注册土木工程师(水利水电工程)《公共基础考试》讲义及习题(概率论与数理统计)【圣才出品】
- 格式：pdf
- 大小：1.64 MB
- 文档页数：34
第七节概率论与数理统计【本节知识框架】
【历年考点一览表】
说明：若上表中有重复题号，源于部分题目涉及多个考点。
一、随机事件及其概率
1．随机事件与样本空间
（1）随机试验（通常记作E）具有以下特点：每次试验结果不可事先准确预言，但试验的全部可能结果可知，在相同条件下可以重复进行。
随机试验E的每个可能结果为一个基本事件，记作ω。
（2）把试验E的所有可能结果的集合称为E的样本空间，记作Ω。
（3）随机事件可以由E的某些基本事件组成，通常用A，B，C…表示。
（4）每次试验必然发生的事件，称作必然事件，记作Ω。
（5）每次试验必不发生的事件，称作不可能事件，记作∅。
2．随机事件的关系及运算
（1）随机事件的关系（见表1-7-1）
表1-7-1 随机事件之间的关系
（2）事件的运算律
①A∪B＝B∪A；②A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；③AB＝BA；④（AB）C＝A（BC）；
⑤A（B∪C）＝AB∪AC；⑥A∪（BC）＝（A∪B）（A∪C）；⑦；⑧
【典型例题】设A、B、C是三个事件，与事件A互斥的事件是（）。
[2017年真题] A．
B．
C．A＿B＋AC＿
D．A（B＋C）
【答案】B
【解析】若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容或互斥，记作AB＝∅。
A项，由图1-7-1（a）维恩图可知，（阴影部分）与A相交为A。
B项，由图1-7-1（b）维恩图可知，（阴影部分）与A相交为∅，与事件A互斥。
C项，由图1-7-1（c）维恩图可知，（阴影部分）与A相交为A。
D项，A（B＋C）与A相交为A （B＋C）。
图1-7-1（a）
图1-7-1（b）
图1-7-1（c）
3．概率的基本性质（见表1-7-2）
表1-7-2 概率的基本性质
【典型例题】已知事件A与B相互独立，P（A＿）＝0.4，P（B＿）＝0.5，则P（A∪B）等于（）。
[2018年真题]
A．0.6
B．0.7
C．0.8
D．0.9
【答案】C
【解析】因为A、B相互独立，得P（AB）＝P（A）P（B），所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（A）P（B）＝（1－0.4）＋（1－0.5）－（1－0.4）×（1－0.5）＝0.8。
4．古典型概率
古典概型又称传统概率。
如果一个随机试验的全部结果是n个等可能的基本事件，其中有且仅有m个基本事件包含于随机事件A，则事件A的概率P（A）＝m/n。
例如，在一批N个产品中有M个次品。
设事件A是“从这批产品任取n个产品，其中恰有m个次品”，那么
在这个模型下，随机试验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
5．条件概率
（1）条件概率
①设A、B为两个事件，P（A）＞0，则称P（B|A）＝P（AB）/P（A）为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
②乘法定理
P（A）＞0时，P（AB）＝P（A）P（B|A），或P（B）＞0时，P（AB）＝P（B）P （A|B）。
（2）全概率公式
设事件组A1，A2，…，A n互不相容，且A1∪A2∪…∪A n＝Ω，P（A i）＞0，i＝1，2，…，n。
则对任一事件B有：
（3）贝叶斯公式
在全概率公式条件下，且P（B）＞0，则有：
6．事件的独立性
（1）定义
事件A发生对事件B发生的概率没有影响，即P（B|A）＝P（B），这时，我们称两个事件A、B相互独立。
并把这两个事件称为相互独立事件。
（2）相互独立事件的性质
①必然事件Ω及不可能事件∅与任何事件A相互独立。
②若事件A，B相互独立，则下列三对事件也相互独立：A与B＿；A＿与B；A＿与B＿。
③P（AB）＝P（A）P（B|A）＝P（B）P（A|B），当A与B相互独立时，P（AB）＝P（A）P（B）。
