高三数学上期第三次月考试题

***学校高三（上期）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）)1. 已知全集U=R，集合A={x||x−1|<1}，B={x|2x−5x−1≥1}，则A∩∁U B=( )A.{x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x<2}D.{x|1≤x<4}2. 设m∈R，则“m＝−3”是“直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行”的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件3. 函数f(x)=e x+1x3(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B.C. D.4. 已知棱长为的正方体ABCD−A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半球底面上，四个顶点A，B，C，D都在半球面上，则半球体积为（）A.4B.2C.D.5. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acos A =3c−2bcos B，且b=√5sin B，则a＝（）A.5 3B.23C.35D.2√536. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈[0, +∞)时，f(x)+xf′(x)>0，若a ＝0.76f(0.76)，b＝(log0.76)f(log0.76)，c＝60.6⋅f(60.6)，则a，b，c的大小关系是（）A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c7. 设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，若cos∠AF2B=35，则椭圆E的离心率为（）A.1 2B.23C.√32D.√228. 已知函数f(x)＝cos(2x−）+2sin(x−）sin(x+）(x∈R)．给出下面四个结论：①f(x)是最小正周期为π的奇函数；②f(x)图象的一条对称轴是；③f(x)图象的一个对称中心是；④f(x)的单调递增区间为．其中正确的结论是（）A.①③B.②③C.②③④D.①②③9. 已知函数f(x)={x2+4a,x>01+log a|x−1|,x≤0(a>0，且a≠1)在R上单调递增，且关于x的方程|f(x)|＝x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A.(34, 1316] B.(0, 34]∪{1316}C.[14, 34)∪{1316} D.[14, 34]∪{1316}二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）)10. 若，则z的共轭复数为________．11. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．12. 已知圆C的圆心在直线x+y＝0上，圆C与直线x−y＝0相切，且在直线x−y−3＝0上截得的弦长为√6，则圆C的方程为________．13. 已知a∈R，设函数f(x)＝，若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为________．14. 在直角三角形ABC中，∠ACB＝90∘，AC＝4，＝2，＝3，则＝________．15. 已知正数x，y满足x2y+4xy2+6xy＝x+4y，则xyx+4y 的最大值为________18．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）)16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B2=√66，b sin A=√6a sin C，c=1．（1）求a的值和△ABC的面积；（2）求sin(2A+π3)的值．17. 在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足＝0．(Ⅰ)求证：DE // 平面PBC；(Ⅱ)求二面角F−PC−B的余弦值；(Ⅲ)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长是2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．19. 已知等比数列{a n}的公比q>0，且满足a1+a2＝6a3，a4＝4a32，数列{b n}的前n项和S n＝，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设c n＝，求数列{c n}的前2n项和T2n．20. 已知f(x)＝x2−4x−6ln x．(Ⅰ)求f(x)在（1, f(1)）处的切线方程以及f(x)的单调性；(Ⅱ)对∀x∈(1, +∞)，有xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12恒成立，求k的最大整数解；(Ⅲ)令g(x)＝f(x)+4x−(a−6)ln x，若g(x)有两个零点分别为x1，x2(x1<x2)且x0为g(x)的唯一的极值点，求证：x1+3x2>4x0．参考答案与试题解析**8学校高三（上）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x≥4}；∴∁U B={x|1≤x<4}，∴A∩∁U B={x|1≤x<2}．故选C.2.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行，可得且，解出即可判断出．【解答】直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行，则且，解得m＝−3，因此“m＝−3”是“直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1”平行的充要条件．3.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f(x)→0，排除B，由此得到答案．【解答】f(−x)=e−x+1(−x)3(e−x−1)=−1+e xx3(1−e x)=e x+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3(e x−1)>>e x+1，f(x)→0，故排除B．4.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积棱柱的结构特征【解析】先求正方体的底面对角线的长，再求球的半径，然后求半球的体积．【解答】正方体的顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，底面ABCD的中心到上底面顶点的距离就是球的半径＝，半球的体积：×π×（）3＝2π．5.【答案】A【考点】正弦定理【解析】由正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得3sin C cos A＝2sin C，结合sin C≠0，可得cos A，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，由正弦定理可求a的值．【解答】∵2acos A =3c−2bcos B，可得：2a cos B＝3c cos A−2b cos A，∴由正弦定理可得：2sin A cos B＝3sin C cos A−2sin B cos A，可得3sin C cos A＝2(sin A cos B+ sin B cos A)＝2sin C，∵sin C≠0，可得：cos A=23，∴sin A=√1−cos2A=√53，又∵b=√5sin B，∴由正弦定理asin A =bsin B，可得：√53=bsin B=√5，可得：a=53．6.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】椭圆的离心率椭圆的定义余弦定理【解析】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由cos∠AF2B=35，利用余弦定理，可得a＝3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．【解答】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a−3k，|BF2|＝2a−k∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，化简可得(a+k)(a−3k)＝0，而a+k>0，故a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴椭圆的离心率e=ca =√22，8.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用三角函数中的恒等变换应用【解析】本题考查两角和与差的三角函数及辅助角公式，同时考查函数y＝A sin(ωx+φ)的图象与性质，利用两角和与差的三角函数及辅助角公式化简f(x)，然后由正弦函数的性质，逐一分析求解即可．【解答】∵＝，∴f(x)不是奇函数，故①不正确．∵，∴直线是f(x)图象的一条对称轴，故②正确．∵，∴点是f(x)图象的一个对称中心，故③正确，令，可得，所以f(x)的单调递增区间为，故④不正确．所以正确的结论为②③．9.【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】由题意可知f(x)在两段上均为增函数，且f(x)在(0, +∞)上的最小值大于或等于f(0)，作出|f(x)|和y＝x+3的图象，根据交点个数判断4a与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．【解答】由1+loga |x−1|＝0，解得x＝1−1a≤−3，即x≤0时，有且只有一解．则a的范围是[14, 34]∪{1316}．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.【答案】1−3i【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则求出z，由此能求出z的共轭复数．【解答】＝，∴z的共轭复数为1−3i．11.【答案】43【考点】柱体、锥体、台体的体积计算由三视图求外接球问题【解析】本题主要考查空间几何的体积．【解答】解：正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是√2，则该正八面体的体积为1 3×(√2)2×2=43．故答案为：43．12.【答案】(x−1)2+(y+1)2＝2【考点】直线与圆的位置关系【解析】设圆心为C(a, b)，半径为r，由题意可得关于a，b，r的方程组，求解可得a，b，r的值，则圆的方程可求．【解答】设圆心为C(a, b)，半径为r，由题意可得，{a+b=0 r=√2(√2)2+(√62)2=r2，解得{a=1b=−1r=√2．∴圆C的方程为(x−1)2+(y+1)2＝2．13.[0, 2e]【考点】函数恒成立问题分段函数的应用【解析】按照x≤1与x>1分类讨论，分别分离变量、求最值即可．【解答】当x<1时，f(x)≥0化为恒成立，，∵x<1，∴x−1<0，∴，∴，当且仅当即x＝0时取等号．∴a≥0(1)当x>1时，f(x)≥0化为恒成立．设，，∴当∈(1, e)时，，g(x)单调递减，当∈(e, +∞)时，，g(x)单调递增，∴g(x)≥g(e)＝e+e＝2e，∴a≤2e．综上，a∈[0, 2e]．故答案为[0, 2e]．14.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角如图所示，设B(0, a)，利用向量的线性运算和数量积运算即可得出．【解答】建立如图所示的坐标系，则由题意可得A(4, 0)，C(0, 0)，设B(0, a)．又∵＝2，∴＝（，）；∵＝3，∴＝+＝+•＝(−2，），∴则＝4×−2×4＝，15.【答案】18【考点】基本不等式及其应用【解析】令x+4y＝t，则由条件可得xyx+4y =1t+6，然后根据条件出t的范围，进一步求出xyx+4y的最大值．【解答】∵正数x，y满足x2y+4xy2+6xy＝x+4y，∴xy(x+4y+6)＝x+4y，∴xy=x+4yx+4y+6．令x+4y＝t，则xy=tt+6且t>0，∵x+4y≥2√4xy=4√xy，当且仅当x＝4y时取等号，∴t≥4√tt+6，即t2+6t−16≥0，∴t≥2或t≤−8（舍），∴xyx+4y =1t+6≤18，∴xyx+4y 的最大值为18．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.【答案】解：(1)△ABC中，sin B2=√66，∴cos B2=√1−sin2B2=√306，∴sin B=2sin B2cos B2=√53，cos B=1−2sin2B2=23，∴B为锐角．∵b sin A=√6a sin C，利用正弦定理可得sin B sin A=√6sin A sin C，∴sin C=√6=√3018<sin B，故C为锐角，cos C=√1−sin2C=7√618，∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=√53×7√618+23×√3018=√306．再根据c=1，利用正弦定理asin A =csin C，可得√306=√3018，求得a=3，故△ABC的面积为S=12ac⋅sin B=12×3×1×√53=√52．（2）∵cos A=−cos(B+C)=sin B sin C−cos B cos C=√53×√3018−23×7√618=−√66，∴sin A=√1−cos2A=√306，cos2A=1−2sin2A=1−2×3036=−23，∴sin(2A+π3)=sin2A cosπ3+cos2A sinπ3=√306×12−23×√32=√30−4√312．【考点】求两角和与差的正弦两角和与差的余弦公式【解析】（1）△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin B、cos B的值，再利用正弦定理求得sin C的值，可得cos C的值，可得sin A=sin(B+C)的值，再利用正弦定理求得a的值．（2）求得cos A=−cos(B+C)的值，可得sin A的值，求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2A+π3)的值．【解答】解：(1)△ABC中，sin B2=√66，∴cos B2=√1−sin2B2=√306，∴sin B=2sin B2cos B2=√53，cos B=1−2sin2B2=23，∴B为锐角．∵b sin A=√6a sin C，利用正弦定理可得sin B sin A=√6sin A sin C，∴sin C=√6=√3018<sin B，故C为锐角，cos C=√1−sin2C=7√618，∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=√53×7√618+23×√3018=√306．再根据c=1，利用正弦定理asin A =csin C，可得√306=√3018，求得a=3，故△ABC的面积为S=12ac⋅sin B=12×3×1×√53=√52．（2）∵cos A=−cos(B+C)=sin B sin C−cos B cos C=√53×√3018−23×7√618=−√66，∴sin A=√1−cos2A=√306，cos2A=1−2sin2A=1−2×3036=−23，∴sin(2A+π3)=sin2A cosπ3+cos2A sinπ3=√306×12−23×√32=√30−4√312．17.【答案】证明：(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM，∵在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，∴CD // AB，且CD＝，EM // AB，且EM＝，∴EM // CD，且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE // CM，∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（1）证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，E（），＝(−1, −1, 0)，＝(0, −1, 1)，设平面PBC的法向量为＝(x, y, z)，则，取y＝1，得＝(−1, 1, 1)，又＝（），∴＝0．又DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（2）设点F(1, t, 0)，则＝(1, t−1, 0)，＝(1, 2, 0)，∵＝0，∴＝1+2(t−1)＝0．解得t＝，∴F(1，，0)，，＝(0, 1, −1)，设平面FPC的法向量＝(x, y, z)，由，得，取x＝1，得＝(1, 2, 2)，设二面角F−PC−B的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角F−PC−B的余弦值为．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，∴＝，∴＝λ−1，∴cos<>＝＝，∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，∴||＝，解得，或（舍），∴在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，＝（-），|AQ|＝．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行【解析】(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM推导出四边形CDEM为平行四边形，从而DE // CM，由此能证明DE // 平面PBC．证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE // 平面PBC．(Ⅱ)设点F(1, t, 0)，求出平面FPC和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角F−PC−B的余弦值．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，利用向量法能求出在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，|AQ|＝．【解答】证明：(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM，∵在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，∴CD // AB，且CD＝，EM // AB，且EM＝，∴EM // CD，且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE // CM，∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（1）证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，E（），＝(−1, −1, 0)，＝(0, −1, 1)，设平面PBC的法向量为＝(x, y, z)，则，取y＝1，得＝(−1, 1, 1)，又＝（），∴＝0．又DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（2）设点F(1, t, 0)，则＝(1, t−1, 0)，＝(1, 2, 0)，∵＝0，∴＝1+2(t−1)＝0．解得t＝，∴F(1，，0)，，＝(0, 1, −1)，设平面FPC的法向量＝(x, y, z)，由，得，取x＝1，得＝(1, 2, 2)，设二面角F−PC−B的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角F−PC−B的余弦值为．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，∴＝，∴＝λ−1，∴cos<>＝＝，∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，∴||＝，解得，或（舍），∴在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，＝（-），|AQ|＝．18.【答案】（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（2）由(Ⅰ)知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0, −1)．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx−1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用-代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即>，整理得4k4−k2−14<0，解得-<k2<2所以0<k2<2，即-<k<0或0<k<．从而k的取值范围为（-，0)∪(0，）．【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)根据椭圆C的离心率为，短轴长是2，结合a2＝b2+c2，即可求出a，b的值；(Ⅱ)设l1的方程为y＝kx−1，代入入+y2＝1，求出M的坐标，可得DM，用-代k得DN＝，求出△DMN的面积，＝，可得>，从而可求k的取值范围．【解答】（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（2）由(Ⅰ)知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0, −1)．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx−1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用-代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即>，整理得4k4−k2−14<0，解得-<k2<2所以0<k2<2，即-<k<0或0<k<．从而k的取值范围为（-，0)∪(0，）．19.【答案】（1）依题意，由a1+a2＝8a3，a4＝2a32，可得，解得q＝，a1＝，∴a n＝•（）n−1＝（）n，n∈N∗，对于数列{b n}：当n＝1时，b3＝S1＝1，当n≥7时，b n＝S n−S n−1＝-＝n，∵当n＝6时，b1＝1也满足上式，∴b n＝n，n∈N∗．（2）由题意及(Ⅰ)，可知当n为奇数时，c n＝•a n+7＝×（）n+3＝-，当n为偶数时，c n＝a n⋅b n＝n⋅（）n，令A＝c5+c3+...+c2n−2，B＝c2+c4+...+c8n，则A＝c1+c3+...+c4n−1＝-+-+…+-＝-＝-，B＝c6+c4+c6+...+c2n＝2⋅（）2+4⋅（）4+2⋅（）8+...+2n⋅（）2n，∴（）2B＝2⋅（）4+2⋅（）2+...+(2n−2)⋅（）2n+7n⋅（）7n+2，两式相减，可得B＝2⋅（）2+2⋅（）4+3⋅（）2+...+2⋅（）2n−2n⋅（）2n+6，＝（）3+（）7+（）5+...+（）3n−1−2n⋅（）2n+2，＝−2n⋅（）2n+7，＝−(n+）•（）2n+2+，∴B＝-•（）2n−6+，∴T8n＝c1+c2+...+c5n＝(c1+c3+...+c8n−1)+(c2+c3+c6+...+c2n)＝A+B＝--•（）2n−1+＝-（+）2n−2．【考点】数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】（1）f(x)＝x2−4x−6ln x的导数为f′(x)＝2x−4−，可得f′(1)＝−8，f(1)＝−3，所以f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y+3＝−8(x−1)即y＝−8x+5；由f′(x)＝(x+1)(x−3)，由f′(x)>0，可得x>3；由f′(x)<0，可得0<x<3，所以f(x)的单调递减区间为(0, 3)，单调递增区间为(3, +∞)；（2）xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，ℎ′(x)＝，记m(x)＝x−2−ln x，m′(x)＝1−>0，所以m(x)为(1, +∞)上的递增函数，且m(3)＝1−ln3<0，m(4)＝2−ln4>0，所以∃x0∈(3, 4)，m(x0)＝0，即x0−2−ln x0＝0，所以ℎ(x)在(1, x0)上递减，在(x0, +∞)上递增，且ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝＝x0∈(3, 4)，所以k的最大整数解为3；(Ⅲ)证明：g(x)＝x2−a ln x，g′(x)＝2x−＝＝0，可得x0＝，当x∈(0，），g′(x)<0，x∈（，+∞)，g′(x)>0，所以g(x)在(0，）上单调递减，（，+∞)上单调递增，而要使g(x)有两个零点，要满足g(x0)<0，即g（）＝（）2−a ln<0可得a>2e，因为0<x1<，x2>，令＝t(t>1)，由f(x1)＝f(x2)⇒x12−a ln x1＝x22−a ln x2，即x12−a ln x1＝t2x12−a ln tx1⇒x12＝，而x1+3x2>4x0⇔(3t+1)x1>2⇔(3t+1)2x12>8a，即(3t+1)2•>8a，由a>0，t>1，只需证(3t+1)2ln t−8t2+8>0，令ℎ(t)＝(3t+1)2ln t−8t2+8，则ℎ′(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，令n(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，则n′(t)＝18ln t+11+>0(t>1)，故n(t)在(1, +∞)上递增，n(t)>n(1)＝0；故ℎ(t)在(1, +∞)上递增，ℎ(t)>ℎ(1)＝0；∴x1+3x2>4x0．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；(Ⅱ)xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得ℎ(x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；(Ⅲ)求得g(x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a>2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证．【解答】（1）f(x)＝x2−4x−6ln x的导数为f′(x)＝2x−4−，可得f′(1)＝−8，f(1)＝−3，所以f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y+3＝−8(x−1)即y＝−8x+5；由f′(x)＝(x+1)(x−3)，由f′(x)>0，可得x>3；由f′(x)<0，可得0<x<3，所以f(x)的单调递减区间为(0, 3)，单调递增区间为(3, +∞)；（2）xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，ℎ′(x)＝，记m(x)＝x−2−ln x，m′(x)＝1−>0，所以m(x)为(1, +∞)上的递增函数，且m(3)＝1−ln3<0，m(4)＝2−ln4>0，所以∃x0∈(3, 4)，m(x0)＝0，即x0−2−ln x0＝0，所以ℎ(x)在(1, x0)上递减，在(x0, +∞)上递增，且ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝＝x0∈(3, 4)，所以k的最大整数解为3；(Ⅲ)证明：g(x)＝x2−a ln x，g′(x)＝2x−＝＝0，可得x0＝，当x∈(0，），g′(x)<0，x∈（，+∞)，g′(x)>0，所以g(x)在(0，）上单调递减，（，+∞)上单调递增，而要使g(x)有两个零点，要满足g(x0)<0，即g（）＝（）2−a ln<0可得a>2e，因为0<x1<，x2>，令＝t(t>1)，由f(x1)＝f(x2)⇒x12−a ln x1＝x22−a ln x2，即x12−a ln x1＝t2x12−a ln tx1⇒x12＝，而x1+3x2>4x0⇔(3t+1)x1>2⇔(3t+1)2x12>8a，即(3t+1)2•>8a，由a>0，t>1，只需证(3t+1)2ln t−8t2+8>0，令ℎ(t)＝(3t+1)2ln t−8t2+8，则ℎ′(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，令n(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，则n′(t)＝18ln t+11+>0(t>1)，故n(t)在(1, +∞)上递增，n(t)>n(1)＝0；故ℎ(t)在(1, +∞)上递增，ℎ(t)>ℎ(1)＝0；∴x1+3x2>4x0．。

2021-2022年高三数学上学期第三次月考试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【解析】试题分析：因,故,故应选C.2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】试题分析：，所以复数在复平面上所对应的点位于第二象限，选B ．3.若复数a i i a 为纯虚数，则实数+-1的值为A ．B ．0C ．1D ．－1 【解析】试题分析：()()()()()()2111111ia a i i i i a i i a z +--=-+--=+-=，若为纯虚数，则，所以，故选C.4. 向量，，若，则（ ）A ．2B ．C ．D ．【解析】试题分析：22()(2)()(2)02(2)0a b a b a b a b a b a b λλλλ-⊥+⇒-⋅+=⇒-+-⋅=221(2)(1)03λλλ⇒⨯-⨯+--=⇒=，选C ．5.设，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据指数函数与对数函数的性质，可知，，，所以，故选C.考点：指数函数与对数函数的性质.6.函数在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-17 B．3,-17 C．1，-1 D．9，-19【解析】试题分析：由，得，当时，，当时，，当时，，故的极小值、极大值分别为，，而，，故函数在上的最大值、最小值分别是、，故选项为B.7.函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为A． B． C． D.．【解析】试题分析：相邻两个对称中心间的距离为半个周期，所以,故选B.8.函数的一个零点落在下列哪个区间A． B． C． D．试题分析：，即，所以在上有一个零点．故选B．9.已知函数，则函数的图象（）A ．最小正周期为B ．关于点对称C ．在区间上为减函数D ．关于直线对称 【答案】D10. 如图，已知点O 是边长为1的等边三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)等于( )A.19 B ．－19 C.16D ．－16解析：由题意知，(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝(－OC →)·(－OB →)＝|OC →|·|OB →|cos120°＝32×23×32×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. 答案：D11. 函数的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】试题分析：函数的定义域为，并且，令，解得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，而()02ln 22ln 12222ln 22222>=--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ee e e e e ef ，所以函数与x 轴没有交点，即函数零点的个数为0，故选A.12. 若函数在区间[0,1]单调递增，则的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．【解析】试题分析：，因为在上单调递增，所以即在上恒成立，也即恒成立，而在上单调递增，所以，故.故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知，，且与的夹角为，则_______.【解析】139213242442=+⨯⨯⨯-⨯=⋅-=，故，故答案为.【考点】向量的模长. 14.函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象如图所示，则 ， .【答案】；【解析】试题分析：由题设所提供的图形信息可知,即,所以；又,故,由于,所以,应填. 15. 已知偶函数在单调递减，若f （x －2）＞ｆ（3），则的取值范围是__________.【答案】16. 已知直线y =e x +1与曲线相切，则a 的值为 ．【答案】 【解析】试题分析：1ln()'y x a y x a=+⇒=+，由，，此时，所以，． 考点：导数的几何意义．【名师点睛】求函数曲线在点处的切线方程，根据导数的几何意义，只要求出导数，则切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-．要注意所求是在某点处的切线，还是过某点的切线，如果是求过某点的切线，一般设切线为，求出切线方程，然后把点坐标代入求出即得．三、解答题:（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．(本题满分12分) 已知函数（，）的图像关于直线x＝π3对称，最大值为3，且图像上相邻两个最高点的距离为．（1）求的最小正周期；（2）求函数的解析式；（3）若,求．（3）∵7 ()2sin[2()]12sin()12cos1 2323625 fθπθπππθθ+=+-+=++=+=,考点：函数的图象和性质，同角间的三角函数关系． 18.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知，. （1）求的值；（2）设为的中点，若的面积为，求的长. 【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)借助题设条件判定三角形的形状求解；(2)借助三角形的面积公式和余弦定理求解. 试题解析： （1）由，得即22()()||||0AC BC AC BC AC BC -•+=-= ∴（也可以由数量积的几何意义得出） ∴，与都是锐角 ∴∴sin sin()sin()sin 22C A B A B A π=--=+=（2）由21sin 29S ab C a === 得：∴又21cos cos(2)cos 2(12sin )9C A A A π=-=-=--= 中，由余弦定理得：2222cos BD CD BC CD BC C =+-•22136236419=+-•••=∴19.（本小题满分12分）甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3 倍，则甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船？追上时甲船行驶了多少海里？解：如图所示，设到C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ，则BC＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°，由正弦定理知BCsin ∠CAB＝AC sin B，∴1sin ∠CAB ＝3sin120°， ∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AC ＝3a ，沿北偏东30°方向行驶才能追上乙船，追上时甲行驶了3a 海里．20. （本小题满分12分）已知定义域为的单调函数是奇函数，当 时，. （1）求的解析式；（2）若对任意的，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2,03()0,02,03xx x x f x x xx -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩；（2）．（2）,为的单调函数在上单调递减.由得是奇函数又是减函数即对任意恒成立得即为所求．……………………12分21．（本小题满分12分）已知函数的图象过点，且在点处的切线方程．（1）求函数的解析式；（2）求函数与的图像有三个交点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.（2）因为函数与的图像有三个交点2923233223++-=+--axxxxx有三个根，即有三个根令，则的图像与图像有三个交点．接下来求的极大值与极小值．∴，令，解得或，当或时，；当时，，∴的增区间是，；减区间是，的极大值为，的极小值为因此.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22 （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值．23．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲． 已知函数()||21().f x x a x a R =++-∈（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.（2）因为的解集包含不等式可化为，………………………………………7分解得，由已知得11211aa⎧--≤⎪⎨⎪-+≥⎩，……………………………………9分解得所以的取值范围是.…………………………………10分考点：绝对值不等式．27277 6A8D 檍21473 53E1 叡34337 8621 蘡32104 7D68 絨|;32551 7F27 缧V38802 9792 鞒@30765 782D 砭o23790 5CEE 峮M。

高三年级第一学期第三次月考数学试题高三年级第一学期第三次月考数学试题总分150分第一卷(客观题)一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的):1．已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则 ( ) A． B．C． D．2．设函数的最小值,最大值,记则是( )A．公差不为0的等差数列 B．公比不为1的等比数列C．常数列 D．不是等差也不是等比数列3．在各项为正数的等比数列中,,则= ( )A．33 B．72 C．84 D．1894．若数列的前n项和,则( )A． B． C．D．5．在数列中,,且则数列的第10项为 ( ) A．B． C．D．6．已知,则数列的通项公式( )A． B． C． D．1000807．等差数列是5,中,第n项到n+6项的和为,则当最小时,n的值为( )A．6 B．4 C．5 D．38．已知等比数列中,则 ( )A．－2 B．－5 C．2或－5 D．29．设Sn是等差数列的前n项和,则 ( )A．21 B．16 C．9 D．810．已知数列的通项公式,设前n项和为Sn,则使成立的自然数n( )A．有最大值63 B．有最小值63 C．有最小值31 D．有最大值3111．数列Sn是满足,若,则的值为 ( )A． B． C．D．12．若等比数列的各项均为正数,前n项和为S,前n项积为P,前n项的倒数和为M,则( )A．B．C． D．二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上):13．在数列中,且则.14．数列满足则的通项公式是.15．已知等比数列中,且则的取值范围是.16．设等比数列的公比为q,前n项和为Sn,若成等差数列,则q的值为.第二卷(主观题)三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤):17．(12分)在等比数列中,且公比q是整数.求的值18．(12分)从1,2,3,4,5,6这6个数中任取两个不同的数作差 100080(理)设差的绝对值为,求的分布列及期望.(文)(1)记〝事件A〞=差的绝对值等于1,求P(A);(2)记〝事件B〞=差的绝对值不小于3,求P(B).19．(12分)有个正数排成n行n列方陈()如图: …………其中每行数成等差数列,第一列数成等比数列且公比都等于q,设(1)求公比q;(2)求;(3)求10008020．(12分)定义在R上的函数的图象关于对称,且满足又求.21．(12分)(理)已知数列相邻两项是方程的两根且,求与. (文)已知又是一个递增等差数列的前3项(1)求此数列的通项公式;(2)求的值.22．(14分)已知数列中,且在直线上,(1)求数列的通项公式;(2)若,求Tn的最小值;(3)若是的前n项和,问:是否存在关于n的整式使得对一切的自然n恒成立说明理由.参考答案第一卷(客观题)一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的):题号123456789101112答案BACDDDCDABCC二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上):13．260014．15．16．三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤):17．18．12100080345P1/34/153/152/151/15(文)P(A)=1/3,P(B)=2/5 19．(1)(2)(3)20．为偶数为奇数21．(理)(文) 22．(1)(2)的最小值为(3)存在,。

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。

2025届高三月考试卷（三）数学（答案在最后）命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在x ∈Z ，220x x m ++”的否定是A.存在x ∈Z ，220x x m ++>B.不存在x ∈Z ，220x x m ++>C.任意x ∈Z ，220x x m ++D.任意x ∈Z ，220x x m ++>2.若集合{}2341,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B ⋂等于A.{}1- B.{}1 C.{}1,1- D.∅3.已知奇函数()()22cos x x f x m x -=+⋅，则m =A.-1B.0C.1D.124.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是A.m l ⊥，m β⊂，l α⊥ B.m l ⊥，l αβ⋂=，m α⊂C.m l ，m α⊥，l β⊥ D.l α⊥，m l ，m β5.已知函数()()4cos (0)f x x ωϕω=+>图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则6f ϕπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.0B.2ϕC.4D.2ϕ6.已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线2:30l nx my m n +--=（m ，n ∈R ，220m n +≠）相交于点P ，则PM 的取值范围为A.1,1⎤-+⎦ B.1⎤-⎦C.1,1⎤-⎦D.1⎤⎦7.P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，120PF PF ⋅= ，点Q 在12F PF ∠的角平分线上，O 为原点，1OQ PF ，且OQ b =.则C 的离心率为 A.12B.33C.63D.328.设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ++++”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数()f x 满足()()22f x f x ππ+=-，()()0f x f x ππ++-=，并且当()0,x π∈时，()cos f x x =，则下列关于函数()f x 说法正确的是A.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭B.最小正周期2T π=C.()f x 的图象关于直线x π=对称D.()f x 的图象关于(),0π-对称11.若双曲线22:145x y C -=，1F ，2F 分别为左、右焦点，设点P 是在双曲线上且在第一象限的动点，点I 为12PF F △的内心，()0,4A ，则下列说法不正确的是A.双曲线C 的渐近线方程为045x y±=B.点I 的运动轨迹为双曲线的一部分C.若122PF PF =，12PI xPF yPF =+ ，则29y x -=D.不存在点P ，使得1PA PF +取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________.13.ABC △各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足1b ca c a b+++，则角A 的取值范围为________.14.对任意的*n ∈N ，不等式11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭（其中e 是自然对数的底）恒成立，则a 的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21332S a a =+，416a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b =，1222log log n nn n b a b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -，BC AD ，1AB BC ==，3AD =，点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2DE PE ==.（1）若F 为线段PE 的中点，求证：BF平面PCD ；（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()21ln 2f x x x ax =+-有两个极值点为1x ，()212x x x <，a ∈R .（1）当52a =时，求()()21f x f x -的值；（2）若21e x x （e 为自然对数的底数），求()()21f x f x -的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，H 为E 上任意一点，且HF 的最小值为1.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知P 为平面上一动点，且过P 能向E 作两条切线，切点为M ，N ，记直线PM ，PN ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足123112k k k +=.①求点P 的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为()0,(0)Q λλ>，半径为1的圆，使得过P 可以作圆Q 的两条切线1l ，2l ，切线1l ，2l 分别交抛物线E 于不同的两点()11,A s t ，()22,B s t 和点()33,C s t ，()44,D s t ，且1234s s s s 为定值？若存在，求圆Q 的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量1a ，2a ，3a ，…，n a（N n ∈且3n ），令123n n S a a a a =++++ ，如果存在{}()1,2,3,,p a p n ∈，使得pn p a S a - ，那么称p a是该向量组的“长向量”.（1）设(),2n a n x n =+，n ∈N 且0n >，若3a是向量组1a，2a，3a的“长向量”，求实数x 的取值范围；（2）若sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ∈N 且0n >，向量组1a ，2a ，3a ，…，7a 是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a 均是向量组1a ，2a ，3a 的“长向量”，其中()1sin ,cos a x x = ，()22cos ,2sin a x x =.设在平面直角坐标系中有一点列1P ，2P ，3P ，…，n P ，满足1P 为坐标原点，2P 为3a的位置向量的终点，且21k P +与2k P 关于点1P 对称，22k P +与21k P +（k ∈N 且0k >）关于点2P 对称，求10151016P P 的最小值.参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C【解析】集合{}i,1,1,i A =--，{}1,1B =-，{}1,1A B ⋂=-.故选C.3.A 【解析】()f x 是奇函数，()()22cos xxf x m x -=+⋅，()()()2222xx x x f x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =，()()122cos 0x x m x -∴++=，10m ∴+=，1m =-.故选A.4.D【解析】有可能出现α，β平行这种情况，故A 错误；会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；m l ，m α⊥，l βαβ⊥⇒ ，故C 错误；l α⊥，m l m α⇒⊥ ，又由m βαβ⇒⊥ ，故D 正确.故选D.5.C【解析】设()f x 的最小正周期为T ，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得12T =，则有212πω=，解得6πω=，所以()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.6.B 【解析】依题意，直线()()1:310l m x n y ---=恒过定点()3,1A ，直线()()2:130l n x m y -+-=恒过定点()1,3B ，显然直线12l l ⊥，因此，直线1l 与2l 交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：22(2)(2)2x y -+-=，圆心()2,2N ，半径2r =，而圆C 的圆心()0,0C ，半径11r =，如图：12NC r r =>+，两圆外离，由圆的几何性质得：12min1PM NC r r =--=，12max1PMNC r r =++=，所以PM 的取值范围为1⎤-⎦.故选B.7.C【解析】如图，设1PF m =，2PF n =，延长OQ 交2PF 于点A，由题意知1OQ PF ，O 为12F F 的中点，故A 为2PF 中点，又120PF PF ⋅= ，即12PF PF ⊥，则2QAP π∠=，又由点Q 在12F PF ∠的角平分线上得4QPA π∠=，则AQP △是等腰直角三角形，故有2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩化简得2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩即,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩代入2224m n c +=得222()()4a b a b c ++-=，即2222a b c +=，又222b ac =-，所以2223a c =，所以223e =，63e =.故选C.8.D 【解析】因为0i x =或1i x =，所以若1234513x x x x x ++++，则在()1,2,3,4,5i x i =中至少有一个1i x =，且不多于3个.所以可根据i x 中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为2315C 2N =⋅，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为3225C 2N =⋅，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为435C 2N =⋅，所以共有23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为422616-=，故A 正确；1070%7⨯=，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即353836.52+=，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于()0,x π∈时，()cos f x x =，并且满足()()22f x f x ππ+=-，则函数()f x 的图象关于直线2x π=对称.由于()()0fx f x ππ++-=，所以()()fx f x ππ+=--，故()()()()()22f x f x f x f x ππππ--+=+=--=-，故()()()24f x f x f x ππ=-+=+，故函数的最小正周期为4π，根据()()0fx f x ππ++-=，知函数()f x 的图象关于(),0π对称.由于()0,x π∈时，()cos f x x =，3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确，由于函数的最小正周期为4π，故B 错误；由函数()f x 的图象关于(),0π对称，易知()f x 的图象不关于直线x π=对称，故C 错误；根据函数图象关于点(),0π对称，且函数图象关于直线2x π=对称，知函数图象关于点()3,0π对称，又函数的最小正周期为4π，则函数图象一定关于点(),0π-对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线22:145x y C -=，可知其渐近线方程为02x ±=，A 错误；设1PF m =，2PF n =，12PF F △的内切圆与1PF ，2PF ，12F F 分别切于点S ，K ，T ，可得PS PK =，11F S FT =，22F T F K =，由双曲线的定义可得：2m n a -=，即12122F S F K FT F T a -=-=，又122FT F T c +=，解得2F T c a =-，则点T 的横坐标为a ，由点I 与点T 的横坐标相同，即点I 的横坐标为2a =，故I 在定直线2x =上运动，B 错误；由122PF PF =，且1224PF PF a -==，解得18PF =，24PF =，1226F F c ==，126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯，则12sin 8PF F ∠==，1215tan 7PF F ∠∴=，同理可得：21tan PF F ∠=，设直线()115:37PF y x =+，直线)2:3PF y x =-，联立方程得(P ，设12PF F △的内切圆的半径为r ，则()12115186846282PF F S r =⨯⨯⨯=⨯++⋅△，解得153r =，即152,3I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2152,3PI ⎛∴=-- ⎝⎭ ，(17,PF =-，(21,PF =- ，由12PI xPF yPF =+，可得27,,3x y -=--⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得29x =，49y =，故29y x -=，C 正确；1224PF PF a -== ，12244PA PF PA PF AF ∴+=+++，当且仅当A ，P ，2F 三点共线取等号，易知()1min549PA PF +=+=，故存在P 使得1PA PF +取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90【解析】523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()521031553C C 3rr r rr r r T xx x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令1034r -=，解得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 310990⋅=⨯=.13.0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】从所给条件入手，进行不等式化简()()1b cb a bc a c a c a b+⇒+++++()()222a c a b b c a bc ++⇒++，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示cos A ，由222b c aac +-可得2221cos 22b c a A bc+-=，可得0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.14.11ln2-【解析】对任意的*n ∈N ，不等式11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭恒成立，只需()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭恒成立，只需11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭恒成立，构造()()11ln 1m x x x=-+，(]0,1x ∈，()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'，(]0,1x ∈.下证()(]22ln 1,0,11x x x x +<∈+，再构造函数()()22ln 11x h x x x=+-+，(]0,1x ∈，()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+，(]0,1x ∈，设()()()221ln 12F x x x x x=++--，()()2ln 12F x x x =+-'，(]0,1x ∈，令()()2ln 12G x x x =+-，(]0,1x ∈，()21xG x x=-+'，(]0,1x ∈，在(]0,1x ∈时，()0G x '<，()G x 单调递减，()()00G x G <=，即()0F x '<，所以()F x 递减，()()00F x F <=，即()0h x '<，所以()h x 递减，并且()00h =，所以有()22ln 11x x x+<+，(]0,1x ∈，所以()0m x '<，所以()m x 在(]0,1x ∈上递减，所以()m x 的最小值为()111ln2m =-.11ln2a ∴-，即a 的最大值为11ln2-.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为{}n a 是正项等比数列，所以10a >，公比0q >，因为21332S a a =+，所以()121332a a a a +=+，即21112320a q a q a --=，则22320q q --=，解得12q =-（舍去）或2q =，······················································（3分）又因为3411816a a q a ===，所以12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.··············································································（6分）（2）依题意得1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+，························································（7分）当2n 时，()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ，所以()121n b b n n =+，因为11b =，所以()21n b n n =+，当1n =时，1n b =符合上式，所以数列{}n b 的通项公式为()21n b n n =+.····························（10分）因为()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .··························（13分）16.【解析】（1）设M 为PD 的中点，连接FM ，CM ，因为F 是PE 中点，所以FMED ，且12FM ED =，因为AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，所以四边形ABCE 为平行四边形，BC ED ，且12BC ED =，所以FM BC ，且FM BC =，即四边形BCMF 为平行四边形，所以BFCM ，因为BF ⊄平面,PCD CM ⊂平面PCD ，所以BF 平面PCD .················（6分）（2）因为AB ⊥平面PAD ，所以CE ⊥平面PAD ，又PE AD ⊥，所以EP ，ED ，EC 相互垂直，································································································································（7分）以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2P ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C ，()0,2,0D ，所以()1,0,0AB = ，()0,1,2AP = ，()1,0,2PC =- ，()1,2,0CD =-，····························（9分）设平面PAB 的一个法向量为()111,,m x y z =，则1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取11z =-，则()0,2,1m =- ，·················································（11分）设平面PCD 的一个法向量为()222,,n x y z =，则222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取21z =，则()2,1,1n = ，···················································（13分）设平面PAB 与平面PCD 所成夹角为θ，则cos 30m nm nθ⋅====⋅ .········（15分）17.【解析】（1）函数()21ln 2f x x x ax =+-的定义域为()0,+∞，则()211x ax f x x a x x -+=+-='，当52a =时，可得，()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==，············································（2分）当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或()2,x ∈+∞时，()0f x '>；当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；所以()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；·······················（4分）所以12x =和2x =是函数()f x 的两个极值点，又12x x <，所以112x =，22x =；所以()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即当52a =时，()()21152ln28f x f x -=-.····································································（6分）（2）易知()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---，又()21x ax f x x-+='，所以1x ，2x 是方程210x ax -+=的两个实数根，则2Δ40a =->且120x x a +=>，121x x =，所以2a >，·············································（9分）所以()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭，···························（11分）设21x t x =，由21e x x ，可得21e x t x =，令()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，e t ，··························（13分）则()222111(1)1022t g t t t t -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'，所以()g t 在区间[)e,+∞上单调递减，得()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，故()()21f x f x -的最大值为e 1122e -+.··········（15分）18.【解析】（1）设抛物线E 的准线l 为2py =-，过点H 作1HH ⊥直线l 于点1H ，由抛物线的定义得1HF HH =，所以当点H 与原点O 重合时，1min 12pHH ==，所以2p =，所以抛物线E 的方程为24x y =.···················································································（4分）（2）①设(),P m n ，过点P 且斜率存在的直线():l y k x m n =-+，联立()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消去y ，整理得：24440x kx km n -+-=，由题可知()2Δ164440k km n =--=，即20k mk n -+=，所以1k ，2k 是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩··································（6分）又因为()0,1F ，所以31n k m -=，0m ≠，由123112k k k +=，有121232k k k k k +=，所以21m m n n =-，因为0m ≠，12n n -=，1n ∴=-，所以点P 的轨迹方程为()10y x =-≠.②由①知(),1P m -，设()14:1l y k x m =--，()25:1l y k x m =--，1m ≠±且0m ≠，·······（9分）联立()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩消去y ，整理得2444440x k x k m -++=，又()11,A s t ，()22,B s t ，()33,C s t ，()44,D s t ，由韦达定理可得12444s s k m =+，同理可得34544s s k m =+，所以()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++，·····························（11分）又因为1l 和以圆心为()0,(0)Q λλ>，半径为1的圆相切，1=，即()()2224412120m k m k λλλ-++++=.同理()()2225512120m k m k λλλ-++++=，所以4k ，5k 是方程()()22212120m k m k λλλ-++++=的两个不等实根，所以由韦达定理可得()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩································································（14分）所以()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--，若1234s s s s 为定值，则220λ-=，又因为0λ>，所以λ=，······································（16分）所以圆Q的方程为22(1x y +-=.··········································································（17分）19.【解析】（1）由题意可得：312a a a +40x -.·······································································································································（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为2a，6a，····························································（5分）理由如下：由题意可得1n a ==，若存在“长向量”p a，只需使1n pS a -，又()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-，故只需使71p S a -=== ，即022cos12p π+，即11cos 22p π--，当2p =或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为2a ，6a.···························（8分）（3）由题意，得123a a a +，22123a a a + ，即()22123a a a +，即222123232a a a a a ++⋅ ，同理222213132a a a a a ++⋅，222312122a a a a a ++⋅，·····················（10分）三式相加并化简，得2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅，即()21230a a a ++ ，1230a a a ++ ，所以1230a a a ++=，设()3,a u v = ，由1220a a a ++=得sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩·················································（12分）设(),n n n P x y ，则依题意得：()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩·····························（13分）得()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦，故()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦，()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦，所以()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦，22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ ，当且仅当()4x t t ππ=-∈Z 时等号成立，·····································································（16分）故10151016min1014420282P P =⨯= .··············································································（17分）。

高三数学第3次月考试卷 2012.12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}||3|4M x x =-<,{}2|20,N x x x x Z =+-<∈,则M∩N＝（ ） A ．{0} B ．{2} C ．{}|11x x -≤≤ D ．{}|27x x ≤≤2. 已知c b a ,,满足a b c <<且0<ac ，则下列选项中不一定．．．能成立的是（ ） A ．c b a a<B ．>-ca b C ．cacb22>D ．<-acc a3. 下列命题的说法正确的是（ ）A.命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21,x =则1x ≠”;B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；C.命题“,x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”;D.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题。

4. 已知在等比数列{}n a 中,1346510,4a a a a +=+=,则该数列的公比等于（ ）A.12B.23C. 2D. 12-5. 已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（ ）6. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）A ．cos 2y x =B ．22sin y x =C ．)42sin(1π++=x y D ．22cos y x =7. 设x 、y 满足条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2x －y ≥1.则z ＝2y －x 的最大值为 ( )A ．－1B ．1C ．3D ．4 8. 曲线31433y x =+在点（2, 4）处的切线方程是（ ）A ．440x y +-= B. 440x y --= C ．440x y +-= D ．440x y --= 9.数列{a n}的前n 项和为S n，若a n＝1n (n ＋1)，则S 5等于 ( )A ．1 B.56C.16D.13010. 已知1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy （ ）A ．有最大值eB ．有最大值．有最小值e D ．11. 在锐角A B C △中，角C B A ,,所对的边分别为a b c ，，，若sin 3A =，2a =，ABC S =△b 的值为（ ）A.3B.2C ．D ．12. 已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x R ∈，都有(4)()f x f x +=;②对于任意的[],0,2a b ∈，且a b <，都有()()f a f b <；③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是 （ ）A.(4.5)(7)(6.5)f f <<B.(7)(4.5)(6.5)f f f <<C.(7)(6.5)(4.5)f f f <<D.(4.5)(6.5)(7)f f f <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 若||2,||4==a b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是 ．14. 若“2,210x R ax ax ∀∈++>”为真命题，则实数a 的取值范围是 。

普集高中(gāozhōng)2021-2021学年度第一学期高三年级第三次月考数学〔理〕试题考试范围：集合、函数、导数、三角函数时间是：120分钟总分：150分一、单项选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

〕1．的值等于( )A． B． C． D．2．集合，那么中元素的个数为〔〕A．9 B．8 C．5 D．43．函数的单调递减区间是 ( )A. B.C. D.4．锐角满足，那么的值是〔〕A． B． C． D．5．是上的减函数，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.6. 函数(hánshù)f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3，那么实数m的取值范围是( )A．[1，2] B．(0，1] C．(0，2] D．[1，＋∞)7.在△中，“〞是“〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件8. 角的终边上一点的坐标为〔sin，cos 23π〕，那么角α值为( )A. B.23πC. D.9. 奇函数在R上是增函数，.假设，，，那么a，b，c的大小关系为( )A． B. C. D.10．函数的局部图像大致为( )A．B．C．D．，那么(nà me)( )A ．在〔0，2〕单调递增B ．()f x 在〔0，2〕单调递减C ．y=()f x 的图像关于直线x=1对称D ．y=()f x 的图像关于点〔1，0〕对称12. 对实数a和b ，定义运算“⊗〞：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，xy ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公一共点，那么实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞第二卷〔非选择题 一共80分〕二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13． 函数为奇函数，那么a 的值是14. ，，那么__________．15． 函数是定义在上的奇函数，，当时，有 成立，那么不等式的解集是 ．16. 假设(jiǎshè)直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，那么b = .三、解答题〔一共70分。

卜人入州八九几市潮王学校宁夏宁夏大学附属2021届高三数学上学期第三次月考试题文〔含解析〕一、单项选择题 1.设全集U ={}0,1,2,3,4,5，集合{1,3},{3,5}A B ==，那么U ()C A B =A.｛0，4｝B.｛1，5｝C.｛2，0，4｝D.｛2，0，5｝【答案】C 【解析】{}{}{}1,33,51,3,5A B ⋃=⋃=，因为全集U={}0,1,2,3,4,5，所以()U C A B ⋃={}024，，，选C. 2.设i 是虚数单位，复数21iz i=+，那么z =〔〕A.1B.2【答案】D 【解析】 【分析】先化简运算复数z ，然后求出模长即可.【详解】解：因为复数()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-所以z ==应选D【点睛】此题考察了复数的运算与模长，属于根底题. 【此处有视频，请去附件查看】3.3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么()cos 6πα-=〔〕A.35 B.35 C.45D.45-【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可求出cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】由诱导公式可得3cos cos sin 63235ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 应选：A.【点睛】此题考察利用诱导公式求值，解题的关键就是要明确两角之间的关系，考察计算才能，属于根底题. 4.以下函数中，是偶函数的是〔〕A.()22f x x x =+B.()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()2log f x x= D.()2log f x x =【答案】D 【解析】 【分析】分析各选项里面函数的奇偶性，可得出适宜的选项. 【详解】对于A 选项，函数()22f x x x =+的对称轴为直线1x =-，该函数不是偶函数；对于B 选项，函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为非奇非偶函数；对于C 选项，函数()2log f x x=的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数；对于D 选项，函数()2log f x x=的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()22log log f x x x f x -=-==，该函数为偶函数.应选：D.【点睛】此题考察函数奇偶性的判断，熟悉根本初等函数的奇偶性以及函数奇偶性的定义是判断的关键，考察推理才能，属于根底题. 5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，假设222a b c bc =++，那么A =〔〕A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理化简条件，求得1cos 2A =-，由此求得A 角的大小. 【详解】由222a b c bc =++及余弦定理，得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，所以120A =︒．应选C ．【点睛】本小题主要考察利用余弦定理解三角形，属于根底题. 6.设平面向量()a=1,2，()b=2,y -，假设ab ，那么2a b -等于〔〕A.4B.5C. D.【答案】D 【解析】 【分析】利用向量一共线定理即可得出y ，从而计算出2a b -的坐标，利用向量模的公式即可得结果.【详解】//,220a b y ∴-⨯-=，解得4y =-，()()()221,22,44,8a b ∴-=---=，2248a b ∴-=+= D.【点睛】此题主要考察平面向量平行的性质以及向量模的坐标表示，属于中档题.〔1〕两向量平行，利用12210x y x y -=解答；〔2〕两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.7.等差数列{}n a 中，假设159371139,27a a a a a a ++=++=，那么数列{}n a 前11项的和为A.121B.120C.110D.132【答案】A 【解析】 设等差数列{}n a 的公差为d ，∵159371139,27a a a a a a ++=++=，∴()()3711159612a a a a a a d ++-++==-,∴2d=-,∴159131239a a a a d ++=+=,解得121a =.∴1111102111(2)1212S ⨯=⨯+⨯-=．选A ． 8.函数ln y x x =的单调递减区间是〔〕A.1(,)e-+∞ B.1(,)e--∞ C.1(0,)e-D.(,)e +∞【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得()f x '和定义域，由()0f x '<，即可求解函数的递减区间.【详解】由题意，可得()ln 1,(0)f x x x =+>'，令()0f x '<，即ln 10x +<，解得10x e -<<，即函数的递减区间为1(0,)e -.【点睛】此题主要考察了利用导数求解函数的单调区间，其中根据函数的解析式求得函数的导数，利用()0f x '<求解，同时注意函数的定义域是解答的关键，着重考察了推理与运算才能.9.函数sin y x x =-在[],ππ-上的图象是()A. B.C. D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：以x -代x 得，()sin()sin x x x x ---=-,所以函数sin y x x =-为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D;令2x π=，得函数值2y π=-，排除A 、C ，选B.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的图象. 10.假设等比数列{}n a 的各项均为正数，且68139122a a a a +=，那么2122220log log log a a a +++=〔〕．A.50B.60C.100D.120【答案】A 【解析】分析：由题意结合等比数列的性质和对数的运算法那么整理计算即可求得最终结果. 详解：因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且68139122a a a a +=，所以6101122a a =，所以510112a a =，所以2122220log a log a log a +++10550=⨯=．此题选择A 选项.点睛：此题主要考察等比数列的性质，对数的运算法那么等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能. 11.在等腰三角形ABC 中，4AB AC ==，6BC =，点P ，Q 是边BC 上的两个三等分点，那么AP AQ ⋅=〔〕A.0B.3C.-6D.6【答案】D 【解析】 【分析】先取BC 中点D 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，以DA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，再求出P Q A 、、坐标，得到AP 与AQ 坐标，进而可求出其数量积.【详解】如图，取BC 中点D 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，以DA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，因为4AB AC ==，6BC =，那么A 点坐标为(，P 点坐标为()1,0-，Q 点坐标为()1,0，所以(1,AP =-，(1,AQ =，所以6AP AQ ⋅=.应选D【点睛】此题主要考察向量的数量积运算，可采用建系的方法求出向量的坐标，进而可求出结果，属于根底题型. 12.()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()21x f x x e =+①当0x>时，()()21xf x x e =-②()0f x <的解集为11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③函数()f x 一共有2个零点④12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<〕 A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】 【分析】首先根据奇函数，求0x >时，函数的解析式，然后再判断②③④，再判断④时，转化为()()12max 2f x f x -<成立.【详解】①设0x >，0x -<()f x 是奇函数，()()()()2121x x f x f x x e x e --∴=--=--+=-，∴①不成立；②当0x <时，()210x x e +<，解得：21x <-； 当0x >时，()210xx e --<，解得：102x <<，综上：不等式的解集是11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确； ③由②可知()f x 有两个零点，分别是12x =-和12x =， ()f x 是R 上的奇函数，()00f ∴=，()f x ∴有3个零点，分别是11,0,22x =-.故③不正确； ④当0x>时，()21xx f x e-=， ()32xx f x e -'=，当32x =时，()0f x '=， 当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， ∴当32x =时，()f x 获得最大值，32322f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 是奇函数，()f x ∴的最小值是32322f e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ()()()33322212max 2242f x f x eee----=--=<，∴12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，故④正确.故正确的有②④. 应选：B【点睛】此题考察根据函数的奇偶性，求函数的解析式，并判断分段函数的性质，此题的关键是①式的正确判断，根据函数的奇偶性求函数的解析式时，求0x >的解析式，那就需设0x >，再根据函数的奇偶性，求()f x 的解析式，此题的易错点是③，函数的零点个数，不要忘记0x =.二、填空题 13.假设3sin 5α=，那么cos2=α______. 【答案】725【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式可求出cos2α的值.【详解】由二倍角余弦公式可得2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：725. 【点睛】此题考察二倍角余弦值的计算，纯熟利用二倍角余弦公式计算是解题的关键，考察计算才能，属于根底题. 14.在等差数列{}n a 中，16112a a a π++=，那么6sin a 的值是______.【答案】2【分析】利用等差中项的性质计算出6a ，即可计算出6sin a 的值. 【详解】由等差中项的性质可得1611632a a a a π++==，623a π∴=，因此，62sin sinsin sin 3332a ππππ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭.故答案为：2. 【点睛】此题考察等差中项性质的应用，同时也考察了利用诱导公式求值，考察计算才能，属于根底题.15.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设3A π=，ABCS ∆AB AC ⋅=______.【答案】2 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式可求出bc 的值，然后利用平面向量数量积的定义可计算出AB AC ⋅的值.【详解】由三角形的面积公式可得11sin sin 2234ABCScb A cb π∆====4cb =. 由平面向量数量积的定义可得1cos 422AB AC cb A ⋅==⨯=. 故答案为：2.【点睛】此题考察利用三角形面积求其它量，同时也考察了平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积的定义，考察计算才能，属于中等题.16.数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，那么数列n an⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为______. 【答案】()43n n +【分析】利用累加法求出n a ，可得出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后利用等差数列的求和公式可求出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和. 【详解】11n n a a n +=++，1n n a a n -∴-=，()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+∴=+-+-++-=++++=，12n a n n +∴=， ()111111222n n n a a n n n ++++-=-=+，那么数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.因此，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()113224n n n n +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=.故答案为：()43n n +.【点睛】此题考察累加法求数列通项，同时也考察了等差数列求和公式的应用，考察计算才能，属于中等题. 三、解答题 17.数列{}n a 是等差数列，12a =，12312a a a ++=．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕令3nna b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】〔1〕2n a n =；〔2〕9(19)9(91)198n nn S -==--【解析】 试题分析：(1)利用题意首先求得公式为2，然后利用等差数列通项公式可得2na n =.(2)利用题意可得数列{}n b 是首项为9，公比9q =的等比数列，结合等比数列求和公式可得()9918nn S =-. 试题解析： 〔1〕∵数列{}n a 是等差数列，由12312a a a ++=，得2312a =，∴24a =，由12a =，所以公差21422d a a =-=-=，∴数列{}n a 的通项公式2n a n =.〔2〕239nnn b ==，11999n n n n b b ++==， ∴数列{}n b 是首项为9，公比9q =的等比数列，数列{}n b 的前n 项和()()919991198n nn S -==--18.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()cos 2cos b C a c B =-.〔1〕求B ；〔2〕假设2c =，b =，求ABC ∆的面积.【答案】〔1〕3π；〔2〕2. 【解析】 【分析】〔1〕利用正弦定理边角互化思想求出cos B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的值； 〔2〕利用余弦定理求出a 的值，利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】〔1〕()cos 2cos b C a c B =-，由正弦定理得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-，那么()()2sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B CB C A A π=+=+=-=，sin 0A >，1cos 2B ∴=，0B π<<，因此，3B π=；〔2〕由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2427a a +-=，整理得2230a a --=.0a >，解得3a =，因此，ABC ∆的面积为11333sin 322222ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=. 【点睛】此题考察利用正弦定理和余弦定理解三角形，同时也考察了三角形面积的计算，解题时要结合三角形元素的类型选择正弦定理或者余弦定理解三角形，考察计算才能，属于中等题.19.数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝42nn a a +(n ∈N *)．(1)证明：数列11{}2n a -是等比数列； (2)设b n ＝nn a ，求数列{b n }的前n 项和S n .【答案】〔1〕见解析〔2〕2(1)224n n n n ++-+ 【解析】试题分析:〔1〕根据等比数列定义，代入条件化简即得111211122n n a a +-=-〔2〕先求出1n a ，再利用分组求和以及错位相减法得数列{b n }的前n 项和S n .试题解析：解：(1)证明：∵a n ＋1＝，∴＝＝＋.∴－＝.又∵a 1＝1，∴－＝，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．(2)解：由(1)知－＝·n －1＝，即＝＋，∴b n ＝＝＋.设T n ＝＋＋＋…＋，① 那么T n ＝＋＋…＋＋，② ①－②，得T n ＝＋＋…＋－＝1－－，∴T n ＝2－－.又∵(1＋2＋3＋…＋n )＝，∴数列{b n }的前n 项和S n ＝2－＋.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要擅长识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S 〞与“n qS 〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“nn S qS -〞的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 20.()2cos 23,1m x x =+，()cos ,n x y =-，满足m n ⊥．〔1〕将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；〔2〕a 、b 、c 分别为锐角ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对应的边长，()()f x x R ∈的最大值是2f A⎛⎫⎪⎝⎭，且3a=ABC ∆周长L 的取值范围．【答案】〔1〕()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，最小正周期为π；〔2〕(33,33⎤+⎦.【解析】 【分析】 〔1〕由m n ⊥，可得出()2cos 23cos y x x x =+，利用二倍角降幂公式以及辅助角公式可将函数()y f x =的解析式化简，然后利用周期公式可计算出函数()y f x =的最小正周期；〔2〕由题意可得02A π<<，可得出6A π+的取值范围，结合题中条件求出A 的值，然后利用正弦定理将L 表示为角B 的三角函数，并求出角B 的取值范围，利用正弦函数的根本性质可求出L 的取值范围.【详解】〔1〕()2cos ,1m x x =+，()cos ,n x y =-，满足m n ⊥，()2cos cos 0m n x x x y ∴⋅=+-=，()22cos cos cos 2cos 2cos 21y x x x x x x x x ∴=+=+=++2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因此，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==； 〔2〕由题意可知，函数()y f x =的最大值为2sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.A 为锐角，那么02A π<<，2663A πππ∴<+<，那么62A ππ+=，解得3A π=.由正弦定理2sin sin sin sin3b c a B C A ====，2sin b B ∴=，2sin c C =，()2sin 2sin 2sin 2sin L a b c B C B A B ∴=++=+=++12sin 2sin 2sin 2sin 322B B B B B π⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 6B B B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ABC ∆为锐角三角形，且3A π=，那么0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，2363B πππ<+<，sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，那么36B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭因此，ABC ∆的周长L 的取值范围是(3+.【点睛】此题考察三角函数解析式化简以及正弦型函数周期的计算，同时也考察了三角形周长取值范围的计算，一般转化为以某角为自变量的三角函数值域问题求解，考察计算才能，属于中等题.2()(1)ln f x a x x =--.〔1〕假设()y f x =在2x =处获得极小值，求a 的值；〔2〕假设()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；【答案】〔1〕18a =；〔2〕12a ≥. 【解析】试题分析：〔1〕求函数2()(1)ln f x a x x =--的导数1()2f x ax x='-，由(2)0f '=求之即可；〔2〕分0a ≤、102a<<、12a ≥分别讨论函数的单调性，由单调性求出函数在区间[1,)+∞上的最小值，由min ()0f x ≥求之即可.试题解析：〔1〕∵()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()2f x ax x=-， ∵()f x 在2x=处获得极小值，∴'(2)0f =，即18a =. 此时，经历证2x =是()f x 的极小值点，故18a= 〔2〕∵1'()2f x ax x=-， ①当0a ≤时，'()0f x <，∴()f x 在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x >时，()(1)0f x f <=矛盾②当0a >时，221'()ax f x x-=， 令'()0f x >，得x >；'()0f x <，得0x <<. 1>，即102a <<时，x ∈时，'()0f x <，即()f x 递减，∴()(1)0f x f <=矛盾. 1≤，即12a ≥时， [1,)x ∈+∞时，'()0f x >，即()f x 递增，∴()(1)0f x f ≥=满足题意.综上，12a≥考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与不等式.22.圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭.〔1〕将极坐标方程化为普通方程； 〔2〕假设点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值和最小值.【答案】〔1〕224460xy x y +--+=〔2〕最大值为6，最小值为2 【解析】 【分析】〔1〕将2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭先由两角差的余弦公式展开，再化为普通方程．〔2〕由题可知圆的参数方程为22x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩〔θ为参数〕，因为点(,)P x y在该圆上，所以()2,2P θθ+，所以可得42sin 4x y πθ⎛⎫++ ⎪⎝+⎭=，从而得出答案．【详解】〔1〕由圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭可得260ρθθ⎫-+=⎪⎪⎝⎭，即24cos 4sin 60ρρθρθ--+= 所以直角坐标方程为224460x y x y +--+=〔2〕由〔1〕可知圆的方程为()()22222x y -+-=所以圆的参数方程为22x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，〔θ为参数〕因为点(,)P x y在该圆上，所以()2,2Pθθ+所以2242sin 4x y πθθθ+=⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭因为sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1，最小值为1-的最大值为6，最小值为2所以x y【点睛】极坐标与参数方程是高考的重要选修考点，学生应准确掌握极坐标方程与普通方程的互化，与圆锥曲线有关的最值问题可转化为三角函数求最值．。

高三（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A={1, 2, 3, 4}，B={y|y=3x−2, x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1, 3}D.{1, 4}2.设复数z=−1−i（i为虚数单位），z的共轭复数为z，则|z⋅z|=()A.1B.2C.2D.103.下面命题中假命题是（）A.∀x∈R，3x>0B.∃α，β∈R，使sin(α+β)=sinα+sinβC.命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1<3x”D.∃m∈R，使f(x)=mx m2+2m是幂函数，且在(0, +∞)上单调递增4.已知|a→|=2，|b→|=3，|a→+b→|=19，则|a→−b→|等于（）A.13B.15C.17D.75.若等差数列{a n}的前7项和S7=21，且a2=−1，则a6=()A.5B.6C.7D.86.如图，已知AP→=43AB→,用OA→,OB→表示OP→,则OP→等于（）A.1 3OA→−43OB→B.13OA→+43OB→C.−13OA→+43OB→D.−13OA→−43OB→7.把函数y=sin(5x−π2)的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为（）A.y=sin(10x−3π4)B.y=sin(10x−7π2)C.y=sin(10x−3π2)D.y=sin(10x−7π4)8.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》222布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A.12 B.815C.1631D.16299.函数y =xa x |x |(0<a <1)的图象的大致形状是（ ）A.B.C.D.10.已知非零向量AB →，AC →满足(AB→|AB |+AC→|AC |)⋅BC →=0，且AB→|AB |⋅AC→|AC |=12，则△ABC 的形状是（ ） A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰（非等边）三角形 D.等边三角形11.已知函数f (x )= (3−a )x −3,x ≤7a x−6,x >7，若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N )，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A.[94, 3) B.(94, 3)C.(2, 3)D.(1, 3)12.已知函f (x )在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f [f (x )−2x ]=3，若则f (3)的值是（ ） A.3 B.7 C.9 D.12 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a →=(1, 2)，b →=(0, 1)，c →=(k , −2)，若(a →+2b →)⊥c →，则k =________．14.已知数列{a n }的前n 项和S n =3+2n ，则数列{a n }的通项公式为________．15.[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+...+[lg100]=________．16.若函数f (x )定义域为R ，且图象关于原点对称．当x >0时，f (x )=x 3−2．则函数f (x +2)的所有零点之和为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为(35, 45)，记∠COA=α．(1)求1+sin2α1+cos2α的值；(2)求cos∠COB的值．18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=24，S11=0(1)求数列{a n}的前n项和S n；(2)设b n=S nn，求数列{b n}前n项和T n的最大值．19.“中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关．”出现这种现象是大家受法不责众的“从众”心理影响，从而不顾及交通安全．某校对全校学生过马路方式进行调查，在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示：”的人中抽取45 人，求n的值；( II)在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为1，2，…，200；将女生的300人编号为201，202，…，500，用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动，若抽取的第一个人的编号为100，把抽取的4人看成一个总体，从这4人中任选取2人，求这两人均是女生的概率．20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m→=(a+b, sin A−sin C)，且n→=(c, sin A−sin B)，且m→ // n→．(1)求角B的大小；(2)若a+c=8，求AC边上中线长的最小值．21.已知函数f(x)=x2−2x+a ln x(a∈R)．(1)当a=2时，求函数f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；(2)当a >0时，求函数f (x )的单调区间；(3)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．[选修：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ+ρcos θ=10．曲线 c 1: x =3cos αy =2sin α（α为参数）．(1)求曲线c 1的普通方程；(2)若点M 在曲线C 1上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值． 答案1. 【答案】D【解析】把A 中元素代入y =3x −2中计算求出y 的值，确定出B ，找出A 与B 的交集即可． 【解答】解：把x =1，2，3，4分别代入y =3x −2得：y =1，4，7，10，即B ={1, 4, 7, 10}， ∵A ={1, 2, 3, 4}， ∴A ∩B ={1, 4}， 故选：D ． 2. 【答案】C【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：∵z =−1−i （i 为虚数单位），∴z =−1+i ， 则|z ⋅z |=|(−1)2+12|=2．故选：C ． 3. 【答案】C【解析】A ，根据指数函数y =3x 在R 上值域 判定； B ，取α=0，β=π2，sin(α+β)=sin α+sin β成立；C ，“>”的否定是”≤“；D ，f (x )=mx m 2+2m =x 3是幂函数，m =1．【解答】解：对于A ，指数函数y =3x 在R 上值域为(0, +∞)，故正确； 对于B ，例如α=0，β=π2，sin(α+β)=sin α+sin β成立，故正确；对于C ，命题“∃x ∈R ，x 2+1>3x”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x ，故错；对于D ，m =1时，f (x )=mx m 2+2m =x 3是幂函数，且在(0, +∞)上单调递增，故正确． 故选：C 4. 【答案】D【解析】|a →+b →|2=a →2+b →2+2a →⋅b →，整体求解2⋅a →⋅b →=6，运用|a →−b →|2=a →2+b →2−2a →⋅b →，得出|a →−b →|【解答】解：∵a →|=2，|b →|=3，|a →+b →|= 19，∴2⋅a →⋅b →=6，∵|a →−b →|2=a →2+b →2−2a →⋅b →=4+9−6=7，∴|a →−b →|= 7，故选：D ． 5. 【答案】C【解析】由S 7=21求得a 4=3，结合a 2=−1求出公差，再代入等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：在等差数列{a n }中，由S 7=7a 4=21，得a 4=3， 又a 2=−1， ∴d =a 4−a 24−2=3−(−1)2=2，∴a 6=a 4+2d =3+2×2=7． 故选：C ． 6. 【答案】C【解析】将向量AP →转化成OP →−OA →，向量AB →转化成OB →−OA →，然后化简整理即可求出所求． 【解答】解：∵AP →=43AB →∴OP →−OA →=43(OB →−OA →)化简整理得OP →=−13OA →+43OB →故选C ． 7. 【答案】D【解析】求出第一次变换得到的函数解析式，再把图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到函数y =sin(10x −7π4)的图象．【解答】解：将函数y =sin(5x −π2)的图象向右平移π4个单位，得到函数为y =sin[5(x −π4)−π2]=sin(5x −7π4)，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，可得到函数y =sin(10x −7π4)的图象，故选D ． 8. 【答案】D【解析】利用等差数列的前n 项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m 则由题意知30×5+30×29d =390，解得d =1629．故选：D ． 9. 【答案】D【解析】分x >0与x <0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．【解答】解：当x >0时，|x |=x ，此时y =a x (0<a <1)； 当x <0时，|x |=−x ，此时y =−a x (0<a <1)， 则函数y =xa x |x |(0<a <1)的图象的大致形状是：，故选：D ． 10. 【答案】D【解析】先根据(AB→|AB |+AC→|AC |)⋅BC →=0判断出∠A 的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【解答】解：∵(AB →|AB |+AC →|AC |)⋅BC →=0，∴∠A 的角平分线与BC 垂直， ∴AB =AC ，∵cos A =AB→|AB |⋅AC→|AC |=12， ∴∠A =π3，∴∠B =∠C =∠A =π3，∴三角形为等边三角形． 故选：D ． 11. 【答案】C【解析】根据题意，首先可得a n 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得 3−a >0a >1(3−a )×7−3<a 8−6；解可得答案． 【解答】解：根据题意，a n =f (n )= (3−a )n −3,n ≤7a n−6,n >7；要使{a n }是递增数列，必有 3−a >0a >1(3−a )×7−3<a 8−6；解可得，2<a<3；故选：C．12. 【答案】C【解析】由已知函数的关系式可先求出f(1)，然后结合函数的单调性可求f(x)，进而可求【解答】解：令f(x)−2x=t可得f(x)=t+2x∴f(t)=t+2t由函数的性质可知，函数f(t)在R上单调递增∵f(1)=1+2=3∵f[f(x)−2x]=3=f(1)∴f(x)=1+2x∴f(3)=9故选C13. 【答案】8【解析】由题意可得(a→+2b→)⋅c→=0．求得(a→+2b→)=(1, 4)，可得(1, 4)⋅(k, −2)=0，即k−8=0，由此求得k的值．【解答】解：∵已知a→=(1, 2)，b→=(0, 1)，c→=(k, −2)，且(a→+2b→)⊥c→，则(a→+2b→)⋅c→=0．再由(a→+2b→)=(1, 4)可得(1, 4)⋅(k, −2)=0，即k−8=0，k=8，故答案为8．14. 【答案】a n=5,(n=1)2n−1,(n≥2)【解析】当n=1时，直接由前n项和求首项，当n大于等于2时，由a n=S n−S n−1求解．【解答】解：由S n=3+2n，当n=1时，a1=S1=5．当n≥2时，a n=S n−S n−1=3+2n−3−2n−1=2n−1．所以a n=5,(n=1)2n−1,(n≥2)．故答案为a n=5,(n=1)2n−1,(n≥2)．15. 【答案】92【解析】由于[lg1]=[lg2]=[lg3]=…[lg9]=0，[lg10]=[lg11]=...+[lg99]=1，[lg100]=2．即可得出．【解答】解：∵[lg1]=[lg2]=[lg3]=…[lg9]=0，[lg10]=[lg11]=...+[lg99]=1，[lg100]=2．∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+...+[lg100]=90×1+2=92．故答案为：92．16. 【答案】−6【解析】由奇函数的定义可求x<0是的函数解析式，进而可求函数f(x+2)的零点【解答】解：由题意可得函数为奇函数即f(−x)=−f(x)∵x>0，f(x)=x3−2设x<0则−x>0则f(−x(x)=−x3−2∴f(x)=x3+2由奇函数的性质可得，f(0)=0而f(x)=0的零点之和为0，且把f(x)的图象向左平移2个单位可得函数f(x+2)的图象∴函数f(x+2)的所有零点之和为−6故答案为：−617. 【答案】解：(1)∵A的坐标为(35, 45 )，∴根据三角函数的定义可知，sinα=45，cosα=35，∴1+sin2α1+cos2α=1+2sinαcosα2cos2α=4918；; (2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60∘，∵∠COA=α，∴cos∠COB=cos(α+60∘)=cosαcos60∘−sinαsin60∘=35×12−45×32=3−4310．【解析】(1)由A的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，原式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；; (2)由三角形AOB为等边三角形，得到∠AOB=60∘，表示出∠COB，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：(1)∵A的坐标为(35, 45 )，∴根据三角函数的定义可知，sinα=45，cosα=35，∴1+sin2α1+cos2α=1+2sinαcosα2cosα=4918；; (2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60∘，∵∠COA=α，∴cos∠COB=cos(α+60∘)=cosαcos60∘−sinαsin60∘=35×12−45×32=3−4310．18. 【答案】解：(1)依题意有a1+2d=2411a1+11×102d=0，解之得a1=40d=−8，∴S n=(40+48−8n)n2=−4n2+44n．; (2)∵S n=−4n2+44n∴b n=S nn=44−4n，∴b n+1−b n=−4∴{b n}为等差数列，∴T n=12(40+44−4n)n=(42−2n)n=−2n2+42n=−2(n−212)2+4412故当n=10或n=11时，T n最大，且T n的最大值为220．【解析】(1)分别利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式由a3=24，S11=0表示出关于首项和公差的两个关系式，联立即可求出首项与公差，利用等差数列的前n项和的公式即可表示出S n；; (2)求出数列{b n}前n项和公式得到T n是关于n的开口向下的二次函数，根据n为正整数，利用二次函数求最值的方法求出T n的最大值即可．【解答】解：(1)依题意有a1+2d=2411a1+11×102d=0，解之得a1=40d=−8，∴S n=(40+48−8n)n2=−4n2+44n．; (2)∵S n=−4n2+44n∴b n=S nn=44−4n，∴b n+1−b n=−4∴{b n}为等差数列，∴T n=12(40+44−4n)n=(42−2n)n=−2n2+42n=−2(n−212)2+4412故当n=10或n=11时，T n最大，且T n的最大值为220．19. 【答案】解：(I)由题意得，45800+100=n800+450+200+100+150+300，解得n=100．…(II)由系统抽样得到的号码分别为100，225，350，475．…其中100号为男生，设为A，而225，350，475都为女生，分别设为B1，B2，B3，从这4人中任选取2人所有的基本事件为：(AB1)，(AB2)，(AB3)，(B1B2)，(B1B3)，(B2B3)，共有6个．…这两人均是女生的基本事件为(B1B2)，(B1B3)，(B2B3)，共有3个．…故从这4人中任选取2人，这两人均是女生的概率为P=36=12．…【解析】(I)由题意利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出n的值．(II)由系统抽样得到的号码分别为100，225，350，475，其中100号为男生，设为A，而225，350，475都为女生，分别设为B1，B2，B3，由此利用列举法能求出从这4人中任选取2人，这两人均是女生的概率．【解答】解：(I)由题意得，45800+100=n800+450+200+100+150+300，解得n=100．…(II)由系统抽样得到的号码分别为100，225，350，475．…其中100号为男生，设为A，而225，350，475都为女生，分别设为B1，B2，B3，从这4人中任选取2人所有的基本事件为：(AB1)，(AB2)，(AB3)，(B1B2)，(B1B3)，(B2B3)，共有6个．…这两人均是女生的基本事件为(B1B2)，(B1B3)，(B2B3)，共有3个．…故从这4人中任选取2人，这两人均是女生的概率为P=36=12．…20. 【答案】解：(I)∵向量m→=(a+b, sin A−sin C)，且n→=(c, sin A−sin B)，且m→ // n→，∴c(sin A−sin C)−(a+b)(sin A−sin B)=0，由正弦定理可得：c(a−c)−(a+b)(a−b)=0，化为a2+c2−b2=ac，∴cos B=a2+c2−b2ac =12，∵B∈(0, π)，∴B=π．(2)设AC边上的中点为E，由余弦定理得：(2BE)2=c2+a2−2ca cos120∘=(a+c)2−ac=64−ac≥64−(a+c2)2=48，当a=c时取到”=”．∴BE≥23．∴AC边上中线长的最小值为23．【解析】(I)由m→ // n→，可得c(sin A−sin C)−(a+b)(sin A−sin B)=0，再利用正弦定理余弦定理即可得出．(2)设AC边上的中点为E，由余弦定理得：(2BE)2=c2+a2−2ca cos120∘=(a+c)2−ac=64−ac，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：(I)∵向量m→=(a+b, sin A−sin C)，且n→=(c, sin A−sin B)，且m→ // n→，∴c(sin A−sin C)−(a+b)(sin A−sin B)=0，由正弦定理可得：c(a−c)−(a+b)(a−b)=0，化为a2+c2−b2=ac，∴cos B=a2+c2−b2ac =12，∵B∈(0, π)，∴B=π3．(2)设AC边上的中点为E，由余弦定理得：(2BE)2=c2+a2−2ca cos120∘=(a+c)2−ac=64−ac≥64−(a+c2)2=48，当a=c时取到”=”．∴BE≥23．∴AC边上中线长的最小值为23．21. 【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x2−2x+2ln x，f′(x)=2x−2+2x，则f(1)=−1，f′(1)=2，所以切线方程为y+1=2(x−1)，即为y=2x−3．; (2)f′(x)=2x−2+ax =2x2−2x+ax(x>0)，令f′(x)=0，得2x2−2x+a=0，①当△=4−8a≤0，即a≥12时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；②当△=4−8a>0且a>0，即0<a≤12时，由2x2−2x+a=0，得x1,2=1±1−2a2，由f′(x)>0，得0<x<1−1−2a2或x>1+1−2a2；由f′(x)<0，得1−1−2a2<x<1+1−2a2．综上，当a≥12时，f(x)的单调递增区间是(0, +∞)；当0<a<12时，f(x)的单调递增区间是(0,1−1−2a2)，(1+1−2a2,+∞)；单调递减区间是(1−1−2a2,1+1−2a2)．; (3)函数f(x)在(0, +∞)上有两个极值点，由(2)可得0<a<1，由f′(x)=0，得2x2−2x+a=0，则x1+x2=1，x1=1−1−2a2，x2=1+1−2a2，由0<a<12，可得0<x1<12，12<x2<1，f(x1)x2=x12−2x1+a ln x1x2=x12−2x1+(2x1−2x12)ln x1x2=x12−2x1+(2x1−2x12)ln x11−x1=1−x1+1x1−1+2x1ln x1，令ℎ(x)=1−x+1x−1+2x ln x(0<x<12)，ℎ′(x)=−1−1(x−1)2+2ln x，由0<x<12，则−1<x−1<−12，14<(x−1)2<1，−4<−1(x−1)<−1，又2ln x<0，则ℎ′(x)<0，即ℎ(x)在(0, 12)递减，即有ℎ(x)>ℎ(12)=−32−ln2，即f(x)x>−32−ln2，即有实数m的取值范围为(−∞, −32−ln2]．【解析】(1)求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；; (2)求出f(x)的导数，令f′(x)=0，得2x2−2x+a=0，对判别式讨论，即当a≥12时，当0<a≤12时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；; (3)函数f(x)在(0, +∞)上有两个极值点，由(2)可得0<a<12，不等式f(x1)≥mx2恒成立即为f(x1) x2≥m，求得f(x1)x2=1−x1+1x1−1+2x1ln x1，令ℎ(x)=1−x+1x−1+2x ln x(0<x<12)，求出导数，判断单调性，即可得到ℎ(x)的范围，即可求得m的范围．【解答】解：(1)当a=2时，f(x)=x2−2x+2ln x，f′(x)=2x−2+2x，则f(1)=−1，f′(1)=2，所以切线方程为y+1=2(x−1)，即为y=2x−3．; (2)f′(x)=2x−2+ax =2x2−2x+ax(x>0)，令f′(x)=0，得2x2−2x+a=0，①当△=4−8a≤0，即a≥12时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；②当△=4−8a>0且a>0，即0<a≤12时，由2x2−2x+a=0，得x1,2=1±1−2a2，由f′(x)>0，得0<x<1−1−2a2或x>1+1−2a2；由f′(x)<0，得1−1−2a2<x<1+1−2a2．综上，当a≥12时，f(x)的单调递增区间是(0, +∞)；当0<a<12时，f(x)的单调递增区间是(0,1−1−2a2)，(1+1−2a2,+∞)；单调递减区间是(1− 1−2a 2,1+ 1−2a2)．; (3)函数f (x )在(0, +∞)上有两个极值点，由(2)可得0<a <12，由f ′(x )=0，得2x 2−2x +a =0，则x 1+x 2=1，x 1=1− 1−2a2，x 2=1+ 1−2a2， 由0<a <12，可得0<x 1<12，12<x 2<1，f (x 1)x 2=x 12−2x 1+a ln x 1x 2=x 12−2x 1+(2x 1−2x 12)ln x 1x 2=x 12−2x 1+(2x 1−2x 12)ln x 11−x 1=1−x 1+1x 1−1+2x 1ln x 1，令ℎ(x )=1−x +1x−1+2x ln x (0<x <12)，ℎ′(x )=−1−1(x−1)+2ln x ， 由0<x <12，则−1<x −1<−12，14<(x −1)2<1，−4<−1(x−1)2<−1， 又2ln x <0，则ℎ′(x )<0，即ℎ(x )在(0, 12)递减， 即有ℎ(x )>ℎ(12)=−32−ln2，即f (x )x >−32−ln2，即有实数m 的取值范围为(−∞, −32−ln2]．22. 【答案】解：(1)∵ x =3cos αy =2sin α，∴cos α=x 3，sin α=y 2，∴曲线C 1的普通方程是：x 29+y 24=1．; (2)曲线C 的普通方程是：x +2y −10=0．点M 到曲线C 的距离为d = 5=5α−φ)−10|，(cos φ=35,sin φ=45)．∴α−φ=0时，d min = 5，此时M (95,85)．【解析】(1)用x ，y 表示出cos α，sin α利用cos 2α+sin 2α=1消参数得到曲线C 1的普通方程； (2)先求出曲线C 的普通方程，使用参数坐标求出点M 到曲线C 的距离，得到关于α的三角函数，利用三角函数的性质求出距离的最值．;【解答】解：(1)∵ x =3cos αy =2sin α，∴cos α=x 3，sin α=y 2，∴曲线C 1的普通方程是：x 29+y 24=1．; (2)曲线C 的普通方程是：x +2y −10=0． 点M 到曲线C 的距离为d =5=5α−φ)−10|，(cos φ=35,sin φ=45)．∴α−φ=0时，d min = 5，此时M (95,85)．。

六安一中2025届高三年级第三次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数()i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z =（ ）A. 1B. 2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得2i z =-，进而可求模长.【详解】因为()i 12i 2i z =-+=-，所以z ==.故选：D.2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为 n S ，若38304S a ==,，则9S =（ ）A. 54 B. 63C. 72 D. 135【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出2a ，再求出9S .【详解】等差数列{}n a 中，由330S =，得2123330a a a a =++=，解得210a =，而84a =，所以192899()9()6322a a a a S ++===.故选：B3. 已知平面向量,a b 满足4a = ，(1,b = ，且()()23a b a b +⊥- ．则向量a 与向量b的夹角是（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】根据垂直得出向量的数量积，再由夹角公式计算即可.【详解】因为(1,b =，所以3b == ，由()()23a b a b +⊥- 可得()()2223325481850a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=，所以6a b ⋅=-，所以61cos ,432a b a b a b ⋅-===-⨯⋅，由[],0,πa b ∈ 知2π,3a b =，故选：C4. 在等比数列{}n a 中，已知13a =，48n a =，93n S =，则n 的值为（ ）A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】由1(1)1-=-n n a q S q及通项公式11n n a a q -=，列出方程组求解即可.【详解】在等比数列{a n }中，13a =，48n a =，93n S =，所以1q ≠，由1(1)1-=-n n a q S q ，及通项公式11n n a a q -=，可得13(1)931483n n q q q -⎧-=⎪-⎨⎪=⎩，解得2,5q n ==.故选：B.5. 已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（ ）A. -15 B. -14C. -11D. -6【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件得出最小项为6a ，利用迭代的思想即可求得6a .【详解】∵1211n n a a n +-=-，∴当5n ≤时，10n n a a +-<，当5n >时，10n n a a +->，∴12345678a a a a a a a a >>>>><<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又1211n n a a n +-=-，∴()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()109753115=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是15-.故选：A6. 已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP mAB AC =+，则AP AB ⋅=（ ）A.29B.19C.23D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据题意得89AP mAB AN =+，由,,P B N 三点共线求得19m =，利用向量数量积运算求解.【详解】13AN NC =，14AN AC ∴=u u u r u u u r ，且2899AP mAB AC mAB AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，而,,P B N 三点共线，819m ∴+=，即19m =，1299AP AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r ，所以o12122cos 6099999AP AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（ ）A. 552 B. 452 C. 92 D. 102【答案】B 【解析】【分析】根据给定的递推公式求出1a ，进而求出数列{}n a 通项，借助单调性求解即得.【详解】依题意，N n *∈，1024n n S a +=，则1512a =，当2n ≥时，111024n n S a --+=，两式相减得12n n a a -=，即112n n a a -=，因此数列{}n a 是以512为首项，12为公比的等比数列，于是1101512()22n n n a --=⨯=，显然数列{}n a 单调递减，当10n ≤时，1n a ≥，当11n ≥，1n a <，所以当9n =或10n =时，数列{}n a 的前n 项积最大，最大值为98720452222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯= .故选：B8. 已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB = ，1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=，则ABC ∠的最大值为（ ）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得C 点轨迹是以A 为圆心，的圆，再由直线与圆相切可得ABC ∠的最大值为π4.【详解】根据1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=可得()22OC AC OA AC OC OA AC AC ⋅-⋅=-⋅== ，即可知C 点轨迹是以A的圆，如下图所示：由图可知，当BC 与圆相切时，ABC ∠取到最大，又2AB =可知此时π4ABC ∠=故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则（ ）A. OA OB= B. OA OC⊥.C. AC BC= D. OB AC∥ 【答案】AB 【解析】【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出A ，B ，C 三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，(),∴A a b ，()i ,z a b a b =-∈R ，(),B a b ∴-，()i i i i =+=-+z a b b a ，(),∴-C b a ，()()()()(),,,,,,,,,==-=------+==OA a b OB a b OC b a b a a b b a a b AC BC 对于A，=∴=OA O B ，故选项A 正确；对于B ， ()0-+= a b ba ，∴⊥OA OC ，故选项B 正确；对于C ，AC =，当0ab ≠时，AC BC ≠，故选项C 错误；对于D ，()()()222a a b b b a a ab b -----=-- ，222a ab b --可以为零，也可以不为零，所以OB 不一定平行于AC，故选项D 错误.故选:AB.10. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ）A. 当9n =时，n S 最大B. 使得0nS <成立的最小自然数18n =C. 891011a a a a +>+D. 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 【答案】ABD 【解析】【分析】利用,n n a S 关系及等差数列通项公式得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0判断A ；根据已知及A 项分析得81191090a a a a a +=+<<，进而确定()101189101189,a a a a a a a a +-++++的符号判断C ；根据A 、C 项分析确定数列正负分界项，再由等差数列前n 项和确定0nS <对应n 的最小值判断B ；根据以上分析确定n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭各项符号判断D.【详解】根据题意：S 8<S 9S 10<S 9⇒S 9−S 8=a 9>0S 10−S 9=a 10<0，即911018090a a d a a d -=--<⎧⎨=+<⎩，两式相加，解得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0，当9n =时，n S 最大，故A 正确；由108S S <，可得91090a a a +<<，所以8110a a +<，故()10118910118940,0a a a a d a a a a +-+=<+++<，所以891011a a a a +<+，故C 错误；由以上可得：1213910110a a a a a a >>>>>>>> ，()117179171702a a S a +==>，而()()1181891018902a a S a a +==+<，当17n ≤时，0n S >；当18n ≥时，0n S <；所以使得0nS <成立的最小自然数18n =，故B 正确.当9n ≤或18n ≥时0nn S a >；当918n <<时0n nS a <；由101117101112170,0a a a S S S S >>>>>>>>> ，所以n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a ，故D 正确.故选：ABD11. 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则下列说法错误的是（ ）A. 当01q <<时，数列{}n d 单调递减B. 当1q >时，数列{}n d 单调递增C. 当12d d >时，数列{}n d 单调递减D. 当12d d <时，数列{}n d 单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】由等差数列得(1)1n n a q d n -=+，然后在01q <<或1q >分别确定{}n d 的单调性判断AB ，进行讨论判断各选项．再由12d d <或12d d >确定q 的范围，从而确定{}n d 的单调性判断CD ．【详解】数列{a n }是各项为正数的等比数列，则公比为0q >，由题意1(1)n n n a a n d +=++，得()1111n n n n a q a a d n n +--==++，01q <<时，0n d <，有()1112n n q n d d n ++=<+，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增，A 选项错误；1q >时，0n d >，()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递增，则()112q n n +>+， 即21n q n +>+，由*N n ∈，需要32q >，故B 选项错误；12d d >时，()()111123a q a q q -->，解得312q <<，1q >时，0n d >，由()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递减，则()112q n n +<+， 即21111n q n n +<=+++，而 312q <<不能满足()*11N 1q n n <+∈+恒成立，C 选项错误；12d d <时，()()111123a q a q q --<，解得01q <<或32q >，由AB 选项的解析可知，数列{}n d 单调递增，D 选项正确.故选：ABC【点睛】方法点睛：本题数列的单调性，解题方法是利用等差数列的定义确定n d 与q 的关系，利用此关系通过q 的范围确定{}n d 的单调性，同样根据12,d d 的大小确定q 的范围，再得单调性．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4210S S =，则62S S 的值为______.【答案】91【解析】【分析】方法一：利用等比数列前n 项和性质即可求解；方法二：利用等比数列前n 项和的公式，代入计算即可求解.【详解】方法一：等比数列{}n a 中，2S ，42S S -，64S S -成等比数列，则2S ，29S ，281S 成等比数列，∴64281S S S -=，∴6291S S =，∴6291S S =.方法二：设{}n a 公比为q ，由题意显然0q >且1q ≠,所以()()42111110311a q a q q qq--=⋅⇒=--，∴()()616622211131911311a q S q S a q q---===---，故答案为：91.13. 已知数列{}n a 中，11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2024项的和为__________.【答案】2024【解析】【分析】利用数列{}n a 的周期性可得答案.【详解】因为11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，所以2123a a =+=，322321=-+=-+=-a a ，4321=+=a a ，542121=-+=-+=a a ，652123=+=+=a a ，L ，所以数列{}n a 是周期为4的周期数列，且123413114+++=+-+=a a a a ，所以()220241202443215062024+=⨯==+++++ S a a a a a a a .的故答案为：2024.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A -的最大值是__________.【解析】【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到2C A =、π03A <<，再应用和角正弦公式、倍角公式，将目标式化为34sin 2sin A A -+，应用换元法及导数研究其最大值即可.【详解】由2cos c a A =，则sin 2sin cos sin 2C A A A ==，,(0,π)A C ∈，所以2C A =或2πC A +=，而πA B C ++=，且a b ≠，即A B ≠，所以2C A =，且03πA C A <+=<，即π03A <<，sin sin sin 3sin sin cos 2cos sin 2sin B A A A A A A A A∴-=-=+-2232sin (12sin )2cos sin sin sin 2sin 2(1sin )sin sin A A A A A A A A A A=-+-=-+--34sin 2sin A A =-+，令sin t A =∈，则3()42f t t t =-+，2()122f t t '=-+，当t ∈时()0f t '>，则()f t在上递增；当t ∈时()0f t '<，则()f t在上递减；故t =()f t 的极大值点，()f t ∴最大值为342-⨯+⨯=..四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．的（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【答案】（1）13n n a -=；（2）6m =.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n na -=；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.16. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22a cb bc -=+.（1）求角A ；（2）若3,2a BA AC BD DC =⋅==，求AD 的长.【答案】（1）2π3（2【解析】【分析】(1)变形后利用余弦定理可求；(2)先将2π3A =代入3BA AC ⋅= 可得6bc =，再将a =代入()22a c b b c -=+得2213b c +=，联立方程组解得,b c ，由此将向量AD 用,AB AC 表示，求解向量的模可得.【小问1详解】由()22a c b b c -=+得222b c a bc +-=-，则由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，0πA << ，2π3A ∴=.【小问2详解】由31cos 2BA AC A A bc A b B C c ⋅=-⋅=-== ，解得6bc =①，a = ，22219abc bc ∴=++=，则2213b c +=②，联立①②可得，2,3b c ==，或3,2b c ==.2BD DC = ，∴()2AD AB AC AD -=- ，则1233AD AB AC =+ ，且3AB AC ⋅=- ， 所以()()22222114441299AD AB AC AB AC c b =++⋅=+- ，当2,3b c ==时，2113(91612)99AD =+-= ，则AD当3,2b c ==时，2128(43612)99AD =+-= ，则AD .综上所述，AD .17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）在数列{}n b 中，1213,n n n n b a b a b ++==，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：92n T <.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系式，结合等差数列的定义即可得证；（2）利用（1）中结论求得n a ，进而利用累乘法求得n b ，再利用裂项相消法求得n T ，从而得证.【小问1详解】因为*1122(2,N )n n n S S S n n +-+=+≥∈，所以*112(2,N )n n n n S S S S n n +--=-+≥∈，即1*(2,N )2n n a n a n +=+≥∈，又21312a a -=-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列.【小问2详解】由（1）知：()11221n a n n =+-⨯=-，则()222123n a n n +=+-=+，又21n n n n a b a b ++=，所以122123n n n n b a n b a n ++-==+，所以312112213332325272151n n n n n b b b b b n b b b b n n b n ---=⋅⋅⋅=⋅-⋅--⋅+9911(21)(21)22121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以911111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 91912212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭.18. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列.（1）求证：21a d =，并求出数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；（2）设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92.【答案】（1）证明见解析，()221n a n d =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1关于1,a d 的关系式，再利用题设条件得到关于1,a d 的方n a ，从而得解；（2）利用（1）中结论与完全平方公式求得92c ≤，再利用基本不等式检验92c =时的情况，从而得证.【小问1详解】由题意知：0d >(1)(1)n d n d =+-=+-，因为2132a a a =+，则233a S =，所以2133()S S S -=，则2212)]2)d a d +-=+，整理得210a d d -+=21,d a d ==，22(1),n d n d nd S n d =+-==，当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形.所以()221n a n d =-.【小问2详解】由m n k S S cS +>，得222222m d n d c k d +>⋅，则222m n c k +>⋅，所以222m n c k+<恒成立，又3m n k +=且m n ≠，,,m n k 正整数，所以22222()()9m n m n k +>+=，则22292m n k +>，故92c ≤，当92c =时，()2222222222999222m n k S S S m d n d k d k d m n mn ⎡⎤=+--⎢⎥+-⎣=+⎦-，22922d k mn ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由不等式可得3m n k +=≥，即294k mn ≤，当且仅当32m n k ==时，等号成立，而m n ≠，故294k mn <，为故092m n k S S S ->+，故c 的最大值为92.19. 已知函数()x f x e =.（1）当0x ≥时，求证：()()2f x f x x --≥；（2）若0k >，且()f x kx b ≥+在R 上恒成立，求2k b +的最大值；（3）设*2,n n ≥∈Nln n +> .【答案】（1）证明见解析（2）2e（3）证明见解析【解析】【分析】（1）不等式成立转换为函数最小值问题，利用导函数求得到点区间，从而得出最小值，不等式得证；（2）构建函数，利用导函数求得单调区间，从而找到最小值，由题意得到不等关系，再令所求代数式为函数，借助导函数求得最大值；（3）由（1()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，从而得证.【小问1详解】令e e ()2(0)x x g x x x -=--≥，所以()()1e 20e x x g x x '=+-≥，所以()e 2e 220x x g x -'=-+≥-=，当且仅当1e e 1ex x x =⇒=，即0x =时，等号成立，所以当[)0,x ∈+∞时，()()0,g x g x '≥单调递增，则()()00g x g ≥=；小问2详解】令()e x F x kx b =--，e ()x F x k '=-；由()0F x '>得出ln x k >；由()0F x '<得出ln x k <；min ()(ln )ln 0F x F k k k k b ∴==--≥；ln b k k k ∴≤-，23ln k b k k k ∴+≤-，令()3ln G k k k k =-，0k >；()2ln G k k '=-，【当20e k <<时，()0G k '>，()G k 单调递增，当2e k >时，()0G k '<，()G k 单调递减，所以2e 是的()G k 极大值点，22()(e )e G k G ∴≤=，2k b +的最大值为2e ；【小问3详解】由（1）知，()e 2e 0,0,x x x x ∞--->∈+，令ln (1)x s s =>，则12ln 0s s s --->，即12ln (1)s s s s ->>，设*2,s n n =≥∈N ，则满足1s >，->1ln 11n ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭，()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln n n n +>-+-++--= ，ln n ++> .【点睛】方法点睛：不等式成立问题：（1）通过令两项的差为函数关系，再利用函数单调性求出函数的最值的方式来解决；（2）多项求和的不等关系的证明，可以先找到某一项的不等关系，再求和得到结论.。