2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三12月月考数学(理)试题

湖北省宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题考试时间：2019年4月一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是（）A．B．C．D．2．如果直线n//直线m，且m平面，那么n与的位置关系是（）A．相交 B． C． D．或3．已知向量，，且，则的值是A．3 B． C．D．4．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A． B． C．D．5．如图，中，，，，以AC所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积等于A．B．C．D．6．已知不等式的解集为，则不等式的解集为A． B．或C． D．或7．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A． B．C． D．8．已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影等于（）A． B． C．D．9．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )A．15km B．30 km C．45 km D．60 km10．将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为，则函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．11．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是（）A． B．C． D．12．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边.若，，则面积S的最大值为A．B．C．D．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．向量与向量的夹角余弦值是__________．14．如图，在正方体中，为棱的中点，则与所在直线所成角的余弦值等于________.15．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段、、和在原正方体中互为异面直线的有_______对.16．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为__________．三、解答题（6小题，共70分）17．（10分）已知的内角、、的对边分别为，，，若，．（1）求的值；（2）若，求的面积．18．（12分）已知函数．(1)求的最小正周期及对称轴；(2)求函数在区间[0,]上的值域．19．（12分）在中，角的对边分别为，且（1）求角B；（2）若求的最大值.20．（12分）如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.21．（12分）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为，轮船的最大速度为15海里小时，当船速为10海里小时，它的燃料费是每小时96元。

湖北宜昌市葛洲坝中学期末精选达标检测卷（Word版含解析）一、第五章抛体运动易错题培优（难）1．如图，光滑斜面的倾角为θ＝45°，斜面足够长，在斜面上A点向斜上方抛出一小球，初速度方向与水平方向夹角为α，小球与斜面垂直碰撞于D点，不计空气阻力；若小球与斜面碰撞后返回A点，碰撞时间极短，且碰撞前后能量无损失，重力加速度g取10m/s2。

则可以求出的物理量是（）A．α的值B．小球的初速度v0C．小球在空中运动时间D．小球初动能【答案】A【解析】【分析】【详解】设初速度v0与竖直方向夹角β，则β＝90°−α（1）；由A点斜抛至至最高点时，设水平位移为x1，竖直位移为y1，由最高点至碰撞点D的平抛过程Ⅱ中水平位移为x2，竖直位移y2。

A点抛出时：sinxv vβ=（2）10cosyv vβ=（3）2112yvyg=（4）小球垂直打到斜面时，碰撞无能力损失，设竖直方向速度v y2，则水平方向速度保持0sinxv vβ=不变，斜面倾角θ＝45°，20tan45siny x xv v v vβ===（5）2222yyyg=（6）()22212cos sin2vy y ygββ-∆=-=（7），平抛运动中，速度的偏向角正切值等于位移偏向角的正切值的二倍，所以：()111111tan90222tanyxvyx vββ==-=（8）由（8）变形化解：211cos sin2tanvx ygβββ==（9）同理，Ⅱ中水平位移为：2222sin2tan45vx ygβ==（10）()212sin sin cosvx x xgβββ+=+=总（11）=tan45yx∆总故=y x∆总即2sin sin cosβββ-=-（12）由此得1tan3β=19090arctan3αβ=-=-故可求得α的值，其他选项无法求出；故选：A。

2．如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。

宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年第一学期 高二年级期末考试试卷数学（理科）试题命题人 ：何星月 审题人：胡安林 考试时间：2019年1月一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.已知命题，那么￢是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以对于命题，那么是：，故选D.2. 某市有大型、中型与小型商店共1500家,它们的家数之比为1∶5∶9.用分层抽样抽取其中的30家进行调查,则中型商店应抽出( )家. A. 10 B. 18 C. 2 D. 20【答案】A 【解析】解：因为大型、中型与小型商店共1500家,它们的家数之比为1∶5∶9，用分层抽样抽取其中的30家进行调查,则中型商店应抽出30*5/15=10,选A 3.双曲线的渐近线方程是( )A. B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线为，结合条件即可得解.【详解】双曲线的.渐近线方程为：.故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线渐近线的定义，属于基础题.4.在区间内任取一个数，则点位于轴下方的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件计算得a的范围，再由长度比即可得解.【详解】在区间内任取一个数，则点位于轴下方，可得. 由几何概型可得：.故选C.【点睛】本题主要考查了长度型的几何概型，属于基础题.5.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（）cm3A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×3+•π•12×3=（6+1.5π）cm3．故答案为：6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．6.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是( )A. P与R是互斥事件B. P与Q是对立事件C. Q和R是对立事件D. Q和R是互斥事件，但不是对立事件【答案】C【解析】【分析】找出从袋中任取2个球的所有可能情况，然后借助于互斥事件的概念得答案．【详解】袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法共有如下几类：①取出的两球都是黑球；②取出的两球都是白球；③取出的球一黑一白．事件R包括①③两类情况，∴事件P是事件R的子事件，故A不正确；事件Q与事件R互斥且对立，∴选项C正确,选项D不正确．事件P与事件Q互斥，但不是对立事件，∴选项B不正确故选：C．【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件，关键是对两个概念的理解，是基础的概念题．7.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由程序框图可知：，计算和，代入求解即可.【详解】由程序框图可知：因为，.，所以.故选B.【点睛】本题主要考查条件结构的框图的识别与计算，属于基础题.8.已知条件：，条件：直线截圆所得弦长为，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分析条件q，利用垂径定理求得b，从而可得两条件的关系.【详解】由条件：直线截圆所得弦长为， 可得：圆心到直线的距离，解得.所以条件：，是的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断及直线与圆相交时的垂径定理，属于基础题. 9.若圆上至少有三个不同的点，到直线的距离为，则取值范围为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】分析：先求出圆的圆心和半径，比较半径和，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式可求得结果. 详解：圆整理为，所以圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离为，所以的范围是，故选B.点睛：该题考查的是有关直线与圆的有关问题，在解题的过程中，需要明确点到直线的距离公式，根据图形的相关性质，得到圆心到直线的距离的范围，从而建立其关于b 的不等关系式，求解即可. 10.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，若,则与的面积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 画出抛物线的图象如图所示．由抛物线方程，得焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x=−1．过点作准线的垂线，垂足分别为．由消去y整理得，设，则．由条件知，∴．∴，∴．∵在△AEC中，BN∥AE，∴．选D．点睛：本题将抛物线的定义和平面几何知识综合在一起，考查学生分析问题解决问题的能力．解题中先根据平面几何知识将三角形的面积比转化为三角形边的长度比，并根据抛物线的定义将问题转化为相似三角形对应边的比．同时解题中还要注意直线和抛物线位置关系的运用，通过代数方法得到点A,B的坐标之间的关系也是解题的关键点．11. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A. 甲地：总体均值为3，中位数为4B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差【此处有视频，请去附件查看】12.已知双曲线的左,右焦点分别为,若双曲线上存在点,使,则该双曲线的离心率范围为( )A. （1,1）B. （1,1）C. （1,1]D. （1,1]【答案】A【解析】由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义，在中，由正弦定理得，又，即，在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，即，由双曲线的几何性质，知，即，，解得，又，所以双曲线离心率的范围是，故选A.【方法点晴】本题主要考查正弦定理以及利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.焦半径构造出关于的不等式，最后解出的范围.二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲、乙两名运动员的次测试成绩如图所示，以这次测试成绩为判断依据，则甲、乙两名运动员成绩稳定性较差的是__________．（填“甲、乙”）【答案】甲【解析】由题意得，甲乙的平均数都是22，甲的方差是29.2，乙的方差是18.8，故甲、乙两名运动员成绩稳定性较差的是甲.14.椭圆的右焦点为，则以为焦点的抛物线的标准方程是__________．【答案】【解析】【分析】先由椭圆求得焦点坐标，从而可得抛物线方程.【详解】椭圆的右焦点为，以为焦点的抛物线的标准方程是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了椭圆的焦点及抛物线方程的求解，属于基础题.15.某公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用与利润额（单位：百万元）进于了初步统计，得到下列表格中的数据：经计算，月微信推广费用与月利润额满足线性回归方程，则的值为__________．【答案】50【分析】计算,，代入线性回归方程即可得解.【详解】由题中数据可得.由线性回归方程经过样本中心,.有：，解得.故答案为：50.【点睛】本题主要考查了回归直线方程过样本中心，属于基础题.16.称离心率为的双曲线为黄金双曲线．如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：①双曲线是黄金双曲线；②若，则该双曲线是黄金双曲线；③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为【答案】①②③④试题分析：对于①，双曲线的标准方程为，则，∴，满足对于②，，所以或（舍去）故满足对于③∵，∴，由②可得，满足对于④，由双曲线的对称性，可得，∴，由②可得，满足，综上，正确的有①②③④考点：本题考查双曲线的几何性质点评：解决本题的关键是掌握双曲线的几何性质，求离心率必须建立a,b,c的关系三. 解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知命题；方程表示焦点在轴上的椭圆.（Ⅰ）若为假命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】【分析】（Ⅰ）由题可得命题p为真，即可得解；（Ⅱ）由p、q一真一假，列不等式求解即可.【详解】（Ⅰ）若为假命题，则为真命题.若命题p真，即对∀x∈[0，1]，恒成立⇔所以.（Ⅱ）命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆∴⇒或.∵p∨q为真命题，且p∧q为假命题∴p、q一真一假①如果p真q假，则有；②如果p假q真，则有.综上实数m的取值范围为或.【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键.18.已知数列的前项和为，，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，利用，即可得，从而可得；（Ⅱ）利用错位相减求解即可.【详解】（Ⅰ）当时，有.当时，有：，满足上式.所以，则.（Ⅱ）.……①……②①-②得：所以.【点睛】本题主要考查了错位相减求和，主要考查了学生的计算能力，属于基础题.19.在中，角所对的边分别为，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，线段的中垂线交于点，求线段的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可求sin B cos C+sin C sin B＝0，结合sin B＞0，可求tan C＝﹣1，结合范围0＜C ＜π，可求C的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理可求c的值，cos B的值，设BC的中垂线交BC于点E，在Rt△BCD中，可求BD的值．【详解】（Ⅰ）在△ABC中，∵b cos C+c sin B＝0，∴由正弦定理知，sin B cos C+sin C sin B＝0∵0＜B＜π，∴sin B＞0，于是cos C+sin C＝0，即tan C＝﹣1∵0＜C＜π∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，∴c＝5，∴，设BC的中垂线交BC于点E，∵在Rt△BCD中，，∴．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形中垂线的性质的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．20.某高校数学与统计学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取40名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分数分布在内.当时，其频率.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数；（Ⅲ）从成绩在100～120分的学生中，用分层抽样的方法从中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选两人甲、乙，记甲、乙的成绩分别为，求概率．【答案】（Ⅰ）a＝0.04；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）分别取n的值，将n代入函数的解析式，得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）画出频率分布直方图，求出平均数即可；（Ⅲ）按分层抽样的方法从成绩在100～120分的学生中，抽取[100，110）内2人，[110，120）内3人，记[100，110）内2人为A,B，[110，120）内3人，为a,b,c，从而求出满足条件的概率即可．【详解】（Ⅰ）由题意知，n的取值为10，11，12，13，14．把n的取值分别代入，可得（0.5﹣10a）+（0.55﹣10a）+（0.6﹣10a）+（0.65﹣10a）+（0.7﹣10a）＝1．解得a＝0.04．（Ⅱ）频率分布直方图如图：这40名新生的高考数学分数的平均数为105×0.10+115×0.15+125×0.20+135×0.25+145×0.30＝130．（Ⅲ）这40名新生的高考数学分数在[100，110）的频率为0.1，分数在[110，120）的频率为0.15，频率比0.1：0.15＝2：3．按分层抽样的方法从成绩在100～120分的学生中，抽取[100，110）内2人，[110，120）内3人，记[100，110）内2人为A,B，[110，120）内3人，为a,b,c．从5名学生中随机抽取2名学生的基本事件为AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb,Bc,ab,ac,bc，共10个，甲、乙的成绩分别为，满足的有：Aa，Ab，Ac，Ba，Bb,Bc，共6个.所以.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查古典概率求值，是一道常规题．21.如图，在多面体ABCDEF中，，平面ADE，求证：．若，，且直线BD与平面ABFE所成的正切值为，求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】推导出，，，从而平面ABEF，进而，再由，得平面EFCD，由此能证明．由平面ABEF，得是BD与平面ABEF所成角，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角的余弦值．【详解】证明：平面ADE，，，，，平面ABEF，，，，平面EFCD，．解：由知平面ABEF，是BD与平面ABEF所成角，如图，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，则，，，解得或舍，，，0，，0，，2，，1，，4，，，2，，设平面FCB的法向量y，，则，取，得1，，由题意得：平面平面ADE，平面平面，取AD的中点M，连结EM，则，平面ABCD，又，平面ABCD的法向量为，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率分别为，满足．（i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；（ii）求面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）y2＝1；（Ⅱ）（i）见解析；（ii）（0，1）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题设条件，设c k，a＝2k，则b＝k，利用待定系数法能求出椭圆方程．（Ⅱ）（i）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、斜率性质，结合已知条件推导出当k变化时，m2是定值．②利用椭圆弦长公式，结合已知条件能求出△OPQ面积的取值范围．【详解】（Ⅰ）由题设条件，设c k，a＝2k，则b＝k，∴椭圆方程为1，把点（，）代入，得k2＝1，∴椭圆方程为y2＝1．（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．证明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，设∴，．∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，∴4k＝k1+k2，∴2kx1x2＝m（x1+x2），由此解得，验证△＞0成立．∴当k变化时，是定值．②S△OPQ|x1﹣x2|•|m|，令t＞1，得S△OPQ1，∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈（0，1）．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，考查了设而不求的数学思想，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、斜率性质的合理运用．。

宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年第一学期高二年级期中考试试卷数学（理科）试题考试时间：2018年11月第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ）A.1=+b a B ．0=-b a C ．0=+b a D ．1=-b a 2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）A ．3B ．9C ．17D ．513．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）A ．(0,0)B ．(3,1)C ．(0,1)D ．(2,1) 4．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++=5．有50件产品编号从1到50,现在从中抽取5件检验,用系统抽样确定所抽取的编号为( )A.5,10,15,20,25B.5,15,20,35,40C.10,20,30,40,50D.5,11,17,23,29 6．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下： 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ( ) A ．9.4,0.484 B ．9.4,0.016 C ．9.5,0.016 D ．9.5,0.047．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x8． 2.5PM 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或 等于2.5m μ的颗粒物,也称为细颗粒物,一般情况下 2.5PM 浓度(单位: 3·g m μ-)越大,大气环境质量越差.如图所示的是宜昌市区甲、乙两个监测站某10日内每日的 2.5PM 浓度读数的茎叶图,则下列说法正确的是( )A.这10日内甲、乙监测站读数的极差相等B.这10日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大C.这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D.这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等9.点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连结的线段的中点的轨迹方程( )A. ()()22211x y -++=B. ()()22214x y -++= C. ()()22424x y ++-= D. ()()22211x y ++-=10．两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦长等于( )A. 4B. 11.若实数,x y 满足222210x y x y +--+=则42y x --的取值范围为( ) A. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D. 4,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭12．已知点(2,0)A -,(2,0)B ，(0,2)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A.（0，2-B. (2C. 2(2]3 D.2[,1)3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. )5(412=__________)7(.14．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M的方程为____________．15．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 .16.如图,已知直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点, P 是以()0,1C 为圆心, 1为半径的圆上一动点,连接PA ,PB ,则PAB ∆面积的最大值是第Ⅱ卷三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 17．（本题满分10分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边,2sin c A =． (Ⅰ) 确定角C 的大小;(Ⅱ) 若c =且ABC ∆的周长为5,求ABC ∆的面积．18．（本题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)分组的频率分布直方图如图．(Ⅰ) 求直方图中x 的值；(Ⅱ) 求月平均用电量的众数、中位数；(Ⅲ) 在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？19．（本题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若AB =2，AC =1，PA =1，求二面角C -PB -A 的余弦值. 20．（本题满分12分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(Ⅰ) 画出数据对应的散点图；(Ⅱ) 求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (Ⅲ)据(Ⅱ)的结果估计当房屋面积为2150m 时的销售价格.附：对于一组数据()11,u v ， ()22,u v ，…(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()121()ˆniii nii u u v v u u β==--=-∑∑， ˆˆˆv u αβ=- 21．（本题满分12分）如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0),(1,2)A B - (Ⅰ)若直线l 平行于AB ,与圆 C 相交于,M N 两点,MN AB =,求直线l 的方程;(Ⅱ)在圆 C 上是否存在点P ,使得2212?PA PB +=若存在, 求点P 的个数;若不存在,说明理由. 22．（本题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a ,满足()221120*n n n n a a a a n N ++--=∈ 且12a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设12log n n n b a a =⋅,若n b 的前n 项和为n S ,求nS ；(Ⅲ)在（2）的条件下,求使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年第一学期 高二年级期中考试试卷数学试题（理科） 答案1—12. BDBAC CDCAD AB13. 212 14. ()x ＋32＋()y ＋12＝1 15. 9 16. 21217．解：（12sin c A =2sin sin A C A =，因为sin 0A ≠，所以sin C =. 所以3C π=或23C π=. 因为ABC ∆是锐角三角形， 所以3C π=.（2）因为c =ABC ∆的周长为5+，所以a +b =5 ①由余弦定理得222cos73a b ab π+-= ，即227a b ab +-= ②由②变形得()237a b ab +-=，所以ab =6，得1sin 23S ab π==18. 解：(Ⅰ)由直方图的性质可得(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解方程可得x ＝0.007 5.∴直方图中x 的值为0.007 5；(2分) (Ⅱ)月平均用电量的众数是220＋2402＝230，------(4分) ∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5， ∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5可得a ＝224. ∴月平均用电量的中位数为224；--------(6分)(Ⅲ)月平均用电量为[220，240)的用户有0.012 5×20×100＝25， 月平均用电量为[240，260)的用户有0.007 5×20×100＝15， 月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10， 月平均用电量为[280，300)的用户有0.002 5×20×100＝5， ∴抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，--------(11分)∴月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×15＝5（户）．-------（12分）19. 证明：（Ⅰ）由AB 是圆的直径，得AC BC ⊥， 由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA BC ⊥． 又PA AC A ⋂=，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC ． 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC ……………………………………………6分 （Ⅱ）解法一：过C 作CM//AP ，则CM ⊥平面ABC ．如图（1），以点C 为坐标原点，分别 以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB =2，AC =1，所以BC ．又因为PA =1，所以A （0，1， 0），B0，0），P （0，1，1）．故(3,0,0),(0,1,1)CB CP ==． 设平面BCP 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则110,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩CB n CP n 所以1110,0.y z =+=⎪⎩不妨令11y =，则1(0,1,1)=-n ． 因为(0,0,1),(3,1,0),AP AB ==- 设平面ABP 的法向量为2222(,,)x y z =n ，则220,0.AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩n AB n 所以2220,0.z y =⎧⎪-=不妨令21x =，则20)=n ．第18题图（1）于是12cos,4〈〉==n n．由图（1）知二面角C-PB-A为锐角，故二面角C-PB-A的余弦值为12分（Ⅱ）解法二：如图（2），过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM．又因为PA AB A⋂=，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CM⊥平面PAB．过M作MN⊥PB于N，连接NC，由三垂线定理得CN⊥PB，所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角．在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得BC=，2CM=，32BM=．在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得PB=．因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以31MNMN=所以在Rt△CNM中，5CN=，所以cos CNM∠，所以故二面角C-PB-A的余弦值为12分20.（1）数据对应的散点图如图所示：第18题图（2）（2）1095151==∑=i i x x ，1570)(251=-=∑=x x l i i xx ，308))((,2.2351=--==∑=y y x x l y i i i xy设所求回归直线方程为a bx y +=，则1962.01570308≈==xxxy l l b ， 8166.115703081092.23≈⨯-=-=x b y a 故所求回归直线方程为8166.11962.0+=x y（3）据（2），当2150x m =时，销售价格的估计值为：2466.318166.11501962.0=+⨯=y（万元）21. 解析：1.圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=, 所以圆心(2,0)C ,半径为2.因为//,(1,0),(1,2)l AB A B -,所以直线l 的斜率为2011(1)-=--,设直线l 的方程为0x y m -+=,则圆心 C 到直线l 的距离为d ==因为MN AB ===而2222MN CM d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以2(2)422m +=+,解得0m =或4-,故直l 线的方程为0x y -=或40x y --=. 2.假设圆 C 上存在点P ,设(,)P x y ,则22(2)4x y -+=,222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=,即22230x y y +--=,即22(1)4x y +-=,因为2222-<<+所以圆22(2)4x y -+=22(1)4x y +-=与圆相交, 所以点P 的个数为222．解：（1）∵221120n n n n a a a a ++--=，()()1120n n n n a a a a ++∴+-=∵数列{}n a 的各项均为正数，∴10n n a a ++>， ∴120n n a a +-=，即()12*n n a a n N +=∈ 所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列.∵12a =，∴数列{}n a 的通项公式2nn a =.（2）由（1）及12log n n n b a a =得，2n nb n =-⋅，∵12n n S b b b =+++，∴23422232422n n S n =--⋅-⋅-⋅--⋅①∴()2345122223242122n n n S n n +=--⋅-⋅-⋅---⋅-⋅②②-①得()()23451112122222222212212n n n n n n S n n n +++-=++++++-⋅=-⋅=-⋅--（3）要使1250n n S n ++⋅>成立，只需12250n +->成立，即1252n +>， ∴使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5.附：双向细目表。