物理实验报告
标题：受迫振动的研究实验
摘要：
振动是自然界中最常见的运动形式之一，由受迫振动引发的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。共振现象在许多领域有着广泛的应用，例如，众多电声器件需要利用共振原理设计制作。它既有实用价值，也有破坏作用。本实验采用玻耳共振仪定量测定了阻尼振动的振幅比值，绘制了受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并分析了阻尼对振动的影响以及受迫振动的幅频特性和相频特性。另外，实验中利用了频闪法来测定动态的相位差。
目录
1引言 (3)
2.实验方法 (3)
2.1实验原理 (3)
2.1.1受迫振动 (3)
2.1.2共振 (4)
2.1.3阻尼系数δ的测量 (5)
2.2实验仪器 (6)
3实验内容、结果与讨论 (7)
3.1测定电磁阻尼为0情况下摆轮的振幅与振动周期的对应关系 (7)
3.2研究摆轮的阻尼振动 (8)
3.3测定摆轮受迫振动的幅频与相频特性曲线，并求阻尼系数δ (9)
3.4比较不同阻尼的幅频与相频特性曲线 (13)
4.总结 (15)
5.参考文献 (15)
1引言
振动是自然界中最常见的运动形式之一，由受迫振动引发的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。共振现象在许多领域有着广泛的应用，例如为研究物质的微观结构，常采用核共振方法。但是共振现象也有极大的破坏性，减震和防震是工程技术和科学研究的一项重要任务。表征受迫振动性质的是受迫振动的振幅—频率特性和相位—频率特性（简称幅频和相频特性）。本实验采用玻耳共振仪定量测定了阻尼振动的振幅比值，绘制了受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并分析了阻尼对振动的影响以及受迫振动的幅频特性和相频特性。
2.实验方法
2.1实验原理
2.1.1受迫振动
本实验中采用的是玻耳共振仪，其构造如图1所示：
图一
铜质圆形摆轮系统作受迫振动时它受到三种力的作用：蜗卷弹簧B提供的弹性力矩−kθ,轴承、空气和电磁阻尼力矩−b dθ
dt
,电动机偏心系统经卷簧的外夹持端提供的驱动力矩M=M0cosωt。
根据转动定理，有
J d2θ
dt2
=−kθ−b
dθ
dt
+M0cosωt（1）
式中，J为摆轮的转动惯量，M0为驱动力矩的幅值，ω为驱动力矩的角频率，令
ω02=k
J，2δ=
b
J，m=
M0
J
则式（1）可写为
d2θdt2+2δ
dθ
dt
+ω02θ=m cosωt (2)
式中δ为阻尼系数，ω0为摆轮系统的固有频率。在小阻尼(δ2−ω2)条件下，方程（2）的通解为：
θ=θa e−δt cos(ω0t+a)+θb cos(ωt+φ)
此解为两项之和，可见摆轮的受迫振动分为两个分运动。随着时间推移，阻尼振动项可以衰减到忽略不计。另一项表示与驱动力同频率且振幅为θb的振动。可见，虽然刚开始振动比较复杂，但是在不长的时间之后，受迫振动会到达一种稳定的状态，成为一种简谐振动，可以表示成：
θ=θb cos(ωt+φ) (3)振幅θb和初相位φ（φ为受迫振动的角位移与驱动力矩之间的相位差）既与振动系统的性质与阻尼情况有关，也与驱动力的频率ω和力矩的幅度M0有关，而与振动的初始条件无关（初始条件只是影响达到稳定状态所用的时间）。θb与φ由
下述两项决定：
θb=
m
√(ω02−ω2)2+4δ2ω2
（4）
φ=arctan
−2δω
ω02−ω2
（5）
2.1.2共振
由极值条件ðθb
ðω
=0可以得出，当驱动力的角频率为ω=√ω02−2δ2时，受迫振动的振幅达到最大值，产生共振。共振时的共振的角频率ωr、振幅θr和相位差φr分别为：
ωr=√ω02−2δ2
θr=
m
2δ√ω02−δ2
（6）
φr=arctan (−√ω02−2δ2
δ
)
由上式可以看出，阻尼系数越小，共振的角频率ωr越接近于系统的固有频率ω0，共振振幅θr也越大，振动的角位移的相位滞后于驱动力矩的相位越接近于π/2。
图2和图3给出了不同阻尼系数δ的条件下受迫振动系统的振幅的频率相应（幅频特性）曲线和相位差的频率响应（相频特性）曲线。
2.1.3阻尼系数δ的测量
(1)由振动系统作阻尼振动时的振幅比值求阻尼系数δ
摆轮A如果只受到蜗卷弹簧B提供的弹性力矩−kθ，轴承、空气和电磁阻尼力矩−b dθ
dt
，阻尼较小（δ2<ω02）时，振动系统作阻尼振动，对应的振动方程和方程的解为：
d2θdt2+2δ
dθ
dt
+ω02θ=0
θ=θa e−δt cos(ωa t+a)
ωa=√ω02−δ2
由于阻尼振动的振幅随时间按指数律衰减，对相隔n个周期的两振幅之比取对数，则有：
ln θ0
θn
=ln
θa e−δt
θa e−δ(t+nT)
=nδT
图2图3
实际的测量之中，可以以此来算出δ值。其中，n为阻尼振动的周期数，θ0为计时开始时振动振幅，θn为的n次振动时振幅，T为阻尼振动时周期。
（2）由受迫振动系统的幅频特性曲线求阻尼系数δ（只适合于δ2≪ω02时的情况）由幅频特性可以看出，弱阻尼δ2≪ω02情况下，共振峰附近ωω
⁄≈1，ω+ω0≈2ω0，由（4）和（6）可得：
θb θr =
2δ√ω02−δ2
√(ω02−ω2)2+4δ2ω2
≈
δ
√(ω−ω0)2+δ2
当θb=θr
√2
⁄时，由上式可得：ω−ω0≈±δ。
在幅频特性曲线上可以直接读出θb=θr
√2
⁄处对应的两个横坐标
ω+
ω0
⁄和
ω−
ω0
⁄，从而可得：
ω+−ω−=2δ （8）
2.2实验仪器
本实验使用的玻耳共振仪由共振仪和控制仪两部分组成，并用电缆互联。玻耳共振仪的示意图见前文图1。振动系统由铜质圆形摆轮A与弹簧B构成，弹簧的一端固定在机架支柱上，另一端与摆轮轴相联，在弹簧弹性力作用下，摆轮可绕轴自由往复振动。外激励是由转速十分稳定的可调电机的偏心轴通过连杆和摆杆加到振动系统上。当电机匀速转动时，可看作是一种简谐激励。若改变电机转速，就相当于改变激励的周期。电磁阻尼由阻尼线圈产生，调节线圈电流可以改变电磁铁气隙中磁场，以达到改变阻尼力矩的作用。角度读数盘上方处也装有光电门，与控制电路相连接，可以用来测量强迫力矩的周期。
共振仪部分的结构如图4
所示。左边是振幅显示窗，显示
三位数字的摆轮振幅；右边时
间显示窗，显示5位数字振动周
期，精度为10-3s。“摆轮、强迫
力”和“周期选择”开关，分别
用来测量摆轮强迫力矩的1次
或者10次周期所需的时间。电机转速调节旋钮用来改变强迫力周期，它是通过精确改变电机转速来达到,其精度仅供参考。阻尼选择开关用来改变阻尼线圈直流电位的大小，。电机开关用来控制电机转动，当测量阻尼系数和摆轮固有频率
图4
