高三第三次月考数学考试试题

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先作出 关于 的对称点 ，再作 关于 的对称点 ，因为光线从 点出发射到 上的 点经 反射后，入射光线和反射光线都经过 关于直线 的对称点 点，又因为再经 反射，反射光线经过 关于直线 的对称点，所以只需连接 ､ 交 与点 ，连接 ､ 分别交 为点 ､ ，则 ， 之间即为点 的变动范围.再求出直线 ， 的斜率即可.
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，再分别写出 和 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可
【详解】根据题意可得纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，故 ，即 ，故 ， ， ， … ，累加可得 ，所以 ，故A正确，C错误；
6.设 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别判断出 ， ， ，即可得到答案.
【详解】 .
因为 ，所以 .
所以 ；
因为 在R上为增函数，所以 ；
因为 在 上为增函数，且 所以 ，即 ；
所以 .
故选：D
7.将函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，得到如图所示的函数 的图象，则 （）
10.设 ，函数 在区间 上有零点，则 的值可以是（）
A. B. C. 解不等式 得解.
【详解】由题得 ，
令 ，解得 ，取k＝0，
，即 ．
故选：BCD
11.如图， 是一块半径为1的圆形纸板，在 的左下端前去一个半径为 的半圆后得到图形 ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形 ， ，记纸板 的周长为 ，面积为 ，则下列说法正确的是（）

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————2019学年度（上）高三第三次月考数学(理科)试卷命题人：考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．φB ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}5,62.已知i 为虚数单位，则复数341ii -+的虚部为（ ） A.72- B. 72 C. 72i - D.72i3．已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（ ） （A ）3π （B ）2π （C ）32π （D ）65π4．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则3a =（ ）A.10- B 6- C 8- D.4-5.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）A ．164石B ．178石C ．189石D ．196石6. 命题：“00x ∃>，使002()1xx a ->”，这个命题的否定是（ ） A ．0x ∀>，使2()1xx a ->B ．0x ∀>，使2()1xx a -≤ C ．0x ∀≤，使2()1xx a -≤D ．0x ∀≤，使2()1xx a ->7.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ）A ．342π+B ．63π+C ．362π+D ．3122π+8．如图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．3?k >B ．4?k >C ．5?k >D ．6?k >9. 若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 10.已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）A 、2B 、、6 D 、 11．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为12,F F ，这两条曲线在第一象限的交点为12,P PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形。

海南中学2024届高三年级第3次月考数学试题卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合(){}ln 2|A x y x ==-，2{|9}B x x =<，则()R B A ⋂=ð（ ）A. （-3，2]B. [-3，2）C. （2，3]D. [2，3）2. 已知i 为虚数单位，且复数z 满足()12i 1i z +=+，则z =（ ）A. 1 B. 2C.D.3. 已知点D 是ABC 所在平面内的一点，且2BD DC =-，设AD AB AC λμ=+ ，则λμ-=（ ）A. 32-B.23C. 3D. 3-4. 我国古代学者庄子在《庄子 天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一指长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有1尺长的线段，每天取走它的12，m 天后剩下的线段长度不超过0.1寸(1尺10=寸)，则m 的最小值是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 85. 在等差数列{}n a 中，12024a =-，其前n 项和为n S ，且20102008220102008S S -=，则 2024S 的值等于（ ）A. 2023- B. 2024- C. 2023D. 20246. 已知tan tan 3αβ+=，()sin 2sin sin αβαβ+=，则()tan αβ+=（ ）A 4- B. 4C. 6-D. 67. 若函数32()132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极值点，则实数a 的取值范围是( )A. 2,52⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 102,3⎛⎫⎪⎝⎭D. 102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭8. 已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，π3A =，点Q 在边BC 上，且满足.(||||AB ACAQ AB AC λ=+（0λ>），AQ = 4b c + 的最小值是（ ）A. 32B. 36C. 72D. 80二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题中，是真命题的是（ ）A. 一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同B. 有A ，B ，C 三种个体按3:1:2的比例做分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30C. 若随机变量1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其数学期望()2E X =D. 若随机变量()2~2,X N σ，()10.68P X >=，则()230.18P x ≤<=10. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，712S S =，则（ ）A. 数列{}n a 是递减数列 B. 100a =C.0n S <时，n 最大值是18D. 216S S <11. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin tan cos cos B CA B C+=+，则下列结论正确的是（ ）A. π3A =B. sin sin B C +的取值范围是C. 若D 为边BC 上中点，且1AD =，则aD. 若ABC 面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为12. 已知函数()()f x g x ，的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()100f x g x +-='，()(4)100f x g x ---='，若()g x 为偶函数，则下列一定成立的有（ ）A. ()210f =B. 410f =（）C. (1)(3)f f ''-=- D. ()20230f '=第二部分 非选择题（共90分）的三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()()ln 2,0,3,0,x e x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则f (14)=_____14. 将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ= _____15.已知向量)a =，1b = ，22a b += ，则向量a 与a b +的夹角为__________．16. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列{}n x 满足()()()1n n n n f x x x n f x *+=-∈'N ，则称数列{}n x 为牛顿数列.如果函数()22f x x x =--，数列{}n x 为牛顿数列，设()1ln2n n n x a n x *+=∈-N 且11a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2x =_______，10S =____________.四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 设函数()22sin cos 2cos π4f x x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，π365f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2x 的值．18. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知43n n a S n -=．（1）证明：数列13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设()2log 31n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19. 为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是34，甲、丙两名同学都回答错误的概率是120，乙、丙两名同学都回答正确的概率是815.若各同学回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率；的（2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率.20. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，2π3ABC ∠=，1AB =．（1）若AC =，求ABC 面积；（2）若π3ADC ∠=，CD =，求tan CAD ∠．21. 已知等比数列{}n a 是递增数列，且1310a a +=，314S =.（1）求{}n a 通项公式；（2）在1a 和2a 之间插入1个数11b ，使1a 、11b 、2a 成等差数列；在2a 和3a 之间插入2个数21b 、22b ，使2a 、21b 、22b 、3a 成等差数列；…；在n a 和1n a +之间插入n 个数1n b 、2n b 、…、nn b ，使n a 、1n b 、2n b 、…、nn b 、1n a +成等差数列.若()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ，且()321nn n T n m -⋅<-⋅对*n ∈N 恒成立，求实数m 的取值范围.22. 已知函数()()21ln 12f x x m x mx =-++.（1）当0m >时，讨论函数()f x 单调性；（2）若函数()()212g x f x mx =-有两个零点1x ，2x ，且21e x x >，求证：122e 1x x >-(其中e 是自然对数的底数).的的海南中学2024届高三年级第3次月考数学试题卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合(){}ln 2|A x y x ==-，2{|9}B x x =<，则()R B A ⋂=ð（ ）A. （-3，2]B. [-3，2）C. （2，3]D. [2，3）【答案】D 【解析】【分析】分别求得集合{}|2A x x =<，{}3|3B x x =-<<，再结合集合的交集和补集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合(){}{}22||A x y ln x x x ==-=<，则{|2}R A x x =≥ð，又由{}2{|9}|33B x x x x =-=<<<，所以R B A = ð{|23}x x ≤≤．故选：D ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记对数的运算性质正确求解集合A ，再根据集合的交集、并集和补集的运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2. 已知i 为虚数单位，且复数z 满足()12i 1i z +=+，则z =（ ）A. 1 B. 2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】由题()()()()()1i 12i 1i 3i 12i 1i 12i 12i 12i 5z z +-+-+=+⇒===++-，则z ==.故选：D3. 已知点D 是ABC 所在平面内的一点，且2BD DC =-，设AD AB AC λμ=+ ，则λμ-=（ ）A. 32-B.23C. 3D. 3-【答案】D 【解析】【分析】由2BD DC =-，可得C 为BD 的中点，由图形结合平面向量基本定理用,AB AC 将AD 表示出来，再结合AD AB AC λμ=+，可求出,λμ的值，从而可求得答案【详解】由题意作图，因为2BD DC =-，所以C 为BD 的中点，所以22()2AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+，因为AD AB AC λμ=+，所以由平面向量基本定理可得1,2λμ=-=，所以3λμ-=-，故选：D4. 我国古代学者庄子在《庄子 天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一指长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有1尺长的线段，每天取走它的12，m 天后剩下的线段长度不超过0.1寸(1尺10=寸)，则m 的最小值是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】【分析】根据题意，得出不等式1()0.012m≤，结合指数幂的运算性质，即可求解.【详解】由题意知，m 田后剩下的弦长长度为1()2m，则1()0.012m≤，即11()2100m≤，因为N m *∈，所以7m ≥，即m 的最小值是7.故选：C.5. 在等差数列{}n a 中，12024a =-，其前n 项和为n S ，且20102008220102008S S -=，则 2024S 的值等于（ ）A. 2023- B. 2024- C. 2023D. 2024【答案】B 【解析】【分析】先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和的性质，得到n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，由题意，求出nS n，即可得出结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，()()111212nn n na dS d a n nn -+∴==+-，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为2d ，又20102008220102008S S -=，则222d⨯=，即2d =，又12024a =-，所以202412025n Sn n n =-+-=-，20242024202512024S∴=-=-，解得20242024S =-.故选：B.6. 已知tan tan 3αβ+=，()sin 2sin sin αβαβ+=，则()tan αβ+=（ ）A. 4- B. 4C. 6- D. 6【答案】C 【解析】【分析】利用和角的正弦公式、正切公式，结合同角公式求解即得.【详解】由()sin 2sin sin αβαβ+=，得sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβ+=，两边除以sin sin αβ，得sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβ+=，即有112tan tan αβ+=，又tan tan 3αβ+=，因此3tan tan 2αβ=，所以()tan tan 3tan 631tan tan 12αβαβαβ++===---.故选：C7. 若函数32()132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极值点，则实数a 取值范围是( )A. 2,52⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 102,3⎛⎫⎪⎝⎭D. 102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】求出函数的导数，依题意可得()f x '在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，参变分离可得1a x x =+，根据对勾函数的性质求出1x x+的取值范围，即可得到a 的取值范围，最后检验2a =时不符合题意，即可得解.【详解】解： 函数32()132x af x x x =-++，2()1f x x ax '∴=-+，若函数32()132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极值点，则2()1f x x ax '=-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，由210x ax -+=可得1a x x=+，因为()1g x x x =+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,3上单调递增，又()12g =，1522g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1033g =，所以()102,3g x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1023a ∴≤<，当2a =时，()2()10f x x '=-≥，不符合题意，所以实数a 的取值范围是102,3⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C ．8. 已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，π3A =，点Q 在边BC 上，且满足的(||||AB ACAQ AB AC λ=+（0λ>），AQ = 4b c + 的最小值是（ ）A. 32 B. 36C. 72D. 80【答案】B 【解析】【分析】根据向量关系，可得AQ 平分角BAC ∠，利用三角形面积公式求出,b c 的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】向量,||||AB ACAB AC分别是与向量,AB AC 同向的单位向量，由(||||AB AC AQ AB AC λ=+ （0λ>），得AQ 是ABC 的内角BAC ∠的平分线，则ABC ABQ ACQ S S S =+，而AQ =于是111sin 60sin 30sin 30222bc ︒=⨯︒+⨯︒，化简得()4bc b c =+，即1114b c +=，所以11444(4)(4(5)4(536b c b c b c bcc b +=++=++≥+=，当且仅当12b =，6c =时取等号，所以当12b =，6c =时，4b c + 取得最小值36.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题中，是真命题的是（ ）A. 一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同B. 有A ，B ，C 三种个体按3:1:2的比例做分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30C. 若随机变量1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其数学期望()2E X =D. 若随机变量()2~2,X N σ，()10.68P X >=，则()230.18P x ≤<=【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，计算出平均数，众数和中位数，得到A 正确；B 选项，计算出样本容量为18；C 选项，根据二项分布的数学期望公式求出答案；D 选项，利用正态分布的对称性得到概率.【详解】A 选项：平均数为：21435336+++++=，3出现了两次，出现次数最多，众数为3，将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，5.所以中位数为3332+=，故A 正确；B 选项：样本的容量为3918312÷=++，故B 错误；C 选项：由()1623E X =⨯=，故C 正确；D 选项：()()()()2312120.680.50.18P x P x P x P x ≤<=<≤=>->=-=，故D 正确.故选：ACD.10. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，712S S =，则（ ）A. 数列{}n a 是递减数列 B. 100a =C.0n S <时，n 的最大值是18D. 216S S <【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式可得19a d =-、0d >，结合通项公式和前n 项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由712S S =，得1176121171222a d a d ⨯⨯+=+，解得19a d =-，因为10a <，所以0d >.A ：由0d >，可得10n n a a d +-=>所以等差数列{}n a 为递增数列，故A 错误；B ：1019990a a d d d =+=-+=，故B 正确；C ：221(1)9(19)2222n n n n n dS na d nd d d n n -=+=-+-=-，由0nS <可得2190n n -<，所以019n <<，又N n *∈，所以n 的最大值是18，故C 正确；D ：2122(9)17S a d d d d =+=⨯-+=-，()16116151615161692422S a d d d d ⨯⨯=+=⨯-+=-，由0d >，得216S S >，故D 错误.故选：BC.11. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin tan cos cos B CA B C+=+，则下列结论正确的是（ ）A. π3A =B. sin sin B C +的取值范围是C. 若D 为边BC 上中点，且1AD =，则aD. 若ABC 面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数恒等变换化简已知式可判定A ，根据三角恒等变换及正弦函数性质求解范围可判定B ，由余弦定理、平面向量的线性运算及基本不等式可判定C ，由基本不等式及余弦定理可判定D.【详解】对于A 项，由sin sin sin tan cos cos cos B C AA B C A+==+得sin cos sin cos sin cos sin cos B A C A A B A C +=+，即()()sin sin B A A C -=-，因为(),,0,πA B C ∈，则()π,πB A A C --∈-，，若πB A A C -+-=显然不符题意，或者πB A A C -+-=-也不符合题意，所以B A A C -=-，即2πA B C A =+=-，所以π3A =，故A 正确；对于B 项，π3πsin sin sin sin sin 326B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2π03B <<，所以ππ5π666B <+<，所以1πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，sin sin B C <+≤sin sin B C +的取值范围是，故B 错误；对于C 项，由余弦定理知222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，又D 为边BC 上中点，所以2AD AB AC =+，所以22242cos AD b c bc A =++ ，所以2243b c bc bc =++≥，所以43bc ≤，当且仅当b c =时，取得等号，所以2224423a b c bc bc =+-=-≥，所以min a =，故C 正确；对于D 项，不妨设a b c 、、三边上的高分别123h h h 、、，则123222,,h h h a b c===，又1sin 12ABC S bc A ==，所以bc =()212322226412h h h a b c a ==，根据余弦定理知222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥=，所以212a ≤，当且仅当b c =时，取得等号，故D 正确故选：ACD12. 已知函数()()f x g x ，的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()100f x g x +-='，()(4)100f x g x ---='，若()g x 为偶函数，则下列一定成立的有（ ）A. ()210f =B. 410f =（）C. (1)(3)f f ''-=- D. ()20230f '=【答案】ABC 【解析】【分析】由()g x 是偶函数得出()g x '是奇函数，由已知两条件推出()g x '是以4为周期的函数，进而可得()f x '为周期为4的偶函数，然后赋值法逐项分析即得．【详解】因为()g x 是偶函数，则()()g x g x -=，两边求导得()()g x g x ''--=，所以()g x '是奇函数，故(0)0g '=，由()()100g x f x -'+=，()()1004g f x x '---=，得()10()(4)f x g x g x ''-=-=-，即()(4)g x g x ''-=-+，所以()g x '是周期函数，且周期为4，(0)(4)0g g ''==，(2)(24)(2)(2)g g g g ''''=-=-=-，所以(2)0g '=，对选项A ：由()()100g x f x -'+=，令2x =得，()()22100g f +-='，所以()210f =，故A 正确；对选项B ：由()()1004g f x x '---=，令4x =得，()()04100g f --='，故()410f =，所以B 正确；.对选项C ：由()()100g x f x -'+=，可得()()44100x x g f '--+-=，又()()1004g f x x '---=，所以()(4)20f x f x +-=，又()g x '是奇函数，()()()()10100f x f x g x g x ''-+-=---=-，所以()()20f x f x +-=，又()(4)20f x f x +-=，所以()(4)f x f x -=-，即()(4)f x f x =+，所以()(4)f x f x ''=+，()()0f x f x ''--=，()()f x f x ''=-，所以函数()f x '为周期为4的偶函数，所以()()()133f f f ''-==-'，故C 正确；对选项D ：()()()2023345053f f f '⨯+=''=，由题得不出(3)0f '=，所以()20230f '=不一定成立，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数()g x '的奇偶性及周期性，进而得到函数()f x '的性质，然后利用赋值法求解.第二部分 非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()()ln 2,0,3,0,x e x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则f (14)=_____【答案】2e【解析】【分析】根据分段函数，由()()()143511f f f =⨯-=-求解.【详解】解：因为函数()()ln 2,03,0x e x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，所以()()()2ln1ln 2e2143511eeef f f -+=⨯-=-===，故答案：2e为14. 将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ= _____【答案】5π12【解析】【分析】利用三角函数平移变换求出()g x ，然后根据奇偶性求出参数ϕ的值.【详解】将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得()()ππsin 2sin 2233g x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()g x 为偶函数，即0x =为()g x 对称轴，所以Z 2ππ2π,3k k ϕ-=+∈，化简得π,Z 2k k ϕ=∈，因π02ϕ<<，所以125πϕ=.故答案为：5π1215. 已知向量)a = ，1b = ，22a b += ，则向量a 与a b +的夹角为__________．【答案】30︒【解析】【分析】根据已知，利用向量的模长、夹角公式、向量的坐标表示以及向量的运算律计算求解.【详解】因为22a b += ，所以()224a b +=，所以22444a b a b ++⋅=，又)a =，1b = ，所以2a = ，所以4444a b ++⋅=，所以1a b ⋅=- ，所以a b +====，又()23a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以向量a 与a b +的夹角为()a ab a ba⋅+==+，因为向量a 与a b + 的夹角范围为：0,180a b ︒≤≤︒，为所以向量a 与a b +的夹角为30︒.故答案为：30︒.16. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列{}n x 满足()()()1n n n n f x x x n f x *+=-∈'N ，则称数列{}n x 为牛顿数列.如果函数()22f x x x =--，数列{}n x 为牛顿数列，设()1ln2n n n x a n x *+=∈-N 且11a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2x =_______，10S =____________.【答案】 ①. 222e 1e 1+- ②. 1023【解析】【分析】对函数求导，结合已知得21221n n n x x x ++=-，进而求得12n n a a +=，根据等比数列定义及前n 项和求10S 、2a ，最后求2x 即可.【详解】因为()22f x x x =--，则()21f x x '=-，则()()221222121+'--+=-=-=--n n n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x ，又1ln 2n n n x a x +=-，所以22112212211121211ln ln ln 2ln 22442222121n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x a a x x x x x x x ++++++++--+=====+-+-----，又11a =，所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a -=，所以，122112n n n S -==--，即101021102411023S =-=-=，因为22212ln2x a x +==-，即2221e 2x x +=-，解得2222e 1e 1x +=-.故答案为：222e 1e 1+-；1023.四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 设函数()22sin cos 2cos π4f x x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，π365f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2x 的值．【答案】（1）()ππππ44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，. （2【解析】【分析】（1）根据题意，由降幂公式化简即可得到函数()f x 的解析式，再由正弦型函数的单调区间，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得πcos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由余弦和差角公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意得：()πsin 21cos 2sin 21sin 22sin 212f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由()ππ2π22π22k x k k -+≤≤+∈Z ，可得()ππππ44k x k k -+≤≤+∈Z ；所以()f x 的单调递增区间是()ππππ44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，.【小问2详解】∵ππ32sin 21635f x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴π4sin 235x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， ∴π2ππ2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∵πsin 203x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， ∴ππ0233x <+<，∴π3cos 235x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．的18. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知43n n a S n -=．（1）证明：数列13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设()2log 31n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析 （2）()41n nT n =+【解析】【分析】（1）当1n =时，求出1a 的值，当2n ≥时，由43n n a S n -=可得出11431n n a S n ---=-，两式作差可得出111433n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）由（1）中的结论可求出数列{}n a 的通项公式，可求得n b 的表达式，再利用裂项相消法可求得n T .【小问1详解】证明：已知43n n a S n -=①，当2n ≥时，11431n n a S n ---=-②，①-②得：14431n n n a a a ---=，即141n n a a -=+，所以，1114144333n n n a a a --⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，当1n =时，则111431a a S =-=，则11433a +=，所以，数列13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为43，公比为4的等比数列．【小问2详解】解：由（1）可知，111144333n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，则413n n a -=，所以，()22log 31log 42nn n b a n =+==，所以，()()11111112224141n n b b n n n n n n +⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，()122311111111111111422314141n n n n T b b b b b b n n n n +⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.19. 为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党的知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是34，甲、丙两名同学都回答错误的概率是120，乙、丙两名同学都回答正确的概率是815.若各同学回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率.【答案】（1）23和45（2）56【解析】【分析】（1）记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A ，B ，C ，根据相互独立事件的概率乘法公式，列出方程组，即可求解；（2）根据独立事件的概率乘法公式，分别求得0名同学回答正确和1名同学回答正确的概率，结合对立事件的概率公式，即可求解.【小问1详解】记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A ，B ，C ，则()34P A =，()()120P A P C =，()()815P B P C =，即()()()11111420P A P C P C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以()23P B =，()45P C =，所以乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率为23和45.【小问2详解】有0名同学回答正确的概率01111()()((43560P P ABC P A P B P C ==⋅⋅=⨯⨯=，有1名同学回答正确的概率13111211149()43543543560P P ABC ABC ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以不少于2名同学回答正确这道题的概率01191051116060606P P P =--=--=-=.20. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，2π3ABC ∠=，1AB =．（1）若AC =，求ABC 的面积；（2）若π3ADC ∠=，CD =，求tan CAD ∠．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理求出BC ，再利用面积公式即可求出结果；（2）在ACD 和ABC中，利用正弦定理，建立等量关系πsin 3AC =和12ππsin sin 36AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得到πsin 6θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再化简即可得出结果.【小问1详解】因为2π3ABC ∠=，1AB =，AC =，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯⨯∠，所以271BC BC =++，即260BC BC +-=，解得2BC =，所以11sin 1222ABCS AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=△．【小问2详解】设CAD θ∠=，在ACD 中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，所以πsin 3AC =①，在ABC 中，π2BAC θ∠=-，π6BCA θ∠=-，则sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即12ππsin sin 36AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭②1πsin 6θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即πsin 6θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos )sin 2θθθ-=，整理得2sin θθ=，所以tan CAD ∠=．21. 已知等比数列{}n a 是递增数列，且1310a a +=，314S =.（1）求{}n a 通项公式；（2）在1a 和2a 之间插入1个数11b ，使1a 、11b 、2a 成等差数列；在2a 和3a 之间插入2个数21b 、22b ，使2a 、21b 、22b 、3a 成等差数列；…；在n a 和1n a +之间插入n 个数1n b 、2n b 、…、nn b ，使n a 、1n b 、2n b 、…、nn b 、1n a +成等差数列.若()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ，且()321nn n T n m -⋅<-⋅对*n ∈N 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2n n a = （2）93m -<<【解析】【分析】（1）由等边数列的通项与前n 项和列式解出122a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，再由{}n a 是递增数列，得出122a q =⎧⎨=⎩，即可得出答案；（2）若n a 、1n b 、2n b 、…、nn b 、1n a +成等差数列，设其公差为d ，即可得出1n n b a d =+，1nn n b a d +=-，结合等差数列前n 项和得出11232n n nn n b n b b -=+⋅+ ，即可根据错位相减法得出n T ，则33232n n n T n -⋅-⨯+=，令332n n c =-+⨯，则数列{}n c 为递减数列，即可结合已知列不等式得出答案.【小问1详解】设{}n a 的公比为q ，由1310a a +=，314S =得：21121111014a a q a a q a q ⎧+=⎨++=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为{}n a 是递增数列，所以1q >，则122a q =⎧⎨=⎩，所以1222n n n a -=⨯=.【小问2详解】在n a 和1n a +之间插入n 个数1n b 、2n b 、…、nn b ，使n a 、1n b 、2n b 、…、nn b 、1n a +成等差数列，设其公差为d ，此数列首项为2n n a =，末项为112n n a ++=，则1n n b a d =+，1nn n b a d +=-，则11112()(22)3222n n n n n n n n n b a b b n d a d n n +-+-+++++===⋅ 又()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ,则11332262n n T n -+⋅=⨯+⨯+ ,122326322nn n T =⨯+⨯+⋅+ 则()012132232322n nn T n -=-⨯-+++⋅ ()()12133333123222n nnn n --=--⨯+⋅=-+-，则33232n nnT n -⋅-⨯+=，令332n n c =-+⨯，则数列{}n c 为递减数列，由()321nn n T n m -⋅<-⋅对*n ∈N 恒成立，则当n 为偶数时，332n m ->+⨯对*n ∈N 恒成立，则29m c >=-；当n 为奇数时，332n m ⨯->-+对*n ∈N 恒成立，则13m c ->=-，即3m <，综上实数m 的取值范围为93m -<<.22. 已知函数()()21ln 12f x x m x mx =-++.（1）当0m >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()212g x f x mx =-有两个零点1x ，2x ，且21e x x >，求证：122e 1x x >-(其中e 是自然对数的底数).【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的定义域与导函数，再对m 分类讨论，分别求出函数的单调区间；（2）由题意，1x ，2x 是方程()ln 10x m x -+=的两个根，即可得到12121212ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，令21x t x =则t e >，则121ln ln ln 1tx x t t ++=⋅-，只需证明当t e >时，不等式11ln 12t t t +⋅>-成立即可.【小问1详解】函数()()21ln 12f x x m x mx =-++的定义域为()0,∞+，则()()()()()2111111mx m x mx x f x m mx x x x-'++--=-++==，当0m >时令()()110mx x --=，解得1x =或1x m=，当11m =，即1m =时()()210x f x x-'=≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当101m <<即1m >时，令()0f x ¢>，解得10x m <<或1x >，则()f x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，令()0f x '<，解得11x m <<，则()f x 在1,1m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当01m <<即11m >时，令()0f x ¢>，解得01x <<或1x m >，则()f x 在()0,1，1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<，解得11x m <<，则()f x 在11,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；综上可得， 当1m =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在1,1m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当01m <<时，()f x 在()0,1，1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】因为()()()21ln 12g x f x mx x m x =-=-+，由题意1x ，2x 是方程()ln 10x m x -+=的两个根，()11ln 10x m x ∴-+=①，()22ln 10x m x -+=②，①②两式相加，得1212ln ln 1x x m x x ++=+③，①②两式相减，得1212ln ln 1x x m x x -+=-④，联立③④，得12121212ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，221211221221111ln ln (ln ln )ln 1x x x x xx x x x x x x x x ++∴+=-=⋅--，设21x t x =，21e 0x x >> ，e t ∴>，121ln ln ln 1t x x t t +∴+=⋅-，()e,t ∈+∞，因为()()22e e 1 2.7 2.717.8034->⨯-=>)e 12->，则122e e 1>-，若1212e x x >，则一定有122e 1x x >-，∴只需证明当t e >时，不等式121ln ln 2x x +>成立即可，即不等式11ln 12t t t +⋅>-成立，即不等式()1ln 21t t t ->+成立，设函数()1()ln 21t t t t ϕ-=-+，()()()()()22222131********t t t t t t t t t t ϕ'⎛⎫++ ⎪+-⎝⎭=-==>+++，∴在[)e,+∞上单调递增，故t e >时，()()()e 3e 02e 1t ϕϕ+>=>+，即证得()1ln 21t t t ->+成立，即证得当t e >时，11ln 12t t t +⋅>-，即证得121ln ln 2x x +>，121ln 2x x ∴>，即证得1212e x x >，则122e 1x x >-．【点睛】思路点睛：本题第二问是导数应用中的函数零点，双变量问题.根据函数零点的定义可得()11ln 10x m x -+=，()22ln 10x m x -+=，两式相加，相减运算可得，12121212ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，即得221122111ln ln ln 1x x x x x x x x ++=⋅-，令21x t x =，即121ln ln ln 1t x x t t ++=⋅-，又易证122e e 1>-，只需证明当t e >时，不等式11ln 12t t t +⋅>-成立即可，即不等式()1ln 21t t t ->+成立，构造函数()1()ln 21t t t t ϕ-=-+，用导数证明即可.。

南充高中高2011级第三次月考数 学 试 题（文）出题人：杜江 审题人：朱鑫 满分：150分第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一 选择题1、i 是虚数单位，复数1i-= （ ） A i B -i C 2i D －2i 2、直线y x =与10kx y ++=垂直，则实数k 的值是 （ ）A1- B 1 C 2- D123、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．54、某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )5、命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是( )A 若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数B 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数C 若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数D 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 6、执行右图的程序框图，则输出的结果为 （ ）A ．66B ．64C ．62D ．607、“0=a ”是“函数),0()(2+∞+=在区间ax x x f 上是增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8、已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（ ）A 22 B332 C 324 D334 9、如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为( )A ．2B ．1C ．2-D ．3-10、设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab，那么( )A.a b ab a a<< B.b a a a b a << C a a b b a a << D.aa b a b a <<第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二 填空题11、sin 3____0 (填＞，＜或=)12、9(1)x +的展开式中3x 的系数是_________．（用数字作答） 13、设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，8BC =，AB AC AB AC+=-，则AM =_________．14、圆222212:1,:(2)4O xy O x y +=-+=的公共弦长为_________．15、大正方形内部共有6个小正方形区域，若能够在大正方形内部用3条不相交的连续曲线（该曲线也不能与其它四个正方形相交）将2个A 号区域，2个B 号区域，2个C 号区域分别连接起来，则称该图形是“可以联通的”，否则称为“不可联通的”，则下图中，“不可联通的”图形的序号是A ABBC CAABBC C①②AA BBC CAABBCC③ ④三 解答题16、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：（Ⅱ）求一个月内被消费者投诉不超过2次的概率。