x ωωω=>，若有且仅有一个实数m 满足：①02m π≤≤；②x m =是函数图像的对称轴，则ω的取值范围- - - 2 -是 ．12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ACC A 上一动点，且满足10D P CP ⋅=，则满足条件的所有点P 所围成的平面区域的面积是___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13．若 ,R m n ∈，i 是虚数单位,则 “m n =”是“()() i m n m n -++为纯虚数 ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．已知数列{}n a 是无穷等比数列，若120a a <<，则数列{}n a 的前n 项和n S （ ） A ．无最大值，有最小值B ．有最大值，有最小值C ．有最大值，无最小值D ．无最大值，无最小值 15．在四边形ABCD中，AB DC ==，且满足||||||ABADAC AB AD AC +=，则||AC = （ ） A ．2 B ．6CD ． 16．已知函数()f x 的定义域为D ，值域为A ， 函数()f x 具有下列性质：（1）若 ,x y D ，则()()f x A f y ∈；（2）若 ,x y D ，则()()f x f y A +∈.下列结论正确是 （ ）①函数()f x 可能是奇函数； ②函数()f x 可能是周期函数； ③存在x D ∈，使得2021()2020f x =； ④对任意x D ∈，都有2()f x A ∈.A ．①③④B ．②③④C ．②④D ．②③- - - 3 -C 1B 1A 1C B ADD三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥D 是棱AB 的中点 .（1）求证：直线BC 与直线1DC 为异面直线；（2）求直线1DC 与平面1A BC 所成角的大小.18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知()221x f x ax x =++，（a 为实常数）（1）当1a =时，求不等式()1()f x f x x+<的解集；（2）若函数()f x 在()0,+∞中有零点，求a 的取值范围.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，,,A B C 三地在以O 为圆心的圆形区域边界上，30AB =公里，10AC =公里，60BAC ∠=︒， D 是圆形区域外一景点，90DBC ∠=︒（1）O 、A 相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从A 处出发，以每小时50处，需要多少- - - 4 -小时？（精确到小数点后两位）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.焦点为F 的抛物线21:4C y x =与圆222:(1)16C x y -+=交于 , A B 两点，其中A 点横坐标为A x ，方程2224, (1)16, AAy x x x x y x x ⎧=≤⎪⎨-+=>⎪⎩的曲线记为Γ，P 是曲线Γ上一动点.（1）若P 在抛物线上且满足||3PF =，求直线PF 的斜率；（2）(,0)T m 是x 轴上一定点. 若动点P 在Γ上满足A x x ≤的范围内运动时，||PT AT ≤恒成立，求m 的取值范围；（3）Q 是曲线Γ上另一动点，且满足FP FQ ⊥，若PFQ ∆的面积为4 ，求线段PQ 的长.- - - 5 -21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知无穷数列{}n a 与无穷数列{}n b 满足下列条件： ① {0,1,2},n a n ∈∈*N ；② 1111(1)||,24n n n n n b a a n b *++=-⋅-∈N . 记数列{}n b 的前n 项积为n T.（1）若112341 ,0 , 2 ,1a b a a a =====，求4T ；（2）是否存在1234,,,a a a a ，使得1234,,,b b b b 成等差数列？若存在，请写出一组1234,,,a a a a ;若不存在，请说明理由； （3）若11b =，求2021T 的最大值.评分参考一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

上海市杨浦区2023届高三下学期高考模拟（二模）数学试题一、单选题1．（2023·上海杨浦·统考二模）已知a 、b ∈R ，则“a b >”是“33a b >”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．（2023·上海杨浦·统考二模）对成对数据()11,x y 、()22,x y 、…、(),n n x y 用最小二乘法求回归方程是为了使（ ）A ．()10ni i y y =-=∑B ．µ()10ni i i y y =-=∑C ．µ()1n i i i y y =-∑最小D ．µ()21ni i i y y =-∑最小3．（2023·上海杨浦·统考二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间(),0∞-上严格递减的是（ ）A ．2xy =B ．()ln y x =-C ．23y x-=D．y =4．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，一个由四根细铁杆PA 、PB 、PC 、PD 组成的支架（PA 、PB 、PC 、PD 按照逆时针排布），若π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O 到点P 的距离是（ ）ABC ．2D ．32二、填空题5．（2023·上海杨浦·统考二模）集合{}2230A x x x =--=，{}24,B x x x =≤≤∈R ，则A B =I______6．（2023·上海杨浦·统考二模）复数34i34i+-的虚部是______7．（2023·上海杨浦·统考二模）已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则数列{}n a 的通项公式是___________.8．（2023·上海杨浦·统考二模）设()55435431021x a x a x a x a x a +=+++++L ，则3a =______9．（2023·上海杨浦·统考二模）函数()ln 23y x =-的导数是y '=______10．（2023·上海杨浦·统考二模）若圆锥的侧面积为15π，高为4，则圆锥的体积为______11．（2023·上海杨浦·统考二模）由函数的观点，不等式3lg 3x x +≤的解集是______12．（2023·上海杨浦·统考二模）某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分13．（2023·上海杨浦·统考二模）ABC V 内角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，若3a =，b ，π3A ∠=，则B ∠=______14．（2023·上海杨浦·统考二模）若1F ､2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点.若2ABF △为等边三角形，则双曲线的离心率为________.15．（2023·上海杨浦·统考二模）若存在实数ϕ，使函数()()()1cos 02f x x ωϕω=+->在[]π,3πx ∈上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______16．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r满足5a =r ，2b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则b r的最小值是______三、解答题17．（2023·上海杨浦·统考二模）已知一个随机变量X 的分布为：6789100.10.20.3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)已知()435E X =，求a 、b 的值；(2)记事件A ：X 为偶数；事件B ：8X ≤.已知()12P A =，求()P B ，()P A B ⋂，并判断A 、B 是否相互独立？18．（2023·上海杨浦·统考二模）四边形ABCD 是边长为1的正方形，AC 与BD 交于O 点，PA ⊥平面ABCD ，且二面角P BC A --的大小为45︒.(1)求点A 到平面PBD 的距离；(2)求直线AC 与平面PCD 所成的角.19．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，某国家森林公园的一区域OAB 为人工湖，其中射线OA 、OB 为公园边界.已知OA OB ⊥，以点O 为坐标原点，以OB 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线AB 的轨迹方程为：()2402y x x =-+≤≤.计划修一条与湖边AB 相切于点P 的直路l （宽度不计），直路l 与公园边界交于点C 、D 两点，把人工湖围成一片景区OCD V .(1)若P 点坐标为()1,3，计算直路CD 的长度；（精确到0.1千米）(2)若P 为曲线AB （不含端点）上的任意一点，求景区OCD V 面积的最小值.（精确到0.1平方千米）20．（2023·上海杨浦·统考二模）已知椭圆()2222:1043x y C a a a +=>的右焦点为F ，直线:40l x y +-=.(1)若F 到直线l 的距离为a ；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且ABO V 的面积为487，求a ；(3)若椭圆C 上存在点P ，过P 作直线l 的垂线1l ，垂足为H ，满足直线1l 和直线FH 的夹角为π4，求a 的取值范围.21．（2023·上海杨浦·统考二模）已知数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，满足13a =，27a =，12n n n a a a ++=-，*n ∈N .(1)写出数列{}n a 前4项的所有可能取法；(2)判断：是否存在正整数k ，满足1k a =，并说明理由；(3)n c 为数列{}n a 的前n 项中不同取值的个数，求100c 的最小值.参考答案：1．C【分析】利用函数3()f x x =在R 上单调递增即可判断出结论.【详解】()3,f x x x =∈R Q 是奇函数且为递增函数，所以a b >，则()()f a f b >，即33a b >，同理，33a b >，则()()f a f b >，函数单调递增，得a b >；∴ “a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.2．D【分析】由最小二乘法的求解即可知.【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小，故选：D 3．A【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，再由指对幂函数的性质判断区间单调性，即可得答案.【详解】由22x x -=且x ∈R ，故2x y =为偶函数，在(),0∞-上2xy -=递减，A 符合；由()ln y x =-的定义域为(),0∞-，故为非奇非偶函数，B 不符合；由23y x -==(,0)(0,)-∞+∞U ，=，故23y x -=为偶函数，在(),0∞-上递增，C 不符合；由y =R ，=，故为偶函数，在(),0∞-上递增，D 不符合.故选：A 4．B【分析】将支架看作一个正四棱锥，根据已知及相切关系得到三角形相似，利用相似比求球心O 到点P 的距离.【详解】如上图正四棱锥P ABCD -，H 为底面中心，O 为球心，E 为球体与PD 的切点，又π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，故P ABCD -各侧面均为等边三角形，若侧面三角形边长为a，则HD =，PD a =，1OE =，显然Rt △PHD ~Rt △PEO，故HD OE PD OP ==OP =.故选：B.5．{}3【分析】根据一元二次方程化简集合A ,由集合的交运算即可求解.【详解】由{}2230A x x x =--=得{}3,1A =-，所以{}3A B ⋂=，故答案为：{}36．2425##0.96【分析】根据复数除法法则化简即得结果.【详解】因为()()()()34i 34i 34i 34i 34i 347+24i 25i -==+++--+，所以虚部为2425.故答案为：24257．10n a n =-##10n a n =-+【分析】设公差为d ，由基本量代换列方程组，解出1a d 、，即可得到通项公式.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：31712763a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：191a d =⎧⎨=-⎩，所以()1110n a a n d n =+-=-.故答案为：10n a n =-.8．80【分析】先写出()521x +的二项展开式的通项，再求出3a 即可.【详解】()521x +的二项展开式的通项：()()555155C 22C 0,1,2,3,,145rr rr r rr T x x r ---+===，故33522C 81080a ==⨯=．故答案为：80.9．332x -【分析】根据复合函数求导法则进行求导即可.【详解】因为()ln 23y x =-，所以()()113233232332y x x x x ''=⨯-=⨯-=---.故答案为：332x -.10．12π【分析】圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，则侧面积为12ππ15π2S r l rl =⨯⨯==，再结合2216l r =+，可得r 的值.然后根据椎体体积公式13V Sh =计算即可.【详解】设圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，有22π15π16rl l r =⎧⎨=+⎩，解得：35r l =⎧⎨=⎩.211π12π,33V Sh r h ==⨯⨯=故答案为： 12π.11．(]0,1【分析】构造()3lg 3xf x x =+-可得()f x 为单调递增函数，有()10f =即可求解.【详解】令()3lg 3xf x x =+-，由于3,lg x y y x ==均为单调递增函数，因此()f x 为()0,∞+上的单调递增函数，又()10f =，故()0f x ≤的解为(]0,1，故答案为：(]0,112．107【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可.【详解】由直方图知：平均成绩为(950.031050.041150.0151250.011350.005)10107⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分.故答案为：10713．π4##45o 【分析】利用正弦定理及大边对大角即可求解.【详解】因为3a =，b π3A ∠=，由正弦定理得sin sin b AB a∠∠===所以π4B ∠=或3π4B ∠=.由b a <，得B A ∠<∠,所以0π3B <∠<，所以π4B ∠=.故答案为：π4.14【分析】根据双曲线的定义算出△AF 1F 2中，|AF1|=2a ，|AF2|=4a ，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C 的离心率.【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知22||||||AB BF AF ==，A 为双曲线上一点，21||||2AF AF a ∴-=，B 为双曲线上一点，则 12||||2BF BF a -=，即11||||||2BF AB AF a -==，∴21||||24,AF AF a a =+=由0260ABF ∠=，则12120F AF ︒∠=，已知12||2F F c =，在△F 1AF 2中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，得c 2=7a 2，则e 2＝7⇒e【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a ，c 的值，这时可将ca或b a 视为一个整体，把关系式转化为关于c a 或ba的方程，从而得到离心率的值.15．15,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用cos y x =的图像与性质，直接求出函数()f x 的零点，再利用题设条件建立不等关系ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+--+-≤且11ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+-+->，从而求出结果.【详解】因为()()()1cos 02f x x ωϕω=+->，由()0f x =，得到()1cos 2x ωϕ+=，所以π2π(Z)3x k k ωϕ+=+∈或π2π(Z)3x k k ωϕ+=-+∈，所以π2π3(Z)k x k ϕω-+=∈或π2π3(Z)k x k ϕω--+=∈，又因为存在实数ϕ，使函数()f x 在[]π,3πx ∈上有且仅有2个零点，所以7π5π2π2π332πk k ϕϕωω-+-+-≤且11ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+-+->，即2π32πω≤且10π32πω>，解得1533ω≤<.故答案为：1533ω≤<16【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：如图AC a =u u u r r ，AD b u u u r r =，AB c =u u u r r ，则b a CD -=u u u r r r ，c a CB -=u u rr r ，已知()()0b a c a -⋅-=r r r r ，即0CD CB ⋅=u u u r u u r，所以CD CB ⊥，取BD 的中点O ，则有1122OC BD b c ==-r r，而12OA b c =+r r，根据三角形的三边关系可知OA OC AC+≥则11522b c b c a ++-≥=r r r rr ，所以10b c b c ++-≥r r r r ，当A ，O ，C 三点共线时取等号，记,b c r r向量的夹角为θ，则b +=r ，同理b -r ，由10b c b c ++-≥r r r r10≥，则225b ≥==r ，当cos 0θ=，即b c ⊥r r时取等号，，即b r的最小值是【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式10b c b c ++-≥r r r r，进而利用数量积求模长.17．(1)0.1a =，0.3b =；(2)()0.5P B =，()0.3P A B ⋂=，事件A 与B 不相互独立.【分析】（1）根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；（2）由()12P A =及分布列的性质求出a 、b ，进一步求出()P B ，()P A B ⋂，利用两个事件相互独立的定义判断即可.【详解】（1）由随机变量的分布的性质有0.10.20.31a b ++++=，得0.4a b +=，又()60.1780.290.310E X a b=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯60.17(0.4)80.290.310b b =⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯437.738.65b =+==，解得0.3b =，所以0.40.1a b =-=，即0.1a =，0.3b =；（2）由题意，()10P X b ==，又事件A ：X 为偶数，所以()()()()168100.10.22P A P X P X P X b ===+=+==++，所以0.2b =，由随机变量的分布的性质有0.10.20.31a b ++++=，得0.2a =，又事件B 为8X ≤，所以()()()()6780.10.20.20.5P B P X P X P X ==+=+==++=，所以()()()680.10.20.3P A B P X P X ⋂==+==+=，因为()()()P A B P A P B ⋂≠，所以A 与B 不相互独立.18．(2)π6【分析】（1）建立空间直角坐标系，设PA a =，利用空间向量法及二面角P BC A --的大小求出a 的值，再求平面PBD 的法向量n r ，根据点A 到平面PBD 的距离AP n d n⋅=u u u r r r 求解即可；（2）先求出平面PCD 的法向量，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）因为四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,,AP AB AD 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，设PA a =，0a >，则()0,0,P a ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,0,0A ，()0,1,0D ，所以()1,0,PB a =-u u u r ，()0,1,0BC =u u u r ，()1,0,0AB =u u u r ，设平面PBC 的法向量()1111,,n x y z =u r ，则1111100n PB x az n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，取()1,0,1n a =u r ，取平面BCA 的法向量()20,0,1n =u u r ，因为二面角P BC A --的大小为45︒，所以12cos ,n n =u r u u r ，解得1a =，即()0,0,1P ，所以()1,0,1PB =-u u u r ，()0,1,1PD =-u u u r ，()0,0,1AP =u u u r ，设平面PBD 的法向量()000,,n x y z =r ，则000000n PB x z n PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取()1,1,1n =r ，所以点A 到平面PBD的距离d =（2）由（1）得()()()1,1,1,0,1,1,1,1,0PC PD AC =-=-=u u u r u u u r u u u r ，设平面PCD 的法向量(),,m x y z =u r ，则00m PC x y z m PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取()0,1,1m =u r ，设直线AC 与平面PCD 所成的角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin cos ,2m AC m AC m ACθ⋅====u r u u u r u r u u u r u r u u u r ，所以直线AC 与平面PCD 所成的角为π6.19．(1)5.6km(2)26.2km 【分析】（1）根据导数与切线的关系求解即可；（2）利用切线方程与导数的关系求出点P 处的切线方程，从而表示出OCD V 的面积，再利用导数与单调性和最值的关系即可求解.【详解】（1）因为()2402y x x =-+≤≤，所以2y x '=-，所以1|2x y ='=-，所以由点斜式可得32(1)y x -=--，即25y x =-+，令0x =，解得5y =，令0y =，解得52x =，所以5(0,5),(,0)2C D5.6km =≈.（2）设2(,4),02P t t t -+<<，则由（1）可知|2x t y t ='=-，所以CD 的直线方程为242()y t t x t +-=--，整理得224y tx t =-++，令0x =，解得24y t =+，令0y =，解得242t x t +=，所以22314116(4)(8224OCD t S t t t t t+=⨯+⨯=++△，设3116()(8),024f t t t t t=++<<，4222222211613816(34)(4)()(38)444t t t t f t t t t t+--+'=+-=⨯=，令()0f t '>，即2340t ->2t <<，令()0f t '<，即2340t -<，解得0t <<所以函数()f t在⎛ ⎝单调递减，2⎫⎪⎪⎭单调递增，所以32min1()8 6.2km4f t f⎡⎤⎢==+=≈⎢⎢⎢⎣.所以景区OCDV面积的最小值为26.2km.20．(1)8a=(2)2a=(3)a≥4a≠【分析】（1）由椭圆方程得右焦点为(,0)F a，再根据已知条件及点到直线的距离公式求解即可；（2）联立直线与椭圆方程，先由韦达定理及弦长公式求AB，点到直线的距离公式求O到直线l的距离h，再根据三角形面积公式求解即可；（3）分4a=和4a≠两种情况讨论，易知4a=不合题意，当4a≠时，根据题意可得直线FH 的方程为0y=或x a=，代入l方程可求H点坐标，从而可求直线1l的方程，联立1l与椭圆方程，利用0∆≥即可求出a的取值范围．【详解】（1）因为()2222:1043x yC aa a+=>，所以右焦点为(,0)F a，又因为:40l x y+-=，所以F到直线l的距离d8a=；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，由22221434x ya ax y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2273264120x x a-+-=，所以223228(6412)0a∆=-->，即2167a>，且1221232764127x xax x⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩，==，又因为O 到直线l 的距离为h 所以ABO V 的面积为118482277ABO S AB h =⋅=⨯==V ，解得2a =满足2167a >，所以2a =；（3）若4a =，则直线l 经过点F ，此时直线1l 和直线FH 的夹角为π2（舍去），若4a ≠，由直线1l 和直线FH 的夹角为π4，且11l k =得，直线FH 的方程为0y =或x a =代入:40l x y +-=得(4,0)H 或(,4)H a a -，所以直线1l 的方程为4y x =-或(4)y a x a --=-代入椭圆方程得2273264120x x a -+-=或()()2273216464640x a x a a +-+-+=，由2148(716)0a ∆=-≥或2248(3+1616)0a a ∆=-≥解得a ≥a ≥，综上得的取值范围为a ≥4a ≠．21．(1)答案见解析；(2)不存在，理由见解析；(3)51【分析】（1）根据题意得21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再直接求解即可；（2）根据21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再证明3n n a a +≥，*n ∈N 即可证明结论‘；（3）根据21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②得对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，②不能连续使用，进而记记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=可得1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，进而得10051c ≥，再根据特例说明10051c =即可得答案.【详解】（1）解：由12n n n a a a ++=-得12n n n a a a ++-=-或12n n n a a a ++=-，所以21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，因为足13a =，27a =，所以310a =或34a =，所以，当310a =时，417a =或43a =；当34a =时，411a =或43a =-因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以43a =-舍，所以，数列{}n a 前4项的所有可能取法有13a =，27a =，310a =，417a =或13a =，27a =，310a =，43a =或13a =，27a =，34a =，411a =.（2）解：不存在，下面证明：因为12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，当21n n n a a a ++=+时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以32121n n n n n n n a a a a a a a +++++=+>=+>，即3n n a a +>或321n n n n a a a a +++=-=，所以3n n a a +≥；当21n n n a a a ++=-时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以210n n n a a a ++=->，即1n na a +>所以3211n n n n n a a a a a ++++=+>>或3210n n n n a a a a +++=-=-<（舍），综上，3n n a a +≥，*n ∈N 所以3213k a a -≥=，3127k a a -≥=，334k a a ≥=.综上，不存在正整数k ，满足1k a =.（3）解：由12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②，对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，只有满足1n n a a +>时，才可以使用②递推；若21n n n a a a ++=-，显然21n n a a ++<，下次只能用①递推，即321n n n a a a +++=+所以，②不能连续使用.记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=若21221k k k a a a +-=+，则1k k b b +>；若21221k k k a a a +-=-，则22212221k k k k k a a a a a ++-=+>>，所以1k k b b +>，所以1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，所以，12100,,,a a a L 中至少有122350,,,,,a a b b b L 共51项，即10051c ≥.举例如下：1212,(,(n n n n n a a n a a a n ----+⎧=⎨-⎩为奇数）为偶数）所以{}:3,7,10,3,13,10,23,13,36,23n a L L ，此时10051c =，所以，100c 的最小值为51.【点睛】关键的点睛：本题第三问解题的关键在于构造{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=推理得到1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，10051c ≥，进而结合题意说明最小值可以取到51即可.。

2020年上海市杨浦高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的值域是A． B．C．D．参考答案：C略2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（）A. B. C. D.参考答案：B3. 双曲线的一条渐近线与直线X+2y +1 =0垂直，则双曲线C的离心率为(A) (B) ( C) (D)参考答案：【知识点】双曲线的简单性质 H6C解析：∵双曲线的焦点在x轴上，∴其渐近线方程为y=x，∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直，渐近线的斜率为2，∴=2, 即双曲线的离心率故答案为C【思路点拨】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，本题中已知渐近线与直线x+2y+1=0垂直，而双曲线的渐近线斜率为，故=2，再利用c2=a2+b2，e=即可得双曲线的离心率4. 已知a为实数，函数，若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：D5. 已知全集集合则（）A. B. C. D.参考答案：B略6. 设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且，则4f（x）＞f'（x）的解集为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题；转化思想；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】把已知等式变形，可得3f（x）=f′（x）﹣3，则f′（x）=3f（x）+3，令f（x）=ae bx+c，由f（0）=1，得a+c=1，再由3f（x）=f′（x）﹣3，得到3ae bx+3c=abe bx﹣3，则，求得a，b，c的值，可得函数解析式，把4f（x）＞f'（x）转化为关于x的不等式求解．【解答】解：由，得3f（x）=f′（x）﹣3，∴f′（x）=3f（x）+3，令f（x）=ae bx+c，∵f（0）=1，∴a+c=1，∵3f（x）=f′（x）﹣3，∴3ae bx+3c=abe bx﹣3，∴，解得a=2，b=3，c=﹣1．∴f（x）=2e3x﹣1，∵4f（x）＞f'（x），∴8e3x﹣4＞6e3x，则e3x＞2，即x＞．∴4f（x）＞f'（x）的解集为．故选：B．【点评】本题考查导数的运算及应用，考查了推理能力与计算能力，是压轴题．7. 设函数则导函数的展开式项的系数为A．1440 B．-1440 C．-2880 D．2880参考答案：答案：C8. 已知，那么（）A．B．C．D．参考答案：C 9. 根据如下样本数据得到的回归方程为，则A．，B．，C．，D．，参考答案：A10. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为（）A．B．C．D．参考答案：A【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质即可得解对称中心．【解答】解：向左平移个单位长度后得到的图象，由2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，则其对称中心为．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知=（cos，sin），=（，1），x∈R，则|﹣|的最大值是．参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标运算和向量的模以及三角函数的化简，以及正弦函数的性质即可求出．【解答】解：∵=（cos，sin），=（﹣，1），∴﹣=（cos+，sin﹣1），∴|﹣|2=（cos+）2+（sin﹣1）2=5+2（cos﹣sin）=5+4sin（﹣）≤5+4=9，∴|﹣|的最大值是3，故答案为：312. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E ．若∠BAC=80°，则∠BED=．参考答案：60°【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE 中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE 为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D 是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE 中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．13. 在等比数列中，首项，则公比为。

2019-2020学年上海市杨浦区高三年级二模考试数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,3,5,7}B =，则=⋃B A 【答案】{1,3}【解析】,A B 共同元素是1,32. 行列式120235580的值为【答案】10【解析】行列式展开公式展开,得103. 函数23cos 1y x =+的最小正周期为 【答案】π【解析】252cos 231212cos 31cos 32+=++=+=x x x y Θ ππ==∴22T4. 设i 是虚数单位，复数z 满足(12i)43i z +=+，则z = 【答案】i -2【解析】由复数z 满足i z i 34)21(+=+，可得i ii i i i i i z -=-=-+-+=++=25510)21)(21()21)(34(2134 5. 若{}n a 是无穷等比数列，首项113a =，公比13q =，则{}n a 各项的和S =【答案】21【解析】213113111=-=-=q a S 6. 在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女 的概率为 （结果用最简分数表示） 【答案】74 【解析】742112271413===C C C P7. 实数x 、y 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数f x y =+的最大值为【答案】37【解析】如图可知，最优解为375332max =⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，，8. 已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线2C 的参数方程为1x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为 【答案】556 【解析】 ()51:,052:2221=++=+-y x C y x C5501---=∴d 54=55653251652222==-=-=∴d r l9. 数列{}n a 满足11a =，且132n n a a n ++=+对任意*n ∈N 均成立，则2020a = 【答案】3031【解析】由题可知521=+a a 且11=a ，则42=a ；832=+a a ，则43=a ；1143=+a a ，则74=a ；1454=+a a ，则75=a ；以此类推13,10,10876===a a a ……则这个数列的偶数项是首项为4公差为3的等差数列2020a 是这个等差数列的第1010项，则30313)11010(42020=⨯-+=a10. 设*n ∈N ，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =【答案】10=n【解析】第1+r 项为212r rn r nr x C T -+=所以当r 为偶数时为有理项即二项展开式的奇数项系数之和为29525 ()()2121229525nn -++=∴即10=n11. 设a r 、b r 、c r 是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=r r r r r r，则a b ⋅r r的值为【答案】12【解析】由a b b c ⋅=⋅r r r r 及a c =r r，可知a r 与b r 的夹角等于c r 与b r 的夹角，设这个夹角为θ，① 当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即()cos 0,1θ∈时，a r 与c r 的夹角为2θ，此时cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=r r r r ，cos 2cos 2c a c a θθ⋅=⋅⋅=r r r r，从而2cos 22cos 2cos 2cos 10cos θθθθθ=⇒--=⇒=均含)； ② 当,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()cos 1,0θ∈-时，a r 与c r 的夹角为22πθ-，类似①，可得()cos 222cos πθθ-=，即cos22cos θθ=，解得1cos 2θ-=或1cos 2θ+=(舍)；综上，1cos 2a b θ⋅==r r12. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两 抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为 【答案】230x y -=【解析】由题意可知A 和B 两点既在1Γ又在2Γ上，所以到两准线的距离相等，由点到直线距离公式可知51213x yx +=，由抛物线定义以及焦点位置和准线方程并结合图像知AB 斜率为正，所以AB 方程为230x y -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 不等式102x x -≤-的解集为（ ） 【A 】 [1,2] 【B 】 [1,2) 【C 】 (,1][2,)-∞+∞U 【D 】 (,1)(2,)-∞+∞U 【答案】B【解析】()()021≤--x x 且2≠x 解得选B14. 设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） 【A 】 充分非必要条件 【B 】 必要非充分条件 【C 】 充要条件 【D 】 既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】举出反例即可比如i 2321--=ω. 15. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是 该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ）【A 】 逐渐变大 【B 】 逐渐变小 【C 】 先变大后变小 【D 】 先变小后变大 【答案】B【解析】令()()()()()20202022100520,5,0,5,,y x y xs F F y x P +--+=∴-595591452020202020+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=x x x y x s ，可知选B16. 设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,,n n n a a a ++⋅⋅⋅的乘积是定值（1,2,3,,2010n =⋅⋅⋅），命题① 存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ② 不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1； 的真假情况为（ ）【A 】 ①和②都是真命题 【B 】 ①是真命题，②是假命题 【C 】 ②是真命题，①是假命题 【D 】 ①和②都是假命题 【答案】D【解析】令A a a a n n n =⋅⋅⋅++101Λ则A a a a n n n =⋅⋅⋅+++1121Λ则n n a a =+11，即周期为11=T ；183112020=余数是7； 若一个周期内有两个1，则至少有366个1，①错；若一个周期内有三个1，则有549至552个1，②错；选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面上的两条相互垂直的半径，点M 是母线BP 的中点，已知2OA OM ==. （1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成的角的大小. 【答案】（1）π338（2）3arccos 4【解析】（1）0229024,4223POB PM MB MO PB PO ∠=∴===∴==-=Q故圆锥的体积21183223333V Sh ππ==⋅⋅=； （2）以O 点为原点，,,OA OB OP u u u r u u u r u u u r方向为x,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()1(OB+)=0,1,3,(0,0,23)(2,0,0)(2,0,23)2OM OP AP ==-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r，设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则63cos 244OM AP OM AP θ⋅===⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 所以异面直线OM 与AP 所成角为3arccos 4.18. 已知三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且5a =，7b =. （1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积. 【答案】（1）8=c （2）66 【解析】(1)（解法一）由余弦定理，2222-=2cos ,25-49=58a cb ac B c c c ++=即，在正实数集合中解得（解法二）由正弦定理，sin sin a A B a b A B B b ==<∴<∴为锐角111sin 214sin 8sin bc C B+=∴=⋅=（2）（解法一）设AM MB x ==则由cos CMA cos CMB∠=-∠知222222353702323x x x x +-+-+=⨯⨯⨯⨯解得x =故22235cos 23x CMB CMB x +-∠==∠=⨯⨯三角形的面积11sin 322S AB CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯= （解法二）设CA=,CB=,a b u u u r r u u u r r 则5,7,6a b a b ==+=r r r r.因此22236,a b a b ++=r r r rg ,解得19a b ⋅=-r r .故19cos 35ACB ∠=-，从而sin ACB ∠=因而三角形ABC的面积1sin 2S CA CB ACB =⋅⋅∠=（解法三）延长CM 至D .使CM MD =,则四边形ABCD 是平行四边形 因而三角形ABC 的面积与三角形BCD 的面积相等 而三角形BCD 的三边长分别为5,6,7,根据Heron 公式，其面积为S == 因此三角形ABC的面积为.19. 某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：1 1.020.20n n I I +=-； 策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：1 1.080.46n n I I +=-；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ （2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）见解析（2）第9周解除【解析】（1）111(1.020.20)(1.080.46)0.260.06I I I ---=- 不等式10.260.060I ->,得1133I <因此，当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，用第二种策略将使第二周的虫害的严重程度更小； 当113(,8]3I ∈时，用第一种策略将使第二周的虫害的严重程度更小； 当1133I =时，两种策略效果相同。

2020年上海杨浦区高三数学二模试卷 杨浦区2019学年第二学期高三年级质量检测卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,,3,5}B =，则A B =_______.【答案】{1,3}. 【解析】 【分析】根据交集定义计算． 【详解】由题意A B ={1,3}．故答案为：{1,3}．【点睛】本题考查交集的运算，属于简单题．2.行列式120235580=_______.【答案】10 【解析】 【分析】根据行列式定义直接计算．【详解】120352523512(040)2(025)108050580=⨯-⨯=--⨯-=． 故答案为：10．【点睛】本题考查三阶行列式的计算，掌握行列式计算公式即可．属于基础题． 3.函数23cos 1y x =+的最小正周期为_______. 【答案】π 【解析】 【分析】用降幂公式化函数为一次的形式后可计算周期．【详解】21cos 2353cos 131cos 2222x y x x +=+=⨯+=+，故周期22T ππ==. 故答案为：π．【点睛】本题考查三角函数的周期，考查余弦的二倍角公式，属于基础题． 4.已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =__________． 【答案】2i -. 【解析】 【分析】在等式()1243i z i +=+两边同时除以12i +，再利用复数的除法法则可得出复数z . 【详解】()1243i z i+=+，()()()()24312434836105212121255i i i i i i iz i i i i +-+-+--∴=====-++-，故答案为2i -.【点睛】本题考查复数的除法，解题的关键就是从等式中得出z 的表达式，再结合复数的四则运算律得出结果.5.若{}n a 是无穷等比数列，首项111,33a q ==，则{}n a 的各项的和S =_______. 【答案】12. 【解析】 【分析】直接由无穷递缩等比数列的和的公式计算．【详解】1131213S ==-．故答案为：12． 【点睛】本题考查无穷递缩等比数列的和，掌握无穷递缩等比数列的和的公式是解题关键． 6.在3名男生、4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为一男一女的概率为_______.【答案】47【解析】 【分析】根据组合的知识求出从7人中任取2人的方法数，同时计算出选出的学生恰为一男一女的方法数，然后可计算出概率．【详解】由题意113427124217C C P C ⋅===. 故答案为：47． 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出所有基本事件的个数．7.实数,x y 满足约束条件342300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数f x y =+的最大值为_______.【答案】2 【解析】 【分析】作出可行域，作出目标对应的直线，平移此直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图四边形OABC 内部（含边界），联立2334x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即点()1,1B ，作直线:0l x y +=，平移直线l ，当l 过点()1,1B 时，直线f x y =+在x 轴上的截距最大， 此时f x y =+取得最大值max 112f =+=.故答案为：2.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线．8.已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩，曲线2C 的参数方程为155x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为_______. 【答案】55【解析】 【分析】把两曲线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理计算弦长． 【详解】消去参数得两曲线的普通方程为：2212:250,:(1)5C x y C x y -+=++=，曲线2C 是圆，圆心为2(1,0)C -，半径为5r =圆心到直线距离为221054551(2)d --+==+-故两交点之间距离为221665255r d -=-=. 65． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查求直线与圆相交弦长，求直线与圆相交弦长问题，一般不是直接求出交点坐标，而是求出圆心到弦所在直线距离，用勾股定理（几何方法）计算弦长． 9.数列{}n a 满足111,32n n a a a n +=+=+对任意*n N ∈恒成立，则2020a =_______.【答案】3031 【解析】 【分析】由已知再写出1235n n a a n +++=+，两式相减可得数列{}n a 的偶数项成等差数列，求出2a 后，由等差数列的通项公式可得2020a ．【详解】由1123235n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，两式相减得23n n a a +-=.而2514a =-=，∴2020210094100933031a a d =+=+⨯=. 故答案为：3031．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等差数列的判断，解题关键是由已知递推式写出相邻式（用1n +代n ）后两式相减． 10.设*n N ∈，若(2)n x +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =_______.【答案】10 【解析】 【分析】根据二项式定理确定(2n x +的二项展开式中，有理项是奇数项，其系数与(2)n x +展开式中奇数项系数相等，这样可在(2)nx +的展开式中用赋值法求得奇数项系数和．【详解】12()r n rr r n T C x -+=，有理项为奇数项，即022222nn n n n n C C C -+++，也就是(2)n x +的奇数项，设2012(2)+=++++n n n x a a x a x a x ，并记()(2)n f x x =+，则012(1)n f a a a a =++++，012(1)(1)n n f a a a a -=-+++-，∴02(1)(1)312952522n nf f a a +-+++===，∴10n =．故答案为：10．.【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中的系数和，类比成()(2)n f x x =+的系数是解题关键．11.设a b c 、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，则a b ⋅的值为_______. 13- 【解析】 【分析】利用():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=可设a b k ⋅=，设,a b 的夹角为θ，则,b c 的夹角为θ，,a c 的夹角为2θ或22πθ-，利用得2a c a b ⋅=⋅，建立θ方程关系求解即可.【详解】():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，设a b k ⋅=，则,2b c k a c k ⋅=⋅=，a b c 、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，设,a b 的夹角为θ，则,b c 的夹角为θ，,a c 的夹角为2θ或22πθ-，cos22()2cos a c a b θθ⋅==⋅=，22cos 2cos 10θθ--=，解得13cos 2θ-=，或13cos 2θ+=（舍去）. 所以13cos 2a b θ⋅==. 13-． 【点睛】本题考查向量的数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于中档题.12.已知抛物线1Γ和2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程为0x =和5120x y +=.设两抛物线交于A B 、两点，则直线AB 的方程为_______. 【答案】23y x = 【解析】 【分析】根据抛物线定义写出两抛物线方程（平方），相减后可得,A B 两点坐标满足的方程，化简此方程（根据,A B 两点在两准线的位置确定正负）可得直线AB 方程．【详解】按抛物线定义有222222122(512):(2)(1);:(2)(1)13x y x y x x y +Γ-+-=Γ-+-=， 两方程相减即得222(512)13x y x +=，而,A B 位于0x =的右侧和5120x y +=的上侧， 故51213x y x +=，即23y x =.故答案为：23y x =．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查两曲线公共弦所在直线方程．本题中掌握抛物线的定义和直线方程的定义是解题关键．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.不等式102x x -≤-的解集为（ ） A. [1,2]B. [1,2)C. (,1][2,)-∞⋃+∞D.(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0． 【详解】原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ．【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0．14.设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假． 【详解】充分性：取132z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立．故选：B ．.【点睛】本题考查充分必要条件判断，考查复数的概念，属于基础题．15.设12,F F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅.在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小变化情况为（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大 【答案】B 【解析】 【分析】设(,)P x y ，然后由向量数量积的坐标表示求出s 为x 的函数后，根据函数性质可得结论． 【详解】设(,)P x y ，由椭圆方程知12(5,0),(5,0)F F -， 2221222()(5,)(5,)s OP F P F P x y x y x y =-⋅=+-⋅2222222()(5)5x y x y x y =+--+=++2225415999x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭，随x 的减小而变小， 故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础． 16.设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,n n n a a a ++⋅的乘积是定值(1,2,3,,2010)n =.①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1. 命题的真假情况为（ ） A. ①和②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ②是真命题，①是假命题 D. ①和②都是假命题【答案】D 【解析】 【分析】先确定数列是周期数列，然后根据一个周期中出现的1的个数，判断数列中可能出现的1的个数（与365,550接近的可能个数），得出结论．【详解】设110n n n a a a k ++⋅=；则1211n n n a a a k +++⋅=，也就是11n n a a +=，即{}n a 是以11为周期的数列.而2020111837=⨯+.若一个周期内有1个1，则1的个数有183或184个. 若一个周期内有2个1，则1的个数有366或367或368个. 若一个周期内有3个1，则1的个数有549或550或551或552个. 故选：D ．【点睛】本题考查数列的周期性，解题方法是确定出数列的周期，然后分类讨论1出现的次数的可能（与365,550接近的可能个数）．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面的两条互相垂直的半径，点M 是母线PB 的中点，已知2OA OM ==.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成角的大小 【答案】（1）833（2）3arccos 4【解析】 【分析】（1）由圆锥性质知4PB =，然后计算出高PO 后可得体积；（2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴.建立空间直角坐标系，用空间向量法示得异面直线所成的角．【详解】（1）由题可得4,23PB OP ==2118322333V S h π=⋅⋅=⋅⨯⨯=.（2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(0,1,3),(2,0,0),(0,0,23)M A P ，所以(0,1,3),(2,0,23)OM AP ==-，设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则||63cos 244||||OM AP OM AP θ⋅===⨯，故所成角为3arccos 4.【点睛】本题考查求圆锥的体积，考查用空间向量法求异面直线所成的角．掌握圆锥的性质是解题关键．18.已知三角形ABC 中，三个内角、、A B C 的对应边分别为a b c 、、，且5,7a b ==. （1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积. 【答案】（1）8c =（2）66 【解析】 【分析】（1）用余弦定理后解方程可求得c ；（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，转化为正弦后可得三角形面积．【详解】（1）由余弦定理可得22222cos 492558b a c ac B c c c =+-⇒=+-⇒=. （2）由题意可得2222cos CA CM AM CM AM AMC =+-⋅∠，2222cos CB CM BM CM BM BMC =+-⋅∠，又AM BM =，AMC BMC π∠+∠=， ∴()22222CA CB CM AM+=+，即()2492529AM +=+，∴27AM =，∴247c AM ==222492*********cos sin 27035a b c C C ab +-+-===-⇒=∴11126sin 576622ABCSab C ==⨯⨯=【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积，本题中涉及三角形路线问题，根据余弦定理有结论()22222CA CB CM AM+=+成立（其中M 是AB 中点）． 19.某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足1 1.020.20n n I I +=-； 策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足1 1.080.46n n I I +=-； 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？ （2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）虫害最快在第9周解除 【解析】 【分析】（1）根据两种策略，分别计算第二周虫害指数2I ，比较它们的大小可得结论； （2）由（1）可知，最优策略为策略B ，得1 1.080.46n n I I +=-，凑配出数列23{}4n I -是等比数列，求得通项n I ，由1n I <可解得n 的最小值．【详解】（1）由题意可知，使用策略A 时，211.020.2I I =-；使用策略B 时，211.080.46I I =-令()111131.020.20 1.080.4603I I I --->⇒<，即当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略B 第二周严重程度更小；当1133I =时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当113,83I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略A 第二周严重程度更小.（2）由（1）可知，最优策略为策略B ，即1123231.080.46, 1.0844n n n n I I I I ++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，所以数列234n I ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以114-为首项，1.08为公比的等比数列，所以12311 1.0844n n I -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即111231.0844n n I -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，令1n I <，可得9n ≥，所以虫害最快在第9周解除.【点睛】本题考查数列的应用，考查由递推公式求数列的通项公式．掌握由递推公式1(1,0)n n a pa q p +=+≠求通项公式的方法是解题基础．20.已知双曲线222:1(0)y H x b b-=>，经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M N 、两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值； （2）若2b =M N 、的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒.（3）设直线l 与y 轴交于点,,E EM MD EN ND λμ==，求证：λμ+为定值. 【答案】（1）3b =2）证明见解析；（3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）把2x =代入双曲线方程求得,M N 坐标，由6MN =可求得b ； （2）设()()1122,,,M x y N x y ，设直线方程为(2)y k x =-，代入双曲线方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由124x x +=-可求得k ，再由数量积的坐标运算计算出OM ON ⋅可得结论； （3）设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -，由,EM MD λ=可用,λμ表示出11,x y ，代入双曲线方程得222223240b b k b λλ---=，同理222223240bb k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.由韦达定理可得结论．【详解】（1）:2l x =，2241y b-=，3y b =，∴3),(2,3),2363M b N b MN b b -==⇒=（2）22:12y H x -=，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线斜率存在，设方程为(2)y k x =-，并与H 联立得()222224420k x k x k -+--=，由124x x +=-得224412kk k-=-⇒=±-，此时126x x ⋅=-.()()()12121212121222224OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++ 122(4)40=--⨯-+=.（3）有题意可知直线l 斜率必存在，设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -.由,EM MD EN ND λμ==得()()()()11112222,22,,22,x y k x y x y k x y λλ⎧+=--⎪⎨+=--⎪⎩，所以121x λλ=+，121k y λ-=+，又由于点M 在双曲线H 上，故22221122221111k y x b b λλλ-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-=⇒-= ⎪+⎝⎭化简得222223240b b k b λλ---=，同理222223240b b k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.则222233b b λμ+==为定值.【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用．在直线与双曲线相交时常常设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出1212,x x x x +，然后代入其他条件求解． 21.已知()21x mf x mx +=++，其中m 是实常数.（1）若118f m ⎛⎫>⎪⎝⎭，求m 的取值范围； （2）若0m >，求证：函数()f x 的零点有且仅有一个；（3）若0m >，设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若1234,,,a a a a 是公差0d >的等差数列且均在函数()f x 的值域中，求证：()()()()11111423f a f a f a f a ----+<+.【答案】（1）(0,23)(23,)⋃++∞（2）证明见解析；（3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）直接解不等式1()18f m>即可； （2）说明函数是增函数，然后由(0)0f >，2()0f m m--<可得结论； （3）首先不等式变形：()()()()11114321fa f a f a f a -----<-，即()()()()11113311f a d f a f a d f a ----+-<+-，而31a a >，问题转化为证明1()()t f t d f t --+-是关于t 的减函数，即设12t t <，证明()()()()111111220f t d f t f t d f t ----+--+->，利用反函数定义，设()()()()11211222,,,f u t d f u t f n t d f n t =+==+=，由()f x 单调递增可得1212,,,u u n n 之间的大小关系，得()()()()()()111111221212f t d f t f t d f t u u n n ----+--+-=---.作两个差12()()f u f u -，12()()f n f n -，并相减得()()()()2122121212221221u m u n m n u n m n n m u u +-+----=---，若()()12120u u n n ---≤，此式中分析左右两边出现矛盾，从而只能有()()12120u u n n --->，证得结论．【详解】（1）112218m mf m +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以1216m m +>，14m m +>，易知0m >，所以2410m m -+>，所以(0,23)(23,)m ∈-⋃++∞.（2）函数()f x 为增函数，且222(0)210,21mmf f m m m -⎛⎫=+>--=-- ⎪⎝⎭，由于2222212100mmm f m m --⎛⎫<⇒--<⇒--< ⎪⎝⎭.故在2,0m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上必存在0x ，使()00f x =.又()f x 为增函数，所以函数()f x 的零点有且仅有一个.（3）即证：()()()()11114321fa f a f a f a -----<-.()()()()11113311f a d f a f a d f a ----⇔+-<+-，而31a a >，所以只需证1()()t f t d f t --+-是关于t 的减函数.设12t t <，即证()()()()11111122f t d f t f t d f t ----+--+-※大于0设()()()()11211222,,,f u t d f u t f n t d f n t =+==+=，由()f x 单调递增可得12121122,,,u u n n u n u n >><<. ()()1212u u n n =---※.而()()121112212121u m u mf u mu t d f u mu t ++⎧=++=+⎪⎨=++=⎪⎩， 两式相减得()121222mn m u m u u d ++-+-=，()()21212221u m u u m u u d +--+-=①同理()()21212221n mn n m n n d +--+-=②，①-②得：()()()()2122121212221221u m u n m n u n m n n m u u +-+----=---.若()()12120u u n n ---≤，则上式左侧0<，右侧0≥矛盾，故※0>.证毕.【点睛】本题考查函数的零点，反函数的概念，考查函数的单调性，主要考查转化与化归思想，利用反函数定义把反函数问题转化为原函数的问题求解．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题．。

上海市杨浦区2020年第二学期高三学科测试数学文科试卷（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．1．直线013=+-y x 的倾斜角为 ．2．已知全集R U =，集合{}0542>--=x x x M ，{}1≥=x x N ，则)(N C M U ⋂= ．3．若复数z 满足iiz +=3(其中i 是虚数单位)，则z = ．4．二项式6)21(x -展开式中3x 系数的值是 ．5．高三（1）班班委会由3名男生和2名女生组成，现从中任选 2人参加上海世博会的志愿者工作，则选出的人中至少有一名女 生的概率是 ．6．如果某音叉发出的声波可以用函数t t f π00.001sin40)(= 描述，那么音叉声波的频率是 赫兹．7．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则实数p 的值是 ． 8．方程33tan -=x 的解是 ． 9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第 3项的值是 ．10. 若经过点P （－1，0）的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线的方程是 . 11．计算：)11211(lim 222+++++++∞→n nn n n Λ= .第9题12．在△ABC 中，5=AB ，7=AC ，D 是BC 边的中点，则⋅的值是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．13．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++78615304z y x z y x z y x 的增广矩阵是………………………………………………（ ）．A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛786115130411B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--786115130411 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛861513411 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛85461113114．在直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点)01(，-A 和)01(，C ，顶点B 在椭圆13422=+y x上，则BCA sin sin sin +的值是…………………………………………………………………（ ）．A ．23B ．3C ．2D ．415．以c b a 、、依次表示方程232212=+=+=+x x x x x x 、、的根，则c b a 、、的大小顺 序为…………………………………………………………………………………………（ ）．A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b c a <<D ．c a b >>16．如图，下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是……………………………………………………………（ ）．A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（4）三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤. 17．(本题满分12分)动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 已知某圆锥的体积是π12cm 3，底面半径等于3cm ． （1）求该圆锥的高； （2）求该圆锥的侧面积．19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的通项公式分别为)1(2-=n a n 、nn b )21(=，（其中*N n ∈）．（1）求数列{}n a 前n 项的和；（2）底面直径和高均为2的圆柱（1）棱长为2的正方体 （3）底面直径和高均为2的圆锥（4）底面边长为2、高为3的正四棱柱（2）求数列{}n b 各项的和； （3）设数列{}n c 满足⎩⎨⎧=)(.)(为偶数时当为奇数时当，n a n b c n n n ，求数列{}n c 前n 项的和．20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.已知a 为实数，函数3sin )(++=a f θθ，1sin )1(3)(+-=θθa g （R ∈θ）．（1）若θθcos )(=f ，试求a 的取值范围； （2）若1>a ，求函数)()(θθg f +的最小值．21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．（1）设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率1的直线2l 相交于点P(4，4)，求直线AB 的斜率；（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A 、B 所作的两条直线21l l 、相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB 的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；（3）线段AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点)0(0，x Q ．若20>x ，试用0x 表示线段AB 中点的横坐标．上海市杨浦区2020学年度第二学期高三学科测试数学理科试卷（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．1．直线013=+-y x 的倾斜角为 ．2．已知全集R U =，集合{}0542>--=x x x M ，{}1≥=x x N ， 则)(N C M U ⋂= ．3．若复数z 满足iiz +=3 (其中i 是虚数单位)，则z = ．4．二项式6)21(x -展开式中3x 系数的值是 ． 5．市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖 概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元．如果小王购 买了10注彩票，那么他的期望收益是 元． 6．把αα5cos 3cos +化为积的形式，其结果为 ． 7．已知)(y x P ，是椭圆191622=+y x 上的一个动点，则y x +的最大值是 ．8．已知21tan 1tan 2=-x x （]0[π，∈x ），则x 的值是 ． 9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第3项 的值是 ．10. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ．11．如图，用一平面去截球所得截面的面积为π2cm 2，已知第9题理第11题球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3. 12．在△ABC 中，5=AB ，7=AC ，D 是BC 边的中点，则⋅的值 是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．13．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++78615304z y x z y x z y x 的增广矩阵是………………………………………………（ ）．A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛786115130411B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--786115130411 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛861513411 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛854611131 14．在直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点)01(，-A 和)01(，C ，顶点B 在椭圆13422=+y x 上，则BCA sin sin sin +的值是…………………………………………………………………（ ）．A ．23B ．3C ．2D ．415. 以c b a 、、依次表示方程232212=+=+=+x x x x x x 、、的根，则c b a 、、的大小顺 序为…………………………………………………………………………………………（ ）．A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b c a <<D ．c a b >>16．已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009n n a n n ，，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．下列关于n n S +∞→lim 的结论，正确的是……………………………………（ ）．A ．1lim -=+∞→n n SB ．2008lim =+∞→n n SC ．⎩⎨⎧≥-≤≤=+∞→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，（*N n ∈） D ．以上结论都不对三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.17．(本题满分12分)动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所 示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 在长方体D C B A ABCD ''''-中，2=AB ，1=AD ，1='A A ．求： （1）顶点D '到平面AC B '的距离；（2）二面角B AC B '--的大小．（结果用反三角函数值表示）19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.设数列{}n a 的前n 和为n S ，已知311=S ，3132=S ，3163=S ，3644=S ， 一般地，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++=-)().12(3412)(),12(3412)1(212为偶数时当为奇数时当n n n n S n n n （*N n ∈）．（1）求4a ； （2）求n a 2；（3）求和：n n a a a a a a a a 212654321-++++Λ．A 'D ' B 'C 'BCD A20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.已知a 为实数，函数3sin )(++=a f θθ，1sin )1(3)(+-=θθa g （R ∈θ）． （1）若θθcos )(=f ，试求a 的取值范围； （2）若1>a ，求函数)()(θθg f +的最小值．21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．（1）设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率1的直线2l 相交于点P(4，4)，求直线AB 的斜率；（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A 、B 所作的两条直线21l l 、相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB 的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；（3）线段AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点)0(0，x Q ．若50=x ，试用线段AB 中点的纵坐标表示线段AB 的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．上海市杨浦区2020年第二学期高三学科测试数学文理科试卷参考答案与评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第21题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准1．3π； 2．{}1-<x x ； 3．10； 4．160-； 5．（理）66.8-元；（文）0.7； 6．（理）ααcos cos42⋅； （文）200赫兹； 7．（理）5； （文）p=4． 8．（理）858ππ==x x 或； （文）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ 9．2113； 10．（理）cos 3ρθ=； （文）方程为01=+-y x ． 11．（理）π34； （文）21； 12．12．13——16：A ； C ； C ； 理B 文A17．设熊猫居室的总面积为y 平方米，由题意得：)100()330(<<-=x x x y ．… 6分解法1：75)5(32+--=x y ，因为)10,0(5∈，而当5=x 时，y 取得最大值75． 10分 所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分 解法2：2]2)330(3[31)]330(3[31)330(x x x x x x y -+≤-=-==75，当且仅当x x 3303-=，即5=x 时，y 取得最大值75． …… 10分所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分18．理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为)0,0,1(A 、)0,0,0(D 、)0,2,0(C 、)1,0,1(A '、)1,2,1(B '、)1,0,0(D '． ……2分设平面AC B '的法向量为),,(w v u n =，则B n '⊥，B '⊥．因为)1,2,0(--='B ，)1,0,1(--='B ， ……3分0='⋅B ，0='⋅B ，所以⎩⎨⎧=+=+.0,02w u w v 解得v w v u 2,2-==，取1=v ，得平面AC B '一个法向量)2,1,2(-=，3=． ……5分 （1）在平面AC B '取一点A ，可得)1,0,1(-=D A ，于是顶点D '到平面AC B '的距离34==d ，所以顶点D '到平面AC B '的距离为34， ……8分 （2）因为平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(1=n ，设n 与1n 的夹角为α，则32cos -==α， ……12分结合图形可判断得二面角B AC B '--是一个锐角，它的大小为32arccos ．……14分文：（1）圆锥底面积为π9 cm 2， ……1分 设圆锥高为h cm ，由体积h V ⋅⋅=π931， ……5分 由π12=V cm 3得4=h cm ； ……8分 （2）母线长5=l cm ， ……9分 设底面周长为c ，则该圆锥的侧面积=cl 21， ……12分 所以该圆锥的侧面积=π15cm 2． ……14分19．（理）（1）164=a ； ……3分 （2）当k n 2=时，（*N k ∈）k k k k k k k k S S a 22222212222)]12(3412)2([)12(3412)2(=-+--+=-=--， ……6分所以，nn a 42=（*N n ∈）． ……8分（3）与（2）同理可求得：)12(3112-=-n a n ， ……10分 设n n a a a a a a a a 212654321-++++Λ=n T ， 则]4)12(45434[3132n n n T ⨯-++⨯+⨯+=Λ，（用等比数列前n 项和公式的推导方法）]4)12(45434[3141432+⨯-++⨯+⨯+=n n n T Λ，相减得]4)12()444(24[313132+⨯--++++=-n n n n T Λ，所以94)14(2732491211--⨯-⨯-=-+n n n n T ． ……14分（文）（1）设数列前n 项和为n S ，则n n n n S n -=-+=22)220(． ……3分（2）公比121<=q ，所以由无穷等比数列各项的和公式得： 数列{}n b 各项的和为21121-=1． ……7分（3）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，当n 为奇数时，n n n b a b a b T +++++=-1321Λ=2)1())41(1(32221-+-+n n ； ……11分当n 为偶数时，n n n a b b a b T +++++=-1321Λ=2))41(1(3222n n+-． ……14分即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+-+-=+为偶数时当，为奇数时当n n n n T n n n 322)21(32,322)1()21(3222)1(． ……15分20．（1）θθcos )(=f 即a --=-3cos sin θθ，又)4sin(2cos sin πθθθ-=-，2分所以232≤+≤-a ，从而a 的取值范围是]23,23[+---． ……5分（2）21sin )1(3)1(sin )()(+++-++=+a a g f θθθθ，令x =+1sin θ，则20≤<x ，因为1>a ，所以)1(32)1(3-≥-+a xa x ，当且仅当)1(3-=a x 时，等号成立，8分 由2)1(3≤-a 解得37≤a ，所以当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ； ……11分 下面求当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值． 当37>a 时，2)1(3>-a ，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．所以函数)()(θθg f +的最小值为2)1(522)1(32+=++-+a a a ． [当37>a 时，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数的证明：任取2021≤<<x x ，])1(31)[()()(121212x x a x x x h x h ---=-，因为4012≤<x x ，4)1(3>-a ，所以0)1(3112<--x x a ，0)()(12<-x h x h ，由单调性的定义函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．]于是，当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ；当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值2)1(5+a ． ……15分21．（1）由⎩⎨⎧==-+.4,082x y y x 解得)8,16(-A ；由⎩⎨⎧==+.4,02x y y x 解得)0,0(B ．由点斜式写出两条直线21l l 、的方程，0:;08:21=-=-+y x l y x l ，所以直线AB 的斜率为21-． ……4分 （2）推广的评分要求分三层一层:点P 到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）例：1．已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率为1的直线2l 相交于抛物线x y 42=上的一定点P ),4(2t t ，求直线AB 的斜率；2．已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．设过点A 且斜率为-k 1的直线1l ，与过点B 且斜率为k 的直线2l 相交于抛物线x y 42=上的一点P （4，4），求直线AB 的斜率； 3．已知B A 、是抛物线)0(22>=p px y 上的相异两点．设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率为1的直线2l 相交于抛物线)0(22>=p px y 上的一定点P ),2(2t pt ，求直线AB 的斜率； AB 的斜率的值．二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）例：4．已知点P 是抛物线x y 42=上的定点．过点P 作斜率分别为k 、k -的两条直线21l l 、，分别交抛物线于A 、B 两点，试计算直线AB 的斜率．三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分）例如：5.已知抛物线px y 22=上有一定点P ，过点P 作斜率分别为k 、k -的两条直线21l l 、，分别交抛物线于A 、B 两点，试计算直线AB 的斜率．过点P （00,y x ），斜率互为相反数的直线可设为00)(y x x k y +-=，00)(y x x k y +-=，其中0202px y =。

2020届上海杨浦区高三二模数学试题一、单选题 1．不等式102x x -≤-的解集为（ ） A ．[1,2] B ．[1,2)C ．(,1][2,)-∞⋃+∞D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】B【解析】把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0． 【详解】 原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ． 【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0．2．设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假． 【详解】充分性：取12z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立． 故选：B ．. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题．3．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅u u u r u u u r u u u u r.在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小变化情况为（ ）A ．逐渐变大B ．逐渐变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大【答案】B【解析】设(,)P x y ，然后由向量数量积的坐标表示求出s 为x 的函数后，根据函数性质可得结论． 【详解】设(,)P x y ，由椭圆方程知12(F F ， 2221222()()()s OP F P F P x y x y x y =-⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u u r2222222()(5)5x y x y x y =+--+=++2225415999x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭，随x 的减小而变小， 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础． 4．设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,n n n a a a ++⋅L 的乘积是定值(1,2,3,,2010)n =L .①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1. 命题的真假情况为（ ） A ．①和②都是真命题 B ．①是真命题，②是假命题 C ．②是真命题，①是假命题 D ．①和②都是假命题【答案】D【解析】先确定数列是周期数列，然后根据一个周期中出现的1的个数，判断数列中可能出现的1的个数（与365,550接近的可能个数），得出结论． 【详解】设110n n n a a a k ++⋅=L ；则1211n n n a a a k +++⋅=L ，也就是11n n a a +=，即{}n a 是以11为周期的数列.而2020111837=⨯+.若一个周期内有1个1，则1的个数有183或184个. 若一个周期内有2个1，则1的个数有366或367或368个. 若一个周期内有3个1，则1的个数有549或550或551或552个. 故选：D ．本题考查数列的周期性，解题方法是确定出数列的周期，然后分类讨论1出现的次数的可能（与365,550接近的可能个数）．二、填空题5．设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,,3,5}B =，则A B =I _______. 【答案】{1,3}.【解析】根据交集定义计算． 【详解】由题意A B =I {1,3}． 故答案为：{1,3}． 【点睛】本题考查交集的运算，属于简单题．6．行列式120235580=_______.【答案】10【解析】根据行列式定义直接计算． 【详解】120352523512(040)2(025)108050580=⨯-⨯=--⨯-=．故答案为：10． 【点睛】本题考查三阶行列式的计算，掌握行列式计算公式即可．属于基础题． 7．函数23cos 1y x =+的最小正周期为_______. 【答案】π【解析】用降幂公式化函数为一次的形式后可计算周期． 【详解】21cos 2353cos 131cos 2222x y x x +=+=⨯+=+，故周期22T ππ==. 故答案为：π．本题考查三角函数的周期，考查余弦的二倍角公式，属于基础题． 8．已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =__________． 【答案】2i -.【解析】在等式()1243i z i +=+两边同时除以12i +，再利用复数的除法法则可得出复数z . 【详解】()1243i z i +=+Q ，()()()()24312434836105212121255i i i i i i i z i i i i +-+-+--∴=====-++-，故答案为2i -. 【点睛】本题考查复数的除法，解题的关键就是从等式中得出z 的表达式，再结合复数的四则运算律得出结果.9．若{}n a 是无穷等比数列，首项111,33a q ==，则{}n a 的各项的和S =_______. 【答案】12. 【解析】直接由无穷递缩等比数列的和的公式计算． 【详解】1131213S ==-．故答案为：12． 【点睛】本题考查无穷递缩等比数列的和，掌握无穷递缩等比数列的和的公式是解题关键． 10．在3名男生、4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为一男一女的概率为_______. 【答案】47【解析】根据组合的知识求出从7人中任取2人的方法数，同时计算出选出的学生恰为一男一女的方法数，然后可计算出概率．由题意11 3427124217C CPC⋅===.故答案为：47．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出所有基本事件的个数．11．实数,x y满足约束条件3423x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数f x y=+的最大值为_______.【答案】2【解析】作出可行域，作出目标对应的直线，平移此直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图四边形OABC内部（含边界），联立2334x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩，即点()1,1B，作直线:0l x y+=，平移直线l，当l过点()1,1B时，直线f x y=+在x轴上的截距最大，此时f x y=+取得最大值max112f=+=.故答案为：2.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线．12．已知曲线1C的参数方程为212x ty t=-⎧⎨=+⎩，曲线2C的参数方程为155xyθθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C和2C的两个交点之间的距离为_______.【答案】5【解析】把两曲线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理计算弦长． 【详解】消去参数得两曲线的普通方程为：2212:250,:(1)5C x y C x y -+=++=，曲线2C 是圆，圆心为2(1,0)C -，半径为r =5d ====.． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查求直线与圆相交弦长，求直线与圆相交弦长问题，一般不是直接求出交点坐标，而是求出圆心到弦所在直线距离，用勾股定理（几何方法）计算弦长． 13．数列{}n a 满足111,32n n a a a n +=+=+对任意*n N ∈恒成立，则2020a =_______.【答案】3031【解析】由已知再写出1235n n a a n +++=+，两式相减可得数列{}n a 的偶数项成等差数列，求出2a 后，由等差数列的通项公式可得2020a ． 【详解】由1123235n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，两式相减得23n n a a +-=.而2514a =-=， ∴2020210094100933031a a d =+=+⨯=. 故答案为：3031． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等差数列的判断，解题关键是由已知递推式写出相邻式（用1n +代n ）后两式相减． 14．设*n N ∈，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =_______.【答案】10【解析】根据二项式定理确定(2n 的二项展开式中，有理项是奇数项，其系数与(2)n x +展开式中奇数项系数相等，这样可在(2)n x +的展开式中用赋值法求得奇数项系数和． 【详解】12r n rr r n T C -+=，有理项为奇数项，即0220222n n n n n n C C C -+++L ，也就是(2)n x +的奇数项，设2012(2)+=++++L n n n x a a x a x a x ，并记()(2)nf x x =+，则012(1)n f a a a a =++++L ，012(1)(1)n n f a a a a -=-+++-L ，∴02(1)(1)312952522n nf f a a +-+++===L ，∴10n =．故答案为：10．. 【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中的系数和，类比成()(2)nf x x =+的系数是解题关键．15．设a b c r rr、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=r r r r r r ，则a b ⋅rr 的值为_______.【解析】利用():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=rr r r r r 可设a b k ⋅=r r ，设,a b r r 的夹角为θ，则,b cr r 的夹角为θ，,a c r r 的夹角为2θ或22πθ-，利用得2a c a b ⋅=⋅r r r r，建立θ方程关系求解即可. 【详解】():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=rr r r r r ，设a b k ⋅=r r ，则,2b c k a c k ⋅=⋅=r r r r ， a b c r r r、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，设,a b r r 的夹角为θ，则,b c rr 的夹角为θ，,a c r r 的夹角为2θ或22πθ-，cos22()2cos a c a b θθ⋅==⋅=r r r r，22cos 2cos 10θθ--=，解得cos θ=cos θ=（舍去）.所以13cos 2a b θ-⋅==r r . 故答案为：13-． 【点睛】本题考查向量的数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于中档题. 16．已知抛物线1Γ和2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程为0x =和5120x y +=.设两抛物线交于A B 、两点，则直线AB 的方程为_______. 【答案】23y x =【解析】根据抛物线定义写出两抛物线方程（平方），相减后可得,A B 两点坐标满足的方程，化简此方程（根据,A B 两点在两准线的位置确定正负）可得直线AB 方程． 【详解】按抛物线定义有222222122(512):(2)(1);:(2)(1)13x y x y x x y +Γ-+-=Γ-+-=，两方程相减即得222(512)13x y x +=，而,A B 位于0x =的右侧和5120x y +=的上侧， 故51213x y x +=，即23y x =.故答案为：23y x =．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查两曲线公共弦所在直线方程．本题中掌握抛物线的定义和直线方程的定义是解题关键．三、解答题17．如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面的两条互相垂直的半径，点M 是母线PB 的中点，已知2OA OM ==.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成角的大小 【答案】（1）83π（2）3arccos 4 【解析】（1）由圆锥性质知4PB =，然后计算出高PO 后可得体积；（2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴.建立空间直角坐标系，用空间向量法示得异面直线所成的角． 【详解】（1）由题可得4,23PB OP ==，故体积21183223333V S h ππ=⋅⋅=⋅⨯⨯=. （2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(0,1,3),(2,0,0),(0,0,23)M A P ，所以(0,1,3),(2,0,23)OM AP ==-u u u u r u u u r，设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则||63cos 244||||OM AP OM AP θ⋅===⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r ，故所成角为3arccos 4.【点睛】本题考查求圆锥的体积，考查用空间向量法求异面直线所成的角．掌握圆锥的性质是解题关键．18．已知三角形ABC 中，三个内角、、A B C 的对应边分别为a b c 、、，且5,7a b ==.（1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积.【答案】（1）8c =（2）【解析】（1）用余弦定理后解方程可求得c ；（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，转化为正弦后可得三角形面积． 【详解】（1）由余弦定理可得22222cos 492558b a c ac B c c c =+-⇒=+-⇒=. （2）由题意可得2222cos CA CM AM CM AM AMC =+-⋅∠，2222cos CB CM BM CM BM BMC =+-⋅∠，又AM BM =，AMC BMC π∠+∠=，∴()22222CA CB CM AM +=+，即()2492529AM +=+，∴AM =∴2c AM ==，由222492511219cos sin 27035a b c C C ab +-+-===-⇒=∴11sin 5722ABC S ab C ==⨯⨯=V 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积，本题中涉及三角形路线问题，根据余弦定理有结论()22222CA CB CM AM+=+成立（其中M 是AB 中点）． 19．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一： 策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足1 1.020.20n n I I +=-； 策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足1 1.080.46n n I I +=-； 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？ （2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）虫害最快在第9周解除【解析】（1）根据两种策略，分别计算第二周虫害指数2I ，比较它们的大小可得结论； （2）由（1）可知，最优策略为策略B ，得1 1.080.46n n I I +=-，凑配出数列23{}4n I -是等比数列，求得通项n I ，由1n I <可解得n 的最小值． 【详解】（1）由题意可知，使用策略A 时，211.020.2I I =-；使用策略B 时，211.080.46I I =- 令()111131.020.20 1.080.4603I I I --->⇒<，即当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略B 第二周严重程度更小；当1133I =时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当113,83I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略A 第二周严重程度更小. （2）由（1）可知，最优策略为策略B ，即1123231.080.46, 1.0844n n n n I I I I ++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，所以数列234n I ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以114-为首项，1.08为公比的等比数列，所以12311 1.0844n n I -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即111231.0844n n I -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，令1n I <，可得9n ≥，所以虫害最快在第9周解除.【点睛】本题考查数列的应用，考查由递推公式求数列的通项公式．掌握由递推公式1(1,0)n n a pa q p +=+≠求通项公式的方法是解题基础．20．已知双曲线222:1(0)y H x b b-=>，经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M N 、两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值；（2）若b =M N 、的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒.（3）设直线l 与y 轴交于点,,E EM MD EN ND λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r，求证：λμ+为定值.【答案】（1）b =2）证明见解析；（3）证明见解析；【解析】（1）把2x =代入双曲线方程求得,M N 坐标，由6MN =可求得b ； （2）设()()1122,,,M x y N x y ，设直线方程为(2)y k x =-，代入双曲线方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由124x x +=-可求得k ，再由数量积的坐标运算计算出OM ON ⋅u u u u r u u u r可得结论；（3）设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -，由,EM MD λ=u u u u r u u u u r可用,λμ表示出11,x y ，代入双曲线方程得222223240b b k b λλ---=，同理222223240bb k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.由韦达定理可得结论．【详解】（1）:2l x =，2241y b-=，y =，∴),(2,),6M N MN b ==⇒=（2）22:12y H x -=，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线斜率存在，设方程为(2)y k x =-，并与H 联立得()222224420k x k x k -+--=，由124x x +=-得224412k k k -=-⇒=±-，此时126x x ⋅=-. ()()()12121212121222224OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++u u u u r u u u r122(4)40=--⨯-+=.（3）有题意可知直线l 斜率必存在，设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -.由,EM MD EN ND λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r 得()()()()11112222,22,,22,x y k x y x y k x y λλ⎧+=--⎪⎨+=--⎪⎩，所以121x λλ=+，121k y λ-=+，又由于点M 在双曲线H 上，故22221122221111k y x b b λλλ-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-=⇒-= ⎪+⎝⎭化简得222223240b b k b λλ---=，同理222223240bb k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.则222233b b λμ+==为定值.【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用．在直线与双曲线相交时常常设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出1212,x x x x +，然后代入其他条件求解． 21．已知()21x m f x mx +=++，其中m 是实常数. （1）若118f m ⎛⎫>⎪⎝⎭，求m 的取值范围； （2）若0m >，求证：函数()f x 的零点有且仅有一个；（3）若0m >，设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若1234,,,a a a a 是公差0d >的等差数列且均在函数()f x 的值域中，求证：()()()()11111423f a f a f a f a ----+<+.【答案】（1）(0,2(2)⋃+∞（2）证明见解析；（3）证明见解析； 【解析】（1）直接解不等式1()18f m>即可； （2）说明函数是增函数，然后由(0)0f >，2()0f m m--<可得结论； （3）首先不等式变形：()()()()11114321fa f a f a f a -----<-，即()()()()11113311f a d f a f a d f a ----+-<+-，而31a a >，问题转化为证明1()()t f t d f t --+-是关于t 的减函数，即设12t t <，证明()()()()111111220f t d f t f t d f t ----+--+->，利用反函数定义，设()()()()11211222,,,f u t d f u t f n t d f n t =+==+=，由()f x 单调递增可得1212,,,u u n n 之间的大小关系，得()()()()()()111111221212f t d f t f t d f t u u n n ----+--+-=---.作两个差12()()f u f u -，12()()f n f n -，并相减得()()()()2122121212221221u m u n m n u n m n n m u u +-+----=---，若()()12120u u n n ---≤，此式中分析左右两边出现矛盾，从而只能有()()12120u u n n --->，证得结论．【详解】（1）112218m mf m +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以1216m m +>，14m m +>，易知0m >，所以2410m m -+>，所以(0,2(2)m ∈⋃+∞.（2）函数()f x 为增函数，且222(0)210,21mm f f m m m -⎛⎫=+>--=-- ⎪⎝⎭，由于2222212100mmm f m m --⎛⎫<⇒--<⇒--< ⎪⎝⎭.故在2,0m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上必存在0x ，使()00f x =.又()f x 为增函数，所以函数()f x 的零点有且仅有一个.（3）即证：()()()()11114321fa f a f a f a -----<-.()()()()11113311f a d f a f a d f a ----⇔+-<+-，而31a a >，所以只需证1()()t f t d f t --+-是关于t 的减函数.设12t t <，即证()()()()11111122f t d f t f t d f t ----+--+-※大于0设()()()()11211222,,,f u t d f u t f n t d f n t =+==+=，由()f x 单调递增可得12121122,,,u u n n u n u n >><<. ()()1212u u n n =---※.而()()121112212121u mu mf u mu t d f u mu t ++⎧=++=+⎪⎨=++=⎪⎩， 两式相减得()121222mn m u m u u d ++-+-=，()()21212221u m u u m u u d +--+-=①同理()()21212221n mn n m n n d +--+-=②，①-②得：()()()()2122121212221221u m u n m n u n m n n m u u +-+----=---.若()()12120u u n n ---≤，则上式左侧0<，右侧0≥矛盾，故※0>.证毕. 【点睛】本题考查函数的零点，反函数的概念，考查函数的单调性，主要考查转化与化归思想，利用反函数定义把反函数问题转化为原函数的问题求解．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题．。

2020年上海市杨浦区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.不等式的解集为A. B.C. D.2.设z是复数，则“z是虚数”是“是虚数”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.设，是椭圆的两焦点，A与B分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P是该椭圆上的一个动点，O是坐标原点，记，在动点的第一象限内从A沿椭圆向左上方运动到B的过程中，s的大小的变化情况为A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大4.设是2020项的实数数列，中的每一项都不为零，中任意连续11项，，，的乘积是定值2，3，，命题：存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1；的真假情况为A. 和都是真命题B. 是真命题是假命题C. 是真命题，是假命题D. 都是假命题二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.设集合2，3，，3，5，，则______ ．6.行列式的值为______．7.函数的最小正周期为______．8.设i是虚数单位，复数z满足，则______．9.若是无穷等比数列，首项，公比，则各项的和______．10.在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女的概率为______结果用最简分数表示11.实数x，y满足约束条件，目标函数的最大值为______．12.已知曲线的参数方程为是参数，曲线的参数方程为是参数，则和的两个交点之间的距离为______．13.数列满足，且对任意均成立，则______．14.设，若的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则______．15.设是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若：：：1：2，则的值为______．16.已知抛物线与的焦点均为点，准线方程分别与，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，线段OA和OB是以P为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点M是母线BP的中点，已知．求该圆锥的体积；求异面直线OM与AP所成角的大小．18.已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且，．若，求c；设点M是边AB的中点，若，求三角形ABC的面积19.某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一；策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足；策略B：杀灭害虫，“虫害指数“数列满足；设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？20.已知双曲线H：，经过点的直线l与该双曲线交于M、N两点．若l与x轴垂直，且，求b的值；，且M、N的横坐标之和为，证明：；设直线l与y轴交于点E，，求证：为定值21.，其中m是实常数．若，求m的取值范围；若，求证：函数的零点有且仅有一个；若，设函数的反函数为，若，，，是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证：-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：由题可以转化为，解得，故选：B．由题将分式不等式转化成不等式组，进行求解即可得出结果．本题主要考查的是分式不等式，注意端点，是道基础题．2.答案：B解析：解：由题知z是虚数不一定能推出是虚数，比如，则，而反过来是虚数一定能推出z是虚数，假如z不是虚数，则一定不是虚数，产生矛盾，所以z 一定是虚数，所以是必要非充分条件，故选：B．由题分析知z是虚数不一定是虚数，而反过来一定成立，即可得出结论．本题主要是以复数为载体考查充分，必要条件，是道基础题．3.答案：B解析：解：设，，，，记，，所以s的大小的变化情况为逐渐变小．故选：B．设出P的坐标，利用已知条件，化简s的表达式，利用三角函数的性质，推出结果即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆参数方程的应用，涉及三角函数的性质，是中档题．4.答案：D解析：解：依题意，，，则数列的周期为11，，项中包含了183个完整周期，不到184个周期，若每个周期有2个1，则至少有个1，若每个周期1个1，则至多有184个1，不可能恰有365个1，故错误；若每个周期有3个1，则至少有个1，至多有个1，可能存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1，故错误；故选：D．依题意，分析可知，数列的周期为11，而2020项中包含了183个完整周期，不到184个周期，由此分别判断，的真假即可．本题以数列为载体，考查命题的真假判断，考查创新意识及逻辑推理能力，属于中档题．5.答案：解析：解：集合2，3，，3，5，，所以．故答案为：．根据交集的定义进行计算即可．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．6.答案：10解析：解：由题意，可知：．故答案为：10．本题根据行列式的特点可对第三列进行展开，将三阶行列式转化为二阶行列式进行计算即可得到结果．本题主要考查行列式的按列展开进行计算，考查了转化思想，定义法，以及数学运算能力．本题属基础题．7.答案：解析：解：由题意知：，故．故答案为：．先对函数降幂化简，然后套周期公式即可．本题考查三角函数式的化简及周期的计算，属于基础题．8.答案：解析：解：是虚数单位，复数z满足，．故答案为：．利用复数的代数形式的乘除法则直接求解．本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除法则等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．9.答案：解析：解：是无穷等比数列，首项，公比，，各项的和．故答案为：．由等比数列前n项和公式得，各项的和，由此能求出结果．本题考查等比数列的各项和的求法，考查等比数列的性质、极限等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．10.答案：解析：解：在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，基本事件事件总数，选出的学生恰为1男1女包含的基本事件总数，则选出的学生恰为1男1女的概率为．故答案为：．基本事件事件总数，选出的学生恰为1男1女包含的基本事件总数，由此能求出选出的学生恰为1男1女的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．11.答案：解析：解：作出约束条件对应的平面区域如图阴影部分，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的纵截距最大，此时f最大．由，解得代入目标函数得．即目标函数的最大值为．故答案为：．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求f的最大值．本题主要考查了线性规划的应用问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题．12.答案：解析：解：由曲线的参数方程是参数，得其普通方程为，由曲线的参数方程是参数，得其普通方程为，则曲线是以为圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，和的两个交点之间的距离为．故答案为：．先将曲线和化为普通方程，然后求出圆心到直线的距离d，进一步求出和的两个交点之间的距离．本题考查了参数方程转化为普通方程和点到直线的距离公式，考查了转化思想，属基础题．13.答案：3031解析：解：对任意均成立，时可得：，相减可得：，令时，可得：，可得，数列是等差数列，首项为4，公差为3．．故答案为：3031．对任意均成立，时可得：，相减可得：，令时，可得：，可得，可得数列是等差数列，利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：10解析：解：由题意可知，的展开式中的有理项即为展开式中的所有奇数项，并且它的展开式各项的系数与展开式中各项的系数对应相等．令式中，展开式的奇数项系数和为A，偶数项系数之和为B．对于式：令，可得，由已知得，，令，所以．所以．故答案为：10．经分析可知，有理项即为展开式中的奇数项，因为的系数为1，所以可以将用x替换，然后令，，得到展开式中奇数项系数之和与偶数项系数之和的方程组，求出各项系数之和，即可求出n的值．本题考查二项展开式的项的性质，以及赋值法在研究展开式中系数时的应用，要注意转化思想的应用．属于中档题．15.答案：解析：解：因为是同一平面上的三个两两不同的单位向量，由：：1，所以，与，夹角相等，设为，则，夹角为或，又：：2，：：2，即，，则，舍．则，故答案为：．由条件得，与，夹角相等，设为，则，夹角为或，再利用数量积的定义列出的三角方程，解出，进而求．本题考查了平面向量的数量积的应用问题，三角函数求值问题，是综合性题目．16.答案：解析：解：根据抛物线与的焦点均为点，准线方程分别与，可得抛物线与的方程分别为与，两抛物线交于A、B两点，只需联立两方程即可求出直线AB的方程，直线AB的方程为，即或，经检验当时，不符合条件，直线AB的方程为，故答案为：．根据条件求出与的方程，再联立两方程，求出直线AB的方程即可．本题考查了直线和抛物线的综合应用，两点间的距离公式和点到直线的距离公式，考查了方程思想，属中档题．17.答案：解：如图所示，连接OP，则底面OAB．点M是母线BP的中点，．．该圆锥的体积．连接AB，取AB的中点D，连接OD，DM．中，，．为异面直线OM与AP所成角或其补角．在等腰直角三角形OAB中，．在中，由余弦定理可得：，异面直线OM与AP所成角的大小．解析：如图所示，连接OP，则底面点M是母线BP的中点，可得，利用体积计算公式可得该圆锥的体积．连接AB，取AB的中点D，连接OD，利用三角形中位线定理可得：，为异面直线OM与AP所成角或其补角．利用余弦定理即可得出．本题考查了圆锥的性质、异面直线所成的角、圆锥的体积计算公式、余弦定理、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：中，，，，由余弦定理得，，即，整理得，解得或不合题意，舍去，所以；如图所示，点M是边AB的中点，，，所以，即，解得，所以，的面积．故答案为：．解析：利用余弦定理列方程，即可求得c的值；用向量表示中线CM，求出，再求，即可求得的面积．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量的数量积运算问题，是中档题．19.答案：解：策略A：因为，策略B：因为当，可得，当时，两者相等，当时，策略B的更小；当时，策略A的更小；Ⅱ时，选择策略B，当，时则，可得，所以所以虫害的危机最快在第9周解除．解析：分别有两个通项公式可得的值，求出两个值相等时的的值，然后求出在区间上的两种策略下的严重程度更小；由可得选择策略2，求出时，由通项公式可得相对应的n的值本题考查等差数列的通项公式的应用，属于中档题．20.答案：解：由题意可得直线l的方程为，代入双曲线的方程可得，解得，可设，，即有，解得；证明：由，可得双曲线的方程为，设，，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立双曲线的方程可得，可得，，由，即，解得，此时，则，，可得，即有；证明：由题意可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为，可得，又点，且设，，由，可得，即，，可得，，由M在双曲线上，可得，即有，化简可得，由，可得，同理可得，故、为方程的两个实根，可得为定值．解析：由题意可得直线l：，联立双曲线方程求得M，N的坐标，可得，解方程可得b的值；求得双曲线的方程，设，，判断直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立双曲线的方程，运用韦达定理，由题意可得k的值，结合向量垂直的条件，运用向量数量积的坐标表示，计算即可得证；求得E的坐标，又点，且设，，运用向量共线定理和向量的坐标表示，用和k表示M的坐标，再由M在双曲线上，代入双曲线方程，化简整理为的二次方程，同理可得的二次方程，再由二次方程的根的定义和韦达定理，即可得证．本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，同时考查向量共线定理和点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案：解：依题意，，即，，显然，则，解得或，实数m的取值范围为；证明：当时，易知函数在R上单调递增，又当时，，则一定会取得负值，而，则由零点存在性定理可知，函数的零点有且仅有一个，且零点小于零；证明：由知，在R上单调递增，任取，则，，可知，函数是类似于下图所示增长形式的函数图象，由题有，，且公差，则其在图象上可取如图所示符合条件的任意四点，且对应点A的横坐标，对应点B的横坐标，显然有，，即解析：根据已知条件，可得，解出该不等式即可求得m的取值范围；首先判断函数在R上单调，再结合零点存在性定理即可得证；首先判断，进而作出函数草图，由图象观察即容易得证．本题考查函数性质的综合运用，涉及了不等式的解法，反函数，函数的单调性，凹凸性，函数的零点等知识点，考查转化思想，数形结合思想以及运算求解能力，推理论证能力，属于较难题目．。

【答案】10
【解析】根据二项式定理确定 的二项展开式中，有理项是奇数项，其系数与 展开式中奇数项系数相等，这样可在 的展开式中用赋值法求得奇数项系数和．
【详解】
，有理项为奇数项，即 ，也就是 的奇数项，设 ，并记 ，则 ， ，
∴ ，∴ ．
故答案为：10．.
【点睛】
本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中的系数和，类比成 的系数是解题关键．
（3）设方程为 ，且 ，由 可用 表示出 ，代入双曲线方程得 ，同理 .故 是方程 的两根.由韦达定理可得结论．
【详解】
（1） ， ， ，
∴ .
（2） ，设 ，显然直线斜率存在，设方程为 ，并与 联立得 ，由 得 ，此时 .
.
（3）有题意可知直线 斜率必存在，设方程为 ，且 .由 得 ，所以 ， ，又由于点 在双曲线 上，故 化简得 ，同理 .故 是方程 的两根.则 为定值.
【详解】
设 ；则 ，也就是 ，即 是以11为周期的数列.而 .
若一个周期内有1个，则1的个数有183或184个.
若一个周期内有2个1，则1的个数有366或367或368个.
若一个周期内有3个1，则1的个数有549或550或551或552个.
故选：D．
【点睛】
本题考查数列的周期性，解题方法是确定出数列的周期，然后分类讨论1出现的次数的可能（与365,550接近的可能个数）．
（1）若 与 轴垂直，且 ，求 的值；
（2）若 ，且 的横坐标之和为 ，证明： .
（3）设直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值.
【答案】（1） （2）证明见解析；（3）证明见解析；
【解析】（1）把 代入双曲线方程求得 坐标，由 可求得 ；
（2）设 ，设直线方程为 ，代入双曲线方程应用韦达定理得 ，由 可求得 ，再由数量积的坐标运算计算出 可得结论；

杨浦区2020学年度高三学科模拟测试数学试卷（理科）（本试卷满分150分 考试时间120分钟）学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 不等式1411>+-x x x 的解集是___________.2．若函数)(x f y =与1+=x ey 的图像关于直线x y =对称，则=)(x f .3．经过抛物线x y 42=的焦点，且以)1,1(=d 为方向向量的直线的方程是 .4. 计算：=+⋅⋅⋅++++∞→n C nn 26422lim. 5. 在二项式8)1(xx -的展开式中，含5x 的项的系数是 （用数字作答）.6. 若数列}{n a 为等差数列，且12031581=++a a a ，则1092a a -的值等于 .7. 已知直线⊥m 平面α，直线n 在平面β内，给出下列四个命题：①n m ⊥⇒βα//； ②n m //⇒⊥βα；③βα//⇒⊥n m ；④βα⊥⇒n m //，其中真命题的序号是 .8. 一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同. 若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数ξ的数学期望是 ． 9. 极坐标方程52sin42=θρ所表示曲线的直角坐标方程是 .10．在△ABC 中，已知最长边23=AB ，3=BC ，∠A =30︒，则∠C = . 11.已知函数)1lg()(+=x x f ，若b a ≠且)()(b f a f =，则b a +的取值范围是 .12.在平行四边形ABCD 中，AB =1，AC =3，AD =2；线段 P A ⊥平行四边形ABCD 所在的平面，且P A =2，则异面直线PC 与BD 所成的角等于 （用反三角函数表示）.13．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 、BD 相交于O ，记△BCO 、△CDO 、△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则231S S S +的取值范围是 . 14. 已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-.若()f a =)2020(f ，则满足条件的最小的正实数a 是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是……………………（ ） （A ）2011≤i ；（B ）2011>i ； （C ）1005≤i ；（D ）1005>i .16. 已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x xx ax a x f a 是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是 ……………………………( ) (A) (1，+∞) ； (B) (0，3)； (C) （1，3）； (D) [32，3）． 17．在正方体1111D C B A ABCD -的侧面11A ABB 内有一动点P 到直线11B A 与直线BC 的距离相等,则动点P 所在的曲线的形状为…………( )C （13题）D （12题）（15题）18．已知有穷数列A ：n a a a ,,,21⋅⋅⋅（N n n ∈≥,2）.定义如下操作过程T ：从A 中任取两项j i a a ,,将ji j i a a a a ++1的值添在A 的最后，然后删除j i a a ,,这样得到一系列1-n 项的新数列A 1 (约定:一个数也视作数列)；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列2-n 项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k . 设A ：31,21,43,75-,则A 3的可能结果是……………………………（ ） （A ）0； （B ）34； （C ）13； （D ）12.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)如图，用半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），该容器最 多盛水多少？（结果精确到0.1 cm 3）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知向量(sin ,cos )a x x =r , (sin ,sin )b x x =r ， (1,0)c =-r .（1）若3x π=，求向量、的夹角θ；（2）若3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数x f ⋅=λ)(的最大值为21，求实数λ的值.A B 1 B (A)A B 1B (B)A B 1 B (C)A B 1B(D)21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知圆8)1(:22=++y x C .（1）设点),(y x Q 是圆C 上一点，求y x +的取值范围； （2）如图，(1,0),A M 定点为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2,0,AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r求N 点的轨迹的内接矩形的最大面积.22． (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设虚数z 满足1000(4tm m z m -+=2z 为实常数，01m m >≠且，t 为实数）. （1） 求z 的值；（2） 当t N *∈，求所有虚数z 的实部和；（3） 设虚数z 对应的向量为（O 为坐标原点），),(d c =，如0>-d c ，求t 的取值范围.23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设二次函数)()4()(2R k kx x k x f ∈+-=，对任意实数x ，有26)(+≤x x f 恒成立；数列}{n a 满足)(1n n a f a =+. （1）求函数)(x f 的解析式和值域；（2）试写出一个区间),(b a ，使得当),(1b a a ∈时，数列}{n a 在这个区间上是递增数列，并说明理由；（3）已知311=a ，是否存在非零整数λ，使得对任意n N *∈，都有 ()12333312111log log log 12log 1111222n n n a a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+>-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2log 2)1(31n n +-+-λ 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.杨浦区2020学年度第二学期高三学科测试参考答案及评分标准 2020.4.16一、填空题1. 【 (-1，3) 】2. 【)0(,1ln )(>-=x x x f 】 3． 【01=--y x 】 4. 【21】 5. 【28】 6. 【24】 7. （文） 【3 】 （理）【①，④】.8. （理）【911】（文）【458】 9. （文）【65,6,,0πππ】 （理）【42552+=x y 】 10．【∠C =135︒】11.【),0(+∞】 12.【arccos 73或714arcsin 2】13．【),2(+∞】14. （理）【36，】（文）【 [3,3]-】 二、选择题15．【A 】；16. 【D 】；17．【B 】；18．【B 】 三、解答题19．(本题满分12分)解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ，则由题意得R=210，由π210021=Rl 得 π20=l ； ……………………………………………………………………………………………2分 由lr =π2得10=r ；…………………………………………………………………………………5分由222h r R +=得10=h ；……………………………………………………………………………8分由322.1047101003131cm h r V ≈⋅⋅⋅==ππ锥 所以该容器最多盛水1047.2cm3……………………………………………………………………12分（说明：π用3.14得1046.7毫升不扣分）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）当3x π=时，12a ⎫=⎪⎪⎝⎭r ， ………………………………………………………………1分 所以2cos 11||||a c a c θ⋅===⨯⋅r r u u r r (4)分 因而56πθ=； …………………………………………………………………………………6分 （2）2()(sin sin cos )(1cos 2sin 2)2f x x x x x x λλ=+=-+， (7)分()1)24f x x λπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭………………………………………………………………………10分 因为3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦π2,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦……………………………………………………11分 当λ>时，()max 1()1122f x λ=+=，即12λ=， …………………………………………………12分当λ<时，(max 1()122f x λ==，即1λ=-- .…………………………………………13分所以2121--==λλ或. ……………………………………………………………………………14分21．(本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 解：（文）（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为)3(-=x k y ，即03=--k y kx ；……2分由81|3|2=+--k k k 得221688k k =+，解得1±=k ，…………………5分从而所求的切线方程为03=--y x ，03=-+y x .…………………6分（2）.0,2=⋅=AM NP AP AM Θ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………………8分又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN Θ ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.……………………………………12分且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴点N的轨迹是方程为.1222=+y x …………………………………………………………………14分 （理）（1）∵点在圆C上，∴可设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ααsin 22cos 221y x )2,0[πα∈；……………………………2分 )4sin(41)sin (cos 221πααα++-=++-=+y x ，……………………………………………4分从而]3,5[-∈+y x (6)分（2）.0,2=⋅=Θ ∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……………………………………………………………8分又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN Θ ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.……………………………………10分且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴点N的轨迹是方程为.1222=+y x …………………………………………………………………12分 所以轨迹E为椭圆，其内接矩形的最大面积为22.………………………………………………14分22． (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 解：（1）22100i m m m z t t -±=， …………………………………………………………………2分1002502t m m m im z ±-∴==t …………………………………………………………………4分（或10050242m m z z ==∴=v zz ） （2）z 是虚数，则1002500ttm m m m ->∴<，z 的实部为2tm ；当1,502()2221m m m m mm t t N S m *-><∈∴=+++=-L 得且1,502()2221m m m m m t t N S m *-><∈∴=+++=-L 得且224950m *.………………………7分 当01,50)221m m m m t t N S m *<<>∈∴++=-L 得且01,502(m t *<<>=得且251525101,502()21m m m t t N S m*<<>∈∴=++=-L 得且515201,502()221m m m t t N S *<<>∈∴=++=L 得且.……………………………………10分（3）解：0,2t m c d =>=①,2c d =->d ,2d =,2c d =->d 恒成立， 由500t t mm m m ->∴<得，当1>m 时，50<t ；当10<<m 时，50>t .………………………………12分 ②d = 如,c d >则10050222tt m m m >>>t即m当501,-log 250150log 22mm t m t t <⎧⎪><<⎨>-⎪⎩1即502502log 2150<<-t m . ……………………………………14分 当5001,-log 2150log 22mm t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩1即50<t <5022log 215050m t -<< ……………………………16分23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）由26)(+≤x x f 恒成立等价于02)6()4(2≤--+-x k x k 恒成立，…………………………1分 从而得：⎩⎨⎧≤-+-<-0)4(8)6(042k k k ，化简得⎩⎨⎧≤-<0)2(42k k ，从而得2=k ，所以x x x f 22)(2+-=，………3分其值域为]21,(-∞.………………………………………………………………………………………………4分（2）解：当)21,0(1∈a 时，数列}{n a 在这个区间上是递增数列，证明如下： 设1),21,0(≥∈n a n ，则)21,0(21)21(222)(221∈+--=+-==+n n n n n a a a a f a ，所以对一切*N n ∈，均有)21,0(∈n a ；………………………………………………………………………………………………7分81)41(222)(221+--=-+-=-=-+n n n n n n n n a a a a a a f a a81)41(281)41(2161)41(414141)21,0(222>+--⇒->--⇒<-⇒<-<-⇒∈n n n n n a a a a a ，从而得01>-+n n a a ，即n n a a >+1，所以数列}{n a 在区间)21,0(上是递增数列.………………………10分注：本题的区间也可以是)21,51[、)21,41[、)21,31[等无穷多个. 另解：若数列}{n a 在某个区间上是递增数列，则01>-+n n a a 即0222)(221>+-=-+-=-=-+n n n n n n n n n a a a a a a a f a a )21,0(∈⇒n a …………………………7分又当1),21,0(≥∈n a n 时，)21,0(21)21(222)(221∈+--=+-==+n n n n n a a a a f a ，所以对一切*N n ∈，均有)21,0(∈n a 且01>-+n n a a ，所以数列}{n a 在区间)21,0(上是递增数列.…………………………10分（3）（文科）由（2）知)21,0(∈n a ，从而)21,0(21∈-n a ； 2221)21(22122)22(2121-=+-=+--=-+n n n n n n a a a a a a ，即21)21(221n n a a -=-+； ………12分 令n n a b -=21，则有212n n b b =+且)21,0(∈n b ；从而有2lg lg 2lg 1+=+n n b b ，可得)2lg (lg 22lg lg 1+=++n n b b ，所以数列}2lg {lg +n b 是以31lg2lg )3121lg(2lg lg 1=+-=+b 为首项，公比为2的等比数列，……………………………………14分从而得12131lg 231lg 2lg lg -⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=+-n n n b ，即231lg lg 12-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b ，所以11223121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=n n n b ，所以12321211-⋅==-n nn b a ，所以1323322log )32(log 211log 1-+=⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n n a ， ………………16分 所以，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n a a a 211log 211log 211log 32313 12log 221212log 33-+=--+=n n n n. ……………………………………………………18分（3）（理科）由（2）知)21,0(∈n a ，从而)21,0(21∈-n a ； 2221)21(22122)22(2121-=+-=+--=-+n n n n n n a a a a a a ，即21)21(221n n a a -=-+；………12分 令n n a b -=21，则有212n n b b =+且)21,0(∈n b ；从而有2lg lg 2lg 1+=+n n b b ，可得)2lg (lg 22lg lg 1+=++n n b b ，所以数列}2lg {lg +n b 是31lg2lg lg 1=+b 为首项，公比为2的等比数列，………………………………………………………14分从而得12131lg 231lg 2lg lg -⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=+-n n n b ，即231lg lg 12-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b ，所以11223121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=n n n b ，所以12321211-⋅==-n n n b a ，所以1323322log )32(log 211log 1-+=⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n n a ， 所以，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n a a a 211log 211log 211log 32313 12log 221212log 33-+=--+=n n n n.………………………………………………………16分即12log 23+n n()1232(log 2)12log 1n nn n λ-+->-+-123-n ，所以，()1121n n λ-->-恒成立（1） 当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值1为。