高中毕业班第三次教学质量检测文科数学试题本试卷共 6 页。
满分 150 分。
考生注意：1. 答题前， 考生务必将自己的准考证号、 姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名、 考试科目” 与考生本人准考证号、 姓名是否一致.2. 第I 卷每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 第II 卷用0. 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答. 若在试题卷上作答， 答案无效.3. 考试结束， 考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、 选择题： 本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ＝{}2230x x x --< ， 集合N 是自然数集，则M N =IA. {}1,2B. {}0,1,2C. {}13x x -<<D. {}03x x ≤<2 若复数z 的模为1， 则z 不可能是A. iB. 1－iC. 11i i -+D. (1)(1)2i i -+ 3 下图是从 2020 年 2 月 14 日至 2020 年 4 月 19 日共 66 天的新冠肺炎中国 / 海外新增确诊趋势图，根据该图，下列结论中错误的是A.从 2020 年 2 月 14 日起中国已经基本控制住国内的新冠肺炎疫情B. 从 2020 年 3 月 13 日至 2020 年 4 月 3 日海外新冠肺炎疫情快速恶化C.这 66 天海外每天新增新冠肺炎确诊病例数的中位数在区间(40000，80000) 内D.海外新增新冠肺炎确诊病例数最多的一天突破 10 万例4.已知变量x，y 满足约束条件1x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z＝2x＋y的最大值为A.0B.1C.2D. 35.已知1,,3 AB a AC b BN BC ===uu u r r u u u r r u u u r u u u r，则AN=u u u rA.1122a b+r rB .2233a b+r rC.2133a b+r rD.1233a b+r r6.若方程221204x ya a+=+-表示椭圆，则实数a的取值范围是A. (－20，4)B. (－20,－8) (8,4)-UC. (,20)(4,)-∞-+∞U D. (,20)(8,)-∞--+∞U7. 函数1()()sinf x x xx=-在[,0)(0,]ππ-U的图象大致为8.已知数列{}n a满足2112,,1,2n n na a a n N a a*++=-∈==，则a2020 ＝A. －2B. －1C. 1D. 29.若0.330.220.220.330.22,0.33,loga b c===则A. a> b > cB. b> a>cC. c> a> bD. c > b >a10 若奇函数()g x的图象是由函数()sin cosf x a x x=+的图象向右平移6π个单位得到的.则()f x的一个单调递增区间是A.2[,]33ππ- B.4[,]33ππC.5[,]66ππ- D.7[,]66ππ11. 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地 中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史， 且长盛不衰， 传遍全球 为了弘扬中国茶文化， 某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”， 为了解每壶“金萱排骨茶” 中所放茶叶量x 克与食客的满意率y 的关系， 通过试验调查研究，发现可选择函数模型bx c y ae +=来拟合y 与 x 的关系， 根据以下数据：可求得y关于x 的回归方程为 A. 0.043 4.2911100x y e += B. 0.043 4.2911100x y e -= C. 0.043 4.291x y e += D. 0.043 4.291x y e -=12.在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 底ABCD 是边长为6 的正方形,点E 在线段AD 上.且满足AE ＝2ED . 过点E 作直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1外接球的截面.所得的截面面积的最大值与最小值之差为 19π. 则直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1外接球的半径为A. 3B. 23C. 33D. 3二、 填空题: 本大题共 4 小题.每小题 5 分.共 20 分.13.已知函数,则曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程为____________.14.设 △ABC 内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c 。
2022年四川省泸州市高考数学三诊试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.复数( )A. B.C.D.3.等差数列的前n 项和为，若，，则数列的公差( )A. 2B. 4C. 6D. 84.从1，3，5，7这四个数中随机取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率是( )A.B.C.D.5.空气质量指数简称是能够对空气质量进行定量描述的数据，AQI 越小代表空气质量越好．甲，乙两地在9次空气质量监测中的AQI 数据如图所示，则下列说法不正确的是( )A. 甲地的空气质量好于乙地B. 甲地的AQI 的平均值大于乙地C. 甲地的AQI 的方差小于乙地D. 甲地的AQI 的中位数大于乙地6.抛物线C ：的焦点为F ，点P 是C 上一点，若，则点P 到y 轴的距离为( )A. 2B. 3C. 4D. 57.下列函数中，定义域为R 且周期为的偶函数是( )A. B.C. D.8.圆的圆心到双曲线的一条渐近线的距离是( )A. B. C. D.9.点M、N分别是正方体的棱、的中点，用过平面AMN和平面的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图，则该几何体的正主视图、侧左视图、俯视图依次为( )A. ①、②、③B. ②、③、④C. ①、③、④D. ②、④、③10.已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是( )A. B. C. D.11.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要参考数据：，( )A. 8分钟B. 9分钟C. 10分钟D. 11分钟12.已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O的半径为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}，B ＝{x |x 2﹣1≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣2，0） B ．[﹣1，0） C ．（﹣2，1） D ．[﹣1，1]2．若2i z=1﹣i ，则z ＝（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i3．已知点A （2，0），动点P （x ，y ）满足{x −y ≤0y ≥0，则|PA |的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．44．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（ ） A ．每天新增疑似病例的中位数为2B ．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C ．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D ．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日5．已知曲线f （x ）＝e x +1（其中e 为自然对数的底数）在点（0，f （0））处的切线为l ，命题p ：点（1，3）在直线l 上，命题q ：点（﹣1，2）在直线l 上，则下列命题正确的是（ ）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）6．函数f（x）=3cosx+1x的部分图象大致是（）A．B．C．D．7．等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若a7＝3a4，则S10a4值为（）A．15B．20C．25D．408．函数f（x）是定义在[m﹣2，m]上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，则f（m）的值为（）A．2B．﹣2C．23D．−239．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列命题中正确的是（）A．AC与B1C相交直线且垂直B．AC与A1D是异面直线且垂直C．BD1与BC是相交直线且垂直D．AC与BD1是异面直线且垂直10．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x+l）＝f（l﹣x），且当x≥1时，f（x）是增函数，则a＝f（log32），b＝f（﹣log√312），c＝f（√3）的大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c11．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线l交C于A，B两点，与C的准线交于点M，若AB→+AM→=0→，则|AB|的值等于（）A．34p B．2p C．3p D．94p12．已知曲线C：f(x)=sin(4x+π3)，把C上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，关于g（x）有下述四个结论：（1）函数g（x）在(−1112π，−512π)上是减函数；（2）当x1，x2∈(−3π4，−π12)，且x1≠x2时，g（x1）＝g（x2），则g(x1+x2)=√32；（3）函数m(x)=g(x−π6)+2g(12x−π6)（其中x∈（0，2π））的最小值为−3√32．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）13．已知平面向量a→与b→满足a→•b→=−2，且a→•（a→+2b→）＝5，则|a→|＝．14．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18，S3﹣a1=34，则该数列的公比为．15．已知双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣2ym＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M的面积为16，则m的值是．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别 选择物理选择历史 总计 男生 50 m 女生 30 n 总计200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +d +c +d ．P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82818．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +2b ＝2c cos A ． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√3，求c ．19．如图，四棱锥S ﹣ABCD 的侧面SAD 是正三角形，AB ∥CD ，且AB ⊥AD ，AB ＝2CD ＝4，E 是SB 中点．（Ⅰ）求证：CE ∥平面SAD ；（Ⅱ）若平面SAD ⊥平面ABCD ，且SB =4√2，求多面体SACE 的体积．20．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为√32，过点F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的弦长为1． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx +m （k ＞0）交椭圆E 于点C ，D 两点，与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，且|CM |＝|DN |，求|CD |的最小值．21．已知函数f （x ）＝x ﹣1+axlnx （a ∈R ）． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）函数g （x ）＝m （x +1）+f （x ），当0＜a ≤1时，g （x ）≥0恒成立，求整数m 的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC 心形线．如果以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC 心形线的极坐标方程为ρ√1−|cosθ|sinθ=1． （Ⅰ）求RC 心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P （0，2）与直线l ：{x =−3my =2+4m （m 为参数），若直线l 与RC 心形线交于两点M ，N ，求|PM ||PN |的值．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分） 23．已知f （x ）＝|2x ﹣4|+|x +1|的最小值为m ． （I ）求m 的值；（II ）当a +b +c =m3时，证明：（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163．参考答案一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}，B ＝{x |x 2﹣1≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣2，0）B ．[﹣1，0）C ．（﹣2，1）D ．[﹣1，1]【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 解：∵集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}， B ＝{x |x 2﹣1≤0}＝{x |﹣1≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝{x |﹣1≤x ＜0}＝[﹣1，0）． 故选：B ． 2．若2i z=1﹣i ，则z ＝（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由2i z=1﹣i ，得z =2i 1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ，故选：D ．3．已知点A （2，0），动点P （x ，y ）满足{x −y ≤0y ≥0，则|PA |的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．4【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式即可得到结论．解：作出动点P （x ，y ）满足{x −y ≤0y ≥0对应的平面区域，由图象可知点A 到直线y ＝x 的距离最小， 此时d =2=√2， 即|PA |的最小值为√2， 故选：C ．4．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（）A．每天新增疑似病例的中位数为2B．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日【分析】根据折线图以及相关统计信息逐一分析即可得到答案解：对于A，每天新增疑似病例依次为0，0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，5，则中位数为2，故A正确；对于B，由统计知识得样本容量为18，故B正确；对于C，每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例有4月21日、23日、24日、25日、26日、27日、29日、30日、5月1日、2日、3日、4日、5日，共13天，故C正确；对于D，样本应该是4月18日至5月5日每天新增确诊病例人数，故D错误；故选：D．5．已知曲线f（x）＝e x+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线为l，命题p：点（1，3）在直线l上，命题q：点（﹣1，2）在直线l上，则下列命题正确的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【分析】先求出函数f（x）＝e x+1的导数，然后求出切线方程，再分别判断命题p和q 的真假，进一步结合选项得到答案即可．解：由f（x）＝e x+1，得f'（x）＝e x，∴曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线斜率k＝f'（0）＝1，又f（0）＝2，曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+2，当x＝1时，y＝3，故命题p是真命题，当x＝﹣1时，y＝1，命题q是假命题，∴结合选项可知p∧（￢q）为真命题．故选：A．6．函数f（x）=3cosx+1x的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的性质采用排除法．解：因为f（﹣x）=3cos(−x)+1−x=−f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除D，又当x 小于0趋近于0时，f （x ）＜0，故排除B ， 又f （﹣π）=3cos(−π)+1−π=2π＞0，据此排除C ．故选：A ．7．等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，若a 7＝3a 4，则S 10a 4值为（ ） A ．15B ．20C ．25D ．40【分析】a 7＝3a 4，可得a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=−32d ．d ≠0．再利用通项公式求和公式代入化简即可得出S 10a 4．解：∵a 7＝3a 4，∴a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=−32d ．d ≠0．则S 10a 4=10a 1+10×92d a 1+3d=5(−3d+9d)−32d+3d =20，故选：B ．8．函数f （x ）是定义在[m ﹣2，m ]上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （m ）的值为（ ） A ．2B ．﹣2C ．23D ．−23【分析】由已知奇函数的定义域关于原点对称可求m ，然后结合已知函数解析式及奇函数的性质代入可求．解：由奇函数的定义域关于原点对称可得，m ﹣2+m ＝0即m ＝1，∵当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （m ）＝f （1）＝﹣f （﹣1）＝﹣（13−1）=23．故选：C ．9．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，下列命题中正确的是（ ）A ．AC 与B 1C 相交直线且垂直 B ．AC 与A 1D 是异面直线且垂直 C ．BD 1与BC 是相交直线且垂直D ．AC 与BD 1是异面直线且垂直【分析】分别求出AC 与B 1C 、AC 与A 1D 、BD 1与BC 所成角判断A 、B 、C 错误；证明AC 与BD 1垂直判断D 正确． 解：如图，连接AB 1，可得△AB 1C 为正三角形，可得AC 与B 1C 是相交直线且成60°角，故A 错误；∵A 1D ∥B 1C ，∴AC 与A 1D 是异面直线且成60°角，故B 错误； BD 1与BC 是相交直线，所成角为∠D 1BC ，其正切值为√2，故C 错误；连接BD ，可知BD ⊥AC ，则BD 1⊥AC ，可知AC 与BD 1是异面直线且垂直，故D 正确． 故选：D ．10．定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （x +l ）＝f （l ﹣x ），且当x ≥1时，f （x ）是增函数，则a ＝f （log 32），b ＝f （﹣log √312），c ＝f （√3）的大小关系正确的是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】根据题意，函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数；a ＝f （log 392），b ＝f （log 34），c ＝f （log 33√3），只要分析清楚3√3，92，4大小，即可得出结论．解：根据题意，函数f （x ）满足f （x +l ）＝f （l ﹣x ），即函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，若当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数； a ＝f （log 32）＝f （2﹣log 32）＝f （log 392）b ＝f （﹣log √312）＝f （log √32）＝f （3log √3）＝f （2log 32）＝f （log 34），c ＝f （√3）＝f （log 33√3），因为32＞23所以3＞21.5＞2√2，两边取对数ln 3＞1.5ln 2＞√2ln 2， 所以ln3ln2＞1.5＞√2，所以√2ln 3＞2ln 2， 所以3√2＞4， 所以3√3＞3√2＞4，要分析3√3与92大小，只需确定√3ln 3与ln 92的大小，也就是√3ln 3与2ln 3﹣ln 2的大小，即ln 2与2ln 3−√3ln 3＝（2−√3）ln 3的大小， 需分析2−√3与ln3ln2的大小，而2−√3=2+√3，ln3ln2=log 23∈（1，2），所以2+√3＞log 23， 所以3√3＞92，所以3√3＞92＞4，所以log 33√3＞log 392＞log 34＞1，所以f （log 33√3）＞f （log 392）＞f （log 34），所以c ＞a ＞b ， 故选：C ．11．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，与C 的准线交于点M ，若AB →+AM →=0→，则|AB |的值等于（ ） A ．34pB ．2pC ．3pD ．94p【分析】由AB →+AM →=0→可得A 为MB 的中点，根据抛物线的性质和相似三角形性质数形结合即可求解解：因为AB →+AM →=0→，可得A 为BM 的中点，则AA′BB′=12，设|AF |＝t ，则|AA ′|＝|AF |＝t ， |BB ′|＝|BF |＝2t ，故|FF′||BB′|=p2t=4t6t，即有t=34p，所以|AB|＝|AF|+|BF|＝3t＝3×34p=94p，故选：D．12．已知曲线C：f(x)=sin(4x+π3)，把C上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，关于g（x）有下述四个结论：（1）函数g（x）在(−1112π，−512π)上是减函数；（2）当x1，x2∈(−3π4，−π12)，且x1≠x2时，g（x1）＝g（x2），则g(x1+x2)=√32；（3）函数m(x)=g(x−π6)+2g(12x−π6)（其中x∈（0，2π））的最小值为−3√32．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．0【分析】利用函数图象的伸缩变换求得g（x）．由x的范围求得2x+π3的范围判断（1）；求出函数在给出定义域内的对称轴方程，得到x1+x2的值，进一步求出g（x1+x2）判断（2）；求出函数m（x），利用导数求最值判断（3）．解：曲线C：f（x）＝sin（4x+π3）．把C上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝sin（2x+π3）．（1）当x∈(−1112π，−512π)时，2x+π3∈(−3π2，−π2)，则g（x）在(−1112π，−512π)上是减函数，故（1）正确；（2）当x∈(−3π4，−π12)时，2x+π3∈(−7π6，π6)，由2x+π3=−π2，得一条对称轴方程为x =−5π12． 又x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），∴x 1+x 2=−5π6， 则g （x 1+x 2）＝g （−5π6）＝sin （−5π3+π3）＝﹣sin 4π3=√32，故（2）正确； （3）m(x)=g(x −π6)+2g(12x −π6)=sin[2（x −π6）+π3]+2sin[2（12x −π6）+π3]＝sin2x +2sin x ，x ∈（0，2π）．则m ′（x ）＝2cos2x +2cos x ＝2（2cos 2x +cos x ﹣1）＝2（cos x +1）（2cos x ﹣1）， 令m ′（x ）＝0，解得x =π3或x =5π3或x ＝π， 可得m （x ）在（0，π3），（5π3，2π）上单调递增，在（π3，5π3）上单调递减．∴当x =5π3时f （x ）取得最小值为sin 10π3+2sin 5π3=−3√32，故（3）正确． ∴正确命题的个数是3个． 故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上） 13．已知平面向量a →与b →满足a →•b →=−2，且a →•（a →+2b →）＝5，则|a →|＝ 3 ． 【分析】a →•（a →+2b →）可整理为|a →|2﹣4＝5，解得即可．解：a →•（a →+2b →）＝|a →|2+2a →⋅b →=|a →|2﹣4＝5，解得|a →|2＝9，所以|a →|＝3， 故答案为：3．14．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18，S 3﹣a 1=34，则该数列的公比为12．【分析】利用等比数列通项公式、前n 项和公式列出方程组，能求出该数列的公比． 解：∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=18，S 3﹣a 1=34， ∴q ＞0，且q ≠1， ∴{a 1q 3=18a 1(1−q 3)1−q−a 1=34，由q ＞0，解得该数列的公比q =12． 故答案为：12．15．已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝m （m ＞0）的渐近线与圆x 2+y 2﹣2ym ＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M 的面积为16，则m 的值是 4 ．【分析】化双曲线方程为标准方程，得到双曲线的渐近线方程，与圆的方程联立，求得交点坐标，再由三角形面积公式求解． 解：由双曲线C ：x 2﹣y 2＝m （m ＞0），得x 2m−y 2m=1，∴a ＝b =√m ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆x 2+y 2﹣2ym ＝0化为x 2+（y ﹣m ）2＝m 2， 如图：联立{y =x x 2+y 2−2ym =0，解得B （m ，m ），同理解得A （﹣m ，m ）．∴几何图形M 的面积为12×2m ×m =m 2=16，即m ＝4（m ＞0）． 故答案为：4．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为 √6π8．【分析】由题意画出图形，可得焊接成的正三棱锥的所有棱长都为1，然后放置在棱长为√22的正方体中，求出正方体的对角线长，进一步得到外接球的半径，代入球的体积公式得答案． 解：如图，分别取AB ，BC ，AC 的中点D ，E ，F ，连接DE ，EF ，DF ，沿DE ，EF ，DF ，剪开，把三角形DEF 作为底面， 可得正三棱锥P ﹣DEF ，则三棱锥P ﹣DEF 的所有棱长相等，等于1． 把P ﹣DEF 放置在棱长为√22的正方体中， 则正方体的外接球即为该三棱锥外接球．外接球的半径为12√(√22)2+(√22)2+(√22)2=√64．则该三棱锥外接球的体积为43π×(√64)3=√68π．， 故答案为：√6π8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 m 女生3060n总计90 110 200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +d +c +d ． P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）根据分层抽样得到抽取的200名学生中女生人数和男生人数，即为m ，n 的值；（Ⅱ）根据题目所给的数据填写2×2列联表计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：（Ⅰ）因为高一年级有2000名学生，其中女生900人，所以采用分层抽样的方法抽取的200名学生中女生人数为：9002000×200=90人，男生200﹣90＝110人，所以m ＝110，n ＝90；（Ⅱ）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 110 女生 30 60 90 总计90110200则K 的观测值：K 2=200×(60×60−50×30)2110×90×90×110≈8.999，由于8.999＞7.879，∴有99.5%的把握认为选择科目与性别有关．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +2b ＝2c cos A ． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√3，求c ．【分析】（Ⅰ）结合正弦定理和a +2b ＝2c cos A ，将边化为角，得sin A +2sin B ＝2sin C cos A ，再结合A +B +C ＝π与正弦的两角和公式化简可得cosC =−12，由于C ∈（0，π），所以C =2π3；（Ⅱ）S△ABC=12absinC=12×1×b×sin2π3=√3，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C代入已知数据进行运算即可得解．解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin A+2sin B＝2sin C cos A，而sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，所以sin A+2sin A cos C＝0，又因为sin A≠0，所以cosC=−1 2，由于C∈（0，π），所以C=2π3．（Ⅱ）因为△ABC的面积为√3，所以S△ABC=12absinC=12×1×b×sin2π3=√3，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C=1+16−2×1×4×cos 2π3=21，故c=√21．19．如图，四棱锥S﹣ABCD的侧面SAD是正三角形，AB∥CD，且AB⊥AD，AB＝2CD ＝4，E是SB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）若平面SAD⊥平面ABCD，且SB=4√2，求多面体SACE的体积．【分析】（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，证明四边形EFDC是平行四边形，得出EC ∥FD，CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，证明SG⊥平面ABCD，求出点E到平面ABCD的距离，计算多面体SACE的体积．解：（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，因为E是SB中点，所以EF∥AB，且AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，所以EF∥DC，EF＝DC，即四边形EFDC是平行四边形，所以EC∥FD，又因为EC⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，所以CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，因为SAD是正三角形，所以SG⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以SG⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，所以AB⊥平面SAD，所以AB⊥SA，故SA=√SB2−AB2=4，SG=2√3，因为E是SB中点，所以点E到平面ABCD的距离等于12 SG，所以多面体SACE的体积为：V SACE＝V S﹣ABCD﹣V S﹣ACD﹣V E﹣ABC=13S ABCD⋅SG−13S△ACD⋅SG−13S△ABC⋅12SG =13×2√3(2+42×4−12×4×2−12×4×4×12) =8√33．20．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点为F1，F2，离心率为√32，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx +m （k ＞0）交椭圆E 于点C ，D 两点，与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，且|CM |＝|DN |，求|CD |的最小值．【分析】（Ⅰ）通过离心率以及通径，求解a ，b ，然后求出椭圆方程． （Ⅱ）把y ＝kx +m （k ＞0）代入x 24+y 2=1得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，设D （x 1，y 1），C （x 2，y 2），利用韦达定理设出M ，N ，利用|CM |＝|DN |，结合y ＝kx +m （k ＞0）与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，求出CD ，转化求解即可．解：（Ⅰ）由题可知：e =c a =√32=√1−b 2a2，2b2a =1， 所以a ＝2，b ＝1， 则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）把y ＝kx +m （k ＞0）代入x 24+y 2=1得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，设D （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4m 2−41+4k2，又M(−mk ，0)，N （0，m ），因|CM |＝|DN |，所以x M ﹣x 1＝x 2﹣x N ，即x M +x N ＝x 1+x 2， 所以−8km 1+4k2=−mk ，因为y ＝kx +m （k ＞0）与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ， 所以m ≠0，又k ＞0， 则k =12，故x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2=2m 2−2，因为直线y ＝kx +m （k ＞0）与线段F 1F 2及椭圆的短轴分别交于不同两点，所以−√3≤−2m ≤√3，即−√32≤m ≤√32，且m ≠0，所以|CD|=√1+k 2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−2)=√5(2−m 2)，因为−√32≤m ≤√32，且m ≠0，所以当m=√32或m=−√32时，|CD|的最小值为52．21．已知函数f（x）＝x﹣1+axlnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）函数g（x）＝m（x+1）+f（x），当0＜a≤1时，g（x）≥0恒成立，求整数m 的最小值．【分析】（Ⅰ）求导，然后分a＝0，a＞0及a＜0三种情况讨论f′（x）＞0的解集即可得出结论；（Ⅱ）问题等价于m≥1−axlnx−xx+1在x＞0且0＜a≤1上恒成立，令h(x)=1−axlnx−xx+1，当x≥1时，易知只需m≥0，当0＜x＜1时，通过放缩思想可知只需m(1+1x)+lnx−1x+1≥0，构造函数p(x)=m(1+1x)+lnx−1x+1，然后分m≥2，m＝1及m＝0讨论即可得出答案．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）＝1+alnx+a＝a（lnx+1）+1，当a＝0时，f（x）＝x﹣1，故函数的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞e−1a−1，故函数f（x）的单调递增区间为(e−1a−1，+∞)；当a＜0时，由f′（x）＞0得0＜x＜e−1a−1，故函数f（x）的单调递增区间为(0，e−1a−1)；（Ⅱ）因为g（x）≥0，则m（x+1）+axlnx+x﹣1≥0，因为x＞0，所以m≥1−axlnx−xx+1，令h(x)=1−axlnx−xx+1，（i）当x≥1时，因为0＜a≤1，则﹣axlnx≤0，因此1﹣x﹣axlnx≤0，故只需m≥0；（ii）当0＜x＜1时，因为0＜a≤1，则﹣axlnx≤﹣xlnx，所以h(x)≤1−xlnx−xx+1≤m，即m(1+1x)+lnx−1x+1≥0，构造函数p(x)=m(1+1x)+lnx−1x+1，则p′(x)=x−m+1x2，当m≥2时，p（x）在（0，1）上递减，p（x）min＝p（1）＝2m＞0；当m＝1时，p（x）＝lnx+2，则p(13)=−3+2=−1＜0，不合题意；当m＝0时，p(x)=lnx−1x+1，则p(1e)=−e＜0，不合题意；综上可知，整数m的最小值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC 心形线．如果以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC 心形线的极坐标方程为ρ√1−|cosθ|sinθ=1．（Ⅰ）求RC 心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P （0，2）与直线l ：{x =−3m y =2+4m（m 为参数），若直线l 与RC 心形线交于两点M ，N ，求|PM ||PN |的值．【分析】（Ⅰ）把已知等式两边平方，对θ分类去绝对值，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得RC 心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）化直线的参数方程为普通方程，可知直线与RC 心形线右侧相交，化直线方程为参数方程的标准形式，代入RC 心形线的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系求|PM ||PN |的值．解：（Ⅰ）由ρ√1−|cosθ|sinθ=1，得ρ2（1﹣|cos θ|sin θ）＝1，①当θ∈[−π2，π2]时，①化为ρ2﹣ρ2cos θsin θ＝1，即x 2+y 2﹣xy ＝1（x ≥0）； 当θ∈（π2，3π2）时，①化为ρ2+ρ2cos θsin θ＝1，即x 2+y 2+xy ＝1（x ＜0）．综上，RC 心形线的直角坐标方程为x 2+y 2﹣|x |y ＝1；（Ⅱ）由直线l ：{x =−3m y =2+4m（m 为参数），消去参数m ，可得4x +3y ﹣6＝0． 化为{x =−35t y =2+45t （t 为参数），代入x 2+y 2﹣xy ＝1（x ≥0）， 得3725t 2+2225t +3=0．设M 、N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2=7537． ∴|PM ||PN |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|=7537．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知f （x ）＝|2x ﹣4|+|x +1|的最小值为m ．（I ）求m 的值；（II ）当a +b +c =m 3时，证明：（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163． 【分析】（Ⅰ）写出分段函数解析式，作出图象，由图可得函数的最小值m ； （Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的m 值代入a +b +c =m 3，得a +b +c ＝1，然后利用柯西不等式证明（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163． 【解答】（Ⅰ）解：f （x ）＝|2x ﹣4|+|x +1|={−3x +3，x ≤−1−x +5，−1＜x ＜23x −3，x ≥2，作出该函数的图象如图：由图可知，函数的最小值m ＝3；（Ⅱ）证明：由柯西不等式可得：（1+1+1）[（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2]≥（a +1+b +1+c +1）2，∵a +b +c ＝1，∴（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2≥163， 当且仅当a ＝b ＝c =13时取等号，∴（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163．。
