四川省泸州市2019届高三数学第二次教学质量诊断性考试题理

泸州市高2019级第二次教学质量诊断性考试数 学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题二、填空题 13．2； 14．28； 15. (,2][1,)-∞-+∞； 16．54+三、解答题17．解：（Ⅰ）当1n =时，1121a a =-，所以11a =， ·························································································· 1分 因为21n n S a =-，*n ∈N ，所以2n ≥时，1121n n S a --=-， ··································································· 2分 两式相减得：122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， ·················································· 4分 因为10a ≠，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ······················ 5分 所以12()n n a n -*=∈N ； ············································································ 6分（Ⅱ）由(1)132nn n b a -+=+ 可知，当n 为奇数时，3n b =；············································································ 7分 当n 为偶数时3n n b a =+， ········································································· 8分 则21321242()()n n n T b b b b b b -=+++++++ ······················································ 9分 13213(2223)n n n -=+++++ ······································································ 10分212(14)22661433n n n n +-=+=+--. ····································································· 12分 18．解： (Ⅰ) 由题得各组频率如下：[65,75) 0.02， [75,85) 0.09， [85,95) 0.22， [95,105) 0.33， [105,115) 0.24， [115,125] 0.08， [125,135) 0.02所以，抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为700.02800.09900.221000.331100.241200.081300.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 100=， ···························································································· 2分 22222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯22200.08300.02+⨯+⨯150=， ···························································································· 4分 所以，由题得(100,150)XN ，从而 0.95440.6826(112.2124.4)0.13592P X -<≤==； ······························ 6分（Ⅱ）因一件产品中一等品的概率为(124.4)0.50.47720.0228P X ≥=-=， ·············· 7分设商家欲购产品的件数为m ,且其中一等品可能的件数为ξ， 所以(,0.0228)B m ξ， ········································································ 8分 所以m 件产品中一等品的期望0.0228E m ξ=， ·········································· 10分 又因商家欲购m 产品中一等品的期望为100.1m m =℅ ，······························ 11分 因0.1E m ξ<，所以该批产品不能达到商家要求，不能参与招标. ······································· 12分19．证明：（I ）如图，取BD 中点E ，连结AE 、CE ， ······················································ 1分因为ABD △是等腰直角三角形，所以AE BD ⊥， ······················································································· 2分设AB a =，则BD CD =， ·································································· 3分 在CDE △中，由余弦定理得：222))2cos120CE =+-272a =， ······································· 4分因为22AC AB a ==，AE =， 所以222AC AE CE =+，即AE CE ⊥， ·························································· 5分 又AE BD ⊥，BD CE E =， 所以AE ⊥平面BCD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ； ································································· 6分（II ）解法一：过点E 在平面BCD 内作EF BD ⊥交BC 于点F ，由（I ）知AE ⊥平面BCD ，分别以,,EB EF EA 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系， ··················· 7分 不妨设2BD =，则：(0,0,1),(1,0,0),(1,0,0),(A B D C --， ············································ 8分则(1)AC =--，(1,0,1)AB =-，(1,CD =， ································· 9分 设平面ABC 的法向量(,,)x y z =m ，则020x z x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取=m ， ········· 10分设平面ABC 的法向量(,,)x y z =n ，则020x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取=n ， ····· 11分所以3cos ||||5<>===⋅m n m,n m n ，因为二面角B AC D --的平面角是锐角， 所以二面角B AC D --. ·················································· 12分 解法二：过点D 作DN ⊥AC 于点N ，设D 在平面ABC 上的射影为M ，连接MN ，则AC ⊥MN ，所以∠DNM 为所求二面角的平面角， ····································· 7分设AB =1,则AD =1,BD =CD=AC =2，BC 在△ADC 中，cos ∠DAC =34,所以DN , ·········································· 8分在△ABC 中，cos ∠BAC=14-,所以sin ∠BAC , ······································ 9分由D ABC ABCD V V --=,所以21111123232DM ⨯⨯⨯=⨯⨯,即DM , ····················································································· 11分 在△DMN中，sin ∠DNM,所以cos ∠DNM =,C所以二面角B AC D --. ·················································· 12分 20．解：（Ⅰ）12,F F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，， 其中0c >，)y x c +，························· 1分2F 到直线AB 的距离为33=， 解得c = ·························· 2分 所以有223a b -=， 由题意知:12242a b ⨯⨯=， 即2ab =， ······················································ 3分 解得：2a =，1b =，所求椭圆C 的方程为2241x y +=；······························································ 4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x 整理得：22(4)230m y my ++-=， ··································································· 5分 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 所以12224m y y m -+=+，12234y y m -=+， ····················································· 6分直线AP 方程为11(2)2y y x x =++，直线BQ 方程为22(2)2y y x x =--， ··············· 7分 解法一：要证明直线AP 、BQ 的交点在直线4x =上， 只需证明1212(42)(42)22y y x x +=-+-， ······················································ 8分 即证明2112123620x y x y y y ---=， ·························································· 9分 只需证明2112123(1)(1)620my y my y y y +-+--=， ······································ 10分 即证明121223()0my y y y -+=，而222332440m m m m --⋅⋅+-=+成立，所以直线AP 、BQ 的交点在直线4x =上． ············································ 12分 解法二：1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-， ······························································ 8分 解得：1212124263my y y y x y y -+=+ ···································································· 9分因为121223y y my y +=， ··············································································· 10分 即121223()my y y y =+ ············································································· 11分所以1212124263my y y y x y y -+=+122112266()43y y y y y y -+==++. ······································································ 12分 21. 解：（Ⅰ）因为1()=12ln a f x ax a x x-++--，[1,)x ∈+∞，则(1)=0f ， ······························ 1分 222211(1)1()=(1)()a ax x a a af x a x x x a x x x -----'--==--. ·································· 2分 ①当 102a <<，时，此时11a a->， ······························································· 3分 当11ax a-<<，则()0f x '<，()f x 在1[1,)a a -上是减函数，所以在1(1,)a a -上存在x 0， 使得0()(1)0f x f <<，()f x ≥0在[1,)+∞上不恒成立； ································································ 4分②当12a ≥时，11a a-≤，()0f x '≥在[1,)+∞上成立， ()f x 在[1,)+∞上是增函数，()(1)0f x f =≥， ··············································· 5分 ()f x ≥0在[1,)+∞上恒成立，综上所述，所求a 的取值范围为1[,)2+∞； ···················································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当12a ≥时，()f x ≥0在[1,)+∞上恒成立， 112ln 0(1)a ax a x x x-++--≥≥， ······························································ 7分 令12a =，有11()ln 2x x x-≥， ···································································· 8分 当1x >时，11()ln 2x x x->， ····································································· 9分 令1k x k +=，有111111ln()[(1)(1)]2121k k k k k k k k ++<-=+--++， ······················ 10分 即111ln(1)ln ()21k k k k +-<++，1,2,3,,k n =，将上述n 个不等式依次相加得：11111ln(1)(+++)2232(1)n n n +<+++， ······················································ 11分 整理得1111++++ln(1)1)232(1)n n n n n >+++（≥. ·········································· 12分22．解：（I ）直线l 的普通方程为：0y +， ····················································· 1分因为圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-，所以214cos )2ρρθθ=-， ······························································· 3分 所以圆C的普通方程2220x y x ++-=； ··············································· 4分 （II ）直线l0y +=的参数方程为：122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， ··································································· 5分 代入圆2C的普通方程2220x y x ++-=消去x 、y 整理得：29170t t -+=， ····················································································· 6分 则1||||PA t =，2||||PB t =， ········································································ 7分 1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=-················································ 8分===······························································································· 10分 23．解：（I ）当1a =时，()()1f x g x ->，即1211x x --+>， ······································· 1分即112(1)1x x x -⎧⎨-+++>⎩≤或1112(1)1x x x -<⎧⎨-+-+>⎩≤或112(1)1x x x >⎧⎨--+>⎩， ······················ 4分 所以21x -<-≤或213x -<<-，所以原不等式的解集为2(2,)3--； ······························································ 5分（II ）2()()212f x g x x x a +=-++2222x x a =-++ ·················································································· 6分 2222x x a---≥|22|a +=， ···························································································· 7分 因为不等式22()()(1)f x g x a ++≤有解，所以2|22|(1)a a ++≤，即|1|2a +≥， ························································· 9分 所以a 的取值范围是(,3][1,){1}-∞-+∞-． ·············································· 10分。

2019年四川省泸州市高考数学二诊试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=（）A. B. C. D. 2，2.i为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i）是纯虚数，则实数m=（）A. B. 0 C. 1 D. 0或13.某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1，2，3，4，5，6的队员进行实弹射击1则以上两组数据的方差中较小的一个为（）A. B. C. D. 14.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作a i（i=1，2，3，…，50），若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是（）A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率5.已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆（如图），则这个几何体的内切球的体积为（）A.B.C.D.6.若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为（）A. B. C. 1 D.7.若函数f（x）=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A. B. C. 0 D. 18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B+b cos A=4sin C，则△ABC的外接圆面积为（）A. B. C. D.9.若正实数x，y满足x+y=1，则+的最小值为（）A. B. C. D.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是线段DB1和A1C上不重合的两个动点，则下列结论正确的是（）A.B.C. 平面平面D. 平面平面11.已知A（3，2），若点P是抛物线y2=8x上任意一点，点Q是圆（x-2）2+y2=1上任意一点，则|PA|+|PQ|的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 612.设函数f（x）是定义在（0，）上的函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，若f（x）＜tan x•f'（x），f（）=1，（e为自然对数的底数），则不等式f（x）＜2sin x的解集是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，则cos2θ=______．14.已知λ∈R，向量=（λ-1，1），=（λ，-2），且，则λ=______．15.若关于x的方程3|x-2|+k cos（2-x）=0只有一个实数解，则实数k的值为______．16.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）右支上有一点A，它关于原点的对称点为B，双曲线的右焦点为F，满足•=0，且∠ABF=，则双曲线的离心率e的值是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}是递增数列，且a1a5=9，a2+a4=10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．18.今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥．要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；（2）在年平均销售量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240，260），[260，280）[280，300）的农贸市场中应各抽取多少家？（3）在（2）的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在[240，260）组的概率．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BB1C1C是长方形，A1B1BC，AA1=AB，AB1∩A1B=E，AC1∩A1C=F，连接EF．（1）证明：平面A1BC平面AB1C1；（2）若BC=3，A1B=4，∠A1AB=，D是线段A1C上的一点，且A1C=4CD，试求的值．20.已知，椭圆C过点A（，），两个焦点为（0，2），（0，-2），E，F是椭圆C上的两个动点，直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线EF的斜率为定值．21.已知f（x）=．（1）求f（x）在（1，0）处的切线方程；（2）求证：当a≥1时，f（x）+1≥0．22.在平面直角坐标系xOy中曲线C1的参数方程为（其中t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρsin（）=-．（1）把曲线C1的方程化为普通方程，C2的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线C1，C2相交于A，B两点，AB的中点为P，过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E，F两点，求．23.已知函数h（x）=|x-m|，g（x）=|x+n|，其中m＞0，n＞0．（1）若函数h（x）的图象关于直线x=1对称，且f（x）=h（x）+|2x-3|，求不等式f（x）＞2的解集．（2）若函数φ（x）=h（x）+g（x）的最小值为2，求的最小值及其相应的m 和n的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={1，2，3}，B={x||x|≤2}，∴A∩B={1，2}．故选：B．直接利用交集的运算性质求解得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵（1+mi）（1+i）=（1-m）+（1+m）i是纯虚数，∴，即m=1．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：甲组数据为：6，7，7，8，7，7；乙组数据为：6，7，6，7，9，7；所以甲组数据波动较小，方差也较小；计算它的平均数为=7，方差为s2=×[（-1）2+0+0+12+0+0]=．故选：B．根据两组数据的波动性大小判断方差大小，再计算平均数与方差的值．本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩a i，（1≤k≤60）k表示该班学生数学科成绩合格的人数，i表示全班总人数，输出的为该班学生数学科学业水平考试的合格率．故选：D．执行程序框图，可知其功能为用k表示成绩合格的人数，i表示全班总人数，即可得解．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由三视图知该几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为3；其正视图为等腰三角形，且内切圆的半径满足r（3+3+2）=•2•，解得r=；∴几何体的内切球体积为V=×=．故选：A．由三视图知该几何体是圆锥，结合图中数据求出圆锥内切球的半径，再计算内切球的体积．本题考查了由三视图求几何体的内切球体积的应用问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后图象所对应解析式为：g（x）=2sin[2（x+）+φ]=2sin（2x++φ），由g（x）关于y轴对称，则+φ=kπ，φ=kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ=，即f（x）=2sin（2x+），当x∈[0，]时，所以2x+∈[，]，f（x）min=f（）=-，故选：A．由三角函数图象的性质、平移变换得：g（x）=2sin[2（x+）+φ]=2sin（2x++φ），由g（x）关于y轴对称，则+φ=kπ，φ=kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ=，由三角函数在区间上的最值得：当x∈[0，]时，所以2x+∈[，]，f（x）=f（）=-，得解min本题考查了三角函数图象的性质、平移变换及三角函数在区间上的最值，属基础题．7.【答案】B【解析】解：因为f（0）=1，所以f（x）不可能为[0，1]上的增函数，∴f（x）必为[0，1]上的递减函数，所以f（0）=1，f（1）=0，即，解得a=2∴log2+log2=log2（）=-1故选：B．根据函数f（x）的单调性得f（0）=1，f（1）=0，解得a=1，再代入原式可得．本题考查了函数的值域，属中档题．8.【答案】C【解析】解：设△ABC的外接圆半径为R，∵acosB+bcosA=4sinC，∴由余弦定理可得：a×+b×==c=4sinC，∴2R==4，解得：R=2，∴△ABC的外接圆面积为S=πR2=4π．故选：C．设△ABC的外接圆半径为R，由余弦定理化简已知可得c=4sinC，利用正弦定理可求2R==4，解得R=2，即可得解△ABC的外接圆面积．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴x+1+y=2，+=•（+）=（1+4++）≥（5+2）=（当接仅当x=，y=取等号），故选：D．将x+y=1变成x+1+y=2，将原式+=•（+）=（1+4++）后，用基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．10.【答案】A【解析】解：在正方体中，易证BC1平面B1CDA1，又MN⊂平面B1CDA1，∴BC1MN，故选：A．利用线面垂直的判定方法易证BC1平面B1CDA1，在用线面垂直的性质定理可得BC1MN．此题考查了线面垂直的判定和性质，属容易题．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线l：x=-2，圆（x-2）2+y2=1的圆心为F（2，0），半径r=1，过点P作PB垂直准线l，垂足为B，由抛物线的定义可知|PB|=PF|，则|PA|+|PQ|≥|PA|+|PF|-r=|PA|+|PB|-1，∴当A、P、B三点共线时|PA|+|PB|取最小值，∴|PA|+|PQ|≥|PA|+|PB|-1≥（3+2）-1=4．即有|PA|+|PQ|取得最小值4．故选：B．求得抛物线的准线方程和焦点坐标，过点P作PB垂直准线l，垂足为B，由抛物线的定义和当A、P、B三点共线时|PA|+|PQ|取最小值，结合图象即可求出．本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，注意运用抛物线的定义和圆的性质，考查转化能力，计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：令g（x）=，x∈（0，），则g′（x）=＞0，故g（x）在（0，）递增，而g（）==2，故f（x）＜2sinx，即g（x）＜g（），故0＜x＜，故选：A．令g（x）=，x∈（0，），求出函数的导数，根据函数的单调性求出x的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题．13.【答案】【解析】解：∵，则cos2θ=1-2sin2θ=1-2×=，故答案为：．直接利用利用二倍角的余弦公式cos2θ=1-2sin2θ，把代入运算求得结果．本题主要考查利用二倍角的余弦公式化简求值，属于基础题．14.【答案】-1或2【解析】解：∵向量=（λ-1，1），=（λ，-2），且，∴=λ（λ-1）-2=0则λ=-1或2故答案为：-1或2．由已知及向量的数量积的性质可知=0，从而可求．本题主要考查了向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．15.【答案】-1【解析】解：由3|x-2|+kcos（2-x）=0可得3|x-2|=-kcos（2-x），∴函数y=3|x-2|与y=-kcos（2-x）的函数图象只有一个交点．又两函数的对称轴均为直线x=2，∴两函数的交点必在对称轴上，即为（2，1），∴-k=1，即k=-1．故答案为：-1．根据函数y=3|x-2|与y=-kcos（2-x）的对称性和交点个数得出交点坐标，从而得出k的值．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．16.【答案】1+【解析】解：•=0，可得AF BF，在Rt△ABF中，|OF|=c，∴|AB|=2c，在直角三角形ABF中，∠ABF=，可得|AF|=2csin=c，|BF|=2ccos=c，取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，∴||BF|-|AF||=|AF'|-|AF|=c-c=2a，∴e===+1．故答案为：．运用三角函数的定义可得|AF|=2csin=c，|BF|=2ccos=c，取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得c-c=2a，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{a n}是递增数列，且a1a5=9，a2+a4=10．则：，解得：a1=1或9，a5=9或1，由于数列为递增数列，则：a1=1，a5=9．故：d=2则：a n=1+2（n-1）=2n-1．（2）由于a n=2n-1，则：b n==，=，=．所以：S n=b1+b2+…+b n，=，=，=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）由直方图的性质得：（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程得x=0.0075，∴直方图中x=0.0075．年平均销售量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴年平均销售量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，则：（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（220）=0.5，解得a=224，∴年平均销售量的中位数为224．（2）年平均销售量为[220，240）的农贸市场有：0.0125×20×100=25，年平均销售量为[240，260）的农贸市场有：0.0075×20×100=15，年平均销售量为[260，280）的农贸市场有：0.0025×20×100=5，∴抽取比例为：=，∴年平均销售量在[240，260）的农贸市场中应抽取15×=3家，年平均销售量在[260，280）的农贸市场中应抽取10×=2家，年平均销售量在[280，300）的农贸市场中应抽取5×=1家，故年平均销售量在[240，260），[260，280）[280，300）的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．（3）由（2）知年平均销售量在[240，260），[260，280）[280，300）的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，基本事件总数n=，恰有1家在[240，260）组包含的基本事件的个数m==9，∴恰有1家在[240，260）组的概率p=．【解析】（1）由直方图的性质能求出直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数．（2）年平均销售量为[220，240）的农贸市场有25，年平均销售量为[240，260）的农贸市场有15，年平均销售量为[260，280）的农贸市场有5，由此利用分层抽样能求出年平均销售量在[240，260），[260，280）[280，300）的农贸市场中应各抽取多少家．（3）年平均销售量在[240，260），[260，280）[280，300）的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，基本事件总数n=，恰有1家在[240，260）组包含的基本事件的个数m==9，由此能求出恰有1家在[240，260）组的概率．本题考查频率、众数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】证明：（1）∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，A1B1BC，∴A1B1B1C1，又在长方形BCC1B1中，B1C1BB1，A1B1∩BB1=B1，∴B1C1平面AA1B1B，∵四边形AA1B1B与四边形AA1C1C均是平行四边形，且AB1∩A1B=E，AC1∩A1C=F，连结EF，∴E为A1B的中点，F为A1C的中点，EF为△A1BC的中位线，∴EF∥BC，又BC∥B1C1，∴EF∥B1C1，又B1C1平面AA1B1B，∴EF平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴EF AB1，又在平行四边形A1ABB1中，AA1=A1B1，∴平行四边形A1ABB1是菱形，由菱形的性质得对角线A1B AB1，EF∩A1B=F，∴AB1平面A1BC，又AB1⊂平面AB1C1，∴平面A1BC平面AB1C1．解：（2）由（1）知AB1平面A1BC，A1B平面AB1C1，∴AE的长为三棱锥A-BCD的高，A1E的长为三棱锥A1-AEF的高，∵在菱形ABB1A1中，A1B=4，∠A1AB=，∴在△A1AB中，由余弦定理得AB=AB1=AA1=4，∴A1E==2，AE==，又在Rt△A1BC中，△ ==6，∵A1C=4CD，∴△ △ =，∴，又在Rt△AB1C1中，△ =，又∵E，F分别为AB1，AC1中点，∴S△AEF=△ =，∴==，∴==1．【解析】（1）推导出A1B1B1C1，B1C1BB1，从而B1C1平面AA1B1B，连结EF，推导出EF∥BC，从而EF∥B1C1，推导出EF平面AA1B1B，从而EF AB1，进而平行四边形A1ABB1是菱形，由菱形的性质得对角线A1B AB1，从而AB1平面A1BC，由此能证明平面A1BC平面AB1C1．（2）AB1平面A1BC，A1B平面AB1C1，得AE的长为三棱锥A-BCD的高，A1E的长为三棱锥A1-AEF的高，由余弦定理得AB=AB1=AA1=4，从而A1E==2，AE==，推导出=，由此能求出的值．本题考查空间位置关系、锥体的体积公式及其应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）由题意c=2，可设椭圆方程为+=1，∴ ，解得a2=10，b2=6，∴椭圆的方程为+=1，证明（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），设直线AE的方程为y=k（x-）+，代入+=1得（3k2+5）x2+3k（5-3k）x+3（-k+）2-30=0，∴x1=-，∴y1=kx1-k+，又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，再上式中以-k代k，可得x2=-，∴y2=kx2-k+，∴直线EF的斜率k===1【解析】（1）由题意c=2，可设椭圆方程为+=1，可得，解得即可，（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），设直线AE的方程为y=k（x-）+，代入+ =1，求出点E的坐标，再将k换为-k，求出F的坐标，即可求出直线的斜率本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，弦的斜率问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识．21.【答案】解：（1）f′（x）=，故f′（1）=1，故切线方程是：x-y-1=0；（2）令g（x）=x-ln x-1，g′（x）=1-，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞），故g（x）极小值=g（1）=0，故x≥ln x+1，∵a≥1，∴f（x）+1=≥≥≥≥0，故a≥1时，f（x）+1≥0．【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出x≥lnx+1，由放缩法求出f（x）+1≥0即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．22.【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中t为参数），转换为直角坐标方程为：y2=2x．曲线C2的极坐标方程为ρsin（）=-．转换为直角坐标方程为：x-y-1=0．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且中点P（x0，y0），联立方程为：，整理得：x2-4x+1=0所以：x1+x2=4，x1x2=1，由于：，y0=1．所以线段AB的中垂线参数方程为（t为参数），代入y2=2x，得到：，故：，t1•t2=-6，所以：EF=|t1-t2|==2，|PE||PF|=|t1•t2|=6故：．【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用（1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）函数h（x）的图象关于直线x=1对称，∴m=1，∴f（x）=h（x）+|2x-3|=|x-1|+|2x-3|，①当x≤1时，（x）=3-2x+1-x=4-3x＞2，解得x＜，②当1＜x＜时，f（x）=3-2x+x-1=2-x＞2，此时不等式无解，②当x≥时，f（x）=2x-3+x-1=3x-4＞2，解得x＞2，综上所述不等式f（x）＞2的解集为（-∞，）∪（2，+∞）．（2）∵φ（x）=h（x）+g（x）=|x-m|+|x+n|≥|x-m-（x+n）|=|m+n|=m+n，又φ（x）=h（x）+g（x）的最小值为2，∴m+n=2，∴=（）（m+n）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故的最小值为2，其相应的m=n=1．【解析】（1）先求出m=1，再分类讨论，即可求出不等式的解集，（2）根据绝对值三角形不等式即可求出m+n=2，再根据基本不等式即可求出本题考查了绝对值函数的对称轴，简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，考察了运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想．。

2019年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={-3，1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.=（）A. B. C. D.3.已知，则tan2α=（）A. B. C. D.4.x＞3是ln x＞1成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A.B.C.D. 6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A. B. C. D.7.在△ABC中|+|=|-|，AB=3，AC=4，则在方向上的投影是（）A. 4B. 3C.D. 58.设a=log2018，b=log2019，c=2019，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.9.若函数f（x）=a sin x+cos x（a为常数，x∈R）的图象关于直线x=对称，则函数g（x）=sin x+a cos x的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称10.三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与圆x2+y2=a2相切，与C的左、右两支分别交于点A、B，若|AB|=|BF2|，则C的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=（e x-a）（x+a2）（a∈R），则满足f（x）≥0恒成立的a的取值个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（x-）8的展开式中x2的系数为______（用数字作答）．14.已知实数x，y满足约束条件，则2x-y的最大值为______．15.抛物线y2=4x上的点到（0，2）的距离与到其准线距离之和的最小值是______16.已知锐角△ABC的外接圆的半径为1，A=，则△ABC的面积的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n．（Ⅰ）求证：数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）设b n=log2a2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18.为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下：（Ⅰ）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；（Ⅱ）完善表中数据，并据此判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关；（Ⅲ）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为x，求x的期望．附：K2=19.如图，三棱锥D-ABC中，AB=BC=CD=DA，（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若AB=AC，BD=AB，求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0），点P1（1，1），P2（0，），P3（，），P4（，）中恰有三点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设R（x0，y0）是椭圆C上的动点，由原点O向圆（x-x0）2+（y-y0）2=2引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，试问△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．21.已知函数f（x）=ln x-e x+a．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴正半轴有公共点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：a＞1-时，f（x）＜-e-1．22.在平面直角坐标系xOy中，点P（0，-1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|=时，求sinα的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+|x-1|．（1）若a=1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意满足m+n=1的正实数m，n，若总存在实数x0，使得成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：B={x|-3＜x＜3}；∴A∩B={1}．故选：A．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：=．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】B【解析】解：因为，所以tan2α===．故选：B．直接利用正切函数的二倍角公式求解即可．本题考查二倍角公式的应用，考查计算能力．4.【答案】A【解析】解：lnx＞1⇔x＞e∵x＞3⇒x＞e，x＞e⇒推不出x＞3，∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件故选：A．解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．5.【答案】B【解析】解：A、C选项中正视图不符合，A的正视图为，C的正视图为D答案中侧视图不符合．D答案中侧视图为故选：B．A、C选项中正视图不符合，D答案中侧视图不符合，由排除法即可选出答案．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．6.【答案】D【解析】解：由题意设角三角形中较小的直角边是1，则较大的直角边是3，则斜边是，则大正方形的面积是10，则4个三角形的面积是×1×3×4=6，故小正方形的面积是4，故满足的条件的概率p==，故选：D．由题意设角三角形中较小的直角边是1，则较大的直角边是3，分别表示出大正方形和小正方形的面积，从而求出满足条件的概率即可．本题考查考查概率性质、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.【答案】C【解析】解：△ABC 中，∵|+|=|-|，∴+2•+=-2•+，∴•=0， ∴⊥； 又AB=3，AC=4，∴在方向上的投影是 ||•cos ＜，＞=||•cos （π-∠ACB ） =-||•cos ∠ACB =-4； 如图所示． 故选：C ．根据平面向量的数量积，化简|+|=|-|，得出⊥；再结合图形求出在方向上的投影即可．本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目． 8.【答案】C【解析】解：0＜a ＜1，0＜b ＜1，，；∴； ∴a ＞b ； 又；∴c ＞a ＞b ． 故选：C ．容易看出a ，b ∈（0，1），c ＞1，而，从而得出，从而得出a＞b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系．考查对数的运算性质，对数的换底公式，指数函数的单调性，作商比较实数大小的方法． 9.【答案】D【解析】解：∵函数f （x ）=asinx+cosx （a 为常数，x ∈R ）的图象关于直线x=对称，∴f （0）=f（），即1=a+，∴a=，∴f （x ）=asinx+cosx=sinx+cosx=sin （x+）， 故函数g （x ）=sinx+acosx=sinx+cosx=sin （x+），当x=-时，g （x ）=，不是最值，故g （x ）的图象不关于直线x=-对称，故A 错误，当x=时，g （x ）=1，不是最值，故g （x ）的图象不关于直线x=对称，故B 错误， 当x=时，g （x ）=≠0，故C 错误，当x=时，g （x ）=0，故D 正确，故选：D ．利用三角函数的对称性求得a 的值，可得g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论． 本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题． 10.【答案】C【解析】解：由于AB=BC=AC=3，则△ABC 是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC 的外接圆直径为，由于SA ⊥底面ABC ，所以，该三棱锥的外接球直径为，因此，三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为4πR 2=π×（2R ）2=21π．故选：C ．先利用正弦定理计算出△ABC 的外接圆直径2r ，再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型计算出球体的半径，考查计算能力，属于中等题． 11.【答案】A【解析】解：由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2a，|AB|=|BF2|，可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，cos∠BF1F2===，化简可得c4-10a2c2+13a4=0，由e=可得e4-10e2+13=0，解得e2=5+2，可得e=，故选：A．由双曲线的定义可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用锐角三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由f（x）=（e x-a）（x+a2）≥0，得①，或②．由①得，a≤e x且a2≥-x，则a∈∅；由②得，a≥e x且a2≤-x，则a∈∅．综上，满足f（x）≥0恒成立的a的取值个数为0．故选：A．把f（x）=（e x-a）（x+a2）≥0恒成立转化为或，分别求解a的范围得答案．本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法，是中档题．13.【答案】28【解析】解：∵（x-）8的展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•x8-3r，令8-3r=2，求得r=2，故展开式中x2的系数为=28，故答案为：28．由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：先根据约束条件画出可行域，由得A（2，0），当直线z=2x-y过点A（2，0）时，z最大是4，故答案为：4．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．15.【答案】【解析】解：由题得：如图：依题设A在抛物线准线的投影为A′，抛物线的焦点为F，A（0，2）．F在准线上的射影A″∵抛物线y2=4x，∴F（1，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PA″|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=．故答案为：．先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，2）的距离与到抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，2）的距离与P到焦点F的距离之和．16.【答案】（1，]【解析】解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A=，∴由正弦定理可得：，可得：b=2sinB，c=2sin（-B），∴S△ABC =bcsinA=×2sinB×2sin （-B）×=sinB（cosB+sinB）=sin（2B-）+，∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B-＜，可得：sin（2B-）∈（，1]，∴S△ABC =sin（2B-）+∈（1，]．故答案为：（1，]．由已知利用正弦定理可得b=2sinB，c=2sin （-B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC ═sin（2B-）+，由已知可求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）证明：数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n，可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；n≥2时，2a n-1=2+S n-1，又2a n=2+S n，相减可得2a n-2a n-1=2+S n-2-S n-1=a n，即a n=2a n-1，可得数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n=2n，b n=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，数列{b n}的前n项和T n=（3+2n+1）n=n2+2n．【解析】（Ⅰ）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（Ⅱ）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（I）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.05×4=0.20，在区间[4，8）内的频率=0.09×4=0.36．∴该款电冰箱使用时间的中位数=0.05×4+0.09×（x-4）=0.5，解得x=．（II）依题意，完善表中的数据如下所示：故K2=≈243.06＞10.828；故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．（III）使用时间不低于4年的频率=1-4×0.05=．∴电冰箱的台数为X～B（3，），∴X的期望E（X）=3×=．【解析】（I）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.05×4=0.20，在区间[4，8）内的频率=0.09×4=0.36．可得该款电冰箱使用时间的中位数=0.05×4+0.09×（x-4）=0.5，解得x．（II）依题意，完善表中的数据如下所示：利用独立性检验计算公式可得K2，进而得出结论．（III）使用时间不低于4年的频率=1-4×0.05=．kKD电冰箱的台数为X～B（3，），即可得出期望．本题考查了二项分布列的计算公式及其期望、独立性检验计算公式及其原理、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取AC的中点O，连结BO，DO，∵AB=BC=CD=DA，∴△ABC，△ADC均为等腰三角形，∴AC⊥DO，AC⊥BO，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BOD，∵BD⊂平面BOD，∴BD⊥AC．解：（Ⅱ）∵CA=AB，AB=BC=CD=DA，∴OD=OB=，∴OD2+OB2==BD2，∴∠ ，∵∠DOB是二面角D-AC-B的平面角，∴平面DAC⊥平面BAC，如图，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，设A（0，-1，0），则C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），∴=（-，1，0），=（，，），=（0，1，），设平面ABD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-，1），设直线BC与平面ABD所成角为θ．则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为：sinθ===．【解析】（Ⅰ）取AC的中点O，连结BO，DO，推导出AC⊥DO，AC⊥BO，从而AC⊥平面BOD，由此能证明BD⊥AC．（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，∵+＜+=1，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，∴b=，+=1，解得a2=6，b2=3，故椭圆C的方程为+=1，（Ⅱ）∵直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆M相切，由直线和圆相切的条件：d=r，可得=，即有（x02-2）k12-2x0y0k1+y02-2=0，同理由直线OQ：y=k2x与圆M相切，可得（x02-2）k22-2x0y0k2+y02-2=0，即k1，k2为方程（x02-2）k2-2x0y0k+y02-2=0的两个不等的实根，可得k1k2=，∵点R（x0，y0）在椭圆C上，∴+=1，∴k1k2===-，设P（，P（x1，y1），Q（x2，y2），∴|OP|=•|x1|点Q到直线OP的距离d=，∵|x1|=，|x2|=，∴△OPQ的面积S=|x1x2|•|k1-k2|=••=3=3=．【解析】（Ⅰ）根据对称性可的C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，则可得b=，+=1，解得即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x02-2）k2-2x0y0k+y02-2=0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到k1k2=-，设P（x1，y 1），Q（x2，y2），表示出△OPQ的面积S=|x1x2|•|k1-k2|，代值计算即可求出本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=ln x-e x+a的导数为f′（x）=-e x+a．曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1-e1+a，切点为（1，-e1+a），可得切线方程为y+e1+a=（1-e1+a）（x-1），可令y=0可得x=，由题意可得＞0，可得e1+a＜1，解得a＜-1；（Ⅱ）证明：f′（x）=-e x+a．设g（x）=f′（x）=-e x+a．可得g′（x）=-（+e x+a），当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）递减；由a＞1-，e x+a＞e x．若e x＞，g（x）＜-e x＜0，当0＜x＜1时，e x+a＜e1+a．若e1+a＜，即x＜e-1-a，故当0＜x＜e-1-a时，g（x）＞0，即g（x）=f′（x）有零点x0，当0＜x＜x0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）≤f（x0），又f（x0）=ln x0-e x0+a，又e x0+a=，可得f（x0）=ln x0-，在x0＞0递增，又a=ln-x0=-（ln x0+x0），a＞1-⇔-（ln x0+x0）＞1-=-（ln+），所以ln x0+x0＜ln+，由于ln x0+x0递增，可得0＜x0＜，故f（x）≤f（x0）＜f（）=-1-e．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线斜率和切点，以及切线方程，可令y=0，求得横坐标x，由题意可得x＞0，解不等式可得所求范围；（Ⅱ）求得f′（x）=-e x+a．设g（x）=f′（x）=-e x+a．判断g（x）递减，由函数零点存在定理可得g（x）存在零点x0，求得f（x）≤f（x0），求得a，结合分析法和不等式的性质、函数的单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和构造函数法，考查函数零点存在定理的运用，考查变形能力和推理能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）在ρ+ρcos2θ=8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ-sin2θ）=8ρsinθ，∴x2+y2+x2-y2=8y，即x2=4y，所以曲线C的直角坐标方程为：x2=4y．（Ⅱ）联立直线l的参数方程与x2=4y得：（cosα）2t2-4（sinα）t+4=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由△=16sin2α-16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2=，由|PM|=||==，所以20sin2α+9sinα-20=0，解得sinα=或sinα=-（舍去），所以sinα=．【解析】（Ⅰ）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）联立直线l的参数方程与x2=4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f（x）=|x+1|+|x-1|，当x≤-1时，由f（x）=-2x＜4，得x＞-2，则-2＜x≤-1；当-1＜x≤1时，f（x）=2＜4恒成立；当x＞1时，由f（x）=2x＜4，得x＜2，则1＜x＜2．综上，不等式f（x）＜4的解集为{x|-2＜x＜2}；（2）由题意+=（+）（m+n）=2++≥4，由绝对值不等式得f（x）=|x+a|+|x-1|≥|a+1|，当且仅当（x+a）（x-1）≤0时取等号，故f（x）的最小值为|a+1|，由题意得4≥|a+1|，解得：-5≤a≤3．【解析】（1）通过讨论x的范围，解绝对值不等式即可；（2）根据基本不等式的性质求出+≥4，由绝对值不等式得f（x）≥|a+1|，问题转化为4≥|a+1|，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。

泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，然后根据集合的交集的运算求出.【详解】解：B={x|-3＜x＜3},又∴A∩B={1}．故选：A．【点睛】本题考查集合列举法、描述法的定义，交集的运算，属于基础题.2.=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对分母实数化，然后按照复数代数形式的乘除运算法则化简.【详解】=，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的二倍角公式展开后，代入tana值即可求出.【详解】，故选B.【点睛】本题考查正切函数二倍角公式的运用，属于基础题.4.是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出关于x的不等式，再结合充分必要条件的定义找出两者之间的关系.【详解】解：lnx＞1⇔x＞e∵x＞3⇒x＞e，x＞e推不出x＞3，∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解不等式，属于基础题.5.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是【答案】B【解析】试题分析：由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．考点：三视图．6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为.7.在中，，则在方向上的投影是（）A. 4B. －4C. 3D. －3【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的数量积，化简，得出；根据投影的几何意义结合图形求出在方向上的投影．【详解】解：△ABC中，∵，∴，∴，∴又AB＝3，AC＝4，∴在方向上的投影是=＝﹣4；如图所示．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的数量积、投影的几何意义，也考查了数形结合思想的应用，是基础题目．8.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系. 【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.9.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：∵函数f（x）＝a sin x+cos x（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，所以函数g（x）＝sin x+a cos x＝sin x+cos x＝sin（x+），当x＝﹣时，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故A错误，当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，当x＝时，g（x）＝≠0，故C错误，当x＝时，g（x）＝0，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．10.三棱锥中，底面，若，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理计算出△ABC的外接圆直径2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【详解】解：由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC的外接圆直径为，由于SA⊥底面ABC，所以，△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，因此，三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝21π．故选：C．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题．11.双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，与的左、右两支分别交于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AB|＝|BF2|，可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，cos∠BF1F2＝＝，化简可得c4﹣10a2c2+13a4＝0，由e＝可得e4﹣10e2+13＝0，解得e2＝5+2，可得e＝，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用直角三角形中三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.已知函数，则满足恒成立的的取值个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0，对a分类讨论，可知a≤0时不合题意，当a＞0时， f（x）的两个因式同正同负，则需在同一x处等0，则转化为﹣a2＝lna的根的个数求解．【详解】解：f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0，当a＝0时，f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0化为e x•x≥0，则x≥0，与x∈R矛盾；当a＜0时，e x﹣a＞0，则x+a2≥0，得x≥﹣a2，与x∈R矛盾；当a＞0时，令f（x）＝0，得x＝lna或x＝﹣a2，要使f（x）≥0恒成立，则﹣a2＝lna，作出函数g（a）＝﹣a2与h（a）＝lna的图象如图：由图可知，a的取值个数为1个．故选：B．【点睛】本题考查恒成立问题，考查数学转化思想和分类讨论的思想，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上．13.的展开式中x2的系数为__________.（用数字作答）【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，，所以的．故答案为．考点：二项式定理14.已知实数满足约束条件，则的最大值为_____．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝2x-z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，纵截距越小，z越大，结合图象即可求解z的最大值．【详解】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝2x-z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，纵截距越大，z 越小，作直线2x-y＝0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过F（2,0）时，z最大，代入z=2x-y=4故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础题.15.抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值．【详解】解：∵抛物线y2＝4x，∴F（1，0），如图：设p在准线上的射影A″，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PA″|＝|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|PA|≥|AF|＝．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.16.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的面积的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理可以得到b＝2sin B，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．【详解】解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sin B，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bc sin A＝×2sin B×2sin（﹣B）×＝sin B（cos B+sin B）＝sin（2B﹣）+，∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案为：（1，]．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(一)必考题：共60分17.已知数列的前项和满足．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算求和．【详解】解：（1）证明：数列{a n}的前n项和S n满足2a n＝2+S n，可得2a1＝2+S1＝2+a1，解得a1＝2，a2＝4；n≥2时，2a n﹣1＝2+S n﹣1，又2a n＝2+S n，相减可得2a n﹣2a n﹣1＝2+S n﹣2﹣S n﹣1＝a n，即a n＝2a n﹣1，检验a2＝2a1，所以数列{a n}是首项为2、公比均为2的等比数列；（2）由（1）可得a n＝2n，b n＝log2a2n+1＝log222n+1＝2n+1，数列{b n}的前n项和T n ＝（3+2n+1）n＝n2+2n．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下：（1）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；（2）完善表中数据，并据此判断是否有的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关；（3）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为，求的期望．附：【答案】（1）；（2）有；（3）.【解析】【分析】（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.20，在区间[4，8）内的频率为0.36．可得该款电冰箱使用时间的中位数在区间[4，8内，根据条形图计算中位数的方法求解．（2）依题意，完善表中的数据，然后利用独立性检验计算公式可得K2，进而得出结论．（3）使用时间不低于4年的频率．电冰箱的台数为X～B（3，），则可得出期望．【详解】解：（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.05×4＝0.20，在区间[4，8）内的频率＝0.09×4＝0.36．∴该款电冰箱使用时间的中位数＝0.05×4+0.09×（x﹣4）＝0.5，解得x＝．（2）依题意，完善表中的数据如下所示：故K2＝≈243.06＞10.828；故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．（3）使用时间不低于4年的频率＝1﹣4×0.05＝．∴电冰箱的台数为X～B（3，），∴X的期望E（X）＝3×＝．【点睛】本题考查了二项分布列的计算公式及其期望、独立性检验计算公式及其原理、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，三棱锥中，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连结BO，DO，推导出AC⊥DO，AC⊥BO，从而AC⊥平面BOD，由此能证明BD⊥AC．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ABD所成角的正弦值．【详解】证明：（1）取AC的中点O，连结BO，DO，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC，△ADC均为等腰三角形，∴AC⊥DO，AC⊥BO，∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BOD，∵BD⊂平面BOD，∴BD⊥AC．解：（2）∵CA＝AB，AB＝BC＝CD＝DA，∴OD＝OB＝，∴OD2+OB2＝＝BD2，∴，∵∠DOB是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴平面DAC⊥平面BAC，如图，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设A（0，﹣1，0），则C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），∴＝（﹣，1，0），＝，＝（0，1，），设平面ABD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，1），设直线BC与平面ABD所成角为θ．则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为：sinθ＝.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知椭圆，点，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，试问的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对称性可知椭圆C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，代入点坐标可求出椭圆方程;（2）由直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到k1k2＝﹣，设P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出△OPQ的面积S＝|x1x2|•|k1﹣k2|，代值计算即可求出.【详解】解：（1）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，∵，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，∴b＝，，解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为.（2）∵直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆M相切，由直线和圆相切的条件：d＝r，可得，即有（x02﹣2）k12﹣2x0y0k1+y02﹣2＝0，同理：直线OQ：y＝k2x与圆M相切，可得（x02﹣2）k22﹣2x0y0k2+y02﹣2＝0，即k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，可得k1k2＝，∵点R（x0，y0）在椭圆C上，∴，∴k1k2＝＝，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴|OP|＝•|x1|点Q到直线OP的距离d＝，∵|x1|＝，|x2|＝，∴△OPQ的面积S＝|x1x2|•|k1﹣k2|＝••，＝．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．21.已知函数．（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围；（2）求证：时，．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线斜率和切点，以及切线方程，可令y＝0，求得横坐标x，由题意可得x＞0，解不等式可得所求范围；（2）求得f′（x）＝﹣e x+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣e x+a．判断g（x）递减，由函数零点存在定理可得g（x）存在零点x0，求得f（x）≤f（x0），求得a，结合分析法和不等式的性质、函数的单调性，即可得证．【详解】解：（1）函数f（x）＝lnx﹣e x+a的导数为f′（x）＝﹣e x+a．曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣e1+a，切点为（1，﹣e1+a），可得切线方程为y+e1+a＝（1﹣e1+a）（x﹣1），可令y＝0可得x＝，由题意可得＞0，可得e1+a＜1，解得a＜﹣1；（2）证明：f′（x）＝﹣e x+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣e x+a．可得g′（x）＝﹣（+e x+a），当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）递减；由a＞1﹣，e x+a＞e x．若e x＞，g（x）＜﹣e x＜0，当0＜x＜1时，e x+a＜e1+a．若e1+a＜，即x＜e﹣1﹣a，故当0＜x＜e﹣1﹣a时，g（x）＞0，即g（x）＝f′（x）有零点x0，当0＜x＜x0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）≤f（x0），又f（x0）＝lnx0﹣e x0+a，又e x0+a＝，可得f（x0）＝lnx0﹣，在x0＞0递增，又a＝ln﹣x0＝﹣（lnx0+x0），a＞1﹣⇔﹣（lnx0+x0）＞1﹣＝﹣（ln+），所以lnx0+x0＜ln+，由于lnx0+x0递增，可得0＜x0＜，故f（x）≤f（x0）＜f（）＝﹣1﹣e．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和构造函数法，考查函数零点存在定理的运用，考查变形能力和推理能力，属于难题．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．【详解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝4y．（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2＝，由|PM|＝，所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），所以sinα＝．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数．（1）若，解不等式；（2）对任意满足的正实数，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先利用1的代换求最小值，再根据绝对值三角不等式求的最小值，最后解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，由得，则；当时，恒成立；当时，由得，则.综上，不等式的解集为（2）由题意，由绝对值不等式得，当且仅当时取等号，故的最小值为.由题意得，解得.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。