浙江省学军中学2018届高三下学期5月底模拟考试数学试卷

2018学年杭州学军中学高三第七次月考数学试卷(理)考生注意：1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟． 2． 答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚．3． 请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷前的答题卡上，第Ⅱ卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答题．第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．.如果x,y 是实数,那么xy>0 是 y x +=y x + 的 ( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件2.已知)(1x f y -=过点（3，5），)(x g 与)(x f 关于直线2=x 对称，则)(x g y =必过点（ ）（A ）（－1，3） （B ）（5，3）（C ）（－1，1）（D ）（1，5）3．若直线a by ax (022=+-、R b ∈)始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长，则ab 的取值范围是（ ）(A)]41,(-∞ (B)]41,0((C))41,0((D))41,(-∞4．已知A 、B 、C 是三角形的三个顶点，CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ） (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)既非等腰三角形又非直角三角形5．000(3)()lim 1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于 （ ）(A)1 (B)0 (C)3 (D)136．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知)6(144,324,3666>===-n S S S n n ,则n 等于 （ ）(A)15(B)16(C)17(D)187．曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是 （ ）(B)(C)(D)08．设c b a 、、分别是△ABC 中C B A ∠∠∠、、所对边的边长，则方程0sin =++⋅c ay x A0sin sin =+⋅-C y B bx 与所表示直线的位置关系是 （ ）（A ）平行（B ）重合（C ）垂直（D ）相交但不垂直9．如图，正三棱锥A —BCD 中，点E 在棱AB 上，点F 在棱CD 上，并使λ==FDCFEB AE ，其中0>λ，设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则α+β的值为（ ）（A ）6π（B ）4π （C ）2π （D ）与λ有关的变量10．若函数1221,()log 1,x x f x xx ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤则y =f (1－x )的图象可以是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）第Ⅱ卷 ( 非选择题 共100 分)二、填空题: 本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．11.已知点P 是抛物线y 2=4x 上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为d 1,到圆(x+3)2+(y-3)2=1上一动点Q 的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值是 ；12．若关于x 的方程)1),0(01)11(2≠>=+++a a a gm a x x 且有解，则m 的取值范围是 ； 13．若A=},154|{N a a a ∈≤≤，从A 中每次取出三个元素，使它们的和为3的倍数， 则满足上述条件的不同取法的种数有 种（用数字作答）； 14．抛一枚均匀硬币，正、反每面出现的概率都是21，反复这样的抛掷，数列{a n }定义如下：⎩⎨⎧-=次投掷出现反面，第次投掷出现正面，　第n n a n 11，若S n =a 1+a 2+……+a n (n ∈N *)，则事件“S 8=2”的概率为 ； 事件“S 2≠0且S 8=2”的概率为 ．三、解答题：本大题共6小题，每题14分，共8４分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（12分））已知A 、B 、C 坐标分别为)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ，).23,2(ππα∈（1）若||||BC AC =，求角α的值；（2）若1-=⋅，求αααtan 12sin sin 22++的值．16．.今有,A B 两个排球队进行比赛，规定两对中有一个队胜三场，则整个比赛结束， 假设,A B 两队在每场比赛获胜的概率都是12，记需要比赛的场数为ξ， （1）求ξ的分布列； （2）求数学期望．17．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为2，高'AA 为4． （1）求'C 'B AB 与所成的角；（2）求'ABC '与面AA 所成的角的余弦值； （3）求二面角A BC C --'的正切值．18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.19．已知点)0,6(-H 点,P 在y 轴的正半轴上，点Q 在x 轴正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足PM PM 21,0==⋅. (1) 当点P 在y 轴正半轴、点Q 在x 轴正半轴上运动时， 求点M 的轨迹C 的方程；(2) 若过点)0,2(-T 作直线l 与轨迹C 交于B A 、两点， 则在x 轴上是否存在一点)0,(0x E ，使得AEB ∆为正 三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．已知函数()x x x f ln 212+=， （1）求()x f 在[]e ,1上的最大、最小值；（2）求证：在区间[)+∞,1上，函数()x f 的图象在函数()332x x g =的图象的下方； （3）求证：()[]()()*22N n x f x f n n n∈-≥'-'．2018学年杭州学军中学高三第七次月考数学试卷（理答案）考生注意：4． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟． 5． 答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚．6． 请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷前的答题卡上，第Ⅱ卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答题．第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合二、填空题: 本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上． 11． 76 种． 12．327；12813. 13. 4 ；14．0＜m ≤10－3；三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（12分））已知A 、B 、C 坐标分别为)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ，).23,2(ππα∈（1）若||||BC AC =，求角α的值；（2）若1-=⋅，求αααtan 12sin sin 22++的值。

直线过 与 的交点 时， 最大，
，解得 ，此时 .
综上可知， 的最小值为 ，最大值为8，
即 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查线性规划求目标函数的取值范围，考查分类讨论和数形结合的数学思想方法，属中档题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
【详解】
化双曲线的方程为标准方程，得 ，所以 ， ，所以 ，渐近线的方程为 ．
化圆的方程为 ，则由 解得 ．
故答案为： ；
【点睛】
此题考查求双曲线离心率，根据直线与圆位置关系求参数的取值，根据直线与圆相切的条件求参数的值时，通常根据圆心到直线的距离等于半径建立方程进行求解．
14．
【解析】
试题分析：根据三视图分析可知，该几何体为半圆柱，故其体积为 ，
满足约束条件的平面区域不存在；
（3）当 时， ，
画出满足条件的平面区域，如图所示，
，得 ，
显然直线过 与 的交点 时， 最小，
，解得 ，此时 ，
直线过 与 的交点 时， 最大，
，解得 ，此时 ；
（4）当 时， ，
画出满足条件的平面区域，如图所示，
，得 ，
显然直线过 与 的交点 时， 最小，
，解得 ，此时 ，
15．若 ，则 ________．
16．若实数 ， 满足 则 的取值范围为________．
17．已知 ， ， 是空间两两垂直的单位向量， ，且 ，则 的最小值为________．
18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且C＝ ，a＋b＝λc(其中λ>1)．

杭州学军中学2018学年高三第六次月考数学试卷（理科）一、选择题1．已知)0,2(x，54cos x ，则tan2x=（）A ．247B ．247C ．724D ．7242．2211lim 21x xx x （）A ．0 B ．1 C ．21D ．323．命题p ：若a 、b ∈R ，则||||b a ＞1是||b a ＞1的充分而不必要条件；命题q ：函数2|1|x y 的定义域是（－，31，＋).则（）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．在等差数列{}n a 中，12008a ，其前n 项的和为n S ，若20072005220072005S S ，则2008S 的值等于（）A ．-2018B ．-2018C ．2018D ．20185．某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式为（）A ．120B ．48C ．36D ．186．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为)(1021)(200)80(2R x e x f x ，则下列命题不正确的是（）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为107．若)1,2(P 为圆25)1(22y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A. 03y x B. 032y xC. 01y xD. 052y x 8.设函数()1,[,1),f x n x n n n N ，则满足方程2()log f x x 根的个数为（）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D．无数个9．已知向量OZ 与OZ 关于x 轴对称，j =(0,1)，则满足不等式0/2ZZ j OZ 的点Z(x,y)的集合用阴影表示为下图中的（）10．若对任何[0,1]x ，不等式1111kxlx x 恒成立，则一定有（）A ．10,3k l B ．10,22k l C ．11,43k l D ．11,222k l二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．不等式113|1|x 的解集为12．定义运算ab ad bc cd ，则对复数z ，符合条件112z zi 的复数z 为13．设函数()cos sin f x x x ，把()f x 的图像按向量(,0)(0)a m m平移后的图像恰好为函数()y f x 的图像，则m 的最小值为14．若5(1)ax 的展开式中3x 的系数是-80,则实数a 的值是15．若直线0128)0,(0122y x y x ba by ax 过圆的圆心，则b a 41的最小值是16．已知x ，y 满足|x|+|y|<1，变量3x uy 的取值范围为17．已知函数6(3)3(7)()(7)x a x xf x a x ，数列{}n a 满足*()()n a f n n N ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是2018学年杭州学军中学第六次月考数学答卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，答案请填入答题卡中）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11、 12、 13、14、 15、 16、17、三、解答题（本大题共5小题，共72分）18、（本题满分14分）一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题可以判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生：（1）得多少分的可能性最大？（2）所得分数的数学期望（均用分数表示）.19、（本题满分14分）已知函数2sin 42cos 2cos 42sin )(2424x x x x x f （1）求)625(f 的值；（2）若,0)2()(,0f f 求.的大小. 20、（本题满分14分）已知,0a函数.)2ln()(ax x x f （1）设曲线)(x f y在点))1(,1(f 处的切线为,l 若l 与圆1)1(22y x 相切，求a的值；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）求函数)(x f 在]1,0[上的最小值和最大值.21、（本题满分15分）如图，1A 、2A 为圆221x y 与x 轴的两个交点，12PP 为垂直于x 轴的弦，且11A P 与22A P 的交点为M 。

2018届浙江省杭州市高三下学期第四次月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）设i是虚数单位，复数1﹣2i的虚部是（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．（4分）设U=R，P={x|x＞1}，Q={x|0＜x＜2}，则∁U（P∪Q）=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≤1} C．{x|x≥2} D．{x|x≤1或x≥2}3．（4分）在等比数列{an }中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+3，a4=2S3+3，则公比q=（）A．2 B．3 C．4 D．54．（4分）如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）5．（4分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．86．（4分）直线x﹣2y﹣3=0与圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则△ECF的面积为（）A．B．C．D．7．（4分）在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中，含x4项的系数是等差数列an=3n﹣5的（）A．第2项B．第11项C．第20项D．第24项8．（4分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．{an }为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件C．若a，b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件D．“”必要不充分条件是“”9．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C．D．10．（4分）已知f（x）=|xe x|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）已知sin（α+）=，则cos（﹣α）= ； cos（﹣2α）= ．12．（6分）若函数f（x）=﹣1+logn（x+1）经过的定点F（与n无关）恰为抛物线y=ax2的焦点，则点F的坐标是； a= ．13．（6分）设正实数a，b满足a+b=1，则a2+b2最小值是，最大值是．14．（6分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为，体积为．15．（4分）一个袋中装有10个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ= ．16．（4分）已知是平面上三个不同的点，且满足关系，则实数λ的取值范围是．17．（4分）设函数f（x）=x2﹣2ax+15﹣2a的两个零点分别为x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰好有两个正整数，则实数a的取值范围．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．19．（15分）如图PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值．20．（15分）已知函数f （x ）=ln （ax+1）+x 3﹣x 2﹣ax ．（1）若x=为y=f （x ）的极值点，求实数a 的值；（2）若a=﹣1时，方程f （1﹣x ）﹣（1﹣x ）3=有实根，求实数b 的取值范围．21．（15分）设x ，y ∈R ，向量分别为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（Ⅰ）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线y=kx+m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：△OAB 的面积为定值．22．（15分）已知数列中，a 1=1，a 2=，且a n+1=（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）证明：求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求证：（i ）对一切n ∈N *，都有＞；（ii ）对一切n ∈N *，有a 12+a 22+…+a n 2＜．2018届浙江省杭州市高三下学期第四次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，复数1﹣2i的虚部是（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数虚部的定义即可得出．【解答】解：复数1﹣2i的虚部是﹣2．故选；A．【点评】本题考查了复数虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．设U=R，P={x|x＞1}，Q={x|0＜x＜2}，则∁U（P∪Q）=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≤1} C．{x|x≥2} D．{x|x≤1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据并集与补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：U=R，P={x|x＞1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q={x|x＞0}，∴∁U（P∪Q）={x|x≤0}．故选：A．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．3．在等比数列{an }中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+3，a4=2S3+3，则公比q=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知条件，求出a4﹣a3=2a3，由此能求出公比．【解答】解：等比数列{an}中，∵a3=2S2+3，a4=2S3+3，∴a4﹣a3=2S3+3﹣（2S2+3）=2（S3﹣S2）=2a3，∴a4=3a3，∴q==3．故选：B．【点评】本题考查等比数列折公比的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式．4．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数图象可知A=2，由图象过点（0，），可得sinφ=，由|φ|＜，可解得φ，由2x+=kπ，k∈Z可解得f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z，对比选项即可得解．【解答】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f（x）=2sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．5．设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，则直线截距最大时，z也最大．平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为12，即x+y=12，由，得B（4，8），此时B也在直线y=m上，∴m=8，当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，由，即A（﹣16，8），此时z=x+y=﹣16+8=﹣8，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．6．直线x﹣2y﹣3=0与圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则△ECF的面积为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心C到直线x﹣2y﹣3=0距离，利用勾股定理求出EF，再利用三角形的面积公式，即可得出结论．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心坐标为C（2，﹣3），半径为3，∴C到直线x﹣2y﹣3=0距离为=，∴EF=2=4，∴△ECF的面积为=2．故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中，含x4项的系数是等差数列a=3n﹣5的（）nA．第2项B．第11项C．第20项D．第24项【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得含 x4项的系数是=55，可得含 x4项的系数是a n =3n ﹣5 的第20项．【解答】解：在（1+x ）5+（1+x ）6+（1+x ）7 的展开式中，含 x 4项的系数是=55，所以，含 x 4项的系数是a n =3n ﹣5 的第20项， 故选C ．【点评】本题主要考查二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质、等差数列通项公式，属于中档题．8．下列说法正确的是（ ）A ．“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ＞1，则a 2≤1”B ．{a n }为等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“a 4＜a 5”的既不充分也不必要条件C ．若a ，b ∈R ，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件D ．“”必要不充分条件是“”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定，即可判断A ；运用等比数列的通项公式，可得首项与公比的关系，判断单调性，结合充分必要条件定义，即可判断B ；由绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a+b|，结合充分必要条件的定义，即可判断C ；由等价命题“tan α=”是“α=”的必要不充分条件，结合充分必要条件的定义，即可判断D ．【解答】解：对A ，“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故A 错； 对B ，{a n }为公比为q 的等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”即为a 1＜a 1q ＜a 1q 2， 可得a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1，{a n }为递增数列，可得“a 4＜a 5”；若“a 4＜a 5”，即为a 1q 3＜a 1q 4，可得a 1＞0，q ＞1或q ＜0，推不出“a 1＜a 2＜a 3”． 则“a 1＜a 2＜a 3”是“a 4＜a 5”的充分不必要条件，故B 错；对C ，若a ，b ∈R ，由|a|+|b|≥|a+b|，可得|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的必要而不充分条件，故C 错；对D ，“”必要不充分条件是“”⇔“tan α=”是“α=”的必要不充分条件，故D 正确．故选：D．【点评】本题考查四种命题和充分必要条件的判断，考查等比数列的单调性和绝对值不等式的性质，考查判断能力，属于基础题．9．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】说明M是F2P的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．画出图形，连接PF1，OM，说明OM为△PF2F1的中位线．通过PF2⊥PF1，可得|PF2|=，设P（x，y），推出 c﹣x=2a，利用双曲线定义结合勾股定理得 y2+4a2=4b2，然后求解离心率即可．【解答】解：如图9，∵，∴M是F2P的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．连接PF1，OM．∵O、M分别是F1F2和PF2的中点，∴OM为△PF2F1的中位线．∵OM=a，∴|PF1|=2 a．∵OM⊥PF2，∴PF2⊥PF1，于是可得|PF2|=，设P（x，y），则 c﹣x=2a，于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c（c﹣2 a），过点F2作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a．由勾股定理得 y2+4a2=4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4 a2=4（c2﹣a2），变形可得c2﹣a2=ac，两边同除以a2有 e2﹣e﹣1=0，所以e=，负值已经舍去．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量以及圆与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．10．已知f（x）=|xe x|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】令y=xe x，则y'=（1+x）e x，求出极值点，判断函数的单调性，作出y=xe x图象，利用图象变换得f（x）=|xe x|图象，令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0两根分别在，满足g（x）=﹣1的x有4个，列出不等式求解即可．【解答】解：令y=xe x，则y'=（1+x）e x，由y'=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y单调递减，当x∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函数y单调递增．作出y=xe x图象，利用图象变换得f（x）=|xe x|图象（如图10），令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0两根分别在时（如图11），满足g（x）=﹣1的x有4个，由，解得．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的图象的变换，函数零点个数，考查函数与方程的综合应用，数形结合思想以及转化思想的应用．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知sin（α+）=，则cos（﹣α）= ； cos（﹣2α）= ﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据诱导公式和二倍角公式计算即可．【解答】解：cos（﹣α）=sin[﹣（﹣α）]=sin（α+）=，cos（﹣2α）=2cos2（﹣α）﹣1=﹣1=﹣，故答案为：，﹣．【点评】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．12．若函数f（x）=﹣1+log（x+1）经过的定点F（与n无关）恰为抛物线y=ax2的焦点，则n点F的坐标是（0，﹣1）； a= ﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出函数经过的定点坐标，即可定点抛物线的焦点坐标，然后求解a即可．（x+1）经过的定点F（0，﹣1），【解答】解：函数f（x）=﹣1+logn抛物线y=ax2的焦点，则点F的坐标是（0，﹣1）．可得，解得a=﹣．故答案为：（0，﹣1）；﹣．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．13．设正实数a，b满足a+b=1，则a2+b2最小值是，最大值是．【考点】基本不等式．【分析】根据题意，首先有基本不等式可得1=a+b≥2，即≤，对于a2+b2，将其变形可得a2+b2=（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab，结合≤，分析可得其最小值；对于，有（）2=a+b+2=1+2，结合≤，分析可得其最大值；即可得答案．【解答】解：根据题意，若正实数a，b满足a+b=1，则有1=a+b≥2，即≤，a2+b2=（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab≥，即a2+b2最小值是，对于，有（）2=a+b+2=1+2≤2，则有≤；则最大值是；故答案为：，．【点评】本题考查基本不等式的应用，关键要熟悉基本不等式的形式，并能灵活应用．14．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为，体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入半圆锥体积和表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，半圆锥的底面直径为2，高h=2，故半圆锥的底面半径r=1，母线长为，故半圆锥的体积V==，半圆锥的表面积S=×2×2+（1+）=故答案为：，【点评】本题考查的知识点半圆锥的体积和表面积，空间几何体的三视图．15．一个袋中装有10个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ= ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】设白球的个数为x，则红球和黑球的个数为10﹣x，记两个都不是白球的事件为A，则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件，由此求出白球的个数；得出ξ的取值可能为0，1，2，3，求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：设白球的个数为x，则黑球和红球的个数为10﹣x；记两个都不是白球的事件为A，则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件；所以p（A）=1﹣==，解得x=5，所以白球的个数为5；从袋中任意摸出3个球，到白球的个数ξ的取值可能为：0，1，2，3；则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列为：ξ所以的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．故答案为：．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．16．已知是平面上三个不同的点，且满足关系，则实数λ的取值范围是 [﹣2，1]，λ≠0． ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理可得：1+cos α=λ（﹣1﹣2cos β），sin α=﹣λsin β，利用1=cos 2α+sin 2α，化为：λ=，令2cos β+1=t ∈[﹣1，3]，可得λ==f （t ），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵，∴=λ，∴1+cos α=λ（﹣1﹣2cos β），sin α=﹣λsin β，∴1=cos 2α+sin 2α=[λ（﹣1﹣2cos β）﹣1]2+（﹣λsin β）2，化为：λ=，令2cos β+1=t ∈[﹣1，3]．则λ==f （t ），f′（t ）=，可知：t=1时，函数f （t ）取得最大值，f （1）=1．又f （﹣1）=﹣2，f （3）=． ∴λ∈[﹣2，1]，由于t=0时，λ=0，点A 与C 重合，舍去． ∴λ∈[﹣2，1]，λ≠0． 故答案为：[﹣2，1]，λ≠0．【点评】本题考查了向量共线定理、平方共线、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．设函数f （x ）=x 2﹣2ax+15﹣2a 的两个零点分别为x 1，x 2，且在区间（x 1，x 2）上恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围 （，] ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得函数y=的图象和直线y=2a 有两个交点，这2个交点的横坐标分别为x 1，x 2，在区间（x 1，x 2）上恰有两个正整数．再令x+1=t ，则m （t ）=t+的图象和直线y=2a+2有两个交点，这2个交点的横坐标分别为t1，t2，则在区间（t1，t2）上恰有两个正整数，求得a的范围．【解答】解：令f（x）=0，可得x2 +15=2a（x+1），即=2a，由题意可得方程=2a 有2个解x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，故函数y=的图象和直线y=2a有两个交点，且这2个交点的横坐标分别为x1，x2．再令x+1=t，则y==t+﹣2，即m（t）=t+的图象和直线y=2a+2有两个交点，且这2个交点的横坐标分别为t1，t2，在区间（t1，t2）上恰有两个正整数，而这两个正整数应为2和4．令t=5，则m（t）=，令t=3，则m（t）=，∴＜2a+2≤，求得＜a≤，故符合条件的a的范围是：{a|＜a≤}．故答案为：（，]．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，函数的图象，函数零点的定义，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）（2017春•杭州月考）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用两角差的余弦公式展开，利用辅助角公式即可求得f（x），根据周期公式，即可求得函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用正弦定理，求得B=，则0＜A＜，根据正弦函数的性质即可求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由=cos2xcos+sin2xsin+sin2x，=sin2x+cos2x，=sin（2x+），则f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）由正弦定理： ===2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由（2a﹣c）cosB=bcosC，则（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，则2sinAcosB=sin（B+C），由sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴cosB=，由0＜B＜π，则B=，=sin（2×+）=sin（A+），由0＜A＜，则＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，则＜sin（A+）≤，∴f（A）∈（，]．【点评】本题考查两角和差的余弦公式，考查正弦函数的图象及性质，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．19．（15分）（2013春•荆门期末）如图PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MN∥AC，再根据线面平行的判定定理可得答案．（II）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．【解答】证明：（Ⅰ）连接PC，交DE于N，连接MN，在△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点∴MN∥AC…（2分）因为MN⊂面MDE，AC⊄面MDE，∴AC∥平面MDE…（4分）解：（Ⅱ）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0， a），B（a，a，0），C（0，2a，0），所以=（a，a， a），=（﹣a，a，0），…（6分）平面PAD的单位法向量为=（0，1，0）…（7分）设面PBC的法向量=（x，y，1），则有，解得：x=y=则=（，，1），…（10分）设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，∴cosθ==即平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值为…（12分）【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离．20．（15分）（2017春•杭州月考）已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3﹣x2﹣ax．（1）若x=为y=f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若a=﹣1时，方程f（1﹣x）﹣（1﹣x）3=有实根，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）因为x=为y=f（x）的极值点，所以f′（）=0，就可求出a的值．（2）若a=﹣1时，方程f（1﹣x）﹣（1﹣x）3=有实根，就可得到方程lnx﹣（1﹣x）2+（1﹣x）=由实根，即b=xlnx+x2﹣x3在x＞0上有解，只需求出函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域，而b在这个范围内，就可得到b的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=+3x2﹣2x﹣a=∵x=为f（x）的极值点，∴f′（）=0∴3a+（3﹣2a）﹣（a2+2）=0且a+1≠0∴a=0．又当a=0时，f′（x）=x（3x﹣2），从而x=为f（x）的极值点成立．（2）若a=﹣1时，方程f（1﹣x）﹣（1﹣x）3=可得lnx ﹣（1﹣x ）2+（1﹣x ）=即b=xlnx ﹣x （1﹣x ）2+x （1﹣x ）=xlnx+x 2﹣x 3在x ＞0上有解 即求函数g （x ）=xlnx+x 2﹣x 3的值域． 令h （x ）=lnx+x ﹣x 2由h′（x ）=+1﹣2x=∵x ＞0∴当0＜x ＜1时，h′（x ）＞0，从而h （x ）在（0，1）上为增函数； 当x ＞1时，h′（x ）＜0，从而h （x ）在（1，+∞）上为减函数． ∴h （x ）≤h （1）=0，又∵x ＞0 ∴g （x ）的值域为（﹣∞，0] ∴b 的取值范围为（﹣∞，0]．【点评】本题主要考查函数的极值与导数的关系，以及利用导数求函数的值域，借助函数值域求参数的范围，属于综合题．21．（15分）（2017•茂名一模）设x ，y ∈R ，向量分别为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（Ⅰ）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线y=kx+m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：△OAB 的面积为定值．【考点】圆锥曲线的定值问题；圆锥曲线的轨迹问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过，得到，说明点M （x ，y ）到两个定点F 1（，0），F 2（，0）的距离之和为4，推出点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，然后求解即可．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将y=kx+m 代入椭圆E 的方程，消去x 可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣16=0显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内，利用判别式以及韦达定理求解三角形的面积，转化求解即可．【解答】（Ⅰ）解：∵，，且，∴∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（，0），F 2（，0）的距离之和为4…（2分） ∴点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为，a=2∴b 2=a 2﹣c 2=1…（3分）其方程为…（4分） （Ⅱ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将y=kx+m 代入椭圆E 的方程，消去x 可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣16=0显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内，∴△＞0，由韦达定理可得：，．…所以…（6分）因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为（0，m ），所以△OAB 的面积…（7分）=…（8分）设将y=kx+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0…（10分）由△=0，可得m 2=1+4k 2即t=1，…（11分）又因为，故为定值．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的处理方法，设而不求的应用，考查分析问题解决问题的能力．22．（15分）（2016•浙江模拟）已知数列中，a 1=1，a 2=，且a n+1=（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）证明：求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求证：（i ）对一切n ∈N *，都有＞；（ii ）对一切n ∈N *，有a 12+a 22+…+a n 2＜．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n ≥2时，通过裂项、变形可知，进而并项相加即得结论；（Ⅱ）（i ）通过（I ）代入计算、利用作差法计算即得结论；（ii ）当k ≥2时通过放缩可知＜（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】证明：（Ⅰ）由已知，对n ≥2有：，两边同除以n ，得：，即，于是， [﹣]=﹣ [﹣]=﹣（1﹣），即，所以，即，又n=1时也成立，故；（Ⅱ）（i ）由（I ）可知﹣=[3（n+1）﹣2]2﹣（3n ﹣2）2=18n ﹣3＞0，∴，即对一切n ∈N *，都有；（ii ）当k ≥2，有，所以n≥2时，有=，又n=1时，满足上式，故对一切n∈N*，有．【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查裂项相消法，分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．。