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高中数学典型例题解析导数及其应用

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高中数学典型例题分析 第十章 导数及其应用 §10.1导数及其运算 一、知识导学 1.瞬时变化率：设函数)(xfy在0x附近有定义，当自变量在0xx附近改变量为x

时，函数值相应地改变)()(0xfxxfy，如果当x趋近于0时，平均变化率

xxfxxfxy)()(00趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝

对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数)(xf在点0x的瞬时变化率。 2.导数：当x趋近于零时，xxfxxf)()(00趋近于常数c。可用符号“”记作：当0x时，xxfxxf)()(00c或记作cxxfxxfx)()(lim000，符号“”读作“趋近于”。函数在0x的瞬时变化率，通常称作)(xf在0xx处的导数，并记作)(0xf。 3.导函数：如果)(xf在开区间),(ba内每一点x都是可导的，则称)(xf在区间),(ba可导。这样，对开区间),(ba内每个值x，都对应一个确定的导数)(xf。于是，在区间),(ba内，)(xf构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)(xfy的导函数。记为)(xf或y（或xy）。

4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设)(xf，)(xg是可导的，则)()())()((xgxfxgxf即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。 2）函数积的求导法则：设)(xf，)(xg是可导的，则)()()()(])()([xgxfxgxfxgxf即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数

乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。 3）函数的商的求导法则：设)(xf，)(xg是可导的，0)(xg，则 )()()()()()()(2xgxgxfxfxgxgxf



5.复合函数的导数:设函数)(xu在点x处有导数)(xux,函数)(ufy在点x的对应点u处有导数)(ufyu,则复合函数fy)]([x在点x处有导数,且

xuxuyy.

6.几种常见函数的导数： (1))(0为常数CC (2))(1Qnnxxnn）（ (3)xxcos)(sin (4)xxsin)(cos (5)xx1)(ln (6)exxaalog1)(log (7)xxee)( (8)aaaxxln)( 二、疑难知识导析 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率 2.运用复合函数的求导法则xuxuyy,应注意以下几点 （1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导. (2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如xx2sin)2(cos实际上应是x2sin2。 (3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如

4)31(1xy

选成uy1，xwwvvu3,1,4计算起来就复杂了。

3.导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。 4.的关系与)()(0xfxf )(0xf表示0)(xxxf在处的导数，即)(0xf是函数在某一点的导数；)(xf表示函 数)(xf在某给定区间),(ba内的导函数，此时)(xf是在),(ba上x的函数，即)(xf是在),(ba内任一点的导数。

5.导数与连续的关系 若函数)(xfy在0x处可导，则此函数在点0x处连续，但逆命题不成立，即函数 )(xfy在点0x处连续，未必在0x点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必

要条件，而不是充分条件。 6.可以利用导数求曲线的切线方程 由于函数)(xfy在0xx处的导数，表示曲线在点))(,(00xfxP处切线的斜率，因 此，曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处的切线方程可如下求得： （1）求出函数)(xfy在点0xx处的导数，即曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处切线的斜率。 （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((000xxxfyy，如果曲线)(xfy在点))(,(00xfxP的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0xx. 三、经典例题导讲 [例1]已知2)2cos1(xy,则y .

[例2]已知函数)1)(1(21)1)(1(21)(2xxxxxf判断f(x)在x=1处是否可导？ 分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 左右极限是否存在且相等。

点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即xxfxxfx)()(lim000，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验 证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求322xy在点)5,1(P和)9,2(Q处的切线方程。 分析：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y在1x处的函数值； 点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标． [例4]求证：函数xxy1图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程. 分析： 由导数的几何意义知，要证函数xxy1的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.

[例5]（02年高考试题）已知0a，函数axxf3)(，,0x，设01x，记曲线)(xfy在点))(,(11xfxM处的切线为 l . （1）求l 的方程； （2）设 l 与 x轴交点为)0,(2x，求证：

① 312ax； ②若311ax，则1231xxa 分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 .

[例6]求抛物线 2xy上的点到直线02yx的最短距离. 分析：可设 ),(2xxP为抛物线上任意一点，则可把点P到直线的距离表示为自变量x的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线02yx的距离即为本题所求. 四、典型习题导练 1.函数)(xfy在0xx处不可导，则过点))(,(00xfxP处，曲线

)(xfy的切线 （ D ） A．必不存在 B．必定存在 C．必与x轴垂直 D．不同于上面结论 2.332xxy在点x=3处的导数是__-1/6__________.

3.已知23)(23xaxxf，若4)1(f，则a的值为____________. 4.已知P（－1，1），Q（2，4）是曲线2xy上的两点，则与直线PQ

平行的曲线2xy的切线方程是 _____________. 5.如果曲线103xxy的某一切线与直线34xy平行，求切点坐标与切线方程. 6．若过两抛物线222xxy和baxxy2的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：抛物线baxxy2过定点Q，并求出定点Q

的坐标. §10.2导数的应用 一、 知识导学 1.可导函数的极值 （1）极值的概念 设函数)(xf在点0x附近有定义，且若对0x附近的所有的点都有)()(0xfxf（或)()(0xfxf），则称)(0xf为函数的一个极大（小）值，称0x为极大（小）值点.

（2）求可导函数)(xf极值的步骤: ①求导数)(xf。求方程0)(xf的根. ②求方程0)(/xf的根. ③检验)(xf在方程0)(xf的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(xfy在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数)(xfy在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 （1）设)(xfy是定义在区间ba,上的函数，)(xfy在),(ba内有导数，求函数)(xfy在ba,上的最大值与最小值，可分两步进行.

①求)(xfy在),(ba内的极值. ②将)(xfy在各极值点的极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）若函数)(xf在ba,上单调增加，则)(af为函数的最小值，)(bf为函数的最大值；若函数)(xf在ba,上单调递减，则)(af为函数的最大值，)(bf为函数的最小值. 二、疑难知识导析 1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数)(xf取值为0的点称为函数)(xf的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数||xy在点0x处有极小值)0(f=0，可是这里的)0(f根本不存在，所以点0x不是)(xf的驻点.

(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数3)(xxf的导数23)(xxf，在点0x处有0)0(f，即点0x是3)(xxf的驻点，但从)(xf在,上为增函数可知，点0x不是)(xf的极值点.

(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可

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高中数学理科专题讲解高考大题专项(一)《导数的综合应用》教学课件

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题型二 讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+ x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.
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解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
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题型二 求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.
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解: (2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g'(x)=-xsin x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.
高中数学《导数及其应用》知识点讲解附真题PPT课件

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- ln
k
k
1 k 1 k
b, -1
b
⇒
b k
1-ln 2.
2,
答案 1-ln 2
例5 设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0, 则点P的坐标为 ( )
A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1)
=ln(x+1)的切线,则b=
.
解题导引 与例3的不同之处是:有两条曲线,且两切点未知,因此转化为求
两条曲线上两个点处的切线方程问题.第一步,先设出两个切点;第二步,用k
表示出两个切点的坐标;第三步,建立方程组,求解.
解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),
2
分别令x=1,x=0,得
f f
'(1) f '(0) f
'(1)-f '(0) 1, '(1)e-1-f '(0) 0,
解得
f f
'(0) '(1)
1, 2e,
因此f(x)=2e·ex-1-x+
1 2
x2=2ex-x+
1 2
x2.
方法总结 与含参数问题相结合,类似于抽象函数问题,用赋值法求解.
B(x2,y2),
由y=ln x+2得y'= 1 ,由y=ln(x+1)得y'= 1 ,
x
x 1
∴k=
1 x1
=
1 x2
1
,∴x1=
高中数学一轮复习重难点 导数的概念和运算(十年高考)

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第四章一元函数的导数及其应用4.1导数的概念及运算考点导数的概念和运算1.(2023全国甲文，8）曲线e 1=+xy x 在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A.e4y x =B.e 2y x =C.e e 44y x =+ D.e 3e24y x =+【答案】C【解析】设曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-，因为e 1xy x =+，所以()()()22e 1e e 11x x xx x y x x +-'==++，所以1e|4x ky ='==，所以()e e 124y x -=-，所以曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+，故选：C2.(2016四川理,9,5分)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)=−lns 0<<1,lns >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A,B,则△PAB 的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案A 设l 1是y=-ln x(0<x<1)的切线,切点P 1(x 1,y 1),l 2是y=ln x(x>1)的切线,切点P 2(x 2,y 2),l 1:y-y 1=-11(x-x 1),①l 2:y-y 2=12(x-x 2),②①-②得x P =1−2+211+12,易知A(0,y 1+1),B(0,y 2-1),∵l 1⊥l 2,∴-11·12=-1,∴x 1x 2=1,∴S △PAB =12|AB|·|x P |=12|y 1-y 2=12·(1−2+2)21+212=12·(−ln 1−ln 2+2)21+2=12·[−ln(12)+2]21+2=12·41+2=21+2,又∵0<x 1<1,x 2>1,x 1x 2=1,∴x 1+x 2>212=2,∴0<S △PAB <1.故选A.思路分析设出点P 1,P 2的坐标,进而根据已知表示出l 1,l 2,然后求出点A 、B 的坐标及x P ,最后利用点在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.评析本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.3.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案D y'=a-1r1,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.4.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a ,b )可以作曲线y =e x 的两条切线,则()A.e b <aB.e a <bC.0<a <e bD.0<b <e a答案D 解法一:当x →-∞时,曲线y =e x 的切线的斜率k >0且k 趋向于0,当x →+∞时,曲线y =e x 的切线的斜率k >0且k 趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x 轴上方,且在曲线y =e x 的下方,∴0<b <e a ,故选D .解法二:易知曲线y =e x 在点P (t ,e t )处的切线方程为y -e t =e t (x -t ),∵切线过点(a ,b ),∴b -e t =e t (a -t ),整理得e t (t -a -1)+b =0.令f (t )=e t (t -a -1)+b ,则f '(t )=e t (t -a ),当t <a 时,f '(t )<0,当t >a 时,f '(t )>0,∴f (t )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增,∴当t =a 时,f (t )取得最小值f (a )=-e a +b.由已知得,f (t )的零点的个数即为过点(a ,b )的切线条数,∴f(t)有且仅有2个零点.∴f(a)=-e a+b<0,即b<e a.①若b≤0,则当t<a时,t-a-1<0,e t(t-a-1)<0,则f(t)<0,∴f(t)在(-∞,a)上无零点,而f(t)在[a,+∞)上至多有一个零点,不合题意.②若0<b<e a,由以上讨论可知,f(t)在(-∞,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数,∴f(t)min=f(a)=-e a+b<0,且limm−∞f(t)=b>0,f(a+1)=b>0,由零点存在性定理可知f(t)在(-∞,a)和[a,+∞)上各有一个零点,结合f(t)的单调性知f(t)有且只有两个零点.综上,0<b<e a.故选D.5.(2021全国甲理,13,5分)曲线y=2K1r2在点(-1,-3)处的切线方程为.答案y=5x+2解题指导:利用导数的几何意义求切线的斜率,利用点斜式得切线方程.解析y=2(r2)−5r2=2−5r2,所以y'=5(r2)2,所以k=y'|x=-1=5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.易错警示:①对分式型函数求导要注意公式的使用,先对分式进行化简可降低出错率.②要注意“在点处”和“过某点”的区别.6.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.答案y=1e x;y=-1e x(不分先后)解析由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}.易证函数y=ln|x|为偶函数,当x>0时,y=ln x,设切点坐标为(x0, ln x0),∵y'=1,∴切线斜率k=y'|J0=10,故切线方程为y-ln x0=10(x-x0),又知切线过原点(0,0),∴-ln x0=-1,∴x0=e,故切线方程为y-1=1e(x-e),即y=1e x.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=-1e x,故过坐标原点的两条切线方程为y=1e x和y=-1e x.7.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.答案(-∞,-4)∪(0,+∞)解析设f(x)=(x+a)e x,则f'(x)=(x+a+1)e x,设切点为(x0,(x0+a)e0),因此切线方程为y-(x0+a)e0=(x0+a+1)e0(x-x0),又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)e0=(x0+a+1)·e0(-x0),整理得02+ax0-a=0,又切线有两条,∴关于x0的方程02+ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.8.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x-2在点(0,1)处的切线方程为.答案x+2y-2=0解析本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.∵y=cos x-2,∴y'=-sin x-12,∴y'|x=0=-12,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-12,∴切线方程为y-1=-12(x-0),即x+2y-2=0.方法总结求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.9.(2018课标Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=2x解析本题主要考查导数的几何意义.因为y'=2r1,所以y'|x=0=2,又(0,0)为切点,所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.10.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.答案2x-y-2=0解析本题主要考查导数的几何性质.由y=2ln x得y'=2.因为k=y'|x=1=2,点(1,0)为切点,所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.11.(2018课标Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-3解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)e x,则f'(x)=(ax+a+1)e x,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.12.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+1在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=0解析本题考查导数的几何意义.∵y=x2+1,∴y'=2x-12,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.13.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f'(x)=a-1,所以f'(1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.易错警示不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.14.(2016课标Ⅱ理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln2解析直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得y'=1,由y=ln(x+1)得y'=1r1,∴k=11=12+1,∴x1=1,x2=1-1,∴y1=-ln k+2,y2=-ln k.即−ln+2−1,−ln,∵A、B在直线y=kx+b上,∴2−ln=1+b,−ln=b1+b⇒=1−ln2, =2.评析解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.15.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.答案1解析由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.16.(2015课标Ⅱ文,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析令f(x)=x+ln x,求导得f'(x)=1+1,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y'|J0=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-12,又a02+(a+2)x0+1=2x0-1,即a02+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x0=-12,此时a=8.评析本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键.17.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析∵函数y=e x的导函数为y'=e x,∴曲线y=e x在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=1的导函数为y'=-12,∴曲线y=1(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-102,则有k1k2=-1,即1·−解得02=1,又x0>0,∴x0=1.又∵点P在曲线y=1(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).18.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.答案y=4x-3解析y'=3ln x+1+x·3=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.19.(2020新高考Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=a e x-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.解析f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x-1-1.(1)当a=e时,f(x)=e x-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为−2e−1,2.因此所求三角形的面积为2e−1.(2)当0<a<1时,f(1)=a+ln a<1.当a=1时,f(x)=e x-1-ln x,f'(x)=e x-1-1.当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.当a>1时,f(x)=a e x-1-ln x+ln a≥e x-1-ln x≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).名师点评:本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a>1时,证明f(x)≥1需要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.20.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析解法一:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(13-x1)=(312-1)(x-x1),即y=(312-1)x-213①.因为曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以=(312−1)−213,=2+有且仅有一组解,即方程x2-(312-1)x+213+a=0有两个相等的实数根,从而Δ=(312-1)2-4(213+a)=0⇔4a=914−813−612+1.(1)若x1=-1,则4a=12⇔a=3.(2)4a=914−813−612+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-13<x<0或x>1,令h'(x)<0,得x<-13或0<x<1,所以h(x)在−130和(1,+∞)上单调递增,在−∞,0,1)上单调递减,又h(1)=-4,h−=2027,所以h(x)≥-4,所以a≥-1.解法二:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(13-x1)=(312-1)(x-x1),即y=(312-1)x-213①,设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,22+a),又g'(x2)=2x2,则切线可表示为y-(22+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-22+a②,因为①②表示同一直线方程,所以312−1=22,−213=−22+s则(312-1)2-813=4⇔4=914−813−612+1.下面同解法一.易错警示:不能认为两曲线的公切线切点相同.21.(2022全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+ax e-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+x e-x,其定义域为(-1,+∞),f'(x)=1r1+(1-x)e-x,又f(0)=0,f'(0)=2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)f(x)=ln(1+x)+ax e-x有零点,即方程ln(x+1)=-ax e-x有根,设g(x)=ln(x+1),h(x)=-ax e-x,因为f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,所以g(x)和h(x)的图象在(-1,0),(0,+∞)上各恰有一个交点.易知g'(x)=1r1,h'(x)=-a(1-x)e-x,g(0)=h(0)=0.当x∈(-1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.①若a=0,显然不满足.②若a>0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,此时g(x)和h(x)在(-1,0)上无交点.③若a<0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)>0,h(x)在(-1,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减.(i)当x→+∞时,h(x)→0,g(x)→+∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(0,+∞)上有一个交点,需g'(0)<h'(0),解得a<-1;(ii)当x=-1时,h(-1)=a e,当x→-1时,g(x)→-∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(-1,0)上有一个交点,也需要g'(0)<h'(0),解得a<-1.综上所述,a的取值范围为(-∞,-1).。

高中数学导数典型例题精讲详细版

高中数学导数典型例题精讲详细版

导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊极限几个常用极限：〔1〕1lim 0n n→∞=，lim 0n n a →∞=〔||1a <〕；〔2〕00lim x xx x →=，0011limx x x x →=.两个重要极限 ：〔1〕0sin lim 1x x x →=；〔2〕1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=…). 函数极限四那么运算法那么：假设0lim ()x x f x a →=，0lim ()x xg x b →=，那么 (1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim 0x xf x ab g x b→=≠. 数列极限四那么运算法那么：假设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，那么(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅(3)()lim 0n n n a ab b b→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数))(x f 在0x 处导数〔或变化率或微商〕 .瞬时速度：00()()()lim limt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 瞬时加速度：00()()()lim limt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. )(x f 在),(b a 导数：()dy df f x y dx dx ''===00()()lim limx x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 函数)(x f y =在点0x 处导数几何意义函数)(x f y =在点0x 处导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处切线斜率)(0x f '，相应切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数导数(1) 0='C 〔C 为常数〕.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -='(4) xx 1)(ln ='；e a x xa log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='.导数运算法那么〔1〕'''()u v u v ±=±.〔2〕'''()uv u v uv =+.〔3〕'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数求导法那么设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处对应点U 处有导数''()u y f u =，那么复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=. 【例题解析】 考点1 导数概念对概念要求：了解导数概念实际背景，掌握导数在一点处定义与导数几何意义，理解导函数概念.例1． ()f x '是31()213f x x x =++导函数，那么(1)f '-值是 ．[考察目] 此题主要考察函数导数与计算等根底知识与能力. [解答过程] ()22()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=故填3.例2.设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x fx >,假设M P,那么实数a 取值范围是( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞) [考察目]此题主要考察函数导数与集合等根底知识应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.1x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时综上可得M P 时,1.a ∴>考点2 曲线切线〔1〕关于曲线在某一点切线求曲线y=f(x)在某一点P 〔x,y 〕切线，即求出函数y=f(x)在P 点导数就是曲线在该点切线斜率.〔2〕关于两曲线公切线假设一直线同时与两曲线相切，那么称该直线为两曲线公切线. 典型例题例3.函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．〔I 〕求24a b -最大值；〔II 〕当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处切线为l ，假设l 在点A 处穿过函数()y f x =图象〔即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 一侧进入另一侧〕，求函数()f x 表达式．思路启迪：用求导来求得切线斜率.解答过程：〔I 〕因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，〔12x x <〕，那么21x x -=2104x x <-≤．于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -最大值是16．〔II 〕解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处切线l 方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =图象，所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近函数值异号，那么1x =不是()g x 极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且假设11a ≠--，那么1x =与1x a =--都是()g x 极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =图象，所以()g x 在1x =两边附近函数值异号，于是存在12m m ，〔121m m <<〕．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 一个极值点，那么3(1)21102a h =⨯++=，所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．4y x =一条切线l 与直线480x y +-=垂直，那么l 方程为〔 〕A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=[考察目]此题主要考察函数导数与直线方程等根底知识应用能力.[解答过程]与直线480x y +-=垂直直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点切线为430x y --=. 应选A.例5．过坐标原点且与x 2+y 2-4x +2y +25=0相切直线方程为 ( )A.y =-3x 或y =31x B. y =-3x 或y =-31x C.y =-3x 或y =-31x D. y =3x 或y =31x[考察目]此题主要考察函数导数与圆方程、直线方程等根底知识应用能力. [解答过程]解法1：设切线方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2x y -++=∴-圆心为 应选A.解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222⎛⎫- ⎪⎝⎭由 应选A.例 6.两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线方程.思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.解答过程：函数x x y 22+=导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，即 211)1(2x x x y -+= ①曲线1C 在点Q ),(222a x x +-切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即假设直线l 是过点P 点与Q 点公切线，那么①式与②式都是l 方程，故得1,1222121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，0122121=+++a x x假设△=0)1(244=+⨯-a ，即21-=a 时，解得211-=x ，此时点P 、Q 重合.∴当时21-=a ，1C 与2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14y x =- .考点3 导数应用中学阶段所涉及初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质重要而有力工具，特别是对于函数单调性，以“导数〞为工具，能对其进展全面分析，为我们解决求函数极值、最值提供了一种简明易行方法，进而与不等式证明，讨论方程解情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1.. 求函数解析式;2. 求函数值域;3.解决单调性问题;4.求函数极值〔最值〕;5.构造函数证明不等式. 典型例题例7．函数)(x f 定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内图象如下图，那么函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个[考察目]此题主要考察函数导数与函数图象性质等根底知识应用能力.[解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内图象上有一个极小值点.应选A.例8 .设函数32()2338f x xax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．〔Ⅰ〕求a 、b 值；〔Ⅱ〕假设对于任意[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 取值范围． 思路启迪：利用函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值构造方程组求a 、b值．解答过程：〔Ⅰ〕2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，那么有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，32()29128f x x x x c =-++， 当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．那么当[]03x ∈，时，()f x 最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以298c c +<，解得 1c <-或9c >， 因此c 取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．例9.函数y x x =+-+243值域是_____________.思路启迪：求函数值域，是中学数学中难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数单调性求出最大、最小值。