【5份】2017高考数学北师大版(理)一轮复习第5章 平面向量

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. ( × ) (2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. ( √ ) (3) 在同一组基底下,同一向量的表示形式是唯一的. ( √ ) ������1 ������1 (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成 = . ������2 ������2 ( × )
-6-
1 2 3 4 5
2.已知点A(0,1),B(3,2),向量 ������������=(-4,-3),则向量 ������������ =( A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)
)
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∵������������ = ������������ − ������������=(3,2)-(0,1)=(3,1),������������ =(-4,-3), ∴������������ = ������������ − ������������=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
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A
解析 答案
-7-
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3.设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=( A.2 B.3 C.4 D.6
)
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由a=(2,4),b=(x,6)共线,可得4x=12,即x=3.
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B
解析
பைடு நூலகம்
答案
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4.已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,λ),若A,B,C三点共线,则λ=
A. = a+ b + ������������ = ������������ + ������������ = a+ b. ∴������������ ������������ 4 2 2 2 2 2

题组层级快练(二十七)1．(2016·山东威海质检)已知a ＝(1，2)，2a －b ＝(3，1)，则a ·b ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 ∵a ＝(1，2)，2a －b ＝(3，1)，∴b ＝2a －(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)． ∴a ·b ＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2×3＝5.2．(2016·长沙雅礼中学月考)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 B解析 由已知得|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|b |2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B.3．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152答案 A解析 AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|CD →|＝52，故AB →在CD →上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝32 2.4．(2014·新课标全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 由条件可得(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减，得4a·b ＝4，所以a·b ＝1. 5．(2016·珠海质检)已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b的夹角为( ) A.π6B.π4C.3π4D.5π6答案 A解析 因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332 ，解得a ·b＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6. 6．(2015·广东文)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 A解析 由AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，得AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5，故选A.7．(2014·大纲全国理)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b|＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22答案 B解析 利用向量的运算列式求解．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝0， （2a ＋b ）·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ·a ＝0，① 2a ·b ＋b 2＝0，② 将①×2－②，得2a 2－b 2＝0.∴b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2，故|b |＝ 2.8．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10答案 C解析 AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5，选C. 9．已知a ，b 是非零向量，且向量a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b|b |，则|p |＝( )A ．2＋ 3B.2＋ 3C ．3 D. 3答案 D解析 ∵|p |2＝1＋1＋2cos π3，∴|p |＝ 3.10．已知两个非零向量a ，b ，满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b答案 B解析 由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方并化简，得a ·b ＝0.又a ，b 都是非零向量，所以a ⊥b . 11．已知向量a ＝(1，2)，a ·b ＝5，|a －b |＝25，则|b |等于( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．25答案 C解析 由a ＝(1，2)，可得a 2＝|a |2＝12＋22＝5. ∵|a －b |＝25，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝20. ∴5－2×5＋b 2＝20.∴b 2＝25.∴|b |＝5，故选C.12．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→答案 A解析 由于P 1P 2→⊥P 1P 5→，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→与P 1P 6→的夹角为23π，故其数量积小于0，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→||P 1P 3→|cos30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→||P 1P 4→|cos60°＝a 2.故选A.13．(2014·陕西文)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a·b ＝0，则tan θ＝________． 答案 12解析 利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解．因为a·b ＝0，所以sin2θ－cos 2θ＝0，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.14．(2013·江西理)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________． 答案 52解析 向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|，又a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 12＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，|b |＝|2e 1|＝2，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝52.15．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b .而4a 2＋b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当2a ＝－b 时取等号．16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 1，1解析 以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以DE →·CB →＝(1，a )·(1，0)＝1，DE →·DC →＝(1，a )·(0，1)＝a≤1.故DE →·DC →的最大值为1.17．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 答案 (－7，－142)∪(－142，－12)解析 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 可求得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ， 7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14， t=－142.∴所求实数t 的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)． 18．(2016·浙江余杭高中期中)已知向量m ＝(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为34π，且m·n＝－1. (1)求向量n ；(2)若向量n 与向量q ＝(1，0)的夹角为π2，向量p ＝(2sinA ，4cos 2A2)，求|2n ＋p |的值．答案 (1)n ＝(－1，0)或n ＝(0，－1) (2)2 解析 (1)设n ＝(x ，y)， 由m·n ＝－1，有x ＋y ＝－1. ①∵m ·n ＝|m|·|n|cos 34π＝－1，∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x=-1， y=0或⎩⎪⎨⎪⎧x=0， y=-1，即n ＝(－1，0)或n ＝(0，－1)． (2)由n 与q 垂直，得n ＝(0，－1)．∴2n ＋p ＝(2sinA ，4cos 2A2－2)＝(2sinA ，2cosA)．∴|2n ＋p |＝4sin 2A ＋4cos 2A ＝2.1．(2014·重庆理)已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152答案 C解析 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.2．(2014·天津)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22 C.1±102D.－3±222答案 A解析 以点A 为坐标原点，AB 所以直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C(1，3)，由AP →＝λAB →，得P(2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q(1－λ，3(1－λ))，所以BQ →·CP →＝ (－λ－1，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3×3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.3．已知a ，b 都是单位向量，a ·b ＝－12，则|a －b |＝( )A. 3 B ．3 C ．2 D ．1答案 A解析 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝3，∴|a －b |＝ 3. 4．设a ，b ，c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a ·c 的值为( ) A ．2 B.12 C ．3 D.13答案 B解析 由|a|＝|b|＝|c|＝1，|b|＝|c |－|a|，两边平方得b 2＝(c －a )2，∴1＝1＋1－2a ·c ， ∴a ·c ＝12.5．(2016·海淀区期末)设向量a ＝(1，0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直答案 D6．已知|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 C解析 由a ＋b ＝(3，1)得|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝4，又|a |＝1，|b |＝3，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋2a ·b ＋3＝4，解得2a ·b ＝0，所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝2，设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则由夹角公式可得cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝|a |2－|b |22×2＝－12，且θ∈[0，π]，所以θ＝23π，即a ＋b 与a －b 的夹角为23π.7．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________． 答案 12解析 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(－12AB →＋AD →)＝－12|AB →|2＋|AD →|2＋12AB →·AD →＝－12|AB →|2＋14|AB →|＋1＝1，解方程得|AB →|＝12(舍去|AB →|＝0)，所以线段AB 的长为12.8．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·CD →＝________． 答案152解析 如图所示，AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝9＋3×cos120°＝152，故填152.9．(2015·天津文)在等腰梯形ABCD 中，已知AB∥DC，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案2918解析 方法一：作CO⊥AB 于O ，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－32，0)，B(12，0)，C(0，32)，D(－1，32)，所以E(16，33)，F(－56，32)，所以AE →·AF→＝(53，33)·(23，32)＝109＋12＝2918. 方法二：也可利用向量的线性运算解．10．(2014·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．答案2解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B(2，0)，E(2，1)，D(0，2)，C(2，2)．设F(x ，2)(0≤x≤2)，由AB →·AF →＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F(1，2)，AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.11．已知a ＝(2，－3)，b ＝(－3，4)，则a －b 在a ＋b 方向上的投影为________． 答案 －6 2解析 因为a －b ＝(5，－7)，a ＋b ＝(－1，1)，所以(a －b )·(a ＋b )＝－5－7＝－12，|a ＋b |＝（－1）2＋12＝2，所以a －b 在a ＋b 方向上的投影为－122＝－6 2.12．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________． 答案 2 5解析 方法一：设OB →＝(x ，y)，由|OA →|＝|OB →|，知x 2＋y 2＝10.又OA →·OB →＝x －3y ＝0，所以x ＝3，y ＝1，或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝25，则|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，所以|AB →|＝2 5. 13．(2014·新课标全国Ⅰ理)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________． 答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点．∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.。

式特征,应学会利用这一点来构造函数或方程,以便用函数或方程的思想解题.
例3 (2015广东六校联考(三))已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),| B C|=2|
A C|,则向量 O的B 坐标是
.
解析 由点C是线段AB上一点,| B C|=2| A|,得C =B-2C .设A点C B为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即
一向量平行.
3.相等向量
长度相等且 方向相同 的向量叫做相等向量,记作a=b.
4.相反向量
长度相等且 方向相反 的向量叫做相反向量.a的相反向量为-a.
有-(-a)=a.规定:0的相反向量是0. 二、向量的线性运算 1.向量的加法 法则:三角形法则或平行四边形法则. 交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 2.向量的减法 向量减法:a与b的相反向量相加叫做a与b的差,记作a-b=a+(-b). 法则:三角形法则或平行四边形法则. 注意:等式|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)的几何意义:平行四边形两条对角线的平方和等于它的四条边 的平方和. 3.实数与向量的乘积 实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa.规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ< 0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa的方向是任意的. 结合律:λ(μa)=(λμ)a;第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
+n (m,n∈R),则
AD
m 的值是
.

向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
求 a 与 b 的相
减法 反向量－b 的
a－b＝a＋(－b)
和的运算
(1)|λa|＝ |λ||a| ， 求实数 λ 与向 (2)当 λ>0 时，λa 与 a 的 λ(μa)＝ (λμ)a ；
数乘 量 a 的积的运 方向相同；当 λ<0 时，λa (λ＋μ)a＝λa＋μa；
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 三分。
平面向量的线性运算
(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设 D，E，F 分别为△ABC 的三
边 BC，CA，AB 的中点，则E→B＋F→C＝( C )
→ A.BC
B.12A→D
→ C.AD
1→ D.2BC
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 三分。
[解析] 如图，E→B＋F→C＝E→C＋C→B＋F→B＋B→C＝E→C＋F→B＝12(A→C ＋A→B)＝12·2A→D＝A→D.
算
与 a 的方向相反 ；当 λ λ(a＋b)＝ λa＋λb
＝0 时，λa＝ 0
3.共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa .
第十页，编辑于星期六：二十二点 三分。
A，P，B 三点共线⇔A→P＝λA→B(λ≠0)⇔O→P＝(1－t)·O→A＋tO→B(O 为 平面内异于 A，P，B 的任一点，t∈R)⇔ O→P＝xO→A＋yO→B (O 为 平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
第一页，编辑于星期六：二十二点 三分。
第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
知识点
考纲展示
平面向量的 1.了解向量的实际背景．