[精品]2019届中考数学系统复习 第三单元 函数 第10讲 第2课时 一次函数的实际应用(8年真题训练)练习
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命题点 一次函数的实际应用
1．(2015·河北T23·10分)水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．
(1)只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式(不必写出x大的范围)；
(2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小．
①求y与x小的函数关系式(不必写出x小的范围)；
②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？
解：(1)y＝4x大＋210.
(2)①当x大＝6时，y＝4×6＋210＝234，
∴y＝3x小＋234.
②依题意，得3x小＋234≤260，解得x小≤823.
∵x小为自然数，∴x小最大为8，即最多能放入8个小球．
2．(2016·河北T24·10分)某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具，调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系，如下表：
第1个 第2个 第3个 第4个 … 第n个
调整前的
单价x(元) x1 x2＝6 x3＝72 x4 … xn
调整后的
单价y(元) y1 y2＝4 y3＝59 y4 … yn
已知这n个玩具调整后的单价都大于2元．
(1)求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围；
(2)某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？
(3)这n个玩具调整前、后的平均单价分别为x，y，猜想y与x的关系式，并写出推导过程．
解：(1)设y＝kx＋b，1分
依题意，得x＝6，y＝4；x＝72，y＝59.
∴4＝6k＋b，59＝72k＋b，解得k＝56，b＝－1.∴y＝56x－1.3分
依题意，得56x－1＞2，解得x＞185.
∴x的取值范围为x＞185.5分 精 品 试 卷
推荐下载 (2)将x＝108代入y＝56x－1，得
y＝56×108－1＝89，∴108－89＝19(元).6分
∴顾客购买这个玩具省了19元.7分
(3)y＝56x－1.8分
推导过程如下：
由(1)，得y1＝56x1－1，y2＝56x2－1，…，yn＝56xn－1，
∴y＝1n(y1＋y2＋…＋yn)＝1n[(56x1－1)＋(56x2－1)＋…＋(56xn－1)]＝1n[56(x1＋x2＋…＋xn)－n]＝56×x1＋x2＋…＋xnn－1＝56x－1.10分
3．(2011·河北T24·9分)已知A，B两地的路程为240千米，某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现在有货运收费项目及收费标准表，行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数图象(如图1)，上周货运量折线统计图(如图2)等信息如下：
货运收费项目及收费标准表
运输工具
运输费单价
元/(吨·千米) 冷藏单价
元/(吨·时) 固定费用
元/次
汽车 2 5 200
火车 1.6 5 2 280
图1 图2
(1)汽车的速度为60千米/时，火车的速度为100千米/时；
(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽(元)和y火(元)，分别求y汽，y火与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)及x为何值时，y汽＞y火；(总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用)
(3)你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？
解：(2)依题意，得
y汽＝240×2x＋24060×5x＋200＝500x＋200，
y火＝240×1.6x＋240100×5x＋2 280＝396x＋2 280.若y汽 >y火，则500x＋200>396x＋2 280，∴x>20.
(3)上周货运量x＝(17＋20＋19＋22＋22＋23＋24)÷7＝21(吨)>20吨．
从平均数分析，建议预定火车费用较省．
从折线图走势分析，上周货运量周四(含周四)后大于20且呈上升趋势，建议预定火车费用较省.
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推荐下载 重难点1 一次函数的图象信息题
(2018·咸宁)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2 400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
其中正确的结论有(A)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】 首先注意，y表示的是两人之间的距离，从图象中，我们可以看到3个确定的点(0，0)，(4，240)，(16，0)．点(4，240)的实际意义就是，甲4分钟步行了240米；(16，0)的实际意义是甲步行16分钟时，两人距离为0，即乙追上了甲，所以乙12分钟追上甲；同时也说明甲步行16分钟的路程和乙步行12分钟的路程相等；乙走完全程时，甲走了34分钟，走了2 040米，距离终点360米．
【变式训练1】 (2018·丽水)某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是(D)
A．每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱
B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多
C．每月上网时间为35 h时，选择B方式最省钱 D．每月上网时间超过70 h时，选择C方式最省钱
方法指导解答函数图象信息题要经历“信息提取，图象理解，问题解决”的过程．其中最重要的环节是利用数形结合思想解读函数图象，其方法是：
(1)明确“两坐标轴”所表示的意义；
(2)弄清图象上的转折点、最高(低)点与坐标轴的交点等特殊点所表示的意义；
(3)弄清上升线和下降线所表示的意义．
易错提示注意，y表示的是两人之间的距离．
重难点2 一次函数的实际应用
(2018·梧州)我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．
(1)求A，B两种型号电动自行车的进货单价；
(2)若A型电动自行车每辆售价为2 800元，B型电动自行车每辆售价为3 500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；
(3)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
【思路点拨】 (1)设A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元，(x＋500)元，构建分式方程即可解决问题；精 品 试 卷
推荐下载 (2)根据总利润＝A型的利润＋B型的利润，列出函数关系式即可；(3)利用一次函数的性质即可解决问题．
【自主解答】 解：(1)设A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元，(x＋500)元．由题意，得
50 000x＝60 000x＋500，解得x＝2 500.
经检验，x＝2 500是分式方程的解．
答：A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为2 500元，3 000元．
(2)y＝300m＋500(30－m)＝－200m＋15 000.
(3)∵2 500m＋3 000(30－m)≤80 000，∴m≥20.
∵m≤30，∴20≤m≤30.
y＝－200m＋15 000，
∵－200＜0，20≤m≤30，
∴m＝20时，y有最大值，最大值为11 000元．
【变式训练2】(2017·临沂改编)某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x(m3)之间的关系如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)按照新标准，用户A一个月用水10 m3，需缴纳水费多少元？用户B一个月缴纳水费51元，用水量是多少？
(3)若某用户二、三月份共用水40 m3(二月份用水量不超过25 m3)，缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少？
解：(1)当0≤x≤15时，设y与x的函数解析式为y＝kx，则
15k＝27，解得k＝1.8.
∴y＝1.8x.
当x＞15时，设y与x的函数解析式为y＝ax＋b，则
15a＋b＝27，20a＋b＝39，解得a＝2.4，b＝－9.
∴y＝2.4x－9.
综上，y关于x的函数解析式为y＝1.8x（0≤x≤15），2.4x－9（x＞15）.
(2)当x＝10时，y＝1.8×10＝18.
由题意，得51＝2.4x－9，解得x＝25.
答：用户A需缴纳水费18元，用户B的用水量是25 m3.
(3)设二月份的用水量是x m3，
当15＜x≤25时，2.4x－9＋2.4(40－x)－9＝79.8， 方程无解．
当0＜x≤15时，1.8x＋2.4(40－x)－9＝79.8，解得x＝12.
∴40－x＝28.
答：该用户二、三月份的用水量各是12 m3，28 m3.
方法指导
1．根据实际问题列一次函数解析式时，其呈现方式主要有文字描述、图象信息、表格信息等方式，本题是文字描述，关键是利用采购费用间的关系得出函数解析式．
2．一次函数、不等式的综合运用的最优问题，一般思路是先求出一次函数关系式，再由不等式确定一次函数自变量的取值范围，最后根据一次函数的增减性确定最值．
