- 252 -第9章 小波变换基础9.1 小波变换的定义给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t at b a -=ψψ （9.1.1）式中b a ,均为常数，且0>a 。
显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。
若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。
给定平方可积的信号)(t x ，即)()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为dt a b t t x a b a WT x )()(1),(-=⎰*ψ〉〈==⎰*)(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （9.1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。
如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。
信号)(t x 的小波变换),(b a W T x 是a 和b 的函数，b 是时移，a 是尺度因子。
)(t ψ又称为基本小波，或母小波。
)(,t b a ψ是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。
这样，（9.1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。
母小波可以是实函数，也可以是复函数。
若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则),(b a W T x 也是实的，反之，),(b a W T x 为复函数。
在（9.1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。
尺度因子a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。
我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(atψ，当1>a 时，若a 越大，则)(atψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1<a- 253 -时，a 越小，则)(at ψ的宽度越窄。
这样，a 和b 联合越来确定了对)(t x 分析的中心位置及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。
小波小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小区域的波，而且是长度有限、均值为0的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
如下图正弦波Meyer 小波Morlet小波202()t j t t ee ωψ-=或频域形式：20()/2()eωωψω--=⋅121210()110t t t others ψ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩Haar小波简单来说，小波函数必须满足下列条件:（1）2|()|t dt ψ∞-∞⎰, 也即2()L R ψ∈ 并单位化 ，(2) |()|t dt ψ∞-∞<+∞⎰, 也即1()L R ψ∈(3) ()0t dt ψ+∞-∞=⎰， 小波变换的反变换及对基本小波的要求小波变换区别于某些常用变换（如傅里叶变换、拉氏变换）的一个特点是没有固定的核函数，但也不是任何函数都可用作小波变换的基本小波()t ψ。
任何变换都必须存在反变换才有实际意义，但反变换并不一定存在，对小波变换而言，所采用的小波必须满足所谓“容许条件”(admissible condition),反变换才存在。
容许条件：20|()|d ψωωω∞<∞⎰正规性条件（regularity condition ）本来满足容许条件的()t ψ便可用作基本小波，但实际上往往要求更高些，对()t ψ还要施加正规性条件，以便()ψω在频域上表现出较好的局域性能。
也就是要求()0pt t dt ψ∞-∞=⎰，1,2,,,p n =⋅⋅⋅ 且n 越大越好。
sin 2sin(2)cos(100)y x x x πππ=++sin 2sin(2)y x x ππ=+光滑紧支撑正交小波()t ϕ的构造满足（1）{()}k Z x k ϕ∈-是中的标准正交基；（2）()x ϕ满足双尺度方程(/2)()k kx a x k ϕϕ=-∑， （3）1()()x L R ϕ∈且ˆ(0)0ϕ≠ （4）()x ϕ是紧支撑的。
小波变换是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信号的方法。
小波由一族小波基函数构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。
采用小波分析最大优点是可对信号进行实施局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。
小波分析具有发现其他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表现结构特性的信息，而这些特性对机械故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。
如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有Haar、Daubechies(dbN)、Morlet、Meryer、Symlet、Coiflet、Biorthogonal 小波等15种。
但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。
小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。
另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。
如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。
由于小波函数家族成员较多，进行小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。
根据实际运用的经验，Morlet小波应用领域较广，可以用于信号表示和分类、图像识别特征提取；墨西哥草帽小波用于系统识别；样条小波用于材料探伤；Shannon正交基用于差分方程求解。
现在对小波分解层数与尺度的关系作如下解释：是不是小波以一个尺度分解一次就是小波进行一层的分解？比如：[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中，N为尺度，若为1，就是进行单尺度分解，也就是分解一层。
但是W=CWT(X,[2:2:128],'wname','plot')的分解尺度又是从2～128以2为步进的，这里的“分解尺度”跟上面那个“尺度”的意思一样吗？[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中的N为分解层数, 不是尺度,'以wname'是DB小波为例, 如DB4, 4为消失矩,则一般滤波器长度为8, 阶数为7.wavedec针对于离散,CWT是连续的。
