13级：第一讲(一)(2)(3)：平均不等式,三个正数的算术几何不等式(1)

图 1-1-2
1．本题的关键是在获得了 E＝k·sin θ4cos2θ后，对 E 的函数关系式进行变形 求得 E 的最大值．
2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为 求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、 二定、三相等”即可直接求解．
[探究共研型] 利用平均不等式求最值 探究 1 利用不等式a＋3b＋cபைடு நூலகம்3 abc求最值的条件是什么？
教材整理 2 基本不等式的推广
阅读教材 P9～P9“例 5”以上部分，完成下列问题． 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即
a1＋a2＋…＋an ≥ n
n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
教材整理 3 利用基本不等式求最值 阅读教材 P9～P9“习题 1.1”以上部分，完成下列问题． 若 a，b，c 均为正数，①如果 a＋b＋c 是定值 S，那么 a＝b＝c 时，积 abc 有 最大 值；②如果积 abc 是定值 P，那么当 a＝b＝c 时，和a＋b＋c有最小值．
【提示】 “一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积 为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值．
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12x＋2－23x＋1＋x3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条 件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是 不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时 也要注意算术-几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．

立的条件是 a=b=c.
2.不等式的变形及其应用:
(1)a+b+c≥33 ������������������,当三个正数的积为定值时,它们的和有最小值;
(2)abc≤
������+������+������ 3
3
,当三个正数的和为定值时,它们的积有最大值.
做一做1 若正数a1,a2,a3满足a1a2a3=8,则有( )
≤
2������������������2������+������������������2������+������������������2������ 3
A.a1+a2+a3≥2
B.a1+a2+a3≥6
C.a1+a2+a3≥6 2
D.a1+a2+a3≥2 2
解析：由三个正数的算术-几何平均不等式可得������1
+������2+������3 3
≥
3 ������1������2������3 = 3 8=2(当且仅当 a1=a2=a3=2 时,等号成立),于是
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解：(1)因为 0<x<3,所以 3-x>0.
于是
y=x2(3-x)=4·���2���
·���2���·(3-x)≤4·
���2���+���2���+3-������ 3
3
=4,
当且仅当������
2
=
���2���=3-x,即
x=2
时,函数
y
取得最大值
4.
(2)因为 x>2,所以 x-2>0.

1 1 1 (1)( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2≥27； a b c 1 1 1 9 (2)(a＋b＋c)( ＋ ＋ )≥ . a＋b b＋c a＋c 2
[精讲详析]
本题考查平均不等式的应用，解答本题
需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均 不等式证明的问题．
(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3 abc＞0， 从而(a＋b＋c) ≥9 a2b2c2＞0， 3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 ＞0， a b c a2b2c2 1 1 1 ∴( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2 a b c ≥3 3 1 3 2 2 2 · a b c ＝27. 9 a2b2c2
确定好目标函数，再用
“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只
能含一个变量，否则是无法求最值的．
[通一类] 3．制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它 的尺寸，才能使所用的材料最少？
解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r， 高为 h，表面积为 S. V 则 V＝πr h，∴h＝ 2. πr
2
2V ∴S＝2πr ＋2πrh＝2πr ＋ r
2 2
V V 3 ＝2πr ＋ r ＋ r ≥3 2πV2.
2
3 V V 即当 2πr2＝ r ，r＝ 时表面积最小． 2π 此时 h＝2r. 3 V 3 V 即饮料盒的底面半径为 r＝ ，高为 2 时，用料 2π 2π 最省．
本课时经常考查算术—几何平均值不等式在求最值
2 － 3
.
2 － 3
② .
2 1 1 12 故 a2＋b2＋c2＋(a＋b＋ c) ≥3(abc) 3 ＋9(abc)

2 2 2 2 2 2 2
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
2 2 2 1 2x ＋1－x ＋1－x 3 4 ∴y2≤ ( )＝ . 2 3 27
3 当且仅当 2x ＝1－x ＝1－x ，即 x＝ 时取“＝”号． 3
2 2 2
2 3 ∴y≤ . 9 2 3 ∴y 的最大值为 . 9
[悟一法] (1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值， 可简记为“积定和最小，和定积最大”． (2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即
[读教材· 填要点]
1．三个正数的算术—几何平均不等式 a＋b＋c 3 如果 a，b，c∈R＋，那么 ≥ abc ，当且仅当 a＝b 3
＝c 时，等号成立．
2．n 个正数 a1，a2，„，an 的算术—几何平均不等式 对于 n 个正数 a1，a2，„，an，它们的算术平均不小于 它 们的几何平均，即 a1＋a2＋„＋an n a „a 1 n ≥ n 当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
[小问题· 大思维]
a＋b＋c 3 1．满足不等式 ≥ abc成立的 a，b，c 的范围是什么？ 3
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0. 2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？ 提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，
和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
13 求证：abc(1－a)(1－b)(1－c)≤( ) . 4 证明：∵0<a<1，∴1－a>0.
a＋1－a 2 1 ∴0<a(1－a)≤[ ]＝ . 2 4 1 1 同理 0<b(1－b)≤ ，0<c(1－c)≤ 4 4 将以上三个不等式相乘得 13 abc(1－a)(1－b)(1－c)≤( ) . 4