厦门市2013-2014学年高二数学必修5期中质量检测B

3.3 第3课时 含参数的一元二次不等式问题基础巩固一、选择题1．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4＜a ＜4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4[答案] A[解析] 欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4.2．已知不等式①x 2－4x ＋3＜0；②x 2－6x ＋8＜0；③2x 2－9x ＋m ＜0，若同时满足①②的x 也满足③，则有( )A ．m ＞9B ．m ＝9C ．m ≤9D ．0＜m ＜9[答案] C[解析] ①的解集是{x |1＜x ＜3}； ②的解集是{x |2＜x ＜4}，∴同时满足①②的x 取值集合是{x |2＜x ＜3}， 即当2＜x ＜3时，2x 2－9x ＋m ＜0. 令f (x )＝2x 2－9x ＋m∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0.∴m ≤9. 3．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( )A ．m ＜－2或m ＞2B ．－2＜m ＜2C ．m ≠±2D ．1＜m ＜3[答案] A[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， ∴Δ＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.4．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0解集为{x |13＜x ＜12}，则a 、c 的值为( )A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6[答案] B[解析] 由已知得13和12是方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧13＋12＝－5a13×12＝c a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6c ＝－1. 5．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( ) A ．x ＞5a 或x ＜－a B ．x ＞－a 或x ＜5a C ．5a ＜x ＜－a D ．－a ＜x ＜5a[答案] B[解析] 化为：(x ＋a )(x －5a )＞0，相应方程的两根x 1＝－a ，x 2＝5a∵a ＜0，∴x 1＞x 2.∴不等式解为x ＜5a 或x ＞－a .6．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) [答案] A[解析] 由ax －b ＞0的解集为(1，＋∞)得⎩⎨⎧a ＞0b a ＝1，∴ax ＋b x －2＞0⇔x ＋1x －2＞0⇔x ＜－1或x ＞2.二、填空题7．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是{x |x ＜－2，或x ＞－12}，则不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为________．[答案] {x |12＜x ＜2}[解析] 由条件知，－2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a ＜0.∴－2－12＝－ba ，(－2)×(－12)＝c a ，∴b ＝52a ，c ＝a .从而不等式ax 2－bx ＋c ＞0化为a (x 2－52x ＋1)＞0.∵a ＜0，∴2x 2－5x ＋2＜0. 即(x －2)(2x －1)＜0，解得12＜x ＜2.∴不等式的解集为{x |12＜x ＜2}．8．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．[答案] (5,7)[解析] 不等式|3x －b |<4⇔－4<3x －b <4⇔b －43<x <b ＋43，若不等式的整数解只有1,2,3，则b 应满足0≤b －43<1且3<b ＋43≤4，即4≤b <7且5<b ≤8，∴5<b <7. 三、解答题9．m 为何值时，关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋(m －7)＝0的两根：(1)为正数；(2)一根大于2，一根小于2. [解析] 设方程两根为x 1，x 2则 (1)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＞0，x 1x 2＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧[－(m －1)]2－4×8×(m －7)＞0，－－(m －1)8＞0，m －78＞0.解得7＜m ≤9或m ≥25.(2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0(x 1－2)(x 2－2)＜0或令f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋(m －7) 则f (2)＜0，∴m ＞27.10．解关于x 的不等式：56x 2－ax －a 2>0 [解析] 56x 2－ax －a 2＞0可化为 (7x －a )(8x ＋a )＞0①当a ＞0时，－a 8＜a 7，∴x ＞a 7或x ＜－a8；②当a ＜0时，－a 8＞a 7，∴x ＞－a 8或x ＜a7；③当a ＝0时，x ≠0.综上所述，当a >0时，原不等式的解集为{x |x >a 7或x <－a8}，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}， 当a <0时，原不等式的解集为{x |x >－a 8或x <a7}．能力提升一、选择题1．(2011·东营高二检测)已知关于x 的不等式x 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－1或x >2}，则b 2＋c 2＝( )A ．5B ．4C ．1D ．2 [答案] A[解析] 由x 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－1或x >2}，可知－1,2为x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－b－1×2＝c∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1c ＝－2.∴b 2＋c 2＝5. 2．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2,0)C ．(－2,1)D ．(0,1)[答案] D[解析] 解法一：验证排除法：当m ＝0时，原方程可化为x 2－x －2＝0，∴方程两根为2和－1，不合题意，排除A 、C ；当m ＝－1时，原方程可化为x 2－2x －1＝0，∴方程的两根为1＋2或1－2，不合题意，排除B ，故选D.解法二：令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＜0f (－1)＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＜0m 2－m ＜0，∴0＜m ＜1. 二、填空题3．若关于x 的不等式(a －x )(b －x )＞0的解集为{x |x ＜a 或x ＞b }，则实数a ，b 的大小关系是________．[答案] a ＜b4．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>02x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，则实数k 的取值范围是________．[答案] [－3,2)[解析] 由x 2－x －2>0得x <－1或x >2. 由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0得(x ＋k )(2x ＋5)<0， 由题设－2为其解，∴k <2. ∵其解集中只有一个整数－2，∴由(x ＋k )(2x ＋5)<0，得－52<x <－k 且－2<－k ≤3，∴－3≤k <2.三、解答题5．已知不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a 、b 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋bn <(an ＋b )x .[解析] (1)由题意，得1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两实根且b >1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＋2＝0ab 2－3b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2. (2)不等式ax 2＋bn <(an ＋b )x 可化为x 2＋2n <(n ＋2)x ， ∴x 2－(2＋n )x ＋2n <0，即(x －2)(x －n )<0.当n >2时，2<x <n ，当n ＝2时，x ∈∅，当n <2时， n <x <2.综上所述，当n >2时，原不等式的解集为{x |2<x <n }，当n ＝2时，原不等式的解集为∅，当n <2时，原不等式的解集为{x |n <x <2}．6．m 为何值时，关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋(1－3m )＝0.(1)有两个异号实根；(2)有两个实根，且它们之和为非负数． [解析] (1)若有两个异号实根，则此问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≠0x 1·x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≠01－3mm ＋1＜0⇔⎩⎨⎧m ≠－1m ＜－1或m ＞13.∴m ＜－1或m ＞13.(2)方程有两个实根，且它们的和为非负数，等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≠0Δ≥0x 1＋x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－14(2m ＋1)2－4(m ＋1)(1－3m )≥0－2(2m ＋1)m ＋1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1m ≤－67或m ≥0－1＜m ≤－12.解得－1＜m ≤－67.7．解关于x 的不等式mx 2mx －1－x >0.[解析] 原不等式可化为xmx －1>0，即x (mx －1)>0.当m >0时，解得x <0或x >1m ； 当m <0时，解得1m <x <0； 当m ＝0时，解得x <0.综上，当m >0时，不等式的解集为{x |x <0或x >1m }； 当m <0时，不等式的解集为{x |1m <x <0}；当m＝0时，不等式的解集为{x|x<0}.。

2014—2015学年度第一学期期中考试高二文科数学试题（A ）（必修五）一、选择题（每题5分，共10小题）1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） A ．a+c ＞b+dB ．a-c ＞b-dC ．ac ＞bdD ．a d ＞b c211两数的等比中项是（ ） A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）A ．103B ．11088C ．11038D ．1085．若△ABC 的周长等于20，面积是BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） A ．1516B ．158C ．34 D ．387．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cosA ＞sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） A ．13B ．26C ．52D ．1569．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n-B ．211n+C ．211(1)n ++ D ．211(1)n -+ 10．已知不等式（x + y ）（1x + ay）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共5小题） 11．数列{a n }的通项公式a n =1n n ++,则103-是此数列的第 项．12． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．13． 已知点（x,y ）满足x 0y 0x y 1≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则u=y-x 的取值范围是_______．14．如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC 的长为______． 15．在△ABC 中，给出下列结论：①若a 2>b 2+c 2,则△ABC 为钝角三角形; ②若a 2=b 2+c 2+bc,则角A 为60°; ③若a 2+b 2>c 2,则△ABC 为锐角三角形； ④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3． 其中正确结论的序号为 ． 三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）已知不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}． （1）求a,b ．（2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n-2n．（1）求a3，a4; （2）证明：{a n+1-2a n}是等比数列；（3）求{a n}的通项公式．19．（12分）设函数()cosfθθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为12⎛⎝⎭，求f（θ）的值;（2）若点P（x,y）为平面区域Ω:1,1,1x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．20．（13分）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的 利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ （2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值； （2）设122111n n n nT S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ．参考答案1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） （A ）a+c ＞b+d （B ）a-c ＞b-d （C ）ac ＞bd （D ）a d ＞b c1．【解析】选A ．由不等式的可加性可知a+c ＞b+d, 而当a=2,b=1,c=-2,d=-3时，B 不一定成立， C ，D 中a 、b 、c 、d 符号不定，不一定成立． 2．11两数的等比中项是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是2．【解析】设等比中项为x ，则x 2=1）1）=4．所以x=±2．故应选C ．答案:C3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） （A ）90° （B ）120° （C ）135° （D ）150°3．【解析】选B ．设三边长为5x,7x,8x ，最大的角为C ，最小的角为A ．由余弦定理得：()()()2225x 8x 7x 1cosB ,25x 8x2+-==⨯⨯所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°．4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）（A ）103 （B ）11088 （C ）11038（D ）108 4．【解析】选D ．根据题意结合二次函数的性质可得：22n 229a 2n 29n 32(n n)322929292(n )3.48=-++=--+⨯=--++∴n=7时，a n =108为最大值．5．若△ABC 的周长等于20，面积是103,A=60°,则BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．解析：由1sin 2ABC S bc A ∆=得1103sin 602bc =︒，则bc=40．又a+b+c=20,所以b+c=20-a ．由余弦定理得()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-, 所以()2220120a a =--,解得a=7．答案：C6．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） （A ）1516 （B ）158 （C ）34 （D ）386．【解析】选C ．当n=2时，a 2·a 1=a 1+（-1）2，∴a 2=2； 当n=3时，a 3a 2=a 2+（-1）3，∴a 3=12； 当n=4时，a 4a 3=a 3+（-1）4，∴a 4=3；当n=5时，()5354455a 23a a a 1a .3a 4=+-∴=∴=，， 7．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 7．解析：cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>，选C ．答案：C8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） （A ）13 （B ）26 （C ）52 （D ）1568．【解析】选B ．∵2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=6a 4+6a 10=24,∴a 4+a 10=4．()()1134101313a a 13a a S 26.22++∴===9．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n -B ． 211n +C ． 211(1)n ++D ． 211(1)n -+9．解析：因为22222111,(1)(1)n n a n n n n +==-++所以数列的前n项和2222222221111111111.1223(1)1(1)(1)n S n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=-+++ 答案：D10．已知不等式（x + y ）（1x + ay ）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．解析：不等式（x +y ）（1ax y+）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1y axa x y+++≥1a +≥24（舍去），所以正实数a 的最小值为4，选B ． 答案：B11．数列{a n }的通项公式a n是此数列的第 项．解析：因为a n ，所以n=9． 答案:91 4，则sin B＝________12．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝．12．15 4[解析] 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋4－2×1×2×14＝4，解得c＝2，所以b＝c，B＝C，所以sin B＝sin C＝1－cos2C＝154．13．已知点（x,y）满足x0y0x+y1≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,则u=y-x的取值范围是_______．13．【解析】作出可行域如图,作出y-x=0,由A（1,0）,B （0,1）,故过B时u最大，u max=1,过A点时u最小，u min=-1．答案：[-1,1]14．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为______．14．【解析】在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6（舍去）．由正弦定理得BC BDsin CDB sin BCD ∠∠＝,∴BC＝16sin135︒·sin30°＝．答案：15．在△ABC中，给出下列结论：①若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;②若a2=b2+c2+bc,则角A为60°;③若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3．其中正确结论的序号为．解析：在①中，cos A=2222b c abc+-<0,所以A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故①正确;在②中，b2+c2-a2=-bc,所以cos A=2222b c abc+-=-2bcbc=-12,所以A=120°,故②不正确；在③中，cos C=2222a b cab+->0,故C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故③不正确;在④中A∶B∶C=1∶2∶3，故A=30°,B=60°,C=90°,所以确．答案:①16．已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．（1）求a,b．（2）解不等式ax2-（ac+b）x+bc<0．【解】（1）因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系得31,21,b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ （2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0,即x 2-（2+c ）x+2c<0,即（x-2）（x-c ）<0,所以①当c>2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为∅．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．17．解：（1）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3． （2）由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a ． 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac ，将c ＝2a 代入得， a ＝3，c ＝23．18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n =2a n -2n．（1）求a 3,a 4;（2）证明：{a n+1-2a n }是等比数列；（3）求{a n }的通项公式．（1）解:因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2,所以a 1=2,S 1=2,由2a n =S n +2n 知：2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,得a n+1=S n+2n+1, ①所以a 2=S 1+22=2+22=6，S 2=8，a 3=S 2+23=8+23=16,S 3=24,a 4=S 3+24=40．（2）证明:由题设和①式得：a n+1-2a n =（S n +2n+1）-（S n +2n ）=2n+1-2n =2n ,所以{a n+1-2a n }是首项为a 2-2a 1=2,公比为2的等比数列．（3）解:a n =（a n -2a n-1）+2（a n-1-2a n-2）+…+2n-2（a 2-2a 1）+2n-1a 1=（n+1）·2n-1．19． （12分）设函数()3sin cos f θθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0≤θ≤π．（1）若点P 的坐标为13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求f （θ）的值;（2）若点P （x,y ）为平面区域Ω: 1,1,1x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f （θ）的最小值和最大值．解：（1）由点P 的坐标和三角函数的定义可得3sin ,21cos ,2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以31()3sin cos 3 2.2f θθθ=+=⨯+= （2）作出平面区域（即三角形区域ABC ）如图，其中A （1,0）,B （1,1）,C （0,1），则0≤θ≤2π．又()cos 2sin .6f πθθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭． 故当62ππθ+=,即3πθ=时, max ()2f θ=; 当66ππθ+=,即θ=0时, min ()1f θ=．20．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0．1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？20． 【解析】（1）每套丛书定价为100元时，销售量为15-0．1×100=5（万套），此时每套供货价格为30+105=32（元），故书商所获得的总利润为5×（100-32） =340（万元）． （2）每套丛书售价定为x 元时，由150.1x 0x 0-⎧⎨⎩＞＞，得0＜x ＜150． 依题意，单套丛书利润 P=x-（30+10150.1x -）=x-100150x--30, ∴P=-[（150-x ）+100150x -]+120, ∵0＜x ＜150,∴150-x ＞0,由（150-x ）+100150x-≥)150x -=2×10=20, 当且仅当150-x ＝100150x-，即x=140时等号成立，此时P max =-20+120=100．答：（1）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润取得最大值100元．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值；（Ⅱ）设122111n n n n T S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）{}n b 为等差数列，设公差为155,1,15,51015,1d b S S d d ==∴=+== 1(1)1.n b n n ∴=+-⨯= …………………………………………………………………………2分 设从第3行起，每行的公比都是q ，且0q >，2294,416,2,a b q q q ===……………………4分 1+2+3+…+9=45，故50a 是数阵中第10行第5个数，而445010102160.a b q ==⨯=……………………………………………………………………7分 （Ⅱ）12n S =++…(1),2n n n ++=…………………………………………………………8分 1211n n n T S S ++∴=++…21n S + 22(1)(2)(2)(3)n n n n =++++++…22(21)n n ++ 11112(1223n n n n =-+-+++++…11)221n n +-+ 1122().121(1)(21)n n n n n =-=++++友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。

研一研·问题探究、课堂更高效
①方程－x2＋4x－3＝0的解集是 ②不等式－x2＋4x－3>0的解集是 ③不等式－x2＋4x－3<0的解集是
本 课 时 栏 目 开 关
§3.3（一）
问题2 作出函数y＝－x2＋4x－3的图象,根据图象完成下列问题： ； ； ．
答案 y＝－x2＋4x－3的图象．
①{1,3}；
集之间的联系，请补充完整. Δ>0 Δ＝0 Δ<0
本 课 时 栏 目 开 关
4ac 二次函数y＝ ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
有两不等实数 一元二次方程
根x1,2＝ ax2＋bx＋c＝ －b± b2－4ac 数根x1＝x2 b 2a ＝－ 0(a>0)的根 2a (x1<x2)
有两相等实 没有实 数根
或者小于小根 ____________的实数的集合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就 大于小根，且小于大根 是______________________的实数的集合．
一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．
研一研·问题探究、课堂更高效
典型例题 例1 求下列不等式的解集： (1)2x2－3x－2≥0； (2)－3x2＋6x>2.
作出函数y＝x2－x－6的图象，根据图象完成下列问题：
①方程x2－x－6＝0的解集是 ②不等式x2－x－6>0的解集是 ③不等式x2－x－6<0的解集是
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.3（一）
答案
函数y＝x2－x－6的图象．
本 课 时 栏 目 开 关
①{－2,3}；
②{x|x<－2或x>3}；
③{x|－2<x<3}．

南安一中2013~2014学年度下学期期中考高二数学（理科）科试卷本试卷考试内容为：必修3，选修2-3，选修4—2（考到第三讲逆矩阵）．分第I卷（选择题）和第II卷，共4页，满分１５０分,考试时间１２０分钟．第I卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在对吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（)A．若由随机变量求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，那么有5％的可能性使得推断错误B．若由随机变量求出有95％的把握说吸烟与患肺病有关，那么说明吸烟与患肺病相关程度为95％C．若由随机变量求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关,则若某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病D．若由随机变量求出有99％的把握说吸烟与患肺病有关,则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病2．从12个产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个．给出下列四个事件：①3个都是正品；②至少有1个是次品；③3个都是次品；④至少有1个是正品，其中为随机事件的是（) A．①②B．①③C．②③D．②④3．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型,它们的相关指数2R如下,其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的2R为0．55 B．模型2的2R为0．65C．模型3的2R为0．79 D．模型4的2R为0．95 4．“单独二胎”政策的落实是我国完善计划生育基本国策的一项重要措施,事先需要做大量的调研论证．现为了解我市市民对该项措施是否认同,拟从全体市民中抽取部分样本进行调查．调查结果如下表：则根据上表我们可以推断市民认同该项措施的概率最有可能为( ）A．0．80 B．0．85 C．0．90 D．0．92 5．设随机变量ξ服从正态分布2Nσ，，若(1)0.2(0)-<<=PξPξ<-=,则(11)（）A ．0．2B ．0．3C ．0．4D ． 0．6 6．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则135a a a ++=（ ）Ａ．16- Ｂ．0 Ｃ．16 Ｄ．327．4名男生和2 名女生站成一排,则这2名女生不相邻的排法种数（ ) A ．600 B ． 480C ． 360D ． 1208．执行如图所示的程序框图所表达的算法，输出的结果为（ )Ａ． 2 Ｂ．1 Ｃ． 12Ｄ．1-9．一袋中装有6个白球,3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现9次停止．设停止时,取球次数为随机变量X ,则(11)P X =的值为（ ）A ．839111233C ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．828101233C ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．928101233C ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．831233⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10．方程22ay b xc =+中的{},,2,1,0,1,2,3,4a b c ∈--,且,,a b c 互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） Ａ．150条 Ｂ．118条 Ｃ．100条Ｄ．62条第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题4分,满分20分．)11．在(1)nx +的展开式中，若第三项和第六项的系数相等，则n = ．12．已知具有线性相关的两个变量x,y 之间的一组数据如下：且回归方程是123ˆy .x a =+，则a =13．采用系统抽样法，从152人中抽取一个容量为15人的样本,则每人被抽取的可能性为(请用分数作答）14．将标号分别为1、2、3、4、5五个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里只放1个小球．则1号球不在红盒内且2号球不在黄盒内的概率是 ． 15．已知实数,a b 满足11a -≤≤,01b ≤≤，则函数()32f x x ax bx =-+无．极值的概率是 ．三、解答题（本部分共计6小题，满分80分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．) 16．（本小题满分13分）已知矩阵1201,2312A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦．（I ）求1A -以及满足AXB =的矩阵X ． （II)求曲线C ：2241xxy y -+=在矩阵B 所对应的线性变换作用下得到的曲线C '的方程．17．（本小题满分13分)在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查． 调查结果：接受调查总人数110人，其中男、女各55人;受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视,男性有35人比较喜欢运动．(Ⅰ）请根据题目所提供的调查结果填写下列22⨯列联表；(Ⅱ)已知2( 3.841)0.05P K≥=．能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“性别与休闲方式有关系” ?(注：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（其中d c b a n +++=为样本容量)）18．（本小题满分13分）一个盒中有8件产品中，其中2件不合格品．从这8件产品中抽取2件,试求 ：（Ⅰ）若采用无放回．．．抽取，求取到的不合格品数X 的分布列；（Ⅱ）若采用有放回．．．抽取，求至少取到1件不合格品的概率．19．（本小题满分13分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，下列茎叶图的数据是他们在培训期间五次预赛的成绩．已知甲、乙两位学生的平均分相同．(注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦）（Ⅰ）求x 以及甲、乙成绩的方差;(Ⅱ）现由于只有一个参赛名额，请你用统计或概率的知识，分别指出派甲参赛、派乙参赛都可以的理由．20．（本小题满分14分）一个社会调查机构为了解某社区居民的月收入情况，从该社区成人居民中抽取10000人进行调查，根据所得信息制作了如图所示的样本频率分布直方图． (Ⅰ)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,试求其中月收入在［2000，2500)（2000元至2500元之间）的人数;（Ⅱ）为了估计从该社区任意抽取的3个居民中恰有2人月收入在[2000，3000）的概率P ,特设计如下随机模拟的方法:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0,1，2，3,…9的前若干个．．．．数字表示月收入在[2000,3000）的居民，剩余的数字表示月收入不在［2000，3000）的居民；再以每三个随机数为一组,代表收入的情况． 假设用上述随机模拟方法已产生了表中的20组随机数，请根据这批0.00060.00050.00040.00030.0002450040003500300025002000O月收入/元频率/组距15000.0001随机数估计概率P 的值．907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989（Ⅲ)任意抽取该社区的5位居民，用ξ表示月收入在［2000，3000)（元）的人数，求ξ的数学期望与方差．21．（本小题满分14分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本．经统计,得到下列关于产品重量的样本频数分布表：已知产品的重量合格标准为：重量值（单位：克）落在(495,510]内的产品为合格品;否则为不合格品．（Ⅰ） 从甲流水线样本．．的合格品中任意取2件，求重量值落在(505,510]的产品件数X 的分布列；（Ⅱ)从乙流水线．．．中任取2件产品，试根据样本估计总体的思想,求其中合格品的件数Y 的数学期望；（Ⅲ）从甲、乙流水线中各取2件产品，用ξ表示“甲流水线合格品数与乙流水线合格品数的差的绝对值”，并用A 表示事件“关于x 的一元二次方程2220x x ξξ++=没有实数解”． 试根据样本估计总体的思想，求事件A 的概率．南安一中2013～2014学年度下学期期中考高二数学（理科)参考答案一、选择题1．A 2．A 3．D 4．C 5．D 6．D 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题11： 7； 12： 0．08; 13:15152； 14:0．65(或1320）； 15:89三、解答题 16．解：(I)13210,21A A ---⎡⎤=≠=⎢⎥⎣⎦故,………4分1320121211210X A B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦．………7分（II ）矩阵B 所对应的线性变换为'2''2x y x x y y x y y x '==+⎧⎧∴⎨⎨'=-=⎩⎩，，………9分 代入2241xxy y -+=得：2231x y ''-+=………12分即所求曲线C '的方程为：22310xy -+= ………13分17．解:（Ⅰ)根据题目所提供的调查结果，可得下列22⨯列联表：…………6分(Ⅱ）根据列联表中的数据，可计算2K 的观测值k ：()21103035202536750605555k .⨯-⨯=≈⨯⨯⨯, …………10分∵03.67 3.841k k=<=，所以不能在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．…………13分18．解:（Ⅰ）取到的不合格品数X 的可能取值为0，1，2…………2分()02262815028C C P X ==C ⋅=； ()1126281231287C C P X ==C ⋅==； ()2026281228C C P X ==C ⋅=； 所以取到的不合格品数X 的分布列为：…………7分（Ⅱ）设事件A 为“至少取到1件不合格品”，则对立事件A 为“没有不合格品”，即“2件都是正品",()6698816P A ⨯==⨯， (9)分()()97111616P A P A ∴=-=-= 答：至少取到1件次品的概率716…………13分19．解:（I ）因为()17981818287825a =++++=甲，…………1分所以()17080838587825ax =+++++=⎡⎤⎣⎦乙, 所以5x =．…………………2分 甲成绩的方差:()()()()()2222221798281828182828287825s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦甲，7.2= (4)分 乙成绩的方差:()()()()()2222221758280828382858287825s⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦乙，17.6= (6)分(II ）（1）选派甲参赛的理由： 甲乙平均分相同;又甲的方差为27.2s =甲，乙的方差为217.6s =乙,甲乙平均分相同，但甲的成绩比乙稳定，故可派甲参赛．……………9分（2）选派乙参赛的理由:甲获得82分以上（含82分）的概率125=P ；乙获得82分以上(含82分）的概率235=P; 因为21>P P ，故可派乙参赛．……………13分20．解:（Ⅰ）由频率分布直方图可知，月收入在［2000，2500）的频率为0．0002×500=0．1，所以应抽取的人数为0．1×100=10人…………3分（Ⅱ)由频率分布直方图可知，月收入在[2000,3000)的频率为0．0002×500＋0．0006×500=0．4 …………5分所以可以用数字0，1，2，3表示收入在[2000，3000）的居民,数字4，5，6，7,8，9表示月收入不在［2000，3000）的居民；………… 7分观察上述随机数可得,该社区3个居民中恰有2个月收入在［2000,3000)的有191，271，932，812，431，393,027，730，共有8个．而基本事件一共有20个，根据古典概型的定义可知该社区3在[2000,3000）(元）的概率为0．4,所以随机变量ξ服从()5,0.4B ，所以50.42E ξ=⨯=，()50.410.4 1.2D ξ=⨯⨯-=…………14分21．解：(Ⅰ）频数分布表知，甲样本中合格品数为1218636++=，其中重量值落在(505,510]的产品为6件．∴X 的可能取值为2,1,0， ………………1分 且2630236()(0,1,2)k k C C P X k k C -===． ………………3分 ()23023629042C P X C ===；()11630236217C C P X C ⋅===，()262361242C P X C ===．∴X 的分布列为:…………………………5分 （Ⅱ）由频数分布表知，乙样本中合格品数为814830＋＋＝件，∴若从乙样本中任取一件产品,该产品为合格品的概率34p =． ……………6分根据样本估计总体的思想，可估计从乙流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率34p =． ……………7分∵从乙流水线上所取的2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验,∴合格品的件数32,4YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ……………8分 ∴33242EY =⨯=,即合格品的件数Y 的数学期望为32． ……………9分（Ⅲ)由方程2220x x ξξ++=没有实数解,得2480ξξ∆=-<，解得02ξ<<，1ξ∴=． ……………10分 记“从甲流水线中任取2件产品,其中合格品的件数"为Z ，“从乙流水线中任取2件产品，其中合格品的件数”为Y ,则||Z Y ξ=- ．∵Z 与Y 都有0,1,2三种可能的取值，∴事件A （即1ξ=)包含四种情况：01Z Y =⎧⎨=⎩或10Z Y =⎧⎨=⎩或12Z Y =⎧⎨=⎩或21Z Y =⎧⎨=⎩． ………11分由（Ⅱ）知，从乙流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率34p =．仿（Ⅱ）的做法,可知从甲流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率910p =． ∵从同一条流水线上所取的2件产品互不影响，不同流水线上的取法之间也互不影响，…………12分()222211112222131911 21.501913931104410104101041044P C C C C ξ∴=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⎛⎫ ⎪⎝+⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭=所以事件A 的概率()()21150P A P ξ===． ……………14分。