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受迫振动终结报告

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阻尼振动与受迫振动 实验报告

生物医学工程系 生医8班 鲍小凡 2008013215 一、 实验目的 1． 观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法； 2． 研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象； 3． 观测不同阻尼对受迫振动的影响。

二、 实验原理 1． 有粘滞阻尼的阻尼振动 弹簧和摆轮组成一振动系统，设摆轮转动惯量为J，粘滞阻尼的阻尼力矩大小定义为角速度dθ/dt与阻尼力矩系数γ的乘积，弹簧劲度系数为k，弹簧的反抗力矩为-kθ。忽略弹簧的等效转动惯量，可得转角θ的运动方程为

220ddJkdtdt

记ω0为无阻尼时自由振动的固有角频率，其值为ω0=k/J ，定义阻尼系数β=γ/（2J），则上式可以化为：

2220ddkdtdt

小阻尼即2200时，阻尼振动运动方程的解为 22

0exp()cosiittt （*）

由上式可知，阻尼振动角频率为220d，阻尼振动周期为2ddT 2． 周期外力矩作用下受迫振动的解 在周期外力矩Mcosωt激励下的运动方程和方程的通解分别为

22cosddJkMtdtdt

22

0expcoscosiimtttt

这可以看作是状态（*）式的阻尼振动和频率同激励源频率的简谐振动的叠加。一般t>>τ后，就有稳态解

cosmtt

稳态解的振幅和相位差分别为

2

2222

0

/4mMJ



 220

2arctan

其中，φ的取值范围为（0，π），反映摆轮振动总是滞后于激励源支座的振动。 3． 电机运动时的受迫振动运动方程和解 弹簧支座的偏转角的一阶近似式可以写成

cosmtt

式中αm是摇杆摆幅。由于弹簧的支座在运动，运动支座是激励源。弹簧总转角为cosmtt。于是在固定坐标系中摆轮转角θ的运动方程为

22cos0mddJktdtdt

也可以写成 22cosmddJkktdtdt

于是得到 202222204mm







由θm的极大值条件0m可知，当外激励角频率2202时，系统发生共振，θm有极大值220m。 引入参数02kJ，称为阻尼比。 于是，我们得到

222

0012mm

020

2arctan1

4． 描述阻尼振动的常用参量

方程中的参量 转动惯量 劲度系数 阻尼力矩系数 固有角频率 外激励角频率 符号 J k γ /okJ ω

下表给出了文献中描述阻尼振动的常用参量及其计算公式。 序号 名称 符号及公式 1 阻尼系数 /(2)J 2 阻尼比 /2/okJ 3 阻尼振动周期 222/doT

4 时间常数 2/1/J 5 品质因数 1/(2)Q 6 对数减缩率 2/2/1dT

三、 实验任务和实验步骤 1． 调整仪器使波耳共振仪处于工作状态。 2． 测量最小阻尼时的阻尼比ζ和固有角频率ω0。 3． 测量其他2种或3种阻尼状态的振幅，并求ζ。 4． 测定受迫振动的幅频特性和相频特性曲线。

四、 实验仪器和实验步骤。 波尔共振仪

1． 打开电源开关，关断电机和闪光灯开关，阻尼开关置于“0”档，光电门H、I可以手动微调，避免和摆轮或者相位差盘接触。手动调整电机偏心轮使有机玻璃转盘F上的0位标志线指示0度，亦即通过连杆E和摇杆M使摆轮处于平衡位置。然后拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度，松开手后，检查摆轮的自由摆动情况。正常情况下，震动衰减应该很慢。 2． 开关置于“摆轮”，拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度后摆动，由大到小依次读取显示窗中的振幅

值θj；周期选择置于“10”位置，按复位钮启动周期测量，体制时读取数据10dT。并立即再次启动周

期测量，记录每次过程中的10dT的值。 （1）逐差法计算阻尼比ζ； （2）用阻尼比和振动周期Td计算固有角频率ω0。 3. 依照上法测量阻尼（2、3、4）三种阻尼状态的振幅。求出ζ、τ、Q。 4. 开启电机开关，置于“强迫力”，周期选择置于“1”，调节强迫激励周期旋钮以改变电机运动角频率ω，选择2个或3个不同阻尼比（和任务3中一致），测定幅频和相频特性曲线，注意阻尼比较小（“0”和“1”档）时，共振点附近不要测量，以免振幅过大损伤弹簧；每次调节电机状态后，摆轮要经过多次摆动后振幅和周期才能稳定，这时再记录数据。要求每条曲线至少有12个数据点，其中要包括共振点， 即φ=π/2的点。 五、 实验结果记录及作图 1、 测量最小阻尼时的阻尼比ζ和固有角频率ω0。由大到小依次读取的振幅值θ1，θ2，…，θj，…θ50如下数据表所示：

序号 θj lnθj 周期 序号 θj lnθj 周期 Dj=lnθj+25-lnθj 1 152 5.024 15.509 26 124 4.820 15.478 -0.204 2 151 5.017 27 123 4.812 -0.205 3 150 5.011 28 122 4.804 -0.207 4 148 4.997 29 121 4.796 -0.201 5 147 4.990 30 120 4.787 -0.203 6 146 4.984 31 119 4.779 15.461 -0.205 7 145 4.977 32 118 4.771 -0.206 8 144 4.970 33 117 4.762 -0.208 9 143 4.963 34 117 4.762 -0.201 10 141 4.949 35 115 4.745 -0.204 11 140 4.942 15.495 36 115 4.745 -0.197 12 139 4.934 37 114 4.736 -0.198 13 138 4.927 38 113 4.727 -0.200 14 137 4.920 39 112 4.718 -0.202 15 136 4.913 40 111 4.710 -0.203 16 135 4.905 41 110 4.700 15.447 -0.205 17 133 4.890 42 109 4.691 -0.199 18 133 4.890 43 108 4.682 -0.208 19 131 4.875 44 107 4.673 -0.202 20 130 4.868 45 107 4.673 -0.195 21 129 4.860 15.478 46 105 4.654 -0.206 22 128 4.852 26 105 4.654 -0.198 23 127 4.844 27 104 4.644 -0.200 24 126 4.836 28 103 4.635 -0.201 25 125 4.828 29 102 4.625 -0.203

计算： 1225ln()…=123.166，262750ln()…=118.105

𝑏=ln⁡(θ26θ27…θ50)−ln⁡(θ1θ2…θ25)25×25≈−8.098×10−3

∆b≈Sb=1I√∑(Dj−D̅)2I−1≈0.007 由公式20.52(1)b计算出ζ=0.001289，2322223/24/[]()(4/1)bbb0.001114 dT=1.548s，5100.0010.001ddTTss 22/(1)odT=4.059

0222222220023/2222()()()()(1)1ddTTddd

TTT

=0.0026rad/s。

2、 测量其他2种或3种阻尼状态的振幅，求出ζ、τ、Q。 阻尼2 θj lnθj 周期 阻尼2 θj lnθj 周期 Dj=lnθj+5-lnθj 1 139 4.934 1.551 6 84 4.431 1.543 -0.503 2 125 4.828 1.549 7 76 4.331 1.542 -0.497 3 113 4.727 1.548 8 68 4.220 1.541 -0.507 4 101 4.615 1.546 9 62 4.127 1.540 -0.488 5 93 4.533 1.544 10 56 4.025 1.539 -0.508 计算： ln(θ1θ2…θ5)=23.637，ln(θ6θ7…θ10)=21.134

𝑏=ln(θ6θ7…θ10)−ln(θ1θ2…θ5)5×5≈−0.1001

∆b≈Sb=1I√∑(Dj−D̅)2I−1≈0.003 由公式20.52(1)b计算出ζ=0.01594，2322223/24/[]()(4/1)bbb0.000264 dT=1.544s，5100.0010.001ddTTss 22/(1)odT=4.069

0222222220023/2222()()()()(1)1ddTTddd

TTT

=0.0026rad/s。

阻尼3 θj lnθj 周期 阻尼3 θj lnθj 周期 Dj=lnθj+5-lnθj 1 160 5.075 1.553 6 72 4.277 1.542 -0.798 2 136 4.913 1.551 7 58 4.060 1.540 -0.853 3 120 4.787 1.548 8 45 3.807 1.539 -0.980 4 101 4.615 1.546 9 30 3.401 1.539 -1.214 5 87 4.466 1.544 10 15 2.708 1.544 -1.758 计算： ln(θ1θ2…θ5)=23.856，ln(θ6θ7…θ10)=18.253

𝑏=ln(θ6θ7…θ10)−ln(θ1θ2…θ5)5×5≈−0.2241

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音叉的受迫振动与共振实验报告

音叉的受迫振动与共振实验报告

音叉的受迫振动与共振实验报告音叉的受迫振动与共振实验报告引言：共振是物理学中一个重要的现象，它在各个领域都有广泛的应用。

本次实验旨在通过研究音叉的受迫振动与共振现象，深入理解其原理和特性。

实验目的：1. 研究音叉在受迫振动下的振动特性；2. 探究音叉共振的条件和特点；3. 分析共振现象的应用领域。

实验装置：1. 音叉：选用频率可调的音叉，以便观察不同频率下的振动现象；2. 电磁振子：用于受迫振动实验，通过电流激励产生振动；3. 示波器：用于观察和记录振动信号。

实验步骤：1. 将音叉固定在支架上，并调整其频率为初始状态；2. 将电磁振子的线圈与音叉相对应的位置，通过电流激励使音叉振动；3. 通过示波器观察和记录音叉的振动信号；4. 逐渐调整电磁振子的频率，观察音叉的振动情况；5. 记录共振出现的频率，并进行数据分析。

实验结果与分析：通过实验观察和记录，我们得到了音叉在受迫振动下的振动特性。

当电磁振子的频率与音叉的固有频率相同时，音叉共振现象明显，振幅增大。

而当频率偏离音叉的固有频率时，振幅逐渐减小，最终趋于平衡。

我们进一步分析了共振现象的条件和特点。

首先，共振现象发生的条件是电磁振子的频率与音叉的固有频率相等。

其次，共振时音叉的振动幅度最大，能量传递最为有效。

最后，共振现象在不同频率下都会出现，但只有在频率接近音叉的固有频率时，共振效应才会显著。

共振现象在实际生活中有广泛的应用。

例如，共振现象在桥梁工程中起到重要作用。

当桥梁受到外力作用时，如果外力频率与桥梁固有频率相近，就会引发共振，导致桥梁振幅增大，甚至发生破坏。

因此，在桥梁设计中需要考虑共振现象，以避免潜在的危险。

结论：通过本次实验，我们深入了解了音叉的受迫振动与共振现象。

我们通过观察和记录音叉的振动信号，研究了共振现象的条件和特点。

同时，我们也了解到共振现象在桥梁工程等领域的应用。

通过这次实验，我们对共振现象有了更深入的认识，也增加了我们对物理学原理的理解。

阻尼振动与受迫振动 实验报告

阻尼振动与受迫振动 实验报告

《阻尼振动与受迫振动》实验报告一、实验目的1．观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法；2．研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象；3．观测不同阻尼对受迫振动的影响。

二、实验原理1．有粘滞阻尼的阻尼振动弹簧和摆轮组成一振动系统，设摆轮转动惯量为J ，粘滞阻尼的阻尼力矩大小定义为角速度d θ/dt 与阻尼力矩系数γ的乘积，弹簧劲度系数为k ，弹簧的反抗力矩为-k θ。

忽略弹簧的等效转动惯量，可得转角θ的运动方程为220d d J k dt dtθθγθ++=记ω0为无阻尼时自由振动的固有角频率，其值为ω0=，定义阻尼系数k/J β=γ/（2J ），则上式可以化为：2220d d k dt dtθθβθ++=小阻尼即时，阻尼振动运动方程的解为2200βω-<（*）())exp()cosi i t t θθβφ=-+由上式可知，阻尼振动角频率为，阻尼振动周期为d ω=2d dT π=2．周期外力矩作用下受迫振动的解在周期外力矩Mcos ωt 激励下的运动方程和方程的通解分别为22cos d d J k M t dt dtθθγθω++=()())()exp coscos i i m t t t θθβφθωφ=-++-这可以看作是状态（*）式的阻尼振动和频率同激励源频率的简谐振动的叠加。

一般t >>τ后，就有稳态解()()cos m t t θθωφ=-稳态解的振幅和相位差分别为m θ=2202arctanβωφωω=-其中，φ的取值范围为（0，π），反映摆轮振动总是滞后于激励源支座的振动。

3．电机运动时的受迫振动运动方程和解弹簧支座的偏转角的一阶近似式可以写成()cos m t tααω=式中αm 是摇杆摆幅。

由于弹簧的支座在运动，运动支座是激励源。

弹簧总转角为。

于是在固定坐标系中摆轮转角θ的运动方程为()cos m t t θαθαω-=-()22cos 0m d d J k t dt dtθθγθαω++-=也可以写成22cos m d d J k k t dt dtθθγθαω++=于是得到m θ=由θm 的极大值条件可知，当外激励角频率时，0m θω∂∂=ω=系统发生共振，θm有极大值。

利用波尔共振仪研究受迫振动实验报告

利用波尔共振仪研究受迫振动实验报告

利用波尔共振仪研究受迫振动实验报告一、实验目的1、观察摆轮在受迫振动时的振幅频率特性和相位频率特性。

2、研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，测定阻尼系数。

3、学习用频闪法测定动态物理量——相位差。

二、实验仪器波尔共振仪由振动仪与电器控制箱两部分组成。

振动仪部分由摆轮、摆盘、弹性钢丝、光电门、阻尼线圈等组成。

电器控制箱部分有电源开关、电机转速调节旋钮、闪光灯开关、振幅调节旋钮等。

三、实验原理1、受迫振动物体在周期性外力的持续作用下进行的振动称为受迫振动。

当外力的频率与物体的固有频率接近时，振幅会显著增大，这种现象称为共振。

2、运动方程设摆轮转动惯量为 J，扭转弹性系数为 k，阻尼系数为 b，强迫力矩为 M ＝ M₀cosωt，则摆轮的运动方程为：Jd²θ/dt² ＋bdθ/dt ＋kθ ＝ M₀cosωt其中，θ 为角位移，ω 为强迫力矩的角频率。

3、幅频特性和相频特性在小阻尼情况下，受迫振动的振幅和相位差与强迫力矩的频率之间存在特定的关系。

振幅 A 与强迫力矩频率ω 的关系为：A ＝ M₀/√（（k Jω²)² ＋（bω)²)相位差φ 与强迫力矩频率ω 的关系为：φ ＝arctan(bω/（k Jω²)）四、实验内容及步骤1、调整仪器将波尔共振仪调整至水平状态，打开电源，调节电机转速，使摆轮做自由摆动，观察其振幅和周期是否稳定。

2、测量固有频率在阻尼较小的情况下，让摆轮自由摆动，测量其振幅逐渐衰减到初始振幅的一半所经历的时间 t，根据公式计算固有频率ω₀＝2π/t。

3、测量幅频特性选择不同的阻尼档位，逐渐改变电机转速，即改变强迫力矩的频率ω，测量相应的振幅 A，绘制幅频特性曲线。

4、测量相频特性在测量幅频特性的同时，使用频闪法测量相位差φ，绘制相频特性曲线。

5、数据分析根据实验数据，分析阻尼系数对幅频特性和相频特性的影响，验证理论公式。

五、实验数据及处理以下是一组实验数据示例（实际数据应根据实验情况记录）：｜强迫力矩频率ω（Hz）｜振幅 A（mm）｜相位差φ（°）｜阻尼档位｜｜｜｜｜｜｜ 05 ｜ 50 ｜ 100 ｜小阻尼｜｜ 06 ｜ 65 ｜ 150 ｜小阻尼｜｜ 07 ｜ 80 ｜ 200 ｜小阻尼｜｜｜｜｜｜根据实验数据，以强迫力矩频率ω 为横坐标，振幅 A 和相位差φ 分别为纵坐标，绘制幅频特性曲线和相频特性曲线。

利用波尔共振仪研究受迫振动实验报告

利用波尔共振仪研究受迫振动实验报告

利用波尔共振仪研究受迫振动实验报告一、实验目的1、观察摆轮的自由振动、阻尼振动和受迫振动现象。

2、研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，并测定阻尼系数。

3、研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象，测定受迫振动的共振频率和共振振幅。

二、实验仪器波尔共振仪，包括振动系统、电磁阻尼系统、电机驱动系统、光电计数系统和智能控制仪等部分。

三、实验原理1、自由振动无阻尼的自由振动方程为：＄m\frac{d^2\theta}｛dt^2}＝k\theta$，其中$m$为摆轮的转动惯量，＄k$为扭转弹性系数，＄＼theta$为角位移。

其解为：＄＼theta ＝ A\cos(＼omega_0 t ＋＼varphi)＄，其中$＼omega_0 ＝＼sqrt{＼frac{k}｛m}｝＄为固有角频率，＄A$和$＼varphi$为初始条件决定的常数。

2、阻尼振动考虑阻尼时，振动方程为：＄m\frac{d^2\theta}｛dt^2} ＋b\frac{d\theta}｛dt} ＋ k\theta ＝ 0$，其中$b$为阻尼系数。

根据阻尼的大小，可分为三种情况：小阻尼：＄＼omega ＝＼sqrt{＼omega_0^2 ＼frac{b^2}｛4m^2}｝＄，振动逐渐衰减。

临界阻尼：振动较快地回到平衡位置。

大阻尼：不产生振动。

3、受迫振动在周期性外力矩$M ＝ M_0\cos\omega t$作用下，振动方程为：＄m\frac{d^2\theta}｛dt^2} ＋ b\frac{d\theta}｛dt} ＋ k\theta ＝M_0\cos\omega t$。

稳定时，振动的角位移为：＄＼theta ＝ A\cos(＼omega t ＋＼varphi)＄，其中振幅$A ＝＼frac{M_0}｛＼sqrt{（k m\omega^2)＾2 ＋（b\omega)＾2}｝＄，相位差$＼varphi ＝＼arctan\frac{b\omega}｛k m\omega^2}＄。