重庆市2018年中考数学一轮复习第四章三角形第2节三角形及其性质练习册

第4节图形的相似
(必考，每年1道，4分)
玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)
命题点相似三角形的性质(必考，多在选填中考查)
类型一求比值
1.(2017重庆A卷8题4分)若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为()
A.3∶2
B.3∶5
C.9∶4
D.4∶9
2.(2016重庆A卷8题4分)△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为()
A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.1∶16
3.(2017重庆B卷8题4分)已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为()
A.1∶4
B.4∶1
C.1∶2
D.2∶1
4.(2015重庆B卷14题4分)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为________．
5.(2010重庆13题4分)已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2∶3，则△ABC与△DEF 的周长比为________．
6.(2012重庆12题4分)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC 与△DEF的面积之比为________．
7.(2011重庆12题4分)如图，△ABC中，DE∥BC，DE分
别交边AB、AC于D、E两点，若AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积比为________．
第7题图
类型二求线段长度
8.(2014重庆B卷3题4分)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是()。

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三 线 ∠3 ∠1 八 角 (如图 ④) 同位角：∠1与∠5，∠2与⑩_____， ∠3与∠7， ∠ 6 ∠4与⑪_____ 不共顶 内错角：∠2与∠8，∠3与 ⑫ ∠ 8_____ 点的角 同旁内角：∠2与∠5，∠3与⑬_____ ∠5
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性质
公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与
同位角⑮______ 1.两直线平行 相 内错角相等 2. ⑯__________ 判定 等 3.两直线平行 同旁内角 ⑰______ 性质 两直线 判定 平行 性质 ∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6 与∠8 邻补角和等于180°，如∠1与∠2，∠2与⑧_____，∠3 共顶点的 角 与∠4，∠4与⑨_____等
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垂 线
1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
互 补
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命题 与定 理

命题：判断一件事情的句子 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题 假命题：题设成立，结论不一定成立的命题 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的 结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么 这两个命题叫做互逆命题 定理与证明：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫 做定理，推理过程叫做证明
第四章
三角形
第1节 线段、角、相 交线与平行线
考点特训 营
线段、角、相 交线与平行线

直线与线段 角及角平分线 三线八角 垂线 垂直平分线 平行线 命题与定理

相交线1.（2017甘肃庆阳）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（ ） A ．115° B ．120°C ．135°D ．145°2. （2017贵州遵义第6题）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．20°D ．15°3.（2017江苏盐城第12题）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °．4. （2017郴州第8题）小明把一副的直角三角板如图摆放，其中，则等于 （ ）A ．B ．C ．D ．三角形的概念1. （2017甘肃庆阳第8题） 已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ） A ．2a+2b-2c B ．2a+2bC ．2cD ．013.（2017浙江嘉兴第2题）长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．92. （2017河池第9题）三角形的下列线段中，能将三角形分成面积相等的两部分是（） A ．中线 B ．角平分线 C.高 D ．中位线3.(2017天津第9题)如图，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转060得DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD .下列结论一定正确的是（ ）A ．E ABD ∠=∠B ．C CBE ∠=∠ C. BC AD // D ．BC AD =4.（2017四川泸州第16题）在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是边AC 、AB上的中线，且BD ⊥CE ，垂足为O ．若OD=2cm ，OE=4cm ，则线段AO 的长度为 cm ．45,3000090,45,30C F A D ∠=∠=∠=∠=αβ∠+∠01800210036002705.（2017新疆建设兵团第15题）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC ； ②AC 与BD 相互平分；③AC ，BD 分别平分四边形ABCD 的两组对角； ④四边形ABCD 的面积S=12AC•BD． 正确的是 （填写所有正确结论的序号）6. （2017湖北咸宁第16题）如图，在中，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线上滑动，下列结论： ①若两点关于对称，则； ②两点距离的最大值为； ③若平分，则； ④斜边的中点运动路径的长为. 其中正确的是 ．7．（2017山东省枣庄市）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD =4，AB =15，则△ABD 的面积是（ ） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 全等三角形1.（2017湖北武汉第15题）如图△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，则DE 的长为 ．2. （2017湖北咸宁第18题） 如图，点在一条直线上，⑴求证：；ACB Rt ∆30,2=∠=BAC BC AB ON OM ,O C 、AB 32=OA O C 、4AB CO CO AB ⊥AB D 2π12F C E B ,,,FC BE DE AC DF AB ===,,DFE ABC ∆≅∆⑵连接，求证：四边形是平行四边形.3.（2017湖北武汉第18题）如图，点,,,C F E B 在一条直线上，CFD BEA ∠=∠，,CE BF DF AE ==．写出CD 与AB 之间的关系，并证明你的结论．4.（2017重庆A 卷）在△ABC 中，∠ABM=45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ． （1）如图1，若BC=5，求AC 的长；（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD=MC ，点E 是△ABC 外一点，EC=AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF=∠CEF ．5. (2017山东滨州第11题)如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA ，OB 相交于M 、N 两点，则以下结论：（1）PM ＝PN 恒成立，（2）OM ＋ON 的值不变，（3）四边形PMON 的面积不变，（4）MN 的长不变，其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．（2017四川省绵阳市）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC =AEO =120°，则FC的长度为（）A ．1B ．2 CD 7．（2017四川省南充市）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE =DG ；②BE ⊥DG ；③，其中正确结论是 （填序号）BD AF ,ABDF 222222DE BG a b +=+PA ONBM直角三角形1. (2017江苏宿迁第12题)如图，在C ∆AB 中，C 90∠A B =，点D 、E 、F 分别是AB 、C B 、C A 的中点．若CD 2=，则线段FE 的长是 ．2.（2017广西贵港第11题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若230BC BAC =∠=，，则线段PM 的最大值是 （ ）A ．4B ．3 C.2 D ．1 3.（2017江苏无锡第10题）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ） A ．2B ．C ．D ． 4.（2017甘肃庆阳第16题）如图，一张三角形纸片ABC ，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ．现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于 cm ．5.（2017贵州安顺第13题）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于 ．6．（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =4，以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线CE 交AB 于点F ，则AF 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．（2017浙江省绍兴市）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）54537512A ．0.7米B ．1.5米C ．2.2米D ．2.4米8．（2017湖北省襄阳市）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69. （2017辽宁大连第8题）如图，在中，，，垂足为，点是的中点，，则的长为（ ） A ． B ． C. D ．●10. （2017黑龙江绥化第20题）在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为 ．11．（2017年贵州省毕节地区第15题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE+EF 的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．6等腰三角形1.（2017湖北武汉第10题）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A ．4B ．5C ． 6D ．72. （2017年湖北省荆州市第6题）如图，在△ABC 中，AB=AC , ∠A =30°，AB的垂直平分()221a b +=ABC ∆090=∠ACB AB CD ⊥D E AB a DE CD ==AB a 2a 22a 3a 334ABC ∆AD BC ⊥BC D 12AD BC =ABC ∆403154245线交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为（ ）A.30°B.45°C.50°D.75°3.(2017山东滨州第8题)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为（ ）A ．40°B ．36°C ．80°D ．25°4.(2017北京第19题)如图，在ABC ∆中，0,36AB AC A =∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D .求证：AD BC =.5. （2017浙江台州第8题）如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（ ）A ．B ． C. D ．6．（2017浙江省绍兴市）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了下图，该图中，四边形ABCD 是矩形，E 是BA 延长线上一点，F 是CE 上一点，∠ACF =∠AFC ，∠FAE =∠FEA ．若∠ACB =21°，则∠ECD 的度数是（ ）A ．7°B ．21°C ．23°D ．24°7. （2017海南第13题）已知△ABC 的三边长分别为4、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条． A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. (2017福建第19题)如图，中，，垂足为．求作的平分线，分别交于，两点；并证明．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)9．（2017山东省枣庄市）在矩形ABCD 中，∠B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，l ,ABC AB AC =B BC AC E AE EC =AE BE =EBC BAC ∠=∠EBC ABE ∠=∠ABC ∆90,BAC AD BC ∠=⊥oD ABC ∠,AD AD P Q AP AQ= AB CD∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，若AB =9，DF =2FC ，则BC = ．（结果保留根号）10. （2017江苏苏州第24题）（本题满分8分）如图，∠A =∠B ，AE =BE ，点D 在C A 边上，12∠=∠，AE 和D B 相交于点O ．（1）求证：C ∆AE ≌D ∆BE ； （2）若142∠=，求D ∠B E 的度数．11．（2017四川省达州市）如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB 、外角∠ACD 的平分线于点E 、F ．（1）若CE =8，CF =6，求OC 的长；（2）连接AE 、AF ．问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．12．（2017浙江省绍兴市）已知△ABC ，AB =AC ，D 为直线BC 上一点，E 为直线AC 上一点，AD =AE ，设∠BAD =α，∠CDE =β．（1）如图，若点D 在线段BC 上，点E 在线段AC 上．①如果∠ABC =60°，∠ADE =70°， 那么α=_______，β=_______． ②求α、β之间的关系式．（2）是否存在不同于以上②中的α、β之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若不存在，请说明理由．13. （2017贵州遵义第12题）如图，△ABC 中，E 是BC 中点，AD 是∠BAC 的平分线，EF∥AD 交AC 于F ．若AB=11，AC=15，则FC 的长为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14等边三角形1. （2017河池第12题）已知等边的边长为，是上的动点，过作于点，ABC ∆12D AB D AC DE ⊥E过作于点，过作于点.当与重合时，的长是（） A ． B ． C. D ．2.（2017广西贵港第16题）如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6,8,10PC PA PB ===，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60得到'P C ，连接'AP ，则sin 'PAP ∠的值为 ．3.（2017江苏徐州第25题）如图，已知，垂足为，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接. （1）线段 ； （2）求线段的长度.4. （2017湖南常德第14题）如图，已知Rt △ABE 中∠A =90°，∠B =60°，BE =10，D 是线段AE 上的一动点，过D 作CD 交BE 于C ，并使得∠CDE =30°，则CD 长度的取值范围是 ．5. （2017年山东省威海市第18题）如图，为等边三角形，，若为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 .6.（2017山东烟台第23题）【操作发现】（1）如图1，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连接，. ①求的度数；②与相等吗？请说明理由； 【类比探究】（2）如图2，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针E BC EF ⊥F F AB FG ⊥G G D AD 3489AC BC⊥,4,C AC BC ==AC A 60AD ,DC DB DC =DB ABC ∆2=AB P ABC ∆ACP PAB ∠=∠PB ABC ∆060ACB ∠C 00030AB D F CD CF =AB E 030=∠DCE AF EF EAF ∠DE EF ABC ∆090=∠ACB 090ACB ∠C方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板另一直角边上取一点，使，线段上取点，使，连接，.请直接写出探究结果：①的度数；②线段之间的数量关系.等腰直角三角形1. （2017江苏徐州第18题）如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形.再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为 ．2. （2017黑龙江齐齐哈尔第19题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，则点的坐标为 ．3. （2017黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第个小三角形的面积为 ．4. （2017浙江湖州第9题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（ ）●5. (2017北京第28题)在等腰直角ABC ∆中，090ACB ∠=，P00045AB D F CD CF =AB E 045=∠DCE AF EF EAF ∠DB ED AE ,,1OB =OB 1A BO 1OA 21A AO n OA 12OA A 1OA y 1121OA A A ==2OA 23OA A 3OA 20172018OA A 2017An是线段BC 上一动点（与点B C 、不重合），连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ CP =，过点Q 作QH AP ⊥于点H ，交AB 于点M .（1）若PAC α∠=，求AMQ ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明.6. （2017湖南株洲第22题）如图示，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF 上，EF 与BC 相交于点G ，连接CF ． ①求证：△DAE ≌△DCF ； ②求证：△ABG ∽△CFG ．7. （2017黑龙江齐齐哈尔第23题）如图，在中，于，，，，分别是，的中点．（1）求证：，； （2）连接，若，求的长． 相似三角形1.（2017四川自贡第14题）在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N ；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN 的长为 ．12．（2017年浙江省杭州市第3题）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD=2AD ，则（ ）A ．B ．C ．D ．3.（2017山东临沂第16题）已知AB CD ∥，AD 与BC 相交于点O .若23BO OC =，10AD =，则AO = ．ABC ∆AD BC ⊥D BD AD =DG DC =E F BG AC DE DF =DE DF ⊥EF 10AC =EF 12AD AB =12AE EC =12AD EC =12DE BC=4. （2017哈尔滨第9题）如图，在中，分别为边上的点，，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中一定正确的是( )A.B. C. D.5.（2017江苏无锡第10题）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．C ．D ． 6.（2017甘肃兰州第17题）如图，四边形ABCD 与四边形EFGH相似，位似中心点是O ，35OE OA =，则FG BC = .7. （2017黑龙江绥化第6题）如图， 是在点为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是，则为（ ）A ．B ．C ．D ． 8. （2017浙江湖州第6题）如图，已知在中，，，，点是的重心，则点到所在直线的距离等于（ ）A ． BC. D ．9．（2017四川省绵阳市）如图，直角△ABC 中，∠B =30°，点O 是△ABC的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连ABC △,D E ,AB AC DE BC ∥F BC AF DE E AD AE AB EC =AC AE GF BD =BD CE AD AE =AG AC AF EC =545375A B C '''∆ABC ∆O A B C '''∆ABC ∆4:9:OB OB '2:33:24:54:9Rt C ∆AB C 90∠=C C A =B 6AB =P Rt C ∆AB P AB 1322接AF 交CE 于点M ，则的值为（ ） A ． BC ．D 10. （2017年山东省泰安市第14题）如图，正方形中，为上一点，，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）A ．18B ． C. D ． 11. （2017年山东省潍坊市第15题）如图，在中，，分别为边、AC 上的点，，,点为边上一点，添加一个条件:，可以使得与相似.（只需写出一个）12．（2017年浙江省杭州市第15题）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D 在边AC 上，AD=5，DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，则△ABE 的面积等于 ．13．（2017山东省枣庄市）如图，在△ABC 中，∠A =78°，AB =4，AC =6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE =∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若AC =8，AB =10，则CD 的长为 ．15. （2017黑龙江齐齐哈尔第17题）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三MO MF1223ABCD M BC ME AM ⊥ME AD E 12AB =5BM =DE 1095965253ABC ∆AC AB ≠E D 、AB AD AC 3=AE AB 3=F BC FDB ∆ADE ∆角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为 ．16. (2017江苏宿迁第24题)（本题满分8分）如图，在C ∆AB 中，C AB =A ，点E 在边C B 上移动（点E 不与点B 、C 重合），满足D F ∠E =∠B ，且点D 、F 分别在边AB 、C A 上．（1）求证：D C F ∆B E ∆E ∽；（2）当点E 移动到C B 的中点时，求证：F E 平分DFC ∠．●17．（2017重庆市B 卷）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点E 是AC 上一点，连接BE ．（1）如图1，若AB =，BE =5，求AE 的长；（2）如图2，点D 是线段BE 延长线上一点，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，连接CD 、CF ，当AF =DF 时，求证：DC =BC ．18. （2017湖南株洲第10题）如图示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PBA=∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point ）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A ．L ．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF 的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（ ）A ．5B ．4C ．．●19.（2017湖南常德第26题）如图，直角△ABC 中，∠BAC =90°，D 在BC 上，连接AD ，作BF ⊥AD 分别交AD 于E ，AC 于F ．（1）如图1，若BD =BA ，求证：△ABE ≌△DBE ；CD ABC ∆ACD ∆CBD ∆ABC ∆46A ∠=︒ACB ∠（2）如图2，若BD =4DC ，取AB 的中点G ，连接CG 交AD 于M ，求证：①GM =2MC ；②AG 2=AF •AC ．20．（2017年山东省东营市第24题）如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．21. （2017年山东省泰安市第27题）如图，四边形中， ，平分，点是延长线上一点，且．（1）证明：；（2）若与相交于点，，，求的长.22．（2017年浙江省杭州市第19题）如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF=∠GAC ．（1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若AD=3，AB=5，求的值．综合探究1.（2017浙江衢州第23题）问题背景如图1，在正方形A BCD 的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH ，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF ≌△BCG ≌△CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形。

第3节全等三角形(必考，1～2道，近5年每年1道，7～16分)玩转重庆10年中考真题(2008～2018年)命题点与全等三角形有关的证明及计算(必考，多在解答题中波及)种类一三角形全等的有关证明(2016，2015，A、B卷，2012，2011年考察)与平行线有关(2016重庆B卷19题7分)如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD.求证：∠B＝∠E.第1题图(2016重庆A卷19题7分)如图，点A、B、C、D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.第2题图3.(2015重庆B卷20题7分)如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的双侧，点C，D在线段AE上，AC＝DE，AB∥EF，AB＝EF.求证：BC＝FD.第3题图含公共边(2015重庆A卷20题7分)如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同向来线上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E.求证：∠ADB＝∠FCE.第4题图(2011重庆19题6分)如图，点A、F、C、D在同向来线上，点B和点E分别在直线AD的双侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.求证：BC∥EF.第5题图含公共角(旋转型)(2012重庆18题6分)已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.求证：BC＝ED.第6题图拓展训练如图，已知AB⊥AC，AB＝AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E.求证：CD＝AE.第1题图种类二三角形全等的证明及计算(波及协助线)(2018，2014，2013，A、B卷，2008～2010年考察)等腰三角形中的协助线(2014重庆B卷24题10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延伸线于点D，CG均分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.(2)求证：(1)AF＝CG；(3)CF＝2DE.第7题图倍长中线(2018重庆A卷24题10分)在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M.点C 是BM延伸线上一点，连结AC.如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连结ED并延伸交BC于点F，且点F是线段BC的中点．求证：∠BDF＝∠CEF.第8题图结构直角三角形(2018重庆B卷24题10分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连结BE.如图①，若AB＝42，BE＝5，求AE的长．如图②，点D是线段BE延伸线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连结CD，CF.当AF＝DF时，求证：DC＝BC.第9题图拓展训练在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC.在等腰Rt△BDE中，∠BDE＝90°，BD ＝DE.连结AD，CD，点F是AD的中点．如图①，当点E和点F重合时，若BD＝5，求CD的长；如图②，当点F恰幸亏BE上，AB＝AD时，求证：BD＝2CD.1.第2题图2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.答案12.证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD，(2分)AB＝CE在△ABC和△CED中，∠BAC＝∠ECD，AC＝CD∴△ABC≌△CED(SAS)，(5分)∴∠B＝∠E.(7分)证明：∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠FDB，(2分)EC＝BD在△ACE和△FDB中，∠ACE＝∠FDB，AC＝FD∴△ACE≌△FDB(SAS)，(5分)AE＝FB.(7分)证明：∵AB∥EF，点C、D在线段AE上，∴∠A＝∠E，(3分) AC＝ED，AB＝EF，∴△ABC≌△EFD(SAS)，(5分)BC＝FD.(7分)证明：∵BC＝DE，BC＋CD＝DE＋CD，即BD＝EC.(3分)又∵∠B＝∠E，AB＝FE，∴△ABD≌△FEC(SAS)，(5分)∴∠ADB＝∠FCE.(7分)证明：∵AF＝DC，AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.又∵AB＝DE，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF(SAS)，(4分)∴∠ACB＝∠DFE，(5分)BC∥EF.(6分)证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，(1分)即∠EAD＝∠BAC，∠B＝∠E在△和△中，AB＝AE，(2分)EAD BAC∠BAC＝∠EAD∴△ABC≌△AED(ASA)，(5分)BC＝ED.(6分)拓展训练1证明：∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE，∴∠BAC＝∠D＝∠E＝90°，∴∠CAD＋∠BAE＝90°，∠DCA＋∠CAD＝90°，∴∠DCA＝∠EAB，∠D＝∠E＝90°在△ADC和△BEA中，∠DCA＝∠E AB，AC＝BA∴△ADC≌△BEA(AAS)．CD＝AE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∵CG均分∠ACB，1∴∠BCG＝2∠ACB＝45°，∴∠CAB＝∠BCG，(2分)∠ACF＝∠CBG在△ACF和△CBG中，AC＝CB，∠CAB＝∠BCG∴△ACF≌△CBG(ASA)，(4分)AF＝CG.(5分)如解图，延伸CG交AB于点H.AC＝BC,CG均分∠ACB，CH⊥AB，且点H是AB的中点，又∵AD⊥AB，CH∥AD，∴∠D＝∠CGE，又∵点H是AB的中点，∴点G是BD的中点，DG＝GB，∵△ACF≌△CBG，CF＝BG，CF＝DG，(7分)E为AC边的中点，∴AE＝CE，∠DEA＝∠GEC在△AED和△CEG中，∠D＝∠CGE，AE＝CE∴△AED≌△CEG(AAS)，(8分)DE＝GE，DG＝2DE，又∵CF＝DG，∴CF＝2DE.(10分)第7题解图(1)解：∵AM⊥BM，点C是BM延伸线上一点，∴∠AMB＝∠AMC＝90°，∴△AMB和△AMC是直角三角形，∵∠ABM＝45°，AB＝32，AM＝BM＝3，∵BC＝5，MC＝5－3＝2，在Rt△AMC中，AM＝3，CM＝2，∴AC＝32＋22＝13.(4分)(2)证明：延伸EF至点H，使FH＝FE，连结BH，如解图①，第8题解图①∵点F是BC的中点，BF＝CF，BF＝CF在△BFH和△CFE中，∠BFH＝∠CFE，FH＝FE∴∴∴∴△BFH≌△CFE(SAS)，(7分)∴BH＝CE，∠H＝∠CEF，∴又∵∠BMD＝∠AMC＝90°，AM＝BM，MD＝MC，∴∴△BMD≌△AMC(SAS)，∴BD＝AC，∴又∵AC＝EC，EC＝BH，∴BD＝BH，∴∴∠BDF＝∠H＝∠CEF，∴∴∠BDF＝∠CEF.(10分)∴【一题多解】∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，点C是BM延伸线上一点．∴BM＝AM，∠BMD＝∠AMC＝90°.在△BMD和△AMC中，∴∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMC，MD＝MC，∴△BMD≌△AMC(SAS)．(6分)∴BD＝AC.∴EC＝AC，∴BD＝EC.∴∴∴∴延伸DF到点G，使FG＝FD，连结CG，如解图②，∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴第8题解图②∴∵点F是线段BC的中点，CF＝BF.∵∠CFG＝∠BFD，FG＝FD，∴△CFG≌△BFD(SAS)．CG＝BD，∠G＝∠BDF.BD＝EC，∴CG＝EC.∴∠G＝∠CEF.∵∠G＝∠BDF，∴∠BDF＝∠CEF.(10分)(1)解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，AC＝BC＝AB·sin45°＝4，(2分)22∴在Rt△BCE中，CE＝BE－BC＝3，AE＝AC－CE＝4－3＝1.(4分)证明：如解图，过C点作CM⊥CF交BD于点M，∴∠FCM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠FCA＝∠MCB，∵AF⊥BD，∴∠AFB＝90°，∴∠AFE＝∠ACB，∵∠AEF＝∠BEC，∴∠CAF＝∠CBM，∠FCA＝∠MCB在△ACF和△BCM中，AC＝BC，∠CAF＝∠CBM∴△ACF≌△BCM(ASA)，(7分)FC＝MC，又∵∠FCM＝90°，∴∠CFM＝∠CMF＝45°，∴∠AFC＝∠AFB＋∠CFM＝90°＋45°＝135°，∠DFC＝180°－∠CFM＝180°－45°＝135°，∴∠AFC＝∠DFC，AF＝DF在△ACF和△DCF中，∠AFC＝∠DFC，CF＝CF∴△ACF≌△DCF(SAS)，(9分)AC＝DC，∵AC＝BC，DC＝BC.(10分)第9题解图拓展训练2解：如解图①，∵∠1＋∠ABD＝90°，在Rt△ABD中，∠2＋∠ABD＝90°，第2题解图①∴∠1＝∠2，∵BD＝ED，F为AD的中点，点E和点F重合，AE＝ED＝BD，AE＝BD在△ABE和△BCD中，∠2＝∠1，AB＝BC∴△ABE≌△BCD(SAS)，BE＝CD.222在Rt△BED中，BE＝BD＋ED，∵BD＝ED＝5，BE＝10，CD＝10.证明：过点A作AN⊥BD于点N，交BE于点M，如解图②，第2题解图②AB＝AD，N是BD的中点，∠3＝∠4，∵∠ANB＝∠BDE＝90°，AN∥ED，∴∠4＝∠5，∠6＝∠7＝45°，F是AD的中点，∴AF＝FD，∠6＝∠7在△AFM和△DFE中，∠4＝∠5，AF＝FD∴△AFM≌△DFE(AAS)，AM＝ED，∵BD＝ED，BD＝AM，∵AB＝AD，∴∠8＝∠ABD，∵∠8＋∠5＝90°，∠ABD＋∠9＝90°，∴∠5＝∠9，∵∠3＝∠4＝∠5，∴∠3＝∠9，AB＝BC在△ABM和△BCD中，∠3＝∠9，AM＝BD∴△ABM≌△BCD(SAS)，BM＝CD.在等腰Rt△BMN中，BM＝2BN，1∵BN＝2BD，∴BD＝2BM，∴BD＝2CD.。