2021届浙江省杭州市学军中学高三下学期3月月考数学试题

第6　物态变化 考纲要求备考指津1.能说出生活环境中的常见温度值。

了解体温计的工作原理。

会测量温度。

2．能区别六种物态变化，能描述六种物态变化的基本特征和条件，并能用这些知识解释生活中的相关现象。

3．能设计实验探究物态变化过程，能从实验数据和现象归纳科学结论。

由于中考注重对实验操作能力和应用知识能力的考查，因而液体温度计的使用、物态变化的实验及现象、对各种物态变化现象的解释等是中考的热点。

预计在今后的中考中涉及的内容会更加注意联系与人们生产和生活关系密切的自然现象。

题目形式活泼、新颖，数理结合，会逐渐从物态变化知识解释自然现象过渡到利用物态变化知识解决实际问题，考查学以致用的能力。

考点1　温度计 (1)温度 ①定义：温度表示物体的冷热程度。

②摄氏温度：用符号t表示，单位是摄氏度，单位符号为℃。

摄氏温度是这样规定的：在标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为0 ℃，把沸水的温度规定为100 ℃，在0 ℃和100 ℃之间分成100等份，每一等份是摄氏温度的一个单位，叫做1摄氏度。

(2)温度计 ①原理：常用温度计是利用液体的热胀冷缩的性质制成的。

②构造：常用温度计的基本构造有：玻璃管、玻璃泡、测温液体、刻度、温标等。

③使用：估：测量前，先估计被测物体的温度；选：根据估计选择合适量程的温度计；认清温度计的量程和分度值，被测温度不能超过温度计的量程；放：测量时要将温度计的玻璃泡浸没入被测液体，不要碰到容器壁和容器底；读：待温度计的示数稳定后读数，读数时，玻璃泡要停留在被测液体中，视线必须与温度计液柱的上表面相平；记：记录测量结果后，取出温度计，测量结果包括数值和单位。

④体温计的测量范围是35～42_℃，分度值是0.1_℃；可以离开人体读数，使用前要甩几下。

⑤实验室温度计、体温计、寒暑表的异同： 实验室温度计体温计寒暑表原理液体的热胀冷缩测温液体煤油、 水银、酒精等水银煤油、酒精量程－20～110℃35～42 ℃－30～50 ℃分度值1_℃0.1_℃1_℃构造玻璃泡上部是均匀细管金属泡与毛细管间有一段细而弯的“缩口”玻璃泡上部是均匀细管使用方法不能离开被测物体读数，不能甩使用前要甩几下，可离开人体读数放在被测环境中直接读数，不能甩考点2　熔化和凝固 (1)熔化和凝固是两个互逆的物态变化过程：物质从固态变成液态的过程叫熔化，物质从液态变成固态的过程叫凝固。

专题40 概率中的单调性与最值问题一、题型选讲题型一 、概率中的单调性问题例1、【2021年高考浙江卷】设0＜a ＜1，那么随机变量X 的分布列是那么当a 在〔0，1〕内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=， 那么2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+， 那么当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．应选D ．方法2：那么222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，那么当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．应选D ． 例2、【2021年高考浙江卷】设01p <<，随机变量ξ的分布列是那么当p 在〔0，1〕内增大时， A ．D 〔ξ〕减小 B ．D 〔ξ〕增大C ．D 〔ξ〕先减小后增大D ．D 〔ξ〕先增大后减小【答案】D【解析】∵E(ξ)=0×1−p 2+1×12+2×p 2=p +12，∴D(ξ)=1−p 2(0−p −12)2+12(1−p −12)2+p2(2−p −12)2=−p 2+p +14，∵12∈(0，1)，∴D(ξ)先增大后减小，应选D ．例3、【2021年高考山东】〔多项选择题〕信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．假设n =1，那么H (X )=0B ．假设n =2，那么H (X )随着1p 的增大而增大C ．假设1(1,2,,)i p i n n==，那么H (X )随着n 的增大而增大D ．假设n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，那么H (X )≤H (Y ) 【答案】AC【解析】对于A 选项，假设1n =，那么11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确. 对于B 选项，假设2n =，那么1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121log 1log 1H X p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦， 当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，假设()11,2,,i p i n n==，那么()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，那么()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，假设2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m jP Y j p p +-==+〔1,2,,j m =〕.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅.()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 应选：AC题型二、概率中的最值问题例4、〔2021·浙江温州中学高三3月月考〕随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-，那么()D ξ的最大值为〔 〕A ．89B ．1716C ．2625D ．1【答案】D【解析】随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-， 可得：()212P p ξ==-，由0311*******p p p ≤-≤⎧⎪≤-≤⎨⎪≤-≤⎩，可得11,32p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以()()()()1312123144E p p p p ξ=-+-+-=-．()()()222(144)31(244)12(344)1D P P P P P P ξ=-+⨯-+-+⨯-+-+⨯-（）216184P P =-+-，11,32p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当12p =时，()D ξ的最大值为1． 应选：D ．例5、〔2021届浙江省杭州市第二中学高三3月月考〕随机变量的分布列如下：ξ其中，，成等差数列，那么的最大值为〔 〕 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为，，成等差数列，，.那么的最大值为例6、〔2021届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初〕，两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球假设干个，A 盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球〔〕，假设从，盒中各取一个球，表示所取的2个球中红球的个数，那么当取到最大值时，的值为〔 〕 A ．3 B ．5C ．7D ．9【答案】B【解析】可能值为，， ， ， 分布列为 a b c D ξ23592934a b c 122b a c,a b c 1,b ,c a,33∴=+++=∴==-2E ξa c 2a 3∴=-+=-+2222222D ξ12a a 2a b 12a a 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-⨯++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22821224a a 439333a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭D ξ23A B m 10m -B 10m -m 010m <<A B ξ()D ξm ξ0,1,210(10)(0)1010100m m m m P ξ--==⋅=221010(10)(1)10101010100m m m m m m P ξ---+==⋅+⋅=10(10)(2)1010100m m m m P ξ--==⋅=ξ，，当且仅当时，等号成立.应选:B.例7、〔2021·浙江省温州市新力量联盟高三上期末〕随机变量的分布列如下：其中，，成等差数列，那么的最大值为〔 〕 A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，，成等差数列，∴，∵，∴，， ∴，那么，当时取等号． 那么的最大值为.应选：D.例8、〔2021届山东省日照市高三上期末联考〕某公司准备投产一种新产品，经测算，每年生产万件的该种产品所需要的总本钱〔万元〕，依据产品尺寸，产品的品质可能出22(10)(10)(10)()0121100100100m m m m m m E ξ--+-=⨯+⨯+⨯=22222(10)(10)(10))(01)(11)(21)100100100(D m m m m m m ξ--+-=-⨯+-⨯+-⨯2(10)1101()505022m m m m -+-≤⨯==5m =X a b c ()D X 29593423a b c 2b a c =+1a b c ++=13b =23c a =-()823E X a =-2422()4969833E X a b c a a a =++=++-=-()()()22D XE X E X =-22821224439333a a a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭13a b c ===()D X 23()515x x ≤≤()32231630910x C x x x =-++现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，，，，，，〔单位：〕中，经统计得到的频率分布直方图如下图.产品的品质情况和相应的价格〔元/件〕与年产量之间的函数关系如下表所示.以频率作为概率解决如下问题： 〔1〕求实数的值；〔2〕当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列； 〔3〕估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.【答案】〔1〕；〔2〕见解析〔3〕年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.【解析】〔1〕由题意得，解得；〔2〕当产品品质为优时频率为，此时价格为；[)25.26,25.30[)25.30,25.34[)25.34,25.38[)25.38,25.42[)25.42,25.46[)25.46,25.50[]25.50,25.54mm m x a x ξξx 6a =12x =()0.04234 2.5 4.531a ⨯++++++=6a =()10.0446 2.50.5p =⨯++=34x -+当产品品质为中时频率为，此时价格为； 当产品品质为差时频率为，此时价格为；以频率作为概率，可得随机变量的分布列为：〔3〕设公司年利润为，那么整理得，显然当时，，时，， ∴当年产量时，取得最大值.估计当年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.二、达标训练1、【2021年高考全国Ⅲ卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，那么p = A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】∵()(1)D X np p =-，∴0.4p =或0.6p =，4466641010(4)C (1)(6)C (1)P X p p P X p p ==-<==-，22(1)p p ∴-<，可知0.5p >，故0.6p =．应选B ．2、〔2021届浙江省“山水联盟〞高三下学期开学〕设，随机变量的分布列如下表所示 ()20.04230.2p =⨯+=3255x -+()30.04 4.530.3p =⨯+=3205x -+ξ()f x ()()323323340.5250.2200.3163055910x f x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-+⨯+-+⨯--++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭()323123092x f x x x =-++-()()()21131231233f x x x x x '=-++=-+-[]5,12x ∈()0f x '≥[]12,15x ∈()0f x '≤12x =()f x ()12138f =12x =102b <<X，那么当在内增大时，的变化情况〔 〕A ．先增大再减小B ．先减小再增大C ．增大D ．减小【答案】D【解析】由分布列的性质可得. ， .当在内增大时，减小． 应选：.3、〔2021届浙江省台州市温岭中学3月模拟〕，随机变量，的分布列如表所示，那么〔 〕A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】B【解析】，，，由，所以，应选：B.()2E X =b 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()D X 1a b c ++=()2,102b E X <<=()()()222()1222321D X a b c a c b ∴=-⨯+-⨯+-⨯=+=-b 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()D X D c a >ξn E E ξη>D D ξη<E E ξη>D D ξη=E E ξη>D D ξη>E E ξη<D D ξη=234E a b c ξ=++432E a b c η=++()20E E c a ξη-=->6ξη+=()6D D D ξηη=-=4、〔2021届浙江省杭州市高三3月模拟〕随机变量ξ满足P (ξ=0) =x ，P (ξ=1) =1-x ，假设1(0,),2x ∈那么〔 〕 A ．E (ξ)随着x 的增大而增大，D (ξ)随着x 的增大而增大 B ．E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 C ．E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而减小 D ．E (ξ)随着x 的增大而增大，D (ξ)随着x 的增大而减小 【答案】B【解析】依题意()0111E x x x ξ=⨯+⨯-=-，在区间1(0,)2上是减函数.()()()2201111D x x x x ξ=--⋅+--⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2x x =-+，注意到函数2y x x =-+的开口向下，对称轴为12x =，所以2y x x =-+在区间1(0,)2上是增函数，也即D ξ在区间1(0,)2上是增函数. 应选：B5、〔2021·浙江学军中学高三3月月考〕a ，b 为实数，随机变量X ，Y 的分布列如下：假设，随机变量满足，其中随机变量相互独立，那么取值范围的是〔 〕 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】由，，所以，即，又，故，所以，又随机变量的可能取值为-1，0，1，那么，，，列出随机变量的分布列如下：()()1E Y P Y ==-ξXY ξ=XY ()E ξ3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,018⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,118⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦()E Y c a =-c a a -=2c a =1a b c ++=1b a c =--=13[0,1]a -∈1[0,]3a ∈XY 115(1)366P XY c a a =-=+=11131(0)()36222P XY b b a c a b ==+++=+112(1)363P XY a c a ==+=XY所以. 应选：B.6、〔2021届浙江省十校联盟高三下学期开学〕设，相互独立的两个随机变量，的分布列如下表：那么当在内增大时〔 〕A ．减小，增大B ．减小，减小C ．增大，增大D ．增大，减小【答案】D【解析】，，，，，， ， 当在内增大时，增大，减小，应选：D ．7、〔2021·浙江温州中学3月高考模拟〕随机变量X 的分布列如下表： ()521636E a a a ξ=-+=-∈1,018⎡⎤-⎢⎥⎣⎦112p <<ξηp 1,12⎛⎫⎪⎝⎭()E ξη+()D ξη+()E ξη+()D ξη+()E ξη+()D ξη+()E ξη+()D ξη+112p <<211()333E ξ=-+=-()121E p p p η=-+=-4()23E p ξη+=-2212118()(1)(1)33339D ξ=-+⨯++⨯=222()(2)(1)(22)44D p p p p p p η=--+-=-228117()444()929D p p p ξη+=-+=--+∴p 1(,1)2()E ξη+()D ξη+其中a ，b ，.假设X 的方差对所有都成立，那么〔 〕 A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】由X 的分布列可得X 的期望为,又,所以X 的方差, 因为,所以当且仅当时,取最大值, 又对所有成立, 所以,解得, 应选:D.8、〔2021届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考〕设，随机变量的分布列是：那么当在内增大时〔 〕 A ．增大B ．减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大【答案】A 【解析】根据随机变量的分布列， 0c >()13D X ≤()0,1a b ∈-13b ≤23b ≤13b ≥23b ≥()E X ac =-+1a b c ++=()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++()2a c a c =--++()2211a b b =--++-21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭()0,1a b ∈-12b a -=()D X 1b -()13D X ≤()0,1a b ∈-113b -≤23b ≥023a <<X a 03⎛⎫ ⎪⎝⎭，()D X ()D X ()D X ()D X ()()21013()E a X a -+⨯-⨯+⨯＝1313a -＝那么 ＝ ＝ 由于函数的图象为关于的开口方向向下的抛物线，且，函数的对称轴为， 故增大.应选：A. ()2211210333X D a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅+--⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝211133a ⎡⎤⎛⎫--⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦25239a a -++2533636a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭()D X a 203a ＜＜56a ＝()D X。

杭州西湖高级中学高三3月月考数学试卷（理科卷）一、选择题（每小题所给的四个选项中，只有一个符合题目要求，每小题5分，共50分） 1．已知函数(),(0,1)x f x a a a =>≠的图像经过点11(,)22P ，则常数a 的值为 （ ）A ．2B ．4C ．12D ． 142．函数2|2sin 1|y x =-的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2π C ．π D ．2π 3．已知三个力1(2,1)f =-- ，2(3,2)f =- ，3(4,3)f =-同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力4f ，则4f等于 （ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）4．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{}n b 中， 55b a =，77b a =，则6b 等于（ ）A ．B ．－C ．±D ．无法确定 5．2lg 0.11x >是||1x <的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件6．函数()f x 的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与12log y x =的图象重合，则()f x 是（ ）A ．2y =-xB ．42log y x =C ．()2log 1y x =+D ．142y =⋅x 7．以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．221090x y x +-+= B ．221090x y x +--=C ．221090x y x +++=D ．221090x y x ++-=8．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好 点”。

在下面五个点M （1，1），N （1，2），P （2，1），Q （2，2），G （2，12）中，“好 点”的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥， 12||||2PF PF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）A ．13222=-y x B ．12322=-y x C ．1422=-y x D ．1422=-y x 10．由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为 （ ）A ．29189 B ． 2963 C ． 3463D ． 47 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）11．若圆锥曲线15222=++-k y k x 的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是__________． 12．nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的展开式中第9项是常数项，n 的值是13．若点A （1，2）和B （1，1）在直线3x-y+m=0的异侧，则m 的取值范围是______________14．椭圆22a x +22b y =1(a>b>0)上两点A ，B 与中心O 的连线互相垂直，则2211OA OB+= 三．解答题：（每小题14分，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量m =（sin B ，1－cos B )，且与向量=（2，0）所成角为3π，其中A, B, C 是⊿ABC 的内角． （1）求角Ｂ的大小；（2）求sinA+sinC 的取值范围．16.有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机投掷一次，所得点数较大者获胜. ⑴分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；⑵投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？ 17．已知抛物线24y x =上两定点A 、B 分别在对称轴两侧，F 为焦点，且2,5AF BF ==，在抛物线的AOB 一段上求一点P ，使ABP S ∆最大，并求面积最大值。

杭州二中2022学年第二学期高三年级3月考试数学试卷第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}214,ln 4A x x B x y x =-≤≤==-，则A B ⋃=（）A.(,1][2,)-∞-+∞B.[1,2)- C.[1,4]- D.(2,4]-【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数的定义域，先求出集合B ，然后利用并集的运算即可求解.【详解】因为集合22{|ln(4)}{|40}{|22}B x y x x x x x ==-=->=-<<，又因为集合{|14}A x x =-≤≤，由并集的概念可知，{|24}(2,4]A B x x =-<≤=- ，故选：D .2.已知复数()2iR 1ib z b +=∈-的实部为1-，则b 的值为（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】B 【解析】【分析】先利用复数的四则运算得出(2)(2)i2b b z -++=，然后根据题意即可求解.【详解】复数2i (2i)(1i)(2)(2)i1i (1i)(1i)2b b b b z +++-++===--+，因为复数()2iR 1ib z b +=∈-的实部为1-，所以22b -=-，则4b =，故选：B .3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为（）A.4πB.8πC.12πD.20π【答案】C 【解析】【分析】圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，可知底面圆的半径，再求的底面圆的面积和圆锥的侧面积，即可求得该圆锥的表面积.【详解】由于圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则圆锥底面圆的半径为4π22πr ==，底面圆的面积为22ππ24πr =⨯=，圆锥的表面积为14π44π12π2⨯⨯+=.故选：C.4.2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕．某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为（）A.16 B.17C.13D.27【答案】D 【解析】【分析】先插入第一个节目，再插入第二个节目，再按照分步乘法计数原理分别计算插入的情况数量及这两个教师节目恰好相邻的情况数量,再应用古典概率公式求概率即可.【详解】由题意可知，先将第一个教师节目插入到原节目单中，有6种插入法，再将第二个教师节目插入到这6个节目中，有7种插入法，故将这两个教师节目插入到原节目单中，共有6742⨯=（种）情况，其中这两个教师节目恰好相邻的情况有2612⨯=（种），所以所求概率为122427=.故选:D.5.已知OAB ，1OA =，2OB =，1OA OB ⋅=-，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E满足12OE ED = ，则EO EA ⋅的值为（）A.328-B.121-C.29-D.221-【答案】D 【解析】【分析】作出图形，由平面向量数量积的定义及余弦定理可得OD =，再由平面向量数量积的运算律即可得解.【详解】由题意，作出图形，如图，1OA = ，2OB =，1OA OB ⋅=-12cos 2cos 1OA OB AOB AOB ∴⋅=⨯∠=∠=- ，1cos 2AOB ∴∠=-，由()0,AOB π∠∈可得23AOB π∠=，AB ∴==又113sin 222AOB S OA OB AOB OD AB =⋅⋅⋅∠=⋅⋅=△，则OD =()222232299721EO EA OE ED DA OE OD ∴⋅=-⋅+=-=-⋅=-⨯=- .故选：D ．6.已知1132,5,(2)ea b c e ===+，则,,a b c 的大小关系为（）A.b<c<aB.c b a <<C .b a c<< D.c<a<b【答案】A 【解析】【分析】化简由题意，可得11132(22),(23),(2)e a b c e =+=+=+，构造()()1ln 2f x x x=⋅+，得到则()()2ln 22xx x f x x-+'+=，再令()()ln 22x g x x x =-++，求得函数的单调性，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，可得11132(22),(23),(2)e a b c e =+=+=+，所以令()()1ln 2,(0)f x x x x=⋅+>，则()()2ln 22xx x f x x -+'+=，令()()ln 2,(0)2xg x x x x =-+>+，则()20(2)x g x x +'-=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()()00g x g <=，所以()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，因为23e <<，所以()()()23f f e f >>，即()()()111ln 22ln 2ln 2323e e +>+>+，所以11132ln(22)ln(2)ln(23)ee +>+>+，所以111324(2)5ee >+>，即b<c<a .故选：A.7.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π4F PF ∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）A.B.22C. D.2【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得112||PF a a =+，212||PF a a =-，进而在焦点三角形中运用余弦定理即可得221222224e e +=，结合均值不等式即可求解.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：121||||2PF PF a +=，122||||2PF PF a -=，112||PF a a ∴=+，212||PF a a =-，设12||2F F c =，12π4F PF ∠=，则：在△12PF F 中由余弦定理得，22212121212π4()()2()()cos4c a a a a a a a a =++--+-，化简得：22212(2(24a a c ++=，即2212224e e +=，又2212122212·e e e e ++≥，∴121e e ≤122·2e e ≥，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22．故选：B8.已知在矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E ，F 分别在边AD ，BC 上，且1AE =，3BF =，如图所示，沿EF 将四边形AEFB 翻折成A EFB ''，设二面角B EF D '--的大小为α，在翻折过程中，当二面角B CD E '--取得最大角，此时sin α的值为（）A.35B.45C.23D.13【答案】B 【解析】【分析】过B 作EF 的垂线交EF 与O ，交AD 于M ，CD 于G ，然后利用定义法可得B KH '∠为二面角B CD E '--的平面角，设B OH α'∠=，可得2B H α'=，53cos 22HK α=-，从而sin tan 3253cos B H B KH HK αα''∠==-，然后求函数最大值时的sin α值即可.【详解】过B 作EF 的垂线交EF 与O ，交AD 于M ，CD 于G ，设B '在平面AC 内的投影为H ，则H 在直线BM 上，过H 作CD 的垂线，垂足为K ，则B KH '∠为二面角B CD E '--的平面角，设B OH α'∠=，由题意2B O BO '==sin 2B H B O αα''==，则cos cos )2BH BO B O αα'=++，由45GBC ∠=︒，42BG =，得42cos )2HG BG BH α=-=+，所以3534(1cos )cos222HK αα==-+=-，所以sin tan 53cos B H B KH HK αα''∠==-，令sin 53cos t αα=-，可得sin 3cos 5t t αα+=≤，则14t ≤，所以，当14t =即sin 153cos 4αα=-，也即4sin 5α=时，tan B KH ∠'取到最大值324，此时B KH '∠最大，即二面角B CD E '--取得最大角.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m 被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为16【答案】AD 【解析】【分析】利用概率对于即可判断A ；根据平均数求得m 的值，然后利用方差公式求解即可判断B ；根据百分位数的求法即可判断C ；利用方差公式求解即可判断D.【详解】对于A ，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为150，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为11100.2055⨯==，故A 正确；对于B ， 数据1，2，m ，6，7的平均数是4，4512674m =⨯----=，这组数据的方差是()()()()()222222114244464745s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=265，故B 错误；对于C ，8个数据50百分为850%4⨯=，第50百分位数为1719=182+，故C 错误；对于D ，依题意，()28D x =，则()()2221216D x D x -=⨯=，所以数据121021,21,,21x x x --⋯-的标准差为16，D 正确；故选：AD.10.已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =+，下列关于该函数结论正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π2x =对称 B.()f x 的一个周期是2πC.()f x 的最大值为sin11+ D.()f x 是区间3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数【答案】BC 【解析】【分析】利用诱导公式判断()f x 与()πf x -是否相等判断A ，判断()f x 与()2πf x +是否相等判断B ，利用三角函数及复合函数的单调性判断CD.【详解】由()()()sin cos cos sin f x x x =+，对于A ，()()()()()()()()πsin cos πcos sin πsin cos cos sin f x x x x x f x -=-+-=-+≠，故A不正确；对于B ，()()()()()()()()2πsin cos 2πcos sin 2πsin cos cos sin f x x x x x f x +=+++=+=，故B 正确；对于C ，因为1cos 1x -≤≤，所以()sin cos y x =的最大值为sin1，当cos 1x =时，()cos sin cos 01y x ===，取得最大值，所以()f x 的最大值为sin11+，故C 正确；对于D ，()3ππ3ππsin1cos111110244f f ⎛⎫-=+-=+->-=⎪⎝⎭（），又函数连续，故D 错误；故选：BC11.已知正四棱锥P ABCD -的所有棱长均为E ，F 分别是PC ，AB 的中点，M 为棱PB 上异于P ，B 的一动点，则以下结论正确的是（）A.异面直线EF 、PD 所成角的大小为3πB.直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为6C.EMF +D.存在点M 使得PB ⊥平面MEF 【答案】BC 【解析】【分析】根据空间中异面直线所成角，直线与平面所成角的定义，空间中折叠问题以及垂直关系的判定与性质，逐个选项运算求解即可．【详解】如图1，取PD 的中点Q ，连接EQ ，AQ ，因为E ，F 分别是PC ，AB 的中点，所以EQ DC AF ，且EQ AF =，所以四边形AFEQ 为平行四边形，则EF AQ ，又正四棱锥P ABCD -的所有棱长均为，则AQ PD ⊥，所以异面直线EF ，PD 所成角为π2，故A 错误；设正方形ABCD 的中心为O ，连接OC ，PO ，则PO ⊥平面ABCD ，2OC OP ==，设OC 的中点为H ，连接EH ，FH ，则EH OP ，且EH ⊥平面ABCD ，所以EFH ∠为直线EF 与平面ABCD 所成角，所以112EH PO ==，OFH 中，1OH =，OF =，135FOC ︒∠=，所以由余弦定理可得FH =EF ==，所以6sin6EH EFH EF ∠==，故B 正确；将正PAB 和PBC 沿PB 翻折到一个平面内，如图2，当E ，M ，F 三点共线时，ME MF +取得最小值，此时，点M 为PB 的中点，ME MF BC +==，所以EMF V +C 正确；若PB ⊥平面MEF ，则PB ME ⊥，此时点M 为PB 上靠近点P 的四等分点，而此时，PB 与FM 显然不垂直，故D 错误；故选：BC ．12.已知定义域为R 的函数()f x 在(]1,0-上单调递增，()()11f x f x +=-，且图像关于()2,0对称，则()f x （）A.()()02f f =-B.周期2T =C.在()2,3单调递减D.满足()()()202120222023f f f >>【答案】AC 【解析】【分析】根据题意化简得到()()4f x f x =+，得到()f x 的周期为4T =,结合()()22f f -=，求得()()02f f =-，得到A 正确，B 错误；再由()f x 的对称性和单调性，得出()f x 在()2,3单调递减，可判定C 正确；根据()f x 的周期求得()()20211f f =，()()20222f f =，()()20233f f =，结合特殊函数()f x 的图象，可判定D 不正确.【详解】由()()11f x f x +=-，可得()f x 的对称轴为1x =，所以()()02,f f =又由()()11f x f x +=-知：()()2f x f x +=-，因为函数()f x 图像关于()2,0对称，即()()22f x f x +=--，故()()4f x f x +=--，所以()()24f x f x -+=+，即()()2f x f x -=+，所以()()4f x f x =+，所以()f x 的周期为4,所以()()22f f -=，所以()()02f f =-，故A 正确，B 错误；因为()f x 在(]1,0-上单调递增，且4T =，所以()f x 在(]3,4上单调递增，又图像关于()2,0对称，所以()f x 在(]0,1上单调递增，因为关于1x =对称，所以()f x 在(]1,2上单调递减，又因为关于()2,0对称，可得函数()f x 在()2,3单调递减，故C 正确；根据()f x 的周期为4T =，可得()()()()()()20211,20222,20233f f f f f f ===，因为关于1x =对称，所以()()20f f =且()()31f f =-，即()()()()()()20211,20220,20231f f f f f f ===-，由函数()f x 在(]1,2上单调递减，且关于1x =对称，可得()f x 在(]0,1上单调递增，如图所示的函数()f x 中，此时()()()()10,01f f f f -<>，所以()()()202120222023f f f >>不正确.故选：AC.【点睛】规律探求：对于函数的基本性质综合应用问题解答时，涉及到函数的周期性有时需要通过函数的对称性得到，函数的对称性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的时函数值随自变量变化而变化的规律，因此在解题时，往往西药借助函数的对称性、奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，与准线交于C 点，F 为AC 的中点，且3AF =，则p =__________.【答案】32##1.5【解析】【分析】利用抛物线的定义结合三角形中位线定理求解即可.【详解】设y 轴交准线于N ，过A 作准线的垂线，垂足为Q ，因为F 为AC 的中点，且3AF =，则由抛物线的定义可得3AQ =，在Rt ACQ 中，1322FN AQ ==，所以32p =，故答案为：3214.在6()x a +的展开式中的3x 系数为160，则=a _______．【答案】2【解析】【分析】首先求出6()x a +的展开项中3x 的系数，然后根据3x 系数为160即可求出a 的取值.【详解】由题知616r rr r T C xa -+=，当3r =时有333333466160160T C x a x C a ==⇒=，解得2a =.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.15.已知正实数,a b 满足()3386311a a b b +≤+++，则23a b +的最小值是___________.【答案】3-【解析】【分析】根据不等式特征可通过构造函数()33,0f x x x x =+>，利用函数单调性解不等式可得21a b ≥+，再根据基本不等式即可求得23a b +的最小值是3-.【详解】由题意可得将不等式变形成33223311a a b b ⎛⎫⎛⎫+⨯≤+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭；又因为,a b 都是正数，所以20,01a b +>>；可构造函数()33,0f x x x x =+>，易知函数为增函数，由()3386311a a b b +≤+++可得33223311a ab b ⎛⎫⎛⎫+⨯≤+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()21f f a b ⎛⎫≤⎪+⎝⎭，根据函数单调性可得21a b ≥+，则()233313443311b b a b b b ++=++-≥=++-≥，当且仅当()3124,11a b b b +=++=，即13a b ==-取等号，因此23a b +的最小值是3-.故答案为：316.函数2()2e x f x a bx =++，其中,a b 为实数，且(0,1)a ∈.已知对任意23e b >，函数()f x 有两个不同零点，a 的取值范围为____________.【答案】)6,1-⎡⎣e 【解析】【分析】由题意可得2ln 22e e 2e 0x x a a bx bx ++=++=有两个不相等的实根，利用换元法，分离参数，令ln t x a =，则22ln t b a t +-=e e ，再利用导函数求2e e t t+的最小值即可.【详解】因为()f x 有两个不同零点()0f x ⇔=有两个不相等的实根，即2ln 22e e 2e 0x x a a bx bx ++=++=有两个不相等的实根，令ln t x a =，则220ln tbt a ++=e e ，t 显然不为零，所以22ln t b a t+-=e e ，因为()0,1a ∈，23e b >，所以20ln ba->，所以0t >，令()()2e e 0t g t t t +=>，则()()22t t t g t t-+'=e e e ，令()()()2e e e0tth t t t =-+>，则()0tttth t t t '=+-=>e e e e ，所以()h t 在()0,∞+上单调递增，又()20h =，所以当()0,2t ∈时，()0h t <；当()2,t ∈+∞时，()0h t >，所以当()0,2t ∈时，()0g t '<；当()2,t ∈+∞时，()0g t '>，故()g t 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()2min 2g t g ==e ，所以22ln ba-≥e ，又23e b >，所以23b >e ，所以ln 32a -≤即ln 6a ≥-，6a -≥e ，又()0,1a ∈，所以)6,1a -⎡∈⎣e ，故答案为：)6,1-⎡⎣e 【点睛】利用换元法，令ln t x a =，根据t 不为零，分离参数得22ln t b a t+-=e e ，构造函数，通过求解函数的最值，即可得出a 的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，若ABC 同时满足下列四个条件中的三个：①a =2b =；③sin sin sin ++=-B C a c A b c ；④21cos sin sin 24-⎛⎫-= ⎪⎝⎭B C B C ．（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC 的面积．【答案】（1）序号组合为①②③，①②④（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）判断出③，④不能同时存在，由此确定正确答案.（2）选①②③，则利用余弦定理求得c ，进而求得三角形ABC 的面积；选①②④，则利用余弦定理求得c ，进而求得三角形ABC 的面积.【小问1详解】对于③，()22212π,0,223b c a c a c b B B a b c ac π+++-=⇒=-∈∴=-；对于④，()()1cos 11sin sin cos 2sin sin 242B C B C B C B C +--=⇒--=-，即()1cos 2B C +=-，且π,0,,πA B C A B C ++=<<，则π3A =，故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．【小问2详解】选①②③：2π2,3a b B ===时，由余弦定理：22221cos22a c b B ac +-=⇒-=整理得：210c -=且0c >，则732c =，ABC ∴ 的面积为31sin 28ABCSac B == ．选①②④：π2,3a b A ===时，由余弦定理：2222143cos 224b c a c A bc c+-+-=⇒=，整理得：2210c c -+=，则1c =，ABC ∴ 的面积1sin 22ABC S bc A ==．18.已知数列{}n a 满足22113,2221++==+-++n n n a a a n n ．（1）求证：22⎧⎫-⎨⎩⎭n na n 是等差数列；（2）令2⎡⎤=⎢⎥⎣⎦nn n a b （[]x 表示不超过x 的最大整数．提示：当a ∈Z 时，[][]a x a x +=+），求使得12100n b b b ++≤+L 成立的最大正整数n 的值．【答案】（1）证明见解析（2）9【解析】【分析】（1）根据递推关系，结合等差数列定义证明即可；（2）结合（1）得()2221nn a n n =-+，故2212n n n b n ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再根据函数()ln x f x x =的单调性得当5x ≥时，22x x <，进而解5n时，2123100n b b b n +++=+≤ 即可得答案.【小问1详解】证明：因为2212221n n n a a n n ++=+-++，所以222222111(1)2221(1)2222n n n n n n n n na n a n a n n n a n ++++-+-+-++-+--=-()2221222222n n n n a n a n +++---==，所以数列22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n na n 是以1112a -=为首项，2d =为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）知，2212n na n n -=-，即()2221n n a n n =-+，所以()()22222121212222n n n n nn n n n a n n b n n ⎡⎤-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．令函数()ln x f x x =，所以()21ln x f x x-'=，当()0,e x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增；当()e,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减．注意到：2552<，两边同时取对数25ln5ln2<，即ln5ln252<，所以当5x ≥时，ln ln5ln252x x ≤<，即22x x <，特别地，1n =时，21022n n ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当2n =时，24124n n ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当3n =时，29128n n ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当4n =时，2161216n n ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当5n ≥时，22nn <，则202n n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．显然使得12100n b b b ++≤+L 成立的最大正整数n 的值大于5，则5n时，()2121352133100n b b b n n +++=++++-+=+ ，所以满足条件的n 的最大值为9．19.如图，四棱锥P -ABCD 的底面为梯形，PD⊥底面ABCD ，90BAD CDA ∠=∠=︒，1AD AB ==，2CD =，E 为PA 的中点．（1）证明：平面PBD ⊥平面BCE ；（2）若二面角P -BC -E 的余弦值为265，求三棱锥P -BCE 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）312.【解析】【分析】（1）线面垂直的性质可得PD BC ⊥，若F 为CD 中点，连接BF ，由正方形的性质及勾股定理可得BD BC ⊥，再由线面垂直的性质有BC ⊥面PBD ，最后根据面面垂直的判定证结论.（2）构建空间直角坐标系，设PD m =求相关点坐标，再求面PBC 、面EBC 的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示，结合二面角的余弦值求参数m ，最后求PBC S 、向量法求E 到面PBC 的距离，再由体积公式求棱锥的体积.【小问1详解】因为PD⊥底面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，则PD BC ⊥，由90BAD ∠=︒，1AD AB ==，则2BD =，又90CDA ∠=︒，则//AB DC ，若F 为CD 中点，连接BF ，易知：ABFD 为正方形，则1BF =，又2CD =，即1FC =，所以2BC =综上，222BC BD CD +=，即BD BC ⊥，又BD PD D = ，则BC ⊥面PBD ，又BC ⊂面BCE ，所以平面PBD ⊥平面BCE .【小问2详解】由题设，可构建如下图示的空间直角坐标系，若PD m =，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，1(,0,)22mE ，(0,0,)P m，所以(1,1,)PB m =- ，1(,1,)22mEB =- ，(1,1,0)BC =- ，若(,,)x y z α= 为面PBC 的一个法向量，则0BC x y PB x y zm αα⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1x =，则2(1,1,)mα= ，若(,,)a b c β= 为面EBC 的一个法向量，则0022BC a b a cmEB b ββ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1a =，则3(1,1,mβ=，所以26226|cos ,|||5||||m αβαβαβ+⋅<>==，整理得429610m m-+=，所以m =，即PD =，易得：2,PA PC ==由PD⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，则PD ⊥AB ，又90BAD ∠=︒，即AD ⊥AB ，由=PD AD D ⋂，则AB ⊥面PAD ，PA ⊂面PAD ，即AB ⊥PA ，所以在直角△PAB中，PB ，在△PBC中，PB =PC =、BC =222PB BC PC +=，则PB BC ⊥，所以11022PBC S ==.由上有：1(,1,)22EB =- 且面PBC的一个法向量α= ，则12|cos ,||20EB α<>==，故E 到面PBC的距离1530|||cos ,|2020d EB EB α=<>==，所以11301033320212P BCE PBC V d S -=⋅⋅=⨯⋅=.20.法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g .这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布.（1）已知如下结论：若()2,X Nμσ ，从X 的取值中随机抽取()*,2k k N k ∈≥个数据，记这k 个数据的平均值为Y ，则随机变量2,Y N k σμ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.利用该结论解决下面问题.（i ）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y ，求()980P Y ≤；（ii ）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在()950,1050上，并经计算25个面包质量的平均值为978.72g .庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσημσ-≤≤+=，()()220.9545,330.9973P P μσημσμσημσ-≤≤+=-≤≤+=；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.【答案】（1）（i ）0.02275；（ii ）理由见解析.（2）ξ012p5314044984073840()1724E ξ=【解析】【分析】（1）（i ）由正太分布的对称性及3σ原则进行求解；（ii ）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；（2）设取出黑色面包个数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望.【小问1详解】（i ）因为25010025=，所以()21000,10Y N ，因为()220.9545P μσημσ-≤≤+=，所以()10.954520.022752P ημσ-≤-==，因为9801000210=-⨯，所以()()98020.02275P Y P Y μσ≤=≤-=；（ii ）由第一问知()()98020.02275P Y P Y μσ≤=≤-=，庞加莱计算25个面包质量的平均值为978.72g ，978.72980<，而0.022750.05<，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由；【小问2详解】设取出黑色面包个数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,则()143154530265287140p ξ==⨯⨯+⨯⨯=；()124135449122265287840p ξ==⨯⨯⨯+⨯=，()121132732265287840p ξ==⨯⨯+⨯=，故分布列为：ξ012p5314044984073840其中数学期望()53449731701214084084024E ξ=⨯+⨯+⨯=21.已知抛物线21:C y x =，开口向上的抛物线2C 与1C 有一个公共点(2,4)T ，且在该点处有相同的切线，（1）求所有抛物线2C 的方程；（2）设点P 是抛物线2C 上的动点，且与点T 不重合，过点P 且斜率为k 的直线l 交抛物线1C 于,A B 两点，其中PA PB ≥，问是否存在实常数k ，使得PA PB为定值？若存在，求出实常数k ；若不存在，说明理由.【答案】（1）2(2)4(1)y a x x =-+-（0a >且1)a ≠（2）存在，4k =.【解析】【分析】（1）设22:C y ax bx c =++，根据题意结合导数的几何意义，得到44a b +=，再由2C 过点T ，求得44c a =-，即可求得抛物线2C 的方程；（2）根据题意得到l 即为公共点T 处的切线，得出4k =，设2(,(2)4(1))P t a t t -+-，求得切线方程为()()()24241y x t a t t =-+-+-，联立方程组，得到12PA x t PBx t-=-，令m x t =-，得到12PA mPB m =，并代入整理得222(24)(2)4(1)0m t m t a t t +-+----=，根据根与系数的关系，化简求得22212212(22)(88)882(1)(1)(44)441m m a t a t a a m m a t a t a a++-++++==----+-为定值，分1a >和01a <<，两种情况讨论，结合21y y <，得到,A B 在点P 的两侧和同侧，进而得到答案.【小问1详解】解：设22:,(0)C y ax bx c a =++>，可得2y ax b '=+，抛物线21:C y x =，可得2y x '=，因为抛物线2C 与1C 有一个公共点(2,4)T ，且在该点处有相同的切线，可得44a b +=，即44b a =-，所以22:(44)C y ax a x c =+-+，因为抛物线2C 过点(2,4)T ，代入可得44c a =-，即满足条件的22:(44)(44)C y ax a x a =+-+-即抛物线2C 的方程为2(2)4(1),(0y a x x a =-+->且1)a ≠.【小问2详解】解：当0PB →时，若PAPB为常数，则0PA →，此时l 即为公共点T 处的切线，故若存在，则4k =.下面证明：4k =时，PA PB为常数，设2(,(2)4(1))P t a t t -+-，则切线方程为()()()24241y x t a t t =-+-+-，联立方程组()()()224241y x y x t a t t ⎧=⎪⎨=-+-+-⎪⎩，整理得224()(2)4(1)0x x t a t t ------=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12PA x t PBx t-=-，令m x t =-，可得x m t =+，所以12PA mPB m =，代入上式得22()4(2)4(1)0m t m a t t +-----=，即222(24)(2)4(1)0m t m t a t t +-+----=，可得()()12221242241m m t m m t a t t +=-⎧⎪⎨=----⎪⎩，所以222121224(2)m m m m t ++=-，则2222222124(2)22(2)8(1)22(2)8(1)m m t t a t t t a t t +=--+-+-=+---，所以22212212(22)(88)882(1)(1)(44)441m m a t a t a a m m a t a t a a++-++++==----+-为定值，且2221(1)4(1)4(1)(1)(2)y y a x a x a a x -=-+-+-=--，①当1a >时，由21y y >，可得,A B 在点P 的两侧，所以11221PA x t mPB x t m -==->-，令12m t m =，可得12(1)1a t t a ++=-，即2(1)2(1)10a t a t a --++-=，解得121a t a+±=-，因为1t <-，所以11a t a+-=-为定值；②当01a <<时，由21y y <，可得,A B 在点P 的同侧，所以11221PA x t m PBx tm -==>-，因为1t >，所以121a t a++=-为定值，综上可得，存在4k =时，使得PAPB为定值.【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的常见策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.22.已知221ln ,0(),0x x x x f x e x --⎧->=⎨≤⎩.（1）当(0,)x ∈+∞时，求()f x 的最大值；（2）若存在[0,)a ∈+∞使，得关于x 的方程2()0f x ax bx ++=有三个不相同的实数根，求实数b 的取值范围.【答案】（1）112e +；（2）1(,,e ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性即可求出最值.（2）验证0x =不是方程的根，将原方程的根等价于()f x ax b x=--的根，记0A a =-≤，B b =-，令() t x Ax B =+，令2()g()(0)x f x e x x x x--==<，讨论B 的取值，利用导数求出函数()g x 的最值，通过比较即可确定答案.【详解】（1）当(0,)x ∈+∞时，2()1ln f x x x =-，即()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=--=-+当x<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以max 1()12f x f e==+（2）()20f x ax bx ++=，经验证0x =不是方程的根，所以原方程的根等价于()f x ax b x=--的根，记0A a =-≤，B b =-，令() t x Ax B =+，0A ≤，单调递减，令2()g()(0)x f x e x x x x --==<，即22(1)()x x e g x x---+'=，令()01g x x '=⇒=-为极大值点，其在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，当B >，1()(1)()(0)t x B g g x x e>>-=-≥<，所以()()g x t x =在0x <无实数根当0x >时，21()()()ln B g x t x h x x A x x=⇔=--=……①2323212()B x Bx h x x x x x -+'=--+=-()h x 有两个极值点12,x x，且121220x x B x x ⎧+=>⎪⎨⋅=>⎪⎩即120x x <<，22B x =故222213()ln ln422B B B B x h x x x B B x ++=--=--32222ln 0422<-⨯-=-<，所以()20h x <，存在A使①有三个实根所以B >.当B ()h x '的分子中2=80B ∆-≤，()0h x '≤，显然()0,0x h x +→>，所以①仅有一个正根，要使2x e Ax B x--=+有两个负根，则max 1()(0)B g x x e ≤=-<﹐综上所()1,B e⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦﹐即1(,,b e ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了利用导数研究方程的根、利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.。

杭州二中高三三月月考数学卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合M ＝{x |1≤x ≤3}，N ＝{x |x >2}，则集合M ∩(∁R N )等于( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x <2} D ．{x |2<x ≤3}2．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为( )A.35B.45C.54D.533．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有( ) A ．log a x >log b y B ．sin a x >sin b y C ．ay >bx D ．a x >b y4．将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.π3D.5π65．函数f (x )＝e |x －1|－2cos(x －1)的部分图象可能是( )6．随机变量ξ的分布列如下：ξ －1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则D A.23 B.59 C.29 D.347．已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则|a |的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤2－32，2＋32 B.⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12 C.⎝⎛⎦⎤0，2＋12 D.⎝⎛⎦⎤0，2＋32 8.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿直线BD 翻折成△A ′BD ，如图，则直线BA ′与CD 所成角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π3，π2 B.⎣⎡⎦⎤π6，π3 C.⎣⎡⎦⎤π6，π2 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －x 2，0≤x <2，2f (x －2)，x ≥2，g (x )＝kx ＋2，若函数F (x )＝f (x )－g (x )在[0，＋∞)上只有两个零点，则实数k 的值不可能为( ) A ．－23 B ．－12 C ．－34D ．－110．已知数列满足，a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *，记T 2n 为数列{a n }的前2n 项和，数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1成立的最小整数n 为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n ＝________；该展开式中的常数项是____________．12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m ，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范围为_______，如果目标函数z ＝2x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是23，则a ＝________，该几何体的表面积为________．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 若a ＝7，c ＝3，A ＝60°，则b ＝________，△ABC 的面积S ＝________.15.如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有____个．16．若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是________．17．设点P 是△ABC 所在平面内一动点，满足CP →＝λCA →＋μCB →，3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R )，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.若 |A B →|＝3，则△ABC 面积的最大值是________．三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分) 已知函数2()3sin cos cos (0)f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π，(1)求ω的值；(2)若07[,]412x ππ∈且031()32f x =-，求0cos 2x 的值。

2024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1B.-12C.12D.13.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-34.已知点A 为曲线y =x +4xx >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.425.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为411.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．14.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．16.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形.SA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD成45°角.(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；BC，求二面角B-SC-D的余弦值.(2)若EF=1217.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?18.已知抛物线y=ax2(a>0)与双曲线y=1x交于点T，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P，Q．(1)证明：△PQT存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT的面积．19.已知函数f x =x+7中心对称．x+a关于点-1,1(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x2在区间0,+∞上的单调性；(3)设a1=1,a n+1=f a n<1．，证明：2n-22ln a n-ln72024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅【答案】C【分析】由题意可知A ∩B 实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.【详解】解：集合A 与集合B 均为点集，A ∩B 实质是求x +y =2与y =x 2的交点，所以联立组成方程组得x +y =2y =x 2 ，解得x =1y =1 ，或x =-2y =4 ，从而集合A ∩B =1,1 ,-2,4 ，故选：C .【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1 B.-12 C.12 D.1【答案】D【解析】首先计算1-i1+i ，然后利用共轭复数的特征计算a ,b 的值.【详解】1-i 1+i =(1-i )2(1+i )(1-i )=-2i2=-i ，∴a +bi =-(-i )=i ，∴a =0,b =1,∴a +b =1.故选:D .【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c ，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-3【答案】A【分析】由向量线性关系及垂直的坐标表示列方程求参即可.【详解】由题意得a -λb =(1+λ,1-3λ)，又(a -λb )⊥c，所以(a-λb )⋅c =2(1+λ)+1-3λ=0，可得λ=3.故选：A4.已知点A 为曲线y =x +4x x >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.42【答案】A【分析】数形结合分析可得，当A 2,4 时能够取得|AB |的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可.【详解】圆x -2 2+y 2=1的圆心为2,0 ，半径为1，由对勾函数的性质,可知y =x +4x≥4，当且仅当x =2时取等号，结合图象可知当A 点运动到2,4 时能使点A 到圆心的距离最小，最小值为4，从而AB 的最小值为4-1=3.故选：A5.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数【答案】B【分析】利用二项式通项的性质和组合数的性质计算出符合条件的k 值即可.【详解】通项公式为T k +1=C k 10⋅2k ⋅x 10-k ，因为C k 10⋅2k ≥C k -110⋅2k -1⇒2C k 10≥C k -110，所以2×10×9×⋯×11-k k !≥10×9×⋯×12-k k -1 !⇒211-k k ≥1⇒k 3k -22 ≤0⇒k ≤223同理C k 10⋅2k ≥C k +110⋅2k +1⇒C k 10≥2C k +110，所以10×9×⋯×11-k k !≥2×10×9×⋯×10-k k +1 !⇒210-k k +1≤1⇒3k -19 k +1 ≥0⇒k ≥193，所以k =7，所以展开式各项的系数中最大的是第八项，为T 8=C 710⋅27⋅x 3，即x 3的系数最大.故选：B6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生【答案】C【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.【详解】根据已知条件设理科女生有x 1人，理科男生有x 2人，文科女生有y 1人，文科男生有y 2人；根据题意可知x 1+x 2>y 1+y 2，x 2+y 2<x 1+y 1，根据异向不等式可减的性质有x 1+x 2 -x 2+y 2 >y 1+y 2 -x 1+y 1 ，即有x 1>y 2，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C .7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π【答案】B【分析】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，并建立适当的空间直角坐标系，由已知表示出各个点的坐标，进一步结合OA =OS=R ，列出方程组求出R 即可进一步求解.【详解】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，S 在棱EH 上面，并以A 为原点，AB ,AD ,AE 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，所以SA =16-4=23，因为SA 和BC 所成的角为π3，AD ⎳BC ，所以AE =23sin π3=3,ES =23cos π3=3，而底面三角形外接圆圆心为AC 中点O 1，设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2,3,0 ,S 0,3,3 ,O 11,32,0 ,O 1,32,h ，所以OA =-1,-32,-h ,OS =-1,32,3-h ，则由OA =OS =R ⇒R 2=34+1+h 2=34+1+3-h 2，解得h =32,R 2=4，从而S =4πR 2=16π，即该三棱锥外接球的表面积是16π.故选：B .8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18【答案】B【详解】试题分析：不妨令0≤x <y ≤1，则f x -f y <12x -y 法一：2f x -f y =f x -f 0 +f x -f y -f y -f 1 ≤f x -f 0 +f x -f y +f y -f 1<12x -0 +12x -y +12y -1 =12x +12y -x +12y -1 =12，即得f x -f y<1 4，另一方面，当u∈0,1 2时，f x ={ux,0≤x≤12-u1-x,12<x≤1，符合题意，当u→12时，f12-f0=u2→14，故k≤1 4法二：当x-y≤12时，f x -f y<12x-y≤14，当x-y>12时，f x -f y=f x -f0-f y -f1≤f x -f1+f y -f0<12x-1+12y-0=121-x+12y=12+12y-x<14，故k≤1 4【解析】1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数【答案】AB【分析】根据题中数据结合比例图逐项分析判断.【详解】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，所以是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，所以是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为120×60%=72人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为80×60%=48人，所以倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不相同，故C错误；在D 中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为100×1-80% =20人，城镇户籍人数为100×1-40% =60人，所以倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D 错误.故选：AB .10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为4【答案】ABD【分析】对A ，利用双曲线定义将AF 2 转化为AF 1 -2a 可得解；对B ，设出直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 与双曲线联立，根据Δ=0化简运算得解；对C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，进而得OH =12F 2E 得解；对D ，求出N 点坐标，根据S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2，结合基本不等式可求解.【详解】对于A ，由双曲线定义得AF 1 -AF 2 =2a =23，且F 1-2,0 ，则AF 2 +AB =AF 1 +AB -23≥BF 1 -23=4--22+1-23=37-23，所以AF 2 +AB 的最小值为37-2 3.故A 正确；对于B ，设直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，k ≠±33，联立方程组y -y 0=k x -x 0 x 2-3y 2=3，消去y 整理得，1-3k 2 x 2+6k 2x 0-6ky 0 x -3k 2x 20+6kx 0y 0-3y 20-3=0，∴Δ=0，化简整理得9y 20k 2-6x 0y 0k +x 20=0，解得k =x 03y 0，可得直线MN 的方程为y -y 0=x03y 0x -x 0 ，即x 0x -3y 0y =3，故B 正确；对于C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，又O 是F 1F 2中点，所以OH =12F 2E =12AE -AF 2 =12AF 1 -AF 2 =a =3，故C 错误；对于D ，由直线MN 的方程为x 0x -3y 0y =3，令x =0，得y =-1y 0，则N 0,-1y 0，S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2=12×F 1F 2 ×y 0 +1y 0≥12×4×2y 0 ⋅1y 0=4，当且仅当y 0 =1y 0，即y 0=±1时等号成立，所以四边形AF 1NF 2面积的最小值为4，故D 项正确.故选：ABD ..【点睛】关键点睛：C 项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出AH 垂直平分F 1E ，OH =12F 2E .11.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立【答案】BC【分析】首先由数学归纳法求出数列的通项，再令a 1=3,5,7,9时代入通项中，求出具体通项公式，最后结合指数函数的性质逐一判断即可.【详解】由题意可知a n +1-6=14a n -6 3，∴a 2-6=14a 1-6 3,a 3-6=14a 2-6 3=1414a 1-6 3 3=14×143×a 1-6 32，归纳猜想：a n -6=141+3+32+⋯+3n -2a 1-6 3n -1=141-3n -11-3a 1-6 3n -1=223n -1a 1-6 3n -1，A ：当a 1=3时，a n -6=-2×32 3n -1，则a n 为递减数列，无边界，故A 错误；B ：当a 1=5时，a n -6=-2×123n -1，则a n 为递增数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≤6，使a n <M 恒成立，故B 正确；C ：当a 1=7时，a n -6=2×123n -1，则a n 为递减数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≥6，使a n >M 恒成立，故C 正确；D ：当a 1=9时，a n -6=2×323n -1，则a n 为递增数列，无边界，故D 错误；故选：BC .【点睛】关键点点睛：(1)当所给递推数列较为复杂时，(不为用常见的累加累乘等)可考虑先写出几项，然后用数学归纳法求出通项公式.(2)判断数列是否存在边界或数列不等式恒成立问题可结合指数函数的单调性判断.三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．【答案】-45【分析】由题意可得cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，结合诱导公式可得结果.【详解】由cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，∴sin α-π6 =-45而sin α+11π6 =sin α-π6+2π =sin α-π6 =-45．故答案为-45【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型.13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．【答案】23【分析】利用条件概率直接求解.【详解】在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p 31-1-p3=413，解得p =23或-2(舍去).故答案为：2314.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．【答案】-∞,1【分析】从a =1，a >1，及a <1进行分析求解.【详解】注意到，当a =1时，f x =e x +cos x ，由于e x >0，-1≤cos x ≤1，显然f x min →-1，没有最小值；当a >1时，e x +cos x >-1且无限接近-1，y =a -1 x 为增函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →-∞，x →+∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，此时没有最小值；当a <1时，y =a -1 x 为减函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，x →+∞，由于y =e x 增长变化速度远大于y =a -1 x 减少速度，此时e x +cos x +a -1 x →+∞，由于函数定义域为R ,函数连续不断，所以f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值．故答案为：-∞,1四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．【答案】(1)∠ABC =60°(2)51751【分析】(1)由两三角形的面积相等可得12AB ⋅AC =12CD ⋅DF ，再由DF =AC 可得CD =AB ，从而结合已知可得BC =2AB ，进而可求得∠ABC ；(2)设AB =k ，则AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，然后在△BDF ,△CDF 中分别利用勾股定理求出CF ,BF ，再在△CBF 中利用余弦定理可求得结果.【详解】(1)如图所示在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ，所以S △ABC =12AB ⋅AC ，S △CDF =12CD ⋅DF ，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，由于DF =AC ，所以CD =AB ，因为D 为BC 的中点，故BC =2AB ，所以cos ∠ABC =AB BC =AB 2AB=12，因为∠ABC 为锐角，所以∠ABC =60°．(2)如图所示：设AB =k ，由于∠A =90°，∠ABC =45°，BD =3DC ,DF =AC ，所以AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，由于DF ⊥BC ，所以CF 2=CD 2+DF 2，则CF =324k ．且BF 2=BD 2+DF 2，解得BF =344k ，在△CBF 中，利用余弦定理得cos ∠CFB =CF 2+BF 2-BC 22CF ⋅BF =98k 2+178k 2-2k 22×324k ⋅344k=5175116.如图，四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形.SA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AD ，SC 的中点，EF 与平面ABCD 成45°角.(1)证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，求二面角B -SC -D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)-33.【分析】(1)要证EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线，即证AD ⊥EF ，EF ⊥SC ，通过线面垂直即可证明；(2)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BSC 和平面SCD 的法向量，计算求解即可.【详解】(1)连接AC ，BD 交于点G ，连接EG ，FG ，因为四边形ABCD 为矩形，且E ，F 分别为AD ，SC 的中点，所以GE ⎳CD ，且GF ⎳SA ，又SA ⊥底面ABCD ，所以GF ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，又AD ⊥GE ，GE ∩GF =G ，GF ,GE ⊂面GEF ，所以AD ⊥平面GEF ，EF ⊂面GEF ，所以AD ⊥EF ，因为EF 与平面ABCD 成45°角，所以∠FEG =45°，所以GF =GE ，由SA =2FG ,AB =2GE ，所以SA =AB ，取SB 的中点H ，连接AH ，FH ，由F ，H 分别为SC ，SB 的中点，知FH ⎳BC ，FH =12BC ，又AE ⎳BC ，AE =12BC ，所以FH ⎳AE ，FH =AE ，所以四边形AEFH 为平行四边形，又SA =AB ，所以AH ⊥SB ，又BC ⊥平面SAB ，AH ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AH ，又BC ∩SB =B ，BC ,SB ⊂面SBC ，所以AH ⊥平面SBC ，而AH ⎳EF ，所以EF ⊥平面SBC ，又SC ⊂平面SBC ，所以EF ⊥SC ，所以EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，设BC =2，则EF =1，则GE =GF =22，所以SA =AB =2，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B 2,0,0 ，D 0,2,0 ，S 0,0,2 ，C 2,2,0 ，从而SC =2,2,-2 ，BC =0,2,0 ，CD =-2,0,0 ，设平面BSC 的法向量为n 1 =x 1,y 1,z 1 ，则n 1 ⋅SC =0n 1 ⋅BC =0，即2x 1+2y 1-2z 1=02y 1=0 ，令z 1=1，可得n 1 =1,0,1 ，设平面SCD 的法向量为n 2 =x 2,y 2,z 2 ，则n 2 ⋅SC =0n 2 ⋅CD =0，即2x 2+2y 2-2z 2=0-2x 2=0 ，令z 2=2，可得n 2 =0,1,2 ，所以cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2=22⋅3=33，由图可知二面角B -SC -D 的平面角为钝角，所以二面角B -SC -D 的余弦值为-33.17.A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16；B 组：12，13，15，16，17，14，a ．假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)如果a =25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等?【答案】(1)1049(2)a =11或18【分析】(1)列举出符合条件的方法，利用古典概率计算即可；(2)利用方差的意义求出即可.【详解】(1)从两组中随机选取一人，共有49种方法；其中甲的康复时间比乙的康复时间长的方法如下：13,12 ,14,12 ,14,13 ,15,12 ,15,13 ,15,14 ,16,12 ,16,13 ,16,15 ,16,14 ，共有10种方法，所以概率为1049.(2)把B 组数据调整为：12，13，14，15，16，17，a ，或a ，12，13，14，15，16，17，根据方差的意义为反应样本波动性的大小可知，a =11或18.18.已知抛物线y =ax 2(a >0)与双曲线y =1x交于点T ，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P ，Q ．(1)证明：△PQT 存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)274.【分析】(1)设出切点P ,Q 的坐标，利用导数的几何意义求出公切线方程，进而求出三边的中点坐标即可推理得证.(2)利用(1)的结论，结合三角形重心定理求出面积.【详解】(1)设P (x P ,ax 2P ),Q x Q ,1x Q，由y =ax 2、y =1x ，求导得y =2ax、y =-1x 2，则抛物线y =ax 2(a >0)在点P 处切线方程为y -ax 2P =2ax P (x -x P )，双曲线y =1x 在点Q 处切线方程为y -1x Q =-1x 2Q(x -x Q )，由直线PQ 是两条曲线的公切线，得2ax P =-1x 2Q -ax 2P =2x Q ，解得x P =4x Q ，且-ax 2P =2x Q ，令x Q =-12t ，则x P =-2t ，P -2t ,4t ,Q -12t,-2t ，且a =t 3,t >0，由y =ax 2y =1x，解得x =1t ,y =t ，即点T 1t ,t ，则边PQ 中点M -54t ,t ，边PT 的中点K -12t ,5t 2 ，边QT 的中点L 14t ,-t 2 ，显然直线MT :y =t ，直线KQ :x =-12t，则直线MT ⊥KQ ，所以△PQT 存在两条中线互相垂直.(2)由(1)知，KQ =9t 2,MT =94t ，令△PQT 的重心为H ，所以△PQT 的面积S △PQT =2S KQT =2⋅12KQ ⋅TH =23KQ ⋅MT =23⋅9t 2⋅94t =274.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))(x 0∈D )处的切线方程为：y -f (x 0)=f (x 0)(x -x 0).19.已知函数f x =x +7x +a关于点-1,1 中心对称．(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x 2在区间0,+∞ 上的单调性；(3)设a 1=1,a n +1=f a n ，证明：2n -22ln a n -ln7 <1．【答案】(1)f x =x +7x +1(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】(1)由中心对称函数的性质得出即可；(2)利用导数分析其单调性即可；(3)将要证明的不等式利用对数运算变形为ln a 2n 7<12n -2，再用数学归纳法结合(2)证明即可.【详解】(1)因为函数f x =x +7x +a 关于点-1,1 中心对称，所以f -1-x +f -1+x =2，即-1-x +7a -1-x +-1+x +7-1+x +a =2，取x =2，可得4a -3+8a +1=2，解得a =1或a =7(舍去)，所以a =1，f x =x +7x +1.(2)因为g x =x f x 2，x >0，所以g x =x +7 2x +1 2+2x ×x +7x +1×-6x +12 =x +7 x -2 2+3 x +1 3，因为x +7>0,x +1 3>0,x -2 2+3≥3，所以g x >0恒成立，所以g x =x f x 2在区间0,+∞ 上单调递增.(3)证明：要证2n -22ln a n -ln7 <1，即证ln a 2n 7<12n -2，当n =1时，ln a 217 <121-2⇒ln 17 =ln7<ln e 2=2，成立，即证ln a 2n +17 <12n -1，即证ln a 2n +17 <12ln a 2n 7，由题意得a n >0，则即证ln a 2n +17 <ln a n 7，因为a 1=1,a n +1=f a n =a n +7a n +1，a n +1-7=a n +7a n +1-7=a n -7 1-7 a n +1，由a n >0，即a n -7与a n +1-7异号，当a n >7，0<a n +1<7，即证ln 7a 2n +1<ln a n 7，即证7a 2n +1<a n 7，即证a n a 2n +1>77，即证a n 7+a n 1+a n2>77，由(2)可知，当a n >7,g a n >g 7 =77成立.当a n +1>7,0<a n <7，即证ln a 2n +17<ln 7a n ，即证a 2n +17<7a n，即证a n a 2n +1<77，即证a n 7+a n 1+a n2<77，由(2)可知，当0<a n <7,g a n <g 7 =77成立.综上，得证.【点睛】关键点点睛：(1)若函数f x 满足f m -x +f m +x =2n ，则对称中心为m ,n ；(2)判断符合函数的单调性时，常用导数判断；(3)证明数列不等式，可用数学归纳法证明，分别取当n =1时的特例和n >1的一般情况证明.。

2021年高三数学第二学期3月月考试卷理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（） A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 38．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= ．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．xx学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p ∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D 在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．解答：解：由题意可得cos===，解得 m=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：A．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007考点：数列递推式．专题：推理和证明．分析：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…，寻找其规律，即可求出|P xx P xx|．解答：解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…∴|P1P2|=1，|P2P3|=，|P3P4|=2，|P4P5|=，…，∴|P xx P xx|=21006．故答案为：21006．点评：本题考查合情推理，考查学生对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．解答：解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．解答：解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．点评：本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==故答案为：点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．解答：解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．点评：本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为37 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据圆与x轴相切，得到b=1，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行判断即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵圆与x轴相切，∴由图象知b=1，即圆心在直线y=1上，若a2+b2最大，则只需要|a|最大即可，由图象知当C位于直线y=1与x+y﹣7=0的交点时，|a|最大，此时两直线的交点坐标为（6，1），此时a=6，故a2+b2的最大值为62+12=37，故答案为：37点评：本题主要考查线性规划的应用，利用圆和x轴相切，求出b，以及数形结合是解决本题的关键．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标．解答：解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，化为普通方程为：y2=x，曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，联立，即交点的直角坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．点评：本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= 5 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：利用相交弦定理得出DE=，再利用△DFE∽△DEB，得出DF•DB=DE2=5．解答：解：∵AB=6，AE=1，∴EB=5，OE=2．连接AD，则△AED∽△DEB，∴=，∴DE=．又△DFE∽△DEB，∴=，即DF•DB=DE2=5．故答案为：5点评：此题考查了垂径定理、直角三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握垂径定理与直角三角形中的射影定理．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用所给数据，可得散点图；（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程；（3）x=12代入回归方程，即可得到结论．解答：解：（1）散点图如图所示…（3分）（2）由题设=3，=1.6，…（4分）∴===0.58，a=﹣=﹣0.14…（9分）故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…（10分）（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…（11分）饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…（12分）点评：本题考查回归分析的初步运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1D中点G，并连接FG，EG，能够说明四边形BFGE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE；（2）先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形，然后取DE中点H，连接CH，从而得到A1H⊥DE，根据已知的边角值求出A1H，CH，得出，从而得到A1H⊥CH，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE⊥面DEBC；（3）过H作HO⊥DC，垂足为O，并连接A1O，容易说明DC⊥面A1HO，从而得出∠A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角，能够求出HO，从而求出tan∠A1OH，即求出了二面角A1﹣DC﹣E 的正切值．解答：解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．点评：考查中位线的性质，平行四边形的概念，线面平行的判定定理，能根据折叠前图形的边角值得到折叠后对应的边角值，直角三角形边的关系，线面垂直、面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义及求法．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．考点：数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）令n=1，得，由a1=1，得a2=2．当n≥2时，推导出，由此利用累乘法能求出a n=n．（2）由b n====＜，利用放缩法和不等式的性质能证明T n＜．解答：（1）解：∵S n=n•a n+1，n∈N*，∴令n=1，得，由已知a1=1，得a2=2．…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，即，即得：，n≥2，…（4分）∴，n≥3，即，n≥3，…（6分）又∵a2=2，∴a n=n，又∵a1=1，∴a n=n，n∈N*．…（7分）（2）证明：∵a n=n，∴b n====＜，…（11分）∴T n=b1+b2+…+b n＜=（）==，∴T n＜．…（14分）点评：本题考查数列的通项公式和不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和放缩法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出M的坐标，由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），写出|MC2|，利用配方法求其最小值，则|MN|的最小值为|MC2|的最小值减去圆的半径；（2）设出P，A，B的坐标，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），由点到直线的距离公式得到方程，则其两根为PA，PB的斜率，利用根与系数关系得到其两根和，再把y﹣x02=k（x﹣x0）代入y=x2得，，结合x0是此方程的根得到x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，然后把AB的中点D的横坐标x用含有x0的代数式表示，再利用单调性结合x0的范围求得AB的中点D的横坐标的取值范围．解答：解：（1）设M（x，y），由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），则|MC2|===．当且仅当M（）时取“=”，∴|MN|的最小值为；（2）设P（x0，），，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），①则，即，设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，∴，，将①代入y=x2得，，由于x0是此方程的根，故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，∴AB的中点D的横坐标x===．∵y=是[2，4]上的减函数，且2≤x0≤4，∴y∈，则x．点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，其中涉及到直线与圆相切的问题，考查了学生的逻辑思维能力和运算能力，是压轴题．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意先求函数的定义域，再求导f′（x）=+x﹣（1+a）=，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；（2）由（2）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；从而可化出当＞1时，＞﹣；从而证明．解答：解：（1）f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=+x﹣（1+a）=；①当a=1时，f′（x）≥0，f（x）在定义域上是增函数；②当a＞1时，1＜x＜a时，f′（x）＜0，0＜x＜1或x＞a时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（1，a）；单调增区间为（0，1），（a，+∞）；③当0＜a＜1时，a＜x＜1，f′（x）＜0，0＜x＜a或x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（a，1）；单调增区间为（0，a），（1，+∞）；④当a＜0时，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+∞）；（2）证明：由（1）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；即lnx≤x2﹣x，当＞1时，＞﹣；故+++…+＞﹣+﹣+…+﹣=﹣=；故m（m+n）[+++…+]＞n．点评：本题考查了导数的综合应用及构造函数证明不等式的方法应用，属于中档题．37577 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西湖高级中学2021-2021学年高一3月月考数学试题一．选择题(每题5分,共40分)1．把1125-化为)20,(2πααπ<≤∈+Z k k 的形式是 ( )A ．46ππ-- B ．476ππ+- C ．48ππ-- D ．478ππ+-2．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πx y 是 ( ) A ． 周期为π2的偶函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 3．，A 〔2，3〕，B 〔－4，5〕，那么与AB 共线的单位向量是( )A ．)1010,10103(-=e B ．)1010,10103()1010,10103(--=或eC ．)2,6(-=eD ．)2,6()2,6(或-=e4.1e 和2e 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面的四个向量中，不能作为一组基底的是( )A ．31e －22e 和42e －61eB ．1e + 2e 和1e －2eC ．1e + 22e 和2e +21eD ．2e 和 2e +1e5．在平行四边形ABCD 中，=+那么必有: ( )A ．0=ADB ．0=AB 或0=ADC ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是正方形b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为( )A ．17B ．18C ．19D ．207．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，〔,0)()2=-⋅-+AC AB DA DC DB 那么△ABC的形状是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 8. 以下命题中：①a ∥b ⇔存在唯一的实数R ∈λ，使得a b λ=；②e 为单位向量，且a ∥e ，那么a =±|a |·e ；③3||||a a a a =⋅⋅；④a 与b 共线，b 与c 共线，那么a 与c 共线；⑤假设c a b c b b a =≠⋅=⋅则且,0 其中正确命题的序号是 ( ) A ．①⑤ B ．②③④ C ．②③ D ．①④⑤ 二．填空题(每题4分,共16分))3,2(=a 与),4(y b -=共线，那么y ＝ -6 ；21==，a 与b 的夹角为3π+=；22sin 1y x =- 的最小正周期为 π ； x x y sin 2sin 2-=的值域是∈y []13-, ．三．简答题(共44分)13.12tan α=3,3π4sin(π-α)-sin(-α)2π3cos(-α+)-5cos(α-5π)2（本题分）已知求下式的值π14.16y =Asin(ωx +)(ω>0,||<)2π7πx =y 3x =y -3412123y =sinx .ϕϕ（本题分）函数在同一周期内，当时取最大值，当时取最小值，）求函数解析式;）指出其周期、振幅、初相;）可由的图象经过怎样的变换得到215.16f(x)=2cos x +3sin2x,1)f(x)2)f(x)3)f(x).（本题分）已知求的周期；求的值域；求的单调递增区间第二局部：加试题1．在△ABC 中，假设2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，那么△ABC 的形状是〔 〕 A 直角三角形 B 等边三角形 C 不能确定 D 等腰三角形2．在钝角三角形ABC 中，假设sinA<sinB<sinC ，那么 A ．cosA·cosC>0 B ．cosB·cosC>0 C ．cosA·cosB>0 D ．cosA·cosB·cosC>03．钝角三角形的三边为a 、a ＋1、a ＋2，其最大角不超过120°，那么a 的取值范围是 A ．0<a<3 B ． 32≤a<3 C ．2<a≤3 D ．1≤a<524．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b·cosA ＝c·cosA ＋a·cosC. 那么角A 为 ；A ＝60°5．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又最大角的正弦等于32，那么三边长为__3\5\7 .6. △ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边为角a 、b 、c ，,3B π=4cos , 3.5A b ==1)求sin C 的值； 2)求ABC ∆的面积．7.如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一局部为曲线段OSM ，该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0, ω>0) x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，3；赛道的后一局部为折线段MNP ，为保证参赛运发动的平安，限定∠MNP=120o〔I 〕求A , ω的值和M ，P 两点间的距离；〔II 〕应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？〔Ⅰ〕依题意，有23A =，34T=，又2T πω=，6πω∴=。

2021届浙江省杭州市学军中学高三下学期适应性考试数学试题一、单选题1．设{1,4,2}A x =，{}21,B x =，若B A ⊆，则x = （ ）A ．0B ．0或2C ．0或2-D ．0或2±答案：C根据题意分24x =和22x x =两种情况，进而对方程的根依次检验即可得答案. 解：当24x =时，得2x =±，若2x =，则24=x 不满足集合中的元素的互异性，所以2x ≠；若2x =-，则{}1,4,4A-＝，{}14B ＝，，满足题意， 当22x x =时，0x =或2（舍去），0x =满足题意， ∴0x =或2-， 故选：C ．2．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内.则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B根据线面垂直的判定和性质定理可知充分性不成立、必要性成立，由此得到结果. 解：若//a b ，则m a ⊥，m b ⊥无法得到m α⊥，充分性不成立；若m α⊥，则m 垂直于α内所有直线，可得到m a ⊥，m b ⊥，必要性成立；∴“m a ⊥，m b ⊥”是“m α⊥”的必要而不充分条件.故选：B .点评：本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到线面垂直的判定与性质，属于基础题. 3．如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解：由三视图可知高为2211(13)23,223232h V =-=∴=⨯⨯⨯⨯=,应选B 4．已知函数(221()log 1f x x x x=+，则（ ） A ．()f x 在（0，+∞）上单调递增 B ．对任意m ∈R ，方程()f x +m =0必有解 C ．()f x 的图象关于y 轴对称 D ．()f x 是奇函数 答案：CA 选项：对()f x 求导，进一步判断单调性；B 选项：判断函数的奇偶性，以及根据单调性判断函数()f x 的图像在x 轴上方，从而得出结论. CD 选项：根据B 选项可知结论. 解：A选项：函数()f x 定义域为x ≠，(()222221()log 1111ln 2f x x x x x x x x ⎛⎫'=-++++++ ()222log 1ln 21xx x x -+++=设(222()log 1ln 21g x x x x =-+++()()()1122222211121122()ln 21x x xg x x x x --+⋅++⋅'=+==在（0，+∞）上，所以()0g x '<，即()g x 单调递减，()(0)0g x g <=故()0f x '< ∴当0x >时，()0f x '<，即()f x 在（0，+∞）上单调递减，故A 错误； B选项：((222111()log log log =()f x x x f x xx x⎛⎫-=-==- ∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称，在(,0)-∞，()f x 单调递增，在(0+)∞，，()f x 单调递减， 当0x >时1x>，(2log 0x>，(21()log 0f x x x=+> ∴()f x 的图像在x 轴上方，∴当0m >时，()y f x =与 y m =-的图像无交点，说明方程()f x +m =0无解，故B 错误； C 选项：根据B 选项可知()f x 是关于y 轴对称C 正确； D 选项：根据B 选项可知()f x 是偶函数，故D 错误. 故选：C.点评：求函数单调性的方法：1. 变化趋势法；2. 复合函数法；3. 定义证明方法；4. 等价形式法；5. 导数法， 注意：不管使用什么方法，首先都要确定定义域和求分界点；5．若22nx ⎛ ⎝展开式各项系数和为1128-，则展开式中常数项是第（ ）项A ．4B ．5C ．6D ．7答案：D由题意，令1x =，求出n 的值，从而写出二项展开式的通项公式，然后令x 的幂指数为0即可求解.解：解：22nx ⎛- ⎝展开式各项系数和为1128-，∴令1x =得，211121822nn⎛⎫=-⎛=-- ⎝ ⎪⎝⎭， 7n ∴=，∴二项展开式的通项公式()27771431771122rrrrrr r r T C x C x---+⎛⎫⎛⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭，令71403r-=，得6r =， 所以，展开式中常数项是第7项. 故选：D.6．甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有2个白球和2个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为X ，摸出的红球的个数为Y ，则A ．()112P X =>，且()()E X E Y < B ．()112P X =>，且()()E X E Y > C ．()112P X ==，且()()E X E Y <D ．()112P X ==，且()()E X E Y >答案：D 解：X可取0,1,2，()()221311210;154552252P X P X ==⨯===⨯+⨯=；()31325210P X ==⨯=，()11311012521010E X =⨯+⨯+⨯=，Y 可取0,1,2()()()313312112110;1;2521052522525P Y P Y P Y ==⨯===⨯+⨯===⨯=，()3119012102510E Y =⨯+⨯+⨯=，()()()11,2P X E X E Y ∴==>，故选D.7．已知3515a b ==，则,a b 不可能满足的关系是（ ） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．22(1)(1)2a b -+-< D ．226a b +>答案：C根据题意表示出35log 15,log 15==a b ，利用对数的换底公式即可判断选项A ，再利用基本不等式以及不等式的性质判断选项B ，C ，构造二次函数，利用二次函数的性质求解最小值，即可判断选项D. 解：因为3515a b ==，35log 15,log 15==a b ，对A ，1515351111log 3log 51log 15log 15+=+=+=a b ，所以1a b ab+=，即a b ab +=，故A 正确； 对B ，由基本不等式可得2(0,0)a b ab a b +≥>>，因为a b ，a b ab +=，所以2ab ab >，即224>a b ab ，得4ab >，所以4a b +>，故B 正确；对C ，22222222()(1222()2)(1)2=+-++=+-+=-+--+>a b a b a b ab a a b b ，故C 错误；对D ，2222()2()2()=+-=+++-a b ab a b a a b b ，令(4)+=>a b t t ，2()2=-f t t t ，则函数2()2=-f t t t 在(4,)+∞上单调递增，所以min ()(4)8>=f t f ，即222()2()8=++-+>a b a b a b ，所以226a b +>成立，故D 正确； 故选：C.点评：一般涉及对数的乘法运算时需要利用对数的换底公式代入求解，关于基本不等式的应用，需要注意“一正二定三相等”的原则.8．设,a b 为非零向量2b a =，则b 与b a -的夹角的最大值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π答案：A利用数形结合画图求出答案.解：作图，不妨令,OA a OB b ==，∴b a AB -= ∴b 与b a -的夹角为∠OBA , 故∠OBA 最大值就是AB 与圆相切时， 此时∠90OAB =°2OB OA =,所以∠OBA =6π.故选：A.9．如图，己知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为第一象限内一点，且满足()21122,0F P a F P F F F P =+⋅=，线段2F P 与双曲线C 交于点Q ，若224F P F Q =，则双曲线 C 的离心率为（ ）A 21B ．212C ．54D ．52答案：A取2F P 的中点E ，由已知得12F E F P ⊥，由三线合一得12F F P 是等腰三角形，表示出各边长，再由余弦定理表示12cos ∠F F E ，再由双曲线的定义表示1FQ ，在12F QF 中，由余弦定理列式，得关于,a c 的等式关系，即可求得离心率.解：取线段2F P 的中点E ，连接1F E ，因为()11220F P F F F P +⋅=，所以12F E F P ⊥， 所以12F F P 是等腰三角形，且1122F P F F c ==，在12Rt F EF 中，212122cos 24aF E aF F E F F c c∠===，连接1F Q ，又24=aF Q ，点Q 在双曲线C 上，所以由双曲线的定义得，122-=FQ F Q a ， 所以194=aF Q ，在12F QF 中，2222221221121229(2)()()44cos 24224+-+-∠===⋅⨯⨯a c a F F F Q FQ a F F Q a F F F Q c c ，整理得221621=c a ，所以离心率214==c e a . 故选：A点评：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．10．对于数列{}n x 若存在常数0M >，对任意的*n ∈N ，恒有1121n n n n x x x x x x M +--+-++-≤，则称数列{}n x 为有界数列.记n S 是数列{}n x 的前n 项和，下列说法错误．．的是（ ） A ．首项为1，公比为(||1)q q <的等比数列是有界数列 B ．若数列{}n x 是有界数列，则数列{}n S 是有界数列 C ．若数列{}n S 是有界数列，则数列{}n x 是有界数列D ．若数列{}n a 、{}n b 都是有界数列，则数列{}n n a b 也是有界数列 答案：B根据有界数列的定义，利用不等式放缩，可判断A 、C 正确；设*1,n x n =∈N ，可判断B 错误；根据数列{}n a 和数列{}n b 的有界性，用1||n n a a +-和1||n n b b +-来控制11n n n n a b a b ++-，即可选项D.解：解：对A:设满足题设的等比数列为{}n a ，则1(||1)n n a q q -=<， 当2n ≥时，1221|||||||1|n n n n n a a q q q q -----=-=-，所以1121||||||n n n n a a a a a a +--+-++-1|1|(1||||)n q q q -=-+++1|||1||1|1||1||n q q q q q --=-<--，即1121|1|||||||1||n n n n q a a a a a a q +---+-++-<-，所以首项为1，公比为(||1)q q <的等比数列是有界数列，故A 正确；对B: 事实上，设*1,n x n =∈N ，则10n n x x +-=，易知数列{}n x 是有界数列，而此时n S n =，所以1121n n n n S S S S S S n +--+-++-=，由n 的任意性，知数列{}n S 不是有界数列，故B错误；对C ：因为数列{}n S 是有界数列，所以存正数M ，对任意*n ∈N 有1121n n n n S S S S S S M +--+-++-≤，即11n n x x x M ++++≤，于是11211121222n n n n n n n x x x x x x x x x x x +-+--+-++-≤+++++12M x ≤+，所以数列{}n x 是有界数列，故C 正确；对D ：若数列{}n a 、{}n b 都是有界数列，则存在正数1M ，2M ，使得对任意*n ∈N ，有11211n n n n a a a a a a M +--+-++-≤；11212n n n n b b b b b b M +--+-++-≤，又因为112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+11221111n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-++-+≤+同理，可得21n b M b ≤+，所以111111n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++++++-=-+-()()111211111+n n n n n n n n n n b b a a a b a b M a a M b b +++++≤+--++-≤-，所以11112211n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++---+-++-()()()()211211111121++n n n n n n n n M a a a a a a M b b b b b b b a +-+---++-+≤++--++-()()211211M M M M b a +≤++，数列{}n n a b 也是有界数列，故D 正确. 故选：B点评：关键点点睛：本题的关键在于读懂题目，准确把握“有界数列”的定义. 二、填空题11．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A 、B 、C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A 、B 项目，乙不能参加B 、C 项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答） 答案：52由题意，按照甲乙是否参加志愿活动分4种情况讨论，求出每种情况的选拔方案数量，再由加法计数原理相加计算.解：根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有3424A =种选拔方法；②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C 项目，在剩下的4人中任选2人参加A 、B 项目，有2412A =种选拔方法；③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A 项目，在剩下的4人中任选2人参加B 、C 项目，有2412A =种选拔方法；④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B 项目，有144A =种选拔方法，则有241212452+++=.故答案为：52 12．已知函数111()(0,1),()121xxf x a ag x a x-=+>≠=-+，若对任意的[1,)x ∈+∞，不等式()(1)3()f x g x f x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是_________.答案：(0，1)(2，+∞)()(1)3()f x g x f x -<-恒成立等价于1112302xx a +--<恒成立，构造函数()h x 111223x x a =+--，然后利用导数求函数的最大值即可. 解：∵1()1xg x x -=+，∴()21x g x x --=∵11()(0,1)12xf x a a a =+>≠-因此()(1)3()f x g x f x -<-，即[]()(1)13f x g x -+<∴2113112x a x x -⎛⎫⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+-，即1112132x a x ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭+-∵[1,)x ∈+∞ ∴111232x a x +-<，即1112302x x a +--< 令()111232xh x a x =+--，∴()()ln 321x x a a h x a -'=-- 当1a >时，()0h x '<，即()h x 在[1,)x ∈+∞上单调递减 ∴()()max 11310122h x h a ==+-<-解得2a > 故2a > 当01a <<时，101xa <-，则()1112313010222x h x a x ⎛⎫-<+-<-< ⎪⎭+-⎝= 即当01a <<时，()0h x <在[1,)x ∈+∞恒成立 综上：a ∈(0，1)(2，+∞) 故答案为：(0，1)(2，+∞)点评：恒成立问题解题思路： （1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.13．如图，在△ABC 中，CA =CB =3，A B =3，点F 是BC 边上异于点B ，C 的一个动点，EF ⊥AB 于点E ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，则四棱锥P-ACFE 的体积的最大值为_________.答案：24设EF x =，则BE PE ==(0x <<，设PEB θ∠=，根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥P AFEC -体积为2sin )x θ⨯，利用正弦函数的最大值以及导数求得31(32)(042y x x x =-<<的最大值可得结果.解：在△ABC 中，CA =CB A B =3，由余弦定理可得：222cos22BC BA AC B BC BA +-===⋅，所以6B π=设EF x =，则BE PE ==(02x <<，设PEB θ∠=，则四棱锥P AFEC -的高sin sin h PE θθ==，四边形AFEC 的面积为211322242x x ⨯⨯-=-，则四棱锥P AFEC -2231sin ))(32)4x x x x x θ⨯≤=-，当且仅当sin 1θ=，2πθ=时取等号，令31(32)(04y x x x =-<<，则213(36)(1)(1)44y x '=-=-，令0y '>，得02x <<，令0y '<，得2x <<，所以函数31(32)(04y x x x =-<<在上递增，在上递减，所以当2x =时，31(32)4y x x =-，所以当,22x πθ==时，四棱锥P AFEC -体积的最大值为4.故答案为：4点评：本题考查了棱锥的体积公式，考查了正弦函数的最值，考查了利用导数求函数的最值，解题的关键是利用体积公式求解体积2231sin))(32)4x x x x xθ⨯≤=-，属于中档题.三、双空题14．设a，b为实数，若复数121iia bi+=++，则a+b=________，||a bi-=________.答案：22首先根据复数的乘法进行化简，再根据复数的相等列出方程组，解出,a b，再根据模长的公式即可求出||a bi-.解：∵121iia bi+=++，∴()()121i i a bi+=++即()()12i a b a b i+=-++∴21a ba b+=⎧⎨-=⎩∴3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩||a bi-==故答案为：2；215．函数22sin2sin()y x x x R=+∈的最小正周期是_____，值域是________.答案：π11,22⎡-+⎢⎣⎦利用二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，然后由正弦函数的性质可得结论.解：函数21cos212sin2sin2sin2)+22xy x x x xϕ-=+=+=-，cosϕϕ==()x R∈∵1sin(2)1x ϕ-≤-≤∴1171117sin(2)+222x ϕ-+≤-≤，即函数的值域为117117,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦最小正周期22T ππ==. 故答案为：π，117117,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 16．若实数x ，y 满足约束条件24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2y x -的最大值是____________；21y x +最小值是_______. 答案：83-12先做出可行域，再数形结合求出最值即可. 解：根据条件作出可行域令2y x t -=由图可知，直线2y x t =+经过点52,33⎛⎫⎪⎝⎭时，t 最大，所以2y x -最大值为2582333-⨯=- 12122y y x x ++=⨯，其中12y x+可以看成可行域内的点(),x y 与10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭确定的直线的斜率 当直线经过点()2,0时，斜率最小11012224y x ++==，故12122y y x x ++=⨯12= 故答案为：83-，12点评：线性规划求目标函数最值得一般步骤：1.作出可行域（一定注意是实线还是虚线）2.找到目标函数对应的最优解对应点3.将最优解带入目标函数求出最值.17．已知直线:0l ax by c ++=被圆22:16C x y +=截得的弦的中点为M ，若320a b c +-=，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为_________，OM 的最大值为_________.答案：22230x y y x +++=首先设出所求轨迹的点(),M x y ，然后根据l CM ⊥以及320a b c +-=消参数即可得到轨迹方程；由于直线过定点，分析可知OM 最大即O 与圆22230x y y x +++=的圆心之间的距离＋半径.解：圆22:16C x y +=的圆心为()0,0，半径为4设(),M x y ，显然,x b 不能同时为0，则 （1）若0,0x b ≠≠，则有,CM l y a k k x b==- 又因为1CM l k k ⋅=-，所以1y a x b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，所以bx a y = 又因为320a b c +-=，所以332322bx bx by c a b b y y+=+=+= 将,c a 带入直线:0l ax by c ++=320bx bx byx by y y+⋅++=，即22230x y y x +++= （2）若0,0x b =≠，即()0,M y ，则此时直线为平行于x 的直线，即0a =，此时()0,2M -在22230x y y x +++=上；（3）若0,0x b ≠=，即直线为平行于y 轴的直线，此时0y =即()3,0M -，在22230x y y x +++=上；综上可知：点M 的轨迹方程为22230x y y x +++=圆22230x y y x +++=的圆心为3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径为2所以maxOM==故答案为：22230x y y x +++=点评：求动点轨迹方程的常用方法：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点法. 四、解答题18．已知a 、b 、c 分别为ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且cos cos 2b A a B b +=，cos sin a C C b c +=+.（1）求角A 的大小； （2）求ABC 的面积.答案：（1）3A π=；（2）3ABCS=. （1）利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换可求得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合()0,A π∈可求得角A的值；（2）利用正弦定理可得出2c b =，利用余弦定理可求得2b 的值，再利用三角形的面积可求得结果.解：（1）因为cos sin a C C b c +=+，由正弦定理可得sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即()sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin A C A C A C C A C C A C =++=++，sin sin cos sin A C C A C =+，()0,A π∈，则sin 0A >，cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，则5666A πππ-<-<，故66A ππ-=，因此，3A π=；（2）因为cos cos 2b A a B b +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin B A A B B +=， 即sin 2sin C B =，所以，2c b =，因为2a =，由余弦定理可得222222242cos 423a b c bc A b b b b ==+-=+-=，则243b =，因此，14sin 23ABC S bc A ===△点评：方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长为2，112A B AC ==，M 是棱BC 的中点.（Ⅰ）求证：1A M ⊥平面ABC ;（Ⅱ）在线段B 1C 是否存在一点P ，使直线BP 与平面A 1BC 所成角的正弦值为33020? 若存在，求出CP 的值; 若不存在，请说明理由. 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，134322CP CB ==. （1）由题意，证明1A M BC ⊥与1A M AM ⊥，根据线面垂直的判定定理即可证明1A M ⊥平面ABC ；（2）建立恰当的空间直角坐标系，令1PC B C λ=，求出所需点的坐标，向量的坐标，法向量的坐标，根据向量法求解线面角即可. 解：解：（1）证明：112A B AC ==2BC =，M 是BC 中点，11,1A M BC A M ∴⊥=，又12,3AA AM ==22211AM A M AA ∴+=，1A M AM ∴⊥，1A M ∴⊥平面ABC ，（2）建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，由（1）知平面A 1BC 的法向量为()3,0,0MA =，()3,0,0A，()10,0,1A ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()1113,2,1B C BC BB BC AA =-=-=--， 令()13,2,PC B C λλλλ==--，()01λ<<则()()()0,2,03,2,3,22,BP BC CP λλλλλλ=+=-+-=--，设直线BP 与平面A 1BC 所成角为θ，则23330sin cos ,203884MA BP λθλλ-=<>==⋅-+, 解得34λ=或32λ=（舍）， 所以当134CP CB =时，满足题意，此时2223333324242CP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20．已知有穷数列{}n a 共有2k 项()*,2k N k ∈≥，首项12a =,设该数列的前n 项和为n S ，且1(1)2n n a a S +=-+(1,2,3,21)n k =-其中常数1a >.（1）求证：数列{}n a 是等比数列 （2）若2212k a -=，数列{}n b 满足()2121log n n b a a a n=(1,2,3,2)n k =，求出数列{}n b 的通项公式（3）若（2）中的数列{}n b 满足不等式1223334222k b b b -+-+⋯-≤，求出k 的值 答案：（1）证明见解析 （2）1(1)112121n n n n b n n k k --⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦(1,2,2)n k =（3）2,3,4,5,6,7k =（1）利用分类讨论的思想，分别对1n =时和221n k -时进行讨论，求得n a 与1n a +的关系，即可求解；（2）结合（1）的结论和条件得n a 的表达式，对12n a a a 进行化简，结合对数运算即可求得数列{}n b 的通项公式；（3）利用分类讨论对32n b 与的大小进行判断，再结合不等式去绝对值，变形得关于k 的不等式，即可求解．解：（1）当1n =时，22a a =，则21a a a =； 当221n k -时，1(1)2n n a a S +=-+，1(1)2n n a a S -=-+， 1(1)n n n a a a a +∴-=-，∴1n na a a +=， ∴数列{}n a 是等比数列．（2）由（1）得12n n a a -=， (1)(1)12(1)21212222n n n n n n nn nk aaa a a --++++--∴===，1(1)1[]12121n n n n b n n k k --=+=+--，(1,2,3,2)n k =（3）设32nb ，解得12n k +，又n 是正整数，于是当n k 时，32n b <； 当1n k +时，32n b >． 原式121233333()()()()()22222k k k b b b b b +=-+-+⋯+-+-+⋯+-121()()k k k b b b b +=+⋯+-+⋯+211(21)(01)22[][]212121k k k k kk k k k k k +-+-=+-+=---． 当2421k k -，得2840k k -+，43423k -+，又2k ， ∴当2k =，3，4，5，6，7时，原不等式成立．点评：本题考查数列与不等式的综合应用．分类讨论思想、对数运算性质及绝对值不等式的解法，对运算能力要求高，属于难题21．如图，已知椭圆2212:1(1)x C y a a+=>和抛物线22:6C x y =，点P 在y 轴上且位于椭圆1C 的上方.过点P 且不与y 轴重合的直线l 交椭圆1C 于两个不同的点A ，B ，交抛物线2C 于点M .记P 的纵坐标为b （b >1）.（Ⅰ）求直线l 斜率k 的取值范围（用a ，b 表示）;（Ⅱ）若点A ，M 是线段BP 的三等分点（点A 在点M 上方），求a 的取值范围.答案：（Ⅰ）21 b k ->或21b k -<；（Ⅱ）(3,)+∞. （Ⅰ）根据题中直线与椭圆交于两个不同的点，则联立直线与椭圆方程后得到关于x 的方程有两个解，得出关于k 的不等式，求出k 的范围.（Ⅱ）根据A,B 中点M 在抛物线上得b 和k 的关系式()224261a k b a k+=，根据P,M 的中点A 在椭圆上得b 和k 的关系式()22222414a kb a k +=+，令22t a k =简化运算，0t >，以及421136a t t ⎛⎫>+⎪⎝⎭，求出3a >解：（Ⅰ）直线:l y kx b =+，将直线l 的方程代入椭圆2212:1x C y a+=得()()2222221210a k xa kbx ab +-++=由题意得0∆>，即22210a k b +->.解得，21b k a ->或21b k a-<-.（Ⅱ）设00(,)M x y 由（Ⅰ）中()()2222221210a kxa kbx ab +-++=得202202211a kb x a k b y a k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩将点M 代入抛物线22:6C x y =，得()224261a k b a k+=.由于点A 在椭圆2212:1x C y a +=上，因此20202212x b y a ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭. 化简得，()22222414a kb a k +=+.令22t a k =， 由()224261a k b a k +=得425491a t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由()22222414a kb a k +=+及22210a k b +->得，0t >.由()222261a k b a k +=及22210a k b +->得421136a t t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭把425491a t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭代入可知，t 可以取遍所有正实数.因此a >所以a的取值范围是)+∞.点评：利用交点有两个得判别式大于0，得关于k 的不等式；充分利用三等分点的作用，以及点在椭圆或抛物线上得b 和k 的关系式. 22．已知函数2()(2)(0)xx f x aea e x a =+-->.（Ⅰ）若函数()f x 存在两个零点，求实数a 的范围;（Ⅱ）当函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且存在极值点0x ，证明:（i ）1210x x -<<<;（ii ）21201122x x x a≤<+-. 答案：（Ⅰ）01a <<；（Ⅱ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.(1)利用导数讨论()f x 的单调性得到min 1()(ln )1ln 0f x f a a a =-=-+<， 令1()1ln g x xx =-+并讨论其单调性，结合(1)0g =即可 (2)(i)()f x 有两个零点12x x ，，结合(1)0,(0)0f f -><，由零点的存在性定理和12x x <即可得出结果；(ii)由上述可知20111ln 112x x a a a=≤-<+-，根据()10f x =得 ()1011112x x x x e e e x -+=+结合121111112x x e x x +≤≤++得出2102x x ≤即证. 解：解：（1）()()()211(0)x x f x e ae a '=+->因为0,210x x e e >+>，令'()0f x = 则110ln x x ae e x a a-=⇒=⇒=- 所以()f x 在(,ln )a -∞-递减，(ln ,)a -+∞递增 又有两个零点，所以min 1()(ln )1ln 0f x f a a a =-=-+< 令1()1ln 0xg x x =-+<，则()g x 在(0,)+∞上单调递增 又(1)0g =，所以(0,1)x ∈时()0<g x故(0,1)∈a（2）（i ）22(1)10,(0)20a a f f a e e e ⎛⎫-=++->=-< ⎪⎝⎭而12,()10x f x x x →+∞→+∞∴-<<<（ii ）由上知20111ln112x x a a a =≤-<+- 而()10f x =有：1121(2)0x x ae a e x +--= ()0111112,x x x x ae e e x a e ∴+=+=即()1011112x x x x e e e x -+=+又()12111111102x x e x x x +≤≤++< ()()1010112111121232x x x x x x e x e e e x x x --∴+≤+=+≤++1011x x e x -∴≤+即()101ln 1x x x -≤+又()()21111ln 102x x x x +≤-<211012x x x x ∴-≤-即2102x x ≤ 21201122x x x a∴≤<+- 点评：(1)利用导数求参数的范围常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.(2)破解含双参不等式证明题的3个关键点①转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.②巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.③回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.。

绝密★启用前浙江省杭州市2021届高三3月模拟考试数学试题一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）已知集合{|0212}A x x =<+<，{|lg 1}B x x =，则A B =（ ）A ．[0，10]B ．(0，10]C ．(0,10)D ．[1-，10]2．（2019·浙江高三专题练习）当2m 13<<时，复数(32)(1)z m m i =-+-在平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2020·浙江高三其他模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体两两垂直的平面共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对4．（2020·浙江高三其他模拟）已知x ，y 满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩若2x y m +≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．3m ≥B ．3m ≤C ．72m ≤D ．73m ≤5．（2020·浙江高三其他模拟）若将函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位得到函数()g x 的图象，则“12ω=”是“()g x 为偶函数”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2019·浙江杭州市·学军中学高三期中）已知二次函数()()22f x ax bx b a =+≤，定义()(){}1max 11f x f t t x =-≤≤≤，()(){}2min 11f x f t t x =-≤≤≤，其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者，{}min ,a b 表示,a b 中的较小者，下列命题正确的是( )A ．若()()1111f f -=，则()()11f f ->B ．若()()2211f f -=，则()()11f f ->C ．若()()2111f f =-，则()()1111f f -<D ．若()()211-1f f =，则()()2211f f ->7．（2019·浙江高三其他模拟）已知cos2cos(),sin 04πααπαα⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2-B ．2+C ．2D ．28．（2020·浙江衢州市·衢州二中高三一模）已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ） A ．12B ．1-C ．±1D ．12±9．（2020·浙江高三其他模拟）如图，在矩形ABCD 中，AD AB >，现将ABD △沿BD 折至A BD '，使得二面角A BD C '--为锐角，设直线A D '与直线CD 所成角的大小为α，直线A C '与平面ABCD 所成角的大小为β，二面角B A D C '--的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．γαβ>>D ．不能确定10．（2020·浙江舟山市·舟山中学高三其他模拟）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点，过点F 的直线与圆22221:()2O x y a b +=+于A ，B 两点（A 在F ，B 之间），与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，120AOB ∠=︒则双曲线的离心率为（ ）A B ．3C D ．3第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11．（2020·浙江高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-．若集合{}*|(1),n M n n n a n Nλ=+≥∈中有3个元素，则λ的取值范围是___________．12．（2020·浙江高三二模）已知奇函数()f x 的定义域为R 且在R 上连续.若0x >时不等式()1f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为()2,3，则x ∈R 时()1f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______.13．（2020·浙江舟山市·舟山中学高三其他模拟）已知1e 、2e 为不共线的单位向量，设3a =，()12R b e ke k =+∈，若对任意向量a 、b 均有34a b -≥成立，向量1e 、2e 夹角的最大值是__________.三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14．（2020·浙江高三其他模拟）直线1: 2l y x =-与直线2:(0)l y kx k k =+>相交于点P ．直线1l 与x 轴交于点1P ，过点1P 作x 轴的垂线交直线2l 于点1Q ，过点1Q 作y 轴的垂线交直线1l 于点2P ，过点2P 作x 轴的垂线交直线2l 于点2Q ，，这样一直作下去，可得到一系列点1P 、1Q 、2P 、2Q ，，点(1,2,3)n P n =的横坐标构成数列{}n x .那么，k =_______时，{}n x 为周期数列；k =_______时，{}n x 为等比数列．15．（2020·浙江杭州市·学军中学高三其他模拟）已知a ∈R 且0a >，二项式52ax ⎛ ⎝展开式中第二项与第四项的系数相等，则a =______，常数项是______.16．（2020·浙江高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)ξ==P _______；()E ξ=______．17．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0，4]上的最大值为M ，当实数a ，b 变化时，M 最小值为__，当M 取到最小值时，a b +=__.四、解答题（本大题共5小题，共74分）18．（2020·浙江金华市·高三其他模拟）已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设方程()f x =在(]0,a 上恰有5个实数解，求a 的取值范围. 19．（2020·浙江高三其他模拟）已知四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2AB CD =，1AC PC ==，PA =AB ⊥平面PAC .（1）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；（2）若直线AC 与侧面PAD AB 的值. 20．（2020·浙江绍兴市·高三三模）已知正项数列{}n a 满足112a =，346a a a ⋅=，且数列{}2nn a 是等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记112n n n b a n ++=+，12n n S b b b =+++，试比较n S 与321nn +的大小，并予以证明.21．（2020·浙江舟山市·舟山中学高三其他模拟）如图所示，在直角坐标系xOy 中，A ，B 是抛物线21:2(0)C y pm p =>上两点，M ，N 是椭圆222:163x y C +=两点，若AB与MN 相交于点()2,0E ，2OA OB p ⋅=-.（1）求实数p 的值及抛物线C 的准线方程.（2）设OMN 的面积为S ，OMN 、OAB 的重心分别为G ，T ，当GT 平行于x轴时，求2||GT S + 的最大值.22．（2019·浙江高考模拟）已知函数12ln 2(0(()))f x a x ax a x=-++≤. （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（3）若对任意的(3,2)a ∈--，12,[1,3]x x ∈，恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围.。

浙江省杭州市2021届高三3月模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1．【答案】C 【详解】解：{|0212}{|210}A x x x x =<+<=−<<，{|010}B x x =<，(0,10)A B ∴⋂=.故选：C. 2．【答案】D【详解】213m <<，320,10m m ∴−>−<，点在第四象限． 3．【答案】D【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD −， 其中ABCD 为边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ， 所以平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAC ⊥平面ABCD ,又,,AD AB PA AD AB PA A ⊥⊥⋂=, 所以AD ⊥平面PAB ,平面PAD ⊥平面PAB ,又AC BD ⊥,,PA BD PA AC A ⊥⋂=,所以BD ⊥平面PAC ,平面PBD ⊥平面PAC ,同理可证：CD ⊥平面PAD ，CB ⊥PAB ，故平面PBC ⊥平面PAB ， 平面PCD ⊥平面PAD ，故该几何体两两垂直的平面共有7对.故选：D 4．【答案】D【详解】作出满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪−≤⎩的可行域如图所示：平移直线20x y +=到点1(1,)3A 时，2x y +有最小值为73∵2x y m +≥恒成立∴min (2)m x y ≤+，即73m ≤故选D 5．【答案】D【详解】解：由题意可知，()πsin 4g x x ωωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，∵()πsin 4g x x ωωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭为偶函数， ∴ππ4k ωϕ=+， 因为π02ϕ<<，所以042k πππωω<+<， 所以1202k ω>+>，k Z ∈， 所以当()g x 为偶函数时，不能得到12ω=， 当12ω=时，()11πsin 224g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为 π02ϕ<<，所以14242πππϕ<+<， 所以()11πsin 224g x x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭不可能为偶函数，所以“12ω=”是“()g x 为偶函数”的既不充分也不必要条件， 故为：D.6．【答案】C【详解】由于2b a ≤,故二次函数的对称轴[]1,12bx a=−∈−.()(){}()11max |11f f t t f −==−=−,()(){}11max |11f f t t =−≤≤,若此时对称轴为0x =,则有()()111f f =,即()()11f f −=,所以A 选项不正确，()(){}()21min |11f f t t f −==−=−, ()(){}21min |11f f t t =−≤≤,在对称轴的位置取得最小值,即对称轴为1x =−,所以()()11f f −<,故B 选项不正确，()(){}21min |11f f t t =−≤≤,()(){}()11max |11f f t t f −==−=−，也即是函数在区间[]1,1−上的最小值,故()()1111f f −<, 所以选C . 7．【答案】A【详解】22cos2cossin sin cos cos sin (cos )44ππαααααα⎫=−=−⋅−⎪⎭，所以22cos sin (cos sin )cos ααααα−=−，所以(cos sin )sin 0ααα−=． 又sin 0α≠，所以cos sin αα=，所以tan 1α=，因此tantan 3tan 231tan tan 3παπαπα+⎛⎫+==−− ⎪⎝⎭−， 故选：A 8．【答案】C【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨−=+−⎪⎩，则()()221g x x axh x x⎧=+⎪⎨=−⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++−=⎨<⎪⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，结合图像，210x −=，得1x =±， 所以1a =±. 故选：C 9．【答案】C【详解】考虑用极限位置的思想.若ABD △翻折至平面ABCD 内，此时090α<<，0β=，180γ=，故有γαβ>>.故选:C. 10．【答案】D 【详解】解：如图，由圆O 的方程2222211()22x y a b c +=+=，得圆O 的半径为2OA OB ==． 过O 作AB 的垂线OH ，则H 为AB 的中点，又FA BP =，H ∴为FP 的中点，设双曲线的右焦点为1F ，连接1PF ， 则OH 为三角形1FF P 的中位线，可得1//OH PF ，则1PF PF ⊥，由120AOB ∠=︒，可得124OH OA c ==．∴1PF =，则2PF a =+，由勾股定理可得：2222))4a c ++=，整理得：2340e −−=．解得：e =或e =（舍)．故选：D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11．【答案】52,2⎛⎤⎥⎝⎦【详解】解:当1n =时，1121S a =−，得11a =． 当2n ≥时，由21n n S a =− ①， 得1121n n S a −−=− ②， ①-②，得12(2)n n a a n −=≥，则12(2)nn a n a −=≥， 因此{}n a 是等比数列，且公比是2，所以12n na ．由(1)n n n a λ+≥可得1(1)2n n n λ−+≤． 令*1(1)(),2n n n f n n N −+=∈， 则515(1)2,(2)3,(3)3,(4),(5)28f f f f f =====． 因为1(1)(2)(1)(1)(2)(1)()222n n nn n n n n n f n f n −++++−+−=−=，所以当3n ≥时，(1)()0,(1)()f n f n f n f n +−<+<． 因为集合M 中有3个元素， 所以关于n 的不等式1(1)2n n n λ−+≤的解的个数为3， 所以522λ<≤, 故答案为:52,2⎛⎤⎥⎝⎦．12．【答案】()()()3,20,23,−−+∞【详解】由题意可得当0x >时，()1f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为()()0,23,+∞，由奇函数的性质可得当0x >时，()1f x f x ⎛⎫−−>−− ⎪⎝⎭的解集为()2,3，令0t x =−<，则()1f t f t ⎛⎫−>− ⎪⎝⎭的解集为()3,2−−，即当0x <时，()1f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为()3,2−−， 所以()1f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为()()()3,20,23,−−+∞.故答案为：()()()3,20,23,−−+∞.13．【答案】23π【详解】()22222212112222cos 1b e ke e ke e k e k k θ=+=+⋅+=++，由34a b −≥可得22233322cos ,16416a ab b b a b b −⋅+=−⨯⨯<>+≥，化简得3cos ,2b a b ≥<>，所以32b ≥，则234b ≥，即212cos 04k k θ++≥恒成立，24cos 10θ∴∆=−≤，可得11cos 22θ−≤≤，0θπ≤≤，233ππθ∴≤≤， 因此，向量1e 、2e 夹角的最大值是23π.故答案为：23π. 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分） 14．【答案】1 2【详解】1l 的方程是2y x =−，2l 的方程是y kx k =+， 则1(2,0)P ，()12,3Q k ，2(23,3)Pk k −，22(23,33)Q k k k −−，223(233,33)P k k k k −+−，2233(233,333)Q k k k k k −+−+，23234(2333,333)P k k k k k k −+−−+，…，∴211233(1)3n n n x k k k −−=−+++−⋅，∴()13121n nk k x k−⎡⎤−−⎣⎦=−+，要使{}n x 为周期数列，则存在*n N ∈且1n >，2n x =，即()1310n k k −⎡⎤−−=⎣⎦， ∵0k >，只有1k =且n 为奇数时满足题意，故1k =，要使{}n x 为等比数列，则2213x x x =，22(23)2(233)k k k −=−+，∵0k >，∴2k =，此时12(1)n n x −=⨯−，{}n x 是等比数列．故答案为：1；2． 15．【答案】154【详解】()1510525221552rr r rr r r r T C axC a x −−−−+==，∴11542221152T T a x −+==⋅⋅，∴35222431102T T a x −+==⋅⋅，13422252102a a −−⋅=⋅，∴1a=，令510042r r −=⇒=，∴54154T T +==. 故答案为：1，54. 16．【答案】131 【详解】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=， 随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==−−=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：1;13.17．【答案】2 2−【详解】解：22()4(4)4[(4)]f x x x a x b x x a x b =−+++=−−−+−，上述函数可理解为当横坐标相同时，函数2()4g x x x =−，[0x ∈，4]与函数()(4)h x a x b =−+−，[0x ∈，4]图象上点的纵向距离，则M 即为函数2()4g x x x =−与函数()(4)h x a x b =−+−图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，由图象可知，当函数()h x 的图象刚好为2y =−时，M 取得最小值为2，此时(4)0a −+=，且2b −=−，即4a =−，2b =，故2a b +=−. 故答案为：2，2−.四、解答题（本大题共5小题，共74分） 18．【详解】（1）()21cos 2f x sinxcosx x =−+11212222cos x sin x +=−+ 112222sin x cos x =−24x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭. 令222,242k x k k Z πππππ−≤−≤+∈，解得()3,88x k k k Z ππππ⎡⎤∈−+∈⎢⎥⎣⎦. 故()f x 的单调增区间为：()3,88k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦（2）()4f x =，根据（1）中所求，即为sin 242x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭， 该方程在(]0,a 上恰有5个实数解，故0a >， 令24x t π−=，则,244t a ππ⎛⎤∈−− ⎥⎝⎦，即方程,,2244sint t a ππ⎛⎤=∈−− ⎥⎝⎦有5个实数解. 故只需224,4433a πππππ⎡⎫−∈++⎪⎢⎣⎭， 解得7112,22424a ππππ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭.故方程()4f x =在(]0,a 上恰有5个实数解，则7112,22424a ππππ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭. 19．【详解】（1）AB ⊥平面PAC ，//AB CD ， CD 平面PAC ，CD PC ∴⊥，1,AC PC PA ===PC AC ∴⊥，PC ∴⊥平面ABCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ；（2）设CD x =，1111326P ACD x V x −=⨯⨯⨯⨯=，作CE AD ⊥，连接PE ，过C 作CG PE ⊥于G ，则3CG AC =，CG ⊥平面PAD ，AD =CE =PE =，1132C ADP V PE AD CG −=⨯⨯⨯⨯=， ∵C ADP P ACD V V −−=，解得1x =，所以2AB =.20．【详解】解：（1）设等差数列{}2n n a 的公差为d ，其首项121a =， 所以33212a d =+，即33122d a +=. 同理44132d a +=，66152d a +=. 因为346a a a ⋅=，所以634151213222d d d +++=⋅， 化简得：26510d d −−=， 解得16d =−，或1d =. 当16d =−时，()12116n n a n ⎛⎫=++⋅− ⎪⎝⎭， 故762n n n a −=⋅，此时，当7n ≥时，0n a ≤，不符合{}n a 是正项数列.当1d =时，2n n a n =，故2n nn a =，符合{}n a 是正项数列. 综上所述：2n nn a =. （2）因为112n n n b a n ++=+， 所以()()21122n n n b n ++=+⋅， 故113b =，2932b =，315b =， 所以123191898141332515321530b b b ++=++=+<+=. 又因为()331212n f n n n==++是关于n 的增函数，所以()()31121n f n f n =≥=+. 所以当3n ≤时，12321n n b b b n +++<+. 当4n ≥时，()()344213n f n n f =≥=+. 又1111112322222n n n n n n n n n n b n ++++++++=⋅<=−+. 所以1221122343223n n n b b b +++⎛⎫+++≤+−< ⎪⎝⎭. 所以当4n ≥时，12321n n b b b n +++<+.综上：12321n n b b b n +++<+. 21．【详解】解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，:2AB x ty =+与22y px = 联立得2240y pty p −−=，12122,4y y pt y y p +==−，2212121212()(2)42y y OA OB x x y y y y p p ⋅=+=+=−−， 所以22(2)40p p −−+=，解得2p =.抛物线C 的准线方程为10x +=；（2）设3344(,),(,)M x y N x y ，:2MN x my =+与22163x y += 联立得22(2)420m y my ++−=，34342242,22m y y y y m m +=−=−++， 由GT 平行于x 轴可知3412y y y y +=+，由（1）知2p =，所以124y y t +=，代入得2442m t m =−+即22m t m =−+， 所以12341|||()()|3GT x x x x =+−+ 12341|()()|3t y y m y y =+−+222242214|4()|()33m m m m t t m t =⋅−=+−++ 22224[()3]22m m m m +++=. 又22234341(||||)()2S OE y y y y =⋅−=− 23434()4y y y y =+−222328(2)m m +=⋅+， 于是22222222432||[()83(2)]22m m m m m GT S m +++=⋅++++ 42222142(2)31m m m +++=⋅， 令22,2m u u +=>，得22241726||3u u GT S u +−+=⋅ 24117393[26()]352104u =⋅−−+ 4393131310426≤⋅= 当且仅当252217m u +==，即m =时2||GT S +有最大值13126. 22．【详解】（1）当0a =时，()()22121212ln ,(0).x f x x f x x x x x x −'=+=−=>由()2210x f x x −'=>,解得12x >. ∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数. ∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，无极大值. （2）()()()()2222221121212(0)ax a x ax x a f x a x x x x x+−−+−−=−+=>'=. ①当20a −<<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上是增函数； ②当2a =−时，()f x 在()0,∞+上是减函数；③当2a <−时，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上是增函数. （3）当32a −<<−时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是减函数， ∴()()()()()1221342ln 33f x f x f f a a −≤−=−+−. 由()()()12ln 32ln 3m a f x f x +−>−对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈−−∈恒成立， ∴()()()12max ln 32ln 3m a f x f x +−>−即()()22l l n n 3342ln 33m a a a −>−+−+对任意32a −<<−恒成立， 即243m a<−+对任意32a −<<−恒成立， 由于当32a −<<−时，132384339a −<−+<−，∴133m ≤−.。

杭高2021学年高三数学第三次月考试卷〔文科〕本卷须知： 1．本卷答题时间120分钟，总分值150分;2．本卷不得使用计算器，答案一律做在答卷页上.一．选择题：〔本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求〕1．假设集合R x x x A ∈>=,1|||{}，{}2B=|y y x x R =∈，，那么B A C R ⋂)(=〔 〕A. {}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅2．设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，那么|a +b |的值为 〔 〕A. 37B. 13C. 37D. 133．如果,,a b c 满足c b a <<,且0ac <,那么以下选项中不一定．．．成立的是 ( ) A.ab ac > B.()0c b a -> C.ab cb < D. 0)(<-c a ac 4．假设实数d c b a ,,,成等比数列且对函数x x y -+=)2ln(，当b x =时取到极大值c ，那么ad等于〔 〕A. 1-B. 0 C . 1 D. 25．假设A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外的一点，满足02=+-OC OB OA m ,那么m 的值为 〔 〕A. 1B. 2C. 3-D. 4-6．设)21,1(=OM ，)1,0(=ON ，O 为坐标原点，动点),(y x P 满足10≤⋅≤OM OP ，10≤⋅≤ON OP 那么x y Z -=的最大值是 〔 〕A ．1-B ． 1C ．2-D ．237．0<a ,那么0x 为函数b ax x f -=2)(的零点的充要条件是〔 〕A. 0202,bx ax bx ax R x -≥-∈∃B. 0202,bx ax bx ax R x -≤-∈∃ C. 0202,bx ax bx ax R x -≥-∈∀ D. 0202,bx ax bx ax R x -≤-∈∀8．假设函数)10()(≠>-=-a a a ka x f x x 且在),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，那么)(log )(k x x g a +=的图象是〔 〕9．函数2()24(03),f x ax ax a =++<<假设1212,1,x x x x a <+=-那么〔 〕A ．12()()f x f x >B ．12()()f x f x <C ．12()()f x f x =D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定10．动点),(y x A 在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，假设时间0=t 时，点A )23,21(，那么120≤≤t 时，动点A 的横坐标x 关于t 〔单位：秒〕的函数递减区间为 〔 〕A. [0，4]B. [4，10]C. [10，12]D. [0，4]和 [10，12]A B C D二．填空题：〔本大题共7小题，每题4分，共28分〕11．计算：=+++2ln 432lg 225lg 327log e ___________ 12．假设tan 2α=，那么2sin cos cos sin cos ααααα++-=13．向量),2(),1,(cos ),41,(sin m c b a ===θθ满足b a ⊥且)(b a +∥c ，那么实数=m 14．假设函数()c b x a x f +-=满足①函数()x f 的图象关于1=x 对称；②在R 上有大于零的最大值；③函数()x f 的图象过点)1,0(；④Z c b a ∈,,，试写出一组符合要求的实数c b a ,,的值15．对任意]3,2[-∈a ，不等式039)6(2>-+-+a x a x 恒成立，那么实数x 的取值范围是16．等差数列}{n a 满足010121=+++a a a ，那么11=a ，那么n S 最大值为 17．在ABC ∆中，AB=2，AC=4，点P 为线段BC 垂直平分线上的任意一点，那么=⋅BC AP三．解答题：〔本大题共5小题，共72分，要写出详细的解答过程或证明过程〕 18．〔此题总分值14分〕 在△ABC 中，B=45°,D 是BC 边上的一点，AB=56,AC=14, DC=6，求AD 的长. 19．〔此题总分值14分〕假设数列}{n a 的前n 项和为n S ，点)(),(*N n S n n ∈均在函数23)(2++-=x x x f 的图象上〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕假设数列}{n n a b -是首项为1，公比为)0(≠q q 的等比数列，求数列}{n b 的前n 项和n T .20．〔此题总分值14分〕函数21)2cos(21sin sin cos 2sin 21)(2++++=ϕπϕϕx x x f ,)22(πϕπ<<-,其图象过点)1,6(π（1） 求)(x f 的解析式，并求其对称中心；（2） 将函数)(x f y =的图象上各点纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后各点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到)(x g 的图象，求函数)(x g 在]2,0[π上的最大值和最小值.21．〔此题总分值15分〕 函数()log (8)a f x ax =-〔1〕假设()2f x <，求实数x 的取值范围；〔2〕假设()1f x >在区间[1，2]上恒成立，求实数a 的取值范围. 22．〔此题总分值15分〕 函数x x x f ln 1)(--= （1） 求函数)(x f 的最小值； （2） 求证：当+∈N n 时，1131211+>++++n en.杭高2021届高三第三次月考数学答卷页〔文科〕一．选择题〔本大题共10小题，每题5 分，共50分〕：二．填空题〔本大题共7小题，每题4 分，共28分〕：11．；12．13．；14．15．；16．17．三．解答题〔本大题共72分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕：18．(此题总分值14分)20．(此题总分值14分)。