三个正数的算术-几何平均不等式优秀教学设计

三个正数的算术-几何平均不等式 教学目标：
1．了解三个正数的算术-几何平均不等式；
2．会用平均不等式求一些特定函数的最大（小）值。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式及定理3的应用 教学难点：应用不等式解决应用问题
教学方法：六动感悟法（读，想，记，思，练，悟） 教学过程
1.三个正数的算术-几何平均不等式：
（1）如果333,,,c b a R c b a ++∈+那么>=abc 3，当且仅当 a=b=c 等号
成立。

（2）定理3：如果a,b,c ∈R+,那么
a b c 3++
≥ ,当且仅当a=b=c 时,等号成立.
2．基本不等式的推广
思考：利用平均不等式求最值的要注意条件？
注意：（1）获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等；
（2）连续多次使用平均不等式定理时，要注意前后等号成立的条件是否一致；
3．思考并完成例5
4．如果的最小值？如何求212,0x x x +>
二、检测交流
1．已知9))((,,,≥++++∈+c a b c a b a c c b b a R c b a 求证（思考：根据此题你
能得到什么结论？）
2．若正数的最值计算满足y x xy y x 2,4,2+=
三、拓展探究
1．若的最值计算)(8
,0b a b a b a -+>>
2．若的最小值。

求)3)(2(1
,3,2--++>>b a b a b a
3．（参考例6）设的最大值求2)1(,10x x x -<<。

均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。

当且仅当a=b=c时，等号成立。

3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。

当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。

n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。

二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。

x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。

(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。

另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式导学案第一篇：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式导学案兰州新区永登县第五中学高二数学（文）导学案班级：小组名称：姓名：得分：2．若正数x,y满足xy2=4,计算x+2y的最值三、拓展探究1．若a>b>0,计算a+2．若a>2,b>3,求a+b+3．（参考例6）设0<x<1,求x(1-x)的最大值（思考：根据此题你能得到什么结论？）导学案§1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式设计人：薛东梅审核人：梁国栋、赵珍学习目标：1．了解三个正数的算术-几何平均不等式；2．会用平均不等式求一些特定函数的最大（小）值。

学习重点：三个正数的算术-几何平均不等式及定理3的应用学习难点：应用不等式解决应用问题学习方法：六动感悟法（读，想，记，思，练，悟）一、自学评价1．三个正数的算术-几何平均不等式（1）如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c33abc，当且仅当，等号成立。

（2）定理3：即：2．基本不等式的推广：思考：利用平均不等式求最值的要注意条件？注意：（1）获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等；（2）连续多次使用平均不等式定理时，要注意前后等号成立的条件是否一致；3．思考并完成例54．如果x>0,如何求2x+二、检测交流1．已知a,b,c∈R+,求证（8的最值b(a-b)的最小值。

(a-2)(b-3)的最小值？ x2abcbca++)(++)≥9（思考：根据此题你能得到什么结论？）bcaabc第二篇：三个正数的均值不等式三个正数的均值不等式一、基础知识1、（1）．重要不等式：如果a,b∈R,那么a2+b22ab（当且仅当时取“=”号）（2）．基本不等式：如果a,b是，那么a+bab即（当且仅当时取“=”号）2、三个正数的均值不等式：（1）如果a,bc是，那么号）（2）变形形式。

二、典型例证：例1：已知0<x<1，求y=x(1-x2)的最大值。

《三个正数的算术一几何平均不等式》教案教学目标1 •能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2•了解基本不等式的推广形式 •教学重、难点重点：三个正数的算术-几何平均不等式难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程一、引入：思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a , b , c ,可能有怎样的不等式成立？ 类比基本不等式的形式，猜想对于 3个正数a , b , c ,可能有：若 a,b,c ・R ,那么 a 亠b 亠c -------3 abc ，当且仅当a=b=c 时，等号成立. 3二、给出定理证明:若a, b,c ^ R+,则a 3 + b 3 +c 3畠3abc,当且仅当a = b = c 时,等号成立 和的立方公式： 3 3 2 2 3(x y) x 3x y 3xy y 立方和公式： x 3 y 3 = (x y)(x 2 -xy y 2)a b c- J -----------------------------------------------定理3如果a,b, c • R .，那么 3 abc 当且仅当a=b=c 时，等号成立.3(三个正数的算术平均不小于它们的几何平均 )说明：(1)若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有 最小值.(2)若三个正数的和是一个常数， 那么当且仅当这三个正数相等时， 它们的积有最大值. 定理推广：n 个正数的算术一几何平均不等式：当且仅当 a i =a 2 =a 3二… =an 时,等号成立.三、例题解析例5 已知 m R .,求证(x y z)3 _27xyz. 例6如图1. 1-5(课本第9页)，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方 形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时， 才能使盒子的容积最大？ ^若a i , a 2, a 3, ,a n a i a 2 a 3 a n na n ,四、小结：回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，I、- —、、＞ * t __-应用它们时,f.『的注意点.。

1.1（第3课时）三个正数的算术—几何平均不等式学案（含答案）第第3课时课时三个正数的算术三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式学习目标1.理解定理3.2.能用定理3及其推广证明一些不等式.3.会用定理解决函数的最值或值域问题.4.能运用三个正数的算术几何平均不等式解决简单的实际问题知识点三项均值不等式思考类比基本不等式ab2aba0，b0，请写出a，b，cR时，三项的均值不等式答案abc33abc.梳理1三个正数的算术几何平均不等式定理3如果a，b，cR，那么abc33abc，当且仅当abc时，等号成立2基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1a2annna1a2an，当且仅当a1a2an时，等号成立3重要变形及结论abcabc33；a3b3c33abc；31a1b1c3abcabc3a2b2c23.上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为abc.类型一用平均不等式求最值例11求函数yx1232x1x32的最大值；2求函数yx4x12x1的最小值解11x32，32x0，x10.又yx1232xx1x132xx1x132x33133127，当且仅当x1x132x，即x431，32时，ymax127.2x1，x10，yx4x1212x112x14x1213312x112x14x1214，当且仅当12x112x14x12，即x3时等号成立即ymin4.反思与感悟1利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”2应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数.拆项.分离常数.平方变形等跟踪训练1求函数y13x2x0x13的最大值解y13x2x1613x13x6x1613x13x6x33481，当且仅当13x13x6x，即x19时，ymax481.类型二用平均不等式证明不等式例2已知a，b，cR.求证a3b3c31abc23.证明a3b3c31abc3abc1abc23，当且仅当abc，且abc33时等号成立a3b3c31abc23.引申探究若本例条件不变，求证bcaacabbabcc3.证明bcaacabbabccbacbaccaabbc333bacbac33caabbc3633，当且仅当abc时取等号反思与感悟证明不等式的方法1首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正.二定.三相等”的条件若满足即可利用平均不等式证明2若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子跟踪训练2已知x，y，z都是正数，且xyz1，求证1xy1xz1yz27.证明1xy33xy0,1xz33xz0，1yz33yz0，1xy1xz1yz273xyz2.又xyz1，1xy1xz1yz27，当且仅当xyz1时，等号成立类型三用平均不等式解决实际应用问题例3如图，将边长为1的正六边形铁皮图的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器图当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积解设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x0x1，则OB1B1B2x.由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，得OA1A1A21，A1B1OA1OB11x.作B1C1A1A2于点C1，在RtA1C1B1中，B1A1C160，则容器的高B1C1A1B1sin60321x于是容器的容积为VfxSh634x2321x94x21x0x1则fx94x21x98xx22x98xx22x3313，当且仅当xx22x，即x23时，Vmax13.故当正六棱柱容器的底面边长为23时，最大容积为13.反思与感悟利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤1理解题意，设变量设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数2建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题3在定义域内，求出函数的最大值或最小值4验证相等条件，得出结论跟踪训练3已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大解设内接圆柱的体积为V，又R2r2h24，r2R2h24，Vr2hR2h24h.又V44R2h2h44R2h22h24124R2h222h24128R233439R3，当且仅当4R2h22h2，即h233R，此时r63R时，等号成立当h233R，r63R 时，内接圆柱的体积最大为439R3.1函数fx1x22xx0的最小值为A3B4C5D6答案A解析x0，fx1x2xx331x2xx3，当且仅当x1x2，即x1时等号成立2设x0，则fx4x12x2的最大值为A422B42C不存在D.52答案D解析x0，fx4x12x24x2x212x2433x2x212x243252，当且仅当x2x212x2，即x1时，等号成立3已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是Ayx22x4x333x22x4x36，故ymin6.By2x1x332x1x332，故ymin332.Cy2x1x4，故ymin4.Dyx1x12x133x1x12x33881，故ymax881.答案C解析A，B，D在使用不等式abc33abca，b，cR和abcabc33a，b，cR时都不能保证等号成立，最值取不到C中，x0，y2x1x2x1x224，当且仅当x1x，即x1时取等号4设a，bR，且ab3，则ab2的最大值为A2B3C4D6答案C解析ab24ab2b24ab2b2334ab334134，当且仅当ab21时，等号成立即ab2的最大值为4.5已知a，b为实数，且a0，b0，则ab1aa21b1a2的最小值为________答案9解析因为a0，b0，所以ab1a33ab1a33b0，同理可得a21b1a2331b0，由及不等式的性质，得ab1aa21b1a233b331b9，当且仅当ab1时，等号成立1求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立2求形如yax2bxx0，a0，b0的函数的最小值，关键是拆bx为bxb2xb2x，则yax2bxax2b2xb2x33ax2b2xb2x3232ab2.求形如yaxcbx2x0，a0，bc0的函数的最小值，关键是拆ax 为ax2ax2，则yaxcbx2ax2ax2cbx233ax2ax2cbx23232a2cb.。

1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式一、学习目标1.了解三个正数的算术—几何平均不等式；2.会应用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单问题.【重点、难点】教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题二、学习过程【情景创设】1.基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立？2.证明：已知+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立.【导入新课】（阅读课本第8-9页，完成下面知识点的梳理）1.定理3.如果+∈R c b a ,,，那么3c b a ++ ，当且仅当 时，等号成立. 即：三个正数的 不小于它们的 .2推广：对于n 个正数n a a a ,,,21 ，它们的算术平均它们的几何平均.，即 ，当且仅当 时，等号成立.思考探究:利用不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 求最值的条件是什么？ “一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为 ；(2)和或积为 ；(3)各项或各因式能 相等的值．三 、典例分析例1. 求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： 3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时 633min 3242123221262==⋅=y例2.已知a ，b ，c 为正数，求证： (a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc .【变式拓展】1．如果x >0，如何求2x ＋1x2的最小值？ 2.当x ∈(0,1)时，函数y=x 2(1-x)的最大值是_______.四、总结反思1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．五、随堂检测1．函数y ＝x 2(1－5x )(0≤x ≤15)的最大值是( ) A ．4 B.215 C.4675 D.522．若x >0，则4x ＋9x2的最小值是( ) A ．9 B ．3336 C ．13 D ．不存在3．已知a.b.c ∈R ＋则(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c)≥________. 4．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值是________．5.若正数y x ,.满足42=xy ，则y x 2+的最小值为 .。

人教版高中选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式教学设计一、教学目标1.掌握三个正数的算术平均和几何平均的概念及其计算方法，理解三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想；2.运用几何平均不等式解决实际问题，提高数学思维能力和解决实际问题的能力；3.培养学生良好的合作精神和创造性思维能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点•算术平均与几何平均的概念与计算方法；•三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想。

2. 教学难点•如何运用几何平均不等式解决实际问题。

三、教学内容和教学步骤1. 教学内容1.算术平均与几何平均的概念及其计算方法；2.三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想；3.几何平均不等式的应用。

2. 教学步骤第一步：导入1.引入本节课的主题，介绍生活中有关于三个数的问题。

2.让学生思考：如何求三个数的平均数？是否有大小之分？为什么？第二步：概念讲解1.讲述算术平均与几何平均的概念及其计算方法。

2.提出三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想，并进行简单的证明。

第三步：示例演练1.让学生自己推导一下证明，加深理解。

2.解析一道具体的例子，引导学生掌握应用几何平均不等式解决实际问题的方法。

第四步：作业1.布置课后作业，包括书面练习、思考题、拓展练习等多种形式。

2.留出时间让学生在小组合作中讨论问题，提高学生的合作精神和创造性思维能力。

四、教学方式和教学手段1. 教学方式采用讲授、讨论、实例演练、小组合作等多种教学方式，注重学生的参与和交流。

2. 教学手段1.录制教学视频，让学生自主学习；2.设计多元化的书面练习，既注重知识的考查，也注重学生的应用能力；3.设计一些互动性强的思考题和拓展练习，帮助学生扩展视野，拓展思路。

五、教学评价1. 教学效果•通过考察学生的课余作业和课堂互动表现，综合评价本节课的教学效果。

2. 学生评价•通过问卷调查的形式，征求学生对本节课教学内容、教学方式、教学手段、教学效果等方面的评价，反馈教学情况，为今后的教学改进提供依据。

三个正数的算术-几何平均不等式教学目标：知识与技能：1、掌握三个正数的算术-几何平均不等式；2能够证明三个正数的算术-几何平均不等式3.会应用此定理求某些函数的最值；过程与方法：通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个，n 个正数，并会用这些定理求某些函数的最值。

情感态度与价值观：通过学习让学生体会类比学习，培养学生的知识迁移能力；教学重、难点重点：三个正数均值不等式定理的应用；难点：解题中的转化技巧。

教学过程：温故知新：两个正数的均值不等式引入新课：猜想对于3个正数如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）是否成立？探究1a 、b 、c ∈R +, 那么a 3+b 3+c 3≥3abc , 当且仅当a =b =c 时, 等号成立即可（参考公式: (a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3; a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)）证明:对上述结果作简单的恒等变形，就可以的到33333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2a b c abc a b a b ab c abc a b c a b ab abc a b c a b a b c c ab a b c a b c a ab b ac bc c ab a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++-=+--+-=++---⎡⎤=+++-++-++⎣⎦⎡⎤=++++--+-⎣⎦=++++---⎡⎤=++-+-+-≥⎣⎦定理3 如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ ，当且仅当c b a ==时取“=” 语言表述： 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. (2)定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc 推广： na a a n +++ 21≥ n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,* 语言表述：上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.例1：已知x 、y 、z ∈R +, 求(x +y +z )3≥27xyz例 2 将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为V,则3x y z ++≥证明：因为，所以3xyz >（x+y+z ），27327xyz≥即（x+y+z ）20(,)2(2a x x a x V <<-=)2()2(441x a x a x V -⋅-⋅⋅=272]3)2()2(4[4133a x a x a x =-+-+≤（师生共同总结此题规律。

课 题： 几个著名的不等式之三：平均不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+ ⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,强调取“=”的条件b a =。

2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a ；2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++ )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证。

推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。

（当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 4、算术—几何平均不等式： ①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：n a a a n +++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数；②．基本不等式： na a a n +++ 21≥n n a a a 21（n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*） 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

课堂导学三点剖析一、利用三个正数的算术——几何平均不等式证明不等式【例1】 (1)已知a i ∈R +(i=1,2,3,…,n),且a 1a 2…a n =1.求证:(2+a 1)(2+a 2)…(2+a n )≥3n .(2)已知a,b,c ∈R +,a+b+c=1,求证:a 1+b 1+c1≥9. 证明：(1)∵a 1>0,∴2+a 1=1+1+a 1≥3·31a >0.同理,2+a 2=1+1+a 2≥323a >0,……2+a n =1+1+a n ≥33n a >0,∴(2+a 1)(2+a 2)…(2+a n )≥3n ·321n a a a =3n . ∴原不等式成立.(2)∵a+b+c≥3·3abc ,a+b+c=1, ∴3abc ≤31.∴31abc≥3. ∴a 1+b 1+c1≥3·31abc ≥9. ∴原不等式成立.温馨提示在利用三元均值不等式33abc c b a 证明不等式时,要注意把握三元均值不等式的结构特点,以便灵活地用于解题.各个击破类题演练1设a,b,c>0,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6ab c.证法一:左边=(a 2b+b 2c+c 2a)+(ab 2+bc 2+ca 2)≥3·3333c b a +3·3333c b a =6abc,∴原不等式成立.证法二:左边=(ba 2+bc 2)+(ab 2+ac 2)+(ca 2+cb 2)≥2abc+2abc+2abc=6abc,∴原不等式成立.变式提升1设a,b,c>0,求证:c a b c b a b a c ≥23.证明:∵(b ac +1)+(cb a +1)+(c a b +1) =(a+b+c)(ac c b b a 111) =21［(a+b)+(c+b)+(c+a)］·(a c c b b a 111) ≥21·3·29))()((13))()((33 •• a c c b b a a c c b b a , ∴c a b c b a b a c ≥23. 二、利用三个正数的算术——几何平均不等式求最值【例2】 求函数f(x)=x(5-2x)2(0<x<25)的最大值. 解析：f(x)=41·4x·(5-2x)·(5-2x) ≤41(325254x x x )3 =27250. 当且仅当4x=5-2x,即x=65时等号成立. ∴当x=65时,函数f(x)=x(5-2x)2(0<x<25)有最大值27250. 温馨提示在利用均值不等式求最值时,除了注意“一正”“二定”“三相等”之外,还应掌握配项,凑系数等变形技巧.类题演练2求y=sinθcos 2θ(0<θ<2)的最大值. 解析:y 2=sin 2θcos 4θ=sin 2θ·(1-sin 2θ)(1-sin 2θ) =21·2sin 2θ(1-sin 2θ)(1-sin 2θ) ≤21·27427821)3sin 1sin 1sin 2(222 , ∴y≤392,当且仅当2sin 2θ=1-sin 2θ, 即sin 2θ=31.又θ∈(0,2 ), ∴sinθ=33时,y max =392变式提升2求f(x)=x 2+142 x 的最小值. 解析:设t=12 x ,则t≥1,y=t 2-1+t 4=t 2+t 2+t2-1≥3·3222t t t -1=3·34-1. 当且仅当t 2=t 2,即t=32, x=143 时，“=”成立.此时f(x)的最小值为3·34-1. 三、利用三个正数的算术——几何平均不等式解决实际问题【例3】 (1)设圆锥的母线长为1,试问圆锥的底面半径 为多少时,圆锥的体积最大?(2)圆锥内有一半球,球面与圆锥侧面相切,半球的底面在圆锥的底面上,已知半球半径为r,圆锥的母线与底面所成的角为θ,求当圆锥的体积V 圆锥=f(θ)最小时,圆锥的高h 的值. 解析:(1)设母线与底面所成的角为θ,则底面半径为cosθ,高h=sinθ.∴圆锥的体积V=31πcos 2θsinθ=3 cos 2θsinθ, 记μ=cos 2θsinθ,则μ2=cos 4θsin 2θ=21［cos 2θ·cos 2θ·(2sin 2θ)］ ≤21(3sin 2cos cos 222 )3=274, ∴μ≤392(当且仅当cos 2θ=2sin 2θ时,取“=”). ∴V≤2732π,即V 的最大值为2732π, 当V 最大时,cos 2θ=2sin 2θ,∴cosθ=36,即圆锥的底面半径为36.另解:设底面半径为r,高为h,则r 2+h 2=1,圆锥的体积为V=31πr 2h, ∴V 2=9r 4h 2=18 (r 2·r 2·2h 2)≤18 . (32222h r r )3=534 ,即V≤2732(当且仅当r 2=2h 2,即r=36时,取“=”). (2)右图是圆锥及其内切半球的轴截面,则圆锥的底面半径为R=sin r ,圆锥的高h= cos r .∴f(θ)=31πR 2h=31πr 3·cos sin 12. 由(1)的结论可知:当cosθ=36时,sin 2θcosθ取得最大值,从而f(θ)取得最小值, 即当h=2636 rr 时,f(θ)取得最小值. 类题演练3 有甲,乙两个粮食经销商,每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食.他们共购粮三次,各次的粮食价格不同.甲每次购粮10 000千克,乙每次购粮10 000元,三次统计,谁购的粮食平均价格低?为什么?解析:设三次粮食价格每千克分别为a,b,c 元,则甲,乙购粮的平均价格分别为y 甲=30000)(10000c b a ,y 乙=cb a 10000100001000030000 , ∴y 甲=31(a+b+c),y 乙=cb a 1113 . 而3313)111(3abcabc c b a c b a •• • =3, ∴cb ac b a 11133 又a,b,c 不相等,故“=”不成立,∴y 甲>y 乙,即乙购粮平均价格低.变式提升3试研究(1)若长方体的容积已定,何时其表面积最小?(2)若长方体的表面积已定,何时其体积最大?解析:设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,表面积为S,体积为V,则S=2(ab+bc+ca),V=abc. ∵ab+bc+ca≥32)(3abc ,即S≥632V (当且仅当ab=bc=ca,即a=b=c 时,取“=”),所以(1)由V 为定值知,当a=b=c,即长方体为正方体时,S 最小,最小值为632V ;(2)由S 为定值,与V≤3)6(S(当且仅当a=b=c 时,取“=”)知当长方体为正方体时,V 最大,最大值为66S S .。

课题：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式一、教材分析：基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁，也是求最值的的一种常见方法，经常运用于实际问题，是高考高频考点。

三个正数的算术—几何平均不等式是基本不等式的进一步推广，通过三个正数的算术—几何平均不等式，常常可以将一些较为复杂的求最值的问题化为简单问题，在化归方法中起着重要的承接作用。

因此，本节课注重在例题中呈现类比及转化等数学思想，引导学生进行数学思想方法的探究，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、教学目标：1、知识与技能：掌握三个正数的算术-几何平均不等式；2能够证明三个正数的算术-几何平均不等式3.会应用此定理求某些函数的最值；2、过程与方法：通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个，n 个正数，并会用这些定理求某些函数的最值。

3、情感、态度与价值观： 通过学习让学生体会类比学习，培养学生的知识迁移能力；三、教学重点：三个正数均值不等式定理的应用；四、教学难点：解题中的转化技巧。

五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生已经学习不等式的基本性质和基本不等式等相关知识，初步掌握运用所学知识解决简单的数学问题，但不等式作为高中数学的重点和难点,是学生的相对“头疼”的知识内容，尤其是基本不等式成立的前提条件“一正，二定，三相等”，学生解题时常常会顾此失彼，出现基本不等式运用的一些常见错误。

拓展到三个正数或者更多正数时，务必要结合基本不等式，注重类比，对不等式成立的前提条件加以强调。

3、教具选择： 多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究七、教学过程1、自主导学：温故知新：两个正数的均值不等式引入新课：猜想对于3个正数如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）是否成立？ 2、合作探究（1）分组探究： 探究1a 、b 、c ∈R +, 那么a 3+b 3+c 3≥3abc , 当且仅当a =b =c 时, 等号成立即可（参考公式: (a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3; a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)） 证明:33333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2a b c abc a b a b ab c abc a b c a b ab abc a b c a b a b c c ab a b c a b c a ab b ac bc c ab a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++-=+--+-=++---⎡⎤=+++-++-++⎣⎦⎡⎤=++++--+-⎣⎦=++++---⎡⎤=++-+-+-≥⎣⎦对上述结果作简单的恒等变形，就可以的到定理3 如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ ，当且仅当c b a ==时取“=” 语言表述： 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. (2)定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc推广： na a a n +++ 21≥ n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,* 语言表述：（2）教师点拨：上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.3、巩固训练： 例1：已知x 、y 、z ∈R +, 求(x +y +z )3≥27xyz例2 将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为V,则（师生共同总结此题规律。

三个正数的算术--几何平均不等式说课稿一、教材分析教材背景“三个正数的算术几何平均不等式”出自普通高中课程标准实验教科书选修4-5不等式选讲第一讲。

作为研究数的不等关系的知识内容，是高中数学的基础知识和重要组成部分，是高考命题重点考查的内容，也是进一步学习高等数学必备的基础知识。

本说课为第三课时，主要内容有：三个正数的算术几何平均不等式的简单证明和应用本课地位和作用两个正数和三个正数的算术平均数与几何平均数的定理是这一选修教材的重点，它是解决函数最值问题的有力工具，在解决实际问题中的一些最佳策略问题应用广泛。

二、目标分析教学目标知识技能目标：理解、掌握三个正数的算术几何平均不等式，并能利用此不等式证明有关不等式和解决一些与其有关的实际问题。

过程性目标通过学生积极参与，亲身经历三个正数的算术几何平均不等式的获得过程，体验其在处理实际问题中的优越性，渗透类比的数学思想。

通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊——一般——特殊”的认知模式，完善认知结构。

通过层层深入，培养学生发散思维的能力，深化对三个正数的算术几何平均不等式理解。

情感、态度与价值观目标学会与人合作交流，乐于探究，感受生活中的数学，体验成功的喜悦，激发学习数学兴趣，形成正确的学习态度。

教学重点和难点重点：三个正数的算术几何平均不等式的理解及应用难点：三个正数的算术几何平均不等式应用确立依据:在利用三个正数的算术几何平均不等式解决问题过程中，必须注意其使用条件，而构造不等式的常用技巧是拆添项或配凑因式，这对于学生来说有一定困难。

三、教学方法及教材处理教学方法：探究发现教学法.通过教师的引导、启发，调动学生参与教学活动的积极性，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。

在教学中通过设置疑问，创造出思维情境，然后引导学生动脑、动手、动口，促进思维的发展。

学法指导学生学法：互相讨论、探索发现由于学生在尝试问题解决的过程中常会在新旧知识联系、策略选择、思想方法运用等方面遇到一定的困难，需要教师指导.作为学生活动的组织者、引导者、参与者，教师要帮助学生重温与问题解决有关的旧知，给予学生思考的时间和表达的机会，共同对（解题）过程进行反思等，在师生（生生）互动中，给予学生启发和鼓励，在心理上、认知上予以帮助.这样，在学法上确立的教法，能帮助学生更好地获得完整的认知结构，使学生思维、能力等得到和谐发展.设计理念：三个正数的算术几何平均不等式的证明就是在基本不等式的基础上，引导学生通过类比的方式自主探索，求得结论。