高一上学期期末考试数学试题及答案

即ⷨ
，
，
所以 ⷨ
ⷨ，
ⷨሺ
‫ݔ‬
ⷨ
.
8
当且仅当 ⷨ ，
即 ⷨ 时， 等号成立，
所以当 ⷨ
时， 取最小值为 1440 .
故答案为：1440.
【分析】利用已知条件结合矩形的面积和求和的方法建立函数的模型，再结合均值不等式求最值的方法得出 绿化花园总造价 S 的最小值。
17．【答案】（1）解： ሺ ‫ ݔ‬ሺ ‫ ݔ‬ሺ ‫ ݔ‬ln ⷨ
构成的面积为
的十字型区域，计划在正方形 MNPQ 上建一座花坛，造价为 99 元/ ；在四个空角（图中
四个三角形）上铺草坪，造价为 8 元/ ；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为 S（单位：
元），AD 长为 x（单位：m），则绿化花园总造价 S 的最小值为
元．
2
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．计算：
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，进而得出函数的零点所在的区间。 4．【答案】A
【解析】【解答】解：因为 㐠 ，所以
ⷨ ，当且仅当 ⷨ 时等号成立，故
的最小值为
2. 故答案为：A. 【分析】利用基本不等式求最小值即可. 5．【答案】B
【解析】【解答】解：命题 ： ሺ ， ‫ݔ‬， 㐠 的否定为¬ ： ሺ ， ‫ݔ‬，
湖南省娄底市涟源市 2023-2024 学年高一上学期 1 月期末考试数学试题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
四
总分
评分

2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测数学试题（答案在最后）本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}29A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B ⋂等于（）A.[]3,3- B.[0,3]C.(0,3]D.[)3,+∞2.若sin tan 0αα>，且cos tan 0αα<，则角α是（）A .第一象限角B.第二象限角C .第三象限角D.第四象限角3.函数()lg 2f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,14.函数()e ex xxf x -=+的部分图象大致为（）A. B.C.D.5.已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）A.a c b>> B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>6.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（）A.1B.2C.2D.227.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771≈≈≈A.2024年B.2023年C.2026年D.2025年8.已知2)()log (2xg x a -=+，若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A .[0,)+∞ B.1[,)8-+∞ C.1[,)4-+∞ D.1[,)2-+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数()e xf x -=-与()e xg x =的图象关于原点对称B.函数()1(0x f x aa -=>，且1)a ≠恒过定点()0,1C.已知命题2:0,10p x x x ∃>-+<，则p 的否定为：20,10x x x ∀>-+≥D.0x >是3x >的充分不必要条件10.下列化简正确的是（）A.sin(2024π)sin αα-=- B.tan(2025π)tan αα-=C.11πsin()cos 2αα+=- D.7πcos()sin 2αα-=11.已知函数(2)1,0,(),0,aa x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩则以下说法正确的是（）A.若1a =-，则()f x 是(0,)+∞上的减函数B.若0a =，则()f x 有最小值C.若12a =，则()f x 的值域为(0,)+∞D.若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，则（）A.()()ff x 是偶函数B.()()f g x 是奇函数C.()()g g x 在[)0,∞+上单调递增D.()()g f x 在[)0,∞+上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.若扇形的半径为2，面积为4π3，则扇形的周长为________．14.函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减，则a 的范围为________.15.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，()2f x x ax =+，且()33f =，则=a __________.16.已知()1e xf x x=-的零点为0x ，若000e ln 2xx x m +>，则整数m 的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：（1）32log 2335lg 2lg23lg0.01lne 272++-++；（2）112519sin cos tan 634πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.已知幂函数()()26mf x m m x =-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式；（2）若()()822f a f a -<+，求a 的取值范围．19.已知函数()22log log 42x x f x =.（1）当[]2,8x ∈时，求该函数()f x 的值域；（2）若不等式()2log f x m x ≥在[]4,16x ∈上有解，求m 的取值范围.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？21.设sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根（1）求a 的值；（2）求33cos sin 22θθππ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（3）求()1tan tan θθπ--的值.22.已知定义域为R 的函数()122xx b f x a+-=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值；（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测数学试题本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}29A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B ⋂等于（）A.[]3,3- B.[0,3]C.(0,3] D.[)3,+∞【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，求出函数的定义域化简集合B ，再利用交集的定义求解即得.【详解】由29x ≤，得33x -≤≤，则[3,3]A =-，函数2log y x =有意义，得0x >，则(0,)B =+∞，所以(0,3]A B = .故选：C2.若sin tan 0αα>，且cos tan 0αα<，则角α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得sin 0,cos 0αα<>，再求出角α所在象限.【详解】由sin tan 0αα>，cos tan 0αα<，得2sin 0cos αα>，sin 0α<，因此sin 0,cos 0αα<>，所以角α是第四象限角.故选：D3.函数()lg 2f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,1【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理和单调性即可求解.【详解】函数()()1lg11210,2lg222lg20f f =+-=-=+-=.又()f x 为单调增函数，所以()f x 有唯一零点，且在区间()1,2内.故选：C.4.函数()e e x xxf x -=+的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定.【详解】由于()e e x x x f x -=+，x R ∈，()()e ex xxf x f x ---==-+，故()f x 为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B 和C ；又因为11(1)1e e f -=<+，故排除D 项，故选：A.5.已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）A.a c b >>B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数0.3x y =的单调性，可以判断,b c 的大小；根据作商法可得1>ab,可得答案.【详解】0.3x y = 是减函数，0.30.40.30.3∴>，即0b c >>，而0.30.30.44(()10.33a b ==>，即a b >，a b c ∴>>，故选：B6.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案.【详解】因为0,0x y <<，所以242221x y x y +=+≥==，当且仅当222x y =，即21x y ==-时，等号成立，故选：A ．7.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771≈≈≈A.2024年 B.2023年 C.2026年 D.2025年【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数模型列不等式求解．【详解】依题意，第n ()N n *∈时投入资金为()12019%n⨯+亿元，设2020年后第n ()Nn *∈年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，则()12019%200n⨯+>,得51.093n>，两边同取常用对数，得lg5lg31lg2lg310.30100.47715.9973lg1.09lg1.090.037n ----->==≈，所以6n ≥，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：C ．8.已知2)()log (2xg x a -=+，若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A.[0,)+∞B.1[,)8-+∞ C.1[,)4-+∞ D.1[,)2-+∞【答案】B 【解析】【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得.【详解】不等式1212122211)())02]()2[(2]([g x x g x g x g x x x x x x ++-->-⇔>--，令22222()()2)2(22)log (2log log xxxxf xg x a x a -=⋅++=+=+，则1212()()0f x f x x x ->-，依题意，1212,(1,2),x x x x ∀∈<，1212()()0f x f x x x ->-，因此函数22()(22)log x x f x a =⋅+在(1,2)上单调递增，令222x x u a =⋅+，而2log y u =在(0,)+∞上单调递增，则函数222x x u a =⋅+在(1,2)上单调递增，且恒有2220x x a ⋅+>令2(2,4)x t =∈，显然函数2x t =在(2,4)上单调递增，因此2v at t =+在(2,4)上单调递增，且(2,4)t ∀∈，20at t +>，当0a >时，2v at t =+在(2,4)上单调递增，当0a =时，v t =在(2,4)上单调递增，且20at t +>恒成立，因此0a ≥；当a<0时，由2v at t =+在(2,4)上单调递增，得142a -≥，解得108a -≤<，由(2,4)t ∀∈，20at t +>，得420a +≥，解得12a ≥-，因此108a -≤<，所以实数a 的取值范围是1[,)8-+∞.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数()exf x -=-与()e xg x =的图象关于原点对称B.函数()1(0x f x aa -=>，且1)a ≠恒过定点()0,1C.已知命题2:0,10p x x x ∃>-+<，则p 的否定为：20,10x x x ∀>-+≥D.0x >是3x >的充分不必要条件【答案】AC 【解析】【分析】A ：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B ：令10x -=，由此确定出所过定点坐标；C ：通过修改量词否定结论可得结果；D ：根据0x >与3x >的互相推出情况进行判断.【详解】对于A ：设()exf x -=-上任意一点()00,P x y ，其关于原点的对称点为(),Q x y ，所以00x x y y=-⎧⎨=-⎩，所以()e x y ---=-，所以e x y =，即Q 为e x y =图象上任意一点，故A 正确；对于B ：令10x -=，所以1x =，此时()011f a ==，所以()f x 过定点()1,1，故B 错误；对于C ：修改量词否定结论可得2:0,10p x x x ⌝∀>-+≥，故C 正确；对于D ：0x >不能推出3x >，但3x >一定能推出0x >，所以0x >是3x >的必要不充分条件，故D 错误；故选：AC .10.下列化简正确的是（）A.sin(2024π)sin αα-=- B.tan(2025π)tan αα-=C.11πsin()cos 2αα+=- D.7πcos()sin 2αα-=【答案】ABC 【解析】【分析】利用诱导公式化简各选项并判断即得.【详解】对于A ，sin(2024π)sin()sin ααα-=-=-，A 正确；对于B ，tan(2025π)tan(π)tan ααα-=+=，B 正确；对于C ，11πππsin()sin[6π()]sin()cos 222αααα+=--=--=-，C 正确；对于D ，7πππcos()cos[4π()]cos()sin 222αααα-=-+=+=-，D 错误.故选：ABC11.已知函数(2)1,0,(),0,aa x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩则以下说法正确的是（）A.若1a =-，则()f x 是(0,)+∞上的减函数B.若0a =，则()f x 有最小值C.若12a =，则()f x 的值域为(0,)+∞D.若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-【答案】ABC 【解析】【分析】把选项中的a 值分别代入函数()f x ，利用此分段函数的单调性判断各选项.【详解】对于A ，若1a =-，131,0(),0x x f x x x --+≤⎧=⎨>⎩，()f x 在(0,)+∞上单调递减，故A 正确；对于B ，若0a =，21,0,()1,0,x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，当0x ≤时，()21f x x =-+，()f x 在区间(],0-∞上单调递减，()(0)1f x f ≥=，则()f x 有最小值1,故B 正确；对于C ，若12a =，1231,0,2(),0,x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩，当0x ≤时，3()12=-+f x x ，()f x 在区间(],0-∞上单调递减，()(0)1f x f ≥=；当0x >时，12()f x x =，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，()(0)0f x f >=，则()f x 的值域为(0,)+∞，故C 正确；对于D ，若3a =，31,0,(),0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩当0(1,)x ∈+∞时，()3001=>f x x ；当()020,1-∈x 时，()()()300220,1-=-∈f x x ；当(]002,-∈-∞x 时，()(]003,21-=-∞∈-f x x ，即当(]02,0x ∞-∈-时，()(]012,-∈-∞f x ，所以不存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-，故D 错误.故选：ABC12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，则（）A.()()f f x 是偶函数B.()()f g x 是奇函数C.()()g g x 在[)0,∞+上单调递增D.()()g f x 在[)0,∞+上单调递增【答案】AC【解析】【分析】根据奇偶性定义可判断AB ；根据复合函数单调性可判断CD.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()()ff x f f x -=，()()()()()()fg x f g x f g x -=-=，所以()()f f x 和()()f g x 均为偶函数，A 正确，B 错误；又因为()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，()g x 在R 上单调递减，所以，由复合函数的单调性可知，在[)0,∞+上()()g g x 单调递增，()()g f x 单调递减，故C 正确，D 错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.若扇形的半径为2，面积为4π3，则扇形的周长为________．【答案】4π43+【解析】【分析】由扇形的面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解.【详解】由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为,,l r S ，由题意411π2322S lr l ===⨯⨯，解得4π3l =，所以扇形的周长为442π22π433C l r =+=+⨯=+.故答案为：4π43+.14.函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减，则a 的范围为________.【答案】1a ≤【解析】【分析】函数|1|()2x f x -=是由指数2x y =变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得|1|()2x f x -=的单调性，从而解出答案.【详解】因为1112,1()21,12x x x x f x x ---⎧>⎪==⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得()f x 在()1,+∞单调递增，在(],1-∞单调递减.因为函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减所以1a ≤.故答案为：1a ≤.15.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，()2f x x ax =+，且()33f =，则=a __________.【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质可知，(3)(3)f f -=【详解】因为()y f x =是偶函数，所以()()23(3)39333f a a f -=--=-==，解得2a =.故答案为：216.已知()1e x f x x=-的零点为0x ，若000e ln 2x x x m +>，则整数m 的最大值是______.【答案】0【解析】【分析】根据题意分析()1e x f x x =-的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0001e 0x f x x =-=，得到()02000000011e ln x x x x x x x x +=+⋅-=-，通过判断()2111,122h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的范围即可得到答案.【详解】函数()1e x f x x=-的定义域为()(),00,∞-+∞U ，当0x <时，()0f x >恒成立，不存在零点；当0x >时，()f x单调递增，且1202f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()1e 10f =->，所以()1e x f x x =-的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0001e 0x f x x =-=，即001e x x =，两边同时取对数，即00ln x x =-，即00ln x x =-，所以()020********e ln xx x x x x x x +=+⋅-=-，所以200112m x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，记()2111,122h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，显然，()h x 单调递减，所以()()112h h x h ⎛⎫<<⎪⎝⎭，所以()708h x <<，所以整数m 的最大值是0.故答案为：0【点睛】关键点点睛：本题关键点在于判断()1e xf x x =-的零点0x 的范围，并通过001e x x =和00ln x x =-代入原式进行化简，再构造函数结合单调性判断范围进而求解答案.本题考查了转化与化归能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：（1）32log 2335lg 2lg23lg0.01lne 272++-++；（2）112519sin cos tan 634πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）17（2）2【解析】【分析】（1）利用指对幂的运算法则求解即可.（2）运用诱导公式直接化简求值即可.【小问1详解】原式5lg lg 42239lg102212172=+++++=+++=；【小问2详解】原式ππ3113sincos tan πtan π2634224⎛⎫=++-=+-= ⎪⎝⎭.18.已知幂函数()()26m f x m m x =-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式；（2）若()()822f a f a -<+，求a 的取值范围．【答案】（1）()12f x x=（2）{|24}a a <≤【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解；（2）利用()f x 的单调性与定义域即可得解.【小问1详解】因为()()26m f x m m x =-是幂函数，所以261m m -=，解得12m =或13m =-，又()f x 在()0,∞+上是增函数，故0m >，12m ∴=，则()12f x x =.【小问2详解】由（1）知()12f x x =在()0,∞+上是增函数，又()()822f a f a -<+，()12f x x =的定义域为[)0,∞+，82282020a a a a -<+⎧⎪∴-≥⎨⎪+≥⎩，解得24a <≤，a ∴的取值范围是{|24}a a <≤．19.已知函数()22log log 42x x f x =.（1）当[]2,8x ∈时，求该函数()f x 的值域；（2）若不等式()2log f x m x ≥在[]4,16x ∈上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）换元令2log x t =，结合二次函数的性质求值域；（2）换元令2log x t =，整理可得23+-≥t m t 在[]2,4t ∈上有解，根据存在性问题分析求解.【小问1详解】因为()()()2222log log log 2log 142==--x x f x x x ，由对数函数单调性可知，当[]2,8x ∈时，[]2log 1,3x ∈，令2log x t =，[]1,3t ∈，即可得()()()22132=--=-+g t t t t t ，[]1,3t ∈，可知()232g t t t =-+的开口向上，对称轴为32t =，由二次函数性质可知当32t =时，()min 14=-g t ，当3t =时，()max 2=g t ，所以可得当[]2,8x ∈时，函数()f x 的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当[]4,16x ∈时，可得[]2log 2,4x ∈，令2log x t =，[]2,4t ∈，可得()()22132--=-+≥t t t t mt ，即232t t mt -+≥在[]2,4t ∈上有解，整理可得23+-≥t m t 在[]2,4t ∈上有解，因为函数()23=+-h t t t 在[]2,4t ∈上单调递增，当4t =时，()max 32=h t 所以m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩（2）生产量为5千件时，最大利润为6万元【分析】（1）设利润是y （万元），由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数；（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.【小问1详解】设利润是y （万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩，所以1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】当06x <<时，189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣⎦186≤-=，当988x x-=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，所以当5x =时，max 6y =，所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.21.设sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根（1）求a 的值；（2）求33cos sin 22θθππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（3）求()1tan tan θθπ--的值.【答案】（1）1a =（22（31【分析】（1）根据根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得a .（2）利用诱导公式以及（1）的结论来求得正确答案.（3）利用同角三角函数的基本关系式以及（1）的结论来求得正确答案.【小问1详解】sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根，所以sin cos sin cos a aθθθθ+=⎧⎨=⎩，()2440,0a a a a a ∆=-=-≥≤或4a ≥，由sin cos a θθ+=两边平方得212sin cos 12a a θθ+=+=，2210a a --=，解得a =（舍）或1a =所以1a =【小问2详解】3333cos sin sin cos 22θθθθππ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22sin cos sin sin cos cos θθθθθθ=+-+()(112a a =-=-⨯=.【小问3详解】()11tan tan tan tan θθθθπ--=--22sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθ+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭11a =-=-=.22.已知定义域为R 的函数()122x xb f x a+-=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值；（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）2a =，1b =（2）4(,)3-∞【解析】【分析】（1）根据题意可得()00f =，()()11f f -=-求解即可；（2）由函数单调性可得()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，再将问题转化为2(3)(1)320x x k -+->对任意1x ≥恒成立，再设3x t =，根据二次不等式恒成立问题列式即可.【小问1详解】()f x 在R 上为奇函数，故()00f =，即102b a -=+，解得1b =，故()1122x x f x a+-=+.又()()11f f -=-，∴1112214a a--=-++；解得2a =.故2a =，1b =.【小问2详解】112(21)211()222(21)221x x x x x f x +--++===-++++；x 增大时，21x +增大，121x +减小，()f x 减小；()f x ∴在(,)-∞+∞上单调递减；()f x 为奇函数，∴由(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>得，(3)(932)x x x f k f ⋅>--；又()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；3932x x x k ∴⋅<--，该不等式对于任意1x ≥恒成立；2(3)(1)320x x k ∴-+->对任意1x ≥恒成立；设3x t =，则2(1)20t k t -+->对于任意3t ≥恒成立；设2()(1)2g t t k t =-+-，△2(1)80k =++>；k ∴应满足：132(3)430k g k +⎧<⎪⎨⎪=->⎩；解得43k <；k ∴的取值范围为4(,3-∞．。

嘉兴市2023~2024学年第一学期期末检测高一数学试题卷（答案在最后）（2024.1）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，则A B = （）A.[)2,4 B.[)3,4 C.[)2,+∞ D.[)3,+∞【答案】B 【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，所以A B ⋂{}34x x =≤<.故选：B .2.已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A.45 B.35 C.45-D.35-【答案】D 【解析】【分析】应用诱导公式()sin πsin αα+=-，求解即可.【详解】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3.已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A.14B.12C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()3f 的值.【详解】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.4.已知(),,0,a b m ∈+∞，则“a b >”是“b m ba m a+>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用作差法，得出b m ba m a+>+的等价条件()0()m a b a a m ->+，再分析充分性和必要性，即可得出结论.【详解】由于()()b m b m a b a m a a a m +--=++，则b m ba m a+>+成立，等价于()0()m a b a a m ->+成立，充分性：若a b >，且(),,0,a b m ∞∈+，则0,0a m a b +>->，则()0()m a b a a m ->+，所以b m ba m a+>+成立，满足充分性；必要性：若b m ba m a+>+，则()0()m a b a a m ->+成立，其中(),,0,a b m ∞∈+，且0a m +>，则可得0a b ->成立，即a b >成立，满足必要性；故选：C.5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10 C.2D.10【答案】B 【解析】【分析】根据()βαβα=+-，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.【详解】因为,αβ都是锐角，则()0,παβ+∈，则()sin ,cos 510αβα+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦51051010=⨯+⨯=.故选：B.6.设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A.()12f x ++B.()12f x -+C.()12f x --D.()12f x +-【答案】A 【解析】【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.【详解】因为()323f x x x =-，对于A 选项，()()()32322312131233136323f x x x x x x x x x x ++=+-++=+++---+=-，令()313f x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()331133f x x x x x f x -=---=-+=-，则()12f x ++为奇函数，A 满足要求；对于B 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x -+=---+=-+--+-+32692x x x =-+-，令()322692f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()2020f =-≠，所以，函数()12f x -+不是奇函数，B 不满足条件；对于C 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x --=----=-+--+--32696x x x =-+-，令()323696f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()3060f =-≠，所以，函数()12f x --不是奇函数，C 不满足条件；对于D 选项，()()()323223121312331363234f x x x x x x x x x x +-=+-+-=+++----=--，令()3434f x x x =--，该函数的定义域为R ，则()4040f =-≠，所以，函数()12f x +-不是奇函数，D 不满足要求.故选：A.7.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，ABC 是等腰直角三角形，,A B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且3OB OA =，则（）A.()262f =B.()()190f f +=C.()f x 在()3,5上单调递减 D.函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称【答案】D 【解析】【分析】根据C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，ABC 为等腰直角三角形可以求出2AB =，进而求出周期，即求出ω，将点C 代入即可求出ϕ，从而确定函数()f x 解析式，再逐项判断.【详解】由ABC 为等腰直角三角形，C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，所以2AB =．则函数()f x 的周期为4，由2π4ω=，0ω>，可得π2=ω，又3OB OA =，所以13,0,,022A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点C 代入()πsin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得π1sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ．而0πϕ<<，则π4ϕ=，所以()ππsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则()2ππ6s n i 624f ⎛⎫⨯+=-⎪⎝=⎭，A 错误；()()419sin s ππππ3π3πsin sin 92424i 4n f f ⎛⎫⎛⎫++⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭=⎝+=⎭，B 错误；若()3,5x ∈，则ππ7π11π,2444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然函数不是单调的，C 错误；()5π5πsin sin π02224f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，D 正确.故选：D.8.已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，若()()12f x g x t ==，则2122x x t ++-的最大值为（）A.94B.2C.2e 12- D.23e 1e -【答案】A 【解析】【分析】由已知可得出()()ln g x f x =，分析函数()f x 的单调性，可得出12ln x x =，即可得出221222x x t t t ++-=+-，结合二次函数的基本性质可求得2122x x t ++-的最大值.【详解】因为函数e x y =、y x =均为R 上的增函数，所以，函数()e xf x x =+为R 上的增函数，()()ln ln e ln ln x g x x x x f x =+=+=，因为()()()122ln f x g x f x t ===，其中t ∈R ，所以，12ln x x =，故222212221992ln 22244x x t x x t t t t ⎛⎫++-=++-=+-=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时等号成立，故2122x x t ++-的最大值为94.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出12ln x x =，将所求代数式转化为以t 为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则（）A.12α=B.()f x 的图象经过点()1,1C.()f x 在[)0,∞+上单调递增 D.不等式()f x x ≥的解集为{}1xx ≤∣【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断选项即可.【详解】由幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则24α=，得12α=，所以幂函数()12f x x ==，所以A 正确；又()11f ==，即()f x 的图象经过点()1,1，B 正确；且()f x 在[)0,∞+上单调递增，C 正确；不等式()f x x ≥x ≥，解得01x ≤≤，D 错误.故选：ABC.10.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.18ab ≥B.221a b +>C.11022a b ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.11lnln 1a b+>【答案】CD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；利用二次函数的基本性质可判断B 选项；利用不等式的基本性质可判断C 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取18a =，78b =，则71648ab =<，A 错；对于B 选项，因为0a >，0b >，且1a b +=，则10b a =->，可得01a <<，所以，111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，因为()22222211112212,1222a b a a a a a ⎛⎫⎡⎫+=+-=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，B 错；对于C 选项，21111111102222222a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=--=--≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为21024a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b a b =⎧⎨+=⎩时，即当12a b ==时，等号成立，所以，()1111lnln ln ln ln ln 414ab a b ab +==-≥-=>，D 对.故选：CD.11.已知函数()()22*sin cos kkk f x x x k =+∈N ，值域为kA ，则（）A.21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B.()*,k k f x ∀∈N 的最大值为1C.*1,k k k A A +∀∈⊆N D.*k ∃∈N ，使得函数()k f x 的最小值为13【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，利用换元法与二次函数的单调性即可判断；对于B ，利用指数函数的单调性即可判断；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断；对于D ，结合ABC 选项的结论，求得3A ，从而得以判断.【详解】对于A ，因为22sin cos 1x x +=，故()2222sin cos 1cos cos kk k k x x x x+=-+今2cos x t =，则22sin cos (1),[0,1]k k k k x x t t t +=-+∈，当2k =时，222211(1)221222t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211222y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则(1)(1)k t t -≤-且k t t ≤，故(1)11k k t t t t -+≤-+=，当且仅当0=t 或1t =时，(1)1k k t t -+=，所以()k f x 最大值为1，故B 正确；对于C ；因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则11(1)(1),k k k k t t t t ++-≤-≤，即11(1)(1)k k k k t t t t ++-+≤-+，所以()()1min min k k f x f x +≤，由选项B 又知()1k f x +与()k f x 的最大值都为1，所以1k k A A +⊆，故C 错误；对于D ，当3k =时，233211(1)331324t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211324y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以31,14A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()()1min min k k f x f x +≤，所以当3k >时，()min 14k f x ≤，又21,12A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，易知{}11A =，故不可能存在*N k ∈使()k f x 最小值为13，故D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用换元法将函数转化为二次函数，从而得解.12.设定义在R 上的函数()f x 满足()()()20,1f x f x f x ++=+为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2=⋅+x f x a b ，若()01f =-，则（）A.()10f =B.12a b +=-C.()21log 242f =- D.()2f x +为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得()()110f x f x ++-+=可判断A ；由()01f =-可得()21f =，列方程组，解出,a b 可判断B ；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C ；由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-可判断D .【详解】选项A ：因为()1f x +为奇函数，所以()()110f x f x ++-+=，即()f x 关于()1,0对称，又()f x 是定义在R 上的函数，则()10f =，故A 正确；选项B ：由()01f =-可得()21f =，则有120124121a b a a b a b b ⎧+==⎧⎪⇒⇒+=-⎨⎨+=⎩⎪=-⎩，故B 正确；选项C ：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4；因为224log 2450log 2441<<⇒<-<，即230log 12<<，所以()223log 24log 2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；因为()f x 关于()1,0对称，所以()()=2f x f x --，则2223381log 2log log 2233f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；选项D ：由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-，即()2f x +为偶函数，故D 正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长和面积都是2π3，则这个扇形的半径为________．【答案】2【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，所以2π3l =，112π2π2233S rl r ===，解得：2r =.故答案为：2.14.函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．【答案】(],0-∞【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可得解.【详解】()1,01222,0xxx x f x x ⎧⎛⎫>⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪≤⎩，所以函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是(],0-∞.故答案为：(],0-∞.15.海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深()H t （单位：m ）与时间t （单位：h ）之间满足关系式：()()3sin 50H t t ωω=+>，且当地潮汐变化的周期为12.4h T =．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留________h ．【答案】6215【解析】【分析】根据函数周期性可得5π31ω=，令() 6.5H t >，结合正弦函数性质分析求解即可.【详解】由题意可得：2π5π12.431ω==，则()5π3sin 531H t t =+，令()5π3sin 5 6.531H t t =+>，则5π1sin 312t >，可得π5π5π2π2π,6316k t k k +<<+∈Z ，解得62316231,53056k t k k +<<+∈Z ，设该船到达港口时刻为1t ，离开港口时刻为2t ，可知121224t t <<<，则0k =，即1262316231,,53056t t ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，所以最多可停留时长为62316231625653015⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小时.故答案为：6215.16.若函数()212(0)11f x x x a a a x ⎛⎫=---> ⎪+-⎝⎭有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】102a +<<【解析】【分析】令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++，据此即可求解.【详解】函数的定义域为R ，令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，且该零点为正数，()22011ag t t a t =⇔=-++，根据函数()()210h t tt =≥和()()22101ah t a t t =-+≥+的图象及凹凸性可知，只需满足()()1200h h <即可，即：221515011022a a a a a -+<-++⇒--<⇒<<，又因为0a >，所以实数a 的取值范围是102a <<．故答案为：0a <<.【点睛】关键点点睛：本题令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++的分析.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--≥=≤．（1）求集合A ；（2）求()R A B ð．【答案】（1）{}13A x x x =≤-≥或（2）(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð【解析】【分析】（1）先求解2230x x -->，从而可得1x ≤-或3x ≥，从而可求解.（2）分别求出{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，再利用集合的并集运算从而可求解.【小问1详解】由题意得2230x x -->，解得3x ≥或1x ≤-，所以{1A xx =≤-∣或3}x ≥.【小问2详解】由（1）可得{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，所以(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð.18.如图，以Ox 为始边作角α与()0πββα<<<，它们的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，已知点P 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin sin αβ-的值；（2）求tan2β的值．【答案】（1）15-（2）247-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得出α的正弦值和余弦值，分析可得π2βα=-，利用诱导公式可求得sin β的值，由此可得出sin sin αβ-的值；（2）利用诱导公式求出cos β的值，可求得tan β的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan 2β的值.【小问1详解】解：由三角函数的定义可得4cos 5α=-，3sin 5α=，将因为0πβα<<<，且角α、β的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，结合图形可知，π2βα=-，故π4sin sin cos 25βαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故341sin sin 555αβ-=-=-.【小问2详解】解：由（1）可知4sin 5β=，且π3cos cos sin 25βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故sin 454tan cos 533βββ==⨯=，根据二倍角公式得22422tan 243tan21tan 7413βββ⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭．19.已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--．（1）求函数()f x 的定义域，并根据定义证明函数()f x 是增函数；（2）若对任意10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，关于x 的不等式()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）定义域为()1,1-，证明见解析（2）(【解析】【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知，210121xx -≤<+，由()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭可得出1121211221xx x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩，结合参变量分离法可得出()222221x x x t <<+，利用指数函数的单调性可求得实数t 的取值范围.【小问1详解】解：对于函数()()()22log 1log 1f x x x =+--，则1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，证明单调性：设1211x x -<<<，则有()()()()()()1221212222log 1log 1log 1log 1f x f x x x x x -=+---+--⎡⎤⎣⎦，()()()()1221211log 11x x x x +-=-+，由于1211x x -<<<，所以120x x -<，()()12110x x +->，()()12110x x -+>，并且()()()()()()121211222121111111x x x x x x x x x x x x +---+=-+--+--()1220x x =-<，则()()()()12121111x x x x +-<-+，于是()()()()1212110111x x x x +-<<-+，所以()()()()1221211log 011x x x x +-<-+，即：()()12f x f x <，所以函数()f x 在定义域()1,1-上单调递增．【小问2详解】解：当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2120112121x x x -≤=-<++，所以不等式()211221xxx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立等价于1121211221x x x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩对任意的10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于()222221x x x t <<+在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．由10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12x ≤≤222x≤≤，())222112x x≤+≤=+，则()221221x x≤≤+，于是实数t 的取值范围是(．20.噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压p （单位：Pa ）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级p L （单位：dB ）是一个相对的物理量，并定义020lgp p L p =⨯，其中常数0p 为听觉下限阈值，且50210Pa p -=⨯．（1）已知某人正常说话时声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，求声压级p L 的取值范围；（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压p 为各声源声压()1,2,3,,i p i n = 的平方和的算术平方根，即p =现有10辆声压级均为80dB 的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级p L 是多少？【答案】（1）[]40,60dB P L ∈（2）()90dB p L =【解析】【分析】（1）因为P L 是关于p 的增函数结合声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，即可得出答案；（2）由题意可得出08020lg i p p =⨯求出i p ，代入可求出总声压p ，再代入020lg p pL p =⨯，求解即可.【小问1详解】当30.002210Pa p -==⨯时，3521020lg 40dB 210P L --⨯=⨯=⨯；当20.02210Pa p -==⨯时，2521020lg 60dB 210P L --⨯=⨯=⨯；因为P L 是关于p 的增函数，所以正常说话时声压级[]40,60dB P L ∈．【小问2详解】由题意得：()4008020lg 10Pa ii p p p p =⨯⇒=⨯（其中1,2,3,,10i = ）总声压：()4010Pa p ==⨯(40001020lg 20lg 20490(dB)P p L p p ⨯=⨯=⨯=⨯+=故这10辆车产生的噪声声压级()90dB p L =．21.设函数()22cos 2sin cos 1(04)f x x x x ωωωω=--<<，若将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后得到曲线C ，则曲线C 关于y 轴对称．（1）求ω的值；（2）若直线y m =与曲线()y f x =在区间[]0,π上从左往右仅相交于,,A B C 三点，且2AB BC =，求实数m 的值．【答案】（1）32ω=（2）2【解析】【分析】（1）方法一：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据图象变换结合对称性分析求解；方法二：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知函数()f x 关于直线π12x =-对称，根据对称性分析求解；（2）方法一：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，进而结合对称性分析求解；方法二：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】方法一：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：曲线C 为函数πππ212124y f x x ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为曲线C 关于y 轴对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==；方法二：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：函数()f x 关于直线π12x =-对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==.【小问2详解】方法一：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，由2AB BC =，得2124π39x x T -==①，又因为,A B 两点关于直线π4x =对称，则12π2x x +=②由①②可得121π3617π36x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是()1ππ33642m f x ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭；方法二：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：由题意可知：1π0,012m x ><<，且312π3x x T -==，又因为2AB BC =，得2124π39x x T -==，则214π9x x =+，而()()12f x f x =12ππ3344x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得111π4πππ4πcos 3cos 3cos 349443x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则4πcos cos 3t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即π3t =，故()()112342m f x x t ==+==．22.已知函数()2π4cos2f x x x a x =--．（1）若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．【答案】（1）[]5,1-（2）12，2a =【解析】【分析】（1）根据2(2)4y x =--和πcos2y x =的单调性可得()f x 在[]0,2上单调递减，进而可求解；（2）构造()()4F x f x a =-+，根据()()4F x F x -=，可得()F x 关于直线2x =对称，进而可得13224x x x +==，即可代入化简得()()131278f x f x x --的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解.【小问1详解】若()2π1,(2)cos42a f x x x =-=-+-，因为函数2(2)4y x =--和πcos 2y x =均在[]0,2上单调递减，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，故()()min max ()25,()01f x f f x f ==-==，所以函数()f x 在[]0,2上的值域为[]5,1-．【小问2详解】()2π4(2)cos 12f x a x a x ⎛⎫=-⇔-=+ ⎪⎝⎭，显然：当2x ≠时，2π(2)0,0cos122x x ->≤+≤，由于方程()4f x a =-有三个不等实根123,,x x x ，所以必有0a >，令()()4F x f x a =-+，则()2π4cos42F x x x a x a =---+，显然有()20F =，由()()()22ππ4(4)44cos 4444cos 22F x x x a x a x x a x a -=------+=-+--，得到()()4F x F x -=，所以函数()F x 关于直线2x =对称，由()()()1230F x F x F x ===，可得：13224x x x +==，于是()()231111π44cos2f x f x x x a x =-=--，()21111248cosπf x x x a x =--，()()221311111111π27848cosπ74cos 82f x f x x x x a x x x a x ⎛⎫--=------ ⎪⎝⎭()22111ππ32122cos 17cos 22x a x x ⎛⎫=--+--- ⎪⎝⎭①，由()10F x =可得：()211π2cos12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭②，将②代入①式可得：()()2131111πππ2783cos 1122cos 17cos 222f x f x x a x a x ⎛⎫⎛⎫--=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211ππ2cos 4cos 21222a x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭21π2cos 112122a x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1πcos12x =，即()14x k k =∈N 时等号成立，由于()4f x a =-恰有三个不等实根，22x =且123x x x <<，所以10x =，此时34x =，由()211π2cos 12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭可得()4co 0s 1a =+，故2a =.【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.。

大连市2023～2024学年度第一学期期末考试高一数学参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、单项选择题：1．C 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．D 8．A 二、多项选择题：9．AC 10．ACD 11．BCD 12．BC 三、填空题：13．1 14．2()f x x -=（答案不唯一） 15．8；8.7 16．四、解答题：17．（本小题满分10分）解：（1）2(2,3)2(1,2)(2,3)(2,4)(4,1)+=+-=+-=-a b …………………2分|2|+==a b …………………4分（2）方法一：由已知得(2,3)(1,2)(2,23)λλλλ+=+-=+-+a b ，(2,3)(1,2)(21,32)λλλλ+=+-=+-a b …………………6分因为与共线，所以(2)(32)(21)(23)λλλλ+-=+-+ …………………8分 解得1λ=或1λ=-． …………………10分方法二：由已知(2,3)=a ，(1,2)=-bλ+a b λ+a b因为2(2)13⨯-≠⨯，所以a 与b 不共线， …………………6分 所以a b λ+≠0，因为与共线，所以存在实数μ，使得()a b a b λμλ+=+ …………………8分即a b a b λμλμ+=+，所以1λμλμ=⎧⎨=⎩，解得1λ=或1λ=- …………………10分18．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可知，(0.0050.0050.00750.020.0025)201a +++++⨯=解得0.01=a ． …………………3分 （2）估计80%分位数为0.80.10.10.150.41101150.01----+=． ……………6分（3）由频率分布直方图可知，得分在[50,70)分数段的人数为1000.0052010⨯⨯=人，得分在[70,90)分数段的人数为1000.00752015⨯⨯=人． …………………7分 由分层抽样可知，在[50,70)分数段抽取两人，分别记为12,a a ，在[70,90)分数段抽取三人，分别记为123,,b b b ， …………………8分 因此这个试验的样本空间可记为{}12111213212223121323Ω,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b =， 共包含10个样本点． …………………9分方法一：记A ：抽取的这2名学生至少有1人成绩在[70,90)内，则}111213212223121323{,,,,,,,,=A a b a b a b a b a b a b b b b b b b ，包含9个样本点，……………10分 所以()109=P A ． …………………12分 方法二：记A ：抽取的这2名学生至少有1人成绩在[70,90)内， 则A ：抽取的这2名学生成绩都在[50,70)内，}12{=A a a ，包含1个样本点， …………………10分所以()101=P A ， λ+a b λ+a b从而1()1()911010=-=-=P A P A ． …………………12分 19．（本小题满分12分）解：设,(1,2,3)=i i A B i 分别表示甲、乙在第i 次投篮投中． （1）所求的概率为1111211()()()323==⨯=P A B P A P B ． …………………4分（2）所求的概率为111211223111211223()()()()++=++P A A B A A B A B A P A P A B A P A B A B A1211212111333233232327=+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=． …………………8分 （3）所求的概率为11211221121122()()()+=+P A B A A B A B P A B A P A B A B2112121232332329=⨯⨯+⨯⨯⨯=． …………………12分 20．(本小题满分12分)（1）当时，01<-xx 可化为(1)0-<x x ， 所以原不等式的解集(0,1)=M ． …………………2分（2）①因为322a =221=，所以2221(log )log 2y x x =- ……………3分 令2log t x =，则(0,2)t ∈所以211[,3)216=-∈-y t t ，即1[,3)16A =- …………………5分可化为()(1)0--<x m x 当1>m 时，(1,)M m =，不合题意； …………………7分当1=m 时，=∅M ，不合题意； …………………9分 当1<m 时，(,1)M m =， 因为，所以116<-m ． …………………11分 0m =01x mx -<-{|3}MA x m x =<<综上所述，116<-m ． …………………12分 ②因为313log 18log 2a =+=29log 3=，所以21(2)22x x y =-⋅ ………………3分 令2x t =，则(0,2)t ∈所以211[,3)216=-∈-y t t ，即1[,3)16A =- …………………5分可化为 ()(1)0--<x m x 当1>m 时，(1,)M m =，不合题意； …………………7分当1=m 时，=∅M ，不合题意； …………………9分 当1<m 时，(,1)M m =， 因为，所以116<-m ． …………………11分 综上所述，116<-m ． …………………12分 21．(本小题满分12分)（1）证明：令()(1)1=+-g x f x ，因为∈x R , …………………1分()()(1)(1)2g x g x f x f x +-=++-+-所以222(12)220121212x x x x-+=+-=-=+++…………………3分所以函数()g x 为奇函数， …………………4分 函数()f x 的图象关于点(1,1)对称． …………………5分 （2）解：方法一：由（1）知2()(1)1112-=+-=-+xg x f x ，任取12,x x ∈R ，且21>x x ，因为2121122121222(22)()()12122(12)(12)--+----=-=++++x x x x x x x x g x g x ，因为21>x x ，所以21220->x x ，所以21()()>g x g x ，01x mx -<-{|3}MA x m x =<<所以函数()g x 在R 上为增函数， …………………7分 因为2()(21)2+->f a f a ，所以2(11)11(221)-+->--+f a f a ，所以2(1)(22)->--g a g a ， …………………9分 因为函数()g x 为奇函数，所以2(1)(22)->-+g a g a ， …………………10分 因为函数()g x 在R 上为增函数，所以2122->-+a a ， …………………11分 即2230+->a a ，解得31<->或a a . …………………12分 方法二：任取12,x x ∈R ，且21>x x ，因为21211221211111224(22)()()12122(12)(12)x x x x x x x x f x f x --+----=-=++++，因为21>x x ，所以21220->x x ，所以21()()>f x f x ，所以函数()f x 在R 上为增函数， …………………7分 由（1）有()(2)2+-=f x f x …………………8分 因为2()(21)2+->f a f a ，所以22(2)(21)2--+->f a f a ，所以2(21)(2)->-f a f a ， …………………10分 因为函数()f x 在R 上为增函数，所以2212a a ->-， …………………11分 即2230+->a a ，解得31<->或a a . …………………12分 22．(本小题满分12分)解：（1）因为3x x e e -+=，所以2310x x e e -+=令=xs e ，则1s ，2s 为2310-+=s s 的两根，所以1212121+⋅=⋅==x x x xs s e e e ，得120+=x x ． …………………2分（2）22()2()12x x x x g x e e a e e --=+-++ 令-=+x x t e e ，因为0>x e ，所以2-=+≥x x t e e当且仅当x x e e -=，即0=x 时等号成立． …………………3分 因为2222--=+x x t e e ，所以222212210(2)=--+=-+≥y t at t at t 的最小值为1 当2≤a 时，1441-=a ，解得134=a ，不合题意 …………………5分 当2>a 时，2101-+=a ，解得3a =±，所以3a =． …………………7分 综上所述3=a ． …………………8分 （3）因为()x F x e =，所以1()ln F x x -=，所以ln 1ln()1()ln()=ln()x mx h x me mx e mx --=++ …………………9分方法一：令ln()1mx u e -=，则ln ln()1u mx =- 所以ln 12=++≥y u u ，因为ln 1=++y u u 在(0,)+∞上是增函数，且当1=u 时，2=y所以ln()11mx u e -=≥，即ln()1ln ln 10mx m x -=+-≥， …………………11分 所以1ln ln -≤m x 在(,)∈+∞x e 上恒成立，所以1ln 1-≤m ，解得1≥m ． …………………12分方法二：令ln()v mx =，则12v y e v -=+≥，因为1v y e v -=+在R 上是增函数，且当1v =时，2=y所以1v ≥，即ln()ln ln 1v mx m x ==+≥， …………………11分 所以1ln ln -≤m x 在(,)∈+∞x e 上恒成立，所以1ln 1-≤m ，解得1≥m ． …………………12分。