大学物理(第二版)中国矿业大学出版社(1)

1.1有一质点沿着x轴作直线运动，t时刻的坐标为234.52xtt，试求：⑴ 第2秒内的平均速度⑵ 第2秒末的瞬时速度⑶ 第2秒内的路程。 解：⑴ 当1ts时，12.5xm 当2ts时，218162xm平均速度为

2122.50.5msvxx⑵第2秒末的瞬时速度

2

2966mstdxvttdt

⑶ 第2秒内的路程：（在此问题中必须注意有往回走的现象）当1.5ts时，速度0v，23.375xm;当1ts时，12.5xm ;当2ts时，32xm;所以路程为：

3.3752.53.37522.25m 1.8一艘正在沿直线行驶的电船，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，即dv/dt=-kv∧2,试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为v=v0e∧-kx式中，v0是关闭发动机后的速度。

证明：由题可知：2dvdxkvkvdtdt 所以有： dvkvdx 变换为： dvkdxv

两边同时积分就可得到：00vxvdvkdxv 0lnvvvkx即0lnvkxv 所以有0kxvve 1.9迫击炮射击山顶上的一个目标，已知初速度为v0，抛射角为⊙,上坡与水平面成a角，求炮弹的射程及到达山坡时的速度。 解：

炮弹的运动轨迹如上图的虚线所示，如图建立坐标轴,xy。将初速度0v沿坐标轴分解可得0000cossinxyvvvv

⑴ 加速度g沿坐标轴分解可得 sincosxyagag ⑵ 在任意时刻t的速度为 0000cossinsincosxxxyyy

vvatvgtvvatvgt



⑶任意时刻t的位移为

2200220011cossin2211sincos22xx

yy

xvtatvtgtyvtatvtgt







⑷ ⑴ 炮弹射程为0y时，所对应的x。

  0v x y

g 0y对应的时刻02sincosvtg，代入可得

22

0022

2sincoscossinsin2sincoscoscosvvxgg

⑵ 将02sincosvtg代入方程组⑶可得 00000002sincossincos2sintancos2sinsincossincosx

y

vvvgvvgvvvgvg









速度的大小为 22xyvvv=222220004cossintan4sintanvvv 2220cos4cossincossin4sinsincosv

2220cos4cossincossin4sin1coscosv

220cos4sincossin4sincosv

方向可以由 tan2tancotyxvv arctan2tancot 1.14一质点沿半径为0.1（m）的圆周运动，其角坐标⊙可用下式来表示：⊙=2+4t∧3 请问：（1）当t=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当⊙角等于多少时，其总加速度与半径成45°角。

解：324radt，角速度为212radsdtdt 角加速度为224radst

⑴ 当2st时，248rads 2220.148230.4msnar 20.1484.8msar

⑵ 在t时刻，法向加速度与切向加速度分别为 2

22420.11214.4msnartt

20.1242.4msartt

总加速度与半径夹角为45时，naa 可得 310.1676t，即 2.167rad 2.1 质量为2kg的质点的运动方程为22ˆˆ61331rtittj，求证质点受恒力而运动，并求力的方向和大小，采用国际单位制。 解：质点的运动方程为22ˆˆ61331rtittj，

那么通过对上式两边求导，便可得到速度ˆˆ1263vtitj 加速度为：ˆˆ126aij 因此质点所受的力为ˆˆ2412NFmaij 2.2 质量为m的质点在Oxy平面内运动，质点的运动方程为ˆˆcossinratibtj，,,ab为正常数，⑴ 求质点的动量；⑵ 证明作用于质点的合力总指向原点。

解：⑴ 由质点的运动方程可得质点的速度为：ˆˆsincosvatibtj 质点的动量为：ˆˆsincospmvmatimbtj ⑵ 质点的加速度为：22ˆˆcossinaatibtj

作用于质点的合力为：2222ˆˆcossinˆˆcossinFmamatimbtjmatibtjmr 方向为r的方向，也就是总指向原点。 2.3 圆柱A重500N，半径0.30mAR，圆柱B重1000N，半径0.50mBR，都放置在宽度为1.20ml的槽内，各接触点都是光滑的。求A，B柱间的压力及A，B柱与槽壁和槽底间的压力。

l A B A

R

BR 解：分别以A，B为研究对象，受力分析如图所示，建立坐标系如图。 对A列方程有：x轴：sinABANN ⑴

y轴：cosABAGN ⑵

对B列方程有：x轴：1sinABBNN ⑶ y轴：cosBBABNGN ⑷

在三角形中0.4mABBClRR 0.8mABABRR 13sin,cos22 ⑸

通过解上述方程组，可以得到 577NABBANN，1500NBN，1288.5NABNN

2.5 质量m=2kg的均匀绳，长L=1m，两端分别连接重物A和B，ma=8kg, mb=5kg, 今在B端施以大小为F=180N的竖直拉力，物体向上运动，求张力T(X) 解： 对整体进行受力分析，加速度向上为a，根据牛顿第二定律有：

ababFmmmgmmma

即

22msababFmmmgammm



对A进行受力分析，根据牛顿第二定

x y o

AN BAN

AG BN

BG 1BN ABN

  

A

B C A B

dmg amg

dm abmmmg

T F T

T A dT 律有：aaTmgma 得到96NaTmga 对一小段绳子dm受力如图，根据牛顿第二定律得： 24mTdTTdmgdmadTdmagagdxdxL

两边积分得到11960249624NTxdTdxTx 2.6 在图示的装置中两物体的质量各为1m，2m，物体之间以及物体与桌面间的摩擦系数都为，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力。不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。

解：对1m，2m分别进行受力分析如上图所示，取x方向向右为正方向，y轴方向向上为正方向。根据牛顿第二定律列方程，对1m有 x轴：111fTNTma y轴：110Nmg

对2m有方程， x轴：122FmgTNma y轴：2120Nmmg

方程组可以变为111122mgTmaFmgTmmgma 可得到 11Tmgma 112122Fmgmmgmma 最后可以解得：1122Fmgagmm， 11122mFmgTmm 2.9 一个半径为R的光滑球面顶点A放一滑块，滑块质量为m,从静止开始沿球面下滑，小

1m 1m 2m 2m

2mg

2N F 1f1mg 1N 1f 1N F f T

T

a a 滑块的位置可用⊙角表示，求滑块对球面的压力与⊙角的关系，并问滑块在何处离开球面？ 解：对滑块进行受力分析如图，建立自然坐标系：

根据牛顿第二定律列方程为： ˆ方向：sin

dvmgmdt ①

ˆn

方向：

2cosvmgNmR ②

dsRd，①式两边同乘ds可得：

singRdvdv，两边同时积分可以得到：

200

1cos2vgRv221cosvgR

代入②式可得：cos21cos3cos2Nmgmgmg 当滑块离开球面时，0N，即2cos3，2arccos48.23 2.12 升降机中水平桌上有一质量为m的物体A，它被细线所系，细线跨过滑轮与质量也为m的物体B相连，当升降机以加速度a=g/2上升时，机内的人和地面上的人将观察到AB两物体的加速度分别是多少？ 解：（一）以升降机为参考系，A和B的受力如图所示： 水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，根据牛顿第二定律列方程为：

对A：'Tma 0Nmgma 对B：'Tmagma 解方程可得：'34ag 因此对机内的人来说，A的加速度为：3ˆ4gi，B的加速度为：3ˆ4gj （二）以地面为参考系， 建立坐标系与上边相同，根据牛顿第二定律列方程：

对A：'Tma Nmgma

对B：'Tmgmaa '34ag，34Tmg， A的加速度为：131ˆˆ42agigj，

 N ˆ ˆn

mg

A B mg mg ma ma

N T T 'a

'a

A B mg mg

N T T 'a

'a

a a