二元常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵

微分方程组的基解矩阵理论说明1. 引言1.1 概述微分方程组是数学中研究自然现象和物理现象的重要工具，它描述了变量之间的变化率以及它们与时间或空间的关系。

在科学和工程领域，微分方程组被广泛应用于预测、建模和优化等问题的求解中。

其中，微分方程组的基解矩阵作为一个核心概念，扮演着重要的角色。

1.2 文章结构本文将对微分方程组的基解矩阵进行深入探讨，并介绍其性质、求解方法以及应用及意义等方面的内容。

具体结构如下：第2部分：微分方程组的基本概念该部分将介绍微分方程组的定义，以及基本解和通解这两个重要概念，并引入基解矩阵这一主题。

第3部分：基解矩阵的性质与求解方法在此部分中，我们将讨论基解矩阵存在性与唯一性的问题，并探究基解矩阵与常系数微分方程组之间的关系。

同时，我们也会介绍一些求解基解矩阵的常见方法和步骤。

第4部分：微分方程组基解矩阵的应用及意义该部分将探讨基解矩阵在初始值问题求解方法和非齐次线性微分方程组中的特殊情况下的应用。

同时，我们也会对理论说明与实际应用之间的联系和差异进行讨论。

第5部分：结论与展望最后一部分将总结本文主要观点和发现，并对未来研究的方向和前景进行展望。

1.3 目的本文旨在全面深入地介绍微分方程组的基解矩阵，明确其定义以及相关概念，并深入探讨其性质、求解方法以及应用及意义。

通过本文的阐述，读者可以更好地理解微分方程组中基解矩阵这一重要概念的作用和应用，为进一步开展相关研究提供有益指导。

2. 微分方程组的基本概念：2.1 微分方程组的定义：微分方程组是由多个未知函数及其导数构成的一组方程。

通常形式为：\[ \begin{cases}F_1(x, y_1, y_2, ..., y_n, y_{n+1}) = 0 \\F_2(x, y_1, y_2, ..., y_n, y_{n+1}) = 0 \\... \\F_n(x, y_1, y_2, ..., y_n, y_{n+1}) = 0\end{cases}\]其中，\( x \) 是自变量，\(y_1, y_2, ..., y_n\) 是未知函数，\(y_{n+1}\) 是关于\(x\) 的已知函数。

摘要在常微分方程中，介绍了解常系数线性微分方程组的消元法，它是解常系数线性微分方程组的最初等的方法，适用于知函数较少的小型微分方程组。

对于未知函数较多时，用消元法则会非常不便，为此应寻求更为有效的方法。

在掌握线性代数的知识后，用矩阵法解常系数线性齐次微分方程组较为方便。

关键词：基解矩阵特征方程特征值特征向量AbstractIn the ordinary differential equation, introduced that understood often the coefficient linear simultaneous differential equation's elimination, it is the solution often the coefficient linear simultaneous differential equation's most primary method, is suitable in knows the function few small simultaneous differential equation. Are many when regarding the unknown function, will be inconvenient with the elimination, for this reason should seek a more effective method. After grasping the linear algebra the knowledge, the coefficient linearity homogeneous simultaneous differential equation is often more convenient with the matrix technique solution.Keywords: basic solution of matrix characteristic equation eigenvalue Characteristic vector第一章：矩阵指数A引言已知常系数线性微分方程组：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n xa x a x a dtdx x a x a x a dtdx x a x a x a dt dx (22112222121212121111)（1） 的求解方法，通常可以用消元法将方程组化为一元的高阶微分方程：0 (111)111=+++--x b dtx d b dt x d n n n nn 来求解。

常系数线性微分方程组的基解矩阵求法的一
个注记
微分方程是一门学科中重要的概念之一，它能够描述物体
的动态变化特性，其中一类特别重要的是常系数线性微分方程组。

它能够用来描述定义域上的函数变化趋势，也能够描述物
理系统的运动变化特性。

关于常系数线性微分方程组，有一种
求解解析解的方法就是基解矩阵法。

基解矩阵法是一种有效求解常系数线性微分方程组的方法。

他能够有效快速地求解它们的解析解，其操作过程是一种非常
完善的矩阵表示技术。

对于计算量复杂的系统，根据其系统的
特征，首先通过μ（s）这个特征方程，使微分方程组求出μ（s）的特征多项式，然后将这个特征多项式展开，求出特征
根以及相应的特征矢，最后将特征根和特征矢作为基解矩阵的
元素，建立起基解矩阵，从而求出微分方程组的解析解。

基本步骤是，首先求出系统的特征方程μ（s），将它写
成矩阵形式，然后根据其系统特征，将其求解为特征多项式；
接着将特征多项式展开，将其求解为特征根μ1，μ2……μn
以及特征矢α1，α2……αn；最后将特征根和特征矢作为基
解矩阵的元素建立起基解矩阵，从而求出微分方程组的解析解。

它是一个非常有效率的求解常系数线性微分方程组的方法，由于其计算简便、操作快速，它在物理学、数学、计算机、工
程等多个领域都受到广泛使用。

基解矩阵法将极大地改善系统
计算的效率，为科学家解决复杂问题提供了一种得力的方法。

常微分方程复习题、填空题1．微分方程 (dy )n dyy 2 x 20的阶数是 _______________ dx dx答：12． 形如 _的方程称为齐次方程答： d dyx g( x y) dx x 3．方程 y 4y 0 的基本解组是答： cos 2 x, sin 2 x .1. 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x), y 2(x) 为方程的基本解组充分必要条件 是．答： 线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)2. 方程 y 2y y 0 的基本解组是3. 若 (t)和 (t)都是 X A(t)X 的基解矩阵，则 (t)和 (t) 具有的关系4.一阶微分方程 M(x,y)dx N(x,y)dy 0 是全微分方程的充分必 要条件5. 方 程 M(x,y)dx N(x, y)dy 0 有 只 含 x 的 积 分 因 子 的 充 要 条件 是 。

有只含 y 的积分因子的充要条件是 。

6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点 x,y 处 的切线斜率为 2x y ，则曲线方程 为。

7.称为 n 阶齐线性微分方程。

8. 常系数非齐线性方程 y (n)a 1y (n 1)a n 1y a n y e xP m (x)(其中 P m (x) 是 m 次多项式 )中，则方程有形如 的特解。

9. 二阶常系数线性微分方程 y 3y 2y e x有一个形如的特解。

答：xxe , xe10. 微分方程y 4y 21y 0的一般解为。

9. 微分方程xy 2y 3y4 0 的阶数为。

10. 若x i (t)(i 0,1,2, ,n)为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为.11. 设x(t) 为非齐次线性方程的一个特解, x i (t)(i 0,1,2, ,n)是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为.12. 若x i(t)(i 0,1,2, , n)是齐次线性方程y(n) a1(x) y( n 1) a n 1(x)ya(x)y 0 的n个解，w(t) 为其朗斯基行列式，则w(t) 满足一阶线性方程。

常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法是一种求解线性齐次微分方程组的方法，其基本思想是通过构造一个系数矩阵并进行矩阵运算来得到方程组的解向量。

本文将详细介绍常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法，并解释其原理和应用。

1.矩阵的定义和运算在介绍矩阵解法之前，我们先回顾一下矩阵的基本定义和运算。

矩阵是由若干个数按照特定顺序排列形成的矩形阵列，通常用大写字母表示。

一个m × n（m行n列）的矩阵可以表示为A=[aij]m×n，其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

矩阵的加法：设A和B是相同规格的矩阵，则它们的和记作A+B，它的第i行第j 列的元素是Ai,j+Bi,j。

矩阵的数乘：设A是一个m×n的矩阵，k是一个常数，则kA的第i行第j列的元素是kaij。

矩阵的乘法：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则AB是一个m×p 的矩阵，其中矩阵AB的第i行第j列的元素是A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

矩阵的转置：设A是一个m×n的矩阵，记作AT，则AT是一个n×m的矩阵，其中AT的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的元素。

2.常系数线性齐次微分方程组的矩阵形式假设我们有一个常系数线性齐次微分方程组，形如：y'=Ay其中，y是一个向量函数，A是一个n×n的常数矩阵，y'是y的导数。

为了求解该方程组的解向量y，我们可以把方程组写成矩阵形式：y'-Ay=0或者y'-Ay=O其中，O是一个n×n的零矩阵。

3.矩阵的特征值和特征向量在解释常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法之前，我们先来介绍一下矩阵的特征值和特征向量。

定义：设A是一个n×n的矩阵，如果存在一个非零向量x和一个实数λ，使得Ax=λx，则称λ是A的特征值，x是A对应于特征值λ的特征向量。

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。

2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件33ydx =⎰的解为 22=-y x 。

3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。

4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。

5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有 无数 个解。

6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为421912264=-++x x y x 。

7、方程x x y xy+-=d d 无 奇解。

8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx。

9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。

10、35323+=d y dy x dx dx是 3 阶常微分方程。

11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。

12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。

13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。

14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t ee 。

常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解徐进（华中师范大学数学与统计学学院，湖北武汉430079）摘要：利用约当标准型求解常系数齐次线性微分方程组基解矩阵．给出了一种求解常系数齐次线性微分方程组的解决途径．关键词：常系数线性微分方程组；基解矩阵；约当标准型中图分类号：O175.1文献标识码：A 文章编号：1673-014304-0017-030引言由于线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，而众多教科书上往往因为篇幅有限，没有利用约当标准型求解的具体形式．本文力图给出通过约当标准型对常系数齐次线性微分方程组求基解矩阵给出一个全面而清晰的认识．1常系数线性微分方程组基解矩阵设常系数线性微分方程组如下：dd x=A aij,n .定理1矩阵指数函数e xA 是常系数齐次线性微分方程组(1)的一个基解矩阵．由线性代数的基本知识，对于每一个n 阶矩阵A ，存在n 阶非奇异矩阵P ，使得A =PJP J 1J2,J 为约当标准型．得到e xA =e PxJPxA是方程组(1)的一个基解矩阵，则对于任意一个非奇异的n 阶常数矩阵C ，矩阵xC 也是(1)的一个基解矩阵．2利用约当标准型求解基解矩阵通过以上定理及推论知道e xA 为方程组(1)的解，则对于n 阶非奇异矩阵p、i1是n i阶矩阵，，m ;n 1+n 2+，则J i 有如下的分解式：第33卷第4期2005年12月江汉大学学报(自然科学版)Journal of Jianghan University (Natural Sciences )Vol.33No.4Dec.,2005收稿日期：2005－06－30作者简介：徐进(198218江汉大学学报（自然科学版）总第33卷J i=ii011ixJ i，有：0101+x 211n i!xJ i=ixx ni1x ni2.设n 阶非奇异矩阵P 为：P=r 1n 1r 1n 1+1r 1n 1+2r 1n 1+n 2+1+1r 2n 1r 2n 1+1r 2n 1+2r 2n 1+n 2+1+1r 3n 1r 3n 1+1r 3n 1+2r 3n 1+n 2+1+1r nn 1r n n1+1r n n 1+2r n n 1+n 2+1+1,于是e xJ1e xJ2=P1xx 21x1n 1!ex n111x1xe2xxe2!ex n212x2n 2!exe2xm xxe2!ex nm1mx2n m!exem x2005年第4期徐进：常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解19分析第一个矩阵块P e1xx21x1n1!ex n122x1xe=1x+r12e1n1!e2n1!e+r1n1e1x r21e1x r21x n111x+r22x n121x+1xrn1e1x+rn2e1n1!e2n1!e+rn n1e.3结论经过对第一个矩阵块Pi相关的n i列都具有下列形式：1!+x ni1r ni，其中j=0,1,11,m）时，A具有单的特征根的形式.参考文献：[1]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，1991.[2]Yan G Z,Deng Y B,Zhu C J.Ordinary differential equations[M].Wuhan:Central China Normal University,2002.Calculation of Basic Solution Matrix of Linear HomogeneousSystem with Constant CoefficientsXU Jin(Department of Mathematics and Statistics,Central China Normal University,Wuhan430079,China)Abstract：The basic solution matrix of linear homogeneous system with constant coefficients is found completely through using Jordan canonical form.Key words：linear homogeneous system with constant coefficients;basic solution matrix;Jordan canonical form。

基于Matlab常系数线性微分方程组的求解严水仙【摘要】在常微分方程课程教学中,常系数线性微分方程组可以通过线性代数的理论、矩阵指数、拉普拉斯变换等方法进行求解.本文主要叙述利用Matlab数学软件在求解常系数线性微分方程组中的应用.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2018(039)003【总页数】5页(P10-14)【关键词】常系数线性微分方程;Matlab;矩阵指数【作者】严水仙【作者单位】赣南师范大学数学与计算机科学学院,江西赣州341000【正文语种】中文【中图分类】O175微分方程课程是高校不少理工科专业(如数学、力学、控制等) 的重要基础理论课程.常微分方程是描述自然科学、工程技术和社会科学中的运动、演化和变化规律的重要连续型模型. 物理、化学、材料、医学、经济学等领域中的许多原理和规律都可以描述成相应的微分方程, 如生物种群中的生态平衡、流行病存在的阈值定理、化学反应中的稳定性、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等.描述、认识和分析其中的规律可以通过研究相应的微分方程数学模型来实现.[1]在微分方程的理论中，线性微分方程组是非常值得重视的一部分内容，它是了解并掌握非线性微分方程、非线性动力系统、非线性控制等课程的基础. 常系数线性微分方程组的求解是线性微分方程组理论中最简单、最直观的部分，熟悉并掌握常系数线性微分方程的求解将有利于更好的理解线性系统的基本理论.Matlab是由美国的Cleve Moler博士等[2-3]于1980年提出的以矩阵运算为基础，把计算、程序设计等融合到了一个简单易用的交互式工作环境中.可实现工程计算、算法研究、符号运算、建模和仿真、原型开发、数据分析及可视化、科学和工程绘图、应用程序设计等功能.Matlab强大的运算功能和图形使其成为目前世界上应用最为广泛的科学计算软件之一, 在教学中能快速的计算方程的解并描绘直观的几何图形.[4-6]鉴于此,本文主要介绍借助于Matlab来求解常系数线性微分方程组，通过利用Matlab命令，计算系数矩阵的特征值、特征向量、矩阵指数求解线性微分方程组.1 常系数线性微分方程的基本理论[1]定理1[1] 如果A(t)是n×n阶矩阵函数，f(t)是n维列向量函数.它们都在区间a≤t≤b上连续，则对区间a≤t≤b上的任意t0∈[a,b]及任一常数n维列向量η,方程组x′=A(t)x+f(t)(1)存在唯一解φ(t)，定义于整个区间a≤t≤b上，且满足初值条件φ(t0)=η.定理2[1] 齐次线性微分方程组x′=A(t)x一定存在n个线性无关的解x1(t),x2(t),…,xn(t).定理 3[1] 齐次线性微分方程组x′=A(t)x一定存在一个基解矩阵Φ(t).如果ψ(t)是方程组的任意解，那么ψ(t)=Φ(t)c,(2)这里c是确定的n维常数列向量.定理4[1] 如果Φ(t)，ψ(t)在区间a≤t≤b上是x′=A(t)x的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异n×n常数矩阵C，使得在a≤t≤b区间上ψ(t)=Φ(t)C.定理5[1] 设Φ(t)是齐次线性微分方程组x′=A(t)x的基解矩阵，是非齐次线性微分方程组x′=A(t)x+f(t)的某一个解，则方程组x′=A(t)x+f(t)的任一解φ(t)都可表示为(3)这里c是确定的n维常数列向量.矩阵指数exp A的定义和性质：如果A是一个n×n常数矩阵，则定义为矩阵指数，其中E为n阶单位矩阵，且规定A0=E,0!=1,对于所有元均为0的矩阵，易知expO=E.根据矩阵指数的定义及级数的收敛性，易知对一切矩阵A都是绝对收敛，在t的任何有限区间上是一致收敛.矩阵指数expA有如下性质：(Ⅰ)如果矩阵A,B是可交换的矩阵，即AB=BA,则exp(A+B)=exp A exp B. (Ⅱ)对于任何矩阵A,(exp A)-1存在，且(exp A)-1=exp(-A).(Ⅲ)如果T是非奇异矩阵(可逆矩阵)，则exp(T-1AT)=T-1(exp A)T.设常系数线性微分方程组为x′=Ax(4)其中A是n×n阶常数矩阵,x=(x1,x2,…,xn)T.定理6 矩阵Φ(t)=exp At(5)为方程组(4)的基解矩阵，且Φ(0)=E.证明由矩阵指数的定义易得Φ(0)=E.(1.5)式对t求导，我们得到Φ′=(exp A t) exp At=AΦ(t),所以Φ(t)=exp At是方程(4)的解矩阵.又因为det Φ(0)=det E=1,因此Φ(t)是(4)的基解矩阵.定理6已经给出了常系数线性微分方程组(4)的基解矩阵，但是exp At是由At的矩阵级数定义的，矩阵中的每个元是什么没有具体给出，下面我们讨论exp At的计算方法.2 常系数线性微分方程组基解矩阵的求解定理7 如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,…,vn，它们对应的特征值分别为λ1,λ2,…,λn(不必各不相同)，那么矩阵ψ(t)=[eλ1tv1,eλ2tv2,…,eλntvn],(-∞≤t≤+∞)是常系数线性微分方程组(4)的一个基解矩阵.证明因为λ1,λ2,…,λn为矩阵A的特征值，对应的特征向量为v1,v2,…,vn，有det(λiE-A)=0,且(λiE-A)vi=0,i=1,2,…,n.又因为eλit≠0，则λieλitvi=Aeλitvi，即φi(t)=eλitvi是方程组(4)的一个解.因此，矩阵ψ(t)=[eλ1tv1,eλ2tv2,…,eλntvn]是(4)的一个解矩阵.v1,v2,…,vn是矩阵A线性无关的特征向量组，所以det ψ(0)=det[v1,v2,…,vn]≠0，因此可知，ψ(t)=[eλ1tv1,eλ2tv2,…,eλntvn]是(4)的一个基解矩阵.由此可知，Φ(t)=exp At和ψ(t)=[eλ1tv1,eλ2tv2,…,eλntvn]均为方程组(4)的基解矩阵，根据定理4的结论可知，存在一个非奇异的常数矩阵C,使得Φ(t)=expAt=ψ(t)C.令t=0，我们得到C=ψ-1(0)，因此exp At=ψ(t)ψ-1(0).所以，常系数线性微分方程的求解转化为求系数矩阵的特征值和特征向量.例1 求下列方程组的基解矩阵解系数矩阵为的特征方程为系数矩阵的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3.设λ1=1时对应的特征向量v1=(a,b,c)T，则(λ1E-A)v1=0，解得特征向量为其中c1为参数.设λ2=2时对应的特征向量v2=(a,b,c)T，则(λ2E-A)v2=0，解得其中c2为参数. 设λ3=3时对应的特征向量v3=(a,b,c)T，则(λ3E-A)v3=0，解得其中c3为参数.由定理7知，方程组的基解矩阵为：根据定理3，方程组的通解为φ(t)=ψ(t)C,其中C=(c1,c2,c3)T.常系数线性微分方程的求解实际就是求系数矩阵的特征值和特征向量，或者通过拉普拉斯变换法求解以及直接求解系数矩阵的矩阵指数exp(At). 然而，不管矩阵的的特征值、特征向量、拉普拉斯变换、还是矩阵指数，直接求解均比较复杂，特别是系数矩阵的特征值出现重根、复根等情况时，求解通解就显得更为困难.下面介绍使用Matlab数学软件求解常系数线性方程组.3 Matlab在求解常系数微分方程中的应用根据线性代数、高等代数的理论，矩阵对角化过程是一个复杂的计算过程，特别是系数矩阵的特征值出现重根、复根等情况时，特征向量计算比较麻烦. 学习使用Matlab软件在求解数学问题的原理将能够让学生更好的理解数学思想，减少重复性计算等. 下面将介绍几个利用Matlab计算基解矩阵的例子.例2 求下列线性微分方程组满足初始条件φ(0)=η的解其中解在Matlab软件中直接输入如下命令，>> A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];>> syms t;>> expm(A*t) %运行得线性方程组的基解矩阵exp(At)ans =[3*exp(-t) - 3*exp(-2*t) + exp(-3*t), (5*exp(-t))/2 - 4*exp(-2*t) + (3*exp(-3*t))/2, exp(-t)/2 - exp(-2*t) + exp(-3*t)/2][6*exp(-2*t) - 3*exp(-t) - 3*exp(-3*t), 8*exp(-2*t) - (5*exp(-t))/2 - (9*exp(-3*t))/2, 2*exp(-2*t) - exp(-t)/2 - (3*exp(-3*t))/2][3*exp(-t) - 12*exp(-2*t) + 9*exp(-3*t), (5*exp(-t))/2 - 16*exp(-2*t) +(27*exp(-3*t))/2, exp(-t)/2 - 4*exp(-2*t) + (9*exp(-3*t))/2]即得方程组的基解矩阵所以方程组的通解为φ(t)=exp(At)C,其中C=(c1,c2,c3)T.初始条件φ(0)=η代入φ(t)=exp(At)C，易得C=(1,2,2)T，故满足初始条件的解为例3 求下列线性微分方程组的通解解在Matlab软件中直接输入如下命令，>> A=[3 -1 1;2 0 1;1 -1 2];>> syms t;>> expm(A*t) %运行得线性方程组的基解矩阵exp(At)ans =[exp(2*t) + t*exp(2*t), - exp(2*t) - t*(exp(2*t) - exp(2*t)/t), exp(2*t) +t*(exp(2*t) - exp(2*t)/t)][exp(2*t) - exp(t) + t*exp(2*t), exp(t) - exp(2*t) - t*(exp(2*t) - exp(2*t)/t), exp(2*t) + t*(exp(2*t) - exp(2*t)/t)][exp(2*t) - exp(t), exp(t) - exp(2*t), exp(2*t)].即得方程组的基解矩阵所以方程组的通解为φ(t)=exp(At)C,其中C=(c1,c2,c3)T. 由此可知，通过使用Matlab软件求解常系数线性微分方程组的通解变得简单、直观.在常微分方程的理论和应用上，微分方程组的解在t→∞时解的性态的研究是很重要的内容，其对非线性方程的理论有着非常重要的应用.4 常系数线性方程组的稳定性定理定理8 常系数线性微分方程组(4)的解有下列性质:(Ⅰ)如果系数矩阵A的特征值的实部都是负的，则(4)的任一解当t→∞时都趋于零(稳定)；(Ⅱ)如果系数矩阵A的特征值的实部至少有一个是正的，则(4)至少有一个解t→∞时趋于无穷(不稳定)；(Ⅲ)如果系数矩阵A的特征值的实部都是非正，但有零根或具有零实部的根，则(4)的解在t→∞时不能判定(不确定).根据定理8，很容易判定常系数线性微分方程组解的性态.当t→∞时，例1、3的解趋于无穷，例2的解趋于零.由Matlab软件也可直接描述出方程组解的变化趋势.下面画出例2的解曲线图.在Matlab中直接输入命令：>> t=0∶200;>>plot(t,8*exp(-1*t)-13*exp(-2*t)+5*exp(-3*t),′o′,t,-8*exp(-1*t)+26*exp(-2*t)-15*exp(-3*t),′*′,t,8*exp(-1*t)-52*exp(-2*t)+45*exp(-3*t),′k′) %运行即得解在t∈[0,200]随t的变化图.5 小结常系数线性微分方程的求解是常微分方程理论中重要的组成部分，但计算比较复杂,对学生的数学基础要求较高,所以学生学起来比较吃力,容易对学习丧失兴趣.所以,在授课过程中,我们不仅要将基本概念和原理给学生讲通讲透,重点介绍数学思维，数学思想，还要利用计算机的表现能力将抽象的问题具体化，复杂的计算简单化.Matlab教学平台的引入,能够化繁为简,化抽象为具体,加深学生对本课程的掌握程度,提高教学效果,并且引导学生将理论应用于实际.【相关文献】[1] 王高雄,朱思铭,等.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006.[2] 胡良剑,孙晓君.MATLAB数学实验[M].第2版.北京：高等教育出版社，2014.[3] 朱春蓉,郑群珍.Maple在常微分方程教学中的应用[J].河南教育学院学报：自然科学版，2009,18(3):63-64.[4] 闫金亮.Matlab在常微分方程教学中的应用[J].武夷学院学报，2012,31(2):96-100.[5] 张守贵.一类二阶常系数微分方程特解的教学探讨[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2012, 29(12):12-15.[6] 徐定华,葛美宝.论微分方程课程的教学设计[J].大学数学, 2010,26(3):1-5.。

常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解常系数齐次线性微分方程组(ODEs)具有广泛的应用，它描述了一个系统的变化，其基本格式为：ay + by + cy = 0其中，a，b，c是定值。

求解ODEs的方法有固定点定理、积分因子和特征值定理等，其中，基解矩阵是一种基本概念，它们可以帮助我们更容易地求解ODEs。

基解矩阵是一个特定矩阵，它由解ODEs的特征解组成。

特征解是ODEs的根，它们代表着ODEs的解/极限解等。

特征解可以写成： xi(t) = e^rt其中，r是ODEs的特征值，它对应着特征方程的根。

基本基解矩阵由基解向量组成，它们可以写成：X = [x1, x2, x3, ..., xn]其中，x1,x2, ...,xn是ODEs的解向量，它们对应着ODEs的基解。

为了求解ODEs，我们还需要确定一个初值。

这个初值可以写成： X(0) = [x1(0), x2(0), ..., xn(0)]其中，x1(0),x2(0), ...,xn(0)是ODEs的初值向量，它们代表着ODEs的初值状态。

求解ODEs的基解矩阵的基本原理是：利用基解向量组成的基解矩阵，可以将ODEs的求解变为一个线性代数问题，而这个线性代数问题可以用行列式解决。

假设我们要求解ODEs：ay + by + cy = 0称ε为ODEs的特征根，则可写出：ε1= r1,2 = r2,3 = r3其中，r1,r2,r3是ODEs的根，它们组成了特征多项式的特征根。

此时，基解矩阵可以写成：X = [e^r1*t, e^r2*t, e^r3*t]此时，ODEs的初值可以写成：X(0) = [x1(0), x2(0), x3(0)]现在，将基解矩阵和初值向量带入ODEs：ay + by + cy = 0我们可以得出：xe^(r1*t) + ye^(r2*t) + ze^(r3*t) = x1(0)其中，x、y、z是ODEs的未知参数，它们可以用行列式求解。

二次型与正定矩阵1．二次型及其标准形1．1二次型的矩阵表示n 个变量12,,n x x x 的二次齐次多项式：212111121211(,,)22n n n f x x x a x a x x a x x =+++2222223232222n n n a x a x x a x x ax ++++++称为n 元二次型，简称二次型，当ij a 为复数时，称f 为复二次型；当ij a 为实数时，称f 为实二次型.我们仅讨论实二次型.取ij ji a a =,于是上式可写为二次型f 的和式表示.212111121211221122222221122(,,)n n nn nn n n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x ax =+++++++++++11n n ij i ji j a x x ===∑∑二次型f 的矩阵表示1112111222221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A '=x x这里，显然有A A '=，即A 为实对称矩阵.例1：二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f -++=用矩阵可表示为X X x x x f T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=020211011),,(321二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.若f A '=x x ，其中A A '=，则称A 为二次型f 的矩阵；称f 为对称矩阵A 的二次型；称()R A 为f 的秩. 例1中二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f -++=的的秩是3. 1．2二次型的标准形对于二次型11n nij i j i j f a x x ===∑∑，我们讨论的主要问题是：寻找可逆的线性变换C x =y ，使二次型只含平方项，使得2221122n n f y y y λλλ=+++ ，称为二次型f 的标准形. 即2221122112212()(,,).n nn n n f A C AC y y y y y y y y y '''=+++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'==Λ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ x x =y y =y y λλλλλλ实二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所含项数（即二次型的秩）却是唯一的.定理（惯性定理） 对任何实二次型，其标准形中系数为正的平方项个数和系数为负的平方项个数都是唯一确定的，不随可逆线性变换的不同而改变.在秩为r 的二次型的标准形中，正平方项的个数p 称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数r p -称为二次型的负惯性指数，它们的差()2p r p p r --=-称为二次型的符号差.1．3矩阵的合同求二次型的标准形转化为：对给定对称矩阵A ，求可逆矩阵C ，使得C AC '为对角阵.设,A B 为n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ，使B C AC '=，则称A 与B 合同.（1）合同是矩阵间的等价关系具有:反身性：对称性：和传递性：（2）若A 与B 合同，则()()R A R B =.（3）若A 是对称矩阵，且若A 与B 合同，则B 也是对称矩阵.2.化二次型为标准形2.1 配方法配方法就是应用中学代数中配平方的方法来逐次消去二次型中的交叉项，使得最后只剩下平方项，从而将二次型化为标准形.下面通过例子说明这种方法.例2 化二次型121323262f x x x x x x =-+为标准形，并求所用的变换矩阵.解 由于f 中不含平方项，不能直接配方，但含有乘积项12x x ，故令11221233,,,x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩即112233*********x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 代入可得221213232248f y y y y y y =---.再依次关于12,y y 配方，得222132332()2(2)6f y y y y y =--++.再令11322333,2,,z y y z y y z y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩即112233*********y z y z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.代入后即得f 的标准形222123226f z z z =-+.所用的变换矩阵为110101111110012113,001001001C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（||20C =-≠）.2.2正交变换法对任何实对称矩阵A ，总有正交阵P ，使1P AP P AP-'==Λ为对角矩阵，于是有定理:任给二次型11n nij i j i j f a x x ===∑∑（ij ji a a =），总有正交变换P x =y ，将f 化为标准形2221122n n f y y y =+++ λλλ， 其中12,,,n λλλ 是f 的矩阵()ij A a =的n 个特征值.例3设二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（1） 求a 的值；（2） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形；【分析】 （1）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（2）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；.【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ，由二次型的秩为2，知 0200011011=-++-=a a a a A ，得a=0.（II ） 这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ， 可求出其特征值为0,2321===λλλ.解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα， 解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α 由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y +3.正定二次型3.1正定二次型的概念定义 设实二次型f A '=x x ，若对任何12(,,,)n x x x '=≠0 x ，都有(1)()0f >x ，则称f 为正定二次型，称f 的矩阵A 为正定矩阵；(2)()0f <x ，则称f 为负定二次型，称f 的矩阵A 为负定矩阵；(3)()0f ≥x ，则称f 为半正定二次型，称f 的矩阵A 为半正定矩阵；(4)()0f ≥x ，则称f 为半负定二次型，称f 的矩阵A 为半负定矩阵(5)如果f 既不是半正定又不是半负定，则称f 为不定的.3.2正定二次型的判别法正定二次型的判别法1--用定义判定例4. 设A 是n m ⨯的实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知A A E B T +=λ，证明当0>λ时，B 为正定矩阵。

常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法雷凤生【摘要】本文简要分析常系数线性非齐次微分方程组求解的常数变易法、拉普拉斯变换法、比较系数法和初等解法,并对这四种解法分别进行求解举例.【期刊名称】《吕梁学院学报》【年(卷),期】2015(005)003【总页数】3页(P12-14)【关键词】常数变易法;拉普拉斯变换法;比较系数法;初等解法【作者】雷凤生【作者单位】吕梁学院数学系,山西离石033000【正文语种】中文【中图分类】O175.1线性微分方程组，是微分方程理论中非常重要的一部分内容.因此，研究线性微分方程组的解也尤为重要.当前，对于齐次线性微分方程组x'=Ax 的研究已经非常成熟.而对于常系数非齐次线性微分方程组的初值问题的解法，各文献中的记载都是比较单一笼统的，没有系统的论述.通过查阅相关论著和文献，本文总结了常系数非齐次线性微分方程组的四种基本求解法，并用这四种解法对同一个方程组的例子进行求解.1 常数变易法定理1.1［1］常系数非齐次线性微分方程组的初值问题x'=Ax+f(t)(A 是n×n 常数矩阵，f(t)是连续向量函数，其中x(t0)=η)的特解为证明:齐次线性微分方程组基解矩阵为Φ(t)=expAt，由［1］可知.方程组满足初值条件x(t0)=η的解为:又Φ－1(s)=exp(－sA)，Φ(t)Φ－1(s)=exp［(t－t0)A］η，可得二元常系数非齐次线性微分方程组的初值问题x'=Ax+f(t)的特解(1.1).证毕.例1 利用常数变易法求常系数非齐次线性微分方程组，满足条件x(0)=的特解x(t). 解:特征方程为0，特征值为λ=3，可得然后将上式代入公式(1.1)，又t0=0，得原方程组的特解为2 拉普拉斯变换法定义2.1［1］定义拉普拉斯变换的向量函数形式为其中，f(t)是二维向量函数，并且它的两个分量都存在拉普拉斯变换.利用拉普拉斯变换法的求解常系数非齐次线性微分方程组的过程类似于利用拉普拉斯变换法求二阶微分方程的解的过程，下面直接通过举例说明.例2 利用拉普拉斯变换法求解例1.解:先将方程组的初值问题改写为分量形式，即令X1(s)=L［x1(t)］，X2(s)=L［x2(t)］，对方程组施行拉普拉斯变换得解上方程组可得取拉普拉斯逆变换即可得原方程组的特解为3 比较系数法定理3.1［2］对于常系数非齐次线性微分方程组x'=Ax+f(t)(A 是n×n 常数矩阵)，若f(t)=Pm(t)eλt，而Pm(t)=P1tm+P2tm－1+…+Pmt+Pm+1，Pi为n 维向量(i=1，2…m+1)，则方程组的特解为其中Qm+k(t)=Q1tm+k+Q2tm+k－1+…+Qm+kt+Pm+K+1，Qi=(qi1，qi2，…qin)T，(i=1，2…m+k+1).qij为待定系数，k 是λ 为矩阵A 的特征根的重数.例3 利用比较系数法求解例1.解:由例1 可知的特征值为λ1=，所以有k=0.由定理3.1 设方程组的特解为x(t)=，其中q11，q21为待定系数.代入原方程组得比较两端系数得得原方程的一个特解为由方程组解的结构再结合例1 中基解矩阵的运算结构可得原方程组的通解为又由初值条件可得，代入上述方程组可得原方程组的特解为4 初等解法定理4.1［3］对于二阶常系数线性微分方程组对应的代数方程ck2+(a－d)k－b=0 若满足:a≠d，bc≠0，则1)当(a－d)2－4bc≠0 时，代数方程有两个根k1≠k2≠0，原方程组的通解为2)当(a－d)2－4bc=0 时，代数方程有两个根k1=k2≠0，原方程组的通解为其中，p(t)=e(a+kc)t［∫［f1(t)+kf2(t)］e－(a+kc)tdt+C1］，C1，C2为常数. 证:［4］用k 乘以第二个方程的两边，再与第一个方程相加，得到其中k 为待定系数，令=k，即ck2+(a－d)k－b=0.则上式变为这是一个以t 为自变量，关于x1+kx2的一阶线性微分方程，其解为x1+kx2=e(a+kc)t［∫［f1(t)+kf2(t)］e－(a+kc)tdt+C1］=p(t)C1为任意常数下面分两种情况讨论.1)(a－d)2－4bc≠0 时，代数方程有两个根k1≠k2≠0，代入上式可得原方程的解为2)当(a－d)2－4bc=0 时，代数方程有两个根k1=k2≠0，则有x1=p(t)－kx2，代入原方向组的第二个方程整理可得:x'2=(d－ck)x2+f2(t)+cp(t)这是一个以t 为自变量关于x2的一阶常系数线性微分方程.其通解为x2=e(d－ck)t[∫［f2(t)+cp(t)］e－(d－ck)tdt+C2］C2为任意常数所以，原方程组的通解为其中p(t)=e(a+kc)t［∫［f1(t)+kf2(t)］e－(a+kc)tdt+C1］C1，C2为常数.证毕. 例4 利用初等解法求解例1.解:方程组所对应的代数方程为－k2－2k－1=－(k+1)2=0，可得k1=k2=－1，因此由公式(4.2)可得:由初值条件得代入上述方程组可得原方程组的特解为参考文献:［1］王高雄，周之铭，等.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社，2006. ［2］彭友花，蒋志国.常系数线性非齐次微分方程组求特解的比较系数法［J］.萍乡高等师范专科学校学报，2008(6).［3］赵临龙.二元一阶常系数线性微分方程组初等解法的讨论［J］.河南科学，2012(12).［4］李长江.二元常系数线性微分方程组的初等解法［J］.承德民族师专，2006(2).。

常系数线性方程组基解矩阵的计算常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军（巢湖学院数学系，安徽巢湖238000）摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法.关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数Calculation of Basic solution Matrix ofLinear Homogeneous System withConstant CoefficientsZhijun Dong(Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu)Abstract: Differential equations application in engineering technology is veryextensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method.Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent引言:线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ⨯常数矩阵.一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质定义：对于n n ⨯矩阵A ＝ij a ⎡⎤⎣⎦n ×n 和n 维向量X ＝()1,...,Tn X X 定义A 的范数为A ＝,1niji j a=∑，X =1nii x=∑设A ，B 是n ×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质：（1）AB ≤A B ，AX ≤A X ； （2）A B +≤A +B ，X Y +≤X +Y . 2.矩阵指数exp A 的定义和性质：(!)定义：如果A 是一个n ×n 常数矩阵，我们定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和： exp A =!0k A k k ∞=∑=E+A+22!A +…+!mA m +… （1.0） 其中E 为n 阶单位矩阵，m A 是A 的m 次幂，这里我们规定0A =E ，0！=1 这个级数对于所有的A 都是收敛的.因次exp A 是一个确定的非负矩阵，特别的，对所有元均为0的零矩阵0，有exp0=E.事实上，由上面范数的性质（1），易知对于一切正整数k ，有!kA k ≤!kA k ，又因对于任一矩阵A ，A 是一个确定的实数，所以数值级数E +A +2A +…+!m A m +… 是收敛的.进一步指出，级数exp A t=!0kk A k k t ∞=∑在t 的任何有限区间上是一致收敛的.事实上，对于一切正整数k ，当t ≤c （c 是某一整数）时，有!kkA k t ≤!k kA k t ≤!k A k k c ，而数值级数()0kA c k ∞=∑是收敛的，因而exp A t=!0kkA k k t ∞=∑是一致收敛的.（2）矩阵指数exp A 的性质：①若矩阵A ，B 是可交换的，即AB=BA ，则 exp A （A+B ）=exp A exp B ；②对于任何矩阵A ，()1exp A -存在，且()1exp A -=exp （-A ）； ③如果T 是非奇异矩阵，则 exp （1T -AT ）=1T -（exp A ）T .3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题 定理1：矩阵Φ（t ）=exp A t （1.1）是★的基解矩阵，且Φ（0）=E.证明：由定义易知Φ（0）=E ，将（1.1）对t 求导，得'Φ（t ）=()'exp At =A+21!A t+322!A t +…+1(1)!kk A k t --+… =A exp A t = A Φ（t ） 这就表明，Φ（t ）是★的解矩阵，又det Φ（0）=det E =1 因此φ（t ）是★的解矩阵. 证毕.注1：由定理1，我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解ϕ（t ）=（exp A t ）C 这里C 打、是一个常数向量.例1：如果A 是一个对角矩阵A=12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O （其中未写出的元均为零） 试找出x '=Ax 的基解矩阵. 解：由（ 1.0）可得 exp A t=E+12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 1!t +221222!2t n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O+12!k k kt k k n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O+…=12n a t a ta t e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 根据定理1，这就是一个基解矩阵.例2：试求x '=2102⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 的基解矩阵. 解：因为A=2102⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2002⎡⎤⎢⎥⎣⎦+0100⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 而且后面的两个矩阵是可交换的，得到 exp A =exp 2002⎡⎤⎢⎥⎣⎦t ⋅exp 0100⎡⎤⎢⎥⎣⎦t=2200tt e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦222!01010000t E t ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪+++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭L 但是20100⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以 级数只要两项，因此 基解矩阵是exp A t= 2101t t e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 二．基解矩阵的计算1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵类似于一阶齐次线性微分方程，希望方程组★有形如()t t e C λϕ=的解，其中λ为待定的参数，C 为待定的n 维非零向量，将之代入方程组，得到 t t e C Ae C λλλ=，即有()0E A C λ-= （1.2）要使齐次线性代数方程组（1.2）有非零解向量，应有 det()0E A λ-= （1.3）称式（1.3）为方程组★的特征方程，称λ为A 的特征值.称非零向量C 为A 的对应于特征值λ的特征向量.于是有如下结论:()t t e C λϕ=为方程组★的充分必要条件是λ为A 的特征值，且C 为对应于λ的特征向量.这样就提供了用代数方法求解的平台.（1） 设A 具有n 个线性无关的特征向量12,,n v v v L ，它们对应的特征向量分别为12,n λλλL （不必各不相同）易知矩阵1212()(,,)n t t t n t e v e v e v λλλΦ=Lt R ∀∈是常系数齐次线性微分方程组★的一个基解矩阵.事实上，由上面讨论知道向量函数i t i e v λ（1≤i ≤n ） 都是方程组★的一个解，因此()t Φ是方程★的解矩阵.计算12det (0)det(,,)0n v v v Φ=≠L 于是()t Φ是方程组★的基解矩阵.注2：当A 是n 个不同的特征值时，就满足上述性质.注3：此处()t Φ不一定是标准基解矩阵exp A t ，但由线性微分方程组的一般理论知：存在一个n 个非奇异矩阵C ，有exp A =()t C Φ⋅ 令t=0，得C=1(0)-Φ 即exp A t=1()(0)t -Φ⋅Φ于是当A 是实矩阵时，则exp A t 为实的，这样上式就给出了一个构造实基解矩阵的方法.例3：利用特征值与特征向量求基解矩阵的方法，求解例1中的一个基解矩阵.解:显然A 是对角矩阵，它有n 个特征值(1)i i a i n λ=≤≤对于每个特征值i λ易知其对应的特征向量为(0,1,0)T i C =L L 即有()0i i E A C λ-=而这些特征向量12,n C C C L 线性无关，由注2，于是方程组有基解矩阵()121212(),,n n a t a ta ta t a t n a t e e t e C e C e C e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L O这与例1 的计算结论一样.例4：试求方程组x Ax '=，其中3553A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 的一个基解矩阵. 解：A 的特征值就是特征方程235det()634053E A λλλλλ---==-+=-的根，解之得1,235i λ=± 对应与特征值135i λ=+的特征向量，计算齐次线性代数方程11255()055u i E A u u i λ-⎡⎤⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 因此1u i α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是对应于1λ的特征向量，类似的，可以求得对应于2λ的特征向量1i v β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 其中,0αβ≠为任意常数，而121,1i v v i ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是对应于12,λλ的两个线性无关的特征向量.根据注2，于是矩阵()()()()()123535123535(),i ti t tti ti te ie t e v e v iee λλ+-+-⎡⎤Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是方程组的一个基解矩阵.再由注3，实基解矩阵为()()()()()()()()13535353513123535353511cos5sin 5exp ()(0)11sin 5cos5i ti t i t i t t i ti t i t i t e ie i e ie i t t At t e i i t t ie e ie e -+-+--+-+-⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=ΦΦ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）设A 有k 个不同的特征值12,k λλλL 它们的重数分别为12,,k n n n L 其中12k n n n n +++=L 那么如何计算exp At ？回忆高等代数理论，对应于j n 重特征值j λ的如下线性代数方程组()0j nj E A u λ-= （1.4）的解全体构成n 维欧几里得空间的一个j n 维子空间()j U i j k ≤≤并且n 维欧几里得空间可表示成12,k U U U L 的直和，由此对于n 维欧几里得空间的每一个向量u ，存在唯一组向量12,k u u u L 其中(1)j j u U j k ∈≤≤使得分解式为 12k u u u u =+++L （1.5）因此，一方面 对于★的初始值0(0)x x =，应用式（1.5）知存在j j v U ∈有012k x v v v =+++L 注意到空间j U 的构造，即知j v 是式（1.4）的解，即有()0j nj j E A v λ-=因而有()0l j j E A v λ-= ,1j l n j k ≥≤≤ （1.6）另一方面，j E λ-为对角矩阵，因此由例1知exp()j j j t tj t e eEt e λλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O故有()j t j e Et E λλ-= 计算(exp )(exp )j j At v At Ev =(exp )exp()j tj j At e Et v λλ=-=(exp())j tj j e A E t v λλ-=(()j tj e E t A E λλ+-+12122!(1)!()())n j j j n t tj j j n A E A E v λλ----++-L所以方程组★满足初始条件()00x x =的解()t ϕ为()()()()012exp exp k t At x At v v v ϕ==+++L =()()1!110exp i i j i n kkttj j j i j j i At v e A E v λλ-===⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑ （1.7） 同时注意到()()()()()()12exp exp exp ,exp ,exp n At At E At e At e At e ==L 其中[][][]121,0,0,0,1,00,0,1TTTn e e e ===L L L L 即在上面初始条件中分别令01020,,n x e x e x e ===L 应用式（1.7）求得n 个解，然后以这n 个解作为列即得exp At .注4：当A 只有一个特征值时，即λ为n 重的，因此n v R ∀∈都有()0E A v λ-=这表明()nE A λ-为零矩阵.则()()exp exp exp exp tAt AtE At e Et λλ⎡⎤==-=⎣⎦()()1!0exp in itt i i e A E t A E λλλ-=-=-∑（1.8）注5：式（1.7）表明方程组的任一解都可以经过有限次代数运算求出.例5：若A 是例2中的矩阵，求初值问题()0,0x Ax x x '==的解和exp At . 解：本题用两种方法计算exp At 和()t ϕ方法一：易知1,22λ=是A 的二重特征值，此时，A 只有一个特征值，根据式（1.8）计算有exp At =()()()1222!12201iitttt i i t e A E e E t A E e =⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦∑和特解()t ϕ=（exp At ）0x .方法二：1,22λ=是A 的二重特征值，这时212,n R =只有一个子空间1U ，0x =12xx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦%%不需要分解，根据式（1.7）有()t ϕ=()1222022ttx tx e E t A E x e x +⎡⎤+-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦%%.分别取010210,01x e x e ⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦代入上式中的()t ϕ中，则()()22121,01t t t t e t e ϕϕ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以()()()2121exp ,01tt At t t e ϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦和特解()t ϕ=()0exp At x . 例6：考虑方程组x Ax '=，其中311201112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦试求满足初始条件()[]01230Tx x x x x ==%%%的解，并求exp At .解：A 的特征方程为()()()2311det 21120112E A λλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦121,2λλ==分别为121,2n n ==重特征根，为了确定3R 的子空间12,U U 由式（1.4） 首先考虑齐次线性代数方程组()1232112110111u A E u u u λ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解得[]1011Tu α=，其中α为任意常数. 因此1U 是由1u 构成的一维子空间，其次考虑齐次线性方程组()122300021100110u A E u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解得2101001u βγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中,βγ为任意常数.因此2U 是由2u 构成的二维子空间.下面对初值()00x x =进行分解，有012x u u =+ 即123010110101x x x αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦%%%于是112121213210,x v x x v x x x xx x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦%%%%%%%%% 根据式（ 1.7） 有()()2122t t t e Ev e E t A E v ϕ=++-⎡⎤⎣⎦=()()13212211321213210t t x t x x x e x x e x t x x x x x x x x +-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-++-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦%%%%%%%%%%%%%%%最后为了得到exp At ，依次分别令0001000,1,0001x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦代入上式得到3个线性无关解()()()123,,t t t ϕϕϕ于是()()()()()2222221232221exp 1t t t t tt t t t t t tt t e te te At t t t e t ee te te e e e e e ϕϕϕ⎡⎤+-⎢⎥==-++-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦2：“哈密顿-凯莱”法：设A 是方程组★的n n ⨯实系数矩阵，()p λ是A 的特征多项式，()()111det n n n n p A E a a a λλλλλ--=-=++++L特征方程为A 的()111n n n n p a a a λλλλ--=++++L =0 （1.9） 方程（1.9）的根12,n λλλL 是矩阵A 的特征多项式，且有()()()()11n n p λλλλλλλ-=---L哈密顿-凯莱定理：设()p λ是矩阵A 的特征多项式，则()1110n n n n p A A a A a A a E --=++++=L 亦即()()()()110n n p A A E A E A E λλλ-=---=L定理：设12,n λλλL 是矩阵 A 的n 个特征值（它们不一定不相等）则()()110exp n i i i At r t p -+==∑ （2.0）其中()()()011,i i i p E p A E A E A E λλλ-==---L ()1,2,i n =L并有()()()12,n r t r t r t L 是初值问题()()1111101,00j j j j j r r r r r r r λλ-⎧'=⎪⎪'=+⎨⎪==⎪⎩()2,3j n =L（2.1）的解.推论：若A 只有一个特征值λ，则()1!0exp exp in it i i At t A E λλ-==-∑上述定理将计算exp At 的问题转化为求方程组（2.1）满足初始条件的解的问题，由于方程组（2.1）是一个特殊的一阶常系数齐次线性方程组，容易直接求解.因而由公式（2.0）就可以直接求出方程组★的基解矩阵exp At .例7：求常系数齐次线性方程组x Ax '=，其中233453442A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的解. 解：A的特征方程为()()()()233det 453122442A E λλλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=-++-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=0 解得特征值为1231,2,2λλλ=-=-=求解初值问题：()()()112123231232201,00,00r r r r r r r r r r r ⎧'=-⎪⎪'=-⎪⎨'⎪=+⎪===⎪⎩ 得()()()2221111233412,,t t t t tr t e r t e e t r t e ee -----==-=-++ 又因()()11212333121212443,121212443121212p A E p A E A E λλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 则由公式：得()2222222221022222exp tt t t t t tt t tt t i i i t t t tt e e e e e At r t p e e e e e e e e e e e e -----+=--⎡⎤--+⎢⎥==-++--+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦∑. 3:算子构造法：其构造步骤是：① 利用已引入的微分算子dD dx=写出★的微分算子表示; ② 用算子法求解★的微分算子表示的方程组得其通解：()()()()11221212,,,,,n n n n y x c c c y x c c c y x y x c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M L ； ③ 依次令12100010,,001n c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦LM M M M 代入上述通解，则得★得n 个线性无关的特解()()()12,,n y x y x y x %%%L ；④ 以()()()12,,n y x y x y x %%%L 为列作成的矩阵()()()()12n Y x yx y x y x =⎡⎤⎣⎦%%%L就是★的基解矩阵，且★夫人矩阵指数函数形式的基解矩阵为：()()10Ax e Y x Y -=.例8：试求方程组1211,13y y y y y -⎡⎤⎡⎤'==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （2.2） 的基解矩阵，并求11.13Ax e A ⎛-⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 解：①（2.2）的算子表示就是()()12121030D y y y D y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ （2.3）②求解（2.3）111013D y D -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦ 即()2120D y -= （2.4） 于是（2.4）的通解为()2112x y C C x e =+ 12,C C 为任意常数 （2.5） （2.5）代入（2.3）的第一个方程得()()2221111221x x y D y Dy y C C x e C xe =--=-+=-+- 故（ 2.3）的通解为()()2112222122x x xy C C x e y C C e C xe⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩ 12(,C C 为任意常数） ③依次令1210,01C C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得（ 2.3）的两个线性无关解()()()221222,1x x x x xe e y x y x x e e ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦%%；④ 以12,y y %%作列而成的矩阵：()[]()()2221221111xxx x x e xe Y x y y e x e x e ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+--+⎣⎦⎣⎦%% 就是（2.2）的一个基解矩阵.⑤求（2.2）的基解矩阵Ax e 因()10011Y ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，故()110011Y -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦于是Axe =()22110111111xx x x x e x x x e --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 结束语：关于基解矩阵exp At 的计算，还可以利用矩阵的约当标准型等有关线性代数知识进行计算，在此不作详述.参考文献：[]1王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松 常微分方程 高等教育出版社；[]2西南师范大学数学与财经学院 常微分方程 西南师范大学出版社；[]3肖箭，盛立人，宋国强 常微分方程简明教程 科学出版社； []4王翊，陶怡 常系数齐次线性微分方程组的解法 牡丹江大学学报.。

二元一阶常系数线性微分方程组的本质解法赵临龙【摘要】By employing the eigenvector K=(k1,k2) which satisfies the equations K(A-λE)=0 of the characteristic equations |A-λE[=0,the bivariate first order linear differential equations with constant coefficients would be transformed into the bivariate linear algebraic equations,which is(K2x2)'=λ(K2x2)+(K2f),(K1x1)'=λ(K1x1)+K1x2+K1f.Then combining the theories of the linear algebraic equations and the first order linear differential equations,the solutions of the original differential equations are given.%对于二元一阶常系数线性微分方程组:x'=Ax+f(t),引入特征根方程|A-λE|=0的特征行向量K=(K1,k2)(其中K满足:K(A-λE)=0)概念,将二元一阶常系数线性微分方程组,化为二元一次代数线性方程形式:(K2x2)'=λ(K2x2)+(K2f),(K1x1)'=λ(K1x1)+K1x2+K1f,从中给出原微分方程组的解.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2018(036)001【总页数】5页(P6-10)【关键词】常系数线性微分方程组;代数线性方程;特征根【作者】赵临龙【作者单位】安康学院数学与统计学院,陕西安康 725000【正文语种】中文【中图分类】O175.14对于二元一阶线性微分方程组：一般都是用基解矩阵先求出方程组（1）对应的齐次方程组的解，再利用常系数变异法求出方程组（1）的解，这些方法都比较烦琐［1-15］.文献［16-17］讨论了二元一阶线性齐次微分方程组的特殊形式的解法，文献［18］对于n元一阶线性齐次微分方程组的解法进行研究，得到相关结论.文献［19］对于二元一阶线性非齐次微分方程组的解法进行研究，给出相应结论.不过这些结论，对于特征方程的根为重根时，方程组解法其技巧性太强，而且无法将结论推广到n元一阶线性非齐次微分方程组的解法中.本文将二元一阶线性非齐次微分方程组解法的本质进行深入讨论，揭示其内在本质.1 方程组（1）的解构造定义1［19］对于常系数线性方程组（1），设V=(k1,k2)T，其中k1，k2是不全为零的常数，使得则称方程为方程（1）的特征方程，而将满足K(A-λE)=0的K=(k1,k2)称为特征根λ所对应的特征“行向量”.定义2［18］设n阶矩阵A的特征根λ的重数为m，则方程组（1）对于常数列向量u1的m-1个广义列向量ui(i=1,2,…,m)满足定理1［19］如果常系数线性齐次方程组（1）的特征方程有两个互异的特征根λ1,λ2，而λ1,λ2对应的两组线性无关的特征行向量分别为Ki=(ki1,ki2)(i=1,2)，则（1）化为代数线性方程组定理2如果常系数线性齐次方程组（1）的特征方程是2重特征根λ，而对应的线性无关的特征行向量为Ki=(ki1,ki2)(i=1,2)满足K(A-λE)=0，则（1）化为代数线性方程组证明若方程组（1）的特征方程||A-λE=0特征根为λ，对应的线性无关的特征行向量Ki=(ki1,ki2)(i=1,2)满足则由定理1得到一阶线性方程此时，若方程组（1）的特征方程是2重特征根λ，由定义2得到方程对于方程组（1）的齐次形式x′=Ax，在（3.2）中，其线性无关的解x1=u1eλt、x2=u2eλt满足方程1° 对于(A-λE)x2=0，由定理1将方程组（1）化为一阶线性方程形式其中，特征根λ对应特征行向量为K2满足：K2(A-λE)=0.2° 对于(A-λE)x1=x2，则其中，x2为满足（9）的解.结合（3.1）和（3.2），得到对于特征根λ，取对应线性无关的特征行向量为K1，有：于是，有方程此时，由（10）得到其中，x2为满足（9）的解.即方程组（1）化为以下形式证得定理2.2 方程组（1）解理论的应用例1［20］解方程组解由特征方程det(A-λE)=(λ+4)2=0，得特征根为λ1=λ2=-4.对于λ1=λ2=-4所对应的特征行向量K1=(k11,k12)满足求得K1=(1,1)，有方程：对于λ1=λ2=-4所对应的特征行向量K2=(k21,k22)满足求得K2=(0,1)，有方程：于是，得到方程组的解：例2［19］解方程组解由特征方程det(A-λE)=(λ-1)2=0，得特征根为λ1=λ2=1.对于λ1=λ2=1所对应的特征行向量K1=(k11,k12)满足求得K1=(1,-1)，有方程：对于λ1=λ2=1所对应的特征行向量K2=(k21,k22)满足求得K2=(0,1)，有方程：于是，得到方程组的解：3 理论的推广结论1如果常系数线性非齐次方程组的特征方程有n个互异的特征根λ1,λ2,…,λn，而λ1,λ2,…,λn对应的线性无关的特征行向量分别为K1,K2,…,Kn，则方程组（17）化为方程组其中特征根λi的固定值为λj，其对应特征行向量为Ki(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n).结论2如果常系数线性非齐次方程组（17）的特征方程有不同的特征根λ1,λ2,…,λm，其重数分别为n1,n2,…,nm，n1+n2+…+nm=n，而λ1,λ2,…,λm 对应的线性无关的特征行向量分别为K1,K2,…,Km，则（17）化为方程组其中特征根λi的固定值为λj，其对应特征行向量为Ki(i=2,3,…,m;j=1,2,…,m).【相关文献】［1］丁崇文.常微分方程习题与解答［M］.厦门：厦门大学出版社，1998.［2］丁崇文.常微分方程习题与解答［M］.2版.厦门：厦门大学出版社，2005.［3］王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2006.［4］窦霁虹.常微分方程导教·导学·导考［M］.2版.西安：西北工业大学出版社，2007.［5］朱思铭.常微分方程学习辅导与习题解答［M］.北京：高等教育出版社，2009.［6］丁同仁.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2010.［7］韩茂安.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2011.［8］杜正东，徐冰，何志蓉.常微分方程学习指导［M］.北京：科学出版社，2011.［9］袁荣.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2012.［10］蔡燧林.常微分方程［M］.3版.杭州：浙江大学出版社，2013.［11］马德高.常微分方程辅导及习题精解（王高雄·3版）［M］.延吉：延边大学出版社，2013. ［12］郭玉翠.常微分方程习题解答与学习指导［M］.北京：清华大学出版社，2013.［13］李必文，赵临龙，张明波.常微分方程［M］.武汉：华中师范大学出版社，2014.［14］张伟年，杜正东，徐冰.常微分方程［M］.2版.北京：高等教育出版社，2014.［15］张祥.常微分方程［M］.北京：科学出版社，2015.［16］赵临龙.二元一阶常系数线性微分方程组初等解法的讨论［J］.河南科学，2013，31（12）：1685-1690.［17］赵临龙.一阶常系数线性微分方程组“对称型”的初等解法再讨论［J］.重庆三峡学院学报，2013（3）：8-11，32.［18］赵临龙.常系数线性方程组的一种新解法［J］.数学的实践与认识，2014（14）：302-308. ［19］赵临龙.二元一阶常系数线性微分方程组的新解法［J］.河南科学，2017，35（5）：673-677.［20］孙清华.常微分方程内容、方法、技巧［M］.武汉：华中科技大学出版社，2006.。