2019年全国版高考数学(理)一轮复习必刷题：第二十二单元 选考模块

第二十二单元 选考模块

考点一 极坐标与参数方程

1.(2017年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 𝑥=3cos𝜃,𝑦=sin𝜃(θ为参数),直线l的参数方程为 𝑥=𝑎+4𝑡,𝑦=1−𝑡(t为参数).

(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;

(2)若C上的点到l距离的最大值为 17,求a.

【解析】(1)曲线C的普通方程为𝑥29+y2=1.

当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.

由 𝑥+4𝑦-3=0,𝑥29+𝑦2=1,

解得 𝑥=3,𝑦=0或 𝑥=−2125,𝑦=2425.

从而C与l的交点坐标为(3,0),-2125,2425.

(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离d=|3cos𝜃+4sin𝜃-𝑎-4| 17.

当a≥-4时,d的最大值为𝑎+9 17.

由题设得𝑎+9 17= 17,所以a=8;

当a<-4时,d的最大值为-𝑎+1 17.

由题设得-𝑎+1 17= 17,所以a=-16.

综上,a=8或a=-16.

2.(2017年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.

(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|²|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;

(2)设点A的极坐标为 2,π3 ,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.

【解析】(1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).

由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cos𝜃.

由|OM|²|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0).

因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).

(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).

由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB的面积

S=12|OA|²ρB²sin∠AOB=4cosα² sin 𝛼-π3

=2 sin 2𝛼-π3 - 32 ≤2+ 3.

当α=-π12时,S取得最大值2+ 3.

所以△OAB面积的最大值为2+ 3.

3.(2017年全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为 𝑥=2+𝑡,𝑦=𝑘𝑡(t为参数),直线l2的参数方程为 𝑥=−2+𝑚,𝑦=𝑚𝑘(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)- 2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.

【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程为y=k(x-2);

消去参数m得l2的普通方程为y=1𝑘(x+2).

设P(x,y),由题设得 𝑦=𝑘(𝑥-2),𝑦=1𝑘(x+2),

消去k得x2-y2=4(y≠0),

所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).

(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0

联立 𝜌2(cos2θ-sin2θ)=4,𝜌(cos𝜃+sin𝜃)- 2=0得

cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ).

故tanθ=-13,从而cos2θ=910,sin2θ=110.

代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,

所以交点M的极径为 5.

4.(2016年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 𝑥=𝑎cos𝑡,𝑦=1+𝑎sin𝑡(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.

(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;

(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.

【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.

将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.

(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组

𝜌2-2ρsin𝜃+1−𝑎2=0,𝜌=4cos𝜃.

若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,

由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,

从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.

当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.

所以a=1.

5.(2016年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.

(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;

(2)直线l的参数方程是 𝑥=𝑡cos𝛼,𝑦=𝑡sin𝛼(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|= 10,求l的斜率.

【解析】(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.

(2)(法一)由直线l的参数方程 𝑥=𝑡cos𝛼,𝑦=𝑡sin𝛼(t为参数),消去参数得y=x²tanα.

设直线l的斜率为k,则直线l的方程为kx-y=0.

由圆C的方程为(x+6)2+y2=25知,圆心坐标为(-6,0),半径为5.

又∣AB∣= 10,由垂径定理及点到直线的距离公式得|-6𝑘| 1+𝑘2= 25− 102 2,即36𝑘21+𝑘2=904,

整理得k2=53,解得k=± 153,

即l的斜率为± 153.

(法二)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).

设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0,

于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.

|AB|=|ρ1-ρ2|= (𝜌1+𝜌2)2-4𝜌1𝜌2

= 144cos2α-44.

由|AB|= 10得cos2α=38,可得tanα=± 153.

所以l的斜率为± 153.

考点二 不等式选讲

6.(2017年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于

x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①

当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;

当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,解得-1≤x≤1;

当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,

解得1

所以f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤-1+ 172.

(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2,

所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当x∈[-1,1]时,f(x)≥2.

又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,

所以f(-1)≥2且f(1)≥2,解得-1≤a≤1.

所以a的取值范围为[-1,1].

7.(2017年全国Ⅱ卷) 已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:

(1)(a+b)(a5+b5)≥4;

(2)a+b≤2.

【解析】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6

=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.

(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

=2+3ab(a+b)≤2+3(𝑎+𝑏)24(a+b)=2+3(𝑎+𝑏)34,

所以(a+b)3≤8,所以a+b≤2.

8.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)≥1的解集;

(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.

【解析】(1)f(x)= -3,𝑥<−1,2𝑥-1,-1≤𝑥≤2,3,𝑥>2.

当x<-1时,f(x)≥1无解;

当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,

解得1≤x≤2;

当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2.

所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.

(2)由f(x)≥x2-x+m,得

m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.

而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|

=- |𝑥|-32 2+54≤54,

且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x2+x=54,

故m的取值范围为 -∞,54 .

9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

【解析】(1)由题意得f(x)= 𝑥-4,𝑥≤−1,3𝑥-2,-1<𝑥≤32,-𝑥+4,𝑥>32,

故y=f(x)的图象如图所示.

(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,

当f(x)=1时,可得x=1或x=3;

当f(x)=-1时,可得x=13或x=5.

故f(x)>1的解集为{x|1

f(x)<-1的解集为 𝑥 𝑥<13或x>5 .

所以|f(x)|>1的解集为 𝑥 𝑥<13或15 .