2020届四川省泸州市高三第二次教学质量诊断性考试数学(理科)试题(学生版)

四川省泸县第五中学高2020届高考适应性考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题★答案★后，用铅笔把答题卡对应题目的★答案★标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它★答案★标号.回答非选择题时，将★答案★写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A. {}2x x >-B. {}22x x -<<C. {}22x x -≤<D.{}2x x <【★答案★】C 【解析】 【分析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【详解】解：∵{}2A x x =<,{}22B x x =-≤≤, ∴{}22A B x x ⋂=-≤<, 故选：C.【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题. 2.若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【★答案★】B 【解析】 【分析】化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 3.设向量(1,)a x x =-，(1,2)b =-，若//a b ，则x =（ ） A. 32-B. -1C.23D.32【★答案★】C 【解析】 【分析】根据//a b 即可得出2(1)0x x -+=，解出x 即可． 【详解】//a b2(1)0x x ∴-+=∴23x =． 故选C【点睛】考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中错误的是（ ）A. 该超市这五个月中的营业额一直在增长；B. 该超市这五个月利润一直在增长；C. 该超市这五个月中五月份的利润最高；D. 该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关. 【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题设中的折线图中的数据，准确计算每个月的利润，即可求解，得到★答案★． 【详解】由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得： 1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元； 5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，故选B ．【点睛】本题主要考查了折线图的应用，其中解答中认真审题，根据数据的折线图的数据，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 5.在ABC 中，D 在BC 边上，且2BD DC =，E 为AD 的中点，则BE =( )A. 1136AC AB -B. 1536AC AB -+ C. 1136AC AB -+ D.1536AC AB - 【★答案★】D 【解析】 【分析】由题意可得，()2233BD BC AC AB ==-，1122BE BA BD =+，从而根据平面向量的线性运算求解即可．【详解】解：∵2BD DC =， ∴()2233BD BC AC AB ==-， ∵E 为AD 的中点， ∴1122BE BA BD =+()112223AB AC AB =-+⨯-1536AC AB =-， 故选：D ．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．6.某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩()X N 105,100～，若已知P(90X 105)0.36<≤=，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为( ) A. 0.86 B. 0.64C. 0.36D. 0.14【★答案★】D 【解析】 【分析】由已知求得()1050.5P X >=，再由()901050.36P X <≤=，得()()105120901050.36P X P X <≤=<≤=，再由()()1200.5105120P X P X >=-<≤得★答案★．【详解】因为学生成绩X 服从正态分布()105,100N ，所以()11052P X >=， 因为()901050.36P X <≤=，故()()105120901050.36P X P X <≤=<≤=，所以()()1200.51051200.50.360.14P X P X >=-<≤=-=， 故选D ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，M 为C 上一点，若4MF =，则MOF △（O 为坐标原点）的面积为( ) B. C. D. 【★答案★】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】因为1OF =，由抛物线的定义可得14M MF x =+=，解得3M x =，代入抛物线方程可得M y =±所以点M 的坐标为(3±，，所以MOF △的面积为11122M OF y ⋅=⨯⨯=， 故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊂，//n α，则m ，n 为异面直线；②若m β⊥，αβ⊥，m γ⊥，则αγ⊥； ③若//αγ，//βγ，则//αβ；④若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥. 则上述命题中真命题的序号为（ ） A. ①② B. ③④C. ②③D. ②④【★答案★】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断①的正误；利用面面垂直的判定定理可判断②的正误；利用面面平行的性质可判断③的正误；利用线面垂直的性质可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于①，若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，①错误；对于②，设a αβ⋂=，在平面α内作n a ⊥，因为αβ⊥，由面面垂直的性质定理知n β⊥， 又m β⊥，//m n ∴，m γ⊥，则n γ⊥，因为n ⊂α，αγ∴⊥，②正确；对于③，若//αγ，//βγ，由面面平行的性质可知//αβ，③正确； 对于④，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，//αβ∴，④错误. 故选：C.【点睛】本题考查了空间中线面、面面位置关系的判断，解答时要注意空间中垂直、平行的判定和性质定理的应用，考查推理能力，属于中档题．9.为得到函数sin 3y x x =的图象，只需要将函数2cos3y x =的图象（ ）A. 向左平行移动6π个单位 B. 向右平行移动6π个单位 C. 向左平行移动518π个单位 D. 向右平行移动518π个单位 【★答案★】D 【解析】 【分析】由题将函数sin 3y x x =可化为2sin(3)3y x π=-，将2cos3y x =的图象转换为2sin(3)2y x π=+，再利用三角函数图像的变换求解.【详解】由题将函数sin 3y x x =-可化为2sin(3)3y x π=-，将2cos3y x =的图象转换为2sin(3)2y x π=+，该图象向右平移518π个单位， 即可得到2sin(3)3y x π=-的图象．故选D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．10.已知πa 2=，π3b 7=，πc log 3=，则a ，b ，c 的大小为( ) A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.b c a >>【★答案★】A 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性、对数函数的单调性即可得出． 【详解】因为332871a b πππ==>=>，log 31c π=<， 则,,a b c 的大小为：a b c >>．故选A ．【点睛】对数或指数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数或指数的运算性质统一底数（或指数）.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.11.设1F 、2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，1PQ PF =，则椭圆的离心率为（ ） A. 32- B. 63-C. 22-D. 962-【★答案★】B 【解析】 【分析】设1PQ PF m ==，利用椭圆的定义得出2PF 、2F Q 和1QF ，然后利用勾股定理可得出m 与a 的等量关系，并利用勾股定理可求出该椭圆的离心率. 【详解】如下图所示：设1PQ PF m ==，由椭圆定义得22PF a m =-，222QF m a =-，142QF a m =-， 由勾股定理得22211PF PQ QF +=，可得(422m a =-，(1422PF a ∴=-，()2222PF a =，由勾股定理得2221212PF PF F F +=，即(()22224222224a c ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦，整理得()23212a c -=，因此，该椭圆的离心率为()32163ce a===.故选：B.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目，应熟练掌握圆锥曲线中a 、b 、c 和e 的关系．12.已知e 是自然对数的底数，不等于1的两正数,x y 满足5log log 2x y y x +=，若log 1x y >，则ln x y 的最小值为（ ）A .-1B. 1e-C. 12e-D. 2e-【★答案★】D 【解析】 【分析】利用对数的运算公式，化简5log log 2x y y x +=，求得log x y 的值，由此求得,x y 的关系式，化简ln x y ，并利用导数求得最小值. 【详解】依题意log log x y y x +=15log log 2x x y y +=，即25log log 102x x y y -+=，由于log 1x y >，故上式解得log 2x y =，即2yx .所以2ln ln 2ln x y x x x x ==.构造函数()2ln f x x x =（x 为不等于1的正数）.()()'21ln f x x =+，故函数在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,1,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以最小值为11122ln f e e e e ⎛⎫=⨯⨯=- ⎪⎝⎭.故选D.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第II 卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______．【★答案★】40 【解析】 【分析】根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得()521035522rrrr r rC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭所以1034r -= ，解得2r所以系数225240C ⨯=【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．14.圆()2215x y ++=关于直线y x =对称的圆的标准方程为__________． 【★答案★】22(1)5x y ++= 【解析】圆()2215x y ++=的圆心坐标为()1,0-，它关于直线y x =的对称点坐标为()0,1-，即所求圆的圆心坐标为(01)-，，所以所求圆的标准方程为22(1)5x y ++=． 15.已知数列{}n a 满足11a =，1323nn n a a a +=+，则7a =______.【★答案★】15【解析】 【分析】根据递推关系式以及等差数列的定义可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】由1323n n n a a a +=+，则11233n n n n a a a a +++=，得11123n n a a +=+， 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，111221(1)33n n n a a +=+-⨯=，321n a n =+， 所以715a =. 故★答案★为：15【点睛】本题考查了由递推关系式证明数列为等差数列、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.16.已知坐标原点为O ，过点()P 2,6作直线()2mx 4m n y 2n 0(m,-++=n 不同时为零)的垂线，垂足为M ，则OM 的取值范围是______．【★答案★】5⎡⎣【解析】 【分析】根据题意，将直线变形为()()2420m x y n y ---=，分析可得该直线恒过点()4,2，设()4,2Q ，进而分析可得点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，据此分析可得★答案★．【详解】根据题意，直线()2420mx m n y n -++=，即()()2420m x y n y ---=，则有2402x y y -=⎧⎨=⎩，解可得42x y =⎧⎨=⎩，则直线l 恒过点()4,2．设()4,2Q ，又由MP 与直线垂直，且M 为垂足，则点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，所以55OM ≤≤；即OM 的取值范围是5⎡⎣；故★答案★为5⎡⎣．【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆； （2）如果ABC ∆中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．特别地，当2A π=，则A 的轨迹为圆（除去,B C ）；（3）如果,A B 为定点，且动点M 满足22MA MB λ+=(λ为正常数)，则动点M 的轨迹为圆；三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.【★答案★】（1）2πC .3=；（2）4+【解析】 【分析】（1）由已知根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得sin 2sin cos A A C =-，结合sin 0A >，可求1cos 2C =-，由0C π<<可求C 的值．（2）由已知利用余弦定理、基本不等式可求4a b +≤，即可解得三角形周长的最大值． 【详解】（1）由22212cos2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=， 整理得到sin 2sin cos A A C =-，因为sin 0A >， 故1cos 2C =-，又0C π<<，所以23C π=． (2)由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212++=a b ab ， 整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以周长的最大值为224++=+【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.解三角形中的最值问题，可以用基本不等式或利用正弦定理把最值问题转化为某个角的三角函数式的最值问题．18.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了 做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、 患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户.若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不 能脱贫户”.（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布 列和数学期望()E ξ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）.【★答案★】（1）0.1；（2）见解析；（3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差. 【解析】试题分析：（1）处于100以下“*”图标共5个，由古典概型可求．（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，，ξ的可能值为0，1，2，3. 写出超几何分布列．（3）数据越集中方差越小，数据越分散方差越大，显然乙村更集中． 试题解析：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户， 所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P == （2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，ξ的可能值为0，1，2，3.从而()3631020101206C P C ξ====，()124631060111202C C P C ξ====，()2146310363212010C C P C ξ====，()3431041312030C P C ξ====.所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望()1131120123 1.262103010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. （3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小.19.如图，在梯形ABCD 中，//,2,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是菱形，60CAF ∠=.（1）求证：BF AE ⊥；（2）求二面角B EF D --的平面角的正切值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）97. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证得BC AC ⊥，由此根据面面垂直的性质定理证得BC ⊥平面ACEF ，从而证得AE BC ⊥,根据菱形的性质证得AE FC ⊥，由此证得AE ⊥平面BCF ，进而证得BF AE ⊥.（2）取EF 的中点M ，连接MC ，证得,,CA CB CM 两两垂直，由此建立空间直角坐标系，通过平面BEF 和平面DEF 的法向量，计算出二面角的余弦值，进而求得其正切值.【详解】(1)依题意，在等腰梯形ABCD 中，23AC =，4AB =， ∵2BC =，∴222AC BC AB +=即BC AC ⊥， ∵平面ACEF ⊥平面ABCD ,BC ∴⊥平面ACEF , 而AE ⊂平面ACEF ，∴AE BC ⊥．连接CF ，∵四边形ACEF 是菱形，∴AE FC ⊥， ∴AE ⊥平面BCF ,BF ⊂平面BCF ，∴BF AE ⊥．(2)取EF 的中点M ，连接MC ，因为四边形ACEF 是菱形，且60CAF ∠=． 所以由平面几何易知MC AC ⊥，∵平面 ACEF ⊥平面ABCD ，∴MC ⊥平面ABCD ．故此可以CA 、CB 、CM 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系各点的坐标依次为：(0,0,0)C ，(23,0,0)A ，(0,2,0)B ，3,1,0)D -，(3,0,3)E -，3,0,3)F ．设平面BEF 和平面DEF 的法向量分别为1111(,,)n a b c =，2222(,,)n a b c =，∵(3,2,3)BF =-，(23,0,0)EF =．∴由111111111323000230230a b c a BF n b c EF n a ⎧⎧-+==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅==⎩⎪⎪⎩⎩ ，令13b =，则1(0,3,2)n =，同理，求得2(0,3,1)n =-． ∴1212cos 130n n n n θ⋅==⋅B EF D --的平面角的正切值为97．【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量求二面角的三角函数值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知椭圆E 的中心在原点，左焦点1F 、右焦点2F 都在x 轴上，点M 是椭圆E 上的动点，12F MF ∆，在x 轴上方使122⋅=MF MF 成立的点M 只有一个．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(1,0)-的两直线1l ，2l 分别与椭圆E 交于点A ，B 和点C ，D ，且12l l ⊥，比较12()AB CD +与7AB CD 的大小．【★答案★】（1）22143x y +=（2）12()7AB CD AB CD +=【解析】 【分析】（1）根据已知设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知分析得221232bc MF MF b c c ⎧=⎪⋅=-=⎨⎪=⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，即得椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）先证明直线AB 的斜率为0或不存在时，()127AB CD AB CD +=.再证明若AB 的斜率存在且不为0时，()127AB CD AB CD +=.【详解】（1）根据已知设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c =在x 轴上方使122MF MF ⋅=成立的点M 只有一个，∴在x 轴上方使122MF MF ⋅=成立的点M 是椭圆E 的短轴的端点.当点M 是短轴的端点时，由已知得221232bc MF MF b c c ⎧=⎪⋅=-=⎨⎪=⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.∴椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）()127AB CD AB CD +=.若直线AB 的斜率为0或不存在时，24AB a =-且223b CD a ==或24CD a ==且223b AB a==.由()()12123484AB CD +=⨯+=，773484AB CD =⨯⨯=得()127AB CD AB CD +=.若AB 的斜率存在且不为0时，设AB ：()()10y k x k =+≠，由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+，于是21AB x =-=()2212143k k +=+.同理可得()2222112112134143k k CD k k ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. ∴()222113443712121k k AB CD k ++++==+. ∴()127AB CD AB CD +=. 综上()127AB CD AB CD +=.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 21.已知函数()1ln 1=+++f x a x bx x.（1）若24a b +=，则当2a >时，讨论()f x 的单调性； （2）若()()21,F ==-b x f x x，且当2a ≥-时，不等式()2≥F x 在区间(]0,2上有解，求实数a 的取值范围.【★答案★】(1)★答案★见解析；(2)12ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，.【解析】 试题分析：（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，且()()1421f x alnx a x x=++-+，()()()22121a x x f x x⎡⎤----⎣⎦='．分类讨论可得：当4a =时，()f x 在()0+∞，内单调递减； 当24a <<时，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增；当4a >时，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增． （2）原问题等价于当2a ≥-时，()F x 在区间(]02，上的最大值()2max F x ≥． 且()11F x alnx x x =-++，则()221(02)x ax F x x x=<'++≤.分类讨论22a -≤≤和2a >两种情况可得()()2max F x F =．据此求解关于实数a 的不等式可得实数a 的取值范围是122ln ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，． 试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，由24a b +=得()()1421f x alnx a x x=++-+， 所以()()()()222121142a x x a f x a x x x ⎡⎤----⎣⎦=-+-='． 当4a =时，()0f x '≤，()f x 在()0+∞，内单调递减； 当24a <<时，()()111000222f x x f x x a ；>⇒<<<⇒<'<-'或12x a >-，所以，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增；当4a >时，()()111000222f x x f x x a a >⇒<<<⇒<<-''-；或12x >， 所以，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增． （2）由题意，当2a ≥-时，()F x 在区间(]02，上的最大值()2max F x ≥． 当1b =时，()12111F x alnx x alnx x x x x=+++-=-++， 则()221(02)x ax F x x x=<'++≤. ①当22a -≤≤时，()2221240a a x F x x⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭'=>， 故()F x 在(]02，上单调递增，()()2max F x F =； ②当2a >时，设2210(40)x ax a ++=∆=->的两根分别为12x x ，， 则1212120?100x x a x x x x +=-<=∴<<，，，，所以在(]02，上()2210x ax F x x++=>'， 故()F x 在(]02，上单调递增，()()2max F x F =． 综上，当2a ≥-时，()F x 在区间(]02，上的最大值()()1222122max F x F aln ==-++≥， 解得122a ln ≥-，所以实数a 的取值范围是122ln ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，． 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若将曲线5cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）上每一点的横坐标变为原来的15（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线C .直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，线段AB 的中点为M ，求PM .【★答案★】（1）()()222+3=1x y --；（2）2. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到cos +2sin +3x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）后，消去参数α即可得到曲线C 的普通方程；（2）将直线l 的方程化为参数方程的标准形式并代入到圆C 的方程，利用参数的几何意义可解得结果.【详解】（1）将曲线5cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）上每一点的横坐标变为原来的15（纵坐标不变），得到cos sin x y αα=⎧⎨=⎩， 然后将所得图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到cos +2sin +3x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α得圆C 的普通方程为()()222+3=1x y --.（2）由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得sin cos cos sin 44ππρθρθ-=即sin cos 2ρθρθ-=，因为sin ,cos y x ρθρθ==，所以2y x -=，即直线l 的直角坐标方程为：20x y -+=，倾斜角为4π，点()2,0P -，设直线l的参数方程为2+22xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆C的普通方程()()222+3=1x y--并整理得：2+24=0t-，因为(24240∆=-⨯>，设A、B两点对应的参数分别为1t，2t，则M点对应的参数为122t t+，由韦达定理得12t t+=1224t t=，则12==22t tPM+.【点睛】本题考查了图象变换、参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线参数方程中参数的几何意义，属于基础题. [选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()12=-+-f x x x a. （Ⅰ）当1a=时，求()1f x≥的解集；（Ⅱ）当[1,1]x∈-时，()1f x≥恒成立，求实数a的取值范围. 【★答案★】(1)[)1-1+3⎛⎤∞⋃∞⎥⎝⎦，，;(2)(][)-03+∞⋃∞，，.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分段去绝对值求解即可；（Ⅱ）当[]11x∈-，时，()1f x≥恒成立，即211x a x x-≥--=，显然当[)10x，∈-时，不等式恒成立，当[]01x∈，时，讨论2a和定义域的关系即可.试题解析：（Ⅰ）当1a=时，由()1f x≥，可得1211x x-+-≥，12321xx⎧<⎪∴⎨⎪-+≥⎩，①或1121xx⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩，②或1321xx，，>⎧⎨-≥⎩③解①求得13x ≤，解②求得1x =，解③求得1x >， 综上可得不等式的解集为[)113⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦，，． （Ⅱ）∵当[]11x ∈-，时，()1f x ≥恒成立，即211x a x x -≥--=， 当[)10x ，∈-时，a R ∈； 当[]01x ∈，时， 若02a ≤，即0a ≤时，22x a x a x -=-≥，3a x ≤，所以0a ≤; 若12a ≥，即2a ≥时，22x a a x x -=-≥，3a x ≥，所以3a ≥; 若012a <<，即02a <<时，2a x =时，不等式不成立 综上，][()03a ∈-∞⋃+∞，，． 点晴：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.第二问将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.。

2019-2020学年度秋四川省泸县二中高三期中考试理科数学试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．已知全集U =R ，{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，则集合()U C A B =A.{|0}x x ≥B.{|1}x x ≤C.{|01}x x ≤≤D.{|01}x x <<2．设i 是虚数单位，复数z 满足()13z i z -=+，则z 的虚部为 A ．1B ．-1C ．-2D ．23．已知命题p ：x R ∀∈，210x x ++>，则p ⌝为 A.x R ∃∉，210x x ++≤ B.x R ∃∈，210x x ++≤ C.x R ∃∉，210x x ++>D.x R ∃∈，210x x ++>4．sin40sin10cos40sin80+= A ．12 B． C ．cos50 D5．函数()f x 在R 上单调递减，关于x 的不等式2()(2)f x f >的解集是A.{|x x >B.{|x x <C.{|x x <<D.{|x x6．已知实数,x y 满足10200x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为A.-4B.52-C.-1D.-27．若方程的解为，则所在区间为 A ．B ．C ．D ．8．曲线3()2f x x x =+-在点P 处的切线与直线410x y ++=垂直，则点P 的坐标为A ．(1,0)B ．(1,0)或(1,4)--C ．(2,8)D ．(2,8)或(1,4)--9．将函数323y sin x π⎛⎫⎪⎝⎭＝＋的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 10．设函数，若是奇函数，则的值是A.1B.3C.－3D.－1 11．已知函数，若，，，则A ．B ．C ．D ．12．已知函数()221log 2xf x x+=-，若()f a b =，则()4f a -= A.bB.2b -C.b -D.4b -第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量()()121a b m =-=，，，，若向量a b +与a 垂直，则m =______． 14．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的一段图象如图所示.则()f x 的解析式为______．15．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________．16．若点P 是曲线2ln y x x =-上的任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离是________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若(0,)2x π∈，求函数()f x 的最大值以及取得最大值时x 的值.18．已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；(Ⅱ)求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[5,5]-上是单调函数．19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(1cos )(2cos )b C c B +=-. （Ⅰ）求证：,,a c b 成等差数列；(Ⅱ)若3C π=，ABC ∆的面积为c .20. （本小题满分12分）如图，平面α内等腰直角三角形ABP ，其中AB AP =，点C ，D 分别为BP 和AP 的中点，现将PCD ∆沿CD 折起构成二面角P CD A --，连接,PB PA ，取E 为棱PB 的中点． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；(Ⅱ)当二面角P CD A --为60︒时，求二面角A DE C --的余弦值．21．已知函数()(1)x f x e a x =--有两个零点． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；(Ⅱ)设1x ，2x （12x x <）是()f x 的两个零点，证明：1212x x x x ⋅<+．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为5{5x y t ==，(t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2πsin 14ρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程，并指明曲线C 的形状；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且｜OA ｜<｜OB ｜，求11||||OA OB -.23．已知()|1||1|f x x x =++-，不等式()4f x <的解集为M . （Ⅰ）求M ；(Ⅱ)当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+.2019-2020学年度秋四川省泸县二中高三期中考试理科数学试题参考答案1-5:DCBDC6-10:DCBAC11-12:AB13．714．()23sin 510f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭15．7-1617．（Ⅰ）()22f x x cos x =+ 226sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （Ⅱ）∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴72,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴()2max f x =. 此时262x ππ+=，∴6x π=.18．（1）22()()2f x x a a =++-，∴对称轴是x a =-，①当5a -≤-，即5a ≥时，()f x 在[5,5]-上为增函数，5x ∴=-时，()f x 取最小值且min ()2710f x a =-；②当55a -<-<，即55a -<<时，∴x a =-时，()f x 取最小值且2min ()2f x a =-；③当5a -≥，即5a ≤-时，()f x 在[5,5]-上为减函数，∴5x =时，()f x 取最小值且min 71(0)2f a x =+.综上所述：5a ≥时，min ()2710f x a =-；55a -<-<时，2min ()2f x a =-；5a ≤-时，min 71(0)2f a x =+.（2）∵二次函数()f x 图象关于直线x a =-对称，开口向上， ∴函数()f x 的单调减区间是(,]a -∞-，单调增区间是[,)a -+∞， 由此可得5a -≤-或5a -≥，即5a ≥或5a ≤-时，()y f x =在区间[5,5]-上是单调函数.19．（1）∵b （1+cosC ）=c （2-cosB ），∴由正弦定理可得：sinB +sinBcosC =2sinC -sinCcosB ，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，∴sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（2）∵C=，△ABC的面积为4=absinC=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2-3×16，解得：c=4.20.21．解：（1）∵()'xf x e a =-，x R ∈．（2）当0a ≤时，()'0f x >在R 上恒成立，∴()f x 在R 上单调递增，显然不符合题意． （3）当0a >时，由()'0f x =，得ln x a =，当x →+∞，x →-∞时都有()f x →+∞，当()()ln 2ln 0f a a a =-<，即2a e >时()f x 有两个零点． （2）要证1212x x x x <+，即证()()12111x x --<， 由已知()111xe a x =-，()221x ea x =-，即证()()1212111x x e x x a+--=<，即证122x x e a +<，即证122ln x x a +<，即证212ln x a x <-， 又∵2ln x a >，且()f x 在()ln ,a +∞单调递增，故只需证()()212ln f x f a x <-，即证()()112ln f x f a x <-， 令()()()2ln g x f a x f x =--且ln x a <，∵()2'2xx a g x e a e =--+ 222x x xa e ae e +-=- ()20x xe a e -=-<，∴()g x 在(),ln a -∞单调递减，∴()()()()ln 2ln ln ln 0g x g a f a a f a >=--=， ∴()()2ln f a x f x ->在(),ln a -∞上恒成立， ∴()()112ln f a x f x ->，故原命题得证．22：(Ⅰ)由5x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得y =2x ，由2πsin 14ρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，得22cos 210sin ρρθρθ--+=， 所以曲线C 的直角坐标方程为222210x y x y +--+=， 即()()22111x y -+-=.即曲线C 是圆心为(1，1)，半径r=1的圆.(Ⅱ)联立直线l 与曲线C 的方程，得222102sin sin tan ρρθρθθ⎧--+=⎨=⎩，消去θ，得210ρ+=， 设A 、B 对应的极径分别为12ρρ，，则12ρρ+=121ρρ⋅=， 所以12121211OA OB ρρρρ--===23：（1）2,1()11{2,12,11x x f x x x x x x >=++-=-<--≤≤，当1x >时，24x <，解得12x <<； 当1x <-时，24x -<，解得21x -<<-； 当11x -≤≤时，24<恒成立； 综合以上：{}|22x x -<< （2）证明24a b ab +<+，只需22224(2)168a ab b ab a b ++<++， 只需22224416a b a b +<+∵2222224416(4)(4)a b a b a b --+=-- 又∵22(0,4),(0,4)a b ∈∈，∴222244160a b a b --+>因此结果成立.。

泸州市高2018级第二次教学质量诊断性考试数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡-并上交．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合{}02A x x =<<，{}21B x x =≤，则A B ⋂=（ ） A ．()1,2-B ．(]0,1C ．[)1,2-D ．[]0,12．若()14z i i -=，则z =（ ）A B ．C ．2D ．43．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（ ）A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多C ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多D ．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%4．若x ，y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．95．离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p :，且()4E X =，()3D X =，则p 的值为（ ） A ．12B ．34C ．14 D ．186．把函数()2sin cos f x x x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x ，若()g x 在[]0,a 上是增函数，则a 的最大值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3 D ．5π127．在ABC △中，4AB =，2AC =，点O 满足BO OC =uu u r uuu r ，则BC AO ⋅uu u r uuu r的值为（ ）A ．6-B ．6C ．8-D ．88．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．12 C ．13D ．19．已知πln πa =，2ln 2b =，ec =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．c b a << D ．c a b <<10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222b c a bc +-=，cos C =tan B 的值为（ ） AB．CD11．双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点和虚轴的一个端点分别为F ，A ，点P 为C 右支上一动点，若APF △周长的最小值为4b ，则C 的离心率为（ ） ABCD12．直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最大值是（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．24π第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共10个小题，共90分．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）． 13．已知()6601631x a a x a x -=++⋅⋅⋅+，则126a a a ++⋅⋅⋅+=______． 14．已知函数()1e ex x f x =-，若()()220f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是______． 15．过抛物线28y x =的焦点F 的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若6AF =，则B O F △的面积为______．16．关于函数()3213f x x x c =-+有如下四个命题：①函数()y f x '=的图象是轴对称图形； ②当0c <时，函数()f x 有两个零点；③函数()y f x =的图象关于点()()1,1f 中心对称； ④过点()0,1且与曲线()f x 相切的直线可能有三条．其中所有真命题的序号是______．（填上所有真命题的序号）． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）为了解某水果批发店的日销售量，对过去100天的日销售量进行了统计分析，发现这100天的日销售量都没有超出4.5吨，统计的结果见频率分布直方图．（Ⅰ）求这100天中日销售量的中位数（精确到小数点后两位）；（Ⅱ）从这100天中随机抽取了5天，统计出这5天的日销售量y （吨）和当天的最高气温x （℃）的5组数据()(),1,2,,5i i x y i =⋅⋅⋅，研究发现日销售量y 和当天的最高气温x 具有线性相关关系，且5182i i x ==∑，5118ii y==∑，5211620i i x ==∑，()()5168.8i i i x x y y =--=∑．求日销售量y （吨）关于当天最高气温x （℃）的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并估计该水果批发店所在地区这100天中最高气温在10℃～18℃内的天数． 参考公式：()()()1122211ˆnnii i ii i nni ii i xx y y x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，且32a +是2a 和4a 的等差中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()111n n n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ．求使6364n T >成立的最小整数n ．19．（本小题满分12分）如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，E ，F 分别为1AA ，AB 的中点．（Ⅰ）求证：直线1D E ，CF ，DA 交于一点； （Ⅱ）若直线1D E 与平面ABCD 所成的角为π4，求二面角1E CD B --的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为C ，短轴长为TA ．（Ⅰ）求TB 的方程；（Ⅱ）设不过点()2,1T -的直线l 与M 相交于A ，B 两点，直线N ，TM TN =分别与x 轴交于M ，N 两点，若TM TN =，证明直线l 的斜率是定值，并求出该定值．21．（本小题满分12分）设函数()()ln 1f x x kx =+-，1k ≤． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）确定k 的所有可能值，使得存在0m >，对任意()0,x m ∈恒有()2f x x <成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，动直线1l ：1y x k=（k ∈R ，且0k ≠）与动直线2l ：()4y k x =--（k ∈R ，且0k ≠）交点P 的轨迹为曲线1C ．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程：（Ⅱ）若曲线2C 的极坐标方程为πsin 03ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，求曲线1C 与曲线2C 的交点的极坐标．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()23f x x x =-++． （Ⅰ）求不等式()7f x ≤的解集；（Ⅱ）若a ，b ，c 为正实数，函数()f x 的最小值为t ，且2a b c t ++=，求222a b c ++的最小值．泸州市高2018级第=次教学质量诊断性考试数学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分， 一、选择题：二、填空题：13．63； 14．[]2,1-；15．16．①③④．三、解答题：17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图性质知，各组频率之和为1，所以()0.50.080.160.40.520.120.080.0421a ⨯+++++++=， 解得0.3a =，设中位数为x ，则()0.040.080.150.2020.520.5x ++++-⨯=， 解得 2.06x ≈，即这100天中日销售量的中位数约为2.06吨；（Ⅱ）因为51116.45i i x x ===∑，311 3.65i i y y ===∑，()()1168.8nni ii i i i x ynxy x x y y ==-=--=∑∑，所以1222168.868.8ˆ0.251620516.4275.2ni ii nii x ynxybxnx ==-====-⨯-∑∑，ˆˆ 3.60.2516.40.5ay bx =-=-⨯=-， 所以销售量y （吨）关于当天最高气温x （℃）的线性回归方程是：ˆ0.250.5yx =-； 当10x =时，0.250.50.25100.52y x =-=⨯-=， 当18x =时， 0.250.50.25180.54y x =-=⨯-=，当最高气温在10℃～18℃内时，日销售量在2～4吨内，根据频率分布直方图可得在此范围的频率为：()0.520.30.120.080.50.51+++⨯=，所以估计该景区这100天中最高气温在10℃～18℃内的天数约为：1000.5151⨯=天．18．解：（Ⅰ）设数列{}n a 公比为q ，因为24a =，所以214a a q ==，因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+，即()2311122a q a q a q +=+， 所以220q q -=， 因为0q ≠，所以2q =，所以()22*2422n n n n a a q n --==⋅=∈N ；（Ⅱ）因为2nn a =，所以()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，2231111111212121212121n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112121n +=--- 11121n +=--，由6364n T >，得：116312164n +->-，所以1265n +>，即5n >， 所以使6364n T >成立的最小整数为6n =． 19．证明：（Ⅰ）连接EF ，1A B ，因为E ，F 分别为1AA ，AB 的中点，所以1//EF A B ，且112EF A B =， 因为1111ABCD A B C D -是直四棱柱，且底面是正方形， 所以11////BC AD A D ，且11BC AD A D ==， 即四边形11A BCD 是平行四边形， 所以11//A B D C ，且11A B D C =，所以1//EF DC ，且1EF DC ≠，即四边形1EFCD 为梯形， 所以1D E 与CF 交于一点，记为P ， 因为P ∈平面ABCD ，P ∈平面11ADD A ， 所以P ∈（平面ABCD ⋂平面11ADD A ）， 又因为平面ABCD ⋂平面11ADD A AD =， 所以P ∈直线AD ，（Ⅱ）法一：由题意可知11π4ED A ∠=， 所以1112A E A D ==，所以14AA =，以D 为原点，分别以1DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，所以()0,0,0D ，()10,0,4D ，()0,2,0C ，()2,2,0B ，()2,1,0F ，所以()2,1,0CF =-uu u r ，()2,0,0CB =uu r ，()10,2,4CD =-u u u r，设平面1PCD 的法向量为(),,n x y z =r，则： 20240x y y z -=⎧⎨-+=⎩，故()1,2,1n =r ， 设平面11BCD A 的法向量为()111,,m x y z =r，则11120240x y z =⎧⎨-+=⎩，故()0,2,1m =r ，所以cos ,m n ==r r 即二面角1B CD P --． 法二：过F 作1FH BA ⊥于点H ，过H 作//HN BC 交1D C 于N ，连接NF ，因为1111ABCD A B C D -是直四棱柱，且底面是正方形， 所以BC ⊥平面11ABB A ，所以BC FH ⊥，又1D C ⊂面11BCD A ， 所以1FH D C ⊥，又因为FN ⊂平面FHN ， 所以FNH ∠即为二面角1B CD P --的平面角， 设AK 为点A 到1A B 的距离， 所以11A B AK AB AA ⋅=⋅，所以AK ==，又2HN BC ==，12FH AK ==，在Rt FHN △中，FN =，所以cos 2HN FHN FN ∠=== 即二面角1B CD P --． 20．解：（Ⅰ）由e =22314b a -=，又因为2b =所以b =，解得：28a =，22b =，故椭圆C 的方程为22182x y +=；（Ⅱ）当直线l 与的斜率不存在时，设直线l ：()002x x x =≠-， 设l 与C 相交于()0,A x n ，()0,B x n -两点， 直线TA ：()01122n y x x --=++，直线TB ：()01122n y x x ---=++分别与x 轴相交于两点022,01x M n +⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，022,01x N n +⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，因为TM TN =，所以()()222200222201220111x x n n ++⎛⎫⎛⎫--++-=-+++- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭， 即02x =-，与已知矛盾，故直线l 斜率存在，设直线l ：y kx m =+，代入22182x y +=整理得；()222148480k xkmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则0∆>， 且122814km x x k -+=+，21224814m x x k -⋅=+，因为TM TN =，所以0TM TN k k +=，即121211022y y x x --+=++，所以()()()()122121210x y x y +-++-=， 即()()()()122121210x kx m x kx m ++-+++-=．所以()()2224882214101414m kmk k m m k k --⋅++-⋅+-=++， 整理得：()()21210k m k +--=， 所以210k +=或210m k --=，当21m k =+时，直线l ：()21y k x =++过点()2,1T -，不合题意，故舍去． 所以210k +=，即12k =-，即直线l 的斜率是定值．21．解：（Ⅰ）因为()()()ln 11f x x kx x =+->-， 所以()1,1f x k x '=-+， 当0k ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()1,-+∞上为增函数， 当01k <≤时，则110k -≥，由()101f x k x '=->+得：111x k-<<-， 所以()f x 在11,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上是增函数，在11,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数；（Ⅱ）①当1k =时，由（Ⅰ）知：()f x 在()1,0-上是增函数，在()0,+∞上是减函数， 所以()()00f x f <=，故()()f x f x =-， 设()()()22ln 1g x f x x x x x =--=-++-， 所以()()2111211x x g x x x x +'=-+-=-++， 令220x x +=，得112x =-，20x =，所以函数()g x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，在()0,+∞上是减函数，所以()()00g x g <=，所以1k =，存在0m >，对任意()0,x m ∈恒有()2f x x <． ②当1k <时，由（Ⅰ）知：对任意1k <，总存在10m >，使函数()f x 在()10,m 上是增函数， 因为()()00f x f >=，所以当()10,x m ∈时，()()f x f x =，设()()()22ln 1F x f x x x kx x =-=+--．所以()()211222111F x k x x k x k x x '⎡⎤=--=-+++-⎣⎦++， 令()()2221h x x k x k =+++-，因为()()122110h k k -=-++-=-<，()010h k =-<，所以()0h x =必有两根1x ，2x ，且11x <-，20x >，所以函数()F x 在()21,x -上是增函数，所以对任意1k <，存在{}12min ,0m m m =>，使函数()F x 在()0,m 上是增函数，故()()00F x F >=，即()20f x x ->，即()2f x x >，所以对任意1k <，不存在0m >，对任意()0,x m ∈恒有()2f x x <； 综上知，1k =．22．解：（Ⅰ）设直线1l 与2l 的交点()00,P x y ， 所以001y x k=和()004y k x =--， 消去参数k 得1C 的普通方程为2200040x x y -+=，把0cos x ρθ=，0sin y ρθ=代入上式得：()()22cos 4cos sin 0ρθρθρθ-+=， 所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）；（Ⅱ）将4cos ρθ=代入πsin 03ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得：即14cos sin 02θθθ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以πsin 203θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()1ππ26k k θ=-∈Z ，即曲线1C 与2C 交点的极坐标分别为π2,2π3k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()11π2π6k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ． 23．解：（Ⅰ）由不等式()7f x ≤可得：()237f x x x =-++≤，可化为：3237x x x <--+--≤⎧⎨⎩或32237x x x -≤≤⎧⎨-+++≤⎩或2237x x x >-++≤⎧⎨⎩，解得：43x -≤<-或32x -≤≤或23x <≤，所以原不等式的解集为[]4,3-；（Ⅱ）因为()()()23235f x x x x x =-++≥--+=，所以()f x 的最小值为5t =，即25a b c ++=，由柯西不等式得：()()()22222222211225a b c a b c t ++++≥++==， 当且仅当12b c a ==，即53a =，56b c ==时，等号成立， 所以222a b c ++的最小值为256．。

绝密★启用前2020届四川省泸州市高三二诊试题 （文）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,2答案：D利用交集的定义直接计算即可. 解：{}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =I ，故选：D. 点评：本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.2．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1答案：C利用复数的运算法则计算即可. 解：()()()()32122111111i i i ii i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C. 点评：本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.3．两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（ ） A ．13B ．23C ．14D ．12答案：B基本事件总数n 33A ==6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m 2222A A ==4，由此能求出其中两名男生刚好相邻的概率. 解：两名男生、一名女生站成一排，基本事件总数n 33A ==6， 其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m 2222A A ==4，∴其中两名男生刚好相邻的概率p 4263m n ===. 故选：B . 点评：本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 答案：B通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项. 解：解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B. 点评：本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题. 5．已知1tan 2α=，则cos2α的值为（ ）A ．15- B ．35-C ．45D ．35答案：D由222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ααααααα--==++即可得解. 解：22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++. 故选D. 点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式及同角三角函数关系，属于基础题.6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（ ） A ．44斛 B ．144斛 C ．288斛 D ．388斛答案：B先求出圆的半径，再利用圆锥的体积计算公式即可得出. 解：3丈＝30尺，30＝3×R ，解得R ＝10，由题意可得：1123⨯⨯3×102×712.43⨯≈144斛. 故选：B . 点评：本题考查了圆锥的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题.7．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2答案：A求出函数在1x =处的导数后可得曲线在()()1,1f 处的切线方程，从而可求切线的纵截距. 解：()2321f x x x '=-+，故()12f '=，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()()21121y x f x =-+=-. 令0x =，则1y =-，故切线的纵截距为1-. 故选：A. 点评：本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y 轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.8．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．6-B ．3C ．15D ．10答案：D根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环. 解：i ＝1，S ＝0，S ＝0﹣1＝﹣1，i ＝2；S ＝﹣1+4＝3，i ＝3；S ＝3﹣9＝﹣6，i ＝4； S ＝﹣6+16＝10，i ＝5，跳出循环.故选：D . 点评：本题考查程序框图，考查了推理能力，属于基础题. 9．已知函数f (x )=Asin (2x 3π-)(A ≠0) ，若函数f (x ﹣m )(m >0)是偶函数、则实数m 的最小值是（ ）A ．12π B ．6π C ．712π D ．23π 答案：A由题意利用三角函数的奇偶性以及图象的对称性，求得m 的最小值. 解：函数f （x ）＝Asin （2x 3π-）（A ≠0）， 若函数f （x ﹣m ）＝Asin （2x ﹣2m 3π-）（m ＞0）是偶函数，则 2m 3π+最小为2π，则实数m 的最小值为12π，故选：A . 点评：本题主要考查三角函数的奇偶性以及图象的对称性，属于基础题.10．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B． C．⎤⎦D ．[]1,4答案：D先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得1211PF PF +的取值范围. 解：由题设有1,b c ==2a =，故椭圆22:14x C y +=，因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.又()12121212111144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-，因为122PF ≤+()11144PF PF ≤-≤，所以121114PF PF ≤+≤. 故选：D.点评：本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.11．若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．163πB ．193πC ．1912πD ．43π 答案：B依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1．设该正三棱柱的外接球半径为R ，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×233，所以R 2＝23＋212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1912，则该球的表面积为4πR 2＝193π． 12．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且BF DF =，则C 的离心率是（ ） A 5B ．2C ．5D ．102答案：D如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接2DF 并延长交右支于C ，连接FC ，设2DF x =，利用双曲线的几何性质可以得到2DF x a =+，4FC x a =+，结合Rt FDC ∆、2Rt FDF ∆可求离心率.解：如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接FC ，连接2DF 并延长交右支于C . 因为2,==FO OF AO OD ，故四边形2FAF D 为平行四边形，故2FD DF ⊥. 又双曲线为中心对称图形，故2F C BF =.设2DF x =，则2DF x a =+，故22F C x a =+，故4FC x a =+.因为FDC ∆为直角三角形，故()()()2224222x a x a x a +=+++，解得x a =. 在2Rt FDF ∆中，有22249c a a =+，所以51022c e a ===. 故选：D. 点评：本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于,,a b c 的方程，本题属于难题.二、填空题13．已知直线l ：x +m 2y ＝0与直线n ：x +y +m ＝0，若//l n ，则m 的值为_____. 答案：±1由m 2﹣1＝0，解得m ，经过验证即可得出. 解：//l n ，则m 2﹣1＝0，解得m ＝±1，经过验证都满足l ∥n ，则m ＝±1.故答案为：±1. 点评：本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系，考查考生的计算能力，属于基础题.14．若x，y满足约束条件0 26020x yx yx y-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则z＝3x+2y的最小值是_____.答案：5作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.解：由z＝3x+2y得y322zx=-+，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y322zx=-+由图象可知：当直线y322zx=-+经过点A时，直线y322zx=-+的截距最小，此时z也最小，将A（1，1）代入目标函数z＝3x+2y，得z＝5.故答案为：5.点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法.15．设函数y=f(x)的图象与y＝2x+a的图象关于直线y x=-对称，且()41f-=，则a ＝_____.答案：3在函数y＝f（x）的图象上取点（x，y），则关于直线y＝﹣x对称点为（﹣y，﹣x），代入y＝2x+a，可得答案.解：因为函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，且f（﹣4）＝1；故（﹣1，4）在y＝2x+a的图象上，故有4＝2﹣1+a⇒a＝3.故答案为：3.点评：本题考查函数的解析式，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.16．ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222c a b ab =+-，sin sin sin A B A B +=，若3c =，则+a b 的值为__________.答案：先利用余弦定理求出C ，再用正弦定理求出2R并把sin sin sin A B A B +=转化为与边有关的等式，结合222c a b ab =+-可求+a b 的值. 解：因为222c a b ab =+-，故222cos 122a b c C ab +-==，因为()0,C π∈，所以3C π=.由正弦定理可得三角形外接圆的半径R满足2R ==，所以A B A B +=⨯即a b +=.因为()())222293+a b ab a b ab a b a b =+-=+-=+-，解得a b +=2a b +=-（舍）.故答案为：点评：本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.三、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足()*21n n S a n N +=∈.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）等差数列{b n }中，b 1＝3a 1，b 2＝2，求数列{a n +b n }的前n 项和T n .答案：（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）()11322nn n n T -+-+= （1）先由数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列{a n }的类型，再求出通项公式；（2）先由题设条件求出b n ，再结合（1）中的a n 求出a n +b n ，最后求出T n . 解：（1）当n ＝1时有2S 1+a 1＝1＝3a 1，解得113a =. 又∵2S n +a n ＝1（n ∈N ）①，∴2S n +1+a n +1＝1 ②.由②﹣①可得：2（S n +1﹣S n ）+a n +1﹣a n ＝0＝2a n +1+a n +1﹣a n ，即a n +113n a =， 所以数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列，∴a n ＝（13）n. （2）∵等差数列{b n }中，b 1＝3a 1＝1，b 2＝2，∴b n ＝n ，a n +b n ＝（13）n +n .∴T n ＝[231111()()()3333n++++L ]+（1+2+3+…n ）()()11[1)111333122213n nn n n n -⎛⎤- ⎥++-⎝⎦=+=+-. 点评：本题考查等比数列的定义及通项公式和数列求和中的分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，AB ＝AA 1＝A 1B ＝4，BC ＝2，AC ＝23，点F 为AB 的中点，点E 为线段A 1C 1上的动点.（1）求证：BC ⊥平面A 1EF ；（2）若∠B 1EC 1＝60°，求四面体A 1B 1EF 的体积. 答案：（1）证明见解析.（2）83（1）利用等边三角形的性质可得：A1F⊥AB.利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理可得：A1F⊥BC.利用勾股定理的逆定理可得：BC⊥AC.进而证明结论.（2）利用直角三角形的边角关系可得：EC1260tan=︒，A1E.由（I）可得：A1F⊥底面A1B1C1，A1F⊥A1E，A1F＝23.可得△A1EF的面积S.由（I）可得：BC⊥平面A1EF，可得B1C1⊥平面A1EF，即可得出四面体A1B1EF的体积.解：（1）∵AB＝AA1＝A1B，点F为AB的中点，∴A1F⊥AB，∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴A1F⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1F⊥BC.∵AB＝4，BC＝2，AC＝23，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵AC∥A1C1，∴BC⊥A1C1，又A1F∩A1E＝A1，∴BC⊥平面A1EF；（2）∵∠B1EC1＝60°，∴EC122360tan==︒，∴A1E＝223433-=.由（1）可得：A1F⊥底面A1B1C1，∴A1F⊥A1E，A1F＝23.∴△A1EF的面积S143232=⨯⨯=4.由（1）可得：BC⊥平面A1EF，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面A1EF，∴四面体A1B1EF的体积13=⨯S•B1C113=⨯4×283=.点评：本题考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、等边三角形与直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干销售地区分别投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（2）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将（1）的结果填入空白栏，根据表格中数据求出y关于x的回归真线方程y b x a=+$$$，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益达到8万元？参考公式：最小二乘法估计分别为()()2112211()nni ii i iinnii iix yx y nx ybxx nx yxx====---==--∑∑∑∑$，a xby=-$$.答案：（1）宽度为：2，平均值：5（2）空白栏中填5， 1.2.2ˆ0y x=+，投入6.5万元（1）由频率分布直方图各个小长方形的面积总和为1，建立方程，即可求得结论.利用组中值，求出对应销售收益的平均值；（2）利用公式求出ˆ,a b$即可计算y关于x的回归方程.解：（1）设长方形的宽度为m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1， 可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m ＝1，所以m ＝2.小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12）， 其中点分别为1，3，5，7，9.11对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04.故可估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×028+7×0.24+9×0.08+11×0.04＝5. （2）空白栏中填5.由题意可知，x =3，y =3.8，51i ii x y ==∑69，521i i x ==∑55， 所以26953 3.8ˆ5553b-⨯⨯==-⨯ 1.2，$a b y x =-=$ 3.8﹣1.2×3＝0.2. 所以关于x 的回归方程为 1.2.2ˆ0y x =+ 取8y =，得到 6.5x =. 点评：本题考查频率分布直方图、线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，属于中档题.20．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 在C 上，若PF ⊥x 轴，且△POF （O 为坐标原点）的面积为1. （1）求抛物线C 的方程；（2）若C 上的两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足32⋅=u u u r u u u rOA OB ，且|FA |+|FB |＝|AB |+2，求|AB |的值.答案：（1）24y x =.（2）480（1）先解出P 点坐标，再表示△POF 面积为122pp ⨯⨯=1，解得p ，进而得出抛物线方程.（2）设直线AB 方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立抛物线方程，消元x ，可得含y 的一元二次方程，由韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，|AB |因为|FA |+|FB |＝|AB |+2，得x 1+x 2＝|AB |，2m 2+2n ＝|AB |②由①②得2m 2+2n =OA u u u r •OB =u u u r 32，所以221244y y +y 1y 2＝32，n 2﹣8n ﹣128＝0，进而得出答案. 解：（1）由题知P 点的横坐标为2p ，代入抛物线方程得，y 2＝2p 2p⨯，解得y ＝p 或﹣p ， 所以P （2p ，﹣p ）或（2p，p ），△POF 面积为122p p ⨯⨯=1，解得p ＝2，所以抛物线C 方程为y 2＝4x ，S △OFP 21224p p p =⨯⨯=.（2）设直线AB 方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立抛物线方程得y 2﹣2my ﹣2n ＝0，y 1+y 2＝2m ，y 1y 2＝﹣2n ，|AB |== 因为|FA |+|FB |＝|AB |+2，所以x 1+1+x 2+1＝|AB |+2，即x 1+x 2＝|AB |，my 1+n +my 2+n ＝|AB |，m （y 1+y 2）+2n ＝|AB |，2m 2+2n ＝|AB |②由①②得2m 2+2n =m 2＝n 2﹣2n ，因为OA u u u r •OB =u u u r 32，所以x 1x 2+y 1y 2＝32，所以221244y y +y 1y 2＝32，（y 1y 2）2+16y 1y 2﹣16×32＝0，（﹣2n ）2+16（﹣2n ）﹣16×32＝0，n 2﹣8n ﹣128＝0， 解得n ＝﹣8（舍）或16，所以|AB |＝2m 2+2n ＝2（n 2﹣2n ）+2n ＝2n 2﹣2n ＝480. 点评：本题考查抛物线方程，向量在圆锥曲线的应用，直线与抛物线相交，属于中档题. 21．已知函数sin (),()(1)2ln xf xg x x m x x==--. （1）求证：当x ∈(0,π]时，f (x )<1；（2）求证：当m ＞2时，对任意x 0∈(0,π] ，存在x 1∈(0,π]和x 2∈(0,π](x 1≠x 2)使g (x 1)=g (x 2)=f (x 0)成立.答案：（1）证明见解析.（2）证明见解析（1）变换得到sin 0x x -<，设()sin F x x x =-，求导得到最值得到答案. （2）只需要求出f （x ）在（0，π]上的值域，然后研究g （x ）的单调性是先增后减或先减后增，同时说明每一段上的函数值范围都包含f （x ）的值域即可. 解：（1）(]0,x π∈，sin ()1xf x x=<，即sin 0x x -<，设()sin F x x x =-， 则()'cos 10F x x =-<，函数单调递减，故()()00F x F <=，即()1f x <，得证. （2）f （π）＝0，当()0,x π∈时，()0f x >，故f （x ）的值域为[0，1）.又因为g ′（x ）22mx m x x-=-=，x ∈（0，π]，m ＞2. 令()2'0g x x m==得∈（0，1）.显然y ＝mx ﹣2是增函数. ∴20x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减；2x m π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，g ′（x ）＞0，g （x ）递增.此时g （x ）min 22212g m ln m m m ⎛⎫⎛⎫==--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（m ＞2）. 将上式化简并令r （m ）＝2lnm ﹣m +2﹣2ln 2，m ＞2. ∵()2'0mr m m-=＜，∴r （m ）在（2，+∞）上递减. 所以r （m ）＜r （2）＝0，故g （x ）min ＜0.显然当x →0时，g （x ）→+∞，即当20x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，g （x ）递减， 且函数值取值集合包含f （x ）的值域[0，1）；而g （π）＝（π﹣1）m ﹣2ln π＞2（π﹣1）﹣2ln π＝2（π﹣1﹣ln π）＞2（3﹣1﹣ln π）， ∵3232ln lne π=＜，∴()1212g π⨯=＞，即当x 2m π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，g （x ）递增，且函数值取值集合包含f （x ）的值域[0，1）. 所以当m ＞2时，对任意x 0∈（0，π]，存在x 1∈（0，π]和x 2∈（0，π]（x 1≠x 2） 使g （x 1）＝g （x 2）＝f （x 0）成立. 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题.考查了学生运用数学思想方法（转化与化归、数形结合、函数与方程分类讨论）解决问题的能力.同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养.属于较难的题目.22．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数)M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2OP OM =u u u v u u u u v. （1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线12,C C 交于不同于原点的点,A B 求AB .答案：（1）4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩ ()α为参数；（2）(1)先设出点P 的坐标,然后根据点P 满足的条件代入曲线1C 的方程即可求出曲线2C 的方程;（2）根据(1)将求出曲线1C 的极坐标方程,分别求出射线3πθ=与1C 的交点A的极径为1ρ,以及射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为2ρ,最后根据21||AB ρρ=-求出所求. 解：（1）设(),P x y ,则由条件知,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于M 点在1C 上, 所以2cos 2()22sin 2xy ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩()α为参数 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩()α为参数. (2)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=, 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以21||AB ρρ=-=点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系，是基础题． 23．已知()13f x x x =+++. （1）解不等式()6f x <；（2）若,,a b c 均为正数，且()()10f a f b c ++=，求222a b c ++的最小值.答案：（1）()5,1-；（2）49（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解. （2）利用柯西不等式可求222a b c ++的最小值. 解：（1）()24,12,3124,3x x f x x x x +≥-⎧⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎩，由()6f x <得1246x x ≥-⎧⎨+<⎩或3126x -<<-⎧⎨<⎩或3246x x ≤-⎧⎨--<⎩，解得()5,1x ∈-.（2）()()()()242410f a f b c a b c ++=++++=， 所以222a b c ++=， 由柯西不等式()()()2222222123123112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++得：()()()222222222122ab c a b c ++++≥++所以()()22229224a b ca b c ++≥++=，即22249a b c ++≥（当且仅当429a b c ===时取“=”）. 所以222a b c ++的最小值为49. 点评：本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画．利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.。