2015年高考数学试题分类汇编-----专题九(导数及应用)
答案解析
1.(15北京理科)已知函数()1ln 1x
f x x
+=-.
(Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()00f ,处的切线方程; (Ⅱ)求证:当()01x ∈,
时,()323x f x x ??
>+ ??
?; (Ⅲ)设实数k 使得()33x f x k x ??
>+ ???
对()01x ∈,
恒成立,求k 的最大值. 【答案】(Ⅰ)20x y -=,(Ⅱ)证明见解析,(Ⅲ)k 的最大值为2.
试题解析:(Ⅰ)
2
12
()ln
,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x
+''=∈-===--,曲线()y f x =在点()()00f ,处的切线方程为20x y -=;
(Ⅱ)当()01x ∈,
时,()323x f x x ??
>+ ???
,即不等式3
()2()03x f x x -+>,对(0,1)x ?∈成立,设
33
1()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-,则
4
2
2()1x F x x
'=-,当()01x ∈,时,()0F x '>,故()F x 在(0,1)上为增函数,则
()(0)0F x F >=,因此对(0,1)x ?∈,
3
()2()3
x f x x >+
成立;
(Ⅲ)使()33x f x k x ??
>+ ???
成立,()01x ∈,
,等价于3
1()ln ()013x x F x k x x +=-+>-,()01x ∈,
; 42
22
22()(1)11kx k F x k x x x
+-'=-+=--, 当[0,2]k ∈时,()0F x '
≥,函数在(0,1)上位增函数,()(0)0F x F >=,符合题意;
当2k >时,令4
02
()0,(0,1)k F x x k
-'
==
∈,
()(0)F x F <,显然不成立,
综上所述可知:k 的最大值为2.
考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式;3.含参问题讨论.
2.(15北京文科)设函数()2
ln 2
x f x k x =-,0k >. (Ⅰ)求()f x 的单调区间和极值;
(Ⅱ)证明:若()f x 存在零点,则()f x 在区间(
上仅有一个零点.
【答案】(1)单调递减区间是,单调递增区间是)+∞;极小值
(1ln )
2
k k f -=
;(2)证明详见解析.
所以,()f x 的单调递减区间是,单调递增区间是)+∞;
()f x 在x =(1ln )
2
k k f -=
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )
2
k k f -=. 因为()f x 存在零点,所以
(1ln )
02
k k -≤,从而k e ≥.
当k e =时,()f x 在区间上单调递减,且0f =,
所以x =
()f x 在区间上的唯一零点.
当k e >时,()f x 在区间上单调递减,且1(1)02f =
>,02
e k
f -=<,
所以()f x
在区间上仅有一个零点.
综上可知,若()f x 存在零点,则()f x
在区间上仅有一个零点.
考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.
3.(15年安徽理科)设函数2()f x x ax b =-+.
(1)讨论函数(sin )22
f x ππ
在(-,)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
(2)记2
0000(),(sin )(sin )f x x a x b f x f x =-+-求函数在22
ππ(-,)上的最大值D ;
(3)在(2)中,取2000,D 14
a
a b z b ===-≤求满足时的最大值。
【答案】(Ⅰ)极小值为;(Ⅱ);(Ⅲ)1.
试题解析:(Ⅰ),.
2
4
a b -00||||D a a b b =-+
-2
(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+2
2
x π
π
-
<<
,.
考点:1.函数的单调性、极值与最值;2.绝对值不等式的应用.
4.(15年安徽文科)已知函数
(1)求的定义域,并讨论的单调性;
(2)若
,求在内的极值。 [(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-2
2
x π
π
-
<
<
)0,0()()(2
>>+=
r a r x ax
x f )(x f )(x f 400=r
a
)(x f ),0(+∞
【答案】(1)递增区间是(-r,r );递减区间为(-∞,-r )和(r ,+∞);(2)极大值为100;无极小值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 内的极大值为 内无极小值;
所以内极大值为100,无极小值.
考点:1.导数在函数单调性中的应用;2.函数的极值.
5.(15年福建理科)若定义在上的函数满足,其导函数满足
,则下列结论中一定错误的是()
A .
B .
C .
D . 【答案】
C
)在(+∞,0)(x f 10044)(2===r
a
r ar r f )在(+∞,0)(x f )在(+∞,0)(x f R ()f x ()01f =-()f x '()1f x k '>>11
f k k ??<
???111f k k ??
> ?-??1111f k k ??
< ?
--??111
k f k k ??
> ?
--??
考点:函数与导数.
6.(15年福建理科)已知函数,
(Ⅰ)证明:当;
(Ⅱ)证明:当时,存在,使得对
(Ⅲ)确定k 的所以可能取值,使得存在,对任意的恒有.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ). 【解析】
试题分析:(Ⅰ)构造函数只需求值域的右端点并和0比较即可;(Ⅱ)构造函数即,
求导得 ,利用导数研究函数的形状和最值,证明当时,存在,使
得即可;(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当时,对于故
,则不等式变形为,构造函数
,只需说明,易发现函数在
递增,而,故不存在;当时,由(Ⅱ)知,
存在,使得对任意的任意的恒有,此时不等式变形
为
f()ln(1)x x =+(),(k ),g x kx R =?0x x x ><时,f()1k <00x >0(0),x x ?任意,恒有f()()x g x >;0t >(0),x ?,t 2|f()()|x g x x -<=1k ()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??()0G x >1
()1+G x k x
¢
=-(1k)
1+kx x
-+-=
()G x 1k <00x >()0G x >1k >(0,),x "违
+()f()g x x x ,>>()f()g x x >2|f()()|x g x x -<2k ln(1)x x x -+<2M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-违,+()0M x <()M
x 0x ?((0)0M =1k <00x >0(0),x x ,?f()()x g x >
,
构造
,易发现函数
在
递增,而,不满足题意;当时,代入证
明即可.
试题解析:解法一:(1)令则有
当,所以在上单调递减; 故当时,即当时,.
(2)令则有 当,所以在上单调递增, 故对任意正实数均满足题意.
当时,令得. 取对任意恒有,所以在上单调递增,,即 .
综上,当时,总存在,使得对任意的恒有.
(3)当时,由(1)知,对于故,
,
令,
2ln(1)k x x x +-<2N()ln(1)k ,[0)
x x x x x =+--违,+()
N
x 0x ?((0)0N =1k ()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??1()11+1+x
F x x x
¢=
-=-(0,),x ??()0F x ¢
<()F x (0,)+?0x >()(0)0,F x F <=0x >x x f() ()1+1+kx G x k x x -+-¢ =-=0k £G ()0x ¢ >G()x [0,)+?G()(0)0x G >=0x 01k <<()0,x G ¢ =11 =10k x k k -=->01 = 1x k ,-0(0,),x x ?G ()0x ¢>G()x 0[0,x )G()(0)0x G >=f()()x g x >1k <00x >0(0),x x ,?f()()x g x >1k >(0,),x "违+()f()g x x x ,>>()f()g x x >|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+2 M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-违,+ 则有 故当时,, 在上单调递增,故, 即,所以满足题意的t 不存在. 当时,由(2)知存在,使得对任意的任意的恒有. 此时, 令, 则有 故当时,, 在上单调递增,故, 即,记 , 则当,故满足题意的t 不存在. 当,由(1)知,, 令,则有 当时,,所以在上单调递减,故, 故当时,恒有,此时,任意实数t 满足题意. 综上,. 解法二:(1)(2)同解法一. (3)当时,由(1)知,对于, 2 1-2+(k-2)1 M ()k 2=,11x x k x x x x +-¢ =--++0x ?(M ()0x ¢ >M()x [0M()M(0)0x >=2 |f()()|x g x x ->1k <00x >0(0),x x ,?f()()x g x >|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-2 N()ln(1)k ,[0)x x x x x =+--违,+ 2' 1-2-(k+2)1 ()2=,11x x k N x k x x x -+=--++0x ?(N ()0x ¢ >M()x [0N()(0)0x N >=2 f()()x g x x ->0x 1x 21(0)|f() ()|x x x g x x ?>,时,恒有=1k (0,),x 违 当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+2 H()ln(1),[0)x x x x x =-+-违,+2 1-2H ()12=,11x x x x x x -¢ =--++0x >H ()0x ¢ |f()()|x g x x -<=1k 1k >(0,),x "违+()f()g x x x >>, 故, 令, 从而得到当时,恒有,所以满足题意的t 不存在. 当时,取 由(2)知存在,使得. 此时, 令,此时, 记与 中较小的为,则当, 故满足题意的t 不存在. 当,由(1)知,, 令,则有 当时,,所以在上单调递减,故, 故当时,恒有,此时,任意实数t 满足题意 综上,. 考点:导数的综合应用. 7.(15年福建文科)“对任意,”是“”的() A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】B |f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x -=-=-+>-=-2 (k 1),01x x x k -><<-解得1k >(0,1)x k ?对于2 |f()()|x g x x ->1k <11k+1 = 12 k k k <<,从而00x >0(0),x x ?任意,恒有1f()()x k x kx g x >>=11|f()()|f()()(k)2 k x g x x g x k x x --=->-= 21k 1k ,022 x x x --><<解得2 f()()x g x x ->0x 1-k 2 1x 2 1(0)|f()()|x x x g x x ?>,时,恒有=1k (0,),x 违 当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+2 M()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞,+212M ()12,11x x x x x x --'=--=++0x >M ()0x ¢ |f()()|x g x x -<=1k (0,)2 x π ∈sin cos k x x x <1k < 考点:导数的应用. 8.(15年福建文科)已知函数. (Ⅰ)求函数的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当时,; (Ⅲ)确定实数的所有可能取值,使得存在,当时,恒有. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ). 【解析】 试题分析:(Ⅰ)求导函数,解不等式并与定义域求交集,得 函数的单调递增区间;(Ⅱ)构造函数,.欲证明 ,只需证明的最大值小于0即可;(Ⅲ)由(II )知,当时,不存在满足题意;当时,对于, 有,则,从而不存在满足题意;当时,构造函数,,利用导数研究函数的形状, 只要存 2 (1)()ln 2 x f x x -=-()f x 1x >()1f x x <-k 01x >0(1,)x x ∈()()1f x k x > -? ? ?(),1-∞()21x x f x x -++'=' ()0f x >()f x ()()()F 1x f x x =--()1,x ∈+∞()1f x x <-()F x 1k =01x >1k >1x >()()11f x x k x <-<-()()1f x k x <-01x >1k <()()()G 1x f x k x =--()0,x ∈+∞()G x 在,当时 即可. 试题解析:(I ),. 由得解得. 故的单调递增区间是. (II )令,. 则有. 当时,, 所以在上单调递减, 故当时,,即当时,. (III )由(II )知,当时,不存在满足题意. 当时,对于,有,则,从而不存在满足题意. 当时,令,, 则有. 由得,. 解得,. 当时,,故在内单调递增. 从而当时,,即, 01x >0(1,)x x ∈()0G x >()211 1x x f x x x x -++'=-+=()0,x ∈+∞()0f x '>2010x x x >??-++> ? 0x <<()f x ? ?? ()()()F 1x f x x =--()0,x ∈+∞()2 1F x x x -'=()1,x ∈+∞()F 0x '<()F x [)1,+∞1x >()()F F 10x <=1x >()1f x x <-1k =01x >1k >1x >()()11f x x k x <-<-()()1f x k x <-01x >1k <()()()G 1x f x k x =--()0,x ∈+∞()()2111 G 1x k x x x k x x -+-+'=-+-=()G 0x '=()2 110x k x -+-+= 10x = <21x = >()21,x x ∈()G 0x '>()G x [)21,x ()21,x x ∈()()G G 10x >=()()1f x k x >- 综上,的取值范围是. 考点:导数的综合应用. 9.(15年新课标1理科)设函数=,其中a 1,若存在唯一的整数x 0,使得0,则的取值范围是( ) A.[-,1) B. [-,) C. [,) D. [,1) 【答案】D 10.(15年新课标2理科)设函数f’(x)是奇函数 的导函数,f (-1)=0,当 时,,则使得成立的x 的取值范围是 (A )(B ) (C )(D ) 【答案】A 【解析】 k (),1-∞()f x (21)x e x ax a --+0()f x a 记函数,则,因为当时,,故 当时,,所以在 单调递减;又因为函数 是奇函数,故函数 是偶函数,所以 在单调递减,且.当 时, ,则 ;当 时, ,则 ,综上所述, 使得 成立的的取值范围是 ,故选A . 11.(15年新课标2理科)设函数2()mx f x e x mx =+-。 (1)证明:()f x 在(,0)-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增; (2)若对于任意12,[1,1]x x ∈-,都有12|()()|1f x f x e -≤-,求m 的取值范围。 12.(15年新课标2文科)已知曲线在点处的切线与曲线 相切,则a =. 【答案】8 【解析】 试题分析:由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与 联立得,显然,所以由 . 考点:导数的几何意义. 13.(15年新课标2文科)已知. (I )讨论的单调性; (II )当有最大值,且最大值大于时,求a 的取值范围. 【答案】(I ),在是单调递增;,在单调递增,在单调递减;(II ). 【解析】 ln y x x =+()1,1()221y ax a x =+++1 1y x '=+ ln y x x =+()1,121y x =-()221y ax a x =+++220ax ax ++=0a ≠2808a a a ?=-=?=()()ln 1f x x a x =+-()f x ()f x 22a -0a ≤()f x ()0,+∞0a >()f x 10, a ?? ??? 1,a ?? +∞ ??? ()0,1 考点:导数的应用. 14.(15年陕西理科)对二次函数(a 为非零常数),四位同学分别给 出下列结论,其中有且仅有 一个结论是错误的,则错误的结论是() A .-1是的零点 B .1是的极值点 C .3是的极值 D . 点在曲线上 【答案】 A 2()f x ax bx c =++()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x = 考点:1、函数的零点; 2、利用导数研究函数的极值. 15.(15年陕西理科)设是等比数列,,,,的各项和,其中, , . (I )证明:函数在内有且仅有一个零点(记为),且 ; (II )设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为,比较 与的大小,并加以证明. 【答案】(I )证明见解析;(II )当时,,当时,,证明见解析. 【解析】 试题分析:(I )先利用零点定理可证在内至少存在一个零点,再利用函数的 单调性可证在内有且仅有一个零点,进而利用是的零点可证 ;(II )先设,再对的取值范围进行讨论来判断与的大小,进而可得和的大小. 试题解析:(I )则 ()n f x 1x 2x ???n x 0x >n ∈N 2n ≥()()F 2n n x f x =-1,12?? ??? n x 1 1122 n n n x x += +()n g x ()n f x ()n g x 1x =()()n n f x g x =1x ≠()()n n f x g x <()F n x 1,12?? ??? ()F n x 1,12?? ??? n x ()F n x 11122 n n n x x += +()()()n n h x f x g x =-x ()h x 0()n f x ()n g x 2 ()()212,n n n F x f x x x x =-=+++- (1)10,n F n =-> 所以在内至少存在一个零点. 又,故在内单调递增, 所以在内有且仅有一个零点. 因为是的零点,所以,即,故. (II)解法一:由题设, 设 当时, 当时, 若 , 若, 所以在上递增,在上递减, 所以,即. 综上所述,当时,;当时 1 21111111 2()1220,12222212 n n n n F +??- ????? ?? =+++-=-=- < ? ?????- ()n F x 1,12?? ??? n x 1 ()120n n F x x nx -'=++> 1,12?? ??? ()n F x 1,12?? ??? n x n x ()n F x ()=0n n F x 1 1201n n n x x +--=-111=+22n n n x x +()()11().2 n n n x g x ++=()()211()()()1,0.2 n n n n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++-> 1x =()()n n f x g x =1x ≠()1 1 1()12.2 n n n n x h x x nx --+'=++- 01 x <<()1111 1()22 n n n n n n h x x x nx x ----+'>++- ()()11 110.22 n n n n n n x x --++= -=1x >()1 1111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++- ()()11 110.22 n n n n n n x x --++=-=()h x (0,1)(1,)+∞()(1)0h x h <=()()n n f x g x <1x =()()n n f x g x =1x ≠()()n n f x g x < 解法二 由题设, 当时, 当时,用数学归纳法可以证明. 当时,所以成立. 假设时,不等式成立,即. 那么,当时, . 又 令 ,则 所以当,,在上递减; 当,,在上递增. 所以,从而 故.即,不等式也成立. 所以,对于一切的整数,都有. 解法三:由已知,记等差数列为,等比数列为,则, , 所以, 令 ()()211()1,(),0.2 n n n n n x f x x x x g x x ++=+++=> 1x =()()n n f x g x =1x ≠()()n n f x g x <2n =2221 ()()(1)0,2 f x g x x -=- -<22()()f x g x <(2)n k k =≥()()k k f x g x <+1n k =()()11 1k+1k 11()()()2 k k k k k k x f x f x x g x x x +++++=+<+=+()12112 k k x k x k +++++=()()11k+1211 11 ()2 2 k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-= ()1()11(x 0) k k k h x kx k x +=-++>()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-01x <<()0k h x '<()k h x (0,1)1x >()0k h x '>()k h x (1,)+∞()(1)0k k h x h >=()1k+1211 ()2 k k x k x k g x +++++>11()()k k f x g x ++<+1n k =2n ≥()()n n f x g x <{}k a {}k b k 1,2,, 1.n =+ 111a b ==11n n n a b x ++==()1 1+1(2n)n k x a k k n -=-?≤≤1(2),k k b x k n -=≤≤()() 111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n ---=-=+ ->≤≤ 当时,,所以. 当时, 而,所以,. 若,,, 当,,, 从而在上递减,在上递增.所以, 所以当又,,故 综上所述,当时,;当时 考点:1、零点定理;2、利用导数研究函数的单调性. 16.(15年陕西文科)函数在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】 考点:导数的几何意义. 17.(15年天津理科)已知函数()n ,n f x x x x R =-∈,其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性; (II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ≤; (III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ,,求证:21|-|21a x x n < +- 【答案】(I) 当n 为奇数时,()f x 在(,1)-∞-,(1,)+∞上单调递减,在(1,1)-内单调递增;当n 为偶数时,()f x 在(,1)-∞-上单调递增,()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析; (III) 1x ==k k a b ()()n n f x g x =1x ≠()()1 2211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n ----+-'= --=--2k n ≤≤10k ->11n k -+≥01x <<1 1n k x -+<()0k m x '<1x >1 1n k x -+>()0k m x '>()k m x (0,1)()k m x (1,)+∞()(1)0k k m x m >=01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,11a b =11n n a b ++=()()n n f x g x <1x =()()n n f x g x =1x ≠()()n n f x g x = - 2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一. 选择题: 1.(全国一1 )函数y =的定义域为( C ) A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥ D .{}|01x x ≤≤ 2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( A ) 3.(全国一6)若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( B ) A .21x e - B .2x e C .21x e + D .22x e + 4.(全国一7)设曲线11x y x += -在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .12- D .2- 5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞, 上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞,, B .(1)(01)-∞-, , C .(1)(1)-∞-+∞, , D .(10)(01)-,, 6.(全国二3)函数1()f x x x = -的图像关于( C ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 A B C D C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称 8.(全国二4)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,, ,,,则( C ) A .a > B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 11.(四川卷10)设()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) (A)()01f = (B)()00f = (C)()'01f = (D)()'00f = 12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( C ) (A)13 (B)2 (C)132 (D)213 13.(天津卷3)函数1y =04x ≤≤)的反函数是A (A )2(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2(1)y x =-(04x ≤≤) (C )21y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤) 14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时a 的取值集合为B (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3} 15.(安徽卷7)0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( B ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-, 2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项:1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科一、解答题(本大题共10小题,共0分)1.(2013年北京高考真题数学(文))已知函数2()sin cos f x x x x x (1)若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切,求a 与b 的值。(2)若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点,求b 的取值范围。2.(2012年北京高考真题数学(文))已知函数2()1(0)f x ax a ,3()g x x bx .(Ⅰ)若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求,a b 的值;(Ⅱ)当3a ,9b 时,若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.3.(2011年北京高考真题数学(文))已知函数()()x f x x k e . (Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.(2009年北京高考真题数学(文))姓名:__________班级:__________考号:__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------● 2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题 精心校对版 △注意事项: 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科 一 、解答题(本大题共22小题,共0分) 1.(2017北京东城区高三一模数学(文))设函数ax x x x f +-=232131)(,R a ∈. (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点,求a 的值,并讨论)(x f 的单调性; (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ,若)(x g 在区间)1,0(内有零点,求a 的取值范围; (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ,2x ,试讨论过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(,若能,求a 的值;若不能,说明理由. 2.(2017北京丰台区高三一模数学(文)) 已知函数1()e x x f x +=,A 1()x m ,,B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. (Ⅰ)求()f x 的单调区间,并写出实数m 的取值范围; (Ⅱ)证明:120x x +>. 3.(2017北京丰台区高三二模数学(文)) 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程; 姓名:__________班级:__________考号:__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------● 高考数学真题汇编——函数与导数 1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.【2018年理天津卷】已知,,,则a,b,c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合对数函数的性质可知:,, , 据此可得:.本题选择D选项. 点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确. 3.【2018年理新课标I卷】已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C. 点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 4.【2018年理新课标I卷】设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果. 5.【2018年全国卷Ⅲ理】设,,则 2012年高考真题理科数学解析汇编:导数与积分 一、选择题 1 .(2012年高考(新课标理))已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 .(2012年高考(浙江理))设a >0,b >0. ( ) A .若2223a b a b +=+,则a >b B .若2223a b a b +=+,则a b D .若2223a b a b -=-,则a 5 .(2012年高考(山东理))设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 6 .(2012年高考(湖北理))已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 ( ) A . 2π 5 B . 43 C . 32 D . π2 7 .(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ( ) A . 14 B . 15 C . 16 D . 17 8 .(2012年高考(大纲理))已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = ( ) A .2-或2 B .9-或3 C .1-或1 D .3-或1 二、填空题 9 .(2012年高考(上海理))已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10.(2012年高考(山东理))设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11.(2012年高考(江西理))计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12.(2012年高考(广东理))曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13.(2012年高考(天津理))已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一. 选择题: 1.(全国一1 )函数y = C ) A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥ D .{}|01x x ≤≤ 2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( A ) 3.(全国一6)若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( B ) A .21x e - B .2x e C .21x e + D .22x e + 4.(全国一7)设曲线11x y x += -在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .12- D .2- 5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞, 上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞ ,, B .(1)(01)-∞- , , C .(1)(1)-∞-+∞ ,, D .(10)(01)- , , 6.(全国二3)函数1()f x x x = -的图像关于( C ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 A . B . C . D . C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称 8.(全国二4)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( C ) A .a > B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 11.(四川卷10)设()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) (A)()01f = (B)()00f = (C)()'01f = (D)()'00f = 12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( C ) (A)13 (B)2 (C)132 (D)213 13.(天津卷3)函数1y =04x ≤≤)的反函数是A (A )2(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2(1)y x =-(04x ≤≤) (C )21y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤) 14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时 a 的取值集合为B (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3} 15.(安徽卷7)0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( B ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-, 切线问题 1 已知函数31()4 f x x ax =++,()ln g x x =-.当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x =的切线; 2 设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+,曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. 3已知函数ln ()1a x b f x x x = ++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.求a 、b 的值; 4 设函数()()23x x ax f x a R e +=∈若()f x 在0x =处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; 5已知函数f(x)=e x -ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f(x)在点A 处的切线斜率为-1. 求a 的值及函数f(x)的极值; 6设函数,曲线在点处的切线方程为, 7已知函数.求曲线在点处的切线方程; 8设函数f (x )=x 2+ax +b ,g (x )=e x (cx +d ).若曲线y =f (x )和曲线y =g (x )都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线y =4x +2.求a ,b ,c ,d 的值; ()a x f x xe bx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f 单调性问题 1已知函数)(x f 满足212 1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-.求)(x f 的解析式及单调区间; 2 讨论函数2()2 x x f x e x -=+ 的单调性,并证明当x >0时,(2)20x x e x -++>; 3已知函数()2x x f x e e x -=--. 讨论()f x 的单调性; 4 设1a >,函数a e x x f x -+=)1()(2.求)(x f 的单调区间 ; 5已知函数f (x )=a e 2x -b e -2x -cx (a ,b ,c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数,且曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的 切线的斜率为4-c . (1)确定a ,b 的值; (2)若c =3,判断f (x )的单调性; 6设,已知定义在R 上的函数在区间内有一个零点,为的导函数.求的单调区间; 7已知函数()ln()x f x e x m =-+. 设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; a ∈Z 432 ()2336f x x x x x a =+--+(1,2)0x ()g x ()f x ()g x 2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围. 5.设函数f(x)=(1﹣x2)e x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x (x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数. (Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 8.已知函数f(x)=e x cosx﹣x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值. 9.设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数. (Ⅰ)求g(x)的单调区间; (Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0; (Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且 ∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥. 10.已知函数f(x)=x3﹣ax2,a∈R, (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,g(x) =e x f(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0; (ii)若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)=e x(e x﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围. 导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤: ① 确定定义域(易错点) ②求导函数 f ' (x) ③对 f ' ( x) 进行整理,能十字交叉的十字交叉分解,若含分式项,则进行通分整理 . ④ f ' ( x) 中 x 的最高次系数是否为 0,为 0 时求出单调区间 . 例 1: f ( x) a x 3 a 1 x 2 x ,则 f ' ( x) (ax 1)( x 1) 要首先讨论 a 0 情况 3 2 ⑤ f ' ( ) 最高次系数不为 0,讨论参数取某范围的值时, 若 f ' (x) 0 ,则 f ( x) 在定义域内单调递增; x 若 f ' (x) 0 ,则 f ( x) 在定义域内单调递减 . 例 2: f (x) a x 2 ln x ,则 f ' ( x) = ax 2 1 , ( x 0) ,显然 a 0时 f ' ( x) 0 ,此时 f (x) 的 2 x 单调区间为 (0, ) . ⑥ f ' ( ) 最高次系数不为 0,且参数取某范围的值时,不会出现 f ' (x) 0 或者 f ' ( x) 0 的情况 x 求出 f ' ( x) =0 的根,(一般为两个) x 1 , x 2 ,判断两个根是否都在定义域内 . 如果只有一根在定义域 内,那么单调区间只有两段 . 若两根都在定义域内且一根为常数,一根含参数 . 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间, 即 x 1 x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 . 例 3: 若 f ( x) a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ,则 f ' ( x) ( ax 1)( x 1) , (x 0) 解方程 f ' ( x) 2 1 x 0 得 x 1 1, x 2 a a 0时,只有 x 1 1 在定义域内 . a 0 时 , 比较两根要分三种情况: a 1,0 a 1, a 1 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间,讨论 f ' ( x) 在每个子区间内的正负,求得 f (x) 的单调区间。 导数大题 1 .已知函数()b ax x x f ++=2 3的图象在点P (1,0)处的切线与直线03=+y x 平行? (1)求常数a 、b 的值; (2)求函数()x f 在区间[]t ,0上的最小值和最大值(0>t )? 2 .已知函数R a ax x x f ∈+-=,)( 3 (1)若)(x f 在),1[+∞上为单调减函数,求实数a 取值范围; (2)若,12=a 求)(x f 在[-3,0]上的最大值和最小值? 3 .设函数x e x x f 22 1)(=. (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若当]2,2[-∈x 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围. 4 .已知函数.),2,1()(3)(3 l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-= (1)求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程; (2)求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =? ()I 求()f x 的单调区间; ()II 若()f x 在1x =-处取得极大值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围? 7 .已知函数2 ()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y . (Ⅰ)求b a ,的值; (Ⅱ)若方程()f x m +=m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数); 8 .已知函数21 2 ()()ln f x a x x =-+.(R a ∈) (1)当a =1时,求()f x 在区间[1,e ]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方,求a 的取值范围。 10.已知函数2 ()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+,且对于任意实数x ,恒有(5)(5)F x F x -=-? ⑴求函数)(x f 的解析式; ⑵已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调,求实数a 的取值范围; ⑶讨论函数21()ln(1)()2 h x x f x k =+- -零点的个数? 1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点,则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点:函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值.在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点,需要通过这点两边的导数的正负性来判断,在 的解,附近,如 果时,,时,则是极小值点,如果时,,时,,则是极大值点, 2. 【 2015 高考福建,文A.充分而不必要条 件12】“对任意 B.必要而不充分条件 ,”是“ C .充分必要条件 D ”的() .既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时,,构造函数,则 .故在单调递增,故,则;当时,不等式等价于,构造函数 ,则,故在递增,故 ”是“,则.综上 ”的必要不充分条件,选 所述,“ 对任 意B. , 【考点定位】导数的应用. 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用, 根 据已知条件构造函数,进而研究其图象与性质,是函数思想的体现,属于难题. 3. (2014 课标全国Ⅰ,文 12) 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 3 2 + 1,若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x x x 0>0,则 a 的取值范围是 ( ) . A . (2 ,+∞ ) B . (1 ,+∞) C . ( -∞,- 2) D .( -∞,- 1) 答案: C 解析:当 a = 0 时, f ( x ) =- 3x 2+ 1 存在两个零点,不合题意; 当 a >0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 ′( ) = 0,得 x 1 = 0, , fx 所以 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一的零点,需 ,但这时零点 x 0 一定小于 0,不合题意; 当 a <0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 f ′(x ) = 0,得 x 1=0, ,这时 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一零点,应满足 ,解得 a <- 2( a > 2 舍去 ) ,且这时 零点 x 0 一定大于 0,满足题意,故 a 的取值范围是 ( -∞,- 2) . 名师点睛:本题考查导数法求函数的单调性与极值,函数的零点,考查分析转化能力,分类讨论思想, 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时,不等式 恒成立,则实数 a 的取 值范围是() 导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三:变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<?>-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围. 2018年全国高考试题分类汇编-导数部分(含解析) 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x 13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-< >?图象上点P 1,P 2处的 切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-< >?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= . 2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)2(a﹣2)﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)2﹣﹣,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)﹣1﹣. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)321(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.5.设函数f(x)=(1﹣x2). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)2+2,g(x)(﹣2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)(x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. ) 10.已知函数f(x)3﹣2,a∈R, (1)当2时,求曲线(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)(x)+(x﹣a)﹣,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,≤1.已知函数f(x)3﹣6x2﹣3a(a﹣4),g(x)(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数(x)和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在0处的导数等于0; ()若关于x的不等式g(x)≤在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)(﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围. 导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π,-1)处的切线方程为 A .10x y --π-= B .2210x y --π-= C .2210x y +-π+= D .10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π,即2210x y +-π+=. 故选C . 2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 3.【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ,函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x ?=?-++≥??.若函数()y f x ax b =--恰有3个零点,则 A .a <–1,b <0 B .a <–1,b >0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0 【答案】C 【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点; 当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2﹣b , 高考文科数学专题复习导数训练题(文) 一、考点回顾和基础知识 1.导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 2.导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注:①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 3.求导数的四则运算法则: ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=(c 为常数)2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题
2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题
高考数学真题汇编——函数与导数
高考真题理科数学导数
2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
高考真题导数第一问分类汇总
人教版2017年高考数学真题导数专题
(完整word版)北京高考导数大题分类.doc
高考导数大题30道(2020年整理).doc
(完整版)专题05导数与函数的极值、最值—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编.doc
高考数学导数题型归纳
近五年高考试题分类汇编-导数部分(附答案解析)
高考数学真题导数专题及答案
2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编
高考文科数学专题复习导数训练题(汇编)