高考数学一轮复习 59 抽样与估计学案 理

表示频率与组距的比值,其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的
面积,即每个小长方形的面积=组距×
频率 组距
=频率.各个小长方形面积的总
和等于1. 2.频率分布折线图和总体密度曲线 1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得 到频率分布折线图. 2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作频率分布直方图时所分的组数 增加,组距减小,相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统 计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 3.茎叶图 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图,茎是指中间的一列数,叶就是从 茎的旁边生长出来的数.
4.用样本的数字特征估计总体的数字特征
数字 特征
样本数据
频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
最高小长方形底边中点的横坐 标
数字 特征
样本数据
频率分布直方图
中位数 平均数
将数据按大小排序,处在最中间 把频率分布直方图划分为左右
位置的一个数据(或最中间两个 两个面积相等的部分,分界线与
数据的平均数)
x轴交点的横坐标
样本数据的算术平均数
每个小长方形的面积乘小长方 形底边中点的横坐标之和
方差:s2=
1 n
[(x1-
x
)2+(x2-
x
)2+…+(xn-
x
)2];
标准差:
s=
1 n
[( x1
x)2
( x2
x)2
( xn
x)2 ] .
考法一 频率分布直方图的应用 1.绘制频率分布直方图时需注意: 1)频率分布直方图中的纵轴表示频率 ,而不是频率;
矩形的面积).
2)方差:Si.

第1讲抽样方法与总体分布的估计【2014年高考会这样考】1．考查三种抽样方法及其应用．2．考查频率分布直方图中的相关计算(求解频率、频数等)．3．考查用样本估计总体中的样本数据的数字特征(平均数、方差、标准差等)．对应学生162考点梳理1．三种抽样方法的比较2.频率分布直方图与茎叶图(1)当总体很大或不便获得时，可以用样本的频率分布去估计总体的频率分布，我们把反映样本频率分布的表格称为频率分布表．绘制频率分布表的步骤为：①求极差；②决定组距和组数；③将数据分组；④列频率分布表．(2)利用直方图反映样本的频率分布，这样的直方图称为频率分布直方图．画频率分布直方图的一般步骤是：①绘制频率分布表；②作直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距；③在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作矩形，它的高等于该组的频率组距.此时，每个矩形的面积恰好就是该组的频率，显然所有矩形的面积之和为1.3．样本的数字特征 (1)众数在样本数据中，出现次数最多的那个数据． (2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． (3)平均数样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．(4)方差与标准差方差：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差：s ＝ 1nx 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2].【助学·微博】 一条规律三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n ，总体的个体数为N ，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是n N. 两个特性(1)在频率分布表中，频数的和等于样本容量，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量，各小组频率的和等于1；(2)在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积之和为1.考点自测1．(2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )． A ．7 B ．9 C ．10 D ．15解析 从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n 组抽到的号码为a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21，由451≤30n －21≤750，得23615≤n ≤25710，所以n ＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人，选C. 答案 C2．(2013·临沂模拟)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是( )． A ．30,30,30 B ．30,45,15 C ．20,30,10 D ．30,50,10解析 抽取比例是903 600＋5 400＋1 800＝1120，故三校分别抽取的学生人数为3 600×1120＝30,5 400×1120＝45,1 800×1120＝15.答案 B3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天10名工人生产的零件的中位数是( )． A ．14 B ．16 C ．15 D ．17解析 将这组数据从小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位数为15＋152＝15. 答案 C4．(2013·西北工大附中测试)如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据落在[6,10)内的频数为( )．A ．12B ．48C ．60D ．80解析 落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，故频数为0.32×150＝48. 答案 B5．(2013·长沙模拟)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解析 x ＝15(8＋9＋10＋13＋15)＝11，s 2＝15×(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.答案 6.8考向一 抽样方法【例1】►从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．[审题视点] 因为802不能整除80，为了保证“等距”分段，应先剔除2个个体． 解 由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异，因此采用系统抽样的方法，步骤如下：第一步：先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；第二步：将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每段含k ＝80080＝10个个体；第三步：从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个编号(如5)作为起始编号；第四步：从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．解决系统抽样问题的两个关键步骤为：(1)分段的方法应依据抽取的样本容量而定，即根据定义每段抽取一个样本．(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．【训练1】 (2012·天津)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．解析 根据分层抽样的特点求解．从小学中抽取30×150150＋75＋25＝18所学校；从中学中抽取30×75150＋75＋25＝9所学校．答案 18 9考向二 频率分布直方图的绘制及应用【例2】►某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：续表(1)补全频率分布直方图； (2)求n ，a ，p 的值．[审题视点] (1)要补全频率分布直方图，关键是计算出第二组的频率；(2)灵活运用关系式：频率组距×组距＝频率，频数样本容量＝频率求解．解 (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以小长方形的高为0.35＝0.06.频率分布直方图如图所示．(2)第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝2000.2＝1 000.由(1)知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15＝150，所以a ＝150×0.4＝60.(1)绘制频率分布直方图时需注意：①制作好频率分布表后可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；②频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率．(2)由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：频率组距×组距＝频率．【训练2】 (2013·烟台四校联考)据悉2012年山东省高考要将体育成绩作为参考，为此，济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0 m(精确到0.1 m)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组，并画出频率分布直方图的一部分如图所示．已知从左到右前5个小组对应矩形的高分别为0.04，0.10,0.14,0.28,0.30，且第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在第几组内，并说明理由． 解 (1)由题易知，第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)×1＝0.14， ∴此次测试的总人数为70.14＝50.∴这次铅球测试成绩合格的人数为(0.28×1＋0.30×1＋0.14×1)×50＝36.(2)直方图中中位数两侧的矩形面积和相等，即频率和相等，前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56， ∴中位数位于第4组内．考向三 用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】►甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． [审题视点] (1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩；(2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价． 解 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分.x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s 2甲＞s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．(1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．(2)若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，再计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小． 【训练3】(2012·陕西)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )．A.x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B.x 甲<x 乙，m 甲<m 乙C.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙D.x 甲>x 乙，m 甲<m 乙 解析 x 甲＝116(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516， x 乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716. ∴x 甲<x乙．又∵m 甲＝20，m 乙＝29，∴m 甲<m 乙． 答案 B方法优化15——快速掌握抽样方法的技巧【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，考查分层抽样方法的题目较多，其次是系统抽样．题型多为选择题、填空题，有的与统计的其它知识或概率综合考查，常以解答题的形式出现，难度较低．【真题探究】► (2012·江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生． [教你审题] 一审 等比例性质； 二审 抽取的样本容量．[优美解法] 高二年级学生人数占总数的33＋3＋4＝310.样本容量为50，则高二年级抽取：50×310＝15(名)学生．[答案] 15[反思] 用分层抽样抽样时，分成的各层标准要一致，互不重叠，各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即n N.【试一试】 (2013·徐州模拟)从某小学随机抽取100名同学，这些同学身高都不低于100厘米，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．现用分层抽样的方法从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组学生中，选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．解析 由(0.005＋0.010＋0.020＋0.035＋a )×10＝1，得a ＝0.030，因此[120,130)，[130,140)，[140,150]三组学生人数分别为：0.3×100＝30,0.20×100＝20,0.10×100＝10，所以，从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为1030＋20＋10×18＝3.答案 3A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2013·西安质检)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计， 得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )． A ．46,45,56 B ．46,45,53 C ．47,45,56D ．45,47,53解析 样本共30个，中位数为45＋472＝46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A. 答案 A2．(2013·南昌模拟)小波一星期的总开支分布如图(a)所示，一星期的食品开支如图(b)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )．A ．30%B ．10%C ．3%D ．不能确定解析 由题图(b)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元．又由题图(a)知，一周的食品开支占总开支的30%，则可知一周总开支为 1 000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为301 000×100%＝3%.答案 C3．(2013·成都模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )． A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012解析 甲社区驾驶员的抽样比例为1296＝18，四个社区驾驶员总人数的抽样比例为12＋21＋25＋43N ＝101N ，由101N ＝18，得N ＝808.答案 B4．(2012·安徽)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )．A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·武夷模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________． 解析 设第1组抽取的号码为b ，则第n 组抽取的号码为8(n －1)＋b ，∴8×(16－1)＋b ＝126，∴b ＝6，故第1组抽取的号码为6. 答案 66．(2013·苏州一中月考)某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图可估计这1 000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生人数是________．解析 低于60分学生所占频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故低于60分的学生人数为1 000×0.2＝200，所以不低于60分的学生人数为1 000－200＝800. 答案 800 三、解答题(共25分)7．(12分)某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取． 解 用分层抽样方法抽取． 具体实施抽取如下：(1)∵20∶100＝1∶5，∴105＝2，705＝14，205＝4，∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人． (2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．8．(13分)(2012·揭阳调研)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高． 解 (1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25. (2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为425÷10＝0.016.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )． A ．13,12 B ．13,13 C ．12,13D ．13,14解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝(a 3)2＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为＋10＝13，中位数为12＋142＝13，故选B. 答案 B2．(2012·江西)样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中0<α<12，则n ，m 的大小关系为( )． A ．n <m B ．n >m C ．n ＝mD ．不能确定解析 依题意得x 1＋x 2＋…＋x n ＝n x ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m y ，x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m ＝(m ＋n )z ＝(m ＋n )αx ＋(m ＋n )(1－α)y ，∴n x ＋m y ＝(m ＋n )αx ＋(m ＋n )(1－α)y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ＋n α，m ＝m ＋n－α，于是有n －m ＝(m ＋n )[α－(1－α)]＝(m ＋n )(2α－1)， ∵0<α<12，∴2α－1<0，∴n －m <0，即m >n .答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·沈阳质检)沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n 的样本，其中高三学生有11人，则n 的值等于________．解析 由n 600＋500＋550＝11550，得n ＝33(人)．答案 334．(2013·北京西城一模)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在[16,18]的学生人数是__________________________________________________________________．解析 成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为6＋31＋3＋7＋6＋3＝920，所以成绩在[16,18]的学生人数为120×920＝54.答案 54 三、解答题(共25分)5．(12分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，对CO 2排放量超过130 g/km 的MI 型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI 型品牌的新车各抽取了5辆进行CO 2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：经测算发现，乙类品牌车CO 2排放量的均值为x 乙＝120 g/km. (1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO 2的排放量稳定性好，求x 的取值范围．解 (1)甲类品牌汽车的CO 2排放量的平均值x 甲＝80＋110＋120＋140＋1505＝120(g/km)，甲类品牌汽车的CO 2排放量的方差s 2甲＝－2＋－2＋－2＋－2＋－25＝600.(2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值x乙＝100＋120＋x＋y＋1605＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差s2乙＝－2＋－2＋x－2＋－x－2＋－25，因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s2乙<s2甲，解得90<x<130. 6．(13分)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工(2)的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．解(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为k＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为x＝110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，所以样本方差为：s2＝110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A，它包括的事件有(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)共4个．故所求概率为P(A)＝410＝25.。

11.8 用样本估计总体考纲要求1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．1．用样本的频率分布估计总体分布(1)频率分布表与频率分布直方图频率分布表和频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况．绘制频率分布直方图的步骤为：①________；②___________；③____________；④____________；⑤____________.(2)频率分布折线图连接频率分布直方图中______________，就得到频率分布折线图．(3)总体密度曲线总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息．(4)茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图．茎是指____的一列数，叶是从茎的____生长出来的数．2．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．(3)平均数：x＝__________，反映了一组数据的平均水平．(4)标准差：s＝______________________________，反映了样本数据的离散程度．(5)方差：s2＝________________，反映了样本数据的离散程度．1．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有( )．A．75辆B．120辆C．180辆D．270辆2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，其中，中位数为22，则x等于( )．A．21 B．22 C．23 D．203．如图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )．A．84,4.84 B．84,1.6C．85,1.6 D．85,44．甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5,6,9,10,5，那么这两人中成绩较稳定的是__________．5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数为__________．一、用样本的频率分布估计总体分布【例1－1】为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是__________．【例1－2】从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例．方法提炼频率分布直方图是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，表示数据分布的规律．图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，它直观反映了数据在各个小组的频率的大小．请做演练巩固提升2,4二、用样本的数字特征估计总体【例2】从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm) 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？方法提炼1．用样本的平均数、方差可以估计总体的平均数和方差．平均数可反映总体取值的平均水平，方差可以反映总体的稳定性，方差越大，稳定性越差，方差越小，稳定性越好．2．茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．但是茎叶图不能直接反映总体的分布情况，往往要根据茎叶图所给数据求出其数字特征，进一步估计总体情况．请做演练巩固提升1,3巧用中点值来估算【典例】 (12分)(2012广东高考)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(3分)(2)平均分约为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.(7分)(3)易得数学成绩在[50,90)内的人数为5＋20＋40＋25＝90，(10分)∴数学成绩在[50,90)之外的人数为100－90＝10.(12分)答题指导：1.用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．2．若取值x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n；若x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为a x＋b，方差为a2s2.1．(2012陕西高考) 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )．A．46,45,56 B． 46,45,53 C．47,45,56 D．45,47,532．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则( )．A．m e＝m o＝x B．m e＝m o＜xC．m e＜m o＜x D．m o＜m e＜x3．甲、乙两个体能康复训练小组各有10名组员，经过一段时间训练后，某项体能测试结果的茎叶图如图所示，则这两个小组中体能测试平均成绩较高的是__________组．4．(2012山东高考)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)①求极差 ②决定组距与组数 ③将数据分组 ④列频率分布表 ⑤画频率分布直方图(2)各小长方形上端的中点 (4)中间 旁边2．(3)x 1＋x 2＋…＋x n n(4)1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] (5)1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] 基础自测1．C 解析：据直方图可得300辆中车速低于限速的汽车所占的频率为10×0.025＋10×0.035＝0.6，故其频数为300×0.6＝180. 2．A 解析：因为样本数据个数为偶数，中位数为x ＋232＝22，故x ＝21. 3．C 解析：去掉最高分93，最低分79.平均分为15(84＋84＋86＋84＋87)＝85， 方差s 2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝1.6. 4．乙 解析：x 乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，2s 乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝4.4，∵s 甲2＞s 乙2，∴乙的成绩较稳定．5．30 解析：样本数据在[1,4)和[5,6]上的频率为(0.05＋0.10＋0.15＋0.40)×1＝0.7，故样本数据在[4,5)上的频率为1－0.7＝0.3，其频数为100×0.3＝30.考点探究突破【例1－1】 48 解析：据图可得第4小组及第5小组的频率之和为5×(0.037＋0.013)＝0.25，故前3个小组的频率之和为1－0.25＝0.75，即第2小组的频率为0.75×26＝0. 25.又第2小组的频数为12，故样本容量为120.25＝48. 【例1－2】 解：(2)(3)成绩在[60,90)的学生比例即为学生成绩在[60,90)的频率，即估计成绩在[60,90)分的学生比例为(0.20＋0.30＋0.24)×100%＝74%.【例2】 解：(1)x 甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30， x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31， ∴x 甲＜x 乙．(2)2s 甲＝110[ (25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2， 同理2s 乙＝128.8，∴2s 甲＜2s 乙．∴乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得整齐．演练巩固提升1．A 解析：由茎叶图可知中位数为46，众数为45，极差为68－12＝56.故选A.2．D 解析：由题目所给的统计图示可知，30个得分中，按大小顺序排好后，中间的两个得分为5,6，故中位数m e ＝6＋52＝5.5， 又众数m o ＝5，平均值 x ＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930，∴m o ＜m e ＜x . 3．甲 解析：由茎叶图所给数据依次确定两组体能测试的平均成绩分别为x 甲＝63＋65＋66＋71＋77＋77＋79＋81＋84＋9210＝75.5， x 乙＝58＋68＋69＋74＋75＋78＋79＋80＋82＋9110＝75.4， 故平均成绩较高的是甲组．4．9 解析：由于组距为1，则样本中平均气温低于22.5 ℃的城市频率为 0．10＋0.12＝0.22.平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，所以样本容量为110.22＝50. 而平均气温高于25.5 ℃的城市频率为0.18，所以，样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为50×0.18＝9.。

学习资料
10.3用样本估计总体
必备知识预案自诊
知识梳理
1.统计图表
（1）频率分布直方图的画法步骤
①求极差（即一组数据中与的差）；
②决定与；
③将数据；
④列;
⑤画。

（2)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的，就得到频率分布折线图.
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时增加，减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能提供更加精细的信息。

（3)茎叶图:茎叶图中茎是指的一列数，叶是从茎的生长出来的数。

当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好,它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,给数据的记录和表示都带来方便.
(4)茎叶图的画法步骤
第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；
第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的两侧。

2.样本的数字特征。