陕西省西安市长安一中重点、平行、文科班2016-2017学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年陕西省西安市长安一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知（x+i）（1﹣i）=y，则实数x，y分别为（）A．x=﹣1，y=1 B．x=﹣1，y=2 C．x=1，y=1 D．x=1，y=22．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1203．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．4．设（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点（，）5．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．756．若，是非零向量，“⊥”是“函数为一次函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（）A．0 B．2 C．4 D．68．已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．πB．4πC．8πD．9π9．设a＞0，对于函数f（x）=，下列结论正确的是（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈11．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．14．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是；15．设1＜x＜2，则，（）2，的大小关系是（用“＜”连接）16．设O是坐标原点，AB是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦，M是弦AB的中点，K AB，K OM分别表示直线AB，OM的斜率，在圆x2+y2=r2中，K AB•K OM=﹣1，在椭圆+=1（a＞b＞0）中，类比上述结论可得．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．18．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．19．如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）20．设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）{a n}的通项公式．21．如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．22．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．2016-2017学年陕西省西安市长安一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知（x+i）（1﹣i）=y，则实数x，y分别为（）A．x=﹣1，y=1 B．x=﹣1，y=2 C．x=1，y=1 D．x=1，y=2【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用复数相等求出x、y即可．【解答】解：考查复数的乘法运算．可采用展开计算的方法，得（x﹣i2）+（1﹣x）i=y，没有虚部，即，解得：x=1，y=2．故选D．2．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【考点】B8：频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8，可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600×0.8=480（人）．故选：B．3．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【考点】6G：定积分在求面积中的应用；CF：几何概型．【分析】根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．4．设（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点（，）【考点】BK：线性回归方程．【分析】对于所给的线性回归方程对应的直线，针对于直线的特点，回归直线一定通过这组数据的样本中心点，得到结果．【解答】解：直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，回归直线方程一定过样本中心点，故选D．5．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【考点】83：等差数列．【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．6．若，是非零向量，“⊥”是“函数为一次函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先判别必要性是否成立，根据一次函数的定义，得到，则成立，再判断充分性是否成立，由，不能推出函数为一次函数，因为时，函数是常数，而不是一次函数．【解答】解：，如，则有，如果同时有，则函数f（x）恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，则，因此可得，故该条件必要．故答案为B．7．的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（）A．0 B．2 C．4 D．6【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为正整数求出r 的值，得到展开式中含x的正整数指数幂的项数【解答】解：的展开式通项为，当r=0，2时，为正整数因此含x的正整数次幂的项共有2项．故选项为B8．已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．πB．4πC．8πD．9π【考点】J3：轨迹方程．【分析】设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得点P的轨迹方程，然后根据轨迹确定面积．【解答】解：已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，设P点的坐标为（x，y），则（x+2）2+y2=4[（x﹣1）2+y2]，即（x﹣2）2+y2=4，所以点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π，故选B．9．设a＞0，对于函数f（x）=，下列结论正确的是（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】换元：令t=sinx，t∈（0，1]，函数转化为，t∈（0，1]，通过研究关于t的函数，的单调性与值域，可以得出原函数为上的单调减函数，从而得出正确答案．【解答】解：令t=sinx，t∈（0，1]，则函数的值域为函数，t∈（0，1]，的值域，又∵a＞0，∴，t∈（0，1]，是一个减函减．当t=1时函数有最小值1+a，函数无最大值．故选B．10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈【考点】F7：进行简单的演绎推理．【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．【解答】解：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值故选D．11．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【考点】3F：函数单调性的性质；63：导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x•f（x）﹣e x，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选A12．已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，•=2（其中O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（ ）A．2B ．3C ．D ．【考点】KG ：直线与圆锥曲线的关系．【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线AB 的方程为：x=ty +m ，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 直线AB 与x 轴的交点为M （m ，0），由⇒y 2﹣ty ﹣m=0，根据韦达定理有y 1•y 2=﹣m ， ∵•=2，∴x 1•x 2+y 1•y 2=2，结合及，得，∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1•y 2=﹣2，故m=2．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1＞0，又，∴S △ABO +S △AFO ═×2×（y 1﹣y 2）+×y 1，=．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t＜3．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先由函数求f′（x）=﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=﹣x+4﹣=0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）=﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）=﹣x+4﹣=0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．14．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是36；【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】先考虑6个表面，每一个表面有四条棱与之垂直；再考虑6个对角面，每个对角面又有两条面对角线与之垂直．【解答】解：正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；故答案为36．15．设1＜x＜2，则，（）2，的大小关系是（）2＜＜（用“＜”连接）【考点】71：不等关系与不等式．【分析】构造函数，f（x）=x﹣lnx，利用导数比较得到0＜＜1，再比较即可．【解答】解：令f（x）=x﹣lnx（1＜x＜2），则f′（x）=1﹣=＞0，∴函数y=f（x）（1＜x＜2）为增函数，∴f（x）＞f（1）=1＞0，∴x＞lnx＞0∴0＜＜1，∴（）2＜，∵﹣==＞0∴（）2＜＜故答案为：（）2＜＜16．设O是坐标原点，AB是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦，M是弦AB的中点，K AB，K OM分别表示直线AB，OM的斜率，在圆x2+y2=r2中，K AB•K OM=﹣1，在椭圆+=1（a＞b＞0）中，类比上述结论可得若AB是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦，M是弦AB的中点，则．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【分析】本题考查的知识点是类比推理，由圆的性质类比猜想椭圆的类似性质，一般的思路是：点到点，线到线，直径到直径等类比后的结论应该为关于椭圆的一个类似结论．【解答】解：定理：如果圆x2+y2=r2（r＞0）上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的都斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值﹣1，即k AB k OM=﹣1．运用类比推理，写出该定理在椭圆+=1（a＞b＞0）中的推广：若AB是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦，M是弦AB的中点，则k AB k OM=﹣．故答案为：若AB是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦，M是弦AB的中点，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．【考点】HR：余弦定理；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a 的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．【解答】解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，则≤b＜1．18．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．【考点】LS：直线与平面平行的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1，则EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG⊂面A1BE，根据FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．【解答】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=，于是在Rt△BEM中，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG ∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．19．如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【考点】BC：极差、方差与标准差；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【解答】解：设A i表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1，2， (13)依据题意P（A i）=，A i∩A j=∅（i≠j）（Ⅰ）设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（B）=…（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=…∴X的分布列为…∴X的数学期望为E（X）=…（Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．…20．设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）{a n}的通项公式．【考点】RG：数学归纳法；8I：数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）分别取n=1，n=2，根据方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，即可求得a1，a2；（Ⅱ）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，即S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入上式得S n﹣1S n﹣2S n+1=0，通过计算猜想S n=，n=1，2，=﹣3，…．再用数学归纳法证明这个结论，进而利用当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，n=1时，a1==，即可求得{a n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（Ⅱ）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，即S n 2﹣2S n +1﹣a n S n =0．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，代入上式得 S n ﹣1S n ﹣2S n +1=0 ①由（Ⅰ）知S 1=a 1=，S 2=a 1+a 2=+=．由①可得S 3=．由此猜想S n =，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论． （i ）n=1时已知结论成立．（ii ）假设n=k 时结论成立，即S k =，当n=k +1时，由①得S k +1=，即S k +1=，故n=k +1时结论也成立．综上，由（i ）、（ii ）可知S n =对所有正整数n 都成立．于是当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=，又n=1时，a 1==，所以{a n }的通项公式a n =，n=1，2，3，…．21．如图，椭圆=1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B （0，1）的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T ．【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I）过点A、B的直线方程为．，因为有惟一解，所以△=a2b2（a2+4b2﹣4）=0（ab≠0），故a2+4b2﹣4=0．由题意知，故所求的椭圆方程为．（II）由（I）得，故，从而．，由，解得x1=x2=1，所以．由此可推出∠ATM=∠AF1T．【解答】解：（I）过点A、B的直线方程为．，因为由题意得有惟一解，即有惟一解，所以△=a2b2（a2+4b2﹣4）=0（ab≠0），故a2+4b2﹣4=0．又因为，即，所以a2=4b2．从而得，故所求的椭圆方程为．（II）由（I）得，故，从而．，由解得x1=x2=1，所以．因为，又，，得=，因此∠ATM=∠AF1T．22．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得，从而xf′（x）≤x2+ax+1可转化为lnx﹣x≤a，令g （x）=lnx﹣x，求出函数的最值，即可求得a的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1，即lnx﹣x+1≤0，可证0＜x＜1时，f （x）≤0；x≥1时，f（x）≥0，从而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得，…∴xf′（x）=xlnx+1，题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx﹣x≤a，令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=．…当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0，∴x=1是g（x）的最大值点，∴g（x）≤g（1）=﹣1．…综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1，即lnx﹣x+1≤0；当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）≤0；…当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx+x（lnx+﹣1）≥0所以（x﹣1）f（x）≥0…2017年6月12日。

14．（ 5 分）已知 tan（α+ ） =2，则
=
．
15．（5 分）设当 x=θ时，函数 f（ x）=2sinx﹣ cosx取得最大值， 则 cos θ＝
．
16．（5 分）已知 θ∈（ ，2π），且 cos（θ﹣ ）= ，则 tan（θ+ ）=
．
三．解答题：解答应写出必要的文字说明．重要的演算步骤，只写最后答案的 不给分． 17．（ 10 分）（1）已知 cos（15°+α）= ， α∈（ 0°，90°），求 sin（ 15°﹣ α） 的 值． （ 2）已知 cosα＝，cos（α﹣β）= ，且 0＜β＜ α＜ ，求 β的值．
A．M=N B．M? N C．M ? N D．M ∩ N=? 【分析】 首先分析 M、N 的元素，变形其表达式，使分母相同，观察分析其分子 间的关系，即可得答案．
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【解答】 解：对于 M 的元素，有 x= π，其分子为 π的奇数倍；
对于 N 的元素，有 x= π，其分子为 π的整数倍；
象． 故选： A． 【点评】 本题考查的知识点是函数 y=Asin（ ωｘ+φ）的图象变换，其中熟练掌握 函数 y=Asin（ωｘ+φ）的图象的平移变换、周期变换、振幅变换法则是解答本题 的关键，属于基础题．
8．（ 5 分）定义行列式运算：
=a1a4﹣a2a3，若将函数 f（x）=
的
图象向右平移 φ（φ＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则 小值是（ ） A． B． C． D．
解得： kπ+ ≤x≤kπ+ π，k∈z， 故选： B． 【点评】 本题考查了三角函数的性质，考查二次根式的性质，是一道基础题．

2016~2017学年度第二学期期中质量检测试卷高一数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（12336⨯=分）1．数列0.9，0.99，0.999， ，的一个通项公式是（ ）．A ．1110n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．1110n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．1110n ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11110n +⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2．已知数列{}n a 中，11a =，23a =，121n n n a a a --=+(3)n ≥，则4a =（ ）． A ．154 B ．133 C ．4 D ．1343．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，当3n ≥时，12n n n a a a --=-，则2017a =（ ）． A ．1B ．1-C ．2D ．2-4．若π3cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）． A ．725 B ．15 C ．725- D ．15- 5．某传在A 处向正东方向航行x 千米后到达B 处，然后沿南偏西60︒方向航行3千米后到达C 处，若A 与Cx =（ ）．A ．3BC． D6．将函数π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像按下面哪一种平移而得不到函数2cos 2y x =的图像（ ）． A ．向左平移π8 B ．向右平移7π8 C ．向右平移3π8 D ．向左平移9π87．已知向量(,3)a m =，(1,2)b m =--，若向量a 与b 夹角为钝角，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．(2,3)-B ．(,2)(3,)-∞-+∞C ．332,,355⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．222,,355⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．在ABC △中，若9c =，10b =，60c =︒，则该三角形的解的情况是（ ）．A ．恰有一解B ．恰有两解C ．有一解或两解D ．无解9．数列2{21}n n λ++是递增数列，则实数λ的范围是（ ）．A ． (,4]-∞-B ．[4,)-+∞C ．(,6)-∞-D ．(6,)-+∞ 10．已知O 为ABC △的外心，且2AB = ，AC =4，则AO BC ⋅= （ ）．A ．2B ．4C ．6D ．811．若ABC △内接于以O 为圆心，以1为半径的圆，且3450OA OB OC ++= ，则该OAB △的面积为（ ）．A ．1B ．12C ．14 D12．已知ABC △中，3AB =、6AC =，D ，E 分别是边BC 的两个三等分点，若15AD AE ⋅= ，则BAC ∠=（ ）． A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6二、填空题（6318⨯=分） 13．设向量(,1)a m = ，(1,2)b = ，若a b a b +=- ，则m = __________．14．已知平面向量a ，b 满足()3a b a +⋅= ，且2a = ，1b = ，则向量a 与b 夹角的为__________．15．在ABC △中，若60B ∠=︒，2b =若该三角形恰有一解，则边长c 的取值范围是__________．16．在等差数列{}n a 中，若39a =，1037a =，则通项公式是n a =__________．18．不查表求值：11sin18sin54-=︒︒__________．三、 解答题（共46分）19．（本题满分8分）在ABC △中，已知三内角A 、B 、C 成等差数列．（1）求角B 的值．（2）求cos A ，cos C 的取值范围．20．（本题满分8分）已知π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin α=． （1）求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． （2）求5πcos 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．21．（本题满分10分）已知πsin ,sin (sin )2a x x b x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，(0)ω>，函数()f x a b =⋅ 的最小正周期为π．（1）求ω的值．（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．22．（本题满分10分）在数列{}n a 中，已知11a =，当2n ≥时，1130n n n n a a a a --+-=．（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项． （2）若11n n a a λλ++≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数λ的取值范围． 23．（本题满分10分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的高，已知AD =，1b =． （1）若2π3A =，求c ． （2）求1c c+的最大值．24．附加题：（5分，但全卷不超过100分）已知等差数列{}n a 满足：222223336645sin cos cos cos sin sin()a a a a a a a -+-+1=，公差(1,0)d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和为n S 取得最大值，求首项1a 的取值范围．。

陕西省西安市长安区第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题(1)1//AC 平面1B CD ；(2)11A B B C ⊥.22．已知向量()cos ,1m x =，n =(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角的取值范围.23．某地在路边安装路灯，灯柱所在平面与道路垂直，且ABC ∠部分所示，已知60ACD ∠= ，路宽(1)当30θ= 时，求四边形ABCD (2)若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，并求出S 的最小值.参考答案：⎫⎪⎭因为AC ⊥平面BCD ，BC ⊂平面因为BD CD ⊥，所以，BC BD =又因为4AB =，所以，AC AB =由20120x x >⎧⎨->⎩可得023x <<，故选：A.【点睛】方法点睛：对于三棱锥外接球的三种模型：第一种模型为常见墙角模型，后就可以找到外接球半径与长方体三边之间的关系第二种模型为对边相等的三棱锥外接球，个长方体，标出三组互为异面直线的对边，的形式而列出方程，然后再将三组方程相加之后就可以得到长方体三边的平方的关系，可以求出外接球的半径.第三种模型为确定球心来构造直角三角形，确定球心，然后来构造直角三角形将立体图形转化为平面图形，的半径.11．AC【分析】根据三角函数的奇偶性、【详解】A 选项，f x ⎛+ ⎝B 选项，由于πππ,623x ≤≤所以()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调函数，C 选项，将函数()f x 的图象向右平移ππsin 2sin 66y x ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C 选项正确.对于A 项，因为H E 、分别为所以//HE BD ，又BD ⊂平面BCD 且HE ⊄所以//HE 平面BCD ，故A 正确.对于B 项，从正方体的角度上看易得故B 正确.对于D 项，因为E 、F 、G 所以//EF AC 且12EF AC =所以//EF GH 且EF GH =，所以四边形EFGH 是平行四边形，故故D 正确.对于C 项，若AB ⊥平面FGH对于B ，四面体11A C BD 的外接球的直径即为正方体设其半径为R ，则216161643R =++=，所以2R =则表面积24π48πV R ==，故B 正确；对于C ，连接11,BC B C ，则11BC B C ⊥，因为AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面1BCC B故答案为：12 5 .(（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，所以1CC AC ⊥，又AC BC ⊥，1BC CC C ⋂=，所以AC ⊥平面11BCC B ，又AC 又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AC 又四边形11BCC B 为正方形，所以又1111A C BC C Ç=，111,AC BC ⊂平面1A B ⊂平面11A C B ，所以1A B B ⊥22．(1)πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）由题知()sin f x =（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得三角函数的性质求解即可.【详解】（1）因为向量(cos m = 所以()3sin cos f x m n x x =⋅=+答案第17页，共17页。