江苏省12市2015届高三数学 分类汇编 导数及其应用
- 格式：doc
- 大小：2.11 MB
- 文档页数：17
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编
导数及其应用
一、填空题
1、（常州市2015届高三）曲线cosyxx在点22pp，处的切线方程为 ▲
二、解答题
1、（常州市2015届高三）已知ab，为实数，函数1()fxbxa，函数()lngxx．
（1）当0ab时，令()()()Fxfxgx，求函数()Fx的极值；
（2）当1a时，令()()()Gxfxgx，是否存在实数b，使得对于函数()yGx
定义域中的任意实数1x，均存在实数2[1,)x，有12()0Gxx成立，若存在，求出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由．
2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）已知函数xaxxxf221ln)(，aR．
(1)若2a，求函数()fx的单调递减区间；
(2)若关于x的不等式()1fxax≤恒成立，求整数a的最小值；
(3)若2a，1x，2x是两个不相等的正数，且1212()()0fxfxxx，
求证：12512xx≥．
3、（南京市、盐城市2015届高三）已知函数()xfxe，()gxmxn.
（1）设()()()hxfxgx.
① 若函数()hx在0x处的切线过点(1,0)，求mn的值；
② 当0n时，若函数()hx在(1,)上没有零点，求m的取值范围；
（2）设函数1()()()nxrxfxgx，且4(0)nmm，求证：当0x时，()1rx.
4、（南通市2015届高三）若函数()yfx在0xx处取得极大值或极小值，则称0x为函数()yfx的极值点.
已知函数3()3ln1().fxaxxxaR
1当0a时，求()fx的极值；
2若()fx在区间1(,)ee上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围.
5、（苏州市2015届高三上期末）已知函数()(1)xfxeax，其中,aRe为自然对数底数.
（1）当1a时，求函数()fx在点(1,(1))f处的切线方程；
（2）讨论函数()fx的单调性，并写出相应的单调区间；
（3）已知bR，若函数()fxb对任意xR都成立，求ab的最大值.
6、（泰州市2015届高三上期末）已知函数1()lnfxxx，()gxaxb．
(1)若函数()()()hxfxgx在(0,)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2) 若直线()gxaxb是函数1()lnfxxx图象的切线，求ab的最小值；
(3)当0b时，若()fx与()gx的图象有两个交点1122(,),(,)AxyBxy，求证：12xx22e．
（取e为2.8，取ln2为0.7，取2为1.4）
7、（无锡市2015届高三上期末）设函数()22ln-+fxxxaxb=在点()()0,0xfx处的切线方程为yxb=-+.
(1)求实数a及0x的值；
(2)求证：对任意实数，函数()fx有且仅有两个零点.
8、（扬州市2015届高三上期末）已知函数2(),()xfxegxaxbxc。
（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值。
（2）若a＝c＝1，b＝0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由；
（3）若b＝c＝0，证明：对任意给定的正数a，总存在正数m，使得当x(,)m时，
恒有f（x）＞g（x）成立。
9、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km．地块的一角是草坪（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计），将隔离出的△BEF作为健身场所．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S（单位：2km）．
(1)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过32km？并说明理由．
参考答案
一、填空题
1、202xyp
二、解答题
1、解：（1）1()lnFxxx，
21()xFxx，令()0Fx，得1x． ………………………1分 E F
（第17题） P
A B C D
列表：
x (0,1) 1 (1,)
()Fx
0 +
()Fx
↘ 极小值 ↗
所以()Fx的极小值为(1)1F，无极大值． ………………………4分
（2）当1a时，假设存在实数b满足条件，则11()()ln1Gxbxx≥在(0,1)(1,)x上恒成立． ………………………5分
1）当(0,1)x时， 1()()ln11Gxbxx≥可化为(1)ln10bxbxx≤，
令()(1)ln1,(0,1)Hxbxbxxx，问题转化为：()0Hx≤对任意(0,1)x恒成立；（*）
则(1)0H，1()ln1bHxbxbx，(1)0H．
令1()ln1bQxbxbx，则2(1)1()bxQxx．
①12b≤时，因为11(1)1(1)121022bxx≤，
故()0Qx，所以函数()yQx在(0,1)x时单调递减，()(1)0QxQ，
即()0Hx，从而函数()yHx在(0,1)x时单调递增，故()(1)0HxH，所以（*）
成立，满足题意； ………………………7分
②当12b时，221[(1)](1)1()bxbxbQxxx，
因为12b，所以111b，记1110,1Ib（，）（），则当xI时，1(1)0xb，
故()0Qx，所以函数()yQx在xI时单调递增，()(1)0QxQ，
即()0Hx，从而函数()yHx在xI时单调递减，所以()(1)0HxH，此时（*）不成立；
所以当(0,1)x，1()()ln11Gxbxx≥恒成立时，12b≤； ………………9分
2）当(1,)x时，1()()ln11Gxbxx≥可化为(1)ln10bxbxx≥，
令()(1)ln1,(1,)Hxbxbxxx，问题转化为：()0Hx≥对任意的(1,)x恒成立；（**）
则(1)0H，1()ln1bHxbxbx，(1)0H．
令1()ln1bQxbxbx，则2(1)1()bxQxx．
①12b≥时，1(1)1212102bxb≥，
故()0Qx，所以函数()yQx在(1,)x时单调递增，()(1)0QxQ，
即()0Hx，从而函数()yHx在(1,)x时单调递增，所以()(1)0HxH，此时（**）成立；11分
②当12b时，
ⅰ）若0b≤，必有()0Qx，故函数()yQx在(1,)x上单调递减，所以()(1)0QxQ，即()0Hx，从而函数()yHx在(1,)x时单调递减，所以()(1)0HxH，此时（**）不成立； ………………………13分
ⅱ）若102b，则111b，所以当11,1xb（）时，
221[(1)](1)1()0bxbxbQxxx，
故函数()yQx在11,1xb（）上单调递减，()(1)0QxQ，即()0Hx，所以函数()yHx在11,1xb（）时单调递减，所以()(1)0HxH，此时（**）不成立；
所以当(1,)x，1()()ln11Gxbxx≥恒成立时，12b≥； ………………15分
综上所述，当(0,1)(1,)x，1()()ln11Gxbxx≥恒成立时， 12b，从而实数b的取值集合为1{}2． ………………………16分
2、（1）因为(1)102af，所以2a，……………………………………………1分
此时2()ln,0fxxxxx，2121()21(0)xxfxxxxx，…2分
由()0fx，得2210xx，又0x，所以1x．
所以()fx的单调减区间为(1,)． ………………………………………… 4分
（2）方法一：令21()()1)ln(1)12gxfxaxxaxax-(，
所以21(1)1()(1)axaxgxaxaxx．
当0a≤时，因为0x，所以()0gx．所以()gx在(0,)上是增函数，
又因为213(1)ln11(1)12022gaaa，
所以关于x的不等式()1fxax≤不能恒成立．……………………………………6分
当0a时，21()(1)(1)1()axxaxaxagxxx，令()0gx，得1xa．
所以当1(0,)xa时，()0gx；当1(,)xa时，()0gx，
因此函数()gx在1(0,)xa上是增函数，在1(,)xa上是减函数．
故函数()gx的最大值为2111111()ln()(1)1ln22gaaaaaaaa．…8分
令1()ln2haaa，因为1(1)02h，1(2)ln204h，又()ha在(0,)a是减函数．故当2a≥时，()0ha．所以整数a的最小值为2．………………10分
方法二：由()1fxax≤恒成立，得21ln12xaxxax≤在(0,)上恒成立，
问题等价于2ln112xxaxx≥在(0,)上恒成立．
令2ln1()12xxgxxx，只要max()agx≥．………………………………………… 6分
因为221(1)(ln)2()1()2xxxgxxx，令()0gx，得1ln02xx．
设1()ln2hxxx，因为11()02hxx，所以()hx在(0,)上单调减，
