第五章第5课时 数列的综合应用

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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证明：①根据 S n a n
a 1 , ( n 1) 得 an=a+(n─1) 2b, S n S n 1 , ( n 2 )
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例 6 数列{an}的前 n 项和 Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b 是常数，且 b≠0, ①求证{an}是等差数列； ②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点 Pn 都落在同一直线上，并求出直线方程； ③设 a=1,b=1/2,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1,P2,P3 都落 在圆外的 r 的取值范围
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解：①依题意，由{an}是等差数列，有 ar+ar+2=2ar+1 (r∈N),即 x=─1 时，方程 成立，因此方程恒有实数根 x=─1; ②设公差为 d(化归思想),先解出方程的另一根 mr=─ar+2/ar, ∴ 1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d), ∴ 1/(mr+1+1)─1/(mr+1)= 〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2, ∴ {1/(mr+1)}是等差数列
∴{an}是等差数列，首项为 a,公比为 2b
②由 x=an=a+(n─1)2b, y=Sn/n─1=a+(n─1)b 两式中消去 n,得：x─2y+a─2=0, （另外算斜率也是一种办法）

“一题多问、一题多变”有效教学模式的课例探究——等差、等比数列的综合应用作者：何淑娟来源：《新课程·上旬》 2014年第5期文/何淑娟有效教学坚持以学生发展为本的教学目标，不仅关注学生的考试分数，更关注学生体魄的健壮、情感的丰富和社会适应性的提升，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度去促进学生个体的全方位发展，使学生获得知识与基本技能的同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。

与低效、无效教学不同，有效教学特别注重教学目标和学生发展的全面性、整体性和协调性。

“三维目标”是一个完整、协调、互相联系的整体。

同时，“三维目标”不是三个独立的目标，而是一个问题的三个方面。

在课堂教学中，不能完成了一维目标再落实另一维目标，而是要注重“三维目标”的整体性和协调性。

因此，有效教学主张教师树立教学目标的整体结构观念，全面实现“三维目标”，使教学目标价值的实现统一于同一教学过程中，从而充分实现教学的基本价值，促进学生全面和谐的发展。

在推进数学教学改革的实践中，我校提出课例研究主题为“开展有效课堂教学”。

目的是通过有效课堂教学，使复习更有效，更有利于学生的高考，同时又能减轻学生的负担。

在课堂教学中又能培养学生参与意识、合作意识、创新素质，一步一个脚印地面向全体学生，使每个学生有所发展，获得有价值的数学。

使他们在数学学习中摆脱枯燥乏味，而是能真正地了解数学、体会数学，甚至爱上数学。

本次的课例研究也是围绕这个主题开展的。

我选择的是高三的一节数学课作为课例研究的载体，课题为《等差、等比数列的通项及其求和》，教学课时为高考二轮专题复习课。

第一次授课：一、创设情境，引入新课教师：我们已经熟练掌握了等差、等比数列的通项公式及其前n项和公式，也能根据等差、等比数列的基本性质求出等差、等比数列的通项，运用公式求前n项和。

下面请同学们动手做一下浙江2012年样卷中的数列大题。

例1.（浙江2012年样卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，已知a1=b1=1，a2+b2=a3，S3=3（a3+b3）。

所以3an＝3n，即an＝n.又因为函数f（x）＝2x，所以f （an）＝2n，
所以数列{bn}的前n项和b1＋b2＋…＋bn＝log4[f（a1）·
f（a2）·…·f（an）]＝log4（2×22×…×2n）＝ log421＋2＋…＋n＝12×（1＋2＋…＋n）＝n（n4＋1）.
答案：n（n4＋1）
得2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n＋4成等差数
列，则数列{an}的前n项和Sn＝
.
解析：（1）因为F（x）＝f x＋12－1是R上的奇函数， 所以F（－x）＝－F（x）， 故f 12－x＋f 12＋x＝2（x∈R），（*） 令x＝0，得f 12＝1. 令t＝12－x，则12＋x＝1－t（t∈R）， （*）式可化为f（t）＋f（1－t）＝2（t∈R）.
因此{an}的通项公式为an＝3n－2 1.
（2）由（1）知a1n＝3n－2 1. 因为当n≥2时，3n－1≥2×3n－1， 所以3n－1 1≤2×13n－1. 于是a11＋a12＋…＋a1n≤1＋13＋…＋3n1－1＝321－31n<32. 所以a11＋a12＋…＋a1n<32.
考点2 数列与函数的综合应用
[例2] （1）已知F（x）＝f x＋12 －1是R上的奇函
数，an＝f（0）＋f n1＋f n2＋…＋f n－n 1＋f（1）（n∈
N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A.an＝n－1
B.an＝n
C.an＝n＋1
D.an＝n2
（2）已知函数f（x）＝log2 x，若数列{an}的各项使
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，a6和
a8是函数f（x）＝
15 4
ln
x＋

数列的综合应用【十二大题型】【题型1 等差、等比数列的交汇问题】................................................................................................................3【题型2 数列中的数学文化问题】........................................................................................................................4【题型3 数列的实际应用问题】............................................................................................................................5【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】....................................................................................................7【题型5 数列中的不等式证明问题】....................................................................................................................8【题型6 子数列问题】............................................................................................................................................9【题型7 数列与函数的交汇问题】......................................................................................................................11【题型8 数列与导数的交汇问题】......................................................................................................................12【题型9 数列与概率统计的交汇问题】..............................................................................................................13【题型10 数列与平面几何的交汇问题】............................................................................................................14【题型11 数列中的结构不良题】........................................................................................................................16【题型12 数列的新定义、新情景问题】............................................................................................................17