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第一讲 函数概念及三要素一、知识梳理1、映射的定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任何一个元素,在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射。
记作：映射B A f →:。
集合A 中的元素a 对应集合B 中的元素b 叫a 的象，记作)(a f b =，a 叫b 的原象。
若A 中元素m 个，B 中元素n 个，则：A 到B 的映射有m n 个；B 到A 的映射有n m 个. 2、函数的概念：设B A ,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作A x x f y ∈=),(。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ），与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 }|)({A x x f ∈叫做函数的值域(range)。
3、函数的定义域：函数)(x f y =中，自变量x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域。
由表达式决定的定义域，常见情况有： ①1()f x 要求()0f x ≠； ②n x f 2)(要求0)(≥x f ； ③0)(x f 要求0)(≠x f ； ④log ()a f x 要求0)(>x f 且01a <<； ⑤)(tan x f 要求(),2f x k k ππ≠+∈Ｚ4、函数的值域：函数)(x f y =中，y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数)(x f y =的值域。
求值域的常用方法：单调性法、常数分离法、配方法、 换元法、判别式法、数形结合法、不等式法、有界法、均值不等式等。
5、函数的表达式：表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种。
求函数解析式的常用方法：换元法；配凑法；待定系数法；消元法6、分段函数：在定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同的函数称为分段函数。
函数的三要素：定义域、对应关系和值域 函数的定义域：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围 函数y=f(x)的定义域的求法：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。
【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.【练1】求下列函数的定义域：（1）()422--=x x x f （2）()2f x x =+ （3） y = （4）xx x y -+=||)1(0【2012高考四川文13】函数()f x =的定义域是____________。
（用区间表示）【2012高考广东文11】函数y x=的定义域为 .表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。
【例1】若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围【练1】已知函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的范围复合函数1.复合函数定义定义：设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数)(x g u=复合而成的复合函数。
正弦函数三要素1. 引言正弦函数是高中数学中的重要概念，它在物理、工程等领域中有着广泛的应用。
理解正弦函数的三要素对于解题和应用都至关重要。
本文将深入探讨正弦函数的三要素，包括幅度、周期和相位差。
2. 正弦函数的基本性质正弦函数是一个周期函数，表示了一种周期性变化的情况。
以下是正弦函数的几个基本性质： - 正弦函数的定义域是整个实数集，值域在[-1, 1]之间。
- 正弦函数以原点(0, 0)为对称轴，关于x轴对称。
- 正弦函数的图像是光滑的曲线，具有连续性。
3. 幅度幅度是指正弦函数图像在垂直方向上的伸缩程度，表示了波动的大小。
幅度用字母A表示，可以理解为波峰和波谷到x轴的距离。
3.1 幅度的影响幅度的变化会导致正弦函数图像的大小发生改变。
当幅度增大时，波动的幅度增大；当幅度减小时，波动的幅度减小。
幅度为负数时，图像在y轴上方波动；幅度为正数时，图像在y轴下方波动。
3.2 幅度的表示幅度可以用具体的数值表示，也可以用函数表达式表示。
例如，正弦函数y =2sinx的幅度为2，y = Asinx的幅度就是A。
4. 周期周期是指正弦函数图像在水平方向上的重复性，表示了波动的频率。
周期用字母T表示，可以理解为两个相邻波峰或波谷之间的距离。
4.1 周期的影响周期的变化会导致正弦函数图像的密集程度发生改变。
当周期增大时，波动的频率降低；当周期减小时，波动的频率增高。
4.2 周期的表示周期可以用具体的数值表示，也可以用函数表达式表示。
例如，正弦函数y =sin2x的周期是π，y = sin(Tx)的周期就是T。
5. 相位差相位差是指正弦函数图像在水平方向上的平移程度，表示了波动的起始位置。
相位差用字母φ表示，可以理解为图像的左右平移距离。
5.1 相位差的影响相位差的变化会导致正弦函数图像在水平方向上发生平移，相位差为正数时，图像向左平移；相位差为负数时，图像向右平移。
5.2 相位差的表示相位差可以用具体的数值表示，也可以用函数表达式表示。
函数三要素分别是
函数三要素分别是：定义域A、值域C和对应法则f。
一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x 是自变量，y是x的函数。
x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。
函数的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
第三章 函数的概念与性质章节复习一、本章知识结构二、本章重难点概念知识点1、函数及三要素（定义域、对应法则、值域） 一、函数的概念2、区间一般区间、特殊区间、 端点大小关系、开闭区间 1、函数概念中强调三性：“任意性”、“存在性”、“唯一性”； 2、定义域、值域的结果写成集合或区间形式； 3、对应关系包括一对一、多对一。
一、判断对应法则或图象是否是一个函数（非空性、任意性x 、唯一确定性y ）二、判断两个函数是否是相同函数（定义域、对应法则） 三、求函数定义域(写成集合或区间形式)3、分段函数概念、表示方式、定义域、值域、图象4、复合函数（定义域、值域） 二、函数的表示法5、函数的单调性、单调区间 1、三种表示方法：解析法、列表法、图像法； 2、列表法表示的函数图象是一些孤立的点，函数图象呈现形式主要有2种：连续的曲线或孤立的点； 3、画函数图象方法：描点法（列表、描点、连线）6、函数的最大值、最小值7、函数的奇偶性8、幂函数（概念、图象、性质）三、题型1、求一般函数的定义域(写成集合或区间形式)函数类型定义域举例①整式函数R f(x)=x2+2x+3②分式函数分母不为0 f(x)=1 2x+3③偶次根式函数根号中式子≥0f(x)=√x2+2x−3④奇次根式函数R f(x)=√x2+2x+33⑤绝对值函数R f(x)=|x2+2x+3|⑥0次幂函数底数不为0 f(x)=(x2+2x−3)0⑦对数函数真数大于0 f(x)=log2(2x−3)⑧实际问题考虑实际意义正方形周长公式f(x)=4x(x>0)多个使函数有意义的条件用花括号连接，写成不等式组。
2、求复合函数的定义域①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域；③已知f(g(x))的定义域，求f(g(x))的定义域；④已知f(g(x))的定义域，求F(x)=f(g(x))+f(ℎ(x))的定义域关键：定义域是指自变量x的值相同对应法则f下的整体变量取值范围相同（空间不变原理）3、求简单函数的值域(写成集合或区间形式)函数类型定义域值域一次函数R R二次函数Ra>0时，[4ac−b24a,+∞)a<0时，(-∞,4ac−b24a]配方、画图、找最高点和最低点反比例函数(−∞,0)∪(0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)分式函数分母不为0 配凑法（利用基本不等式求解）4、求函数的解析式①待定系数法②换元法/配凑法③方程组法/消元法 ④赋值法最后一定要考虑定义域，定义域不是R 一定要写出来5、函数单调性的判断、证明及应用 单调递增单调递减函数f(x)在区间D 上为增函数，x 1,x 2∈D ，且x 1≠x 2，则函数f(x)在区间D 上为减函数，x 1,x 2∈D ，且x 1≠x 2，则① x 1<x 2⟺f (x 1)<f(x 2) ① x 1<x 2⟺f (x 1)>f(x 2) ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]>0 ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]<0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) 即x 与f(x)的变化趋势相同， 自变量增量与函数值增量同号。
第二章函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值X 围。
（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。
③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数()2143432-+--=x x xy 的定义域。
例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。
④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的X 围出发，推出()y f x =的取值X 围。
1. 函数的定义设A 、B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使得对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 与之对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：()x f y =，A x ∈.其中x 叫自变量，它的取值范围叫做函数的定义域；如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()a f y =或a x y =，所有函数值构成的集合{}|(),y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．☆ 函数的三要素：定义域、对应关系和值域;其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系一确定，则值域也就确定了.2. 映射 设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()x f ，于是y =()x f ，x 称作y 的原象．映射f 也可以记为B A f →:，→x ()x f ，其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广），由所有象()x f 构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作()A f ．3．一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．4．函数与映射：对定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内变化．于是函数也就是数集到数集的映射．映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．这里要注意：在映射中，要求元素的对应形式是“多对一”或“一对一”，一一映射中元素的对应形式必须是“一一对应关系”．5．函数的表示方法：表示函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种．列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 图象法：对于函数()x f y =（A x ∈）定义域内的每一个x 值，都有唯一的y 值与它对应．把这两个对应的数构成有序实数对()y x ,作为点P 的坐标，即P ()y x ,，则所有这些点的集合F 叫做函数()x f y =的图象，即{}(,)|(),F P x y y f x x A ==∈．这就是说，如果F 是函数()x f y =的图像，则图像上的任一点的坐标()y x ,都满足函数关系()x f y =；反之，满足函数关系()x f y =的点()y x ,都在图象F 上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．解析法：如果在函数()x f y =, A x ∈中，()x f 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法（也称为公式法）．6．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如⎩⎨⎧≤+>-=0,230,12x x x x y 、423-+=x y 等．7．求函数定义域：在中学阶段，所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数x 的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量x 所代表的具体量的允许范围．①分母不为零；②偶次方根下非负；③对数函数真数大于零；④0x y =，0≠x . 研究函数时常会用到区间的概念：定义名称 符号数轴表示{}b x a x ≤≤ 闭区间 []b a ,{}b x a x << 开区间 ()b a ,{}b x a x <≤ 半开半闭区间 )[b a ,{}b x a x ≤<半开半闭区间](b a ,例题1：求下列函数的定义域（1）()43-=x xx f （2）()2x x f =（3）()2362+-=x x x f （4）()14--=x x x f☆ 如何判断两个函数是否为同一个函数：①看定义域是否相同，如果相同再看对应关系（解析式）是否一样.例题2：下列哪一组中的函数()x f 与()x g 相等？（1）()1-=x x f ， ()12-=xx x g （2）()2x x f =， ()()4x x g =（3）()2x x f = ， ()36x x g =例题3:画出下列函数的图象，并写出函数的定义域和值域.（1）x y 3= （2）xy 8=（3）54+-=x y （4）762+-=x x y例题4：已知函数()62-+=x x x f . （1）点（3，14）在()x f 的图象上吗？ （2）当4=x 时，求()x f 的值； （3）当()2=x f 时，求x 的值.例题5：已知()12+=x x f ，则()()1-f f 的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5例题6:已知函数()x f 的定义域为()0,1-，则函数()12+x f 的定义域为（ ）A.()1,1-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 C.()0,1- D.⎪⎭⎫⎝⎛1,21例题7:用区间表示下列数集： （1）{}=≥1x x （2）{}=≤<42x x （3）{}=≠->21x x x 且 例题8:求下列函数的值域.（1）()1123≤≤-+=x x y ； （2）()x x f -+=42（3）x x y 422+--=例题9:已知函数()2211x x x f -+=.（1）求()x f 的定义域； （2）若()2=a f ，求a 的值；（3）求证：()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1求函数解析式(1) 配凑法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式，一般也可以用换元法；例题1：已知函数()x x x f 21+=+，求()x f ；例题2：已知函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f ；(2) 换元法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式；例题3：已知()x x f 2sin cos 1=-，求()x f 的解析式.(3) 待定系数法求函数解析式:已知所求函数类型；例题4：已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ，求()x f .(4) 方程组法求函数解析式：已知()x f 和⎪⎭⎫⎝⎛x f 1的关系式或者()x f 和()x f -的关系式.例题5：已知函数()x f 的定义域为()∞+，0，且()112-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x f ，求()x f ；函数的单调性与最值1、函数单调性定义：设函数()x f 在区间I 上有定义，如果对于这个区间上任意两个点和 ，当21x x <时，恒有()()21x f x f <，则称函数()x f 在区间I 上单调递增；如果对于这个区间上任意两个点和 ，当21x x <时，恒有()()21x f x f >，则称函数()x f 在区间I 上单调递减；单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.如果函数()x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的单调区间.2、最值：对于任意的I x ∈,都有()M x f ≤或者()N x f ≥,这个N M 和便是函数()x f 在区间I 上的最大值和最小值. 用定义法判断函数的单调性 例题1：已知函数()12-=x x f []()6,2∈x ，求函数的最大值和最小值.例题2：用定义法判断函数()12++=x x x f 在区间)(∞+-,1上的单调性.函数单调性的等价定义对于定义在D 上的函数()x f ，设1x ，D x ∈2，21x x <，则有： （1）()()()x f x x x f x f ⇔>--02121是D 上的单调递增函数； （2）()()[]()()x f x x x f x f ⇔>-⋅-02121是D 上的单调递增函数； （3）()()()x f x x x f x f ⇔<--02121是D 上的单调递减函数； （4）()()[]()()x f x x x f x f ⇔<-⋅-02121是D 上的单调递减函数.2x 1x 1x 2x函数的奇偶性一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么函数()x f 就叫做偶函数.（偶函数的图象一定是关于 对称）一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么函数()x f 就叫做奇函数.（奇函数的图象一定是关于 对称） 判断函数的奇偶性方法：1.不对称：函数()x f 为非奇非偶函数；2.对称例题8:判断下列函数的奇偶性.（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()xx x f 1+= （4）()21xx f = （5）()1122-+-=x x x f （6）()2433xx x f -+-=()x f y =求出定义域判断定义域是否关于原点对称 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧①()()x f x f =-，则()x f 为偶函数 ②()()x f x f -=-，则()x f 为奇函数③若以上两个式子都不满足，则()x f 为非奇非偶函数④若以上两个式子都满足，则()x f 既是奇函数又是偶函数函数。
函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则，每个要素里掌握的方向不一样。
定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些。
下面一一介绍。
一、定义域1、具体函数定义域：主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。
(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。
(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；2、抽象函数的定义域：此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。
（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。
通俗一句话就是括号里的取值范围一样。
3、实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．命题点1 求具体函数的定义域例1 求下列函数的定义域.(1)y ＝3－12x ； (2)y ＝2x －1－7x ；(3)y ＝(x ＋1)0x ＋2； (4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 考点 函数的定义域题点 求具体函数的定义域解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R . (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17， 所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，17. (3)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，即x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{}x | x >－2且x ≠－1.(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0， 解得－32≤x ＜2，且x ≠0， 所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32≤x ＜2，且x ≠0.例2 (1)、(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．答案 {x |x ≥2}解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)、函数f (x )＝1xln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________． 答案 [－4,0)∪(0,1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)． （3）、函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，1＋1x >0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.命题点2 求抽象函数的定义域1、设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．2、若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.命题点3 已知定义域求参数的值或范围例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3， 所以a ＋b ＝－32－3＝－92. (2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (4)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 由题意知，mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]．二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法（构造方程组法）：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．命题角度1 待定系数法求函数解析式例1 已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝2x －1，求f (x )的解析式.解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1， ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2.反思感悟 适合用待定系数法求解析式的函数类型，通常为已知的函数类型，如一次函数，二次函数等.跟踪训练 f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )的解析式.考点 求函数的解析式题点 待定系数法求函数解析式解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.命题角度2 换元法(或配凑法)求函数解析式例2 (1)设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x 1－x(x ≠1) B.1＋x x －1(x ≠1) C.1－x 1＋x(x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t(t ≠－1)， ∴f (t )＝1－t 1＋t (t ≠－1)， 即f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1). (2)若f (2x ＋1)＝6x ＋5，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 换元法求函数解析式解 方法一 设2x ＋1＝t ，则x ＝t －12， ∴f (t )＝6·t －12＋5＝3t ＋2. ∴f (x )＝3x ＋2.方法二 f (2x ＋1)＝6x ＋5＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.反思感悟 对于形如y ＝f (g (x ))的函数，求y ＝f (x )的解析式，通常用换元法，令t ＝g (x )，从中求出(x ＝φ(t ))，然后代入表达式，求出f (t )即得f (x )的表达式.特别注意：换元法要注意新元的范围.跟踪训练 (1)若g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2，则f (x )等于( ) A.4(1－x )2＋1(x ≠1) B.4(1－x )2－1(x ≠1) C.4(1－x )2(x ≠1) D.2(1－x )2－1(x ≠1)答案 B解析 令g (x )＝1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)，代入得f (t )＝4(1－t )2－1(t ≠1)， ∴f (x )＝4(1－x )2－1(x ≠1). (2)若f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 换元法求函数解析式解 方法一 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2.方法二 f (x ＋1)＝(x ＋1－1)2＋4(x ＋1－1)＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2，∴f (x )＝x 2＋2x －2.命题角度3 构造方程组求函数解析式例3 若f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x . 反思感悟 已知关于f (x )与f (－x )的表达式或f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).跟踪训练 已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，将原式中的x 与1x互换， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －x 3(x ≠0). 三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数（2）反解法（3）配方法（4）不等式法（5）单调性法（6）换元法（7）数形结合法（8）导数法例 求下列函数的值域：(1)y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]；(2)y ＝3x ＋1x －2；(3)y ＝x ＋41－x ；(4)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12.解 (1)(配方法)因为y ＝3x 2－x ＋2＝3⎝⎛⎭⎫x －162＋2312，所以函数y ＝3x 2－x ＋2在[1,3]上单调递增．当x ＝1时，原函数取得最小值4；当x ＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y ＝3x 2－x ＋2(x ∈[1,3])的值域为[4,26]．(2)(分离常数法)y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ≠3}．(3)(换元法)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(4)(均值不等式法)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12， 因为x >12，所以x －12>0， 所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2， 当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号． 所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.思维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解．。
函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．( × ) (3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．( × ) (4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x 2，x ＜0的定义域为R .( √ )教材改编题1．下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )答案 C2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案 AC3．(2022·长沙质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．－1B ．2C.3D.12答案 D解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312<0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝31log 23＝12.题型一 函数的定义域例1 (1)(2022·武汉模拟)函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，解得－1<x ≤2且x ≠0， 所以x ∈(－1,0)∪(0,2]．所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．(2)若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案 [1,3]解析 ∵f (x )的定义域为[0,2]， ∴0≤x －1≤2，即1≤x ≤3， ∴函数f (x －1)的定义域为[1,3]．延伸探究 将本例(2)改成“若函数f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案 [2,4]解析 ∵f (x ＋1)的定义域为[0,2]， ∴0≤x ≤2， ∴1≤x ＋1≤3， ∴1≤x －1≤3， ∴2≤x ≤4，∴f (x －1)的定义域为[2,4]． 教师备选1．(2022·西北师大附中月考)函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，解得x >2或x ≤－6.因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x1－2x ，则函数f x －1x ＋1的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,1) 答案 D解析 令1－2x>0， 即2x<1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)．∴函数f x －1x ＋1中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1.故函数f x －1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求复合函数的定义域①若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域．②若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域． 跟踪训练1 (1)函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 答案 B解析 要使函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－4x 2>0，3x －1>0⇒13<x <12. ∴函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. (2)已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x的定义域为__________． 答案 [－1,0]解析 由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，1－2x≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]． 题型二 函数的解析式例2 (1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝lg2x －1(x >1) 解析 令2x＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1， 所以f (t )＝lg 2t －1(t >1)， 所以f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，∴2ax ＋b ＝2x ＋2， 则a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ， 又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(3)已知函数对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________. 答案 23x解析 ∵f (x )－2f (－x )＝2x ，① ∴f (－x )－2f (x )＝－2x ，② 由①②得f (x )＝23x .教师备选已知f (x )满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________.答案 －2x 3－43x解析 ∵f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①以1x代替①中的x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝2x，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x，∴f (x )＝－2x 3－43x.思维升华 函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法． 跟踪训练2 (1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，则f (x )＝________. 答案 －x 2＋2x ，x ∈[0,2] 解析 令t ＝1－sin x ， ∴t ∈[0,2]，sin x ＝1－t ，∴f (t )＝1－sin 2x ＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t ，t ∈[0,2]， ∴f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]．(2)(2022·黄冈质检)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝x 4＋1x4，则f (x )＝__________.答案 x 2－2，x ∈[2，＋∞)解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x22－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)． 题型三 分段函数例3 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cosπx ，x ≤1，f x －1＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( ) A.12B ．－12C ．－1D ．1 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cosπ3＋1＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝cos2π3＝－12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝32－12＝1.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3，x >0，x 2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________． 答案 1或－3 [－5，－1]解析 ①当a >0时，2a＋3＝5，解得a ＝1； 当a ≤0时，a 2－4＝5， 解得a ＝－3或a ＝3(舍)． 综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1. 由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1. 教师备选1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于( )A ．－32B.22C.32D. 2 答案 B解析 f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22. 2．(2022·百校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________. 答案 0解析 当x ≥0时，|f (x )|＝x 3≥ax ，即x (x 2－a )≥0恒成立，则有a ≤0； 当x <0时，|f (x )|＝x 2≥ax ，即a ≥x 恒成立， 则有a ≥0，所以a ＝0.思维升华 分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3 (1)(2022·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3 解析 ∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3， 当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3.(2)(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析 当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)， 等价于x 2－1<(x ＋1)2－1， 解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1， 此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，f (x )<f (x ＋1)⇔log 2x <log 2(x ＋1)恒成立．综上知，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课时精练1．(2022·重庆模拟)函数f (x )＝3－xlg x的定义域是( ) A ．(0,3) B ．(0,1)∪(1,3) C ．(0,3] D ．(0,1)∪(1,3]答案 D解析 ∵f (x )＝3－xlg x，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，lg x ≠0，x >0，解得0<x <1或1<x ≤3，故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]． 3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －12，x <1，a x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于( ) A.12 B.34 C ．1 D ．2答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝4×78－12＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝f (3)＝a 3，得a 3＝8，解得a ＝2.4．设函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x1－x(x ≠－1) B.1＋xx －1(x ≠－1) C.1－x1＋x(x ≠－1) D.2xx ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．5．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点，当P 沿A －B －C －M 运动时，设点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 A解析 由题意可得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x ＜1，34－x4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ≤52.画出函数f (x )的大致图象，故选A.6．(多选)下列函数中，与y ＝x 是同一个函数的是( ) A ．y ＝3x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝lg10xD ．y ＝10lg x答案 AC解析 y ＝x 的定义域为x ∈R ，值域为y ∈R ，对于A 选项，函数y ＝3x 3＝x 的定义域为x ∈R ，故是同一函数；对于B 选项，函数y ＝x 2＝||x ≥0，与y ＝x 的解析式、值域均不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数y ＝lg10x＝x ，且定义域为R ，故是同一函数；对于D 选项，y ＝10lg x＝x 的定义域为(0，＋∞)，与函数y ＝x 的定义域不相同，故不是同一函数．7．(多选)(2022·张家界质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤a ，2x，x >a ，若f (1)＝2f (0)，则实数a可以为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 AB 解析 若a <0，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若0≤a <1，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若a ≥1，则f (0)＝1，f (1)＝0，f (1)＝2f (0)不成立． 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．8．(多选)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是( ) A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝ln1－x1＋xC ．f (x )＝1ex x-D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1答案 AD解析 对于A ，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意； 对于B ，f (x )＝ln1－x1＋x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝111e xx -＝ex －1，－f (x )＝1ex x--≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，不满足；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )满足“倒负”变换，故选AD.9．已知f (x 5)＝lg x ，则f (100)＝________. 答案 25解析 令x 5＝100， 则x ＝15100＝2510， ∴f (100)＝25lg 10＝25.10．函数f (x )＝ln(x －1)＋4＋3x －x 2的定义域为________． 答案 (1,4]解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，4＋3x －x 2≥0，解得1<x ≤4，∴f (x )的定义域为(1,4]．11．(2022·广州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析 ∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥ln1＝0， 又f (x )的值域为R ，故当x <1时，f (x )的值域包含(－∞，0)．故⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，1，x >0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．答案 [－2,0)∪(0,1] 解析 当x <0时，f (x )＝x ， 代入xf (x )＋x ≤2得x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x <0； 当x >0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得0<x ≤1. 综上有－2≤x ＜0或0＜x ≤1.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1λ∈R，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是______． 答案 [2，＋∞) 解析 当a ≥1时，2a≥2. ∴f (f (a ))＝f (2a)＝22a＝2f (a )恒成立．当a <1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立， 由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2， 综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．15．(多选)若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中具有H 性质的是( )A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0) D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2 答案 ACD解析 若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝⎛⎭⎪⎫其中a ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f x 1＋f x 22.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质．16．设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，－1<x <0，b e 2x，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a b 的取值范围为________． 答案 (2e ，＋∞)解析 因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝(2)2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＝2(a －1)， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以2(a －1)＝2e b ， 所以a ＝2e b ＋1， 因为b 为正实数， 所以a b＝2e b ＋1b＝2e ＋1b∈(2e ，＋∞)，故a b的取值范围为(2e ，＋∞)．。
一 函数定义域1：直接求定义域： ①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③xy 111+=④()02112++-=x x y ⑤ ()()()lg 12f x x x =--⎡⎤⎣⎦ ⑥29)1ln(1x x y -+-=答案: 1.[3,3-] 2. { x|4133≥-≤<-->x x x 或或} 3. {()()()+∞⋃-⋃-∞-,00,11,.} 4. { x|122,22-≠≥-≤x x x 且} 5.{ x|21<<x } 6.{]3,2()2,1(⋃} 2：间接求定义域：1、已知)(x f 的定义域为[0，1]，求)(2x f 的定义域。
2、已知)1(+x f 的定义域为[-2，3），求)21(+xf 的定义域 3、已知)(x f 的定义域为[a ，b]，且0>->a b ，求函数)()()(x f x f xg --=的定义域。
4、已知()f x 的定义域是[]0,1，则()22f x x --的定义域为5 、若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 6．若函数()21f x mx mx =++定义域为R ，则m 的取值范围是7. 若)(μf y =的定义域为[]2,0，则)(ln x f 的定义域是8、函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域9、已知)(x f 的定义域为[0，1]，求)()(a x f a x f -++的定义域。
二 值 域（1）分离常数法 1、求函数125x y x -=+的值域 2、求函数21+-=x x y 的值域 3、函数x xy +=1的值域（2）判别式法：（约束条件的---分离常数法）（注意讨论x 平方前的系数）1、求函数22122+-+=x x x y 的定义域 2、求函数2211x y x -=+的值域3、函数11++=x x y 的值域 4、求函数132222++++=x x x x y 的值域（3）图象法-----数形结合1、求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域（4）换元法1、求函数x x y 21--=的值域2、求函数212y x x =+-的值域3、求函数x x y -+=12的值域4、求函数[])1,0(239∈+-=x y xx的值域 （5）几何意义法 (系数是1的绝对值函数：系数不是1的绝对值函数—零点分段法)1、求函数11-++=x x y 的值域2、求函数13+--=x x y 的值域。
函数的概念,三要素的求法一、函数的概念：1． 函数的概念：函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 记作：y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集.（2）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（3）典型例题：1. 函数y = f (x )表示（ ） A ．y 等于f 与x 的乘积 B ．f (x )一定是解析式 C ．y 是x 的函数 D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2 (x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.2.映射x y o x y o x y o xy o映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y ∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B 不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：⑴ A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”； ⑷A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.二、函数的三要素——定义域、值域、对应法则（a ）函数定义的理解.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.(b) 区间的概念（1）不等式a ≤x ≤b ，用闭区间[a ，b ]表示； （2）不等式a ＜x ＜b ，用开区间(a , b )表示；（3）不等式a ≤x ＜b (或a ＜x ≤b )用半开半闭区间[a ，b ](或(a ，b ])表示；（4）x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 分别表示为[a ，+∞)，(a , +∞)，(–∞, b ]，(–∞, b ).1.定义域的求法：例1：列函数中哪个与函数y = x 相等？（1）1()2f x x =-；（2）()32f x x =+；（3）1()12f x x x =++-.（4）3212+=x y（5）1||142-+-=x x y（6）||13x x x y +-=求函数的定义域的类型： 一、 含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。
函数一、定义域求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况：①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。
例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f（2）()f x =131-+--x x ；（3）1()2f x x =-，求()y f x =，(1)y f x =+的定义域例2．简单的抽象函数的定义域的求法解题思想：①求定义域就是求x 的范围 ②放在括号里的范围相同1．已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x -2）的定义域.2．若函数(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________3．已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域.二、函数的解析式例3．（1）已知ƒ (x+1)= x 2+x 求ƒ (x)（2）已知ƒ (x -x 1) = (x +x 1)2 求ƒ (x)( 3 ) 已知2ƒ (x) + ƒ (x 1)= x 求函数ƒ (x)（4）已知ƒ[ ƒ (x) ]= 2x – 1, 求一次函数ƒ (x)练习：1. 已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +；2. 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．3．已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式 ；4. 已知3311()f x x x x +=+，求()f x例4．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．三、函数的值域例5: 求函数541x y x +=-的值域。
讲解新课：一．函数定义及函数三要素1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
一、 函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
判断两个函数是否相同需要判断哪两个要素：例1：下列四组函数中，是同一组函数的是（ ） A ．()f x x =，()g x =()f x =()2gx =C.()211x f x x -=-，()1g x x =+ D. ()f x =()g x =二、求函数定义域1.具体函数的定义域：1）分式函数：()()f x yg x =，定义域要求()0g x ≠。
2）偶次根式)*2,y n k k N ==∈的定义域要求()0f x ≥。
3）()0y f x =⎡⎤⎣⎦的定义域要求()0f x ≠。
4）对数函数的复合函数()()log 0,1a y f x a a =>≠的定义域要求()0f x >。
例2：求下列函数的定义域1)())1f x x =- 2)()1111f x x=++3) ()()22log 32f x x x =--- 4）()f x =2.抽象函数的定义域：如果一个函数没有给出具体的解析式，那么这个函数就叫做抽象函数。
1）已知()f x 的定义域为[],a b ，则求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，我们令()a g x b ≤≤，解出来的x 的范围就是()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
2）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f x 的定义域时，我们求出()g x 在[],a b 上的值域就是()f x 的定义域。
3）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，先根据()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域按照2）中的方法求出()f x 的定义域，再根据()f x 的定义域按照1）中的方法求出()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
例3： 1） 已知()f x 的定义域为()1,2，求()12f x -的定义域。
2） 已知()12f x -的定义域为()1,2，求()f x 的定义域。
2．3 映 射 课时目标 1.了解映射的概念.2.了解一一映射满足的条件.3.了解函数与映射的区别与联系．
1．映射的概念
如果两个非空集合A 与B 间存在着对应关系f ，而且对于A 中的每一个元素x ，B 中总有__________元素y 与它对应，则称f 是集合A 到集合B 的________．A 中的元素称为________，B 中的对应元素y 称为x 的像．
2．一一映射
在实际中，我们经常使用一种特殊的映射，通常叫作一一映射，它满足：(1)A 中每一个元素在B 中都有______的像与之对应；(2)A 中的不同元素的____也不同；(3)B 中的每一个元素都有______；有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作________．
3．映射与函数
由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是__________．
一、选择题
1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( )
A ．A 中的每一个元素在
B 中必有像
B ．B 中每一个元素在A 中必有原像
C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个像
D ．A 中不同元素的像必不同
2．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )
A ．f ：x →y ＝12x
B ．f ：x →y ＝13
x C ．f ：x →y ＝23
x D ．f ：x →y ＝x 3．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )
4．下列集合A ，B 及对应关系不能构成函数的是( )
A ．A ＝
B ＝R ，f (x )＝|x |
B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1x
C ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3
D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0
5．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：
①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重；
②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ；
③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；
④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．
上述四个对应中是映射的有____，是函数的有____，是一一映射的有________．( )
A ．3个 2个 1个
B ．3个 3个 2个
C ．4个 2个 2个
D ．2个 2个 1个
6．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
二、填空题
7．设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B 到C 的映射是y →12y ＋1
，则经过两次映射，A 中元素1在C 中的像为________．
8．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应关系如下表：
映射f 的对应关系如下：
映射g 的对应关系如下：
则f [g (1)]的值为________．
9．已知f 是从集合M 到N 的映射，其中M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－3,0,3}，则满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0的映射f 的个数是________．
三、解答题
10．设f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，其中A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：x →x 2－2x －1，求A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像．
11．已知A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，其中m ，n ∈N ＋.若x ∈A ，y ∈B ，有对应关系f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个映射，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，q ，m ，n 的值．
12．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A
中元素2在B 中的像和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54在A 中的原像．
13．在下列对应关系中，哪些对应关系是集合A 到集合B 的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？
(1)A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，对应关系f ：“加1”；
(2)A ＝(0，＋∞)，B ＝R ，对应关系f ：“求平方根”；
(3)A ＝N ，B ＝N ，对应关系f ：“3倍”；
(4)A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：“求绝对值”；
(5)A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：“求倒数”．
1．映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A 到B 的
映射与B 到A 的映射往往是不一样的．
2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．
3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A 中的每一个元素在对应关系下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B 中的每一个元素是否都有原像，不做要求．
2．3 映 射
知识梳理
1．唯一的一个 映射 原像 2.(1)唯一 (2)像 (3)原像 一一对应
3．函数 非空数集
作业设计
1．A
2．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q
中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83
∉Q ，故选C.] 3．D [选项A 、B 中的元素2没有像；选项C 中1的像有两个；只有D 满足映射的定义，故选D.]
4．B [在B 项中f (0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它的对应的数．]
5．C [①、②、③、④都是映射；②、③是函数；②、④是一一映射，对于①由于有的同学体重可能相等，故①不是一一映射．]
6．B [由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的像的问题，总共有如图所示的4种可能．]
7.13
解析 A 中元素1在B 中象为2×1－1＝1，
而1在C 中象为12×1＋1＝13
. 8．1
解析 ∵g (1)＝4，∴f [g (1)]＝f (4)＝1.
9．7
解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝3，f (b )＝0，
f (c )＝－3，
⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－3，f (b )＝0，f (c )＝3， ⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝3，f (b )＝－3，f (c )＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－3，f (b )＝3，
f (c )＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝0，f (b )＝3，f (c )＝－3， ⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝0，f (b )＝－3，f (c )＝3，
f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.
10．解 当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的像是0. 当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2.
因为0∉A ，所以－1的原像是2.
11．解 由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：
⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝42p ＋q ＝7⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
p ＝3q ＝1. 故对应关系为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的象是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N ＋，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的像是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的像是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.
由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.
12．解 将x ＝2代入对应关系，
可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．
由⎩⎨⎧
x ＋1＝32，x 2＋1＝54
， 得x ＝12. 所以2在B 中的像为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54在A 中对应的原像为12
. 13．解 (1)中集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应关系f 是A 到B 的映射，又B 中的每一个元素在A 中都有唯一的原像与之对应，故f ：A →B 也是一一映射．
(2)中集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应关系f 不是A 到B 的映射，故不是一一映射．
(3)中集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f 是从A 到B 的映射，又B 中某些元素1、2、4、5……在A 中没有原像与之对应，故f ：A →B 不是一一映射．
(4)中集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故关系f 是从A 到B 的映射，但对于B 中某些元素在A 中可能有两个元素与之对应甚至没有原像，故f ：A →B 不是一一映射．
(5)当x ＝0∈A ，1x 无意义，故关系f 不是从A 到B 的映射．。
