2020届高三第三次月考数学(理)试题+解析答案

2019-2020年高三上学期第三次月考 数学(理) 含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðBC ．U A=()U B ð D ．U=()U A ð()UB ð2. 已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi ++的值为A ．2B ．2i -C ．4-D ．2i 3. 函数()()y x xx x sin cos sin cos =+-是A ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 4.下列有关命题说法正确的是A. 命题p ：“sin +cos =x x x ∃∈R ，，则p ⌝是真命题B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ∃∈++<R “使得”的否定是：“210x x x ∀∈++<R ，”D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件 5．若变量,a b 满足约束条件6321a b a b a +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，23n a b =+，则n取最小值时，21nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为 A ．80- B ．80 C ．40 D ．20-6. 若001(2)1,(),(2)2f x f x y f x ''===，则0()y x '=A ． 0B ．21 C ． 3 D ． 27．已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立．又o x R ∃∈，使220o o ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为A ．1BC ．2D ．8．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，动点P 在正方体表面上且满足1||||PA PC =,则动点P 的轨迹长度为A ．3B ．23C ．33D ．6 9．过点()2,0M -作斜率为1k (1k ≠0)的直线与双曲线2213y x -=交于,A B 两点，线段AB 的中点为P ，O 为坐标原点，OP 的斜率为2k ，则12k k ⋅等于A ．13 B ．3 C ． 13- D ．3- 10．在区间[]0,2 上随机取两个数,x y ，则[0,2]xy ∈的概率是 A ．1ln 22- B ．32ln 24- C ． 1ln 22+ D ．12ln 22+ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡的相应位置． 11．已知向量(2,4)=a ，(1,1)=b ，若向量()⊥+λb a b ，则实数λ的值是 .12．某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如右图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80~90分数段应抽取 人．13．已知直线()10,0ax by a b +=≠≠与圆221x y +=相切，若1(0,)A b ，2(,0)B a，则||AB 的最小值为 ．14．已知01a a ,>≠，函数()()()11x a x f x x a x ,,⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值大52，则a 的值为 ．15．选考题（请考生在A 、B 、C 三题中任选一题作答，如果全选，则按A 题结果计分）A. 已知函数()|3|2f x x =--，()|1|4g x x =-++．若不等式()()1f x g x m -≥+的解集为R ，则 m 的取值范围是 ．B. 在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为sin()104πρθ++=，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=，，ϕϕsin 1cos 1y x (ϕ为参数，πϕ≤≤0)，则C 1与C 2有个不同公共点．C ．已知C 点在⊙O 直径BE 的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，若AB ＝AC ，则ACBC =． 二、解答题：本大题共6小题，共75分。

河北省2020年高三3月联考数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|y=3-x }，B={x|1<x≤9），则(C R A)∩B=A.(3,9)B.(1,3)C.[3,9] D ．φ 2．已知复数z=ii-25+ 5i ，则|z|= A.5 B ．32 C ．52 D ．23．已知向量a =(0，2)，b =(23 ，x)，且a 与b 的夹角为3π，则x=A ．-2B ．2C ．1D ．-l4．若双曲线C:221x y m-=的一条渐近线方程为3x+2y=0,则m=A.49B.94C.23D.325．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角 形全等，则A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P-ABC 的体积为38 C. |PA|=|PB|=|PC|=6D ．三棱锥P-ABC 的侧面积为356．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把 苹果近似看成球体）的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在（75，90]内的概率为 附：若X ～N （μ，σ2），则P(μ-σ<X ≤μ+σ)一0.6826，P(μ- 2σ<X ≤μ+2σ) =0. 9544. A.0. 6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.9544 7．将函数2)63sin(3)(-+-=πx x f 的图象向右平移6π个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间],18[θπ-上的最大值为1，则θ的最小值为A ．3πB ．12πC ．18πD.6π8.函数2ln ||()||x f x x x =-的图象大致为9.设不等式组0,30x y x ⎧+≥⎪⎨⎪≤⎩表示的平面区域为Ω,若从圆C:x 2+y 2=4的内部随机选取一点P,则P 取自Ω的概率为A.524B.724C.1124D.172410.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且在[0,＋∞)上是增函数,不等式f(ax ＋2)≤f(-1)对于x ∈[1,2]恒成立,则a 的取值范围是A.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B 1.1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[0,1]11.已知直线v=k(x-l)与抛物线C ：y 2=4x 交于A ，B 两点，直线y=2k(x-2)与抛物线D ：y 2=8x 交于M ，N 两点，设λ=|AB|-2|MN|,则A.λ<-16B.λ=-16C.-12<λ<0D.λ=-1212.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有这样一个相关的问题：将l 到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为A. 56383B.57171C.59189D.61242第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．83)12(xx -的展开式中的常数项为 ． 14.函数1)4()(-+-=x x x x f 的值域为 ．15.在数列{a n }中,a 1=1,a n ≠0,曲线y=x 3在点(a n ,a n 3,)处的切线经过点(a 1n +,0),下列四个结论:①223a =;②313a =;③416527i i a ==∑;④数列{a n }是等比数列. 其中所有正确结论的编号是______.16.如图，在三棱锥A-BCD 中，点E 在BD 上，EA=EB=EC=ED ，BD=.2CD ，△ACD 为正三角形，点M ，N 分别在AE ，CD 上运动（不含 端点），且AM=CN ，则当四面体C- EMN 的体积取得最大值32时， 三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为 ．三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.(12分)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2a-c=2bcosC. (1)求sin()2A CB ++的值; (2)若3b =,求c-a 的取值范围.18.（12分）在四棱锥P-ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD,AB ⊥BC,BC= CD=l,PD=2 .(l)证明：AB ⊥PD.(2)求二面角A- PB-C 的余弦值．19.（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向，为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：(l)从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤≤=.300250,1480,250100,220,1000,0x x x y 假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.61,121,121,61,31,619月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替．(i)记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；( ii)试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2. 88万元？说明你的理由．20.(12分)已知椭圆C:2221(1)x y a a+=>的左顶点为A,右焦点为F,斜率为1的直线与椭圆C 交于A,B 两点,且OB⊥AB,其中O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M,N 两点,若点P 满足3OP PM =u u u r u u u u r,且NP 与椭圆C的另一个交点为Q,求||||NP PQ 的值. 21.（12分） 设函数f(x)=x-x1，g(x)=tlnx ，其中x ∈(0，1)，t 为正实数． (l)若f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求实数t 的取值范围； (2)设 H (x) = (lnx-x 2+1)e x +(x 2-l) (l-x1)，证明：对任意x ∈(0，1)，都有H(x)>0．(二)选考题:共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程24,4x t y t =⎧⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程; (2)已知射线(0)2πθαα=<<与C 1交于O,P 两点,与C 2交于O,Q 两点,且Q 为OP 的中点,求α.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数f(x)=|x-2|+|2x-1|. (1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)记函数f(x)的最小值为m,若a,b,c 均为正实数,且12a b c m ++=,求a 2+b 2+c 2的最小值.。

银川一中2020届高三年级第三次月考（理科）参考答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AABBDBACDDCC二、填空题：13．}2123|{>-<x x x 或 14．4)1(22+n n 15. 231- 16. π+)2231(三、解答题：17．解：(1)由题意得1221a a 4,a 2a 1,⎧+=⎪⎨=+⎪⎩则12a 1,a 3.⎧=⎪⎨=⎪⎩-----------------------------------2分又当n≥2时,由a n+1-a n =(2S n +1)-(2S n-1+1)=2a n ,得a n+1=3a n ,-------4分所以数列{a n }是以1为首项,公比为3的等比数列,所以a n =3n-1,n ∈N *.---6分 (2)记S n =(a 1-1-2)+(a 2-2-2)+(a 3-3-2)+……+(a n -n-2) ------8分 =(a 1+a 2+……+a n )-[3+4+5+……+(n+2)] ------10分 =2513252132)23(313122nn n n n n n n n ---=+--=++--------12分 18．解(1)根据题意，距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元800,513100=∴+⨯=k k-------------3分 80,6553800)(≤≤+++=∴x x x x f-------------6分 (2)5805)53(253800)(-≥-+++=x x x f =75-------------8分当且仅当)53(253800+=+x x 即x ＝5时75)(min =x f -------------11分 答：宿舍应建在离厂5km 处可使总费用f(x)最小为75万元. ------12分 19.（Ⅰ）在△ACD 中，设(0)AD x x =>，由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π，-----------------2分 整理得277x =，解得1x =.所以1, 2.AD CD ==---------------------------------------------------4分由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得21sin 7DAC ∠= .......................6分（Ⅱ）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=，所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠ ------------------------------8分所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠=--------------------------------------------------10分 因为21sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角， 所以227cos 1sin 7CAD CAD ∠=-∠=.----------------------------12分 因此7.AB = ...............12分 20．21．解：（1）函数的定义域为，'(1)()a x f x x-= , 2分 当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,1]，单调减区间为[1,)+∞； 3分 当0a <时，()f x 的单调增区间为[1,)+∞，单调减区间为(0,1]； 4分 （2）令()ln 3(1)4ln 1F x a x ax a x e a x x e =--+++-=++-, 则'()a x F x x +=，令'()0a xF x x+==，则x a =- 5分 （a ）若a e -≤,即a e ≥- 则()F x 在2[,]e e 是增函数,22max()()210F x F e a e e ==++-≤ 212e e a --≤无解. 6分（b ）若2a e -≥即2a e ≤-，则()F x 在2[,]e e 是减函数,max ()()10F x F e a ==+≤ 1a ≤- 所以2a e ≤- 7分（c ）若2e a e <-<,即2e a e -<<-，()F x 在[,]e a -是减函数, 在2[,]a e -是增函数,22()210F e a e e =++-≤可得212e e a --≤ ()10F e a =+≤可得1a ≤-所以2212e e e a ---≤≤综上所述212e e a --≤ 8分（3）令1a =-（或1a =）此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在[1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立， 9分∵*2,n n N ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---， 10分 所以 22221111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)234n++++++++ 1111111(1)()()...()223341n n <-+-+-+--111n=-< 12分22.(1)曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+= ，极坐标方程为2cos ρθ= ------4分(2)设11(,)P ρθ，则有2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得111,3πρθ== --6分设22(,)Q ρθ，则有2sin()3333πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得223,3πρθ==--8分所以2PQ = . --10分23.解：（1）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ＜－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ＞1．当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5； 当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．……………………………………………4分 所以，不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}．……………………………5分 （2）f (ab )＞|a |f ( ba )，即|ab －1|＞|a －b |． …………………………………………6分∵因为|a |＜1，|b |＜1，∴|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以，|ab －1|＞|a －b |．故所证不等式成立．…………………………………10分。

2020届高三下期3月月考数学（理）一、选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =-->，则C R A =（ ）A. {|1}{|3}<-⋃>x x x xB. {|1}{|3}≤-⋃≥x x x xC. {|13}x x -≤≤D. {|13}x x -<<【答案】C【分析】直接通过解不等式2230x x --≤求出R C A .【详解】解：集合{}{}2|230|13R C A x x x x x =--≤=-≤≤，2.复数(23)i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A3.设向量a ⃗=（x ，-4），b ⃗⃗=（1，-x ）若向量a ⃗与b ⃗⃗同向，则x =（ ） A ．2 B ．-2 C ．2± D ．0 【答案】A4.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为53，则其渐近线方程为（ ）A ．20x y ±=B ． 20x y ±=C ．340x y ±=D ．430x y ±= 【答案】D5. 执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）A ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为5B ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为7C ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为8D ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为10 【答案】C6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．24πB ．30π C.42π D ．60π 【答案】A7.函数131()2xf x x =-的零点所在的区间为（ ） A. 1(0,)4 B. 11(,)43C. 11(,)32D. 1(,1)2【答案】C【分析】先判断出函数的单调性,结合零点存在定理即可判断出零点所在区间. 【详解】函数131()2x f x x =-所以函数在R 上单调递增 因为1113331311111033322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1113321211111022222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以函数零点在11,32⎛⎫⎪⎝⎭故选:C 8.设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ） A.98B.198C.158D.278【答案】B【详解】解：当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231n n a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=，21323112a a ∴=+=+，得254a =，321523114a a ∴=+=+，得3198a =， 故选：B9.已知函数22()1log log (4)=+--f x x x ，则（ ） A. ()y f x =的图像关于直线2x =对称 B. ()y f x =的图像关于点(2,1)对称 C. ()f x 在(0,4)单调递减 D. ()f x 在(0,4)上不单调【答案】B【详解】解：040x x >⎧⎨->⎩，得函数定义域为(0,4)，222(1)1log log (41)1l 13og f =+--=-，222(3)1log log (43)1l 33og f =+--=+，所以(1)(3)f f ≠，排除A ；(1)(3)f f <，排除C ；2log x 在定义域内单调递增，2log (4)x -在定义域内单调递减，故22()1log log (4)=+--f x x x 在定义域内单调递增，故排除D ； 现在证明B 的正确性：方法一、2222()(4)1log log (4)1log (4)log 2f x f x x x x x +-=+--++--=，所以()y f x =的图像关于点(2,1)对称，故选：B . 方法二、10.下列说法正确的个数为（ ）①“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件；②若数据123,,,,n x x x x ⋯的平均数为1，则1232,22,,2,n x x x x ⋯的平均数为2； ③在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“6sin cos x x +≥”发生的概率为12④已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.84P X ≤=，则(0)0.16P X ≤=.A. 4B. 3C. 2D. 1【详解】对于①,由复合命题“p q ∨为真”,可知p 为真,或q 为真;若“p q ∧为真”,则p 为真,且q 为真.所以“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的必要不充分条件,所以①错误； 对于②,若数据1231nx x x x n+++⋯+=的平均数为1,由平均数公式可知()123123222222n n x x x x x x x x n n+++⋯++⋯+=+=+的平均数为2,所以②正确;对于③,在区间[]0,π上.若6sin cos 2sin 42x x x π⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭,解得5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 则在区间[]0,π上随机取一个数x ,则事件“6sin cos 2x x +≥”发生的概率为5112123p πππ-==,所以③错误; 对于④,随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ,则2μ=.,由正态分布曲线规律可知,(0)(4)10.840.16P X P X ≤=≥=-=,所以④正确. 综上可知,正确的为②④ 故选:C11.已知水平地面上有一篮球，球的中心为O '，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O 为原点，设椭圆的方程为22142x y +=，篮球与地面的接触点为H ，则||OH 的长为（ ）A.62B. 2C. 32D.103 【答案】B【分析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向(4)0.84P X ≤=地面做垂线，垂足是H ，得到一个直角三角形，可得要求的结果． 【详解】：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，由图()1101809022AB O BA A AB B BA ''''︒︒∠+∠=∠+∠=⨯=,，由是中点 故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ， 在构成的直角三角形中，222OH O H O O ''=+，OH∴==，故选：B ．12.若直线l 与函数()xf x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则直线的斜率k =（ ） A. 2或e B. 1或eC. 0或1D. e【答案】B【分析】设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率.【详解】设直线l 与函数()xf x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2g x x =+的图象相切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k .则1122l 2,n x y e y x ==+因为'()xf x e =,()1'g x x =,则121x x k e ==, 所以11122212122ln 211x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由121x e x =,可得21ln x x =-,代入上式可得()22222ln 2l 1n 1x x x x x -+=--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---= 即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21x e =. 代入21k x =,可得1k =或k e = 故选:B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上.13. 若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．【答案】814. 二项式61()x x-的展开式中4x 项的系数为__________． 【答案】6-； 【解析】90AO B '︒∴∠=O l【分析】根据二项展开式的通项,代入即可求得4x 项的系数.【详解】根据二项定理展开式的通项1C r n r rr n T a b -+=则二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开通项为()66216611rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以当1r =时,4x 的系数为()11616C -=-,故答案为:6-15. 已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的 最小值为__________ 【答案】4【详解】因为122a a =-由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=-,变形可得112d a a =--因为数列{}n a 为递增数列,所以1120d a a =-->,即10a < 而由等差数列通项公式可知312a a d=+()11111242a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由10a ->,140a >-结合基本不等式可得()()311114424a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-≥-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当12a =-时取得等号所以3a 的最小值为416.在边长为1的正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λμ+的最大值为________. 【答案】3【详解】解：根据题意，如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立坐标系： 则(0,0),(1,0)A B ，C(1,1),D(0,1), 则BD 的方程为x ＋y ＝1， 点C 为圆心且与BD 相切的圆C ，其半径222r d ===， 则圆C 的方程为221(1)(1)2x y -+-=；因P 在圆C 上，所以设P 的坐标为221cos ,1sin θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭， 则22(1,0),(0,1),1cos ,1sin AB AD AP θθ⎛⎫===++ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，由AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r，得221cos ,1sin (1,0)(0,1)θθλμ⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则有221cos ,1sin 22λθμθ=+=+； 22(cos sin )2sin 34πλμθθθ⎛⎫+=++=++≤ ⎪⎝⎭，即λμ+的最大值为3；故答案为：3． 【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P 的坐标与,λμ的关系，是中档题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分.17. ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos -=a c bA B. （1）求A ；（2）若1a =，求ΔABC 面积的最大值. 【详解】解：（1）由2cos cos -=a c bA B可得：cos 2cos cos =-a B c A b A ， 由正弦定理可得：sin cos 2cos sin cos sin =-A B A C A B ,∴sin()2cos sin sin 2cos sin +=⇒=A B A C C A C ，∵sin 0C ≠，∴1cos 2A =，∵(0,)A π∈， ∴3A π=；（6分）（2）由（1）知3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即221b c bc =+-（8分）∵222b c bc +≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==时取等号） ∴13sin 2=≤V ABC S bc A ，所以ABC V 面积的最大值为3.（12分） 18.如图，几何体ABCDFE 中，ABC ∆，DFE ∆均为边长为2的正三角形，且平面//ABC 平面DFE ，四边形BCED 为正方形.（1）若平面BCED ⊥平面ABC ，求证:平面//ADE 平面BCF ；（2）若二面角D BC A --为150︒，求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点O ,ED 的中点G ,连接,,,AO OF FG AG .如下图所示: 因为AO BC ⊥,且平面BCED ⊥平面ABC , 所以AO ⊥平面BCED ,同理FG ⊥平面BCED , 所以//AO FG ,（2分） 又因为3AO FG ==, 所以四边形AOFG 为平行四边形,所以//AG OF //AG 平面BCF ,又//DE BC ,DE ⊄ 平面BCF ,又因为AG 和 DE 交于点G 所以平面//ADE 平面BCF .（6分）（2）连结GO ,则GO BC ⊥,又AO BC ⊥,所以GOA ∠为二面角D BC A --的平面角,所以150GOA ∠=︒ 建立如图所示的空间直角坐标系,则(23,0,0),(0,1,1),(0,1,1),(3,1,0)A D E B - 所以(23,1,1),(0,2,0)AD ED =-=u u u ru u u r设平面ADE 的一个法向量是(,,)n x y z =r,则00n AD n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u uv r ,即2300x y z y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩, 令3,6x z =∴=,即(3,0,6)n =r,(8分)又因为(3,0,1)BD =-u u u r,所以39sin ,||||239BD n BD n n BD ⋅〈〉===⋅u u u r ru u u r r u u u r r, 即所求的角的正弦值为39.（12分） 19.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如下图所示.（1）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50,150)内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如下图所示：,①从B 类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.解：（1）1(0.0060.00360.002450x =-++20.0012)0.0044⨯+=， 按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3， 所以估计平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯186=度.（4分）（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B 类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为2163391528C C C =.（8分） ②因为2K 的观测值224(6963)1212915k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.6 3.841=<，（11分）所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”.（12分） 20.已知动圆过定点(0,2)A ，且在x 轴上截得的弦长为4. （1）求动圆圆心M轨迹方程C ；（2）设不与x 轴垂直的直线l 与轨迹C 交手不同两点()11,P x y ，()22,Q x y .若12112+=x x ， 求证：直线l 过定点.【详解】解：（1）设动圆圆心为(,)M x y ，则222(2)4+--=x y y ，化简得24x y =；（4分）（2）易知直线l 的斜率存在，设:l y kx b =+，则（5分）由24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=，由韦达定理有：124x x k +=，124x x b =-.（7分） 从而12121122+=⇒+=x x x x x x ，即48=-k b ，则12=-b k （10分） 则直线11:22⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭l y kx k k x ，故直线过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭.（12分）21.已知函数()f x 满足:①定义域为R ；②2()2()9xxf x f x e e +-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有−x 12+(a-2)x 1+6≥(1−x 2)f (x 2)成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解. 【详解】（1）2()2()9xx f x f x e e+-=+-Q ,…① 所以2()2()9xx f x f x ee ---+=+-即1()2()29xxf x f x e e -+=+-…② 由①②联立解得:()3xf x e =-.（3分）（2）设2()(2)6x x a x ϕ=-+-+, ()()()1333xx xF x x e e xe x =--=+--,依题意知:当11x -≤≤时,min max ()()x F x ϕ≥()()33x x x x F x e e xe xe '+=-+=-+Q的又()(1)0xF x x e ''=-+<Q 在(1,1)-上恒成立,所以()F x '在[1,1]-上单调递减()(1)30min F x F e ∴'='=->，()F x ∴在[1,1]-上单调递增,max ()(1)0F x F ∴==，所以min ()0x ϕ≥(1)70(1)30a a ϕϕ-=-≥⎧∴⎨=+≥⎩,解得:37a -≤≤ ，实数a 的取值范围为[3,7]-.（8分） （3）()g x 的图象如图所示：令()T g x =,则()1g T =，1232,0,ln 4T T T ∴=-== 当()2g x =-时有1个解3-,当()0g x =时有2个解：(12)-+、ln3,当()ln 4g x =时有3个解:ln(3ln 4)+、12(1ln 2)-±-.故方程[()]10g g x -=的解分别为：3-,(12)-+、ln3,ln(3ln 4)+、12(1ln 2)-±-（12分）22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224([0,])43cos =∈-ρθπθ.点(3,0)P . （1）写出曲线2C 的普通方程和参数方程；（2）曲线1C 交曲线2C 于A ，B 两点，若2||||5⋅=PA PB ，求曲线1C 的普通方程. 【详解】解：（1）()22222222443cos 43443cos =⇒-⇒+-=-x y x ρρρθθ所以，曲线2C 的普通方程为：2214x y +=（2分）曲线2C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（5分）（2）由题知点P 在曲线上，将1C 的参数方程3cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩代入曲线2C 的普通方程为：2214x y +=得：1C()223sin 1cos 10++-=t αα所以0∆>，设12,t t是方程的两根，1212221,3sin 13sin 1t t t t ααα∴+=-=-++ 12212||||3sin 15PA PB t t α⋅===+，sin 24⇒=⇒=παα或34π（9分） 所以曲线1C的普通方程为：y x ==-+y x 10分）【点睛】本题考察极坐标方程和普通方程的互化，普通方程和参数方程的互化，考查了直线参数方程的应用，是基础题．23.已知1()=+f x x x（1）求不等式1()3||+<f x x 的解集； （2）()f x 的最小值为M ，12+=a b M ，(),a b R +∈，求22()()+f a f b 的最小值. 【答案】（1）{|2l x x -<<-或12}x <<；（2）252 【解析】【分析】（1）将12()3||3||||f x x x x +<⇒+<，求出||x 的范围，进而可得x 的范围； （2）首先求出()f x 的最小值，即可得+a b 的值，利用柯西不等式和基本不等式求22()()+f a f b 的最小值.【详解】解：（1）∵1112()33||3||||||+<⇒++<⇒+<f x x x x x x x ， (||1)(||2)01||2||-⋅-<⇒<<x x x x ， 不等式1()3||+<f x x 的解集为：{|2l 12}x x x -<<-<<或；（5分） （2）11()||2||=+=+≥=f x x x x x ， 所以，1a b +=，.()2222222211111()()112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦f a f b a b a b a b a b 21112⎛⎫≥+++ ⎪⎝⎭a b a b 222111125112222⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ab a b .（10分）。

湖北省武汉市2020届高三下学期3月质量检测数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A.12B. 12-C. 2D. ﹣2『答案』D『解析』因为z ＝（1+2i ）（1+a i ）=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D2.已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ） A. 『﹣3，2） B. （﹣3，2）C. （﹣1，0』D. （﹣1，0）『答案』C『解析』因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 故选：C3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A.16B.518C.19D.512『答案』A『解析』共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况， 故61366p ==. 故选：A .4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ）A. 2B. 4C.12D. 8『答案』B『解析』4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q ==.故选：B .5.执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为（ ）A.53B.85C.138D.2113『答案』C『解析』第一次循环，2,1s i ==，第二次循环，3,22s i ==， 第三次循环，5,33s i ==，第四次循环，8,45s i ==，第四次循环，13,58s i ==， 此时不满足4i ≤，输出138s =. 故选：C6.已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ）A.B. 1C.D. 2『答案』D『解析』如图所示建立直角坐标系，则1,0A，12⎛- ⎝⎭B，1,2C ⎛- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .7.已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A.12B.14C.D.2『答案』A『解析』已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A8.已知数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n =（ ） A. 2n B. n 2 C. n +2 D. 3n -2『答案』B『解析』()21114n n n n a a a a +++-=，故11n n a a ++-=，即21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =. 故选：B .9.已知a =0.80.4，b =0. 40. 8，c = log 84，则（ ） A. a<b<c B. a<c<b C. c<a<b D. b<c<a『答案』D『解析』5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 故选：D .10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（ ） A.25B.35C.15D.215『答案』A『解析』所有情况共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.满足条件的共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 故选：A .11.已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A.12B.C.D.『答案』C『解析』设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故2e =.故选：C .12.已知关于x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l ，+∞)恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. （-∞，1-e 』 B. （-∞，-3』C. （-∞，-2』D. （-∞，2-e 2』 『答案』B『解析』根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===.设()1xf x e x =--，则()'1xf x e =-，则函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1xe x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x x e x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.故选：B .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.『答案』221123y x -=『解析』双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，则12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=.故答案为：221123y x -=.14.若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 取值范围为___．『答案』a ≥﹣1． 『解析』因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a x f x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 ， 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 ， 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-.的故答案为：1a ≥-15.根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）． 『答案』9.14h.『解析』建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ． 若在点C 处受到热带风暴的影响，则OC ＝450，=450，=450；两边平方并化简、整理得t 2﹣t +175＝0∴t 5=或5，14159.≈所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．16.在三棱锥S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA SB 三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C 的余弦值为____． 『答案』12-『解析』球的表面积为2421R ππ=，故2R =，222SA SB AB +=，故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O ，2r =ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O，1r ==设球心为O ，则2OO ⊥平面SAB ，1OO ⊥平面ABC ，1CO 与AB 交于点D ， 易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥， 故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角.故132OO ==，232OO ==，113DO CD ==2122DO SA ==.1tan ODO ∠=13ODO π∠=，2tan ODO ∠=23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.（1）求A 的余弦值； （2）求△ABC 面积的最大值． 解：（1）tan tan tan tan A B c bA B c --=+，则sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. （2）2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos2A =，故sin A =，1sin 2S bc A =≤△ABC 面积的最大值为18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．（1）求证：AC ⊥QL ；（2）求点A 到平面PQL 的距离．（1）证明：如图所示：作QM CD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M =，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.（2）解：取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的距离等于A 到平面PNL 的距离. 故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=.2112224PNLS NL NP a a ∆=⋅=⋅=，P ANLA PNL V V --=，即321324a d ⋅=，故d a =.19.已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =（2，（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．解：（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p，0），满足FP =（2，P 的坐标为（22p+，），P 在抛物线上， 所以（）2＝2p （22p +），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 204y -），即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A （3，﹣2），B （3，﹣6）分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y 0可得y 1y 2＝12，易知直线k NL 124y y =+，则直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214y -），即y 124y y =+x 1212y y y y ++，故y 124y y =+x 1212y y ++，所以y 124y y =+（x +3），因此直线NL 恒过定点（﹣3，0）．20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知101i i x =∑= 380.0（1）求第10年的年收入x 10；（2）收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程y 363254x =+ˆa . （i ）10年的销售额y 10；（ii ）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程ˆˆˆybx a =+中，11221ˆni i ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-. （2）1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑解：（1）10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.（2）1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-. 故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =. 21.（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<解：（1）对函数求导，得，'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x xy e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0xy e x x x =-+>，即函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.（2）对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=， 令()()212cos xg x ex x x =--，则()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由（1）知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，则()'0g x <故()g x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00g x =， 即()()02000012cos x g x ex x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数； 当0,2x x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数. 又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数， 因此()f x 有唯一的极大值点0x 由()f x 在0,2x π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减， 故()20212sin 202222e f x f eππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 00010,02sin 2x e x x -<<<-<故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分．『选修4-4:坐标系与参数方程』22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． （1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 解：（1）曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加整理得2212516x y +=． 将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 得x 2+y 2﹣4x +3＝0， 整理得（x ﹣2）2+y 2＝1．（2）设点P （5cosθ，4sinθ）在曲线C 1上，圆心O （2，0）， 所以：PO ===， 当cosθ＝1时，|PO |min ＝3， 所以|PQ |的最小值3﹣1＝2． 『选修4-5:不等式选讲』23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．解：（1）当a ＝4时，f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，（i ）当x ≥3时，原不等式可化为3x ﹣7≥8，解可得x ≥5， 此时不等式的解集『5，+∞）；（ii ）当2＜x ＜3时，原不等式可化为2x ﹣4+3﹣x ≥8，解可得x ≥9 此时不等式的解集∅；（iii）当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x13≤-，此时不等式的解集（∞，13 -』，综上可得，不等式的解集『5，+∞）∪（∞，13 -』，（2）（i）当a﹣112a=即a＝2时，f（x）＝3|x﹣1|22a≥=2显然不恒成立，（ii）当a﹣112a＞即a＞2时，()1321211123211x a x af x x a x ax a x a⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，，结合函数的单调性可知，当x12a=时，函数取得最小值f（12a）112a=-，若f（x）22a≥在R上恒成立，则211122a a-≥，此时a不存在，（iii）当a﹣112a＜即a＜2时，f（x）3211111213212x a x ax a x ax a x a⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，若f（x）22a≥在R上恒成立，则121122a a-≥，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围『﹣2，1』，综上可得，a的范围围『﹣2，1』．。

一、单选题1．设复数z 满足，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则【答案】C【解析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】故选C ．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．2．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )【答案】B【解析】由从共有15个球中任取2个球，共有215C 种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有11510C C 种不同的取法，再利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，从共有15个除了颜色外完全相同的球，任取2个球，共有种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有种不同的取法，所以概率为，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的应用，其中解答中认真审题，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．等差数列x ，3x +3，6x +6，⋅⋅⋅的第四项等于（）A ．0B ．9C ．12D ．18【答案】B【解析】先根据已知求出x 的值，再求出等差数列的第四项得解.【详解】由题得2(3x+3)=x+(6x+6),∴x=0.所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3，所以等差数列的第四项为9.故选：B【点睛】本题主要考查等差中项的应用，考查等差数列的通项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．若l， m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”是“l// α”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若l ⊥m，因为m 垂直于平面α，则l // α或l ⊂α；若l// α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m”是“l //α的必要不充分条件，故选B ．【考点】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．5．已知函数，则下列结论正确的是（）【答案】A【解析】作出函数的图象与直线y=- b 交点的横坐标，由图可以得出相应结论．【详解】【点睛】本题考查函数的零点与方程根的分布，解题关键是把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，利用数形结合思想求解．6．抛物线方程为x2=4y，动点P的坐标为(1,t)，若过P点可以作直线与抛物线交于,A B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为（）【答案】A【解析】【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查中点弦问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.故ω的最大值为9．故选项D 正确. 故选：B【点睛】本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.9．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移m (m >0)个单位长度，得到函数g( x )的图象.若g( x )为奇函数，则m 的最小值为（）故选：D【点睛】本题考查有关函数图像的变换问题，正弦型函数的奇偶性，属于基础题.10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为=（）【答案】B 【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】故选：D【点睛】本题考查垂直关系的向量表示，中位线的性质，双曲线的几何性质，属于中档题. 12．设函数恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（）【答案】C【解析】f(x)恰有两个极值点，则f¢(x) =0恰有两个不同的解，求出f¢(x)可确定x=1是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件.【详解】f(x)恰有两个极值点，则f¢(x) =0恰有两个不同的解，显然x =1是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.令，则，所以函数g(x)在(0,+?)上单调故选：C本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题13．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A 传B ，B 又传C ，C 又传D ，这就是“持续人传人”.那么A 、B 、C 就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大_______.【答案】0.915【解析】求出小明与第一代、第二代、第三代传播者接触的概率，代入概率公式求解即可.【详解】设事件A ，B ，C 为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D 为小明被感染，则由已知得：p (A )=0.5，p (B )=0.3，p (C )=0.2，p (D |A )=0.95，p (D |B )=0.90，p (D |C )=0.85，从而，小明被感染的概率由概率公式可得：p (D )=p (D |A )p (A )+p (D |B )p (B )+p (D |C )p (C )=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2=0.915故答案为：0.915【点睛】本题考查随机事件的概率，条件概率的概念及概率公式，属于基础题.14．在直四棱柱ABCD _A1B1C1D1-中，底面是边长为4的菱形，∠ABC=60°，AA1 =4，过点B 与直线AC1垂直的平面交直线AA1于点M ，则三棱锥A MBD -的外接球的表面积为____.【答案】68π【解析】建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,先确定M 是AA1中点，再求三棱锥A -MBD 的外接球的半径，即得解.【详解】故答案为：68π.【点睛】本题主要考查几何体外接球的问题的解法，考查空间几何元素的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【答案】【解析】设出等差数列基本量，根据题意列出方程组求出基本量，从而得到等差数列的通项公式，即可得解.【详解】【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和，属于基础题.16．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有∆ABC满足“勾3股4弦5”，其中“股”AB =4，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且∆ABD满足勾股定理，则【答案】【解析】先由等面积法求得AD ，利用向量几何意义求解即可.【详解】【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.三、解答题17．已知在∆ABC 中，角、、A B C 对应的边分别为a、 b 、c， bsinB +asinC=asinA +csinC．（1）求角B ；（2）若c =1，∆ABC 的面积为，求C ．【答案】【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简bsinB +asinC=asinA +csinC即得B 的大小；（2）先根据∆ABC 的面积为求出a=1,即得C.【详解】（1）由bsinB +asinC=asinA +csinC及正弦定理【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．已知椭圆（1）求椭圆的方程；（2）设A ，B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE ⊥ x轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：∆ABD 是直角三角形．【答案】（1）（2）见解析【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.20．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如下：（1）从空气质量指数属于[0,50]，(50,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.【答案】（1）（2）9060元【解析】(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2) 任选一天，设该天的经济损失为X 元，分别求出P(X =0)，P(X =220)，P(X =1480)，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.【详解】解：（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则（2）任选一天，设该天的经济损失为X 元，则X 的可能取值为0，220，1480，【点睛】本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.21．已知函数(1)当0a <时，讨论函数f (x) 的单调性(2)，对任意x ∈(0,+∞)，都有F (x )≥1恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】(1)F (x )在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减；(2)(-∞，2],【解析】（1）先求得定义域及函数的导函数,求得函数极值点.再由a <0>【详解】∴b-1≤1恒成立∴b 的范围是(],2-∞【点睛】本题考查了利用导函数分析函数的单调性.利用多次构造函数的形式分析函数的单调性与最值,对导数的意义和性质要求理解准确,分类讨论思想的综合应用,属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数，0≤α<π），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点的直角坐标为(1,2)，求直线l 的斜率.【答案】（1）（2）-2【详解】即8cos +4sin =0得tan α=-2,所以直线l 的斜率为-2【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．设函数，（实数a >0）（1）当a -1，求不等式f (x) >3的解集（2）求证：f (x) ≥2.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）利用分类讨论法解不等式得不等式()3f x >的解集；（2）先证明f (x)≥，再利用基本不等式证明f (x) ≥2.【详解】所以f( x) ≥2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查不等式的证明和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD= CD=1 ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）证明：PA// 平面EDB ；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为，求PA 与面ABCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接AC 交BD 于G ，则G 是AC 的中点，连接EG ，证明PA// EG ，PA// 平面EDB 即得证；（2）如图以D 为原点，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系.设DA =a ，根据面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为求出，PA 与面ABCD 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于G ，则G 是AC 的中点，连接EG ，则EG 是∆PAC的中位线，所以PA //EG ，有因为,PA ⊄面EDB EG ⊂面EDB ，所以PA //平面EDB .（2）如图以D 为原点，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系.设DA =a ，则【点睛】本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.25．设函数（1）若f (x )的图象总在函数g( x) 的图象的下方，求实数t 的取值范围；【答案】（1）(0,2] （2）证明见解析【解析】(1)据题意可得上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的t 的取值范围；(2)不等式整理为【详解】（1）解：因为函数f ( x)的图象恒在g ( x)的图象的下方，所以函数F ( x)在(0,1)上单调递增，F ( x)故f( x) -g (x )<0>成立，满足题意.（2）证明：由题意得【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题。