第14讲 函数实际应用题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(原卷版)

2019年中考数学总复习巅峰冲刺专题11思想方法性问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略．数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本所在. 因此，在复习时要注意总结体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识和能力．类型一分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各情况下相应的结论．分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类必须是同一个标准；(3)分类讨论要逐级进行；(4)分类必须包含所有情况，既不能重复，也不能有遗漏．类型二数形结合思想数形结合思想是把抽象思维和形象思维结合起来分析问题，将抽象的数学语言和直观的图形语言结合起来表示问题，从而解决问题的数学思想．运用数形结合思想解决问题，关键是要找到数与形的契合点．数形结合在不等式(组)、函数等知识中有着广泛的应用，综合题中始终渗透着对数形结合思想的考查．类型三转化与化归思想转化与化归思想是一种最基本的数学思想，用于解决问题时的基本思想是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把非常规的问题化为常规问题，把实际问题数学化，实现不同的数学问题间的相互转化，这也体现了把不易解决的问题化为有章可循、容易解决问题的思想．类型四数学建模思想数学建模思想就是构造数学模型的思想，即用数学的语言——公式、符号、图表等刻画一个实际问题，然后经过数学的处理——计算解决问题．利用模型思想解决问题的关键：(1)抓住关键的字、词、句，把生活中的语言转化为数学语言，结合生活中的经验，灵活运用数学知识进行解决；(2)充分利用各种数学思想把实际问题转化为数学问题，然后解答．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】若关于x的一元二次方程mx2－4x+3=0的一个根是3，以此方程的两根为边长的等腰三角形的周长是（）A．5B．7C．5或7 D．9【原创2】如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长是．【原创3】如图所示，以正方形ABCD平行于边的对称轴为坐标轴建立直角坐标系，若正方形的边长为4．（1）求过B、E、F三点的二次函数的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标．（先转化为点的坐标，再求函数解析式）【原创4】为了调查平昌冬奥会某项目参赛运动员的年龄情况，奥组委做了一次年龄抽样调查，根据运动员的年龄绘制出如下两幅不完整的统计图．请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）请结合计算结果补全条形统计图.（2）请用样本思想求这组运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．（3）请计算20岁运动员所对的圆心角的度数，若参参赛运动员有1920人，据此猜测20岁的运动员有多少名？【原创5】如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （-2,0），B （4,0）两点，与y 轴交于C （0，2），直线y kx b =+过C 、B 两点，点P 是抛物线2y ax bx c =++在第一象限内一动点，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，交直线y kx b =+于点F ．图2图1（1）试求该抛物线的表达式； （2）若PF=EF ，求P 点的坐标；（3）设Q为x轴一点，在抛物线上是否存在点D使得以点D,C,O,Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在求出点D的坐标，否则，请说明理由.【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】分类讨论思想(2018·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．【例题2】数形结合思想如图，在在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：（1）BC=18cm；（2）当t=秒时，四边形PQBA成为矩形．（3）当t为多少时，PQ=CD？（4）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．【例题3】转化与化归思想(2017·江西中考)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC 垂直．(1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH ＝72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin 69°≈1415，cos 21°≈1415，tan 20°≈411，tan 43°≈1415，所有结果精确到个位)【例题4】方程思想(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E. (1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD ＝∠DAB ； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE·DE ；(3)已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．【例题5】函数思想(2017·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。

【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；1、解数式规律型问题的一般方法:(1)当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；(2)当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；(3)当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果．数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n个数用含n的式子表示，用n除以循环出现的数的个数，找出余数即可找到对应的结果．2、探索等式规律的一般步骤:(1)标序数；(2)对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；(3)根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验．3、根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：(1)根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；(2)根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次数之间的关系；(3)确定第一类点的坐标的方法：根据(2)中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为n，用M÷n＝ω……q(0≤q＜n)，则第M次变换与每个循环中第q次变换相同，再根据(2)中得到的第M个点的坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标．4、对于求面积规律探索问题的一般步骤：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积S；(2)通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；(3)根据找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积．5、找图形累加型变化规律的一般步骤:(1)写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…n”；(2)数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；(3)寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第n 个图形的个数．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 值为2，那么我们要进行的第一次计算是进行偶数程序，结果输出的是1，返回进行第二次运算则按照奇数程序进行运算，输出的是6，…第2019次输出的结果为 .【原创2】发现 任意一个偶数减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的此偶数的倒数，结果为1. 验证 （1）10减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的14，一直减到最后余下的110其结果等于几？. （2）设一个偶数2n ，依次减去其12，再减去余下的14，一直减下去，一直减到最后余下的12n ，结果等于几？并验证发现的结论是否正确。

第14讲 二次函数的实际应用一、选择题1．已知物体下落时间t 与下落距离x 成以下关系：x ＝12 gt 2，其中g 与纬度的关系如图．若一只熊掉进一个洞深为19.664 m 的洞，下落时间刚好为2 s ，这只熊最有可能生活在哪个纬度附近( D )A ．10°B ．45°C ．70°D ．90°2．(杭州一模)某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是(D )A ．180元B ．220元C ．190元D ．200元（第2题图）（第3题图）3．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球运动时间t(单位：s )之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m ； ②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s . 其中正确的是(D ) A ．①④ B ．①② C ．②③④ D ．②③4．一个滑道由滑坡(AB 段)和缓冲带(BC 段)组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y 1(单位：m )和滑行时间t 1(单位：s )满足二次函数关系，并测得相关数据：滑行时间t 1/s 0 1 2 3 4 滑行距离y 1/s4.51428.548滑雪者在缓冲带上滑行的距离y 22(单位：s )满足：y 2＝52t 2－2t 22 ，滑雪者从A 出发在缓冲带BC 上停止，一共用了23 s ，则滑坡AB 的长度( A )A．270米B．280米C．375米D．450米【解析】设y1＝at21＋bt1，把(1，4.5)和(2，14)代入函数解析式，可求得二次函数解析式为：y1＝2.5t21＋2t1…①；y2＝52t－2t2，函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下，此时，t＝－b2a＝13，则：滑雪者在AB段用的时间为23－13＝10，把t＝10代入①式，解得：则AB＝y1＝270(米).二、填空题5．(2020·连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x(单位：min)满足函数表达式y＝－0.2x2＋1.5x－2，则最佳加工时间为__3.75__min.6．(温州一模)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，则水面下降1 m时，水面宽度增加__(2 6 －4)__m.（第6题图）（第7题图）7．(温州二模)为了节省材料，某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边，用总长为80 m 的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是__300__m2.8．(台州一模)为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量q(辆/小时)、速度v(千米/小时)、密度k(辆/千米)来描述车流的基本特征．现测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表：速度v(千米/小时)…1520324045…流量q(辆/小时)…105012001152800450…若已知q，v满足形如q＝mv＋nv(m，n为常数)的二次函数关系式，且q，v，k满足q ＝vk.根据监控平台显示，当5≤v≤10时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度k的取值范围是__80≤k≤90__．三、解答题9．(2020·鄂州)一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x(元/件)456y(件)1000095009000(1)求y与x(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？(3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m 元(1≤m ≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m 的取值范围．解：(1)y ＝－500x ＋12000；(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ≤15，－500x ＋12000≥6000， 解得，3≤x ≤12，设利润为w 元，根据题意得，w ＝(x －3)y ＝(x －3)(－500x ＋12000)＝－500x 2＋13500x －36000＝－500(x －13.5)2＋55125，∵－500＜0，∴当x ＜13.5时，w 随x 的增大而增大，∵3≤x ≤12，∴当x ＝12时，w 取最大值为：－500×(12－13.5)2＋55125＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；(3)根据题意得，w ＝(x －3－m)(－500x ＋12000)＝－500x 2＋(13500＋500m)x －36000－12000m ，∴对称轴为x ＝－13500＋500m－1000＝13.5＋0.5m ，∵－500＜0，∴当x ≤13.5＋0.5m时，w 随x 的增大而增大，∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，∴15≤13.5＋0.5m ，解得，m ≥3，∵1≤m ≤6，∴3≤m ≤6.10．如图，某小区在墙体OM 上的点A 处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y(m )与地面水平距离x(m )之间的关系式可以用y ＝－15 x 2＋bx ＋c 表示，且抛物线经过B(2，245 )，C(5，215).请根据以上信息，解答下列问题：(1)求抛物线的函数关系式； (2)求遮阳棚跨度ON 的长；(3)现准备在抛物线上一点E 处，安装一直角形钢架GEF 对遮阳棚进行加固(点F ，G 分别在x 轴，y 轴上，且EG ∥x 轴，EF ∥y 轴)，现有库存10米的钢材是否够用？解：(1)将点B ，C 的坐标代入抛物线表达式得：⎩⎨⎧245＝－45＋2b ＋c ，215＝－5＋5b ＋c ， 解得⎩⎨⎧b ＝65，c ＝165，∴抛物线的表达式为：y ＝－15 x 2＋65 x ＋165；(2)y ＝－15 x 2＋65 x ＋165，令y ＝0，解得：x ＝－2(舍去)或8，∴ON ＝8；(3)设点E(x ，－15 x 2＋65 x ＋165 )，由题意得：GE ＋EF ＝x －15 x 2＋65 x ＋165 ＝－15 (x －112 )2＋374 ∵－15 ＜0，∴GE ＋EF 的最大值为374 ，∵374 ＜10，∴现有库存10米的钢材够用．。

2019年中考数学总复习巅峰冲刺专题23 函数中特殊角存在问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；解决存在性问题就是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就作出“存在”的判断，导出矛盾，就作出不存在的判断．尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点．这类题型对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查．常见的题型主要包括①求存在某个角等于特殊角，如90°，60°、30°、45°等，②存在某个角与已知角相等，或为角平分线，③存在某个角具有某个特点等等。

【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，在直角坐标系内，一对称轴为x=-1的抛物线恰好经过正方形ABCD中的B点和D点，并且交x轴为B点，交x轴负半轴为点E，点A在y轴上，其坐标为（0，4），点B坐标为（2，0）。

（1）试求出此抛物线的解析式；（2）过点A作AM//x轴，交CD于点M，求DM的长；（3）令抛物线交y轴为H，连接HB，是否存在点P在抛物线上，使的△PHB为直角三角形，若存在，试求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】(2017湖北咸宁)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．【例题2】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，。