2020北京各区高三二模数学分类汇编—立体几何

2020年北京市海淀区高三二模数学考试逐题解析2020.6 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若全集,{|1},{|1}U A x x B x x ==<=>−R ,则 （A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）UB A ⊆（D ）UA B ⊆【答案】D【解析】本题考查集合的运算. 由题意:{|1},{|1}UA x xB x x =≥=>−,不难看出UA B ⊆.故选D.2. 下列函数中,值域为[0,)+∞且为偶函数的是 （A ）2y x = （B ）|1|y x =− （C ）cos y x =（D ）ln y x =【答案】A【解析】本题考查函数值域与奇偶性.A 选项,值域为[0,)+∞,满足()()f x f x −=,是偶函数;B 选项,值域为[0,)+∞,不满足()()f x f x −=,不是偶函数;C 选项,值域为[1,1]−,满足()()f x f x −=,是偶函数;D 选项,值域为R ,不满足()()f x f x −=,不是偶函数. 故选A.3. 若抛物线212y x =的焦点为F ,点P 在此抛物线上且横坐标为3,则||PF 等于 （A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）10【答案】B【解析】本题考查抛物线. 因为抛物线的方程为212y x =,所以212p =,准线方程为32px =−=−.根据抛物线的性质:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离, 所以||3362P pPF x =+=+=. 故选B.4. 已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面,αβ,下列四个命题中正确的为 （A ）若//,//m n αα,则//m n （B ）若//,l m m α⊂,则//l α （C ）若//,//l l αβ,则//αβ（D ）若//,l l αβ⊥,则αβ⊥【答案】D【解析】本题考查空间位置关系.A 选项,若//,//m n αα,则m 与n 可相交、平行或异面,故A 选项错误;B 选项,若//,l m m α⊂,则//l α或l α⊂,故B 选项错误;C 选项,若//,//l l αβ,则α与β相交或平行,故C 选项错误;D 选项,若//,l l αβ⊥,则αβ⊥,故D 选项正确. 故选D.5. 在ABC 中,若17,8,cos 7a b B ===−,则A ∠的大小为（A ）π6（B ）π4（C ）π3（D ）π2【答案】C【解析】本题考查解三角形. 方法一:因为1cos 07B =−<,所以π(,π)2B ∈,所以sin 0B >, 即3sin 7B =.由正弦定理sin sin a b A B =,得7sin 437A =,得到3sin 2A =. 又因为π(0,)2A ∈,所以π3A =.故选C. 方法二:根据余弦定理222249641cos 2147a cbc B ac c +−+−===−,解得123,5c c ==−（舍）222649491cos 2482b c a A bc +−+−===.所以π3A =. 故选C.6. 将函数π()sin(2)6f x x =−的图象向左平移π3个单位长度,得到函数()g x 的图象,则()g x =（A ）πsin(2)6x +（B ）2πsin(2)3x +（C ）cos2x （D ）cos2x −【答案】C【解析】本题考查三角函数图象变换.由题可知ππππ()()sin[2()]sin(2)cos23362g x f x x x x =+=+−=+=故选C.7. 某三棱锥的三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该三棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2（D ）4【答案】A【解析】本题考查三视图.三棱锥的直观图如图所示:由图可知,该三棱锥体积为11122123323ABCV Sh =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=, 故选A.8. 对于非零向量,a b ,“2()2+⋅=a b a a ”是“=a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题考查平面向量数量积.充分条件:由2222(22⋅=⇒+⋅=⇒⋅=a +b)a a a a b a a b a2||||cos ||||cos ||⇒⋅⋅〈⋅〉=⇒⋅〈⋅〉=a b a b a b a b a所以充分条件不成立;必要条件:2()()22=⇒⋅=⋅⇒⋅=a b a +b a a +a a a a a 所以必要条件成立; 所以是必要不充分条件. 故选B.9. 如图,正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,,点O 为底面ABCD 的中心,点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥,则11D C P 面积的最大值为（A ）255（B ）455（C ）5（D ）25【答案】C【解析】本题考查立体几何空间向量.以D 为原点,分别以1,,DA DC DD 为x 轴,y 轴,z 轴,如图建立空间直角坐标系,1(0,0,2)D ,1(0,2,2)C ,(1,1,0)O ,点O 为底面ABCD 中心,设00(,2,)P x z ,所以1(1,1,2)D O =−,00(1,1,)OP x z =−, 因为1D O OP ⊥,所以1000011220D O OP x z x z ⋅=−+−=−=. 所以002x z =.令0,z a =则02(01)x a a =≤≤ 所以(2,2,)P a a , 所以1(2,0,2)C P a a =−,2221216||(2)0(2)5()55C P a a a =++−=−+. 因为01a ≤≤,所以当1a =时,1||C P 取得最大值. 此时1||5C P =1111111||||2522D C PS D C C P =⨯⨯=⨯⨯, 故选C.10. 为了预防新型冠状病毒的传染,人员之间需要保持一米以上的安全距离.某公司会议室共有四行四列座椅,并且相邻两个座椅之间的距离超过一米,为了保证更加安全,公司规定在此会议室开会时,每一行、每一列均不能有连续三人就座.例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）.根据该公司要求,该会议室最多可容纳的就座人数为 （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12【答案】C【解析】本题考查逻辑推理.如图编号,行为,,,a b c d ,列为1,2,3,4.1 2 3 4 a√ √ √ b√ √ √ c√ √ d√√√尽可能多坐人时,每行最多3人. 坐法1,2,4或1,3,4.①若a 行坐124,,a a a 、且b 坐124,,b b b , 那么c 行只能坐3c ,d 行最多坐124,,d d d , 共计10人.②若a 行坐124,,a a a 、且b 坐134,,b b b , 那么c 行能坐23,c c ,d 行可坐124,,d d d , 共计11人.其它座位分布情况同理,故最多11人. 故选C.第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

2020北京各区高三二模数学分类汇编 —集合与复数、平面向量与逻辑用语集合与复数1.（2020▪海淀二模）若全集U =R ，{}|1A x x =<，{}|1B x x =>-，则（A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）U B A ⊆ð（D ）U A B ⊆ð2．（2020▪西城高三二模）设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B I =（A ）{}0,2（B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--3.（2020▪东城高三二模）已知全集{}0,1,2,3,4,5=U ，集合{}0,1,2=A ，{}5=B ，那么()=U U A B ð(A){}0,1,2(B){}3,4,5(C){}1,4,5(D){}0,1,2,54.（2020▪西城高三（下）6月模拟）设全集U R =,集合{}{}2,1||A x x B x x =<=<,则集合()U A B ⋃=ð(A)(),2-∞ (B)[)2,+∞ (C)()1,2(D)()[),12,-∞⋃+∞5.（2020▪昌平高三二模）已知集合，则集合（A ）（B ）（C ）（D ）6．（2020▪丰台高三二模）集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（A ）4（B ）6（C ）7（D ）87.（2020▪房山高三二模）已知全集U =R ，集合2{|0}A x x x =->，那么集合UA =ð（A ）(,0][1,)-∞+∞U （B ）(,0)(1,)-∞+∞U （C ）(0,1)（D ）[0,1] 8．（2020▪密云高三二模）已知集合，，则在下列集合中符合条件的集合可能是A. {0,1}B.C.D.9．（2020▪西城高三二模）若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限10.（2020▪朝阳高三二模）在复平面内，复数()1i i +对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限11. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设复数1z i =+,则2z=(A)2i -(B)2i(C)22i -(D)22i + 12.（2020▪昌平高三二模）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数（A ） （B ）（C ）（D ）13.（2020▪海淀二模）若复数(2i)(i)a -+为纯虚数，则实数a =_______. 14.（2020▪东城高三二模）复数1iiz -=的共轭复数z 为_________. 15. （2020▪丰台高三二模）已知复数2i z =-，则z =_________.．16.（2020▪房山高三二模）若(i)(1i)13i m ++=+（m ∈R ），则m = ． 17.（2020▪密云高三二模） 已知集合．给出如下四个结论：①，且；②如果，那么；③如果，那么对于，则有；④如果，，那么．其中，正确结论的序号是__________． 平面向量与逻辑用语18.（2020▪东城高三二模）平面直角坐标系中，已知点,,A B C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2)，且四边形ABCD 为平行四边形，那么D 点的坐标为(A) (3,3) (B) (5,1)- (C)(3,1)- (D)(3,3)- 19.（2020▪朝阳高三二模）在平行四边形ABCD 中，2,1,3A AB AD π∠===，若,M N 分别是边,BC CD 上的点，且满足,BM CN BC CD=u u u u r u u u r u u u r u u u r 则AM AN u u u u r u u u rg 的最大值为（A ）2（B ）4（C ）5（D ）620. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设向量,a b 满足 11,2a b a b ===g ,则 ()a xb x R +∈的最小值为(C) 121.（2020▪昌平高三二模）已知向量，.若，则实数的值为（A ） （B ） （C ） （D ）22（2020▪东城高三二模）已知向量(0,5)=a ，(4,3)=-b ，(2,1)=--c ，那么下列结论正确的是(A)-a b 与c 为共线向量 (B)-a b 与c 垂直 (C)-a b 与a 的夹角为钝角 (D)-a b 与b 的夹角为锐角23．（2020▪西城高三二模）若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2->+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件24.（2020▪海淀二模）对于非零向量,a b ，“2()2+⋅=a b a a ”是“ = a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件25（2020▪东城高三二模）已知函数2()ln f x x ax =+，那么“0a >”是“()f x 在(0,)+∞上为增函数”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件26.（2020▪朝阳高三二模）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <是“{}n b 为递减数列”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件27. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设{}n a 为等比数列,则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件28.（2020▪昌平高三二模）已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 29.（2020▪密云高三二模）已知平面向量，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 30.（2020▪房山高三二模）“sin sin αβ≠”是“αβ≠”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件31.（2020▪昌平高三二模）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画╳.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m 的值为（A ）（B ）（C ） （D ）32．（2020▪西城高三二模）设平面向量(1,2)=-a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．33.（2020▪海淀二模）已知点(2,0)A ，(1,2)B ，(2,2)C ，||||AP AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，O 为坐标原点，则||AP =u u u r_______，OP u u u r 与OA u u u r夹角的取值范围是_______.34.（2020▪朝阳高三二模）已知平面向量(,3)(1,6),a m b ==，若,a b P 则m =35.（2020▪房山高三二模）已知正方形ABCD ，若3BP PD =u u u r u u u r ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 ．36.（2020▪西城高三二模）甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，____．2020北京各区高三二模数学分类汇编—集合与复数、平面向量与逻辑用语参考答案集合与复数1.D2.C3.B4.D5.B6.D7.D8.A9.A 10.B 11.A 12.D;13. 14. 15. 16.2 17. ①②④;平面向量与逻辑用语18.A 19.C 20.B 21.A 22.B 23.A 24.B 25.A 26.C 27.C 28.A 29.C 30.A 31.B; 32. 33.1 , 34. 35. 36. 乙，丁。

市西城区2020届高三数学二模试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1. 设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（UA）∪B＝（）A. （﹣∞，2）B. [2，+∞）C. （1，2）D. （﹣∞，1）∪[2，+∞）【答案】D【解析】【分析】先求出U A，再求（UA）∪B得解【详解】U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴U A＝{x|x≥2}，（UA）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 设复数z＝1+i，则z2＝（）A. ﹣2iB. 2iC. 2﹣2iD. 2+2i【答案】A【解析】【分析】由z求得z，再利用复数的乘方运算求解即可.【详解】∵z＝1+i，∴2z＝（1﹣i）2212i i=+-＝﹣2i .故选：A.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.3. 焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A. x 2＝4yB. y 2＝4xC. x 2＝8yD. y 2＝8x【答案】D【解析】【分析】根据题意，设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案.【详解】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，属于基础题4. 在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，π6A =，则cos B =（）A. 34B. 【答案】C【解析】【分析】由题意可用正弦定理先求出sin B ，再由三角函数中的平方关系及B 角的X 围，求出cos B ，进而得到答案. 【详解】在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，6A π=，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得13sin 32sin 24b A B a ⨯⋅===， ∴由B为锐角，可得cos B ==． 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.5. 函数f (x )＝x 1x-是（） A. 奇函数，且值域为（0，+∞）B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为（0，+∞）D. 偶函数，且值域为R【答案】B【解析】【分析】由奇偶性定义，求出函数f (x )为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.【详解】根据题意，函数f (x )＝x 1x-，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）＝（﹣x ）﹣（1x -）＝﹣（x 1x-）＝﹣f (x )，即函数f (x )为奇函数，其导数f ′(x )＝121x +，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0； 其图象大致如图：其值域为R ；故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题6. 圆x 2+y 2+4x ﹣2y +1＝0截x 轴所得弦的长度等于（）35【答案】B 【解析】【分析】首先令y ＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长.【详解】令y ＝0，可得x 2+4x +1＝0，所以124x x +=-，121=x x ，所以2121212|()423AB x x x x x x =-=+-故选：B【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单.7. 设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，则（）A. a b b c ->-B. 111a b c<< C. 2a b c +> D. 以上三个选项都不对【答案】C【解析】【分析】直接利用不等式的性质，结合特例，利用排除法，即可求解.【详解】设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，所以对于选项A ：当3,2,1a b c ===时，1a b b c -=-=，故错误.对于选项B ：当0,1,2a b c 时，1a无意义，故错误. 对于选项C ：由于,a c b c >>，所以2a b c +>，故正确.对于选项D ：由于C 正确，所以选项D 错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中不等式的基本性质，以及合理利用特例，结合排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8. 设向量,a b →→满足1a b →→==，12a b →→⋅=，则()a x b x R →→+∈的最小值为（）A.B. 【答案】B【解析】【分析】 两边平方，得出2a xb →→+关于x 的二次函数，从而得出最小值.【详解】解：222222132124a x b a x a b x b x x x →→→→→→⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当12x =-时，a x b →→+=故选：B.【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.9. 设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题. ABCD 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直【答案】B【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，B C两点重合，所以AB与CD相交，且，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在（1+5x）6的展开式中，含x的项系数为_____.【答案】30.【解析】【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求含x 的项系数，只要使得展开式中x 的指数是1，求得r ，代入数值即可求出含x 项的系数.【详解】展开式的通项公式为： ()6166155rr r r r r r T C x C x -+=⋅⋅=⋅⋅， 令x 的指数为1，即r ＝1；∴含x 的项系数为：16530C ＝； 故答案为：30.【点睛】本题考查二项式中具体项的系数求解问题，属于基础题12. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2＝16，a 5＝1，则a 1＝_____；使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝_____.【答案】 (1). 9 (2). 5.【解析】【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2＝16，a 5＝1，可得2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1，d ，可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出.【详解】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 2＝16，a 5＝1，∴2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1＝9，d ＝﹣2.∴a n ＝9﹣2（n ﹣1）＝11﹣2n .令a n ＝11﹣2n ≥0，解得n 112≤=512+.∴使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝5.故答案为：9；5.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.【答案】4+45.【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积.【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为，该几何体为底面为边长为2，高为2正四棱锥体.如图所示：所以212242212S =⨯+⨯⨯+=5故答案为：【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力和空间感，属于基础题.14. 能说明“若()20m n +≠，则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【答案】4,2m n ==（答案不唯一）.【解析】【分析】由题意可得满足20m n =+>或者0,20m n <+<即可，取满足上述条件的,m n 的值即可（答案不唯一）. 【详解】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.15. 已知函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，且当x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3.有以下三个结论：①f （-1）12=-； ②当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数f (x )有无穷多个零点，且存在一个零点b ∈Z .其中，所有正确结论的序号是_____.【答案】①②.【分析】由题意可得函数f (x )的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.【详解】如图：对①，因为函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3，所以f （-1）12=f （-1+2） 12=f （1）12=•（21﹣3）12=-，所以①正确； 对②，f (x )的大致图象如图所示可得当a ∈（14，12]时， 方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确对③，因为x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3＝0，x ＝log 23，又因为f （x +2）＝2f (x )，所以函数f (x )由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确；故答案为：①②.【点睛】本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2.（1）求证：BC1∥平面AB1D；（2）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（26【解析】【分析】（1）连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，可得BC1∥DE，再由直线与平面平行的判定得到BC1∥平面AB1D；（2）由CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，得CA，CB，CC1两两互相垂直，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1D的一个法向量与AB的坐标，1由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.【详解】（1）证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，由ABC﹣A1B1C1为三棱柱，得A1E＝BE.又∵D是A1C1的中点，∴BC1∥DE.∵BC 1⊄平面AB 1D ，DE ⊂平面AB 1D ，∴BC 1∥平面AB 1D ；（2）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴()1222AB =-，，，()1120B D =-，，，()020BC =-，，. 设平面AB 1D 的法向量为()n x y z ，，=，由11222020n AB x y z n B D x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y ＝1，得()211n =，，； 设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ.则sin θ＝|cos n BC ＜，＞|66n BCn BC ⋅==⋅. ∴直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值为66.【点睛】本题考查线面平行的证明和求线面角的大小，考查了通过线线平行证明线面平行的方法，同时考查了空间直角坐标系，利用向量求线面角，是立体几何中较为常规的一类题型，有一定的计算量，属于中档题.17. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （1）给出函数()f x 的解析式，并说明理由；（2）求函数()f x 的单调递增区间【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，理由见解析；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】【分析】（1）根据题意，先判断()f x 不能满足条件③，再由条件①求出2ω=，由条件②，得2A =，由条件④求出3πϕ=，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果.【详解】（1）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-.这与0A >，02πϕ<<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④. 由条件①，得2||ππω=， 又因为0>ω，所以2ω=.由条件②，得2A =. 由条件④，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.18. 随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t U W=，当t ≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率.（1）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（2）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）将（1）中概率值记为x %.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”？说明理由.【答案】（1）23；（2）分布列见解析；期望为83；（3）不能；答案见解析. 【解析】【分析】（1）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（3）根据样本是否具有普遍性进行判断.【详解】解：（1）t A 9196=＞0.9，t B 8491=＞0.9，t C 6985=＜0.9，t D 5474=＜0.9，t E 6469=＞0.9，t F 6365=＞0.9. ∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为4263=. （2）X 的可能取值有2，3，4，且P （X ＝2）22424625C C C ==，P （X ＝3）314246815C C C ==，P （X ＝4）4446115C C ==， ∴X 的分布列为：E （X ）＝25⨯+315⨯+4153⨯=. （3）不能认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”.理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.【点睛】本题考查随机事件的概率，超几何分布，考查数学建模能力与数学应用能力，是中档题.19. 设函数()ln f x ax x =，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）证明:()2x x f x e e->. 【答案】（1）1a =；（2）极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（3）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（3）由于()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e -+>，结合（2）可得()1ln f x x x e=≥-，故只要证明10x x e e-≥即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证. 【详解】解：（1）()ln f x a x a '+=，则()()10,1f f a '==，故()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()1y a x =-，把点()3,2代入切线方程可得，1a =，（2）由（1）可得()ln 1,0f x x x '=+>， 易得，当10x e<<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x e >时,()0f x '>，函数单调递增，故当1=x e 时，函数取得极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值， 证明：（3）()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e-+>， 由（2）可得()1ln f x x x e =≥-（当且仅当1=x e时等号成立）①， 所以21ln x x x x x x e e e e-+≥-， 故只要证明10x x e e-≥即可，（需验证等号不同时成立） 设()1x x g x e e =-，0x >则()1x x g x e-'=， 当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增， 所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当0x >时，()2x x f x e e->. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的方程，可求得b 的值，再由椭圆E 的离心率可求得a 、c 的值，由此可得出椭圆E 的方程；（2）设点()()0000,0D x y x y ≠，可得出220044x y -=，求出直线CD 的方程，可求得点P 的坐标，由4OP OQ =⋅，可求得点Q 的横坐标，代入直线AD 的方程可求得点Q 的坐标，验证BQ BC k k =，即可证得结论成立.【详解】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的坐标可得1b =， 由题意可得223210c e a a c c ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 因此，椭圆E 的标准方程为2214x y +=； （2）椭圆E 的左、右顶点分别为()2,0A -、()2,0B ，设点()()0000,0D x y x y ≠，则220014x y +=，则220044x y -=，直线CD 斜率为001CD y k x -=，则直线CD 的方程为0011y y x x -=+， 令0y =，可得001x x y =-，即点00,01x P y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 设点()11,Q x y ，由104OP OQ x x ⋅==，可得()01041y x x -=， 直线AD 的斜率为002AD y k x =+，则直线AD 的方程为()0022y y x x =++，将()0041y x x -=代入直线AD 的方程得()()000002222y x y y x x -+=+， 所以点Q 的坐标为()()()000000041222,2y y x y x x x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 直线BC 的斜率为101022BC k -==-- 直线BQ 的斜率为()()()2000000020000001012222222222424BQ y x y x y y y y k x x y x x x y y -+-+===-+-----20000200002214242BC x y y y k y x y y -+==-=--， 又BQ 、BC 有公共点B ，因此，C 、B 、Q 三点共线.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三点共线的证明，考查计算能力，属于难题.21. 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j ≥b i +1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）.表1表2（1）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i ﹣j ？等于i +2﹣j 呢？（结论不需要证明）（2）如果b 40，20＝1，且对于任意的i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20，都有b i ，j ﹣b i +1，j ≥1成立，对于任意的m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，19，都有b m ，n ﹣b m ，n +1≥2成立，证明：b 1，1≥78；（3）若a i ，1+a i ，2+…+a i ，20≤19（i ＝1，2，…，40），求最小的正整数k ，使得任给i ≥k ，都有b i ，1+b i ，2+…+b i ，20≤19成立.【答案】（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，；（2）证明见解析；（3）k ＝39. 【解析】 【分析】（1）由1000i j --≥，140i ≤≤，120j ≤≤可知存在表1，使得,100i j b i j =--；若,2i j j i b -+=，则1,12i j j i b +-++=，故,1,10i j i j b b +-=-<，故不存在；（2）对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-成立，进而得()()()1,202,202,203,2039,2040,2039bb b b b b -+-++-≥，故1,2040,203940b b ≥+=，同理由对于任意的1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，得1,11,203878b b ≥+≥.（3）取特殊表1，得39k ≥，再证明39k ≤即可得39k =.【详解】解（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，.证明：（2）因为对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-.所以1,202,20220320392040201,1,,1b b b b b b -≥--≥≥，，，，.所以()()()1202202203203920402039b b b b b b +++≥---，，，，，，，即12020403940b b ≥+=，，. 由于1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，.所以1,11,21,21,31,191,202,2,,2b b b b b b ≥--≥-≥所以()()()1112121311912038b b b b b b --++≥-+，，，，，，，即1178b ≥，.解：（3）当表1如下图时，其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1.因此每行的和均为19，符合题意.重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k ≥39.以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含12.20,,,r r r a a a ，，），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、 则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数. 这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾.所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行），的全部实数. 其次，在表2中，根据重排规则得：当39i ≥时，,39,,i j j i j b b a ≤≤，（1,2,,20j =）.所以1220122019i i i r r r b b b a a a ++⋯+≤++⋯+≤，，，，，，， 所以39k ≤. 综上所述39k =.【点睛】本题主要考查不等式，排列组合的综合应用，考查数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是难题.。

北 京 西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试数 学2020.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2（B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2- （D ）{}2,1,0,1,2--02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限03．下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =-（B ）y x x =（C ）1y x -=（D ）y =04．抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x = （B ）1x =-（C ）1y = （D ）1y =-05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）3506．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）6（B ）4（C ）3（D ）208．若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞09．若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2->+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量(1,2)=-a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．12．若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖____，____．15．在四棱锥P -，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD①截面的面积等于②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD -四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE BF ∥，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面BCF ∥平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F --的余弦值．17．（本小题满分14分）从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分14分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．20．（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+）． （Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．西城区高三诊 断 性测试数学参考答案2020.5一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 2．A 3．B 4．D 5. A 6. B7. D8. A9. A10. D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．12．2y x =± 13．π1 14．乙，丁15．②③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE . ………………3分 同理，得//BC 平面ADE . 又因为BCBF B =，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE . ………………6分 （Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ………………7分则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ， 所以(2,0,2)AE =-，(0,2,1)AF =. ………8分 设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ， 由0AE ⋅=n ，0AF ⋅=n ，得220,20,x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1y =，得(2,1,2)=--n .………………11分 平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F --的平面角为θ，则1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=-，即钝二面角D AE F --的余弦值为13-. ………………14分17．（本小题满分14分） 解：选择 ①：(Ⅰ) 当1n =时，由111S a ==，得0p =. ……………… 2分 当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n -=-， ……………… 3分所以121n n n a S S n -=-=-（2n ≥）. ……………… 5分 经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =-∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =，……………… 8分 即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+，……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 有最小值5．……………… 14分选择 ②:(Ⅰ)因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=．………………2分所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列． ………………4分所以1(1)32()n a a n d n n =+-=-∈N *. ………………6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21n m a a a =，……………… 8分即2(32)1(32)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22223423()33m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 取到最小值6．………………14分 选择 ③：(Ⅰ) 由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-. 所以数列{}n a 是等差数列．……………… 2分又因为11a =，61511a a d =+=， 所以2d =． ……………… 4分所以1(1)21()n a a n d n n =+-=-∈N *. ………………6分(Ⅱ) 因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =，………………8分 即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+，……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 有最小值5．……………… 14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， ……………… 1分由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=， 解得 2.4a =.……………… 2分由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=，………… 3分 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2.因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=.……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X ==⨯=，(25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=， (40)0.30.30.09P X ==⨯=.……………… 9分所以X 的分布列为：……………… 10分故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了.…… 14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =， …………… 3分 从而b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．… 5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-，(3,3)FQ =，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠=．…………6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠． ……………… 7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=． ……………… 8分 由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．………… 9分直线MA 的方程为11(2)2yy x x =--． ……………… 10分令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -． ……………… 11分同理可得222(4,)2y Q x -． ……………… 12分 所以112(3,)2y FP x =-，222(3,)2y FQ x =-． 因为121249(2)(2)yy FP FQ x x ⋅=+--212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++22222222241284(1)434394121644343k k k k k k k k k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=． 综上，90PFQ ∠=.……………… 14分20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-， ……………… 2分 解得0a =.验证知0a =符合题意. ……………… 4分 （Ⅱ）()e sin x f x x '=-. ……………… 6分 由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-， ……………… 7分 则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >. ………………9 分 （Ⅲ）由()e cos 0xf x a x =+=，得a = 设函数cos ()e xxh x =-，[0,π]x ∈ ……………… 10分 则sin cos ()e xx xh x +'=. ……………… 11分令()0h x '=，得3π4x =.随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在3(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减. ……………… 13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()4h -=， 所以当3ππ4[e ,)a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2--. ……………… 15分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-. ……………… 3分 (Ⅱ) 记b a -为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥. ……………… 6分 又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =，，100[99,100]I =显然满足条件①，②.所以N 的最小值为100. ……………… 8分 (Ⅲ)N 的最大值存在，且为200. ……………… 9分 解答如下：（1）首先，证明200N ≤. 由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]kI ≠∅.不妨设12n a a a <<<<.如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N =.这与题意不符，故20a >. ……………… 10分 如果111k k a a +-+≤，那么11k k k I I I -+⊆，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+”矛盾，故111k k a a +->+.所以4211a a >+>，6412a a >+>，，200198199a a >+>，则2001100a +>. 故12200[0,100]I I I ⊇.若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i =”矛盾，所以200N ≤. ……………… 12分 （2）给出200N =存在的例子 .令1100(1)2199k a k =-+-，其中1,2,,200k =，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =.由1d <，知1kk I I +≠∅，则易得122001201[,]22I I I =-，所以12200,,,I I I 满足条件①.西城区2020年高三二模数学试题及答案(WORD 版)11 / 11 又公差10011992d =>， 所以100(1)199k k I -∈，100(1)199i k I -∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+.（注：100(1)199k - 为区间k I 的中点对应的数）所以12200,,,I I I 满足条件②.综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. ……………… 14分。

2020北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线1.（2020▪海淀二模）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于（A ）4（B ）6（C ）8（D ）102．（2020▪西城高三二模）抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x =（B ）1x =-（C ）1y =（D ）1y =-3．（2020▪西城高三二模）若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞4.（2020▪东城高三二模）双曲线222:1y C x b-=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C的离心率为(C) 2 5.（2020▪朝阳高三二模）圆心在直线0x y -=上且与y 轴相切于点()0,1的圆的方程是（A ）22(1)1y +-=（x-1） （B ）22(1)1y ++=（x+1） （C ）22(1)2y +-=（x-1） （D ）22(1)2y ++=（x+1） 6.（2020▪朝阳高三二模）直线l 过抛物线22x y=的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点1122(,),(,).A x yB x y 若123x x +=，则弦AB 的长是 （A ）4（B ）5（C ）6 （D ）87. （2020▪西城高三（下）6月模拟）焦点在x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(A)24x y =(B)24y x =(C)28x y =(D)28y x =8. （2020▪西城高三（下）6月模拟）圆224210x y x y ++-+=截x 轴所得弦的长度等于(A)2(B)(C)(D)49.（2020▪昌平高三二模）已知点是双曲线的一条渐近线上一点，是双曲线的右焦点，若△的面积为，则点的横．坐标为（A ） （B ） （C ） （D ）10．（2020▪丰台高三二模）已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A ）2（B ）2（C ）22（D ）411.（2020▪房山高三二模）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点(1,3)，则该双曲线的离心率为 （A ）2 （B ）3 （C ）2（D ）512.（2020▪密云高三二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为A. B. C. D.13．（2020▪密云高三二模）已知圆，若点P 在圆上，并且点P 到直线的距离为，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．414.（2020▪海淀二模）已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可以为_______.（写出一个即可）15. （2020▪丰台高三二模）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为_______.16．（2020▪丰台高三二模）已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是116π其中正确的有__________．17．（2020▪西城高三二模）若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．18.（2020▪朝阳高三二模）已知双曲线C 的焦点为12(0,2),(0,2),F F -实轴长为2，则双曲线C 的离心率是；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12,FQ F Q ⊥则12QF F V 的面积为19. （2020▪西城高三（下）6月模拟）能说明“若()20m n +≠,则方程2212mn yx+=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_______ 20.（2020▪昌平高三二模）已知点在抛物线上，若以点为圆心的圆与轴和其准线都相切，则点到其顶点的距离为_______ .21.（2020▪昌平高三二模）曲线C :,点在曲线上．给出下列三个结论：①曲线关于轴对称；②曲线上的点的横坐标的取值范围是；③若,，则存在点,使△的面积大于.其中，所有正确结论的序号是________．22.（2020▪房山高三二模）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = ．23.（2020▪房山高三二模）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，||1MF =，则点M 的横坐标是_______，△MOF （O 为坐标原点）的面积为 ． 24．（2020▪密云高三二模）抛物线过点，则抛物线的焦点坐标为_______.25.（2020▪海淀二模）（本小题共15分）已知椭圆2222:1x y W a b+=(0)a b >>过(0,1),(0,1)A B -.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值.26．（2020▪西城高三二模）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．27.（2020▪东城高三二模）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点坐标为(0,1)A -，离心率为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点(1,0)B ，求证：点M 不在以AB 为直径的圆上．28.（2020▪朝阳高三二模）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆C 经过点 （I ）求椭圆C 的方程；（II ）已知过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,,A B 与直线1x =交于点Q ,设,(,),AP PB AQ QB R λμλμ==∈u u u r u u u r u u u r u u u r求证：λμ+为定值.29. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)已知椭圆()2222:10yE a b x a b+=>>经过点()0,1C ,离心率为2.O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设,A B 分别为椭圆E 的左、右顶点,D 为椭圆E 上一点(不在坐标轴上),直线CD 交x 轴于点,P Q 为直线AD 上一点,且OP OQ 4=u u u r u u u rg ,求证:,,C B Q 三点共线.30.（2020▪昌平高三二模）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点(在下方)，且．过点的直线与椭圆交于两点（不与重合）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．31. （2020▪丰台高三二模）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 4.过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.32.（2020▪房山高三二模）（本小题14分）．已知椭圆C的两个顶点分别为(2,0)B，焦点在x轴上，离心率为1A ，(2,0)2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，点P在椭圆C上，点Q和点P关于x轴对称，直线AP与直线BQ交于点M，求证：P，M两点的横坐标之积等于4，并求OM的取值范围．33.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）已知椭圆：过点，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且满足．（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．2020北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线参考答案1.B2.D3.A4.D5.A6.A7.D8.B9.A 10.D 11.C 12.A 13.C;14. 15. 16. ②③④ 17. 18. ；19. 答案不唯一. 如， 20. 21. ①② 22. 3 23. ；24.25.（本小题共15分）解：（Ⅰ）由题意，2221.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩， 解得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由题意，直线l 不与坐标轴垂直. 设直线l 的方程为：1y kx =+（0k ≠）. 由221,4 4.y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(41)80k x kx ++=. 设11(,)C x y ，因为10x ≠，所以12841kx k -=+. 得21122814114141k k y kx k k k --=+=⋅+=++. 即222814(,)4141k k C k k --++.又因为(0,1)B -，所以22121411418441k k k k k k -++==--+. 由1,2.y kx y =+⎧⎨=⎩得1,2.x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以点M 的坐标为1(,2)k.所以22131k k k+==. 所以1213344k k k k ⋅=-⋅=-. 26．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =，……………3分 从而223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-u u u r ，(3,3)FQ =u u u r ，故0FP FQ ⋅=u u u r u u u r ，即90PFQ ∠=o ．…………6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠．………………7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．………………8分由题意，知0∆>恒成立， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．…………9分MPAF NxyOQ直线MA 的方程为11(2)2y y x x =--．………………10分 令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -．………………11分 同理可得222(4,)2y Q x -．………………12分所以112(3,)2y FP x =-u u u r ，222(3,)2y FQ x =-u u u r ．因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--u u u r u u u r212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k kk k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=o ．综上，90PFQ ∠=o .………………14分 27.（本小题14分）（Ⅰ）解：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+,1,23,222b a ca c b解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,2c b a所以椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………………………4分（Ⅱ）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，),(00y x M ．由221,4(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(4+1)8440k x k x k -+-=，所以22222(8)4(41)(44)4816k k k k ∆=--⨯+-=+. 所以当k 为任何实数时，都有0∆>． 所以2122841k x x k +=+，2122444+1k x x k -=．因为线段PQ 的中点为M , 所以212024241x x k x k +==+，002(1)41-=-=+k y k x k , 因为(1,0)B , 所以00(,1)AM x y =+uuu r，00(1,)BM x y =-uuur ．所以2200000000(1)(1)=AM BM x x y y x x y y ⋅=-++-++uuu r uuur2222222244=()()41414141k k k k k k k k ---++++++322243=41k k k k ---+（） 222(431)=41k k k k -+++（）22237[4()]816=41k k k -+++（）.又因为0k ≠，2374()0816k ++>， 所以0AM BM ⋅≠uuu r uuu r，所以点M 不在以AB 为直径的圆上．………………………………14分 28.（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意可知222222,121,⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c a b c a 得22=b ，24=a ．所以椭圆C 的方程为22142+=x y ．……………5分 （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)=-y k x ． 由(4),10=-⎧⎨-=⎩y k x x 得1,3.=⎧⎨=-⎩x y k 所以(1,3)-Q k ． 由22(4),24=-⎧⎨+=⎩y k x x y 得222(4)4+-=x kx k . 整理得2222(12)16(324)0+-+-=k x k x k .由2222(16)4(12)(324)0∆=--+->k k k，得<<k ．设直线l 与椭圆C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则21221612+=+k x x k ，212232412-=+k x x k .因为λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB 且11(4,)=--u u u r AP x y ，22(4,)=-u u u r PB x y ，11(1,3)=---u u u r AQ x k y ，22(1,3)=-+u u u r QB x y k ， 所以111212222241(4)(1)(1)(4)41(4)(1)λμ----+--+=+=----x x x x x x x x x x1212225()28(4)(1)+--=--x x x x x x . 因为22121222163245()285281212-+--=⨯-⨯-++k k x x x x k k22228064881612-+--=+k k k k 0=，所以0λμ+=.……………14分29．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得，.………………2分又因为，………………3分 所以，.故椭圆的方程为.………………5分（Ⅱ），.设，则.………………6分所以直线的方程为，………………7分令，得点的坐标为.………………8分设，由，得（显然）.……9分 直线的方程为，………………10分将代入，得，即. ………………11分故直线的斜率存在，且……12分.…………13分又因为直线的斜率，所以，即三点共线.………………14分30.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意得解得…………….3分即椭圆的方程为．…………….5分（Ⅱ）法一由题意，直线的斜率存在.当时，直线的方程为.代入椭圆方程有.则.所以所以…………….8分当时，则直线的方程为．由，得.…………….9分设，，则．…………10分又，所以，.…………….11分因为即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．…………….15分法二设直线的斜率为，则直线的方程为．…………….6分由，得.…………….7分设，，则．…………….9分又，所以，.…………….11分因为即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．…………….15分31.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C a b +=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=．………3分（Ⅱ)设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,． 联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞．………7分 （Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,,所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,. 同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1y PT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r,. 由,,μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--． 同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,， 所以121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)121kk k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)．………14分32.（本小题14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 依题意，2a =，12c a =.得1c =，2223b a c =-=.所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，可设(,)P m n （22m -<<且0m ≠），则(,)Q m n -. 点P 在椭圆C 上，则22143m n +=， AP 的斜率为12n k m =+，直线AP 方程为(2)2n y x m =++， BQ 的斜率为12n k m -=-，直线BQ 的方程为(2)2n y x m -=--. 设(,)M x y ，由(2)2(2)2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=-⎪-⎩ 得42x m ny m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 的坐标为42(,)n m m. 所以P ，M 的横坐标之积等于44m m⋅=. OM ==== 由204m <<， 所以，OM 的取值范围是()2,+∞.33.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得解得所以椭圆的方程为，离心率．（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为．设直线的方程为：，联立方程化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，，则，．又因为，所以，．所以=0所以，即是定值．方法二（1）当直线垂直于轴时解得与的坐标为．由点，易证．（2）当直线斜率存在时设直线的方程为：，联立方程化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，，则，．又因为，所以，．所以=0所以，即是定值．。

北京市 2020 年高考数学最新联考试题分类大汇编一、选择题：（3） ( 北京市东城区 2020 年 1 月高三考试文科）一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（A） a3（B） a3a26（C） a3（D） a3a a 1218正（主）视图侧（左）视图【答案】C【分析】该几何体为底面是直角边为 a 的等腰直角三角形，1 a a3俯视图高为 a 的直三棱柱，其体积为 a a。

227． ( 北京市西城区2020 年 1 月高三期末考试理科) 某几何体的三视图如下图，该几何体的体积是（）（A）88（B）3（C）44（D）3【答案】 D【分析】将三视图复原直观图，可知是一个底面为正方形（其对角线长为2），高为2的四棱锥，其体积为V 1114S正方形ABCD 232 2 2.323A．m // ,n //且//，则 m// nB．m,n且，则 m// n C．m, n //且//，则 m n D．m //, n且，则 m// n【答案】 C体的体积为.3 233211正视图侧视图21俯视图（9） ( 北京市东城区2020 年 4 月高考一模文科) 已知一个四棱锥的三视图如下图，则该4四棱锥的体积是.310. (2020 年 4 月北京市房山区高三一模理科一个几何体的三视图如下图，则这个几何体的体积为.23三、解答题：（17） ( 北京市东城区2020 年 1 月高三考试文科）（本小题共14 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PA平面ABCD， E 是PC 中点， F 为线段 AC 上一点.（Ⅰ）求证：BD EF ；P （Ⅱ）试确立点 F 在线段 AC 上的地点，使EF //平面 PBD ，并说明原因.【命题剖析】此题考察线线垂直和线面探究性问题等综合问题。

考察学生的A 空间想象能力。

证明线线垂直的方法：（ 1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（ 3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（ 5）B勾股定理；（ 6）向量垂直 . 要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件. 解题过程中要特别领会平行关系性质的传达性，垂直关系的多样性. 此题第一问利用方法二进行证明；探究某ED FC证明（Ⅰ）由于因此PA平面 ABCD ，PA BD ．又四边形 ABCD 是正方形，因此因此因此分AC BD，PA AC A ，BD平面 PAC ,又 EF平面 PAC ,BD EF .7PBD .14(16)2020 414P -ABCDAB// CD AB^ AD AB= 4,AD = 22,CD = 2PA^ABCD PA = 4.PPAB I PCD m CD //mBD PACQ PB QC PAC3PQ3PBADC (16)14B5uuur(4,2 2,0)uuur(2, 2 2,0)BD ACuuur z (0,0, 4)P APuuur uuur2222000BDAC (4) 2uuur uuurBDAP(4)0220040.BD AC BD AP .A DyAPI AC A AC PAC C PA PAC BxBD PAC .9uuurPAC BD ( 4,2 2,0) .1217. (20203)13ABCD ABD = 90EBABCD EF//AB AB= 2EF =1BC =13M BD. EFEM//ADFD CMA B（Ⅱ）在 EB 上能否存在一点P ，使得CPD 最大？若存在，恳求出CPD 的正切值；若不存在，请说明原因 .（17）（本小题满分13 分）（Ⅱ）解：假定在EB 上存在一点P ，使得CPD最大 .由于EB平面ABD ，因此EB CD.又由于 CD BD，因此 CD平面EBD .8 分在 Rt CPD 中， tan CPD = CD. DP17． ( 北京市西城区2020 年 4 月高三第一次模拟文) （本小题满分14 分）如图，矩形ABCD 中，AB3， BC4． E，F分别在线段BC 和AD 上，EF∥AB ，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF平面ECDF．NC MFDEC 3ND FCNFEC17.14MNEF EFDCMN EF CD MN EF CDMNCD2NC MD3NC MFDNCMFD4ED EDI FC OMNEF ECDF NE EFNE ECDF5FC NE69NE x EC 4 x0 x 4NE FEC1 S EFC NE1x(4 x)11NFEC V NFEC32V NFEC1[x (4x) ]221322x4xx2NFEC14 17 (2020 4)13121713BEDDF.AE CF 1 DE1AF AD2A60o ADF.AE ED 1,EF AD .22A1E EF BE EF.3A 1EB A 1EFB.1 A1EF BA1E BE.5BEI EF E,因此 A 1E ⊥平面 BEF , 即 A 1E ⊥平面 BEP .6 分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知 A 1E ⊥平面 BEP ， BEEF ，如图，以 E 为原点，成立空间直角坐标系 Exyz ，则 E(0 ,0,0)， A 1(0 , 0 ,1) ， B(2 ,0,0) ，F (0, 3,0).在图１中，连接DP .由于CFCP 1 ，FA PB 2 1BE DE .因此 PF ∥ BE ，且 PF2因此四边形 EFPD 为平行四边形 . 因此 EF ∥DP ，且 EF DP .故点P 的坐标为（ ， 3 ， ） 图21 0 .uuuuruuuruuuur因此A 1B (2 ,0,1)， BP (1, 3,0) ， EA 1 (0,0,1).8 分uuuur 不如 设平面 A 1 BP 的法向量 nA 1B n 0,( x, y, z) ，则 uuur0.BP n2xz 0,令 y 3 ，得 n(3, 3,6).10 分即x 3 y 0.uuuruuuur 6 3n EA 1因此cos n, EA 1uuuuur 14 3 .12 分| n || EA 1 | 2故直线 A 1E 与平面 A 1BP 所成角的大小为. 13 分3（17） ( 北京市东城区2020 年 4 月高考一模文科 ) （本小题共 14 分）如图 1，在边长为 3的正三角形 ABC 中， E ， F ， P 分别为 AB ， AC ，BC 上的 点，且知足 AE FCCP1 . 将△ AEF 沿 EF 折起到△ A 1EF 的地点，使平面 A 1EF平面 EFB ，连接 A 1B ， A 1P . （如图 2 ）（Ⅰ）若 Q 为 A 1 B 中点，求证： PQ ∥平面 A 1 EF ； （Ⅱ）求证： A 1EEP .图1图2（17）（共 14 分）证明：（Ⅰ）取 A 1E 中点 M ，连接 QM , MF ．在△ A 1BE 中， Q, M 分别为 A 1B, A 1 E 的中点，因此 QM ∥ BE ，且QM 1BE ．由于CFCP 12，FAPB 2因此 PF ∥BE ,且 PF1BE ，2因此QM ∥PF ，且QMPF ．因此四边形 PQMF 为平行四边形．因此 PQ ∥FM ．5 分又由于 FM平面 A 1 EF ，且 PQ平面 A 1EF ，因此 PQ ∥平面 A 1EF ．7 分（Ⅱ） 取 BE 中点 D ，连接 DF .由于 AE CF1， DE 1 ，因此 AF AD 2 ，而 A 60o ，即△ ADF 是正三角形 .又由于 AE ED 1因此 EFAD.,因此在图 2 中有 A 1 E EF .9 分由于平面A 1EF平面 EFB ，平面 A 1 EF I 平面 EFBEF ，因此 A 1E ⊥平面 BEF .12 分又 EP平面 BEF ，A1E EP.1417. (20203)14==60o E Q P-ABCD ABCD PA PD BAD ADPCAD PBEQ PCPA//BDQP-BCDE =2Q - ABCD CPV V CQ17E=AD PA PDADPE1ABCDBAD=60o=EAB BD ADAD BE2∩=3PE BEE4AD PBEACBDOOQ5O AC Q PCOQ PACOQ//北京市2020年高考数学最新联考试题分类大汇编(8)立体几何试题解析h1CP CP814h2CQCQ317. (2020414ABC A1B1C1BC CC1 AB =2 ,AB BC.M,N CC1, B1C GAB.I B1C BNG(II)CG //AB1M G(III)MAB1B .17 14(I)ABC A1B1C1BC CC1N B1CBN B1C1AB BC,AB BB1,BB1 BC BAB B1 BCC12B1 C B1 BCC1B1 C ABB1C GB3BNBGBB1C BNG4II GABCG //AB1M .5 :AB1, AB1H HG,HM ,GC ,HG AB1BGH BB1 GH1BB162B1 BCC1CC1 BB1 CC1BB1M CC1(III)ABC A1B1C1AB BCuuuurQ B1 AB BC(2,0,0)1 1cos uuuurr BC ,n1 1M AB1uuuur rB1C1n113 = uuuur r =3B1C1nBuuuur r1coscos B1C1, n143。

俯视图左视图主视图2222 2020北京各区高三二模数学分类汇编----立体几何一、选填问题：1.（2020昌平二模）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（A ）4 （B ）8 （C ）26 （D ）46 答案 C2.（2020海淀二模）已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为 （A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若//l m ，m α⊂，则//l α （C ）若//l α，//l β，则//αβ （D ）若//l α，l β⊥，则αβ⊥答案 D3．（2020海淀二模）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2 （D ）4答案 A4．（2020海淀二模）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为 （A ）25（B ）45（C ）5 （D ）25答案 C主视图左视图俯视图BCDA 1B 1C 1D OP5.（2020西城二模）.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 .答案 454+6.（2020丰台二模）如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为 等腰直角三角形，则该棱锥的体积为 （A ）233 （B ）43（C ）433（D ）23答案 A7.(2020东城二模)已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（A ）π12+（B ）π14+ （C ）π18+（D ）1π+答案 C8.(2020东城二模)设,,αβγ是三个不同的平面，m n ，是两条不同的直线，给出下列三个结论：①若m α⊥，n α⊥，则m n ∥； ②若m α⊥，m β⊥，则αβ∥； ③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥. 其中，正确结论的序号为． 答案 ①②俯视图侧（左）视图正（主）视图111.59.（2020房山二模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为2222俯视图左视图主视图（A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）4答案C10. （2020朝阳二模）某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为________．答案1211.（2020密云二模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为 A ．2 B ．2 C ．22 D ．23 答案 D（第13题图） 第9题图3111主视图1俯视图212. （2020顺义二模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（A）6（B）8（C）12（D）24二、解答题部分：13.（2020西城二模）答案解：（Ⅰ）如图，连接1A B. 设11A B AB E=I，并连接DE.由三棱柱111ABC A B C-，得1A E BE=. ………… 2分又因为D是11A C的中点，所以1//BC DE. ……………… 4分又因为1BC⊄平面1AB D，DE⊂平面1AB D，DCA1 B1C1A BEyxzB C D PEGF 所以1//BC 平面1AB D . ……………… 6分 （Ⅱ）因为1CC ⊥底面ABC ， AC BC ⊥，所以CA ，CB ，1CC 两两垂直，故分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分 则(0,0,0)C ，(0,2,0)B ，(2,0,0)A ，1(0,2,2)B ，(1,0,2)D ，所以1(2,2,2)AB =-u u u u r ，1(1,2,0)B D =-u u u u r ，(0,2,0)BC =-u u u r， ……………… 8分设平面1AB D 的法向量(,,)x y z =n ，由10AB ⋅=u u u u r n ，10B D ⋅=u u u u r n ，得2220,20,x y z x y -++=⎧⎨-=⎩令1y =，得(2,1,1)=n . ………………11分 设直线BC 与平面1AB D 所成的角为θ， 则sin |cos ,|||||||BC BC BC θ⋅=<>==⋅u u u ru u u r u u u r n n n ， 所以直线BC 与平面1AB D……………… 14分14.（2020海淀二模）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，E 为线段AD 的中点.PE ⊥底面ABCD ，点F 是棱PC 的中点，平面BEF 与棱PD 相交于点G .（Ⅰ）求证：//BE FG ；（Ⅱ）若PC 与AB 所成的角为4π，求直线PB 与平面BEF所成角的正弦值．答案（Ⅰ）证明：因为E 为AD 中点，所以112DE AD ==.又因为1BC =，所以DE BC =. 在梯形ABCD 中，//DE BC ， 所以四边形BCDE 为平行四边形.所以//BE CD .又因为BE ⊄平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ， 所以//BE 平面PCD .因为BE ⊂平面BEF ，平面BEF I 平面PCD FG =， 所以//BE FG .（Ⅱ）解：（解法1）因为PE ⊥平面ABCD ，且,AE BE ⊂平面ABCD ，所以PE AE ⊥，且PE BE ⊥.因为四边形BCDE 为平行四边形，90ADC ∠=︒， 所以AE BE ⊥.以E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz -. 则(0,0,0)E ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，(1,0,0)D -. 设(0,0,)P m （0m >），所以(1,1,)CP m =-u u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r.因为PC 与AB 所成角为4π，所以cos ,CP AB <>u u u r u u u r =CP ABCP AB⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r 2222m -+⋅=cos 4π=2.所以2m 则)2P ，112(,)222F -.所以(0,1,0)EB =u u u r ，112(,)22EF =-u u u r ，(0,1,)2PB =-u u u r .设平面BEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则00.EB EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r ，n n 即01120.22y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令2x 1z =，所以(2,0,1)=n . 所以cos ,||||PB PB PB ⋅<>=u u u ru u u r u u u r n n n 2233-=⨯. 所以直线PB 与平面BEF 2.（Ⅱ）（解法2）连结EC ,因为//AE BC 且AE BC =，所以四边形ABCE 为平行四边形. 所以//AB CE .因为PC 与AB 所成角为4π，所以PC 与CE 所成角为4π.即4PCE π∠=. 因为PE ⊥平面ABCD ，且CE ⊂平面ABCD ， 所以PE CE ⊥. 又因为2EDC π∠=，所以平行四边形BCDE 是矩形. 所以在等腰直角三角形PEC中，PE CE =. 因为PE ⊥平面ABCD ，且,AE BE ⊂平面ABCD ， 所以PE AE ⊥，且PE BE ⊥. 又因为AE BE ⊥，以E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz -则(0,0,0)E ，(0,1,0)B，P ，(1,1,0)C -，11(,22F -.所以(0,1,0)EB =u u u r，11(,22EF =-u u u r，(0,1,PB =u u u r .设平面BEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则00.EB EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r ，n n即0110.22y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令x 1z =，所以=n . 所以cos ,||||PB PB PB ⋅<>=u u u ru u u r u u u r n nn =. 所以直线PB 与平面BEF.15.（2020东城二模）如图①，四边形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E 为AD 中点.将ABE ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，如图②.EA 1BCD（Ⅰ）求证：平面1A EB ⊥平面1A ED ；（Ⅱ）若190A ED ∠=o ，求1A C 与平面1A BD 所成角的正弦值.ADECB图① 图②答案（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC =，2AD =，E 为AD 中点，所以BE AD ⊥.故图②中，1BE A E ⊥，BE DE ⊥.又因为1A E DE E =I ，1A E ，DE ⊂平面1A DE ，所以BE ⊥平面1A DE .又因为BE ⊂平面1A EB ，所以平面1A EB ⊥平面1A DE . ……………6分（Ⅱ）解：由190A ED ∠=o得1A E DE ⊥，又1A E BE ⊥，BE DE ⊥,因此，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．由11A E CD DE ===，得1(0,0,1)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，1(1,0,1)A B =-u u u r ，1(0,1,1)A D =-u u u r，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =， 则1100A B A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n uuu r uuu r 即00x z y z -=⎧⎨-=⎩，，令1z =得1,1x y ==，所以(1,1,1)=n 是平面1A BD 的一个法向量.又1(1,1,1)AC =-u u u r , 设直线1A C 与平面1A BD 所成角为θ，所以111||1sin |cos ,|333||||θ⋅=〈〉===⋅uuu ruuu r uuu r n n n A C A C A C ．……………14分16.（2020丰台二模）如图，四边形ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==. （Ⅰ）求证：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值. 答案证明：（Ⅰ）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B =I ，所以PB ⊥平面ABCD . ………5分 （Ⅱ）因为PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AB ⊥，PB AD ⊥. 因为四边形ABCD 为正方形， 所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(020)C ,,，(220)D ,,，(022)PC =-u u u r,,，(222)PD =-u u u r ,,，(201)PM =-u u u r,,.设平面PDM 的法向量为()x y z =,,u ，则00PD PM ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r,,u u 即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,. 令2z =，则1x =，1y =-.于是(112)=,,u . 平面PDM 的法向量为(112)=,,u . 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ，所以3sin cos 6PC PC PC θ⋅=<>==u u u ru u u ru u u r,uu u. 所以直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为36. ………14分17.（2020密云二模）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥．（Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小． 答案（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形．因为112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点， 所以ADC ∆和11A DC ∆均为等腰直角三角形．所以o1145ADC A DC ∠=∠=． 因此o190C DC ∠=，即1C D DC ⊥．因为1DC BD ⊥，BD DC D =I ， 所以1DC ⊥平面BCD ． 因为BC ⊂平面BCD ，所以1DC BC ⊥．（Ⅱ）解：因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥． 又因为1DC BC ⊥，111CC DC C =I ， 所以BC ⊥平面11ACC A ．因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥ 以C 为原点建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设1AC =，则(0,0,0)C ，(1,0,0)A ，(010)B ，，，(101)D ，，，1(102)A ，，，1(0,0,2)C ， 所以1(0,0,1)A D =-u u u u r ，1(1,1,2)A B =--u u u r ，1(1,0,1)C D =-u u u u r ，1(0,1,2)C B =-u u u r． 设平面1A BD 的法向量()x y z =，，m ，由1100.A D AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r，m m 得020.z x y z -=⎧⎨-+-=⎩， 令1x =，则(1,1,0)=m ．设平面1C BD 的法向量()x y z =，，n ，由1100.C D C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r ，n n 得020.x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1x =，则(1,2,1)=n ．则有cos ,||||⋅<>===⋅m n m n m n因为二面角1A BD C --为锐角，C 1ABC A 1B 1第16题图DED CB APB所以二面角1A BD C --的大小为π6．18.(2020昌平二模)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD CD ===，3BC =，PC =，E 为PB 中点，________ ，求证：四边形ABCD 是直角梯形，并求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值.从①CD BC ⊥；②//BC 平面PAD 这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.答案解1；选择①因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA AD⊥，PA CD ⊥. ……………..1分因为2PA AD CD ===，所以PD =因为PC = 所以222CD PD PC +=.所以CD PD ⊥. …………….4分 因为PA PD P =I ，所以CD ⊥平面PAD . …………….6分 所以CD AD ⊥. 因为CD BC ⊥，所以//AD BC . …………….7分 所以四边形ABCD 是直角梯形.解2；选择②因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA CD ⊥. ……………..1分因为2PA AD CD ===，所以PD =因为PC =所以222CD PD PC +=. 所以CD PD ⊥.…………….4分 因为PA PD P =I ，所以CD ⊥平面PAD . 所以CD AD ⊥. …………….6分 因为//BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAD I 平面=ABCD AD ， 所以//BC AD .所以四边形ABCD 是直角梯形. …………….7分EA 1B 1C 1CAB过A 作AD 的垂线交BC 于点M . 因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AM PA AD ⊥⊥. …………….8分 如图建立空间直角坐标系A xyz -. …………….9分 则(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A C D P . 因为E 为PB 中点，所以1(1,,1)2E -. 所以1(1,,1),(2,2,2),(0,2,2)2AE PC PD =-=-=-uu u r uu u r uu u r . …………….10分设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r，则 0,0.n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu ur 即2220,220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩…………….11分 令1,y =则1,0z x ==.于是(0,1,1)n =r. …………….12分设直线AE 与平面PCD 所成的角为α，所以11112sin |cos ,|36||||2n AE n AE n AE α-⨯+⨯⋅=〈〉===r uu u r r uu u r r uu u r . 所以直线AE 与平面PCD所成角的正弦值为6. …………….14分 19.（2020房山二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BCC B 是边长为2的正方形，平面ABC ⊥平面11BCC B ，1AB =，AB BC ⊥，点E 为棱1AA 的中点．（Ⅰ）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面1B CE 所成角的正弦值．答案（Ⅰ）∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC I 平面11BCC B BC = 又AB BC ⊥，∴AB ⊥平面11BCC B ， （有前面的∵，∴才得分）∵11A B //AB ，∴11A B ⊥平面11BCC B ， ∵1BC ⊂平面11BCC B ，∴11A B ⊥1BC ， 又11BCC B 是正方形，11BC B C ⊥ ∴111BC A B C ⊥平面 （有前面的∵，∴才得分）（Ⅱ）由1,,AB BC BB 两两垂直，如图建立直角坐标系 (0,0,0)B ，1(2,2,0)C ，(2,0,0)C ，(0,1,1)E ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)BC =u u u u r ，1(2,2,0)B C =-u u u r，(2,1,1)CE =-u u u r设平面1B CE 的法向量为(,,)n x y z =r，则有10,0,n B C n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u ur 即22020x y x y z -=⎧⎨-++=⎩，，令1x =，得(1,1,1)n =r设直线1BC 与平面1B CE 所成角为θ，所以sin |cos ,|3n BC n BC BC n θ⋅=<>===r u u u rr u u u r u u u r r 20.（2020朝阳二模）如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ^，4AD =，2DE EF ==，且π3EDC?. （Ⅰ）求证：AD ^平面CDEF ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值； （Ⅲ）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由． 答案解：（Ⅰ）因为ABCD 是正方形，所以AD CD ^．又因为AD DE ^，DE Ì平面CDEF ，CD Ì平面CDEF ，CD DE D =I ，所以AD ^平面CDEF ．……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AD ^平面CDEF ,所以平面ABCD ^平面CDEF ．1过点E 作EO CD ^，垂足为O ， 则OE ^平面ABCD ．在平面ABCD 内，过O 作OH CD ^， 则OE ^OH ．如图建立空间直角坐标系-O xyz ， 因为4AD =，2DE EF ==，且π3EDC?，所以1DO =，OE =则(4,1,0)A -，(4,3,0)B ，(0,3,0)C ，(0,1,0)D -，E ，所以(4,0,0)AD =-uuu r，(AE =-uu u r ，(4,4,0)BD =--uu u r．设平面ADE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.AD AEìï?ïíï?ïïîn n uuu r uu u r即40,40.x x y ì-=ïïíï-++=ïî令=y 0=x ，1=-z，于是1)=-n ．设直线BD 与平面ADE 所成角为q ，则||sin |cos ,|4||||BD BD BD q ×=<>==n n n uu u ruu u r uu u r ． 所以直线BD 与平面ADE．……………10分 （Ⅲ）棱AB 上存在点G ，使得//MG 平面ADE ，此时3AG =．理由如下：因为//DC AB ，DC Ë平面ABFE ，AB Ì平面ABFE ， 所以//DC 平面ABFE ．因为DC Ì平面DCFE ，平面DCFE I 平面ABFE EF =， 所以//DC EF ．由（Ⅱ）知，F，5(0,2M ．设11(4,,0)(13)G y y -＃，则15(4,,2MG y =--uuu r ．由（Ⅱ）知，平面ADE的一个法向量为1)=-n ．若//MG 平面ADE ，则0MG ?nuuu r15)02y -+，解得12y =，即(4,2,0)G ． 经验证，此时//MG 平面ADE ．所以棱AB 上存在点G ，使得//MG 平面ADE ，此时3AG =．……………14分21. （2020顺义二模）（本小题14分）如图一所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，沿BD 将C 点翻折到1C 点位置（如图二所示）,使得二面角1A BD C --成直二面角.,E F 分别为11,BC AC 的中点. （I ）求证：1BD AC ⊥；（II ）求平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角的余弦值.解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分又Q AO ,1C O 1AC O ⊂平面 ∴1BD AC O ⊥平面 . ------------- 4分 又Q 11AC AC O ⊂平面 ∴1BD AC ⊥ ------------- 5分 （II ）Q 二面角1A BD C --是直二面角∴190C OA ∠=o ∴1C O AO ⊥∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6分 ∴以O 为原点，如图建系：∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11(,0,)22F∴11(,1,)22DF =u u u r ，31(0,,)22DE =u u u r -------------8分设(,,)n x y z =r是平面DEF 的一个法向量∴1102231022DF n x y z DE n y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =-r-------------11分又Q 1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC =u u u u r-------------13分∴111cos ,n OC n OC n OC ⋅=⋅r u u u u rr u u u u r r u u u u r= ∴平面DEF 与平面ABD-------------14分。

2020北京中考数学二模分类汇编——几何综合1．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为°．2．（2020•西城区二模）在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．3．（2020•东城区二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D 与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当∠ADB＝时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．4．（2020•朝阳区二模）已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA 上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．5．（2020•丰台区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状，并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b 的式子表示AB，BC．……．6．（2020•石景山区二模）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点（不与点B重合），边BC上点E在点D的右边且∠DAE＝∠BAC，点D关于直线AE的对称点为F，连接CF．（1）如图1，①依题意补全图1；②求证：CF＝BD．（2）如图2，∠BAC＝90°，用等式表示线段DE，CE，CF之间的数量关系，并证明．7．（2020•房山区二模）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．（1）如图1，当∠DBA＝30°时：①求证：AC＝BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．8．（2020•平谷区二模）如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM 绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连接DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM ≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连接AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMD是一定度数时，AM＝MD．（一种方法即可）9．（2020•密云区二模）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°＜∠CAN＜120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN＝60°．（1）若点C位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：∠CDB＝∠MAC；（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD＝3，并证明．10．（2020•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A 逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．（1）当α＝90°时，①依题意补全图形；②求证：PD＝2PB；（2）写出一个α的值，使得PD＝PB成立，并证明．11．（2020•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C 作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF 的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF＝°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE…想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造▱ABGF，然后可证△AFE≌△BGC…请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．12．（2020•门头沟区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，证明HF＝EG；…请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）2020北京中考数学二模分类汇编——几何综合参考答案与试题解析1．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为20°．【分析】（1）由旋转即可补全图形；（2）先判断出∠BAE＝∠CAD，再判断出∠ABE＝60°＝∠C，进而判断出△ABE≌△ACD，即可得出结论；（3）①先判断出AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，进而表示出∠FAD＝α，∠CAF＝60°﹣2α，进而得出∠ACF＝60°+α再判断出∠CAE＝120°﹣α，即可得出结论；②先判断出∠CBG＝30°﹣α，进而判断出∠CDF＝60°﹣2α，再判断出DF＝CF，进而得出∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，再判断出∠DCF＝α，即可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图1所示；（2）由旋转知，∠DAE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，∵BE是△ABC的外角的平分线，∴∠ABM＝（180°﹣60°）＝60°＝∠C，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AD＝AE；（3）①如图2，连接AF，∵点F是点B关于AD的对称点，∴∠BAD＝∠FAD，AF＝AB，∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，则∠FAD＝α，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠FAD＝60°﹣2α，∴∠ACF＝（180°﹣∠CAF）＝60°+α，由（2）知，∠BAE＝∠CAD＝60°﹣α，∴∠CAE＝∠BAE+∠BAC＝60°﹣α+60°＝120°﹣α，∴∠ACF+∠CAE＝60°+α+120°﹣α＝180°，∴AE∥CF；②如图2，连接BF，设∠BAD＝α，∵点F是点B关于AD的对称点，∴AD⊥BF，垂足记作点G，则∠AGB＝90°，∴∠ABG＝90°﹣α，∵∠ABC＝60°，∴∠CBG＝30°﹣α，连接DF，则BD＝DF，∴∠CDF＝2∠CBG＝60°﹣2α，由（2）知，△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∵BE+CF＝AB，∴CD+CF＝BC＝BD+CD，∴BD＝CF，∴DF＝CF，∴∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，由①知，∠ACF＝60°+α，∴∠DCF＝∠ACF﹣∠ACB＝α，∴60°﹣2α＝α，∴α＝20°，即∠BAD＝20°，故答案为：20．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，判断出∠CDF＝60°﹣2α是解本题的关键．2．（2020•西城区二模）在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由平行线的性质可得出∠AGH＝∠GHC．证得∠EAB＝∠AGH．则结论得证；（2）①依题意补全图形即可；②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．证得NA＝NE．得出∠ANE＝∠ANQ＝90°．则可得出AE＝NE＝CN．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠AGH＝∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB＝∠AGH．∴∠EAB＝∠GHC．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．∵四边形ABCD是正方形，∴点A，点C关于BD对称．∴NA＝NC，∠BAN＝∠BCN．∵PN垂直平分AE，∴NA＝NE．∴NC＝NE．∴∠NEC＝∠NCE．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD＝90°，∴∠AQE＝∠NEC．∴∠BAN+∠AQE＝∠BCN+∠NCE＝90°．∴∠ANE＝∠ANQ＝90°．在等腰Rt△ANE中，∴AE＝NE＝CN．【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．3．（2020•东城区二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D 与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当∠ADB＝时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．【分析】（1）先判断出∠BDE＝90°，再根据勾股定理得出BD2+DE2＝BE2，即BD2+AD2＝BE2，再判断出△ABE≌△ACD（SAS），得出BE＝CD，即可得出结论；（2）同（1）方法得出DE2+BD2＝BE2，进而得出2AD2+BD2＝BE2，同（1）的方法判断出BE＝CD，即可得出结论；（3）同（1）的方法得出DE2+BD2＝BE2，再判断出DF＝2AD•sin，即可得出结论．【解答】解：（1）AD2+BD2＝CD2，理由：如图1，过AD为边在AD上侧作等边三角形ADE，连接BE，则AD＝DE＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠BDE＝∠DBA+∠ADE＝90°，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD2+DE2＝BE2，∴BD2+AD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴AD2+BD2＝CD2；（2）如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE，DE，∴∠ADE＝45°，∵∠BDA＝45°，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵DE2＝2AD2，∴2AD2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴2AD2+BD2＝CD2；（3）如图3，将线段AD绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE，BE，∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝90°﹣α，∵∠ADB＝α，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴DE2+BD2＝CD2，过点A作AF⊥DE于F，则DE＝2DF，∴∠DAF＝90°﹣∠ADE＝α，在Rt△ADF中，sin∠DAF＝，∴DF＝AD•sin∠DAF＝AD•sin，∴DE＝2DF＝2AD•sin，即：（2AD•sin）2+BD2＝CD2．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．4．（2020•朝阳区二模）已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA 上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（3）结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．证明△OMP≌△GPN（SAS），推出OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，由OM＝OH＝PG＝1，推出OP＝HG，推出GH＝GN，推出∠GNH＝∠GHN＝（180°﹣40°）＝70°可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：如图1中，∵∠MPN＝∠AOB＝40°，∠APM＝∠APN+∠MPN＝∠AOB+∠OMP，∴∠APN＝∠OMP．（3）解：结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．理由：在射线PA设取一点G，使得PG＝OM，连接NG．∵PN＝PM，∠GPN＝∠OMP，∴△OMP≌△GPN（SAS），∴OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，∵OM＝OH＝PG＝1，∴OP＝HG，∴GH＝GN，∴∠GNH＝∠GHN＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠OHN＝180°﹣70°＝110°．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2020•丰台区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状，并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b 的式子表示AB，BC．……．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的定义判断即可．（3）结论：BC+BA＝BE．延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．证明△EAB≌△ECF（SAS），推出BE＝EF，∠AEB＝∠CEF可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．理由：∵A，D关于CP对称，∴AD⊥CP，∠ACP＝∠PCD＝45°，CA＝CD，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形．（3）结论：BC+BA＝BE．理由：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．∵∠ABC＝∠AEC＝90°，∴∠BAE+∠BCE＝180°，∵∠BCE+∠ECF＝180°，∴∠BAE＝∠ECF，∵△ACD是等腰直角三角形，CE⊥AD，∴AE＝DE，∴CE＝AE＝ED，∵AB＝CF，∴△EAB≌△ECF（SAS），∴BE＝EF，∠AEB＝∠CEF，∴∠BEF＝∠AEC＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝BE，∵BF＝BC+CF＝BC+BA，∴BC+BA＝BE．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2020•石景山区二模）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点（不与点B重合），边BC上点E在点D的右边且∠DAE＝∠BAC，点D关于直线AE的对称点为F，连接CF．（1）如图1，①依题意补全图1；②求证：CF＝BD．（2）如图2，∠BAC＝90°，用等式表示线段DE，CE，CF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②连接AF，如图1，根据已知条件得到∠3＝∠1+∠2．根据轴对称的性质得到AF＝AD，∠FAE＝∠3＝∠1+∠2．根据全等三角形的性质得到结论；（2）连接FA，FE，如图2，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2＝45°，求得∠FCE ＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1；②证明：连接AF，如图1，∵，∴∠3＝∠1+∠2．∵点F与点D关于直线AE对称，∴AF＝AD，∠FAE＝∠3＝∠1+∠2．∴∠4＝∠FAE﹣∠2＝（∠1+∠2）﹣∠2＝∠1．又∵AC＝AB，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD；（2）线段DE，CE，CF之间的数量关系是DE2＝CE2+CF2．证明：连接FA，FE，如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，由（1）②，可得FE＝DE，∠3＝∠2＝45°，∴∠FCE＝90°，在Rt△FCE中，由勾股定理，得FE2＝CE2+CF2，∴DE2＝CE2+CF2．【点评】本题考查了几何变换的综合题，全等三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．7．（2020•房山区二模）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．（1）如图1，当∠DBA＝30°时：①求证：AC＝BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．【分析】（1）①先利用直角三角形斜边的中线得出AC＝2DF，再用含30°的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出结论；②先求出∠BDC＝15°，进而得出∠CDE＝60°，即可判断出△CDE是等边三角形，即可得出结论；（2）先判断出BD＝GD，进而判断出△ADB≌△CDG（SAS），得出∠DCG＝∠DAB，判断出△BCG是直角三角形，再判断出EG＝EB，即可得出结论．【解答】解：（1）①如图1，过点D作DF⊥AC于F，则∠DFC＝90°，∵△ADC是AC为斜边作等腰Rt△ADC，∴AC＝2DF，在Rt△DFB中，∠DBA＝30°，∴BD＝2DF，∴AC＝BD；②∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∵∠DBA＝30°，∴∠CDB＝∠ACD﹣∠DBA＝15°，∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠BDE＝45°，∴∠CDE＝∠CDB+∠BDE＝60°，在Rt△ADC中，AC＝DC，在Rt△BDE中，BD＝BE＝DE，由①知，AC＝BD，∴BE＝CD＝ED，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE，∴EC＝EB；（2）如图2，过点D作DG⊥BD交BE的延长线于G，连接CG，∴∠BDG＝90°＝∠ADC，∴∠ADB＝∠CDG，∵△BED是以BD为斜边作等腰Rt△BED，∴∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴∠DGE＝90°﹣∠DBE＝45°＝∠DBE，∴BD＝GD，∵AD＝CD，∴△ADB≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAB，∵∠ACD＝45°，∴∠BCG＝∠ACG＝90°，在Rt△BDG中，DB＝DG，∠BED＝90°，∴EG＝EB，∴BE＝CE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，判断出∠BCG＝90°是解本题的关键．8．（2020•平谷区二模）如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM 绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连接DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是60°；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM ≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连接AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMD是一定度数时，AM＝MD．（一种方法即可）【分析】（1）由题意画出，图形；（2）由旋转的性质可得出△DCM为等腰直角三角形，则∠DMC＝45°，∠AMB＝75°，可求出答案；（3）根据三种想法证明△AMD为等边三角形即可得出结论．【解答】解：（1）由题意画出图形如图1，（2）如图1，∵∠BAM＝15°，∠ABC＝90°，∴∠AMB＝90°﹣15°＝75°，∵线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴CM＝CD，∠MCD＝90°，∴∠CMD＝∠MDC＝45°，∴∠AMD＝180°﹣∠AMB﹣∠DMC＝180°﹣75°﹣45°＝60°．故答案为：60°．（3）当∠AMB＝75°时，AM＝DM．想法1证明：如图2，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，∵∠AEC＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCE正方形，∴AB＝AE，BC＝CE，由（2）可知CM＝CD，∴BM＝DE，∴△ABM≌△AED（SAS），∴AM＝AD，由（2）可知∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法2证明：如图3，过点C作CF∥AD交AB于点F，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝AF+BF，BC＝BM+CM，AB＝BC，∴CD+BF＝BM+CM，∵CD＝CM，∴BF＝BM，又∵AB＝BC，∠FBC＝∠MBC＝90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∴AM＝AD，又∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法3证明：如图4，连接AC，∵BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACD＝45°，又∵CM＝CD，AC＝AC，∴△ACM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2020•密云区二模）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°＜∠CAN＜120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN＝60°．（1）若点C位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：∠CDB＝∠MAC；（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD＝3，并证明．【分析】（1）①根据题意作出图形即可求解；②根据等量关系可证∠CDB＝∠MAC；（2）如图2，连接BC，在直线MN上截取AH＝BD，连接CH，根据SAS可证△ACH≌△DCB，再根据全等三角形的性质和等边三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：（1）①如图1所示：②证明：∵∠C＝60°，∠DBN＝60°，∴∠C＝∠DBN，∵∠DBN+∠ABD＝180°，∴∠C+∠ABD＝180°，在四边形ACDB中，∠CDB+∠BAC＝180°，∵∠BAC+∠MAC＝180°，∴∠CDB＝∠MAC；（2）BC＝3时，对于任意一点C，总有AB+BD＝3．证明：如图2，连接BC，在直线MN上截取AH＝BD，连接CH，∵∠MAC＝∠CDB，AC＝CD，∴△ACH≌△DCB（SAS），∴∠ACH＝∠DCB，CH＝CB，∵∠DCB+∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠HCB＝∠ACH+∠ACB＝60°，∴△HCB是等边三角形，∴BC＝BH＝BA+BD＝3．【点评】考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，关键是根据题意作出辅助线，得到△HCB是等边三角形．10．（2020•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A 逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．（1）当α＝90°时，①依题意补全图形；②求证：PD＝2PB；（2）写出一个α的值，使得PD＝PB成立，并证明．【分析】（1）当α＝90°时，①依题意即可补全图形；②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD＝2PB；（2）当α的值为60或120度时，根据等腰三角形的性质即可证明PD＝PB成立．【解答】解：（1）当α＝90°时，①如图即为补全的图形；②证明：∵∠BAC＝30°，AB＝AC，根据题意可知：AC＝AD，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠CAD＝90°，∴∠DAB＝120°，∴∠ABD＝∠D＝∠BAC＝30°，∴AP＝BP，在Rt△APD中，∠ADB＝30°，∴PD＝2AP，∴PD＝2PB；（2）当α＝60（或120°）时，PD＝PB成立，情况1，如图所示：当α＝60°时，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BE⊥AC于点E，∴DF∥BE，∴△DFP∽△BEP，∴＝，在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，∴AC＝AB＝2BE，在Rt△ADF中，∠CAD＝60°，∴AD＝DF，∵AD＝AC＝AB，∴2BE＝DF，∴BE＝DF，∴PD＝PB．情况2，如图所示：当α＝120°时，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BE⊥AC于点E，∴DF∥BE，∴△DFP∽△BEP，∴＝，在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，∴AC＝AB＝2BE，在Rt△ADF中，∠FAD＝60°，∴AD＝DF，∵AD＝AC＝AB，∴2BE＝DF，∴BE＝DF，∴PD＝PB．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．11．（2020•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C 作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是AE⊥DF；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF 的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF＝45°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE…想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造▱ABGF，然后可证△AFE≌△BGC…请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．【分析】（1）根据题意正确画图；（2）证明△ABD≌△AED（SSS），可得∠AED＝∠B＝90°，从而得结论；（3）想法1：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，先证明四边形ABCG是正方形，得AG ＝AB，∠BAG＝90°，再证明Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），得∠GAF＝∠EAF，根据∠BAG ＝90°及角的和可得结论；想法2：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，证明四边形ABGF是平行四边形，得AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，再证明Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），同理根据∠BCG ＝90°及等量代换，角的和可得结论．【解答】解：（1）补全图形如图1：（2）AE与DF的位置关系是：AE⊥DF，理由是：∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，BD＝DE，∵AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SSS），∴∠AED＝∠B＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE⊥DF；（3）猜想∠DAF＝45°；想法1：证明如下：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，依题意可知：∠B＝∠BCG＝∠CGA＝90°，∵AB＝BC，∴四边形ABCG是正方形，∴AG＝AB，∠BAG＝90°，∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，∠B＝∠AED＝∠AEF＝90°，∠BAD＝∠EAD，∴AG＝AE，∵AF＝AF，∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），∴∠GAF＝∠EAF，∵∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF＝90°，∴∠EAD+∠EAF＝45°．即∠DAF＝45°．想法2：证明如下：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，依题意可知：∠ABC＝∠BCF＝90°，∴AB∥FG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAD＝∠EAD，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），∴∠EAF＝∠CBG，∵∠BCG＝90°，∴∠BGC+∠CBG＝90°，∴∠BAF+∠EAF＝90°，∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF＝90°，∵∠BAD＝∠EAD，∴∠EAD+∠EAF＝45°，即∠DAF＝45°．故答案为：45．【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，正方形和平行四边形的判定和性质，对称的性质，角的平分线，画图的能力，垂直的判定等知识，正确作辅助线，构建三角形全等是关键．12．（2020•门头沟区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，证明HF＝EG；…请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）如图，连接DE，DG，根据正方形的性质得到AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，根据全等三角形的性质得到DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，求得DF＝DG，由等腰三角形的性质得到∠CDF＝∠CDG，推出△EDG是等腰直角三角形，于是得到结论．【解答】解：（1）依题意补全图形如图所示；（2）如图，连接DE，DG，∵在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∵∠DCF＝90°，∴DC⊥FG，∵CF＝CG，∴DF＝DG，∴∠CDF＝∠CDG，∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，∵∠ADC＝90°，∴∠EDG＝90°，∴△EDG是等腰直角三角形，∴EG＝DG＝DF．【点评】本题考查了等腰直角三角形，作图﹣基本作图，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（?U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）2．设复数z＝1+i，则??2＝（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i3．焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x4．在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A=6，则cos B＝（）A．34B．√34C．√74D．3√345．函数f（x）＝x-1是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R6．圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（）A．2B．2√??C．2√??D．4 7．设a，b，c为非零实数，且a＞b＞c，则（）A．a﹣b＞b﹣c B．1＜1??＜1??C．a+b＞2c D．以上三个选项都不对8．设向量→，→满足|??→|＝|??→|＝1，??→???→=12，则|??→+x??→|（x∈R）的最小值为（）A．√52B．√32C．1D．√??9．设{a n}为等比数列，则“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的?ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在（1+5x）6的展开式中，x的系数为．12．在等差数列{a n}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝；使得数列{a n}前n项的和S n取到最大值的n＝．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．14．能说明“若m（n+2）≠0，则方程2+??2??+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是．15．已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3．有以下三个结论：①f（﹣1）=-12；②当a∈（14，12]时，方程f（x）＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；③函数f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值．17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2）同时满足下列四个条件中的三个：）＝0．①最小正周期为π；②最大值为2；③f（0）＝﹣1；④f（-6（Ⅰ）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．18．随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A，B，C，D，E，F．在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t=，当t≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”．调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率．（Ⅰ）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（Ⅱ）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）将（Ⅰ）中概率值记为x%．对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由．19．设函数f（x）＝axlnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：f（x）＞-2??．20．已知椭圆E：22+??2??2=1（a＞b＞0）经过点C（0，1），离心率为√32．O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点（不在坐标轴上），直线CD交x轴于点P，Q为直线AD上一点，且→→=4，求证：C，B，Q三点共线．21．如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m，n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第m行第n列的数．将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i，j ≥b i+1，j，其中i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）．表1a1，1a1，2…a1，20a2，1a2，2…a2，20…………a40，1a40，2…a40，20表2b1，1b1，2…b1，20b2，1b2，2…b2，20…………b40，1b40，2…b40，20（Ⅰ）判断是否存在表1，使得表2中的b i，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）（Ⅱ）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有b i，j﹣b i+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有b m，n﹣b m，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；（Ⅲ）若a i，1+a i，2+…+a i，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i ≥k，都有b i，1+b i，2+…+b i，20≤19成立．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（?U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【分析】进行补集和并集的运算即可．解：U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴?U A＝{x|x≥2}，（?U A）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）．故选：D．2．设复数z＝1+i，则??2＝（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i【分析】由z求得??，利用两数和的平方公式展开即可得出．解：∵z＝1+i，∴??2＝（1﹣i）2＝﹣2i．故选：A．3．焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x【分析】根据题意，设要求抛物线的标准方程为y2＝2px，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案．解：根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为y2＝2px，又由焦点到准线的距离为4，即p＝4，故要求抛物线的标准方程为y2＝8x，故选：D．4．在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A=6，则cos B＝（）A．34B．√34C．√74D．3√34【分析】由已知利用正弦定理可求sin B的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求解cosB的值．解：∵在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A=6，∴由正弦定理=??，可得sinB==3×122=34，∴由B为锐角，可得cos B=√??-??=√74．故选：C．5．函数f（x）＝x-1是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x-1，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（1 -??）＝﹣（x-1）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）＝1+12，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f （﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．6．圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（）A．2B．2√C．2√??D．4【分析】首先令y＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长．解：令y＝0，则圆的方程转换为x2+4x+1＝0，所以x1+x2＝﹣4，x1x2＝1，所以|=|??-????|=√(????+????)-??????=??√??．故选：B．7．设a，b，c为非零实数，且a＞b＞c，则（）A．a﹣b＞b﹣c B．1＜1??＜1??C．a+b＞2c D．以上三个选项都不对【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果．解：设a，b，c为非零实数，且a＞b＞c，所以对于选项A：当a＝3，b＝2，c＝1时，a﹣b＝b﹣c＝1，故错误．对于选项B：当a＝0，b＝﹣1，c＝﹣2时，1无意义，故错误．对于选项C：由于a＞c，b＞c，所以a+b＞2c，故正确．对于选项D：由于C正确，所以选项D错误．故选：C．8．设向量→，→满足|??→|＝|??→|＝1，??→???→=12，则|??→+x??→|（x∈R）的最小值为（）A．√52B．√32C．1D．√??【分析】两边平方，得出|→+x→|2关于x的二次函数，从而得出最小值．解：|→+x →|2=??→+2x??→→+x2??→=x2+x+1＝（x+12）2+34，∴当x=-12时，|→+x→|取得最小值√34=√32．故选：B．9．设{a n}为等比数列，则“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】对于任意的m∈N*，a m+2＞a m，即a m（q2﹣1）＞0．可得：{＞-??＞??，{????＜??????-??＜??，任意的m∈N*，解出即可判断出结论．解：对于任意的m∈N*，a m+2＞a m，即a m（q2﹣1）＞0．∴{＞-??＞??，{????＜??????-??＜??，任意的m∈N*，∴{＞??＞??，或{????＜????＜??＜??．∴“{a n}为递增数列”，反之也成立．∴“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的充要条件．故选：C．10．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的?ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且AB与CD相交，且B，C两点重合，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在（1+5x）6的展开式中，x的系数为30．【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求x的系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值求出x的系数．解：展开式的通项公式为：T r+1=????16﹣r?（5x）r＝5r???????x r；令x的指数为1，即r＝1；∴x2＝的系数为：5C61＝30；故答案为：30．12．在等差数列{a n}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝9；使得数列{a n}前n项的和S n 取到最大值的n＝5．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a2＝16，a5＝1，可得2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1，d．可得a n．令a n≥0，解得n即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2＝16，a5＝1，∴2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1＝9，d＝﹣2．∴a n＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n．令a n＝11﹣2n≥0，解得n≤112=5+12．∴使得数列{a n}前n项的和S n取到最大值的n＝5．故答案为：9，5．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为4+4√??．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体．如图所示：所以=??×??+??×12×??×√??+??=4+4√??．故答案为：4+4√．14．能说明“若m（n+2）≠0，则方程2+??2??+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是答案不唯一，m＝4，n＝2．【分析】由题意可得满足m＝n+2＞0或者m＜0，n+2＜0即可，任意取满足m，n的值即可．解：则方程2+??2??+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值为：满足m＝n+2＞0即可，可取m＝4，n＝2，故答案为：m＝4，n＝2．15．已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3．有以下三个结论：①f（﹣1）=-12；②当a∈（14，12]时，方程f（x）＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；③函数f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z．其中，所有正确结论的序号是①②．【分析】由题意可得函数f（x）的大致图象，可判断出所给命题的真假．解：①因为函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3，所以f（﹣1）=12f（﹣1+2）=12f（1）=12?（21﹣3）=-12；所以①正确；f（x）的大致图象如图所示可得当a∈（14，12]时，方程f（x）＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；所以②正确因为x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3﹣0时，x＝log23，又因为f（x+2）＝2f（x），所以函数f（x）由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确；故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，可得BC 1∥DE ，再由直线与平面平行的判定得到BC 1∥平面AB 1D ；（Ⅱ）由CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，得CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AB 1D 的一个法向量与→的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，由ABC ﹣A 1B 1C 1为三棱柱，得A 1E ＝BE ．又∵D 是A 1C 1的中点，∴BC 1∥DE ．∵BC 1平面AB 1D ，DE ?平面AB 1D ，∴BC 1∥平面AB 1D ；（Ⅱ）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴→=(-??，??，??)，??????→=(??，-??，??)，→=(??，-??，??)．设平面AB 1D 的法向量为→=(??，??，??)，由{→?→=-++=??→??→=??-=??，取y ＝1，得??→=(??，??，??)；设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ．则sin θ＝|cos ＜→，→＞|=|??→→||??→|?|→|=√66．∴直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值为√66．17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2）同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③f（0）＝﹣1；④f（-6）＝0．（Ⅰ）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，则由f（0）＝A sinφ＝﹣1，推出与A＞0，0＜φ＜2矛盾，可得函数f（x）不能满足条件③，由条件①，利用周期公式可求ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件④，可得f（-6）＝0，结合范围0＜φ＜??2，可求φ=??3，可得函数解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，则f（0）＝Asinφ＝﹣1，这与A＞0，0＜φ＜2矛盾，故函数f（x）不能满足条件③，所以函数f（x）只能满足条件①，②，④，由条件①，可得2?? |??|=π，又因为ω＞0，可得ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件④，可得f（-6）＝2sin（-??3+φ）＝0，又因为0＜φ＜2，所以φ=3，所以f （x ）＝2sin （2x+3）．（Ⅱ）由2k π-2≤2x+??3≤2k π+??2，k ∈Z ，可得：-5??12+k π≤x ≤??12+k π，k ∈Z ，可得f （x ）的单调递增区间为[-5??12+k π，12+k π]，k ∈Z ．18．随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F ．在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t =，当t ≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”．调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率．（Ⅰ）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（Ⅱ）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）将（Ⅰ）中概率值记为x%．对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由．【分析】（I ）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（II ）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（III ）根据样本是否具有普遍性进行判断．解：（I ）t A =9196＞0.9，t B =8491＞0.9，t C =6985＜0.9，t D =5474＜0.9，t E =6469＞0.9，t F =6365＞0.9．∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为46=23．（II ）X 的可能取值有2，3，4，且P （X ＝2）=42??2264=25，P （X ＝3）=??43??21??64=815，P （X ＝4）=4464=115，∴X 的分布列为：X 234P25815115E （X ）＝2×25+3×815+4×115=83．（III ）不能认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”．理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本．19．设函数f （x ）＝axlnx ，其中a ∈一、选择题，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极值；（Ⅲ）证明：f （x ）＞-2??．【分析】（I ）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（II ）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（III ）由于f （x ）＞-2??等价于xlnx -??????+2??＞0，结合（II ）可得f （x ）＝xlnx ≥-1??，故只要证明1-????≥??即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证．解：（I ）f ′（x ）＝alnx +a ，则f （1）＝0，f ′（1）＝a ，故取消y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程y ＝a （x ﹣1），把点（3，2）代入切线方程可得，a ＝1，（II ）由（I ）可得f ′（x ）＝lnx +1，x ＞0，易得，当0＜＜1时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＞1??时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，故当x =1时，函数取得极小值f （1）=-1??，没有极大值，证明：（III ）f （x ）＞-2??等价于xlnx -??????+2??＞0，由（II ）可得f （x ）＝xlnx ≥-1（当且仅当x =1??时等号成立）①，所以xlnx -+2??≥1??-??????，故只要证明1-????≥??即可，（需验证等号不同时成立）设g （x ）=1-????，x ＞0则??′(??)=??-1????，当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＞1时，g ′（x ）＞0，函数单调递增，所以g （x ）≥g （1）＝0，当且仅当x ＝1时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当x ＞0时，f （x ）＞-2??．20．已知椭圆E ：22+??2??2=1（a ＞b ＞0）经过点C （0，1），离心率为√32．O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且→→=4，求证：C ，B ，Q 三点共线．【分析】（Ⅰ）由b ＝1，=√32，a 2＝b 2+c 2，解得a ，c ，进而得出椭圆的方程．（Ⅱ）设D （x 0，y 0）（x 0y 0≠0），则024+??=1，直线CD 的方程为y =0-1??+??，令y ＝0，得点P 的坐标，设Q （x Q ，y Q ），由→→=4，得x Q =4(1-??0)（显然x Q ≠2），写出直线AD 的方程为y =00+2(??+??)，得Q （4(1-??0)??0，??0(4-4??0+2??0)??0(??0+2)），k BQ =-12．所以kBC ＝k BQ ，即C ，B ，Q 三点共线．解：（Ⅰ）由题意，得b ＝1，=√32，又因为a 2＝b 2+c 2，所以a ＝2，c =√??，故椭圆E 的方程为24+??=??．（Ⅱ）A （﹣2，0），B （2，0），设D （x 0，y 0）（x 0y 0≠0），则024+????=1，所以直线CD 的方程为y =0-10??+??，令y ＝0，得点P 的坐标为（01-??0，0），设Q （x Q ，y Q ），由→→=4，得x Q =4(1-??0)（显然x Q ≠2），直线AD 的方程为y =0+2(??+??)，将x Q 代入，得y Q =0(4-4??0+2??0)0(??0+2)，即Q （4(1-??0)0，??0(4-4??0+2??0)??0(??0+2)），故直线BQ 的斜率存在，且k BQ =-2=0(4-4??0+2??0)(??0+2)(4-4??0-2??0)=2??0-2??02+??0??04??02-2??0??0-4??0=-12．又因为直线BC 的斜率k BC =-12，所以k BC ＝k BQ ，即C ，B ，Q 三点共线．21．如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数．将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j≥b i+1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）．表1a 1，1a 1，2…a 1，20a 2，1a 2，2…a 2，20…………a 40，1a 40，2…a 40，20表2 b 1，1b 1，2…b 1，20b 2，1b 2，2…b 2，20…………b 40，1b 40，2…b 40，20（Ⅰ）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）（Ⅱ）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有b i，j﹣b i+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有b m，n﹣b m，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；（Ⅲ）若a i，1+a i，2+…+a i，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有b i，1+b i，2+…+b i，20≤19成立．【分析】（Ⅰ）直接利用表格求出结果．（Ⅱ）利用行列式的变换的应用求出结果．（Ⅲ）利用假设法的应用和关系式的变换的应用求出结论．【解答】解（Ⅰ）存在表1，使得b i，j＝100﹣i﹣j，不存在表1，使得，??=??+??-??．证明：（Ⅱ）因为对于任意的i＝1，2，3，…39，j＝1，2，…20，都有b i，j﹣b i﹣1，j≥1．所以b1，20﹣b2，20≥1，b2，20﹣b3，20≥1，b39，20﹣b40，20≥1．所以（b1，20﹣b2，20）+（b2，20﹣b3，20）+（b39，20﹣b40，20）≥39．，即b1，20≥b20，40+39＝40．由于m＝1，2，…40，n＝1，2，3，…19，都有b m，n﹣n m，n+1≥2．所以b1，1﹣b1，2≥2，b1，2﹣b1，3≥2，b1，19﹣b1，20≥2．所以（b1，1﹣b1，2）+（b1，2﹣b1，3）+（b1，19﹣b1，20）≥38，即b1，1≥78．解：（Ⅲ）当表1如下图时，011 (1)011 (1)101 (1)101 (1)110 (1)110...1 (1)111 0111 0111 (1)111…1其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1．因此每行的和均为19，符合题意．重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k≥39．以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行）的全部实数（即包含a r，1，a r，2，…，a r．20），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数．这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾．所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行），的全部实数．其次，在表2中，根据重拍规则得：当i≥39时，b i，j≤b39，j≤a i，j，（j＝1，2，…，20）．所以b i，1+b i，2+…+b i，20≤a r，1+a r，2+…+a r，20≤19，所以k≤39．综上所述k＝39．。

1.（海淀4）已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为 （A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若//l m ，m α⊂，则//l α （C ）若//l α，//l β，则//αβ （D ）若//l α，l β⊥，则αβ⊥答案 D2．（海淀7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2 （D ）4答案 A3．（海淀9）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为 （A ）255（B ）455（C ）5 （D ）25答案 C4.（西城13）.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 .答案 454+主视图左视图俯视图BCDA 1B 11D OP俯视图左视图主视图22225.（昌平6）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（A ）4 （B ）8 （C ）26 （D ）46 答案 C6.(东城9)已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（A ）π12+（B ）π14+ （C ）π18+（D ）1π+答案 C7.(东城13)设,,αβγ是三个不同的平面，m n ，是两条不同的直线，给出下列三个结论：①若m α⊥，n α⊥，则m n ∥； ②若m α⊥，m β⊥，则αβ∥； ③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥. 其中，正确结论的序号为． 答案 ①②8.（丰台8）如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为 等腰直角三角形，则该棱锥的体积为 （A ）233 （B ）43（C ）433（D ）23答案 A9.（密云9）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为 A ．2 B ．2 C ．22俯视图侧（左）视图正（主）视图111.53111左视图主视图1俯视图2D．23答案 D10.（房山8）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为2222俯视图左视图主视图（A）2（B）22（C）23（D）4答案C11.（朝阳13）某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为________．答案1212.（西城16）（第13题图）答案解：（Ⅰ）如图，连接1A B . 设11A B AB E =I ，并连接DE . 由三棱柱111ABC A B C -，得1A E BE =. ………… 2分又因为D 是11A C 的中点，所以1//BC DE . ……………… 4分 又因为1BC ⊄平面1AB D ，DE ⊂平面1AB D ， 所以1//BC 平面1AB D . ……………… 6分（Ⅱ）因为1CC ⊥底面ABC ， AC BC ⊥，所以CA ，CB ，1CC 两两垂直，故分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分 则(0,0,0)C ，(0,2,0)B ，(2,0,0)A ，1(0,2,2)B ，(1,0,2)D ，所以1(2,2,2)AB =-u u u u r ，1(1,2,0)B D =-u u u u r ，(0,2,0)BC =-u u u r， ……………… 8分 设平面1AB D 的法向量(,,)x y z =n ，由10AB ⋅=u u u u r n ，10B D ⋅=u u u u r n ，得2220,20,x y z x y -++=⎧⎨-=⎩令1y =，得(2,1,1)=n . ………………11分 设直线BC 与平面1AB D 所成的角为θ， 则 6sin |cos ,|||||||BC BC BC θ⋅=<>==⋅u u u ru u u r u u u r n n n ， 所以直线BC 与平面1AB D 6……………… 14分 DCA 1B 1C 1A BEyxzABCD PE GF13.（海淀17）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，E 为线段AD 的中点.PE ⊥底面ABCD ，点F 是棱PC 的中点，平面BEF 与棱PD 相交于点G . （Ⅰ）求证：//BE FG ； （Ⅱ）若PC 与AB 所成的角为4π，求直线PB 与平面BEF 所成角的正弦值． 答案（Ⅰ）证明：因为E 为AD 中点，所以112DE AD ==. 又因为1BC =，所以DE BC =. 在梯形ABCD 中，//DE BC ， 所以四边形BCDE 为平行四边形. 所以//BE CD .又因为BE ⊄平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ， 所以//BE 平面PCD .因为BE ⊂平面BEF ，平面BEF I 平面PCD FG =， 所以//BE FG .（Ⅱ）解：（解法1）因为PE ⊥平面ABCD ，且,AE BE ⊂平面ABCD ，所以PE AE ⊥，且PE BE ⊥.因为四边形BCDE 为平行四边形，90ADC ∠=︒， 所以AE BE ⊥.以E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz -. 则(0,0,0)E ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，(1,0,0)D -. 设(0,0,)P m （0m >），所以(1,1,)CP m =-u u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r.因为PC 与AB 所成角为4π，所以cos ,CP AB <>u u u r u u u r =CP ABCP AB⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r 2222m -+⋅=cos 4π=.所以m则P ，11(,)222F -.所以(0,1,0)EB =u u u r，11(,22EF =-u u u r，(0,1,PB =u u u r .设平面BEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则00.EB EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r ，n n即0110.22y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令x 1z =，所以=n . 所以cos ,||||PB PB PB ⋅<>=u u u ru u u r u u u r n nn =. 所以直线PB 与平面BEF. （Ⅱ）（解法2）连结EC ,因为//AE BC 且AE BC =，所以四边形ABCE 为平行四边形. 所以//AB CE .因为PC 与AB 所成角为4π，所以PC 与CE 所成角为4π.即4PCE π∠=. 因为PE ⊥平面ABCD ，且CE ⊂平面ABCD ， 所以PE CE ⊥. 又因为2EDC π∠=，所以平行四边形BCDE 是矩形. 所以在等腰直角三角形PEC中，PE CE =. 因为PE ⊥平面ABCD ，且,AE BE ⊂平面ABCD ， 所以PE AE ⊥，且PE BE ⊥. 又因为AE BE ⊥，以E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz -则(0,0,0)E ，(0,1,0)B，P ，(1,1,0)C -，11(,22F -.EA 1BCD所以(0,1,0)EB =u u u r，11(,22EF =-u u u r，(0,1,PB =u u u r .设平面BEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则00.EB EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r ，n n即0110.22y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令x 1z =，所以=n . 所以cos ,||||PB PB PB ⋅<>=u u u ru u u r u u u r n nn =. 所以直线PB 与平面BEF.14.（东城16）如图①，四边形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E 为AD 中点.将ABE ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，如图②. （Ⅰ）求证：平面1A EB ⊥平面1A ED ；（Ⅱ）若190A ED ∠=o ，求1A C 与平面1A BD 所成角的正弦值.ADECB图① 图②答案（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC =，2AD =，E 为AD 中点，所以BE AD ⊥.故图②中，1BE A E ⊥，BE DE ⊥.又因为1A E DE E =I ，1A E ，DE ⊂平面1A DE ，所以BE ⊥平面1A DE .又因为BE ⊂平面1A EB ，所以平面1A EB ⊥平面1A DE . ……………6分（Ⅱ）解：由190A ED ∠=o得1A E DE ⊥，又1A E BE ⊥，BE DE ⊥,因此，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．由11A E CD DE ===，得1(0,0,1)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，1(1,0,1)A B =-u u u r ，1(0,1,1)A D =-u u u r，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =， 则1100A B A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n uuu r uuu r 即00x z y z -=⎧⎨-=⎩，，令1z =得1,1x y ==，所以(1,1,1)=n 是平面1A BD 的一个法向量.又1(1,1,1)AC =-u u u r , 设直线1A C 与平面1A BD 所成角为θ，所以111||1sin |cos ,|3||||θ⋅=〈〉===uuu ruuu r uuu r n n n A C A C A C ．……………14分15.（丰台16）如图，四边形ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==. （Ⅰ）求证：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值. 答案证明：（Ⅰ）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B =I ，所以PB ⊥平面ABCD . ………5分 （Ⅱ）因为PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AB ⊥，PB AD ⊥. 因为四边形ABCD 为正方形， 所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(020)C ,,，(220)D ,,，(022)PC =-u u u r,,，(222)PD =-u u u r ,,，(201)PM =-u u u r,,.设平面PDM 的法向量为()x y z =,,u ， 则00PD PM ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r,,u u 即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,. 令2z =，则1x =，1y =-.于是(112)=,,u . 平面PDM 的法向量为(112)=,,u . 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ，所以3sin cos 6PC PC PC θ⋅=<>==u u u ru u u ru u u r,uu u. 所以直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为36. ………14分16.（密云16）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥． （Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小． 答案（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形．因为112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点， 所以ADC ∆和11A DC ∆均为等腰直角三角形．所以o1145ADC A DC ∠=∠=． 因此o190C DC ∠=，即1C D DC ⊥．因为1DC BD ⊥，BD DC D =I ， 所以1DC ⊥平面BCD ． 因为BC ⊂平面BCD ，所以1DC BC ⊥．（Ⅱ）解：因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，C 1ABC A 1B 1第16题图DDC 1A B C A 1 B 1第16题图zxyED CBAP所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥． 又因为1DC BC ⊥，111CC DC C =I ， 所以BC ⊥平面11ACC A ．因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥ 以C 为原点建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设1AC =，则(0,0,0)C ，(1,0,0)A ，(010)B ，，，(101)D ，，，1(102)A ，，，1(0,0,2)C ， 所以1(0,0,1)A D =-u u u u r ，1(1,1,2)A B =--u u u r ，1(1,0,1)C D =-u u u u r ，1(0,1,2)C B =-u u u r． 设平面1A BD 的法向量()x y z =，，m ，由1100.A D AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r，m m 得020.z x y z -=⎧⎨-+-=⎩， 令1x =，则(1,1,0)=m ．设平面1C BD 的法向量()x y z =，，n ，由1100.C D C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r ，n n 得020.x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1x =，则(1,2,1)=n ．则有cos ,||||2⋅<>===⋅m n m n m n因为二面角1A BD C --为锐角， 所以二面角1A BD C --的大小为π6．17.(昌平17)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD CD ===，3BC =，PC =E 为PB 中点，________ ，求证：四边形ABCD 是直角梯形，并求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值.从①CD BC ⊥；②//BC 平面PAD 这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.答案解1；选择①因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA AD⊥，PA CD ⊥. ……………..1分因为2PA AD CD ===，所以PD =因为PC = 所以222CD PD PC +=.B所以CD PD ⊥. …………….4分 因为PA PD P =I ，所以CD ⊥平面PAD . …………….6分 所以CD AD ⊥. 因为CD BC ⊥，所以//AD BC . …………….7分 所以四边形ABCD 是直角梯形.解2；选择②因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA CD ⊥. ……………..1分因为2PA AD CD ===，所以PD =因为PC =所以222CD PD PC +=. 所以CD PD ⊥.…………….4分 因为PA PD P =I ，所以CD ⊥平面PAD . 所以CD AD ⊥. …………….6分 因为//BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAD I 平面=ABCD AD ， 所以//BC AD .所以四边形ABCD 是直角梯形. …………….7分过A 作AD 的垂线交BC 于点M . 因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AM PA AD ⊥⊥. …………….8分 如图建立空间直角坐标系A xyz -. …………….9分 则(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A C D P . 因为E 为PB 中点，所以1(1,,1)2E -. 所以1(1,,1),(2,2,2),(0,2,2)2AE PC PD =-=-=-uu u r uu u r uu u r . …………….10分设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r，则 0,0.n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu ur 即2220,220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩…………….11分 令1,y =则1,0z x ==.于是(0,1,1)n =r. …………….12分设直线AE 与平面PCD 所成的角为α，EA 1B 1C 1CAB所以11112sin |cos ,|36||||2n AE n AE n AE α-⨯+⨯⋅=〈〉===r uu u r r uu u r r uu u r . 所以直线AE 与平面PCD所成角的正弦值为6. …………….14分 18.（房山16）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BCC B 是边长为2的正方形，平面ABC ⊥平面11BCC B ，1AB =，AB BC ⊥，点E 为棱1AA 的中点．（Ⅰ）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面1B CE 所成角的正弦值．答案（Ⅰ）∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC I 平面11BCC B BC = 又AB BC ⊥，∴AB ⊥平面11BCC B ， （有前面的∵，∴才得分） ∵11A B //AB ，∴11A B ⊥平面11BCC B ， ∵1BC ⊂平面11BCC B ，∴11A B ⊥1BC ， 又11BCC B 是正方形，11BC B C ⊥ ∴111BC A B C ⊥平面 （有前面的∵，∴才得分）（Ⅱ）由1,,AB BC BB 两两垂直，如图建立直角坐标系 (0,0,0)B ，1(2,2,0)C ，(2,0,0)C ，(0,1,1)E ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)BC =u u u u r ，1(2,2,0)B C =-u u u r，(2,1,1)CE =-u u u r设平面1B CE 的法向量为(,,)n x y z =r，则有110,0,n B C n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u ur 即22020x y x y z -=⎧⎨-++=⎩，， 令1x =，得(1,1,1)n =r设直线1BC 与平面1B CE 所成角为θ，所以sin |cos ,|n BC n BC BC n θ⋅=<>===r u u u rr u u u r u u u r r 19.（朝阳17）如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ^，4AD =，2DE EF ==，且π3EDC?. （Ⅰ）求证：AD ^平面CDEF ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值； （Ⅲ）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由． 答案解：（Ⅰ）因为ABCD 是正方形，所以AD CD ^．又因为AD DE ^，DE Ì平面CDEF ，CD Ì平面CDEF ，CD DE D =I ，所以AD ^平面CDEF ．……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AD ^平面CDEF ,所以平面ABCD ^平面CDEF ． 过点E 作EO CD ^，垂足为O ， 则OE ^平面ABCD ．在平面ABCD 内，过O 作OH CD ^， 则OE ^OH ．如图建立空间直角坐标系-O xyz ， 因为4AD =，2DE EF ==，且π3EDC?，所以1DO =，OE =则(4,1,0)A -，(4,3,0)B ，(0,3,0)C ，(0,1,0)D -，E ，所以(4,0,0)AD =-uuu r，(AE =-uu u r ，(4,4,0)BD =--uu u r．设平面ADE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.AD AE ìï?ïíï?ïïîn n uuu r uu u r即40,40.x x y ì-=ïïíï-++=ïî令=y 0=x ，1=-z，于是1)=-n ．设直线BD 与平面ADE 所成角为q ，则||436sin |cos ,|242||||BD BD BD q ×=<>==´n n n uu u ruu u r uu u r ． 所以直线BD 与平面ADE 6．……………10分 （Ⅲ）棱AB 上存在点G ，使得//MG 平面ADE ，此时3AG =．理由如下：因为//DC AB ，DC Ë平面ABFE ，AB Ì平面ABFE ， 所以//DC 平面ABFE ．因为DC Ì平面DCFE ，平面DCFE I 平面ABFE EF =， 所以//DC EF ．由（Ⅱ）知，3)F ，53(0,)2M ．设11(4,,0)(13)G y y -＃，则153(4,,2MG y =--uuu r ．由（Ⅱ）知，平面ADE 的一个法向量为3,1)=-n ．若//MG 平面ADE ，则0MG ?nuuu r1533()022y -+=，解得12y =，即(4,2,0)G ． 经验证，此时//MG 平面ADE ．所以棱AB 上存在点G ，使得//MG 平面ADE ，此时3AG =．……………14分20. （顺义6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 （A ）6（B ）8（C ）12（D ）2421. （顺义17）（本小题14分）如图一所示，四边形ABCD 2BD 将C 点翻折到1C 点位置（如图二所示）,使得二面角1A BD C --成直二面角.,E F 分别为11,BC AC 的中点.（I ）求证：1BD AC ⊥；（II ）求平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角的余弦值.解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分又Q AO ,1C O 1AC O ⊂平面 ∴1BD AC O ⊥平面 . ------------- 4分 又Q 11AC AC O ⊂平面 ∴1BD AC ⊥ ------------- 5分 （II ）Q 二面角1A BD C --是直二面角∴190C OA ∠=o ∴1C O AO ⊥∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6分 ∴以O 为原点，如图建系：∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11(,0,)22F∴11(,1,)22DF =u u u r ，31(0,,)22DE =u u u r -------------8分设(,,)n x y z =r是平面DEF 的一个法向量∴1102231022DF n x y z DE n y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r 令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =-r-------------11分又Q 1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC =u u u u r-------------13分∴111cos ,n OC n OC n OC ⋅=⋅r u u u u rr u u u u r r u u u u r= ∴平面DEF 与平面ABD-------------14分。

2020北京各区高三二模数学分类汇编—立体几何1.（2020▪海淀二模）已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若//l m ，m α⊂，则//l α （C ）若//l α，//l β，则//αβ（D ）若//l α，l β⊥，则αβ⊥2.（2020▪海淀二模）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2（D ）43.（2020▪海淀二模）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为4.（2020▪昌平高三二模）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（A ） （B ）（C ）（D ）5．（2020▪西城高三二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）255（B ）455（C ）5 （D ）25主视图左视图俯视图ABCD1A 1B 1C 1D OP（A ）6（B ）4（C ）3（D ）26. （2020▪东城高三二模）已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（A ）π12+（B ）π14+ （C ）π18+（D ）1π+7. （2020▪丰台高三二模）如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（A ）233（B ）43（C ）433（D ）238.（2020▪房山高三二模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（A ）2（B ）222222俯视图左视图主视图俯视图侧（左）视图正（主）视图111.5（C ）23（D ）49.（2020▪密云高三二模） 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为A ．B ．2C ．D ．10. （2020▪西城高三（下）6月模拟）佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目，图1的ABCD 由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来,可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中,棱AB 与CD 所在直线的位置关系为(A)平行(B)相交(C)异面且垂直(D)异面且不垂直11.（2020▪东城高三二模）设,,αβγ是三个不同的平面，m n ，是两条不同的直线，给出下列三个结论：①若m α⊥，n α⊥，则m n ∥； ②若m α⊥，m β⊥，则αβ∥； ③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥. 其中，正确结论的序号为______．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。

图2图1ED C AEDDC2020年北京市各城区中考二模数学——几何综合题24题汇总1、（2020年门头沟二模）24. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是 （2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧．．作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．2、（2020年丰台二模）24.如图1，在ABC △中，90ACB ∠=°，2BC =，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是________， AFBE =________．（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），延长FC 交AB 于点D ，如果6AD =-α的度数．3、（2020年平谷二模）24.（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC 上一点，且CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当BD CEAC AD==时， BPD ∠的度数____________________．4、(2020年顺义二模) 24．在△ABC 中， A B = AC ，∠A =30︒，将线段 B C 绕点 B 逆时针旋转 60︒得到线段 B D ，再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上． （1）如图 1，直接写出 ∠ABD 和∠CFE 的度数； （2）在图1中证明： A E =CF ； （3）如图2，连接 C E ，判断△CEF 的形状并加以证明．图2图1BCBDαECBA图3αFECBAFCBA图24-1图24-2图24-3EQPDCB A5、（2020年石景山二模）24．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点F ，连接AF ．（1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量 关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关 系，并证明你的猜想；（3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BFAF的值 （用含α、m 的式子表示）． 解：6、（2020年海淀二模）24．在ABC △中，90ABC ∠=o ，D 为平面内一动点，AD a =，AC b =，其中a ， b 为常数，且 a b <. 将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、C 、E .连接BE .（1）如图1，若D 在ABC △内部，请在图1中画出FCE △；（2）在（1）的条件下，若AD BE ⊥，求BE 的长（用含, a b 的式子表示）；（3）若=BAC α∠，当线段BE 的长度最大时，则BAD ∠的大小为__________；当线段BE的长度最小时，则BAD ∠的大小为_______________（用含α的式子表示）.图1 备用图7、（2020年西城二模）24．在△ABC ，∠BAC 为锐角，AB >AC ， AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．（1）如图1，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系；（2）BC 的垂直平分线交AD 延长线于点E ，交BC 于点F ．①如图2，若∠ABE =60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若AC AB +=，求∠BAC 的度数．8、（2020年通州二模）23．已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ），点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF 、AE ，AE 交BD 于点G ．（1）如图l ，求证：∠EAF ＝∠ABD ；（2）如图2，当AB ＝AD 时，M 是线段AG 上一点，连接BM 、ED 、MF ，MF 的延长线交ED 于点N ，∠MBF ＝12∠BAF ，AF ＝23AD ，请你判断线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．9、（2020年东城二模） 24．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与AB CAB BD DB图2点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．（1）当∠BQD =30°时，求AP 的长；（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP 为x ，BD 为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD 的值．10、（2020年朝阳二模）24. 已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的点，AD =BC ．（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明； （2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD =45°，求证BD =CE ．11、（2020年密云二模）24．已知等腰Rt ABC ∆和等腰Rt AED ∆中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC（1）发现：如(图1)，当点E 在AB 上且点C 和点D 重合时，若点M 、N 分别是DB 、EC 的中点，则MN 与EC 的位置关系是 ，MN 与EC 的数量关系是（2）探究：若把（1）小题中的△AED 绕点A 旋转一定角度，如(图2)所示，连接BD 和EC,并连接DB 、EC 的中点M 、N,则MN 与EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由;请以逆时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明位置关系成立，12、（2020年延庆二模）13、(2020年房山二模) 24. 边长为2的正方形ABCD 的两顶点A 、C 分别在正方形EFGH 的两边DE 、DG 上(如图1)，现将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转，当A 点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交DF 于点M ，BC 边交DG 于点N . （1）求边DA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时(如图2)，求正方形ABCD 旋转的度数；（3）如图3，设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.14、（2020年昌平二模）24．【探究】如图1，在△ABC 中， D 是AB 边的中点，AE ⊥BC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，AE ，BF 相交于点M ，连接DE ，DF . 则DE ，DF 的数量关系为 . 【拓展】如图2，在△ A B C 中 ，C B = C A ，点 D 是AB 边的 中点 ，点M 在 △ A B C 的内部 ，且 ∠MBC =∠MAC . 过点M 作ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥AC 于点F ，连接DE ，DF . 求证：DE =DF ；【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.P EC 图2 C B 图1ADBE CM F AD BE CM F MABCDFE图3图2图115、（2020年怀柔二模）24．已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 边上一点，F 是BC 边延长线上一点，且CF=AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是AC 边的中点，猜想BE 与EF 的数量关系为 .（2）如图2，若E 是线段AC 上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．16、（2020年大兴二模）25. 已知：E 是线段AC 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点D ，使得∠EDB =∠EAB ，联结AD .（1）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB =60°时，如图1，求证：ED =AD +BD ；（2）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB = α（0º﹤α﹤90º）时，如图2，请你直接写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）若直线EF 与线段AB 不相交，当∠EAB =90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系，并证明你的结论.17、（2020年燕山二模）24.如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．图1 图2AB EFA B E F AB C F F GE DC AB B ACDE GF。

2020北京西城高三二模数 学 2020.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2（B ）{}2,2−（C ）{}2,0,2−（D ）{}2,1,0,1,2−−2．若复数z 满足i 1i z ⋅=−+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =−（B ）y x x =（C ）1y x −=（D ）y4．抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x =（B ）1x =−（C ）1y =（D ）1y =−5．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）356．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >>（B ）a b c >>（C ）b c a >>（D ）b a c >>7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）28．若圆22420x y x y a +−++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]−∞（B ）(,0]−∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞9．若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2−>+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设函数()(1)e x f x x =−．若关于x 的不等式()1f x ax <−有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量(1,2)=−a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．12．若双曲线2221(0)16x y a a −=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____． 13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，____．15．在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD −所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于 ②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD −四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE BF ∥，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面BCF ∥平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F −−的余弦值．17．（本小题满分14分）从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=−，③611a =且122n n n a a a ++=+这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，右焦点为F，点(,0)A a，且1AF=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点,M N，直线,MA NA分别与直线4x=交于点P，Q，求PFQ∠的大小．设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（本小题满分14分）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =−+）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k −或12k−；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．2020北京西城高三二模数学参考到案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 2．A 3．B 4．D 5. A 6. B7. D8. A9. A10. D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．12．2y x =± 13．π1+ 14．乙，丁15．② ③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE . ……………… 3分 同理，得//BC 平面ADE . 又因为BCBF B =，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE . ……………… 6分 （Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ， 所以(2,0,2)AE =−，(0,2,1)AF =. ……… 8分 设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ， 由0AE ⋅=n ，0AF ⋅=n ，得220,20,x z y z −+=⎧⎨+=⎩令1y =，得(2,1,2)=−−n . ………………11分 平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F −−的平面角为θ，则 1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=−，即钝二面角D AE F −−的余弦值为13−. ……………… 14分17．（本小题满分14分）解：选择 ①：(Ⅰ) 当1n =时，由111S a ==，得0p =. ……………… 2分 当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n −=−， ……………… 3分 所以121n n n a S S n −=−=−（2n ≥）. ……………… 5分 经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =−∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =， ……………… 8分 即2(21)1(21)n m −=⨯−. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =−+=−+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． ……………… 14分选择 ②:(Ⅰ)因为13n n a a +=−，所以13n n a a +−=． ……………… 2分 所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列． ……………… 4分 所以1(1)32()n a a n d n n =+−=−∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =， ……………… 8分即2(32)1(32)n m −=⨯−. ……………… 9分化简，得22223423()33m n n n =−+=−+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 取到最小值6． ……………… 14分 选择 ③： (Ⅰ) 由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++−=−.所以数列{}n a 是等差数列． ……………… 2分又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =． ……………… 4分 所以1(1)21()n a a n d n n =+−=−∈N *. ……………… 6分(Ⅱ) 因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =， ……………… 8分 即2(21)1(21)n m −=⨯−. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =−+=−+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． ……………… 14分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”，…………… 1分 由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =. ……………… 2分 由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=， ………… 3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2. 因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =−=. ……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X ==⨯=， (25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=，(40)0.30.30.09P X ==⨯=. ……………… 9分 所以X 的分布列为：X20 25 30 35 40 P0.040.20.370.30.09……………… 10分 故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分 （Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩解得2a =，1c =， …………… 3分 从而223b a c =−=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． … 5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N −，(4,3)P −，(4,3)Q ，(1,0)F ，MPAF NxyOQ则(3,3)FP =−，(3,3)FQ =，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠=． ………… 6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =−，其中0k ≠． ……………… 7分 联立22(1),3412,y k x x y =−⎧⎨+=⎩ 得2222(43)84120k x k x k +−+−=． ……………… 8分 由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k −=+． ………… 9分 直线MA 的方程为11(2)2y y x x =−−． ……………… 10分 令4x =，得1122P y y x =−，即112(4,)2y P x −． ……………… 11分 同理可得222(4,)2y Q x −． ……………… 12分 所以112(3,)2y FP x =−，222(3,)2y FQ x =−． 因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+−−212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x −−=+−−2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x −++=+−++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k kk k −−+++=+−−+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k −−++=+−−++0=， 所以90PFQ ∠=．综上，90PFQ ∠=. ……………… 14分 20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f −=，即ππe 1e 1a a −−=−， ……………… 2分 解得0a =.验证知0a =符合题意. ……………… 4分 （Ⅱ）()e sin x f x x '=−. ……………… 6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈−， ……………… 7分 则()e sin 0x f x x '=−>，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >. ………………9 分（Ⅲ）由()e cos 0x f x a x =+=，得cos e xx a =−. 设函数cos ()e xx h x =−，[0,π]x ∈， ……………… 10分 则sin cos ()e xx x h x +'=. ……………… 11分 令()0h x '=，得3π4x =. 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减. ……………… 13分又因为(0)1h =−，π(π)e h −=，3π43π()e 42h −=，所以当3ππ4[e ,)2a −−∈时，方程cos e x x a =−在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2−−. ……………… 15分 21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) k a 可以等于1k −，但k a 不能等于12k −. ……………… 3分 (Ⅱ) 记b a −为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥. ……………… 6分 又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =，，100[99,100]I =显然满足条件①，②. 所以N 的最小值为100. ……………… 8分 (Ⅲ) N 的最大值存在，且为200. ……………… 9分 解答如下：（1）首先，证明200N ≤.由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]k I ≠∅.不妨设12n a a a <<<<. 如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N =. 这与题意不符，故20a >. ……………… 10分 如果111k k a a +−+≤，那么11k k k I I I −+⊆，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =−+”矛盾， 故111k k a a +−>+.所以4211a a >+>，6412a a >+>，，200198199a a >+>， 则2001100a +>.故12200[0,100]I I I ⊇.若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i =”矛盾， 所以200N ≤. ……………… 12分（2）给出200N =存在的例子 .令1100(1)2199k a k =−+−，其中1,2,,200k =，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =. 由1d <，知1k k I I +≠∅，则易得122001201[,]22I I I =−， 所以12200,,,I I I 满足条件①.又公差10011992d =>， 所以100(1)199k k I −∈，100(1)199i k I −∉(1,2,,1,1,)i k k N =−+.（注：100(1)199k − 为区间k I 的中点对应的数） 所以12200,,,I I I 满足条件②. 综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. ……………… 14分 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2020年高考数学二模试卷一、选择题1．已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，B ＝{﹣3，﹣2，0}，那么A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2} B ．{0} C ．{﹣2，0} D ．{﹣2，0，2} 2．在复平面内，复数z ＝i （1+i ）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上为减函数的是（ ） A ．y ＝﹣x 2 B ．y =log 12x C ．y ＝cos x D ．y =(12)x 4．抛物线y 2＝4x 上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12 5．若角α的终边经过点P （1，﹣2），则sin α的值为（ ）A ．2√55B ．√55C ．−√55D ．−2√55 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24 7．若α为任意角，则满足cos(α+k ⋅π4)=cosα的一个k 值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．已知a ，b ，c ∈R ，在下列条件中，使得a ＜b 成立的一个充分而不必要条件是（ ） A ．a 3＜b 3 B ．ac 2＜bc 2 C ．1a ＞1b D ．a 2＜b 2 9．设{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 1•a 3＝16，S 3＝14，若存在n 0使得a 1，a 2，⋯，a n 0的乘积最大，则n 0的一个可能值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知函数f(x)={1−|x+1|，x＜0x2−2x，x≥0，若实数m∈[﹣2，0]，则|f（x）﹣f（﹣1）|在区间[m，m+2]上的最大值的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，4]C．[1，3]D．[1，2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a→=（﹣1，2），b→=（m，1），若a→⊥b→，则实数m＝．12．设{a n}是等差数列，且a1＝2，a2+a4＝8，则{a n}的通项公式为．13．若将函数y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为．14．若直线l：y＝x+a将圆C：x2+y2＝1的圆周分成长度之比为1：3的两段弧，则实数a 的所有可能取值是．15．曲线C是平面内到定点F(32，0)和定直线l：x=−32的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②若点P（x，y）在曲线C上，则y满足|y|≤4；③若点P（x，y）在曲线C上，则1≤|PF|≤5．其中，正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a+b＝5，c＝3，______．是否存在以a，b，c为边的三角形？如果存在，求出△ABC的面积；若不存在，说明理由．从①cosC=13；②cosC=−13；③sinC=2√23这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．如图一所示，四边形ABCD是边长为√2的正方形，沿BD将C点翻折到C1点位置（如图二所示），使得二面角A﹣BD﹣C1成直二面角．E，F分别为BC1，AC1的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥AC1；（Ⅱ）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．18．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五组，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；（Ⅱ）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为D1，D2，试比较D1与D2的大小（只需写出结论）19．已知函数f（x）＝e x﹣ax2，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝﹣1时，试写出方程f（x）＝1根的个数．（只需写出结论）20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C的右焦点F作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线x＝4相交于点M，N．求证：以MN为直径的圆恒过点F．21．给定数列a1，a2，…，a n．对i＝1，2，…，n﹣1，该数列前i项a1，a2，…，a i的最小值记为A i，后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最大值记为B i，令d i＝B i﹣A i．（Ⅰ）设数列{a n}为2，1，6，3，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n（n≥4）是等比数列，公比0＜q＜1，且a1＞0，证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0，证明：a1，a2，…，a n是等差数列．﹣1参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣2，0}，那么A∩B＝（）A．{﹣2}B．{0}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣2，0}，∴A∩B＝{﹣2，0}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．在复平面内，复数z＝i（1+i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用复数的乘法运算化简，得到复数z在复平面内对应的点，则答案可求．解：由z＝i（1+i）＝﹣1+i．得复数z＝i（1+i）对应的点为（﹣1，1）．∴在复平面内，复数z＝i（1+i）对应的点位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数的乘法运算，是基础题．3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝﹣x2B．y=log12x C．y＝cos x D．y=(12)x【分析】由二次函数的图象及性质，直接可以判断选项A符合题意．解：二次函数f（x）＝﹣x2为开口向下的抛物线，且对称轴为x＝0，由二次函数的性质可知，其在（0，+∞）上为减函数，又f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝f（x），故函数f（x）＝﹣x2为定义在R上的偶函数．故选：A．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．4．抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为（）A ．4B ．2C ．1D ．12 【分析】求出欧文相等准线方程，焦点坐标，然后转化求解即可．解：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由抛物线的性质和对于可得：抛物线y 2＝4x 上的点到其焦点的距离的最小值为：1． 故选：C ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．5．若角α的终边经过点P （1，﹣2），则sin α的值为（ ）A ．2√55B ．√55C ．−√55D ．−2√55【分析】由角α的终边经过点P （1，﹣2），利用任意角的三角函数定义求出sin α即可． 解：∵角α的终边经过点P （1，﹣2），∴x ＝1，y ＝﹣2，|OP |=√5，因此，sin α=−25=−2√55． 故选：D ．【点评】此题考查了任意角的三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键． 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积． 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以S=12×3×3=92，由于锥体的高为4，所以V=13×92×4=6．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．7．若α为任意角，则满足cos(α+k⋅π4)=cosα的一个k值为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据函数值相等，可得后面为2π的整数倍，即可求解结论．解：因为cos(α+k⋅π4)=cosα；∴k•π4=2nπ，n∈Z；∴k＝8n；n∈Z；故选：D．【点评】本题主要考察诱导公式的应用，属于基础题目．8．已知a，b，c∈R，在下列条件中，使得a＜b成立的一个充分而不必要条件是（）A．a3＜b3B．ac2＜bc2C．1a＞1bD．a2＜b2【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：对于A：a3＜b3⇔a＜b是充要条件；对于B：若ac2＜bc2，得c≠0，则a＜b，反之不成立，即B是a＜b成立的充分不必要条件，；对于C：a＜b与1a＞1b互相推不出是既不充分也不必要条件．对于D ：a ＜b 与a 2＞b 2互相推不出是既不充分也不必要条件．故选：B ．【点评】本题考查了不等式的基本性质和充分必要条件的定义．属于基础题． 9．设{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 1•a 3＝16，S 3＝14，若存在n 0使得a 1，a 2，⋯，a n 0的乘积最大，则n 0的一个可能值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】由已知利用等比数列的性质可求a 2＝4，又S 3＝14，可得{a 1⋅a 3=16a 1+a 3=10，解得{a 1=2a 3=8，或{a 1=8a 3=2，分类讨论可求q 的值，即可求解数列的各项，即可求解． 解：等比数列{a n }中，公比q ＞0；由a 1•a 3＝16=a 22，所以a 2＝4，又S 3＝14，所以{a 1⋅a 3=16a 1+a 3=10，解得：{a 1=2a 3=8，或{a 1=8a 3=2， 若{a 1=2a 3=8时，可得q ＝2，可得a 1，a 2，⋯，a n 0的值为2，4，8，16…，不会存在n 0使得a 1，a 2，⋯，a n 0的乘积最大（舍去），若{a 1=8a 3=2时，可得q =12，可得a 1，a 2，⋯，a n 0的值为8，4，2，1，12，14⋯，观察可知存在n 0＝4，使得8×4×2×1的乘积最大，综上，可得n 0的一个可能是4．故选：A ．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式以及等比数列的性质，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．10．已知函数f(x)={1−|x +1|，x ＜0x 2−2x ，x ≥0，若实数m ∈[﹣2，0]，则|f （x ）﹣f （﹣1）|在区间[m ，m +2]上的最大值的取值范围是（ ）A ．[1，4]B ．[2，4]C ．[1，3]D ．[1，2]【分析】令g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣1），根据题设条件求出g （x ）的表达式，画出其图象，再对m 进行讨论，求出|g （x ）|的最大值的表达式，进而解决其范围问题．解：∵函数f(x)={1−|x +1|，x ＜0x 2−2x ，x ≥0，∴f （x ）﹣f （﹣1）={x +1，x ≤−1−x −1，−1＜x ＜0x 2−2x −1，x ≥0，令g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣1），其图象如下图所示：①当m ＝﹣2时，g （x ）={x +1，x ∈[−2，−1]−x −1，x ∈(−1，0]，此时|g （x ）|max ＝1；②m ∈（﹣2，﹣1）时，|g （x ）|max ＝﹣g （m +2）＝﹣[（m +2）2﹣2（m +2）﹣1]＝﹣m 2﹣2m +1∈（1，2）；③当m ＝﹣1时，g （x ）={−x −1，x ∈[−1，0]x 2−2x −1，x ∈(0，1]，此时|g （x ）|max ＝2， ④当m ∈（﹣1，0）时，|g （x ）|max ＝﹣g （m +2）＝﹣[（m +2）2﹣2（m +2）﹣1] ＝﹣m 2﹣2m +1∈（1，2）；⑤当m ＝0时，g （x ）＝x 2﹣2x ﹣1，x ∈[0，2]，此时|g （x ）|max ＝1．综上，最大值的取值范围为[1，2]．故选：D ．【点评】本题主要考查分段函数的图象及解决含参数最值问题的能力，属于一道有难度的题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a →=（﹣1，2），b →=（m ，1），若a →⊥b →，则实数m ＝ 2 ．【分析】利用向量的垂直，数量积为0，求解即可．解：向量a →=(−1，2)，b →=(m ，1)，向量a →与b →垂直，可得﹣m +2＝0，解得m ＝2．故答案为：2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量垂直条件的应用，考查计算能力． 12．设{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 2+a 4＝8，则{a n }的通项公式为 a n ＝n +1 ．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝2，a 2+a 4＝8，∴2×2+4d ＝8，解得d ＝1．则{a n }的通项公式为a n ＝2+n ﹣1＝n +1．故答案为：a n ＝n +1．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13．若将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为 y ＝sin （2x +π3） ．【分析】利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．解：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y ＝sin[2（x +π6）]＝sin （2x +π3）．故答案为：y ＝sin （2x +π3）．【点评】本题考查三角函数的图象变换，注意平移变换中x 的系数为1，否则容易出错误．14．若直线l ：y ＝x +a 将圆C ：x 2+y 2＝1的圆周分成长度之比为1：3的两段弧，则实数a 的所有可能取值是 ±1 ．【分析】设直线和圆相交于AB ，则根据较短弧长与较长弧长之比为1：3得到对应三角形为直角三角形，利用点与直线的距离建立条件关系即可．解：圆的标准方程为x 2+y 2＝1，圆心为（0，0），半径R ＝1，设直线y ＝x +a 和圆相交于AB ，若较短弧长与较长弧长之比为1：3，则∠AOB ＝90°，则圆心到直线﹣x +y ﹣a ＝0的距离d =√22，即d=|a|√2=√22，即|a|＝1，解得a＝±1，故答案为：±1．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据条件得到圆心到直线的距离是解决本题的关键．属于基础题．15．曲线C是平面内到定点F(32，0)和定直线l：x=−32的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②若点P（x，y）在曲线C上，则y满足|y|≤4；③若点P（x，y）在曲线C上，则1≤|PF|≤5．其中，正确结论的序号是②③．【分析】设出曲线上的点的坐标，求出曲线方程，画出图象，即可判断选项的正误．解：设P（x，y）是曲线C上的任意一点，因为曲线C是平面内到定点F（32，0）和定直线l：x=−32的距离之和等于5的点的轨迹，所以|PF|+|x+32|＝5．即√(x−32)2+y2+|x+32|＝5，解得x≥−32时，y2＝﹣4x+10，当x＜−32时，y2＝16x+40；显然①曲线C关于x轴对称；错误．②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤√5⇒|y|≤4；正确．③若点P在曲线C上，|PF|+|x+32|＝5，|x|≤52，则1≤|PF|≤5．正确．故答案为：②③．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，曲线的基本性质的应用，主要是对称性和范围，考查计算能力．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a +b ＝5，c ＝3，______．是否存在以a ，b ，c 为边的三角形？如果存在，求出△ABC 的面积；若不存在，说明理由．从①cosC =13；②cosC =−13；③sinC =2√23这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】不妨取cosC =13，然后利用余弦定理结合a +b ＝5，c ＝3列方程组，即解出三角形，面积可求． 解：（1）取cos C =13，∴sinC =2√23，结合a +b ＝5，c ＝3得：{a 2+b 2−c 22ab =13a +b =5c =3，解得：a ＝2，b ＝c ＝3或b ＝2，a ＝c ＝3．显然两种情况下，三角形面积相等： 故S △ABC =12absinC =4√2． （2）取cos C =−13，∴sinC =2√23，结合a +b ＝5，c ＝3得：{a 2+b 2−c 22ab=−13a +b =5c =3，可得：ab ＝12，a +b ＝5，消去b 得a 2﹣5a +12＝0，∵△＝﹣23＜0，无解．故cosC −13时，无解．（3）sinC =2√23时，cos C =13或cos C =−13．当cos C =13时，由（1）可知，S △ABC =12absinC =4√2． 当cos C =−13时，由（2）可知，无解．【点评】本题考查正余弦定理及面积公式的应用，同时考查学生运用方程思想解决问题的能力．属于中档题．17．如图一所示，四边形ABCD 是边长为√2的正方形，沿BD 将C 点翻折到C 1点位置（如图二所示），使得二面角A ﹣BD ﹣C 1成直二面角．E ，F 分别为BC 1，AC 1的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥AC 1；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取BD 中点O ，连结AO ，C 1O ，推导出BD ⊥AO ，BD ⊥C 1O ，从而BD ⊥平面AC 1O ，由此能证明BD ⊥AC 1．（Ⅱ）推导出OA ，OB ，OC 1两两垂直，以O 为原点，OA 、OB 、OC 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角的余弦值．解：（Ⅰ）证明：取BD 中点O ，连结AO ，C 1O ， ∵AB ＝AD ＝C 1B ＝C 1D ， ∴BD ⊥AO ，BD ⊥C 1O ，∵AO ，C 1O ⊂平面AC 1O ，∴BD ⊥平面AC 1O ，∵AC 1⊂平面AC 1O ，∴BD ⊥AC 1．（Ⅱ）解：∵二面角A ﹣BD ﹣C 1是直二面角，∴∠C 1OA ＝90°，∴C 1O ⊥AO ，∴OA ，OB ，OC 1两两垂直，以O 为原点，OA 、OB 、OC 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则O （0，0，0），A （1，0，0），B （0，1，0），D （0，﹣1，0），C 1（0，0，1）， ∵E ，F 分别为BC 1，AC 1的中点． ∴E （0，12，12），F （12，0，12），∴DF →=（12，1，12），DE →=（0，32，12），设n →=（x ，y ，z ）是平面DEF 的一个法向量，∴{DF →⋅n →=12x +y +12z =0DE →⋅n →=32y +12z =0，令y ＝1，得n →=（1，1，﹣3），∵OC 1⊥平面ABD ，∴平面ABD 的一个法向量OC 1→=（0，0，1）， 设平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角为θ， 则cos θ=|n →⋅OC 1→||n →|⋅|OC 1→|=3√1111．∴平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角的余弦值为3√1111．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题． 18．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五组，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；（Ⅱ）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为D1，D2，试比较D1与D2的大小（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）根据直方图计算出甲班学习时间在5小时及5小时以上的频率，再乘以600即可；（Ⅱ）按照超几何分布的性质求解即可；（Ⅲ）根据直方图的集中与分散程度直接比较D1，D2即可．解：（Ⅰ）由题意知：甲班每天学习时间达到5小时及以上的学生频率为（0.5+0.250+0.05）×1＝0.8．故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为0.8×600＝480人．（Ⅱ）甲班每天学习时间不超过4小时的人数为40×0.05×1＝2人，乙班每天学习时间不超过4小时的人数为40×0.1×1＝4人，故两个班每天学习时间不超过4小时的共6人，由题意甲班抽到的学生人数X服从超几何分布：且P(X=k)=C2k C43−kC63，k=0，1，2．X的分布列为：X012P153515故EX=0×15+1×35+2×15=1．（Ⅲ）从直方图上来看，甲班的数据比较集中，乙班的数据相比甲班较为分散，故D1＜D2．【点评】本题考查频率分布直方图、超几何分布以及期望与方差的计算等知识点．同时考查学生分析和解决实际问题的能力．属于中档题．19．已知函数f（x）＝e x﹣ax2，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝﹣1时，试写出方程f（x）＝1根的个数．（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝e x﹣x2，求其导函数，得到f′（1），再求出f（0），利用直线方程斜截式得答案；（Ⅱ）f′（x）＝e x﹣2ax，若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则e x﹣2ax≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数a，再利用导数求函数g（x）=e x2x的最小值即可求得a的范围；（Ⅲ）当a＝﹣1时，f（x）＝e x+x2，f（x）＝1即e x+x2＝1，作出两个函数y＝e x﹣1与y＝﹣x2的图象，由图可得方程f（x）＝1根的个数．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝e x﹣x2，f′（x）＝e x﹣2x，则f′（1）＝e﹣2，又f（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为y＝（e﹣2）x+1；（Ⅱ）f′（x）＝e x﹣2ax，若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则e x﹣2ax≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤e x2x在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=e x2x，g′（x）=2xe x−2e x4x2，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）的最小值为g（1）=e 2，∴a≤e 2；（Ⅲ）当a＝﹣1时，f（x）＝e x+x2，f（x）＝1即e x+x2＝1，也就是e x﹣1＝﹣x2，作出两个函数y＝e x﹣1与y＝﹣x2的图象如图：由图可知，方程f （x ）＝1有2个根．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C 的右焦点F 作斜率为k （k ≠0）的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 是椭圆C 的左顶点，直线AP ，AQ 分别与直线x ＝4相交于点M ，N ．求证：以MN 为直径的圆恒过点F ．【分析】（Ⅰ）求得c ，a ，b ，可得椭圆方程；（Ⅱ）直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合直径所对的圆周角为直角，即可得证．解：（Ⅰ）由焦距和长半轴长都为2，可得c ＝1，a ＝2，b =√a 2−c 2=√3， 则椭圆方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）证明：F （1，0），A （﹣2，0），直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 联立椭圆方程可得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，直线l 过椭圆的焦点，显然直线l 与椭圆相交．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=8k23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k2，直线AP 的方程为y =y1x 1+2（x +2）， 可令x ＝4，得y M =6y 1x 1+2，即M （4，6y 1x 1+2），同理可得N （4，6y 2x 2+2），所以FM →=（3，6y 1x 1+2），FN →=（3，6y 2x 2+2）， 又FM →•FN →=9+36y 1y2(x 1+2)(x 2+2)＝9+36k 2(x 1−1)(x 2−1)(x 1+2)(x 2+2)=9+36k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=9+36k 2(4k 2−123+4k 2−8k23+4k2+1)4k 2−123+4k 2+16k23+4k2+4＝9+36k2⋅−93+4k236k23+4k2=9﹣9＝0．所以以MN为直径的圆恒过点F．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．21．给定数列a1，a2，…，a n．对i＝1，2，…，n﹣1，该数列前i项a1，a2，…，a i的最小值记为A i，后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最大值记为B i，令d i＝B i﹣A i．（Ⅰ）设数列{a n}为2，1，6，3，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n（n≥4）是等比数列，公比0＜q＜1，且a1＞0，证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0，证明：a1，a2，…，a n ﹣1是等差数列．【分析】（Ⅰ）由新定义分别得到所求值；（Ⅱ）运用等比数列的定义和新定义，即可得证；（Ⅲ）设d为d1，d2，…，d n﹣1的公差，则d＞0，由数列的单调性和新定义推得a n＝B1，再由等差数列的定义，化简整理，推理即可得证．解：（Ⅰ）d1＝6﹣2＝4，d2＝6﹣1＝5，d3＝3﹣1＝2；（Ⅱ）证明：由a1＞0，0＜q＜1，可得a1，a2，…，a n（n≥4）是递减的等比数列．因此对i＝1，2，…，n﹣1，A i＝a i，B i＝a i+1，于是对i＝1，2，…，n﹣1，d i＝B i﹣A i＝a i+1﹣a i＝a1（q﹣1）q i﹣1，因此d i≠0，且d i+1d i=q（i＝1，2，…，n﹣2），即d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）证明：设d为d1，d2，…，d n﹣1的公差，则d＞0，对1≤i≤n﹣2，因为B i≥B i+1，所以A i+1＝B i+1﹣d i+1≤B i﹣d i+1＝B i﹣d i﹣d＜B i﹣d i＝A i，即A i+1＜A i，又因为A i+1＝min{A i，a i+1}，所以a i+1＝A i+1＜A i≤a i．从而a1，a2，…，a n﹣1是递减数列．因此A i＝a i（i＝1，2，…，n﹣1），又因为B1＝A1+d1＝a1+d1＞a1，所以B1＞a1＞a2＞…＞a n﹣1，因此a n＝B1，所以B1＝B2＝…＝B n﹣1＝a n，a i＝A i＝B i﹣d i＝a n﹣d i，因此对i＝1，2，…，n﹣2都有a i+1﹣a i＝d i﹣d i+1＝﹣d，即a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．【点评】本题考查新定义的理解和运用．考查等差数列和等比数列的定义和通项公式，考查运算能力和推理能力，属于难题．。