9.4.3B-4A 二阶常系数线性非齐次微分方程解的结....ppt18

对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

因
多项式 .
本质上为实函数 ,
均为 m 次实
小 结:
对非齐次方程
为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
则可设特解:
例4.
解: 本题
特征方程
不是特征方程的根,
的一个特解 .
故设特解为
代入方程得
比较系数 , 得 于是求得一个特解
例5.
解: 特征方程为 对应齐次方程的通解为
的一个特解.
代入方程 :
比较系数, 得
于是所求特解为
例2.
解: 本题
特征方程为
对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 代入方程得 比较系数, 得
因此特解为 所求通解为
的通解.
其根为
二、
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
第二步 求出如下两个方程的特解
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
为特征方程的单根 ,
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
其根为
的通解.
因此设非齐次方程特解为
内容小结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根,
则设特解为
为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
则设特解为
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
二阶常系数线性非齐次微分方程 : ①
根据解的结构定理 , 其通解为
齐次方程通解
非齐次方程特解
求特解的方法
— 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .

二阶常系数非齐次线性微分方程
二、二阶常系数非齐次线性微分方程
从第二节的讨论知，一阶非齐次线性微分方程的通解等
于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解 之和．而二阶常系数非齐次线性微分方程具有相类似的性质． 定理2 设
y y ( x)是二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x)
两个不等实根r1 r2
y C1e r1x C2 e r2 x
两个相等实根r1 r2
一对共轭复根r1,2 i
y (C1 C2 x)e r1x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
例题
例 1 求微分方程 y 3 y 4 y 0 的通解．
的通解．
2 (ii) 当 p 4q 0 时，特征方程(8-23)有两个相等的实根
r1 r2
r1x y e . ，此时得微分方程(8-22)的一个特解 1
为求(8-22)的通解，还需求出与 e r1 x 相互独立的 另一解 y 2 .
证明
rx e r x (u r1u) ， 不妨设 y 2 / y1 u( x) ，则 y2 e u( x) ，y2
即
y e r1x (C1 C2 x)
证明
(iii) 当 p 2 4q 0 时，特征方程(8-23)有一对共轭复根 r2 i r1 i 于是得到微分方程(8-22)的两个特解 y1 e ( i ) x y2 e ( i ) x 但它们是复数形式，为应用方便，利用欧拉公式
例题
C1 1, C2 1. 故所求特解为 y e 2 x (1 x)
例 3 设函数 f ( x) 可导，且满足f ( x) 1 2 x 0 tf (t )dt x0 f (t )dt 试求函数 f ( x).

代入原方程
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x )
2 (1) 若不是特ຫໍສະໝຸດ 方程的根， p q 0,可设 Q( x ) Qm ( x ),
y Qm ( x )e ;
x
( 2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0,
可设 Q( x ) xQm ( x ),
2 p 0,
y xQm ( x )e x ;
( 3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0,
可设 Q( x ) x Qm ( x ),
2
2 p 0,
y x 2Qm ( x )e x .
(1) m ( 2) m
注 意
0 j不是根 k , 1 j是单根
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
例2 求方程 y y 4 sin x 的通解. 解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
jx 作辅助方程 y y 4e ,
（取实部）
1 4 原方程通解为 y C1 cos x C 2 sin x 3 x cos 2 x 9 sin 2 x .
注 意
Ae x cosx , Ae x sin x
分别是 Ae ( j ) x 的实部和虚部.
7.6.2
二阶常系数非齐次线性微分方程
f(x) e pm ( x ) 型
λx
f ( x ) e ( pl ( x ) cos x pm ( x ) sin x ) 型
小结
x
一、f ( x ) e Pm ( x ) 型
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程