第三讲 函数的三要素

高一数学函数的三要素知识点在高一数学学习中，函数是一个重要的概念和工具。

理解和掌握函数的三要素是学好数学的基础。

本文将介绍函数的三要素的知识点，包括定义域、值域和图像。

一、定义域定义域是指函数所能接受的自变量的取值范围。

对于一个函数来说，它并不是任意定义的，而是有一定的限制。

在确定定义域时，需要考虑函数中出现的各种运算，比如平方根、分母不能为零等。

例如，对于函数y = √x，由于不能对负数开平方根，因此定义域为x ≥ 0；对于函数y = 1/x，由于分母不能为零，因此定义域为x ≠ 0。

需要注意的是，对于一些复杂的函数，确定定义域可能需要借助一些技巧和方法。

二、值域值域是函数所有可能的输出值的集合。

它是定义域经过函数变换后得到的结果。

确定值域的方法通常有两种：代数方法和图像法。

在使用代数方法确定值域时，可以分析函数的性质和特点，并求出函数的最值。

例如，对于函数y = x^2，在定义域为实数集时，函数的最小值为0，因此值域为y ≥ 0；对于函数y = sinx，在定义域为实数集时，由于正弦函数的取值范围是[-1, 1]，因此值域为-1 ≤ y ≤ 1。

图像法是通过作出函数的图像来确定值域。

通过观察函数的图像，我们可以直观地判断函数的值域。

例如，对于函数y = 2x + 1，在作出其图像后，我们可以看到函数的图像是一条直线，它包含了所有的实数，因此值域为实数集。

三、图像函数的图像是函数在坐标系上的表示。

通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质和特点，进而更好地理解函数的三要素。

在绘制函数的图像时，需要根据定义域和值域的情况选择适当的坐标系和标尺。

对于简单的函数，可以通过画出一些特殊点和关键点，再通过描点连线的方法绘制函数的图像；对于复杂的函数，则可以借助计算机绘图工具进行绘制。

无论使用哪种方法，绘制的图像应该准确反映函数的性质，直观地展示函数的变化趋势。

综上所述，函数的三要素——定义域、值域和图像，是理解和掌握高一数学函数的关键知识点。

专题4 函数的概念与三要素知识点一 函数的概念解析获取vx ：lingzi980一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(1)x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y 与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y ＝f (x )仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”，f (x )也不一定就是解析式． (3)除f (x )外，有时还用g (x )，u (x )，F (x )，G (x )等符号来表示函数．知识点二 函数定义域 1.基本的函数定义域限制 （1）分式中的分母不为0；（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于0； （3）零指数幂的底数不为0； （4）指数式的底数大于0且不等于1；（5）对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0； （6）正切函数x y tan =R x ∈(且)2Z k k x ∈+≠，ππ．【例1】若函数)(x f y =的定义域为22{|}M xx =≤≤－，值域为02{|}N y y =≤≤，则函数)(x f y =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】下列函数()f x 与()g x 表示同一函数的是（） A ．()f x()g x = B ．()f x x =与32()1x g x x x +=+C ．y x =与2y =D ．()f x ()g x 【例3】（2022•北京）函数1()f x x=．【例4】（2022•上海）下列函数定义域为R 的是( ) A ．12yx -= B ．1y x -= C ．13y x =D ．12y x =2.可转化为二次函数定义域问题xx xx【例5】若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为 ． 【例6】已知函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域是R ，求实数k 的取值范围． 归纳总结：在关于二次函数定义域为一切实数的时候，除了分析判别式以外，还要考虑二次项系数． 3.抽象函数的定义域求法此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若()f x 的定义域为()a b ，，求[()]f g x 中()a g x b <<的解x 的范围，即为[()]f g x 的定义域．①．已知)(x f 的定义域，求复合函数()[]f g x 的定义域【例7】已知函数()f x 的定义域为[15]-，，求(35)f x -的定义域． ②．已知复合函数[()]f g x 的定义域，求)(x f 的定义域若[()]f g x 的定义域为x a b ∈（，），则由a x b <<确定()g x 的范围即为()f x 的定义域． 【例8】已知函数2(22)f x x -+的定义域为[03]，，求函数()f x 的定义域． ③．已知复合函数()[]f g x 的定义域，求()[]f h x 的定义域先由()[]f g x 定义域求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域求得()[]f h x 的定义域．【例9】已知函数(23)f x -的定义域是(13)-，，求函数1(6)2f x +的定义域．④．已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．【例10】若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)g x f x f x =-++的定义域．1.函数()01(4)2||f x x x =+--的定义域为 ．2.（2019•江苏）函数y =的定义域是 ．3.（2021•全国）函数()f x = ．4.（2020•北京）函数f 1()1x lnx x =++的定义域是 ． 5.（2022•新兴区期末）若函数()y f x =的定义域是[1，3]，则函数(21)()f x h x lnx-=的定义域是( ) A ．[1，3]B ．(1，3]C ．(1，2]D ．[1，2]6，（2022•香坊区期末）已知函数2(1)f x +的定义域为[1，2]，则函数()()(2)f xg x lg x =-的定义域为( )A ．[2，5]B ．(2，3)(3⋃，5]C ．(2，5]D ．[2，3)(3⋃，5]7，（2022•兴庆区期末）若函数y =R ，则实数a 的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1(0,)2C ．1[0,)2D ．1[0,]28.（2022•盘龙区月考）下列每组函数不是同一函数的是( )A ．2()1,()f x x g x =-=B ．()1,()f x x g x =-C ．24(),()22x f x g x x x -==+-D ．()||,()f x x g x ==知识点三 函数的解析式 1.待定系数法求函数解析式已知函数解析式的类型时，可用待定系数法求其函数解析式． 【例11】求下列函数的解析式．（1）若一次函数()f x 满足[()]91f f x x =+，求()f x 的函数解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且(0)2(1)()1f f x f x x =+-=-，，求()f x 的讲解析式．注意 解析式类型已知的，一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式2y ax bx c =++，顶点式2()y a x h k =-+和两点式12()()y a x x x x =--的选择． 2.换元法求函数解析式已知复合函数[()]f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围． 【例12】（1）若函数()f x 满足221()f x x -=，求函数()f x 的解析式； （2）已知函数()f x 满足22112x f x x--()=，求函数f x ()的解析式．3.配凑法求函数解析式当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．【例13】已知函数()f x 满足2211()x x x f x x +++=，求()f x 的函数解析式． 4.方程组法求函数解析式若已知成对出现()f x ，1()f x或()f x ，()f x -，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出()f x ．【例14】（1）已知函数()f x 满足3()2()3f x f x x +-=+，求()f x 的解析式；（2）已知函数()f x 满足95)1(2)(+=+x xf x f ，求)(x f 的解析式；（3）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，并且1()()1f xg x x +=-，求()f x 和()g x 的函数解析式． 注意 函数方程的问题，需建立关于()f x 的方程组，如本例4，若函数方程中同时出现()f x 、1()f x，则一般x 用1x代之，构造另一个方程．5.迭代法求函数解析式当出现类似“数列”类型的抽象函数表达式时，可采用递推迭代的方法求出()f x ．【例15】已知函数()f x 的定义域是正整数集*N ，(1)1f =，且(1)()5f x f x +=+，求()f x 的函数解析式．6.分段函数的解析式分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．【例16】设函数=)(x f 22220x x x x x ⎧++≤⎪⎨->⎪⎩，，，若2))((=a f f ，则a = ．【例17】已知函数2(5)232f x x x =--，5(2)g x x =-．求：（1）)2(f ，)2(g ； （2）))2((g f ，))2((f g ；（3）(())f g x ，(())g f x ．总结 求函数值时，遇到本例题中（2）（3）这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如(())f g x ，里层函数就是()g x ，外层函数就是()f x ，其对应关系可以理解为()(())g fx g x f g x −−→−−→，类似的(())g f x 为()(())f gx f x g f x −−→−−→，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果．9.（2022•湖南月考）已知函数2(23)f x x +=，则函数()f x 的表达式为（ ） A ．2139424x x -+ B ．2119424x x ++C ．24129x x ++D ．24129x x -+10.（2022•保定二模）若函数2112()1x f x x x-=-+，则函数()()4g x f x x =-的最小值为( ) A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-11．若一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，则函数()f x = ．12．已知()2f x x a =+，21()(3)4g x x =+，若2[()]1g f x x x =++，则a = ．13．（2022•盐田期中）已知2(1)lg f x x+=，则()f x = ．14．求下列函数的解析式．（1）已知2()2f x x x =+，求(21)f x +； （2）已知1)f x =+()f x ； （3）已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ．15.已知函数210()1()20x x f x x g x x x ->⎧=-=⎨-<⎩，，，．（1）求((2))f g ，((2))g f ，(((2)))g g g -的值； （2）求(())f g x ，(())g f x 的解析式．16.已知函数满足3(1)2(1)2f x f x x -+-=，求()f x 的解析式．知识点四 函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 1.函数值域的常规求法（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+可用换元法．即设t =转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（a m 、中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域，也可以分离常数后换元．【例18】求下列函数的值域：（1）1y =；（2）213x y x +=-；（3）2211x y x -=+；（4）y = 【例19】（1）已知函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为（ ） A ．14B ．12C．2 D（2）设2 ||1() ||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，，，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是)0[∞+，，则()g x 的值域是（ ）A ．)1[]1(∞+--∞，，B ．)0[]1(∞+--∞，，C ．)0[∞，D ．)1[∞+，总结 函数的值域问题是每年高考必考内容，而且既有常规题型，也有创新题．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（3）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出[()]f g x 的值域，要求()g x 的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．【例20】求函数的值域22221x x y x x -+=++．2. 函数值域的单调性求法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值．（原理：同增异减） 【例21】求函数212log (4)y x x =-的值域．【例22】求函数)102(1log 235≤≤-+=-x x y x 的值域．【例23】（2022•浙江）已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+->⎪⎩则1(())2f f = ；若当[x a ∈，]b 时，1()3f x ，则b a -的最大值是 ． 3. 函数值域的换元求法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型．换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用． 适用类型：无理函数、三角函数（用三角代换）等． 【例24】求函数y x =+1-x 的值域．（注：此题可利用函数单调性直接求函数的值域）4. 函数值域的数形结合求法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目． 适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型．【例25】（2022•北京）设函数21,,()(2),ax x a f x x x a -+<⎧=⎨-⋅⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为 ；a 的最大值为 ．【例26】求函数22)8()2(++-=x x y 的值域． 【例27】求函数5413622++++-=x x x x y 的值域．5. 复合函数值域不变性（保值性）形如(或化为)[()]f g x 的函数的值域，抓住最关键一点就是“内值外定”就是内函数看值域是否满足外函数定义域，如果内函数值域完全填满外函数定义域，那么外函数的值域即为整个函数的值域，我们将这个原理叫做复合函数“保值性”，这个问题我们在《秒2》中关于同构式性质中已经阐述． 【例28】已知定义在R 上的函数)(x f 的值域为]32[，-，则函数(2)f x -的值域为（ ） A ．]14[，-B ．]50[，C ．]51[]04[，， -D ．]32[，-【例29】已知函数)(x f 的定义域为[01]，，值域为]21[，，则函数)2(+x f 的定义域和值域分别是 ． 【例30】（2014·重庆）函数2()log )f x x =的最小值为 ． 6.值域最值逆用【例31】已知函数y =[0+∞，)，则k 的取值范围是 ． 【例32】已知函数212()log (23)f x x ax =-+．（1）若函数)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数)(x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围． 7.值域与双变量函数不等式问题（包裹性定理）定理一 若()y f x =满足12x x D ∀∈，，12()()f x f x m -<恒成立，则在区间D 上max min ()()f x f x m -< 如图3-3-4所示，令AB m =，则12()()f x f x m -<恒成立．图3-3-4 图3-3-5xB定理二 若()()y f x y g x ==，满足1122x D x D ∀∈∈，，12()()f x g x >恒成立，则在各自区间上min max ()()f x g x >；如图3-3-5所示，()f x 的区域始终在()g x 区域上方才满足条件．图3-3-6 图3-3-7定理三（包裹性定理） 若()()y f x y g x ==，满足若1x D ∀∈，总0x D ∃∈，使得01()()f x g x =成立, 则在区间D 上min min max max ()()()()f x g x f x g x <⎧⎨>⎩；如图3-3-6，()y f x =所在区域能包含()y g x =所在区域时，满足条件．定理四 若()()y f x y g x ==，满足11x D ∀∈，总22x D ∃∈使得12()()f x g x >能成立，则在区间D 上min min ()()f x g x >；如图3-3-7，()y f x =所在区域最小值大于()y g x =所在区域最小值时，满足条件．注意 包裹性定理的关键在于区别符号∀与∃，还要看是否有两个区间与1122x D x D ∈∈，． 【例33】已知函数1()x f x e =－，2(4)3g x x x =--＋，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ） A ．]2222[+-，B ．)2222(+-，C ．]31[，D ．)31(，【例34】已知()21()lg(31)()2x f x x x g x m =++=-，，若对任意1[03]x ∈，，存在2[12]x ∈，，使12()()f x g x >，则实数m 的取值范围是 ． 【例35】已知2(2)23x f x x =-+． （1）求()f x 的解析式；（2）函数2(2)5()1x a x ag x x +-+-=-，若对任意1[24]x ∈，，总存在2[24]x ∈，，使12()()g x f x =成立，求a 的取值范围．17.（2022•兴庆区期末）函数()f x x =( ) A ．[2，)+∞B ．7[,)4+∞C ．[0，)+∞D ．(2,)+∞18.（2022•道里区期末）下列说法中正确的是( ) A ．函数2123y x x =-+的值域为1(,]2-∞ B．函数2y =[2，)+∞C．函数y =[2,x )maxx )minminD ．若函数22log (2)y ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是[0，1]19.（2022•松原月考）设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x x e f x e =-+，则下列叙述中正确的是( ) A ．[()]f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．[()]f x 的值域是{1-，0，1}20.（2022•秀英区期中）设函数2log (1),2()23,2x x x f x x ->⎧=⎨-⎩，则以下结论正确的为( )A ．()f x 为R 上的增函数B ．()f x 有唯一零点0x ，且012x <<C ．若()5f m =，则33m =D ．()f x 的值域为R 21．（2022•漳州模拟）已知函数22()9xf x x =+，则( ) A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是偶函数C ．函数(2022)y f x =+的零点为0D ．当0x >时，()f x 的最大值为1322.（2017•浙江）已知a R ∈，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ． 23.若函数()y f x =的值域是[1，3]，则函数()1(3)F x f x =-+的值域是（ ）A ．]38[--，B ．]15[--，C ．]02[，-D ．]31[，24.函数()f x x =-（ ） A ．1(0)2，B ．1(0]2，C ．]21(，-∞D ．1()2-∞，25.（2022•香坊区期末）已知()f x 是R 上的单调函数，若[()2f f x -=，则()2()()f xg x f x -=的值域为( )A ．[1-，0)B ．[1-，1)C ．(1,1)-D ．[1-，)+∞26.（2022•阜阳期末）若函数()f x 在区间[a ，]()b a b <上的值域是[a ，]b ，则称区间[a ，]b 是函数()f x 的一个“等域区间”．下列函数存在“等域区间”的是( ) A ．21y x x =-+B ．21x y =-C ．2y lgx =+D ．sin y x =27．（2022•遵义期末）设函数21,()21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．128.（2022•高州市期末）已知函数()log (1)log (3)(0a a f x x x a =-++>且1)a ≠在定义域内存在最大值，且最大值为2，21()2x xm g x ⋅-=，若对任意1[1x ∈-，1]2，存在2[1x ∈-，1]，使得12()()f x g x ，则实数m 的取值可以是( ) A ．1-B ．0C ．2log 7D ．329.函数()f x =（ ）A ．1+B ．3C ．4D ．530．设函数()2f x =()1g x ax a =+-，若对任意1[0)x ∈+∞，都有2(1]x ∈-∞，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为 ．31. 已知函数()f x x =，2()252()g x x mx m m R =-+-∈，对于任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ．。

x2 + 6 x + 9
2 , x ∈ [-1,0)∪(0,2] x (4) y = x + 2 x + 3
y=
（5）y= | 2 x − 1| +
（6）
x2 − x +1 x2 + x +1
3．函数
( x ≤ 0) 2x + 3 f ( x) = x + 3 (0 < x ≤ 1) − x + 5 ( x > 1)
2
6．(1)兹规定:max{a,b}表示 a 与 b 的最大者. 设 f(x)=max{-2x -4x+3,3x-1},试求 f(x)的最大值.
2
(2) 兹规定:Min{a,b}表示 a 与 b 的最小者.设 f(x)=min{-2x -4x+3,3x-1},试求 f(x)的最大值.
（1）设 f(x)是 R 上的函数，且满足 f(0)=1，并且对任意实数 x、y 有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求 f(x) 7． 的解析式
授课教案
学员姓名：_____________ 授课教师：_____________ 所授科目：_____________ 学员年级：__________ 上课时间：____年__月__日____时___分至____时___分共___小时 教学标题 教学目标 教学重难点 上次作业检查 授课内容： 授课内容： 函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它 一． 复习回顾】 【复习回顾】
的最大值是___________
4. 已知函数
f ( x) =
1 x 2 + ax + a − 1

模块1函数的三要素知识精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意⑴分式的分母不为零；⑵偶次方根的被开方数大于或等于零；⑶对数的真数大于零，底数大于零且不等于1;(4)零次第或负指数次第的底数不为零；(5)三角函数中的正切产tanx的定义域是｛xIxE 工EZ);(6)已知/(x)的定义域求解/[g(x)]的定义域，或已知/[g(x)]的定义域求/")的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则/下，括号内式子的范围相同；二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：⑴观察法；(2)配方法;(3)图像法；⑷基本不等式法；(5)换元法;⑹分离常数法；(7)判别式法;⑻单调性法；⑼有界性；(10)导数法.精讲精练求定义域例求下列函数的定义域.⑴〃上巴. ⑵小）=.. ⑶例？★★求下列函数的定义域.⑴已知函数/（力的定义域为［-2,2］,求函数y=的定义域.⑵已知函数户式2I+4）的定义域为［0,1］,求函数/（力的定义域.（3）已知函数段）的定义域为［・1,2］,求函数y=〃x+l）-/任一］）的定义域.求值域下列函数中值域为（0,+00）的是（）已知函数/（"=^/^=-^/^不则函数/（X ）的值域为（）函数的值域是（ ）D.(-QO ,-1]U[3,+8)A.y=52^x、I TC.y=-1D.y=V1-2XA.[-3,0]B 」0,3]C 」-3,3] D.[3,12]B.[3,+8)模块2函数的单调性与奇偶性知识精讲一.单调性1.定义：如果函数/（%）在定义域D的某个区间I上满足：对任意演,大2£。

,西＜工2，均有/（内）＜/（工2），则称/（工）在区间I上单调递增; 对任意和工2€。

，5＜%2,均有/（X）＞/（W），则称/（X）在区间I上单调递减. 2具体函数单调性一些熟悉的函数：一次函数（必然单调）二次函数（整体不单调，但对称轴两侧分别单调）三次函数（可能整体单调，也可能有两个极值点）暴指对函数（受参数影响）正余弦函数（增减相间）3复合函数——一般的心法口诀是“同增异减”.4四则运算形式构成的函数，可以考虑利用单调性的四则运算性质来判断.5关于分段函数的单调性问题注意间断位置上是否保持了单调性.二.奇偶性I定义：如果函数/（力的定义域。