中考数学专题复习三角形

专题17 三角形及其性质☞解读考点知识点名师点晴三角形的重要线段中线、角平分线、高线理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线三角形的中位线理解并掌握三角形的中位线的性质三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理三角形的外角三角形的外角的性质能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明☞2年中考【题组】1．（崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C．【解析】试题分析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选C．考点：三角形三边关系．2．（来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．考点：三角形的外角性质．3．（柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D ．考点：三角形的外角性质．4．（南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．5，6，10B ．5，6，11C ．3，4，8D ．4a ，4a ，8a （a ＞0） 【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确； B ．∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； C ．∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； D ．∵4a+4a=8a ，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误． 故选A ．考点：三角形三边关系．5．（宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ） A ．9 B ．12 C ． 7或9 D ．9或12 【答案】B ． 【解析】试题分析：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12； 当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 所以这个三角形的周长是12． 故选B ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．7．（绵阳）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）A ．118°B ．119°C ．120°D ．121° 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE ，CD 是∠B 、∠C 的平分线，∴∠CBE=21∠ABC ，∠BCD=21∠BCA ，∴∠CBE+∠BCD=21（∠ABC+∠BCA ）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C ． 考点：三角形内角和定理．8．（广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）A ．10B ．14C ．10或14D ．8或10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．9．（北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．中心 D ．重心 【答案】D ． 【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D ． 考点：三角形的重心．10．（百色）下列图形中具有稳定性的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵三角形具有稳定性，∴A 正确，B ．C 、D 错误．故选A ．考点：三角形的稳定性．11．（百色）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（ ）A ．4B ．4或5C ．5或6D ．6 【答案】B ． 【解析】试题分析：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么a=24S ，b=212S ，c=2S h ，又∵a ﹣b ＜c ＜a+b ，∴22222412412S S S S Sh -<<+，即2233S S Sh <<，解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故选B ．考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系；4．综合题．12．（广安）下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．考点：三角形的角平分线、中线和高．13．（宜昌）下列图形具有稳定性的是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．直角三角形 【答案】D ． 【解析】试题分析：直角三角形具有稳定性．故选D ． 考点：1．三角形的稳定性；2．多边形．14．（长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A ． 【解析】试题分析：为△ABC 中BC 边上的高的是A 选项．故选A ． 考点：三角形的角平分线、中线和高．15．（鄂尔多斯）如图，A ．B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）A ．256B ．51C ．254D ．257【答案】A ．考点：1．概率公式；2．三角形的面积．16．（淄博）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=12AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）A．17 B ．16 C．15 D．14【答案】C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．三角形中位线定理；4．综合题．17．（淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．【答案】75°．【解析】试题分析：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB ∥CD ，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．18．（宜宾）如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC= ．【答案】80°．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．19．（巴中）若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足229(2)0a b -+-=，则第三边c 的取值范围是 ．【答案】1＜c ＜5． 【解析】试题分析：由题意得，290a -=，20b -=，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c ＜5．故答案为：1＜c ＜5．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根． 20．（南充）如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是 度．【答案】60． 【解析】试题分析：∵∠ACD=∠B+∠A ，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°，∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=60°，故答案为：60．考点：三角形的外角性质．21．（佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 个． 【答案】10． 【解析】试题分析：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．故答案为：10． 考点：三角形三边关系．22．（广东省）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若ABC 12S =△，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】4．考点：1．三角形的面积；2．综合题．23．（长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为 ．【答案】5． 【解析】试题分析：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴EM=AD ，BM=CE ，∵△ABE 的面积为8，∴12×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE=22BC CE +=2243+=5，故答案为：5．考点：1．正方形的性质；2．三角形的面积；3．勾股定理．24．（昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．【答案】53 2．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．25．（临沂）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则OBOD = ．【答案】2． 【解析】试题分析：∵△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，∴点O 是△ABC 的重心，∴OBOD =2．故答案为：2．考点：1．三角形的重心；2．相似三角形的判定与性质．26．（六盘水）如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A ⊥l2，A 为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B 在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．【答案】理由见试题解析．考点：1．平行线之间的距离；2．三角形的面积．27．（达州）化简2221432a a a a a a +⋅----，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数．【答案】13a -，1．【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a 的值代入计算即可求出值．考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．28．（青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）n 7 8 9 10m你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2m【问题应用】：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型．【题组】1.（福建南平）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可：A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项错误；B、1+2＞2，能组成三角形，故此选项正确；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、1+2＜4，能组成三角形，故此选项正确．故选B．考点：三角形的三边关系．2.（浙江台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm【答案】D．考点：三角形的中位线．3．（•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．【解析】试题分析：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×5=10．故选C．考点：三角形中位线定理．4.（•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°【答案】B．考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．5.（•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．试题解析：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12（180°-60°）=60°，∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12（180°-70°）=55°，故D选项正确．故选B．考点：角平分线的性质；三角形内角和定理．6.（江苏淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）【答案】4（答案不唯一）．考点：三角形的三边关系．7、（广东广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是___________°．【答案】140．．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．考点：三角形的外角的性质．8.（湖北随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．【答案】75．【解析】试题分析：如答图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角的性质．☞考点归纳归纳 1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝_____．【答案】1．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．归纳 2：三角形的三边关系基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．【例2】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．12【答案】B．考点：三角形三边关系．归纳 3：内角和定理基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．归纳 4：三角形的外角基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．【例4】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠B=30°，∠D=40°，则∠AOC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．☞1年模拟1．（北京市平谷区中考二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】D．【解析】试题分析：根据平行线的性质及三角形的内角和定理，有图像可知∠1与∠2互余，因此∠2=90°-65°=25°．故选D．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．2．（安徽省安庆市中考二模）如图所示，AB∥CD，∠D=26°，∠E=35°，则∠ABE的度数是（）A．61° B．71° C．109° D．119°【答案】A ．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．3．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．30° D．25°【答案】A．【解析】试题分析：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选A．考点：1．三角形的外角性质；2．平行线的性质．4．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）A． 120° B． 135° C． 150° D． 180°【答案】D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．三角形内角和定理．5．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）A55255225105【答案】A．【解析】试题分析：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵55，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA=55BEAB，故选A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型．6．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．【答案】4．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积．7．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是．【答案】1 5．【解析】试题分析：从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条，所有的情况共有10种，其中，取出的三边能构成钝角三角形时，必须最大边的余弦值小于零，即：较小的两个边的平方和小于第三边的平方，故满足构成钝角三角形的取法只有：2、3、4 和2、4、5两种，故取出的三条线段为边能构成钝角三角形的概率是21105 ． 考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系．8．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，已知△ABC 中，∠A=40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2= 度．【答案】220．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．9．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An 在射线OA 上，点B1，B2，B3，…，Bn ﹣1在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An ﹣1Bn ﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn ﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An ﹣1AnBn ﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于的阴影三角形共有__________个．【答案】12；6．【解析】试题分析：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，因此可知2132A B A B =212323A B B A B B S S=12，2233A B A B =212323A B B A B B SS=12，再由考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型．。

专题五三角形【专题分析】三角形在中考中的常见考点有三角形的边和角，三角形的重要线段；全等三角形的判定，全等三角形的性质及综合应用，角平分线的应用；等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线；比例线段与黄金分割，相似三角形的性质及判定，相似多边形的性质；锐角三角函数，解直角三角形的应用等．对三角形的考查在中考中既有客观题又有主观题，考查题型多样，关于边角的基础知识一般以选择题或填空题的形式进行考查，证明三角形全等、相似，应用三角形全等、相似解决问题一般以解答题的形式进行考查；三角形在中考中的比重约为15%～20%.【解题方法】解决三角形问题常用的数学思想是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法和设参数法等.【知识结构】【典例精选】：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )A．3 B．4 C．6 D．5【思路点拨】过点D作DF⊥AC，由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可求出AC的长．答案：A已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．【思路点拨】(1)由AB＝AC及AE∥BC易得∠B＝∠CAE，然后由AD是中线可得∠ADB＝∠CEA，由AAS证明两个三角形全等；(2)由(1)可得AE＝BD，结合已知条件AE∥BC可得四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DE与AB平行且相等．【自主解答】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠B＝∠EAC.∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∵CE⊥AE，∴∠CEA＝90°. ∴∠CEA＝∠ADB.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)．(2)解：AB∥DE且AB＝DE.由(1)△ABD≌△CAE可得AE＝BD，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE且AB＝DE.规律方法：在求线段，角，的长度，度数或证明线段，角相等时，利用全等三角形的对应边，角相等，可将对应边，角进行转化，从而建立已知与未知之间的联系.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明△ABC是直角三角形；(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似．(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明) 【思路点拨】(1)分别求出△ABC三边的长度，利用勾股定理进行判断；(2)分别求出△DEF三边的长度，计算△DEF与△ABC三边长度的比值，进而作出判断；(3)观察图形，所求作的三角形满足其三边与△ABC三边的比值相等即可．【自主解答】(1)证明：根据勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5；显然有AB2＋AC2＝BC2，根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．(2)解：△ABC和△DEF相似．根据勾股定理，得DE＝42，DF＝22，EF＝210.∵ABDE＝ACDF＝BCEF＝522.∴△ABC∽△DEF.(3)解：如图，△P2P4P5即为所求．规律方法：在网格中证明两个三角形相似，可分别计算两个三角形三边的长度，再计算三组对应边的比是否相等，根据三组对应边的比相等，得两三角形相似.如图，港口B位于港口O正西方向120 km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向(北偏西30°)以v km/h的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1 h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1 h，求v的值及相遇处与港口O的距离．【思路点拨】(1)根据题意可知∠CBO＝60°，∠COB＝30°，∴∠C＝90°，在Rt△BOC中，根据cos ∠CBO＝BCBO，求出BC，根据“路程＝速度×时间”求出时间即可；(2)根据题意游船共行驶了3个小时，所以行驶路程为 3v km，设相会点为点E，作CD⊥OA，分点E在线段OD上和在射线DA上两种情况，解非直角三角形OCE，根据DE＝90－3v或DE＝3v－90，利用CD2＋DE2＝CE2，求出速度v和路程OE即可．【自主解答】解：(1)∵∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°，∴BC＝OB·cos 60°＝120×12＝60(km)，∴快艇从港口B到小岛C需要的时间为6060＝1(h)．(2)过点C作CD⊥OA，设相遇处为点E.则OC＝OB·cos 30°＝603(km)，CD＝12OC＝303(km)，OD＝OC·cos 30°＝90(km)．分两种情况：当点E在线段OD上时，如图①，DE＝(90－3v)km，∵CE＝60 km，CD2＋DE2＝CE2，∴(303)2＋(90－3v)2＝602，∴v＝20或v＝40.∵90－3v>0，∴v＝20.当点E在射线DA上时，如图②，DE＝(3v－90)km，∵CE＝60 km，CD2＋DE2＝CE2，∴(303)2＋(3v－90)2＝602，∴v＝20或v＝40.∵3v－90>0，∴v＝40.∴当v＝20 km/h时，OE＝3×20＝60(km)；当v＝40 km/h时，OE＝3×40＝120(km)．规律方法：解决此类问题的关键在于将斜三角形转化为直角三角形，而转化的关键是作出三角形的某一条高.【能力评估检测】一、选择题1．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是( C )A．45° B．54° C．40° D．50°2．已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是( B )A．14 B．12C．12或14 D．以上都不对3．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在( A )A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为( B )A. 3 B．1 C. 2 D．25.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为线段AB上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连结FB，则tan∠CFB的值等于( C )A.33B.233C.533D．5 36.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是( C )A．2海里 B．2 sin 55°海里C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里7．如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12.正方形DEFG的顶点E，F在△ABC 内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为( ) A．1B．2C．122－6D．62－6【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点I，BH＝12BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝AB2－BH2＝182－62＝122，易知D，G分别是AB，AC的中点，则I为AH的中点，IH＝62，DG＝12BC＝6，则正方形DGFE的边长FG＝6，于是点F到BC的距离＝62－6.故选D.答案: D8．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点停止，动点E从C点出发到A点停止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )A．3 s或4.8 s B．3 sC．4.5 s D．4.5 s或4.8 s【解析】根据题意，设当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x s，①若△ADE∽△ABC，则ADAB＝AEAC，∴x6＝12－2x12，解得x＝3；②若△ADE∽△ACB，则ADAC＝AEAB，∴x12＝12－2x6，解得x＝4.8.∴当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3 s或4.8 s．故选A.答案: A二、填空题9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝15 °.10．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为13.11．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是答案不唯一，如AB＝CD或∠ACB＝∠DBC(填一个即可)．12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为 .【解析】在△ABC中，∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△AFH≌△ACH.∴AF＝AC＝3.∵AB＝5，∴BF＝2.∵AF＝AC，CH⊥AE，∴FH＝HC.∵AD为△ABC的中线，∴DH为△CBF的中位线，DH＝12BF＝1.答案: 1三、解答题13．已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.(1)如图①，连结BD，AF，则BD________AF(填“＞”“＜”或“＝”)．图①(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连结BH，GF.求证：BH＝GF.图②(1)解：＝(2)证明：如图，将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R.∵MN∥BC，RC∥EH，∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB. ∴∠GRC ＝∠RGC，∴CG＝CR.又∵MN∥BF，CR∥EH，∴CR＝EH.∴CG＝EH.由平移的性质得BC＝EF，∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.又∵∠HEB＝∠GCF，∴△BEH≌△FCG(SAS)，∴BH＝FG.14．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直．现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处．求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米？(结果取整数)(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82， tan 35°≈0.70)解：如图，过点A′作A′H⊥OA于点H，由旋转可知，OA′＝OA＝80 cm，在Rt△OA′H中，OH＝OA′cos 35°≈80×0.82＝65.6(cm)．∴AH＝OA－OH＝80－65.6＝14.4≈14(cm)．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14 cm.15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合．(1)证明：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE＝CF；(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值．(1)证明：如图，连结AC，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∠B＝60°.∴△ABC是正三角形，∴AB＝AC.又∵△AEF为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.(2)解：当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4 3.理由如下：由(1)知，S△ABE＝S△ACF.∴S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE ＝S△ABC＝12×4×4×sin 60°＝4 3.△CEF的面积发生变化，其最大值为 3.∵S△CEF＝S四边形AECF－S△AEF＝43－34×AE2，当AE⊥BC时，AE的长最小，最小值为AB·sin 60°，即AE＝4×32＝23，∴S△CEF的最大值为43－34×(23)2＝ 3.。

三角形易错点1：三角形的概念，三角形中三种重要的线段——角平分线、中线、高.易错题1：如图，点A ，B ，C 分别是线段A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点，若△ABC 的面积是1,那么△A 1B 1C 1的面积是______________.CBA1B 1A 1错解：4 正解：7赏析：错解的主要原因在对三角形中线的有关性质理解错误，以为外侧三个三角形与里面的△ABC 面积相等.三角形的一条中线把原三角形分成的两部分是两个等底同高的等积三角形，由此，连接B 1A ，C 1B ，A 1C ，图中的7个小三角形面积均相等，故答案为7.易错点2：三角形三边之间的关系——三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.易错题2：现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中的三根组成一个三角形，那么可组成三角形的个数是……………………………………………………………（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个 错解：C 正解：B 赏析：本题对三角形三边的关系理解错误，可能以为三角形任意两边之和大于第三边的对立面是三角形任意两边之和小于第三边，其实，其对立面还包括等于的情况.从四根木棒中任取三根，共有3cm ，4cm ，7cm ；3cm ，4cm ，9cm ；3cm ，7cm ，9cm ；4cm ，7cm ，9cm 四种情况，但3＋4＝7,3＋4＜9，所以这两种情况不能组成三角形，故选B .易错点3：三角形按边、按角的分类，三角形内、外角的性质，特别是外角的两条性质. 易错题3：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，点E 在BC 的延长线上，∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，下列结论：①∠BAC ＝70°；②∠DOC ＝90°；∠BDC ＝35°；∠DAC ＝55°.其中，不正确的有………………（ ）A .①③B .②④C .②D .④F M O NP DA B错解：B 正解：C赏析：本题对①，②，③可利用三角形内角和定理及三角形外角的性质就可判断对错，关键是对④的判断易产生错误本题错解就是这种情况.判断④对错的关键是能否判定AD 是△ABC 的外角∠F AC 的平分线，为此，过点D 分别作DM ⊥AF 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，DP ⊥CE 于点P ，由BD ,CD 分别平分∠BAC ，∠ACE ，可得DM ＝DP ，DN ＝DP ，所以DM ＝DN ，由角平分线的判定可得AD 平分∠F AC ，从而可通过计算判断④正确.易错点4：全等三角形的性质，三角形全等的判定，特别是两边一角对应相等的两个三角形不一定全等.易错题4：如图，已知AB ＝DC ，∠ACF ＝∠DBE ，则添加下列条件之一，能判定△ACF ≌△DBE 且是用“SAS ”判断全等的是……………………………………………………（ ）A .AF ＝DEB .∠A ＝∠DC .AF ∥DED .FC ＝EBF EDC AB错解：A 正解：D赏析：三角形全等的判定方法通常有SAS 、ASA 、SSS 、AAS 四种，本题错解的原因是对SAS 的条件没有理解清楚.两边一角对应相等的情况有两种：一种是SAS ，其条件是两边及其夹角对应相等，另一种是两边及其一组等边的对角对应相等，这样的两个三角形不全等.易错题5：如图，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，求证：AE ＝BE .EBCDA错解：∵∠DAB ＝∠CBA ，∴∠DAE ＝∠CBE ，在△ADE 和△BCE 中，∵AD ＝BC ，∠DAE ＝∠CBE ，∠DEA ＝∠CEB ，∴△ADE ≌△BCE （AAS ），∴AE ＝BE .正解：在△ADB 和△BCA 中，∵AD BC DAB CBA AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△BCA （SAS ），∴∠D ＝∠C . 在△ADE 和△BCE 中，∵AD BC DEA CEB D C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE ≌△BCE （AAS ），∴AE ＝BE .又解：在△ADB 和△BCA 中，∵AD BC DAB CBA AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△BCA （SAS ），∴∠ABD ＝∠BAC ，即∠ABE ＝∠BAE ，∴AE ＝BE .赏析：本题错在第一步，由∠DAB ＝∠CBA ，不能得出∠DAE ＝∠CBE ，可能是把未知条件当做已知条件用了.应先根据“SAS ”证△ADB ≌△BCA ，注意，这里的理由是“SAS ”而不是“SSA ”，由“SSA ”不能判断三角形全等，接下来可用“AAS ”或“ASA ”证△ADE≌△BCE 而得出结论，也可根据等腰三角形的判定“等角对等边”得出结论.易错点5：等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定.易错题6：已知△ABC 是等边三角形，BD 为中线，延长BC 至点E ，使CE ＝CD ＝a ，连接DE ，则DE ＝__________.EBCDA错解：2a 正解赏析：本题可能以为DE ＝AC 而得出错解，在△DCE 中，用三边的关系也可判断2a 不正确.应先由等边三角形的性质得出BD 垂直平分AC ，∠CBD ＝30°，∠BCD ＝60°，又CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE ，又∵∠BCD ＝∠E ＋∠CDE ，∴∠E ＝∠CBD ＝30°，∴BD ＝ED .再在Rt △BCD 中，由tan ∠BCD ＝BDCD得出BD ＝CD tan60，也可在Rt △BCD 中先得出BC ＝2CD ，再由勾股定理求得BD，∴DE.易错点6：运用等腰三角形的性质与判定计算或证明有关问题时注意分类讨论思想的运用.易错题7：在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得锐角为40°，则∠B 的度数为_______________.错解：65°正解：65°或25°赏析：本题只考虑了△ABC 中顶角∠BAC 为锐角的情况.由于等腰三角形的顶角可以是锐角，也可以是直角或钝角，∴本题应分三种情况讨论求解：①当∠BAC 为锐角时，如图1：40°图1E BCD A40°图2EBCDA图3EBCDADE 垂直平分AB ，∠ADE ＝40°，则∠A ＝50°，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠B ＝180502︒-︒＝65°；当∠BAC 为钝角时，如图2，DE 垂直平分AB ，∠ADE ＝40°，则∠DAB ＝50°，∴∠BAC ＝180°－50°＝130°，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠B ＝1801302︒-︒＝25°（或：由∠DAB ＝∠B ＋∠C ，而∠B ＝∠C ，∴∠B ＝12∠DAB ＝12×50°＝25°）；当∠BAC 为直角时，如图3，DE ∥AC ，不合题意，此种情况舍去.∴答案为65°或25°.易错点7：全等三角形与等腰三角形的综合应用.易错题8：我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”，其中∠B ＝∠C .在由不平行BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB ＝EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时（如图2所示），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论.（不必说明理由）图1BCP D A 图2EBCDA图3BCDA错解：是“准等腰梯形”，理由：∵EB ＝EC ，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴∠ABC ＝∠DCB ，∴是“准等腰梯形”.当点E 不在四边形ABCD 内部时，如图3，四边形ABCD 是“准等腰梯形”.正解：如图4，过点E 分别作EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AD 于点G ，EH ⊥CD 于点H .∵AE 、DE 分别平分∠BAD 、∠ADC ，∴EF ＝EG ＝EH .又∵EB ＝EC ，∴Rt △BFE ≌Rt △CHE ，∴∠3＝∠4，又∵EB ＝EC ，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ABC ＝∠DCB .又∵四边形ABCD 为AD 截某三角形所得，且AD 不平行BC ，∴四边形ABCD 是“准等腰梯形”. 当点E 不在四边形ABCD 内部时，有两种情况：当点E 在四边形ABCD 的边BC 上时，如图5，四边形ABCD 是“准等腰梯形”；当点E 在四边形ABCD 的外部时，如图6，四边形ABCD 是“准等腰梯形”.4321HGF图4EBCD A 图5BCDA 图6BDA赏析：本题中第一问的理由不正确，没有充分利用两条角平分线的条件，第二问没有理解不在四边形内部的含义，不在四边形内部应包括在四边形上和四边形外部两种情况.这两种情况的理由是：当点E 在四边形ABCD 的边BC 上时，如图7，同理可得Rt △BFE ≌Rt △CHE ，∴∠B ＝∠C ，∴四边形ABCD 是“准等腰梯形”；当点E 在四边形ABCD 的外部时，如图8，同理可得Rt △BFE ≌Rt △CHE ，∴∠EBF ＝∠ECH ，∵EB ＝EC ，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴∠EBF －∠EBC ＝∠ECH －∠ECB ，即∠ABC ＝∠DCB .∴四边形ABCD 是“准等腰梯形”.HGF 图7BCD A H GF 图8BCD A易错练1.如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条边上，若∠1＝25°，则∠2的度数为……………………………………………………………………………（ ） A .53° B .55° C .57° D .60°2.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在BC 上，连接AD 、AE .若只添加一个条件就能得到∠DAB ＝∠EAC ，则下列条件中不正确的是………………………………………（ ） A .BE ＝CD B .AD ＝AE C .∠BAE ＝∠CAD D .∠DAE ＝∠DEA30°21第1题图第2题图BCDA3.已知等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝12BC ，则△ABC 的底角度数为_________. 4.在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 、AC 上，AE ＝AF ，BF 与CE 相交于点D .求证：DB ＝DC ，并直接写出图中其他相等的线段.FEBC DA5.已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 在AC 边的延长线上，且∠DEC ＝45°，点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，连接MN 交直线BE 于点F .当点D 在CB 边的延长线上时，如图1所示，易证MF ＋FN ＝12BE . （1）当点D 在CB 边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由.（2）当点D 在BC 边的延长线上时，如图3所示，请证明你发现的结论. （3）你能用式子综合概括本题中MF 、FN 与BE 之间的关系吗？NMF EBC DA图1N MFEBCDA图2NMFE BC DA 图3参考答案3.75°或45°或15°解析：分三种情况：如图①，AD为腰上的高，且在△ABC内部，∵AB＝BC，AD＝12BC，∴AD＝12AB，∴12ADAB=,又∵sin∠B＝ADAB,∴sin∠B＝12，∴∠B＝30°，∴底角为180302︒-︒＝75°；如图②，AD为底边上的高，∵AB＝BC，AD⊥BC，∴BD＝CD，又∵AD＝12BC，∴BD＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴底角为45°；如图③，AD为腰上的高，且在△ABC外部，∵AB＝BC，AD＝12BC，∴AD＝12AB，∴12ADAB=,又∵sin∠DBA＝ADAB,∴sin∠DBA＝12，∴∠DBA＝30°，又∵∠DBA＝∠B ＋∠C，∠B＝∠C，∴底角为30°÷2＝15°.4.证明：在△ABF和△ACE中，∵AB ACBAF CAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠ABF＝∠ACE，∴BF＝CE，∵AB＝AC，AE＝AF，∴BE＝CF.∠ABF ＝∠ACE ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABC －∠ABF ＝∠ACB －∠ACE ，即∠DBC ＝∠DCB ，∴DB ＝DC .图中其他相等的线段有DE ＝DF ，BE ＝CF ，BF ＝CE . 5.解：（1）不成立；猜想：FN －MF ＝12BE .理由如下：如图4，连接AD ，∵点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，∴MN ＝12AD ，又∵AC ＝BC ，∠ACB ＝∠BCE ＝90°，∠DEC ＝45°，∴DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE .∵MN ＝FN －MF ，∴FN －MF ＝12BE .N MFEBCD A图4（2）发现的结论： MF －FN ＝12BE .证明：如图5，连接AD ，∵点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，∴MN ＝12AD ，又∵AC ＝BC ，∠ACB ＝∠BCE ＝90°，∠DEC ＝45°，∴DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE .∵MN ＝MF －FN ，∴MF －FN ＝12BE .。

解直角三角一、单选题1．（2021·浙江温州市）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解．【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB =∴1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．2．（2021·浙江金华市）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥，∴BD DC =，∵DC co ACα=，∴cos 2cos DC AC αα=⋅=， ∴24cos BC DC α==，故选：A ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021·湖北随州市）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米【答案】C 【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD =CE sin β与AD =AB sin α，两线段作差即可．【详解】解：如图所示标记字母，根据题意得AB =CE =10米，∵sin β45===， 在Rt △ECD 中，sin 4105CD CD CE β===，∴CD =410=85⨯， 在Rt △ABD 中，sin 3=105AD AD AB α==，∴310=65AD =⨯，∴AC =CD -AD =8-6=2．故选择C ．【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键．4．（2021·湖南株洲市）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】①,,A B E 三点共线，直接计算可得；②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出h ；③方法同②．【详解】如图过E 点作EM AB ⊥交AB 的延长线于点M ，12////EF l l ∴MEB α∠= 则sin h AM AB BE α==+⨯①当90α=︒时,,,A B E 三点共线， 1.42 3.4 3.3h AE AB BE ==+=+=>∴h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确．②当45α=︒时，sin 1.42 1.4 1.41 2.81 2.92h AB BE α=+⨯=+⨯≈+=< ∴h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确．③当60α=︒时，sin 1.42 1.4 1.73 3.13 3.1h AB BE α=+⨯=+≈+=> ∴ h 等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误．综上所述：说法正确的为：①②，共2个．故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键． 5．（2021·湖南衡阳市）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【答案】D 【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈ ∵6BC =米∴6100.60.6BC AB ===米故选：D ． 【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 6．（2021·天津）tan30︒的值等于（ ）A B C ．1 D ．2【答案】A【分析】根据30°的正切值直接求解即可．【详解】解：由题意可知，tan 30︒=，故选：A ． 【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．7．（2021·重庆）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米【答案】D 【分析】作DF ⊥AB 于F 点，得到四边形DEBF 为矩形，首先根据坡度的定义以及DE 的长度，求出CE ，BE 的长度，从而得到DF =BE ，再在Rt △ADF 中利用三角函数求解即可得出结论．【详解】如图所示，作DF ⊥AB 于F 点，则四边形DEBF 为矩形，∴50DE BF ==,∵斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，∴在Rt △CED 中，15tan 2.412DE C CE ∠===， ∵50DE =，∴120CE =，∴15012030BE BC CE =-=-=，∴30DF =，在Rt △ADF 中，∠ADF =50°，∴tan tan 50 1.19AF ADF DF∠=︒==， 将30DF =代入解得：35.7AF =，∴AB =AF +BF =35.7+50=85.7米，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．8．（2021·云南）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==，则AB 的长是（ ） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．80【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC 和AC 的比值，求出BC ，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵∠ABC =90°，sin ∠A =BC AC =35，AC =100，∴BC =100×3÷5=60，∴AB ，故选D ．【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．9．（2021·山东泰安市）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度1:2.4i =．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC 的高度约为（ ）（参1.732≈）A ．136.6米B ．86.7米C ．186.7米D ．86.6米【答案】A 【分析】作DF ⊥AB 于F 点，EG ⊥BC 于G 点，根据坡度求出DF =50，AF =120，从而分别在△BEG 和△CEG 中求解即可．【详解】如图，作DF ⊥AB 于F 点，EG ⊥BC 于G 点，则四边形DFBG 为矩形，DF =BG ，∵斜坡AD 的坡度1:2.4i =，∴15tan 2.412DF DAF AF∠===， ∵AD =130，∴DF =50，AF =120，∴BG =DF =50，由题意，∠CEG =60°，∠BEG =45°，∴△BEG 为等腰直角三角形，BG =EG =50，在Rt △CEG 中，CG EG∴6505136.BC BG CG ≈=+=+米，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键．10．（2021·重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（ ）（参考数据：1.73≈≈）A ．9.0mB ．12.8mC ．13.1mD ．22.7m【答案】C 【分析】分别解直角三角形Rt DEF △和Rt MBC ，求出NE 和MB 的长度，作差即可．【详解】解：∵50FE m =，DF 的坡度i =1：1.25，∴:1:1.25DE EF =，解得40m DE =， ∴5258ND DE m ==，∴65NE ND DE m =+=，∵60MCB ∠=︒，30m BC =，∴tan 60MB BC =⋅︒=，∴顶端M 与顶端N 的高度差为6513.1NE MB m -=-≈，故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．11．（2021·四川泸州市）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OA，利用圆的面积公式S 圆=163π． 【详解】解:方法一：∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 6032c R C ===︒，∴3R =，∴S 圆=222163R OA ππππ===⎝⎭． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∴∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∵OD ⊥AB ，AB 为弦，∴AD =BD =122AB =，∴AD =OA cos30°， ∴OA=cos302AD ÷︒==S 圆=2221633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．三、填空题1．（2021·四川广元市）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．【答案】12【分析】由题意易得BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∠BAE =∠BDC ，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∵∠BAE =∠BDC ，∴1tan tan 2BC BAE BDC BD ∠=∠==，故答案为12． 【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键． 2．（2021·浙江衢州市）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =．（1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【答案】40 12.5【分析】（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，MFC AFB ∆∽，列比例求出CM 长度，则CE =AB -CM ；（2）根据图2可得OCD OBA ∽，对应袋图3中求出CD 长度，列比例求AB 即可．【详解】解：（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，∵椅面CE 与地面平行，∴MFC AFB ∆∽， ∴54454854CM FM FA EB CM AB FA FA --==⇔=，解得：CM =8cm ， ∴CE =AB -CM =48-8=40cm ；故答案为：40；（2）在图2中，∵OA OB =，椅面CE 与地面平行，∴BCE ADM ∠=∠，∵90AM BE AMD BEC =∠=∠=︒，，∴AMD BEC ≌，∴DM CE =，∴8MC ED cm ==，∴488832CD cm =--=，∵H 是CD 的中点，∴1162CH HD CD ===， ∵椅面CE 与地面平行，∴COD BOA ∽，∴322483CO CD BO AB ===， 图3中，过H 点作CD 的垂线，垂足为N ，因为1162CH HD CD === ，=30CHD ∠︒， ∴15CHN DHN ∠=∠=︒，∴2sin15=8.32CD CH cm =︒，∴28.323CO CD OB AB AB =⇔=， 解得：12.4812.5AB cm =≈，故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键．3．（2021·浙江绍兴市）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O 上．若30cm AB =，则BC 长为_______cm （结果保留根号）．【答案】303 【分析】根据题意即可求得∠MOD =2∠NOD ，即可求得∠NOD =30°，从而得出∠ADB =30°，再解直角三角形ABD 即可．【详解】解：∵时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O ， ∴∠MOD =2∠NOD ， ∵∠MOD +∠NOD =90°，∴∠NOD =30°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，∠A =90°，AD =BC ，∴∠ADB =∠NOD =30°，∴()30==303cm tan 30tan 30==AB BC AD 故答案为：【点睛】本题考查的矩形的性质、解直角三角形等知识；理解题意灵活运用所学知识得出∠NOD =30°是解题的关键．4．（2021·湖北武汉市）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．【答案】10.4【分析】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，得∠ABC =30°，∠ACD =60°，从而得到AC =BC =12,利用sin 60°=AD AC计算AD 即可 【详解】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，得∠ABC =30°，∠ACD =60°，∴∠ABC =∠CAB =30°，∴AC =BC =12,∵sin 60°=AD AC ，∴AD =AC sin 60°=122⨯ 1.73610.38≈⨯=≈10.4故答案为：10.4. 【点睛】本题考查方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键． 5．（2021·四川乐山市）如图，已知点(4,3)A ，点B 为直线2y =-上的一动点，点()0,C n ，23n -<<，AC BC ⊥于点C ，连接AB ．若直线AB 与x 正半轴所夹的锐角为α，那么当sin α的值最大时，n 的值为________．【答案】12【分析】设直线y ＝﹣2与y 轴交于G ，过A 作AH ⊥直线y ＝﹣2于H ，AF ⊥y 轴于F ，根据平行线的性质得到∠ABH ＝α，由三角函数的定义得到sin α5BA =，根据相似三角形的性质得到比例式234GB n n +=-，于是得到GB 14=-（n +2）（3﹣n ）14=-（n 12-）22516+，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，设直线y ＝﹣2与y 轴交于G ，过A 作AH ⊥直线y ＝﹣2于H ，AF ⊥y 轴于F ，∵BH ∥x 轴，∴∠ABH ＝α，在Rt △ABH 中，AB =,sin α5BA=，即sin α5BA = ∵sinα随BA 的减小而增大，∴当BA 最小时sinα有最大值；即BH 最小时，sinα有最大值，即BG 最大时，sinα有最大值， ∵∠BGC ＝∠ACB ＝∠AFC ＝90°，∴∠GBC +∠BCG ＝∠BCG +∠ACF ＝90°，∴∠GBC ＝∠ACF ，∴△ACF ∽△CBG ，∴BG CG CF AF=， ∵(4,3)A ，()0,C n 即234BG n n +=-，∴BG 14=-（n +2）（3﹣n ）14=-（n 12-）22516+， ∵23n -<<∴当n 12=时，BG 最大值2516=故答案为：12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF ∽△CBG 是解题的关键．6．（2021·四川乐山市）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）【分析】先根据已知条件得出△ADC 是等腰三角形，再利用AB =sin 60°×AD 计算即可 【详解】解：由题意可知：∠A =30°，∠ADB =60°∴∠CAD =30°∴△ADC 是等腰三角形，∴DA =DC 又DC =5米故AD =5米在Rt △ADB 中，∠ADB =60°∴AB =sin 60°×AD 5= 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键 7．（2021·浙江）如图，已知在Rt ABC 中，90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，则sin B 的值是______．【答案】12【分析】在直角三角形中，锐角B 的正弦=锐角B 的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案． 【详解】解： 90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，1sin ,2AC B AB ∴== 故答案为：12 【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．8．（2021·浙江宁波市）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，BEC △与FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与,CE CF 交于M ，N 两点，若BM BE =，1MG =，则BN 的长为________，sin AFE ∠的值为__________．【答案】2 1【分析】由BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD 证明,BEC FEC ≌再证明,BCN CFD ≌ 可得,BN CD = 再求解2,CD = 即可得BN 的长； 先证明,AFE CBG ∽ 可得：,AE EF CG BG = 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 再列方程，求解,x 即可得到答案． 【详解】解： BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD,BEC FEC ∴≌ 90,ABC ADC BCD ∠=∠=∠=︒90,,,,EBC EFC BEC FEC BE FE BC FC ∴∠=∠=︒∠=∠==,BM BE = ,BEM BME ∴∠=∠ ,FEC BME ∴∠=∠//,EF MN ∴ 90BNC EFC ∴∠=∠=︒， 90,BNC FDC ∴∠=∠=︒90BCD ∠=︒, 90,NBC BCN BCN DCF ∴∠+∠=︒=∠+∠,NBC DCF ∴∠=∠ ,BCN CFD ∴≌ ,BN CD ∴=矩形,ABCD //,//,AB CD AD BC ∴ ,BEM GCM ∴∠=∠,1,BEM BME CMG MG G ∠=∠=∠=为CD 的中点，,GMC GCM ∴∠=∠ 1,2,CG MG CD ∴=== 2.BN ∴=如图，,//,BM BE FE MN EF == 四边形ABCD 都是矩形，,//,90,AB CD AD BC A BCG ∴=∠=∠=︒ ,AEF ABG ∠=∠90,AFE AEF ABG CBG ∠+∠=︒=∠+∠ ,AFE CBG ∴∠=∠,AFE CBG ∴∽ ,AE EF CG BG ∴= 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 2,11x x x -∴=+ 解得：x = 经检验：x =x =2AE EF ∴== sin 1.AE AFE EF ∴∠=== 故答案为： 1. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．9．（2021·四川乐山市）在Rt ABC 中，90C ∠=︒．有一个锐角为60︒，4AB =．若点P 在直线AB 上（不与点A 、B 重合），且30PCB ∠=︒，则CP 的长为________．2【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．【详解】解：情形1：60A ∠=︒，则30B ∠=︒，，∵30PCB ∠=︒，∴60ACP ∠=︒，∴ACP △是等边三角形，∴122CP AC AB ===；情形2：60B ∠=︒，则30A ∠=︒，2BC =，AC =∵30PCB ∠=︒，∴CP AB ⊥，∴1122AC BC AB CP ⋅=⋅，解得CP =情形3：60B ∠=︒，则30A ∠=︒，2BC =，AC =∵30PCB ∠=︒，∴CP AC ==2．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键．10．（2021·浙江杭州市）sin30°的值为_____． 【答案】12【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12． 三、解答题1．（2021·青海）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转35︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据sin350.6︒≈，cos350.8︒≈ 1.4≈）．【答案】1.4米【分析】作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE =CM ，则EM =BC ，在Rt △ABE 、Rt △CDF 中可求出AE 、BE 、DF 、FC 的长度，进而可得出EF 的长度，再在Rt △MEF 中利用勾股定理即可求出EM 的长，此题得解．【详解】解：作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE =CM ，如图所示．∵AB =CD ，AB +CD =AD =2，∴AB =CD =1．在Rt △ABE 中，AB =1，∠A =35°，∴BE =AB •sin ∠A=1sin35⨯︒≈0.6，AE =AB •cos ∠A ≈0.8．在Rt △CDF 中，CD =1，∠D =45°，∴CF =CD •sin ∠D ≈0.7，DF =CD •cos ∠D ≈0.7．∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴BE ∥CM ，又∵BE =CM ，∴四边形BEMC 为平行四边形，∴BC =EM ，CM =BE ．在Rt △MEF 中，EF =AD -AE -DF =0.5，FM =CF +CM =1.3，∴EM ，∴B 与C 之间的距离约为1.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC 的长度是解题的关键．2．（2021·四川成都市）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角33MBC ∠=︒，在与点A 相距3.5米的测点D 处安置测倾器，测得点M 的仰角45MEC ∠=︒ （点A ，D 与N 在一条直线上），求电池板离地面的高度MN 的长．（结果精确到1米；参考数据：sin330.54,cos330.84,tan330.65︒≈︒≈︒≈）【答案】8米【分析】过E 作EF ⊥MN 于F ，连接EB ，设MF =x 米，可证四边形FNDE ，四边形FNAB 均是矩形，设MF =EF =x ，可求FB = x +3.5，由tan ∠MBF =0.653.5MF x FB x =≈+，解得 6.5x ≈米，可求MN =MF +FN =6.5+1.6≈8米．【详解】解：过E 作EF ⊥MN 于F ，连接EB ，设MF =x 米，∵∠EFN =∠FND =∠EDN =∠A =90°， ∴四边形FNDE ，四边形FNAB 均是矩形，∴FN =ED =AB =1.6米，AD =BE =3.5米，∵∠MEF =45°，∠EFM =90°，∴MF =EF =x ,∴FB =FE +EB =x +3.5，∴tan ∠MBF =0.653.5MF x FB x =≈+，∴解得 6.5x ≈米，经检验 6.5x ≈米符合题意， ∴MN =MF +FN =6.5+1.6=8.1≈8米．【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键．3．（2021·山东聊城市）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D 处，最后从D 处回到A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】420米【分析】过D 点分别作DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，点F ．由三角函数可求120CE ≈，160DE ≈．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF ＝140,在Rt △ADF 中，利用三角函数可求DF ＝AF ·tan65°≈299.60.,可求BC ＝BE ＋CE ≈420（米）．【详解】解∶过D 点分别作DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，点F ．由题意得，CDE ∠＝37°．在R △CDE 中∵sin 37,cos37,200CE DE CD CD CD︒=︒==， 200sin372000.60120CE ∴=⋅︒≈⨯=，200cos372000.80160DE =⋅≈⨯=︒．,,AB BC DE BC DF AB ⊥⊥⊥，90B DEB DFB ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE ＝DF ，BF ＝DE ＝160，∴AF ＝AB －BF ＝300－160＝140.在Rt △ADF 中，tan 65DF AF︒=，∴DF ＝AF ·tan65°≈140×2.14＝299.60. ∴BC ＝BE ＋CE ＝299.60＋120≈420（米）．所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米．【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键．4．（2021·四川广元市）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为米．（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D都在同一平面内．参考数据：tan 752︒=tan152︒=．计算结果保留根号）【答案】（1）()30米；（2）()6秒【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE 的值，进而得到DH 的值；（2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC 的度数，接着求出∠GF A 的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG 和GF ，进而得到DF 的值，最后除以无人机速度即可．【详解】解：如图1，过D 点作DH ⊥AB ，垂足为点H ，过C 点作CE ⊥DH ，垂足为点E ，可知四边形EHBC 为矩形，∴EH =CB ，CE =HB ，∵无人机测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒，测得操控者A 的俯角为75︒，DM ∥AB ，∴∠ECD =45°，∠DAB =75°，∴∠CDE =∠ECD =45°，∴CE =DE ，设CE =DE =HB =x ，∴AH =45-x ，DH =DE +EH =x +在Rt △DAH 中，DH =tan75°×AH =(()245x +-，即(()245x x +=-，解得：x =30，∴DH = 30∴此时无人机的高度为()30米； （2）如图2所示，当无人机飞行到图中F 点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF 刚好经过点C ，过A 点作AG ⊥DF ，垂足为点G ，此时，由（1）知，AG =30（米），∴°30153===15tan 7523AG DG ++；∵1533tan =453BC CAB AB ∠==，∴°=30CAB ∠∵DF ∥AB ，∴∠DF A =∠CAB =30°，∴°45tan 30GA GF ==,∴=30DF GF DG -=,因为无人机速度为5米/秒，所以所需时间为3065（秒）；所以经过()6秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．5．（2021·四川资阳市）资阳市为实现5G 网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G 基站七千个．如图，在坡度为1:2.4i =的斜坡CB 上有一建成的基站塔AB ，小芮在坡脚C 测得塔顶A 的仰角为45︒，然后她沿坡面CB 行走13米到达D 处，在D 处测得塔顶A 的仰角为53︒（点A 、B 、C 、D 均在同一平面内）（参考数据：434sin 53,cos53,tan 53553︒≈︒≈︒≈）（1）求D 处的竖直高度；（2）求基站塔AB 的高．【答案】（1）5米；（2）19.25米【分析】（1）过点D 作DE ⊥CM ，根据坡度及勾股定理求DE 的长度；（2）延长AB 交CM 于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，则四边形DEFG 是矩形，然后利用锐角三角函数和坡度的概念解直角三角形【详解】解：（1）过点D 作DE ⊥CM∵斜坡CB 的坡度为1:2.4i =∴设DE =x ，则CE =2.4x在Rt △CDE 中，222(2.4)13x x +=解得：x =±5（负值舍去）∴DE =5 即D 处的竖直高度为5米；（2）延长AB 交CM 于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，则四边形DEFG 是矩形∴GF =DE =5，CE =2.4DE =12，由题意可得：∠ACF =45°，∠ADG =53°设AF =CF =a ，则DG =EF =a -12，AG =AF -GF =a -5∴在Rt △ADG 中，tan 53AG DG ︒=，54123a a -=-解得：a =33 经检验：33a =符合题意，∴DG =33-12=21， 又∵斜坡CB 的坡度为1:2.4i =∴12.4BG DG =，121 2.4BG =解得：BG =8.75 ∴AB =AF -GF -BG =19.25即基站塔AB 的高为19.25米．【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型．6．（2021·江苏宿迁市）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为30°，面向AB 方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B 的俯角为45°，已知建筑物AB 的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1≈1.414≈ =1.732)．【答案】无人机飞行的高度约为14米．【分析】延长PQ ，BA ，相交于点E ，根据∠BQE ＝45°可设BE ＝QE ＝x ，进而可分别表示出PE ＝x ＋5，AE＝x －3，再根据sin ∠APE ＝AE PE ，∠APE ＝30°即可列出方程35x x -=+ 【详解】解：如图，延长PQ ，BA ，相交于点E ，由题意可得：AB ⊥PQ ，∠E ＝90°，又∵∠BQE ＝45°，∴BE ＝QE ，设BE ＝QE ＝x ，∵PQ ＝5，AB ＝3，∴PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，∵∠E ＝90°，∴sin ∠APE ＝AE PE ，∵∠APE ＝30°，∴sin30°＝35x x -=+解得：x ＝7≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．7．（2021·浙江嘉兴市）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）．（1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）【答案】（1）65π；（2）点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【分析】（1）根据题目中的条件，首先由108DBE BEF ∠=∠=︒，'//BD EF ，求出'D BE ∠，再继续求出'DBD ∠，点D 转动到点'D 的路径长，是以BD 为半径，B 为圆心的圆的周长的一部分，根据'DBD ∠占360︒的比例来求出路径；（2）求点D 到直线EF 的距离，实际上是过点D 作EF 的垂线交EF 于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．【详解】解：（1）如图，∵'//BD EF ，108BEF ∠=︒，∴'18072D BE BEF ∠=︒-∠=︒．∵108DBE ∠=︒，∴''1087236DBD DBE D BE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．又∵6BD =，∴点D 转动到点'D 的路径长()3666cm 1805ππ⨯⨯==． （2）如图，过点D 作'DG BD ⊥于点G ，过点E 作'EH BD ⊥于点H ．在Rt DGC △中，sin DG DBD BD'∠=∴sin36 3.54DG BD =⋅︒≈． 在Rt BHE 中，sin EH EBH BE ∠=∴sin72 3.80EH BE =⋅︒≈． ∴ 3.54 3.807.347.3DG EH +=+=≈．又∵'//BD EF ，∴点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．8．（2021·江苏连云港市）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB 摆成如图1所示．已知 4.8m AB =，鱼竿尾端A 离岸边0.4m ，即0.4m AD =．海面与地面AD 平行且相距1.2m ，即 1.2m DH =．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC 与海面HC 的夹角37BCH ∠=︒，海面下方的鱼线CO 与海面HC 垂直，鱼竿AB 与地面AD 的夹角22BAD ∠=︒．求点O 到岸边DH 的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD ∠=︒，此时鱼线被拉直，鱼线 5.46m BO =，点O 恰好位于海面．求点O 到岸边DH 的距离．（参考数据：3sin 37cos535︒=︒≈，4cos37sin 535=︒︒≈，3tan 374︒≈，3sin 228︒≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈）【答案】（1）8.1m ；（2）4.58m【分析】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，构建Rt ABE △和Rt BFC △，在Rt ABE △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE ,AE ;再用BE EF +求出BF ，在Rt BFC △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC ，用CF AE AD CH ;（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，构建Rt ABM 和Rt BNO ，在Rt ABM 中，根据53°和AB 的长求出BM 和AM ，利用BM +MN 求出BN ，在Rt BNO 中利用勾股定理求出ON ，最后用HN +ON 求出OH ．【详解】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，则AE BF ⊥，垂足为E ． 由cos AE BAE AB∠=，∴cos 22 4.8︒=AE ，∴1516 4.8=AE ，即 4.5AE =， ∴ 4.50.4 4.1=-=-=DE AE AD ，由sin BE BAE AB ∠=，∴sin 22 4.8︒=BE ， ∴38 4.8=BE ，即 1.8BE =，∴ 1.8 1.23=+=+=BF BE EF ． 又tan ∠=BF BCF CF ，∴3tan 37︒=CF ，∴334=CF ，即4CF =， ∴4 4.18.1=+=+=+=CH CF HF CF DE ，即C 到岸边的距离为8.1m ．（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，则AM BN ⊥，垂足为M ． 由cos ∠=AM BAM AB ，∴cos53 4.8︒=AM ，∴35 4.8=AM ， 即 2.88=AM ，∴ 2.880.4 2.48=-=-=DM AM AD ． 由sin ∠=BM BAM AB ，∴sin 53 4.8︒=BM ，∴45 4.8=BM ， 即 3.84=BM ，∴ 3.84 1.2 5.04=+=+=BN BM MN ．∴ 2.1====ON ，∴ 4.58=+=+=OH ON HN ON DM ，即点O 到岸边的距离为4.58m ．【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．9．（2021·浙江绍兴市）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l ，底座AB 固定，高AB 为50cm ，连杆BC 长度为70cm ，手臂CD 长度为60cm ．点B ，C 是转动点，且AB ，BC 与CD 始终在同一平面内，（1）转动连杆BC ，手臂CD ，使143ABC ∠=︒，//CD l ，如图2，求手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长（精确到1cm ，参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）．（2）物品在操作台l 上，距离底座A 端110cm 的点M 处，转动连杆BC ，手臂CD ，手臂端点D 能否碰到点M ？请说明理由．【答案】（1）106cm ；（2）能碰到，见解析【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；（2）求出端点D 能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．【详解】解：（1）过点C 作CP AE ⊥于点P ，过点B 作BQ CP ⊥于点Q ，如图1，143ABC ∠=︒，53CBQ ∴∠=︒，∴在Rt BCQ △中，()sin53700.856CQ BC cm =⋅︒≈⨯=， ()50PQ AB cm ==．//CD l ，()5650106DE CP CQ PQ cm ∴==+=+=．∴手臂端点D 离操作台 l 的高度DE 的长为106cm ．。

2023年中考数学专题复习——三角形（一）自我评估（时间：分钟满分：100分）（班级：姓名：得分：）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A. 6 cm，8 cm，15 cmB. 7 cm，5 cm，12 cmC. 4 cm，6 cm，5 cmD. 8 cm，4 cm，3 cm2. 如图，AB∥DF，AC⊥CE于点C，BC与DF交于点E.若∠A=20°，则∠CEF等于（）A. 110°B. 100°C. 80°D. 70°第2题图第3题图第4题图第5题图3. 将一副三角尺按如图方式重叠，则∠1的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 105°4. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A. AB=BCB. EC=BFC. ∠A=∠DD. AB=CD5. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE∥BD，交CB的延长线于点E.若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD，交AB于点E，则下列结论一定成立的是（）A. BC=ECB. BC=BEC. EC=BED. AE=EC第6题图第7题图第8题图第9题图7. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A. 30°B. 36°C. 40°D. 45°8. 如图，在边长为12的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD=12CD，过点D作DE⊥AB于点E，F为边AC上一点，连接EF，DF，M，N分别为EF，DF的中点，连接MN，则MN的长为（）A. 3B. 2C. 23D. 49. 如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上10. 如图，等边三角形A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于点D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边三角形A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于点D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边三角形A3C3C4……且点A1，A2，A3，…，A n都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n C n C n+1（n≥2，且n为整数）的周长和为（）A.11212nn---B.212nn-C.1212nn--D.1212nn+-第10题图二、填空题（每小题4分，共24分）11. 如图，∠1=∠2，BC=EC，请补充一个条件：能使用“AAS”方法判定△ABC≌△DEC.第11题图第12题图第13题图第14题图12. 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是.13. 如图所示是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1+∠2+∠3= °.14. 如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE.若∠EDM=84°，则∠A= °.15. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下列问题：如图，BD是ABCD的对角线，点E在BD 上，DC=DE=AE，∠1=25°，则∠C的大小是.第15题图第16题图16. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD=AC，E是AD延长线上一点，且AE=AB，过点E作EF ⊥AB于点F，则以下结论：①BD=EC；②∠ACE+∠BED=180°；③EC∥AB，④2AF=AC+AB；⑤△BEC 为等腰三角形.其中正确的有.（填序号）三、解答题（共46分）17.（8分）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E.求证：BC=ED.第17题图18.（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE=FE.第18题图19. （12分）图中是一副三角尺，含45°角的三角尺Rt△DEF的直角顶点D恰好在含30°角的三角尺Rt△ABC 斜边AB的中点处，∠A=30°，∠E=45°，∠EDF=∠ACB=90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于点M.（1）如图①，当DF经过点C时，作CN⊥AB于点N，求证：AM=DN；（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于点H，作HN⊥AB于点N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由.①②第19题图20.（14分）（1）已知，△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°，如图①所示，求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否成立，并说明理由.①②第20题图三角形（一）自我评估一、1. C 2. A 3. C 4. D 5. A 6. B 7. B 8. A 9. D 10. C二、11. ∠A=∠D 12. 1 13. 135 14. 21 15. 105°16. ①②④⑤三、17. 证明：因为∠1=∠2，所以∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠BAC=∠EAD. 又AB=AE，∠B=∠E，所以△ABC≌△AED.所以BC=ED.18.（1）解：因为AB=AC，所以∠B=∠C=42°.因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°.所以∠BAD=90°-∠B=90°-42°=48°.（2）证明：因为AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAD=∠CAD.因为EF∥AC，所以∠F=∠CAD.所以∠BAD=∠F.所以AE=FE.19.（1）证明：因为∠ACB=90°，D是AB的中点，所以CD=AD=BD.因为∠B=90°-∠A=60°，所以△BCD是等边三角形.因为CN⊥DB，所以DN=12 DB.因为∠EDF=90°，△BCD是等边三角形，所以∠ADG=30°.因为∠A=30°，所以GA=GD.因为GM⊥AB，所以AM=12AD.所以AM=DN.（2）解：因为DF∥AC，所以∠FDB=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°.所以∠ADG=60°.因为∠B=60°，AD=DB，所以△ADG≌△DBH.所以AG=DH.因为GM⊥AB，HN⊥AB，所以∠GMA=∠HND=90°.因为∠A=∠FDB，所以△AMG≌△DNH.所以AM=DN.20.（1）证明：如图①，过点D作DF∥BC，交AC于点F.因为△ABC是等腰三角形，∠A=60°，所以△ABC是等边三角形.所以∠ABC=60°.因为DF∥BC，所以∠ADF=∠ABC=60°，∠FDC=∠DCE.所以△ADF是等边三角形.所以AD=DF，∠AFD=60°.所以∠DFC=180°-60°=120°.因为∠EBD=180°-60°=120°，所以∠DFC=∠EBD.因为∠DCE=∠DEC，所以∠FDC=∠DEC，ED=CD.所以△DBE≌△CFD.所以EB=DF.所以EB=AD.①②第20题图（2）解：EB=AD成立.理由如下：如图②，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F.同（1）可证△A D F是等边三角形.所以AD=DF，∠A FD=60°.因为∠DBE=∠A BC=60°，所以∠DBE=∠A FD.因为∠FD C=∠DCE，∠DCE=∠DEC，所以∠F DC=∠DEC，ED=CD.所以△DBE≌△CFD.所以EB=DF.所以EB=AD.。

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案一、选择题1．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，EC＝4，CD＝3，则AC等于（）A．3 B．4 C．7 D．82．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC=60°，∠ACB= 40°然后在BC的同侧找到点M使∠MBC=60°，∠MCB=40°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA4．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为（）.A．0.4 cm2B．0.5 cm2C．0.6 cm2D．不能确定6．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立是（）A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP7．如图，△ABC中∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC ②∠ABC+2∠APC=180°③∠CAB=2∠CPB④S△PAC=S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（）A．6 B．3 C．2 D．1.5二、填空题9．如图BA=BE，∠1=∠2要使△ABD≌△EBC还需添加一个条件是．（只需写出一种情况）10．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是．11．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=8，则AD+DE的值为．12．如图，在△ABC中AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=70°那么∠A的大小等于度．13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三、解答题14．如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C.（1）求证：BD=CD；（2）若∠B=∠BDC=100°，求∠BAD的度数.15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数.16．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．（1）求证：CD=BE；（2）求∠CFE的度数．18．如图，在△AOB和△COD中OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°连接AC、BD交于点M，连接OM．求证：（1）∠AMB=36°；（2）MO平分∠AMD．参考答案1．C2．C3．D4．B5．B6．D7．D8．D9．BD =BC 或∠A =∠E 或∠C =∠D （任填一组即可）10．411．812．4013．414．（1）证明：∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD .在△ABD 和△ACD 中{∠BAD =∠CAD ∠B =∠C AD =AD∴△ABD ≌△ACD(AAS)∴BD =CD .（2）解：由(1)得：△ABD ≌△ACD∴∠C =∠B =100°，∠BAD =∠CAD∵∠BAC +∠B +∠BDC +∠C =360°∴∠BAC =60°∴∠BAD =30°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）∴BC ＝DC ；（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：∵△ABD 、△AEC 都是等边三角形∴AD=AB ，AC=AE ，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，∠CAE=60°∵∠DAB=∠DAC+∠CAB ，∠CAE=∠BAE+∠CAB∴∠DAC=∠BAE在△DAC 和△BAE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE∴△DAC ≌△BAE∴CD=BE（2）解：∵△DAC ≌△BAE∴∠ADC=∠ABE∴∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF=∠BDF+∠DBA+∠ADC=∠BDA+∠DBA=60°+60°=120°18．（1）解：证明：∵∠AOB=∠COD=36°∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD 在△AOC和△BOD中{OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌△BOD(SAS)∴∠OAC=∠OBD∵∠AEB是△AOE和△BME的外角∴∠AEB=∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC∴∠AMB=∠AOB=36°；（2）解：如图所示，作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H∴OG是△AOC中AC边上的高，OH是△BOD中BD边上的高由（1）知：△AOC≌△BOD∴OG=OH∴点O在∠AMD的平分线上即MO平分∠AMD．。

2022年中考数学专题复习：三角形一、单选题1．如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 交于点G ．若6BG =，则EG =（ ）A ．4.5B ．4C ．3.5D ．3 2．若一个三角形的三边长分别是15，20，25，则这个三角形最长的边上的高等于( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 3．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB B =，6AC =，M 为BC 上的一动点，ME AB ⊥于E ，MF AC ⊥于F ，N 为EF 的中点，则MN 的最小值为（ ）A ．4.8B ．2.4C ．2.5D ．2.6 4．如图，在边长为1的正方形网格中，平行四边形ABCD 的顶点在格点上，平行四边形EFGH 的顶点E 、F 在边CD 上，且AD ∥EH ， AD ＝EH ，AG 交CD 于点O ，则S 阴影为（ ）A ．7平方单位B ．8平方单位C ．14平方单位D ．无法确定5．如图，等腰直角△ABC 中，∥B ＝90°，AB ＝BC ＝10cm ，将△ABC 沿AC 方向平移得到△DEF ，则两个三角形重叠部分△DGC 的面积为（ ）2D．2A．18cm2B．25cm2C．6．如图，在∥ABCD中，∥DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∥ABC的平分线.利用尺规在∥ABCD中作图，作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（）B．3C．5D．A．7．如图，AD为ABC的中线，E为AD的中点，连接BE．已知ABC的面积为12，则△的面积等于（）ABEA．2B．3C．4D．68．如图，在∥ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∥ABD，∥ACE，∥BCF都是等边三角形，下列结论中：∥AB∥AC；∥四边形AEFD是平行四边形；∥∥DFE＝150°；∥S四边形AEFD＝8．错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．如图，∥ABC中，AB＝10，AC＝4，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分∥BAC，过点D作DM∥AB于点M，则BM＝_____．10．如图，在Rt∥ABC中，BD是∥ABC的平分线，DE∥AB于E，则DE与DC的关系是__________．11．如图，在∥ABC中，AB=AC，∥A=54°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AB于D．交AC于E，则∥DCB的度数为___度．12．如图，在ΔABC中，∥C=90°，∥ABC的平分线BD交AC于点D，若BD=13cm，BC=12cm，则点D到直线AB的距离是_______CM．13．如图，AD，AE为∥ABC的高线，角平分线，DF∥AE于点F．当∥DAC＝21°，∥B＝25°时，∥EDF的度数为______．14．如图，点D ，E 是ABC ∆的边AB ，AC 上的点，已知F ，G ，H 分别是DE ，BE ，BC 中点，连接BE ，FH ，若BD=8，CE=6，，∥FGH=90°，则FH 长为_______.15．如图，在等边ABC ∆中，10AB =，4BD =，2BE =，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连接PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边DPF ∆，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是__．16．如图，在Rt∥ABC 中，∥C ＝90°，以项点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则∥ABD 的面积是__________；17．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5BC =，12AC =，分别以点A 、B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E ，F ，作直线EF 交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长是__________．18．如图，已知等边三角形∥ABC，点D，E 分别在CA，CB 的延长线上，且BE=CD，O为BC 的中点，MO∥AB 交DE 于点M，OM=AD=2，则AB=________________．19．如图，在∥ABC中，AF平分∥BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∥B=70°，∥FAE=19°，则∥C=______度．三、解答题20．如图，在∥ABCD中，∥ADC的平分线经过BC的中点E，与AB的延长线交于点F．求证：AE∥DF．21．在∥ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D在BC上，求出当AD＝13时BD的长．22．在Rt∥ABC 中，∥BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在边BC 上，DE ∥DA 且DE ＝DA ，AE 交边BC 于点F ，连接CE ．(1)如图（1），当AD ＝AF 时，∥求证：BD ＝CF ；∥求∥ACE 的度数．(2)如图（2），若CD ＝8，DF ＝5，求AE 的长．23．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，延长AB 至点D ，使DB AB =，连接CD ，以CD 为直角边作等腰直角三角形CDE ，其中90DCE ∠=︒，连接BE ．(1)求证：E ACD BC ≅∆∆；(2)若3AC =，求BE 的长．。

三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。

2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值X围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D【解析】：如图∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。

3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B【解析】如图，延长BC交AD于点E，∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，故答案为：B.【分析】延长BC交AD 于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。

4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。

中考数学复习考点知识专题讲解中考数学复习考点知识专题讲解三角形的综合问题专题10三角形的综合问题】方法指导】【方法指导1.全等三角形解决问题的常见技巧：（1）全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（适用于直角三角形）．（2）作辅助线构造全等三角形①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．2.等腰三角形解题技巧：（1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．（2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3.等边三角形常用方法与思路：（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．【题型剖析题型剖析】】【类型1】三角形有关角的综合计算三角形有关角的综合计算【例1】（2019•泉山区模拟）如图，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图1，若90MON ∠=°，OBA ∠、OAB ∠的平分线交于点C ，则ACB ∠= °；（2）如图2，若MON n ∠=°，OBA ∠、OAB ∠的平分线交于点C ，求ACB ∠的度数；（3）如图2，若MON n ∠=°，AOB ∆的外角ABN ∠、BAM ∠的平分线交于点D ，求ACB ∠与ADB ∠之间的数量关系，并求出ADB ∠的度数；（4）如图3，若80MON ∠=°，BC 是ABN ∠的平分线，BC 的反向延长线与OAB ∠的平分线交于点E ．试问：随着点A 、B 的运动，E ∠的大小会变吗？如果不会，求E ∠的度数；如果会，请说明理由．【变式1-1】（2019•沭阳县模拟）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品−−圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠、B ∠、C ∠之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若50A ∠=°，则ABX ACX ∠+∠= 40 °；②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50DAE ∠=°，130DBE ∠=°，求DCE ∠的度数； ③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G 、2G …、9G ，若140BDC ∠=°，177BG C ∠=°，求A ∠的度数．【变式1-2】（2019春•海安市期末）如图，已知BE 是ABC ∆的角平分线，CP 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线．延长BE ，BA 分别交CP 于点F ，P（1）求证：12BFC BAC ∠=∠；（2）小智同学探究后提出等式：BAC ABC P ∠=∠+∠．请通过推理演算判断“小智发现”是否正确？（3）若2180BEC P ∠−∠=°，求ACB ∠的度数．【变式1-3】（2019春•高淳区校级模拟）ABC ∆中，三个内角的平分线交于点O ，过点O 作OD OB ⊥，交边AB 于点D ．（1）如图1，①若40ABC ∠=°，则AOC ∠= ，ADO ∠= ；②猜想AOC ∠与ADO ∠的关系，并说明你的理由；（2）如图2，作ABC ∠外角ABE ∠的平分线交CO 的延长线于点F ．若105AOC ∠=°，32F ∠=°，则AOD ∠= _______°．【类型2】全等三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质【例2】（2019•如皋市一模）如图，A 、B 、C 是直线l 上的三个点，DAB DBE ECB a ∠=∠=∠=，且BD BE =．（1）求证：AC AD CE =+；（2）若120a =°，点F 在直线l 的上方，BEF ∆为等边三角形，补全图形，请判断ACF ∆的形状，并说明理由．【变式2-1】（2019•碑林区校级模拟）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=°，CE BD ⊥，垂足为E ，BE DA =．（1）求证：ABD ECB ∆≅∆；（2）若45DBC ∠=°，1BE =，求DE 的长（结果精确到0.01， 1.414≈ 1.732)≈【变式2-2】（2019•灌南县校级模拟）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，点F 是AB 的中点，点E 是BC 边上的点，DE AD BE =+，DEF ∆的周长为l ．（1）求证：DF 平分ADE ∠；（2）若FD FC =，2AB =，3AD =，求l 的值．【类型3】等腰三角形的有关计算与证明等腰三角形的有关计算与证明【例3】（2018秋•灌云县期末）如图，已知D 是ABC ∆的边BC 上的一点，CD AB =，（1）若BDA BAD ∠=∠，60B ∠=°，求C ∠的大小；（2）若AE 既是ABD ∆的高又是角平分线，54B ∠=°，求C ∠的大小．【变式3-1】（2018秋•泗阳县期末）已知，在ABC ∆中，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD BA =，CE CA =．（1）如图1，若90BAC ∠=°，45B ∠=°，试求DAE ∠的度数；（2）若90BAC ∠=°，60B ∠=°，则DAE ∠的度数为 （直接写出结果）；（3）如图2，若90BAC ∠>°，其余条件不变，探究DAE ∠与BAC ∠之间有怎样的数量关系？【变式3-2】（2018秋•秦淮区期末）如图，在ABC ∆中，AB AD =，CB CE =．（1）当90ABC ∠=°时（如图①)，EBD ∠= °；（2）当(90)ABC n n ∠=°≠时（如图②)，求EBD ∠的度数（用含n 的式子表示）．【类型4】等边三角形的有关计算与证明等边三角形的有关计算与证明【例4】（2019春•鼓楼区校级模拟）已知，ABC ∆为等边三角形，点D 为AC 上的一个动点，点E 为BC 延长线上一点，且BD DE =．（1）如图1，若点D 在边AC 上，猜想线段AD 与CE 之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若点D 在AC 的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【变式4-1】（2018秋•泰兴市月考）如图，ABC ∆是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至点E ，使CE CD =．取BE 中点F ，连接DF ．（1）求证：BD DE =；（2）延长ED 交边AB 于点G ，试说明：DG DF =．【变式4-2】（2019•淮阴区模拟）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=°，以AC 为边在ABC ∆外作等边三角形ACD ，过点D 作AC 的垂线，垂足为F ，与AB 相交于点E ，连接CE ．（1）说明：AE CE BE ==；（2）若15AB cm =，P 是直线DE 上的一点．则当P 在何处时，PB PC +最小，并求出此时PB PC +的值．【类型5】直角三角形的综合问题直角三角形的综合问题【例5】（2019 •溧水校级模拟）已知ABC ∆中，90A ∠=°，AB AC =，D 为BC 的中点． （1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE AF =．求证：DEF ∆为等腰直角三角形；（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE AF =，其他条件不变，那么DEF ∆是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【变式5-1】（2018秋•常熟市期末）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=°，AC BC =．点D 是边AC 上一点，DE AB ⊥，垂足为E ．点F 是BD 的中点，连接CF ，EF ．（1）求证：CF EF =；（2）判断CF 与EF 的位置关系，并说明理由；（3）若30DBE ∠=°，连接AF ，求AFE ∠的度数．【变式5-2】（2019•江都区校级模拟）如图所示，已知ABC ∆是等腰直角三角形，90ABC ∠=°，10AB =，D 为ABC ∆外的一点，连结AD 、BD ，过D 作DH AB ⊥，垂足为H ，DH 的延长线交AC 于E ．（1）如图1，若BD AB =，且34HB HD =，求AD 的长； （2）如图2，若ABD ∆是等边三角形，求DE 的长．【达标检测达标检测】】一．选择题选择题（（共4小题小题））1．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，102．（2019•扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（ ）A．4个B．5个C．6个D．7个3．（2019•盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（ ）A．2 B．C．3 D．4．（2018•南通）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；步骤3：连接DE，DF．若AC＝4，BC＝2，则线段DE的长为（ ）A．B．C．D．）小题）二．填空题（共4小题填空题（5．（2019•南通）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝ 度．6．（2019•苏州）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为 ．7．（2019•南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是 ．8．（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．）小题）（共8小题三．解答题解答题（9．（2019•南通）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC 并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？10．（2019•镇江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．11．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB＝OC．12.（2018•无锡）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，BC＝n，m＞n，点P是边AB上一点，连结CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的长；（2）连结BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式．13．（2018•徐州）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再将点B 折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．已知BC＝4．（1）若M为AC的中点，求CF的长；（2）随着点M在边AC上取不同的位置，①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；②求△PFM的周长的取值范围．14．（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l 2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．请依据上述定义解决如下问题：＝3，则T（BC，AB）＝ ；（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，求△ABC的面（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝6，求T（BC，CD），＝2，T（BC，AB）。

初三数学中考复习三角形专项复习练习含解析1. 如图，图中以AB为边的三角形的个数共有( B )A．1个B．2个C．3个D．4个2. 如图所示，∠BAC的对边是( C )A．BD B．DC C．BC D．AD3. 若△ABC三条边分别为m，n，p，且|m－n|＋(n－p)2＝0，则那个三角形为( B )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4. 如图，D为AC上一点，AD＝DC，E为BC上一点，BE＝EC，则下列说法不正确的是( D )A．DE是△BDC的中线B．BD是△ABC的中线C．D为AC中点，E为BC中点D．∠C的对边是DE5. 如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为( A )A．40°B．45°C．80°D．85°6. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E.则下列说法不正确的是( C )A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高7. 若△ABC和△DEF全等，A和E，B和D分别是对应顶点，则下列结论错误的是( A )A．BC＝EF B．∠B＝∠D C．∠C＝∠F D．AC＝EF 8．如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：①AB＝DE；②BC＝EF；③AC＝DF；④∠A＝∠D；⑤∠B＝∠E；⑥∠C＝∠F.以其中三个条件作为已知，不能判定△ABC与△DEF全等的是( D )A．①②⑤B．①②③C．①④⑥D．②③④,第7题图),第8题图),第10题图)9．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为( A ) A．80°B．100°C．60°D．45°10．已知三角形两边的长分别是3和8，则此三角形的周长取值范畴是( C )A．3＜C＜8 B．5＜C＜11 C．16＜C＜22 D．11＜C＜1 611．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC 的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S △BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF等于( B )A．1 B．2 C．3 D．412．假如一个三角形中任意两个内角的和大于第三个内角，那个三角形是__锐角__三角形．13. 如图，已知△ABC的面积是36 cm2，BD＝4 cm，DC＝8 cm，则阴影部分的面积是__12__cm2.14. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是__50°__．15．如图，点A在线段ED上，AC＝CD，BC＝CE，∠1＝∠2，假如AB＝7，AD＝5，那么AE＝__2__.16. 你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′的数量关系是___相等____．17. 等腰三角形的周长为20 cm，其中一边长为6 cm，则另两边长分别为_____6cm，8cm或7cm，7cm ____．18. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为BD上的一点，E G∥AD，分别交AB和CA的延长线于点F，G，∠AFG＝∠G.(1)试说明△ABD≌△ACD；(2)若∠B＝40°，求∠G和∠FAG的大小．解：(1)由ASA可证△ABD≌△ACD(2)∠G＝50°，∠FAG＝80°19．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD，延长使DF＝BD，过F点作AB的平行线段MF，连接MD并延长，在其延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A，C，E成一条直线，你明白其中的道理吗？解：∵BD＝DF，DE＝DM，∠BDE＝∠FDM，∴△BDE≌△FDM，故∠BEM＝∠DMF，∴BE∥MF，又∵AB∥MF，依照过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴A，C，E在一条直线上20．以点A为顶点作两个等腰直角三角形(△ABC，△ADE)，如图①所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE.(1)试说明：BD＝CE；(2)延长BD交CE于点F，求∠BFC的度数；(3)若如图②放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．解：(1)易得△ADB≌△AEC(SAS)，∴BD＝CE(2)∵△ADB≌△AEC，∴∠DBA＝∠ECA，∴∠BFC＝180°－∠AC E－∠CDF＝180°－∠DBA－∠BDA＝∠DAB＝90°(3)同样成立，BD＝CE且∠BFC＝90°.理由∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠EAD，∴∠BAD＝∠C AE，∴△ADB≌△AEC，∴BD＝CE，∠ABF＝∠ACF，∴∠BFC＝∠BA C＝90°。

中考数学专题复习三角形问题（双角平分线型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．如图，ABD ∠，ACD ∠的角平分线交于点P ，若48A ∠=︒，10D ∠=︒，则P ∠的度数（ ）A ．19︒B ．20︒C ．22︒D ．25︒2．如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 交于点G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，则A ∠=（ ）A ．80°B ．75°C ．60°D ．45°3．如图所示，在ABC 中，,ABC ACB ∠∠的平分线,BE CD 相交于点F ，若且∠ABC =42°，60A ∠=︒，则BFC ∠等于（ ）．A ．121︒B ．120︒C ．119︒D ．118︒4．如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：∠BDF 和CEF △都是等腰三角形 ∠DE BD CE =+； ∠BF CF >；∠若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒． 其中正确的有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．45．在ABC ∆中，70A ∠=︒ ，若B C ∠∠、的平分线BE CF 、交于点O ，则BOC ∠的度数是（ ） A ．115︒ B ．125︒C ．135︒D ．110︒评卷人 得分二、填空题 6．如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，……以此类推，若A α∠=，则2020A ∠=_______．7．如图，五边形ABCDE 在,BCD EDC ∠∠处的外角分别是,,,FCD GDC CP DP ∠∠分别平分FCD ∠和GDC ∠且相交于点P ．若160,80,90A B E ∠=︒∠=︒∠=︒，则CPD ∠=________．8．如图，在∠ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝_____9．如图，在ABC ∆中，A θ∠=，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和1A CD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠；⋯；2019A BC ∠和2019A CD ∠的平分线交于点2020A ，则2020A ∠=__．（用θ表示）10．如图，已知ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，ABC ∠的平分线与ABC 外角ACM ∠的平分线交于点G ，若8BFC G ∠=∠，则A ∠=________︒．11．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠︒＝，则BOC ∠＝______．12．如图在∠ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE 为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论∠122∠=∠，∠32BOC ∠=∠，∠901BOC ∠=︒+∠，∠902BOC ∠=︒+∠，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）13．∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点An ． 设∠A ＝θ．则1A ∠＝_________，∠A 2021＝____________．评卷人 得分三、解答题 14．如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动（不与点O 重合），AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ． （1）若∠MON =60°，则∠ACG = ；（直接写出答案） （2）若∠MON =n °，求出∠ACG 的度数；（用含n 的代数式表示）（3）如图2，若∠MON =80°，过点C 作CF ∠OA 交AB 于点F ，求∠BGO 与∠ACF 的数量关系．15．如图，在∠ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数．（2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？16．已知BC∠OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：（1）如图（1），求证：OB∠AC．（2）如图（2），若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，试求∠EOC的度数．（3）在图（2）的条件下，若平行移动AC，如图（3），那么∠OCB∠∠OFB的值是否会发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．17．（1）如图所示，在ABC中，,BO CO分别是ABC∠和ACB∠的平分线，证明：1902BOC A∠=+∠︒．（2）如图所示，ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：1902BDC A-︒∠=∠．（3）如图所示，ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：12D A∠=∠．18．我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，EF 为一镜面,AO 为入射光线，入射点为点O ，ON 为法线（过入射点O 且垂直于镜面EF 的直线），OB 为反射光线,此时反射角BON ∠等于入射角AON ∠，由此可知BOF ∠等于AOE ∠．（1）两平面镜OP 、OQ 相交于点O ，一束光线从点A 出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B ．∠如图2，当POQ ∠为多少度时，光线//AM NB ？请说明理由．∠如图3，若两条光线AM 、NB 所在的直线相交于点E ，延长MN 发现MO 和NO 分别为MEN 一个内角和一个外角的平分线，则POQ ∠与MEN ∠之间满足的等量关系是_______．（直接写出结果）（2）三个平面镜PM 、MN 、NQ 相交于点M 、N ，一束光线从点A 出发,经过平面镜三次反射后，恰好经过点E ，请直接写出M ∠、N ∠、BCD ∠与BFD ∠之间满足的等量关系．19．如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且10AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 周长为________．20．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE BE、分别是BAO∠和ABO∠角的平分线，点A B、在运动的过程中，AEB∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB∠的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD AD BC，、分别是BAP∠和ABM∠的角平分线，又DE CE、分别是ADC∠和BCD∠的角平分线，点A B、在运动的过程中，CED∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED∠的度数．（3）如图3，延长BA至G，已知BAO OAG∠∠、的角平分线与BOQ∠的角平分线及反向延长线相交于E F、，在AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO∠的度数为____（直接写答案）（2）如图∠，,AP CP分别平分,BAD BCD∠∠，若36,16ABC ADC∠=︒∠=︒，求P∠的度数．（3）如图∠，直线AP平分BAD∠的外角,FAD CP∠平分BCD∠的外角BCE∠，若,ABC ADCαβ∠=∠=，则P∠=________用αβ、的代数式表示）22．如图1，,AD BD分别是ABC的内角,BAC ABC∠∠的平分线，过点A作AE AD⊥，交BD的延长线于点E．（1）求证：12E C∠=∠；（2）如图2，如果AE AB=，且:2:3BD DE=，求cos ABC∠的值；（3）如果ABC∠是锐角，且ABC与ADE相似，求ABC∠的度数，并直接写出ADEABCSS∆∆的值．23．（1）如图∠，∠ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD∠BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：∠∠CAE的度数；（2）如图∠，若把（1）中的条件“AD∠BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD∠BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．（3）在∠ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD∠BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．24．如图∠所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．（1）求证：ADC DAB DCB ABC∠∠∠∠=++；（2）如图∠所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若120EDF∠=︒，求A B C G E F∠∠∠∠∠∠+++++的度数．25．平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．求∠ANC ．26．如图，四边形ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点O ．（1）如果130A ∠=︒，110D ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）请直接写出BOC ∠与A D ∠+∠的数量关系．27．如图，已知ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于点O ，EF 过点O 且//EF BC ．（1）若50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）若130BOC ∠=︒，1:22:3∠∠=，求ABC ∠、ACB ∠的度数．28．如图，∠CBF ，∠ACG 是∠ABC 的外角，∠ACG 的平分线所在的直线分别与∠ABC ，∠CBF 的平分线BD ，BE 交于点D ，E ．（1）若∠A=70°，求∠D 的度数；（2）若∠A=a ，求∠E ；（3）连接AD ，若∠ACB=β，则∠ADB= ．29．（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______（2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．30．如图，ABC ∆的角平分线BD CE 、相交于点P ．（1）若50,70ABC ACB ∠=︒∠=︒，则A ∠=________︒；（2）试探究DPC ∠与A ∠之间的数量关系并说明理由．参考答案：1．A【解析】【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF ＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋12∠ACD＝∠A＋12∠ABD，代入计算即可．【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，∠∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∠∠AFB＝∠PFC，∠∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∠∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∠∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，∠2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，∠PB、PC是角平分线∠∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∠2∠P＝∠A−∠D∠∠A＝48°，∠D＝10°，∠∠P＝19°．法二：延长DC，与AB交于点E．∠∠ACD 是∠ACE 的外角，∠A ＝48°，∠∠ACD ＝∠A ＋∠AEC ＝48°＋∠AEC ．∠∠AEC 是∠BDE 的外角，∠∠AEC ＝∠ABD ＋∠D ＝∠ABD ＋10°，∠∠ACD ＝48°＋∠AEC ＝48°＋∠ABD ＋10°，整理得∠ACD −∠ABD ＝58°．设AC 与BP 相交于O ，则∠AOB ＝∠POC ，∠∠P ＋12∠ACD ＝∠A ＋12∠ABD ，即∠P ＝48°−12（∠ACD −∠ABD ）＝19°．故选A .【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 2．C【解析】【分析】连接,BC 先求解,DBC DCB ∠+∠ 再求解,GBC GCB ∠+∠ 可得,GBD GCD ∠+∠ 再利用角平分线的定义可得：,ABD ACD ∠+∠ 从而可得：,ABC ACB ∠+∠ 再利用三角形的内角和定理可得A ∠的大小.【详解】解：连接,BC 140,BDC ∠=︒18014040,DBC DCB ∴∠+∠=︒-︒=︒100,BGC ∠=︒18010080,GBC GCB ∴∠+∠=︒-︒=︒40,GBD GCD GBC GCB DBC DCB ∴∠+∠=∠+∠-∠-∠=︒BE 平分ABD∠，CF 平分ACD ∠，()280,ABD ACD GBD GCD ∴∠+∠=∠+∠=︒+8040120,ABC ACB ABD ACD DBC DCB ∴∠+∠=∠∠+∠+∠=︒+︒=︒()18060.A ABC ACB ∴∠=︒-∠+∠=︒故选：.C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.3．B【解析】【分析】由∠ABC =42°，∠A =60°，根据三角形内角和等于180°，可得∠ACB 的度数，又因为∠ABC 、∠ACB 的平分线分别为BE 、CD ，所以可以求得∠FBC 和∠FCB 的度数，从而求得∠BFC 的度数．【详解】解：∠4260180ABC A ABC A ACB ∠=︒∠=︒∠+∠+∠=︒，，．∠180426078ACB ∠=︒-︒-︒=︒．又∠∠ABC 、∠ACB 的平分线分别为BE 、CD ． ∠1212FBC ABC ∠=∠︒＝，1392FCB ACB ∠=∠︒＝． 又∠180FBC FCB BFC ∠+∠+∠=︒．∠1802139120BFC ∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵活变化求出相应问题的答案．4．C【解析】【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．【详解】解：∠∠BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，∠∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∠DE∠BC，∠∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（两直线平行，内错角相等），∠∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，∠DB=DF，EF=EC，∠∠BDF和△CEF都是等腰三角形，∠∠选项正确，符合题意；∠∠DE=DF+FE，∠DB=DF，EF=EC，∠DE=DB+CE，∠∠选项正确，符合题意；∠根据题意不能得出BF＞CF，∠∠选项不正确，不符合题意；∠∠若∠A=80°，∠∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∠∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，×100°=50°，∠∠CBF+∠BCF=12∠∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，∠∠选项正确，符合题意；故∠∠∠正确．【点睛】等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系，解题关键是逐个判断选项即可得出正确答案．5．B【解析】【分析】由A∠的度数可以求出ABC∠与ACB∠的和，由角平分线的性质可以得出1=2∠∠，3=4∠∠，即可得出2∠与4∠的和，即可得出BOC∠的度数．【详解】∠70A∠=︒，∠ABC∠+ACB∠=110°，∠BE CF、为ABC∠与ACB∠的平分线，∠1=2∠∠，3=4∠∠，∠2∠+4∠=110÷2=55°，∠BOC∠=180°－55°=125°．故选：B．【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟记相关概念是解题关键．6．20202α【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解112A A ∠=∠，同理求出∠A 2，∠A 3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∠A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∠∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∠∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∠12（∠A +∠ABC ）=12∠ABC +∠A 1， ∠∠A 1=12∠A ，∠∠A =α．∠A 1=12∠A =12α，同理可得∠A 2=12∠A 1=212α， 根据规律推导，∠2020A ∠=20202α， 故答案为20202α．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．7．105°【解析】【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD ＋∠CDE 的度数，从而求出∠PCD ＋∠PDC 的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD 的度数．【详解】解：∠∠A ＝160°，∠B ＝80°，∠E ＝90°，∠∠BCD ＋∠CDE ＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°，∠∠PCD ＋∠PDC ＝12（180°×2−210°）＝75°，在∠CPD 中，∠CPD ＝180°−（∠PCD ＋∠PDC ）＝180°−75°＝105°，故答案为：105°．【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD ＋∠CDE 的度数是解题的关键．8．40°【解析】【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∠∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∠∠ACO=12∠ACB ，∠CD 平分∠ACE ，∠∠ACD=12∠ACE ，∠∠ACB+∠ACE=180°，∠∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE ）=12×180°=90°， ∠∠BOC ＝130°，∠∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．9．20202【解析】【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A 1=12∠A ，由于∠A 1=12∠A ，∠A 2=12∠A 1=212∠A ，…，以此类推可知∠A 2020即可求得． 【详解】∠A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∠∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CA=12∠ACD ， ∠∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，即12∠ACD=∠A 1+12∠ABC ，∠∠A 1=12（∠ACD-∠ABC ）， ∠∠A+∠ABC=∠ACD ，∠∠A=∠ACD-∠ABC ，∠∠A 1=12∠A ，以此类推∠A 2=12∠A 1=12•12∠A=212∠A, ∠A 3=12∠A 2=21122⨯∠A=312∠A ，……， 所以∠A n =12n A ∠， 202020202020122A A θ∴∠=∠=． 故答案为：20202θ．【点睛】 本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A n =12nA ∠. 10．36【解析】【分析】 首先根据三角形的外交性质求出2A G ∠=∠，结合三角形的高的知识得到G ∠和A ∠之间的关系，进而可得结果；【详解】由图知：ACM A ABC ∠=∠+∠，∠CG 是ACM ∠的角平分线，∠2ACM GCM ∠=∠，∠2A ABC GCM ∠+∠=∠，∠BG 是ABC ∠的角平分线，∠12GBC ABC ∠=∠， ∠GBC G GCM ∠+∠=∠，即12ABC G GCM ∠+∠=∠， ∠22ABC G GCM ∠+∠=∠，∠2ABC G A ABC ∠+∠=∠+∠，∠2A G ∠=∠，∠ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，∠CE AB ⊥，BD AC ⊥，∠90AEF ADF ∠=∠=︒，∠在四边形AEFD 中有：180A DFE ∠+∠=︒，∠DFE BFC ∠=∠，∠180A BFC ∠+∠=︒，∠18842BFC G A A ∠=∠=⨯∠=∠， ∠45180A BFC A A A ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∠180536A ︒∠=÷=︒．【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键．11．110︒．【解析】【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数．【详解】解：∠OB 、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∠∠OBC+∠OCB= 111() 222ABC ACB ABC ACB ∠+∠=∠+∠∠∠A=40°，∠∠OBC+∠OCB= 1(18040)2︒︒-=70°，∠∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°．故答案是110．【点睛】本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键．12．∠∠【解析】【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋12∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判断．【详解】∠CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∠∠DCE＝12∠ACD，∠DBE＝12∠ABC，又∠∠DCE是∠BCE的外角，∠∠2＝∠DCE−∠DBE＝12（∠ACD−∠ABC）＝12∠1，故∠正确；∠BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∠∠OBC＝12ABC，∠OCB＝12∠ACB，∠∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝180°−12（∠ABC＋∠ACB）＝180°−12（180°−∠1）＝90°＋12∠1，故∠、∠错误；∠OC 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∠∠ACO ＝12∠ACB ，∠ACE ＝12∠ACD ， ∠∠OCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝12×180°＝90°， ∠∠BOC 是∠COE 的外角，∠∠BOC ＝∠OCE ＋∠2＝90°＋∠2，故∠正确；故答案为：∠∠．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．13． 2θ 20212θ 【解析】【分析】据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可求出∠A 1的度数，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】解：∠A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∠∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， 又∠∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，∠12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A 1， ∠∠A 1=12∠A ，∠∠A=θ， ∠∠A 1=2θ， 同理可得：∠A n =2n θ， ∠∠A 2021=20212θ，故答案为：2θ，20212θ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．14．（1）60°；（2）90°-12n °；（3）∠BGO -∠ACF =50° 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO +∠ABO ，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；（2）仿照（1）的解法解答；（3）根据平行线的性质得到∠ACF =∠CAG ，根据（2）的结论解答．【详解】解：（1）∠∠MON =60°，∠∠BAO +∠ABO =120°， ∠AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∠∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ， ∠∠CBA +∠CAB =12（∠ABO +∠BAO ）=60°， ∠∠ACG =∠CBA +∠CAB =60°，故答案为：60°；（2）∠∠MON =n °，∠∠BAO +∠ABO =180°-n °，∠AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∠∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ， ∠∠CBA +∠CAB =12（∠ABO +∠BAO ）=90°-12n °， ∠∠ACG =∠CBA +∠CAB =90°-12n °； （3）∠CF ∠OA ，∠∠ACF =∠CAG ，∠∠BGO -∠ACF =∠BGO -∠CAG =∠ACG ，由（2）得：∠ACG =90°-12×80°=50°． ∠∠BGO -∠ACF =50°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．15．（1）115︒；（2）36A ∠=︒【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，求得PBC ∠，PCB ∠，再根据三角形内角和定理即可求得BPC ∠；（2）根据（1）的方法求得BPC ∠，再结合条件∠BPC ＝3∠A ，解方程即可求得∠A ．【详解】（1）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ∠ABC +∠ACB ＝130°， 1()652PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 180()18065115BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，（2）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， 1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠， 180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，1902PBC PCB A ∴∠+∠=︒-∠， 180()BPC PBC PCB1180(90)2A =︒-︒-∠ 1902A =+∠︒∠BPC ＝3∠A13902A A ∴∠=︒+∠， 36A ∴∠=︒．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．16．（1）见解析；（2）40°；（3）不发生变化，12【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明；（2）由∠FOC =∠AOC ，并且OE 平分∠BOF 得到∠EOC =∠EOF +∠FOC =12（∠BOF +∠FOA ）=12∠BOA ，算出结果；（3）先得出结论：∠OCB ：∠OFB 的值不发生变化，理由为：由BC 与AO 平行，得到一对内错角相等，由∠FOC =∠AOC ，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证．【详解】解：（1）∠BC ∠OA ，∠∠B +∠O =180°，又∠∠B =∠A ，∠∠A +∠O =180°，∠OB ∠AC ；（2）∠∠B +∠BOA =180°，∠B =100°，∠∠BOA =80°，∠OE 平分∠BOF ，∠∠BOE =∠EOF ，又∠∠FOC =∠AOC ，∠∠EOC =∠EOF +∠FOC =12（∠BOF +∠FOA ）=12∠BOA =40°；（3）结论：∠OCB ：∠OFB 的值不发生变化．理由为：∠BC ∠OA ，∠∠FCO =∠COA ，又∠∠FOC =∠AOC ，∠∠FOC =∠FCO ，∠∠OFB =∠FOC +∠FCO =2∠OCB ，∠∠OCB ：∠OFB =1：2=12． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．17．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】【详解】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．∠由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．∠由∠得180x y BOC +=-∠︒．∠ 把∠代入∠，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒ （2）∠BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∠()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、， 由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-12[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°），=90°-12∠A ；（3）如图：∠BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∠∠1=∠2，∠5=1（∠A+2∠1），∠3=∠4，2在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∠∠1+∠3=180°-∠A∠（∠A+2∠1），在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A∠，∠A．把∠代入∠得∠D=12【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．18．（1）∠90°，理由见解析；∠∠MEN=2∠POQ；（2）2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD 【解析】【分析】（1）∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根据∠AMN+∠BNM=180°，可得α+β=90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可；∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，根据三角形外角性质可得∠MEN=2（β-α），再根据三角形外角性质可得∠POQ=β-α，进而得出∠MEN=2∠POQ；（2）分别表示出∠M，∠N，∠BCD，利用四边形内角和表示出∠BFD，再将∠M，∠N，∠BCD进行运算，变形得到∠BFD，即可得到关系式．【详解】解：（1）∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，当AM∠BN时，∠AMN+∠BNM=180°，即180°-2α+180°-2β=180°，∠180°=2（α+β），∠α+β=90°，∠∠MON中，∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-（α+β）=90°，∠当∠POQ为90度时，光线AM∠NB；∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，∠∠AMN=180°-2α，∠MNE=180°-2β，∠∠AMN是∠MEN的外角，∠∠MEN=∠AMN-∠MNE=（180°-2α）-（180°-2β）=2（β-α），∠∠MNQ是∠MNO的外角，∠∠POQ=∠MNQ-∠NMO=β-α，∠∠MEN=2∠POQ；（2）设∠PBE=∠MBC=∠1，∠MCB=∠NCD=∠2，∠CDN=∠ADQ=∠3，可知：∠M=180°-∠1-∠2，∠N=180°-∠2-∠3，∠BCD=180°-2∠2，∠∠CBA=180°-2∠1，∠CDA=180°-2∠3，∠∠BFD=360°-∠CDA-∠CBA-∠BCD=360°-（180°-2∠1）-（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠1+∠2+∠3）-180°又∠2（∠M+∠N）-∠BCD=2（180°-∠1-∠2+180°-∠2-∠3）-（180°-2∠2）=540°-2（∠1+∠2+∠3）=360°-[2（∠1+∠2+∠3）-180°]=360°-∠BFD∠2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BF D．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质以及多边形内角和定理的综合应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 19．553+ 【解析】 【分析】知道60BAC ∠=︒和AD 是角平分线，就可以求出30DAE ∠=︒，AD 的垂直平分线交AC 于点F 可以得到AF =FD ，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE ，得到DEF C DE EF AF AE DE =++=+△．【详解】解： AD 的垂直平分线交AC 于点F ，∴ DF AF =（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∠DEF C DE EF AF AE DE =++=+△ ∠60BAC ∠=︒，AD 是角平分线 ∠30DAE ∠=︒ ∠10AD =∠5DE =，53AE = ∠553DEF C =+△ 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．20．（1）不发生变化，∠AEB=135°；（2）不发生变化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°【解析】【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长A D、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠P AB+∠MBA=270°，再由A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在∠AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，∠直线MN与直线PQ垂直相交于O，∠∠AOB=90°，∠∠OAB+∠OBA=90°，∠AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∠∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∠∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）=45°，∠∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不变．延长A D、BC交于点F．∠直线MN与直线PQ垂直相交于O，∠∠AOB=90°，∠∠OAB+∠OBA=90°，∠∠P AB+∠MBA=270°，∠A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∠∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，∠∠BAD+∠ABC=12（∠P AB+∠ABM）=135°，∠∠F=45°，∠∠FDC+∠FCD=135°，∠∠CDA+∠DCB=225°，∠DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∠∠CDE+∠DCE=112.5°，∠∠CED =67.5°；（3）∠∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∠∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，∠∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO，∠AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∠∠EAF=90°．在∠AEF中，∠有一个角是另一个角的3倍，故有：∠∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；∠∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；∠∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；∠∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．∠∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．21．（1）证明见解析；（2）26P ∠=︒；（3）1()2P αβ∠=+． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）设∠BAP =∠PAD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；（3）表示出∠P AD 和∠PCD ，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解． 【详解】解：（1）∠∠A +∠B +∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180゜， ∠∠A +∠B +∠AOB =∠C +∠D +∠COD ． ∠∠AOB =∠COD ， ∠∠A +∠B =∠C +∠D ；（2）∠,AP CP 分别平分,BAD BCD ∠∠， 设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，则有x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩，∠∠ABC -∠P =∠P -∠ADC ，∠11()(3616)2622P ABC ADC ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）如图，∠AP 平分∠BAD 的外角∠F AD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∠∠1=∠2，∠3=∠4，∠∠P AD =180°-∠2=180°-∠1，∠PCD =180°-∠3，∠∠P +（180°-∠1）=∠ADC +（180°-∠3）， ∠P +∠1=∠ABC +∠4， ∠2∠P =∠ABC +∠ADC ， ∠,ABC ADC αβ∠=∠=，∠11()()22P ABC ADC αβ∠=∠+∠=+．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 22．（1）证明见解析；（2）23；（3）30ABC ∠=︒，23ADEABCS S∆∆=-或45ABC ∠=︒，22ADEABCS S ∆∆=-． 【解析】 【分析】（1）由题意：90E ADE =︒-∠∠，根据三角形外内角性质和三角形内角和可得11()9022ADE ABC BAC C ∠=∠+∠=︒-∠，由此即可解决问题．（2）延长AD 交BC 于点F ．证明//AE BC ，可得90AFB EAD ==︒∠∠，BF BD AE DE=，由:2:3BD DE =，可得2cos 3BF BF ABC AB AE ===∠． （3）因为ABC 与ADE 相似，90DAE ∠=︒，所以ABC ∠中必有一个内角为90︒因为ABC ∠是锐角，推出90ABC ∠≠︒．接下来分两种情形分别求解即可．【详解】（1）证明：如图1中，AE AD ⊥，90DAE ∴∠=︒，90E ADE =︒-∠∠，AD平分BAC∠，BD平分ABC∠的，12BAD BAC∴∠=∠，12ABD ABC∠=∠，ADE BAD DBA∠=∠+∠，180BAC ABC C+=︒-∠∠∠，11()9022ADE ABC BAC C∴∠=∠+∠=︒-∠，1190(90)22E C C∴∠=︒-︒-∠=∠．（2）解：延长AD交BC于点F．AB AE=，ABE E∴∠=∠，又∠ABE EBC∠=∠，E CBE∴∠=∠，//AE BC∴，90AFB EAD∴∠=∠=︒，BF BDAE DE=，:2:3BD DE=，2cos3BF BFABCAB AE∴∠===．（3）ABC与ADE相似，90DAE∠=︒，ABC∴∠中必有一个内角为90︒ABC∠是锐角，90ABC∴∠≠︒．∠当ABC AED时，90BAC DAE∠=∠=︒，12E C∠=∠，12ABC E C∴∠=∠=∠，90ABC C∠+∠=︒，30ABC ∴∠=︒，如图，过B 点作BH ∠AE ，∠90BAC ∠=︒，AD 平分∠BAC ， ∠∠BAH =45°，∠AH =BH ，2AB BH =， ∠E 30∠=︒， ∠3tan BHHE BH E==∠，∠(31)AE HE AH BH =-=-， ∠ABCAED ，∠2231232ADE ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫-⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∠当ABC EDA ~时，即90C DAE ==︒∠∠时，1452E C ==︒∠∠，45EDA ∴=︒∠，45ABC EDA ∴∠=∠=︒，如解图（3）-2；过B 点作BH ∠AE ，45ABC BAC ∠==︒，,AD BD 分别是ABC 的内角,BAC ABC ∠∠的平分线，∠ABD BAD ∠=∠，∠BD =AD ， 又∠45E ∠=︒，∠2DE AE =，2BE HE =， ∠(12)BE BD BE AE =+=+， ∠222HE AE +=， ∠22AH HE AE AE =-=， ∠在Rt ABH 中，()2222222222222AB BH AH AE AE AE ⎛⎫⎛⎫+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠()()22222222ADE ABC AES DE S EA AB ∆∆⎛⎫=+=⎪⎭=⎝- 综上所述，30ABC ∠=︒，23ADEABCS S ∆∆=-或45ABC ∠=︒，22ADEABCS S ∆∆=-． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 23．（1）∠40°；∠10°；（2）10°；（3）∠DFE ＝12（β﹣α），见解析 【解析】 【分析】（1）如图1中，求出∠BAD ，∠BAE ，根据∠DAE ＝∠BAE ﹣∠BAD 即可解决问题． （2）如图2中，作AH∠BC 于H ．利用（1）中结论，再证明∠DFE ＝∠HAE 即可． （3）结论：∠DFE ＝12（∠B ﹣∠C ）．如图3中，作AH∠BC 于H ，FD∠BC 于D ．由∠HAE ＝∠EAB ﹣∠BAH ，∠BAH ＝90°﹣∠B ，∠BAE ＝12（180°﹣∠B ﹣∠C ）推出∠HAE＝90°﹣12∠B ﹣12∠C ﹣（90°﹣∠B ）＝12（∠B ﹣∠C ），由AH∠FD ，推出∠DFE ＝∠HAE ，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图（1）．∠AD∠BC，∠∠ADB＝90°，∠∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∠∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，而AE平分∠BAC，∠∠CAE=∠BAE＝12∠BAC＝12×80°＝40°，∠∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°；（2）如图2中，作AH∠BC于H．由（1）可知∠HAE＝10°，∠AH∠EF，∠∠DFE＝∠HAE＝10°（3）结论：∠DFE＝12（∠B﹣∠C）．理由如下：如图3中，作AH∠BC于H，FD∠BC于D．∠∠HAE ＝∠EAB ﹣∠BAH ，∠BAH ＝90°﹣∠B ，∠BAE ＝12（180°﹣∠B ﹣∠C ）， ∠∠HAE ＝90°﹣12∠B ﹣12∠C ﹣（90°﹣∠B ）＝12（∠B ﹣∠C ）， ∠AH∠FD ， ∠∠DFE ＝∠HAE ， ∠∠DFE ＝12（β-α）． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质． 24．（1）见解析；（2）240° 【解析】 【分析】（1）延长CD 交AB 于点E ，根据三角形外角性质可证ADC DAE AED ∠=∠+∠，AED DCB ABC ∠=∠+∠，运用角的等量转换即可证明．（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证A B C BDC ∠+∠+∠=∠，E G F EDF ∠+∠+∠=∠，BDC ∠和EDF ∠是对顶角，可推出A B C G E F ∠∠∠∠∠∠+++++的度数等于2倍EDF ∠的度数，计算得出答案．【详解】（1）证明：延长CD 交AB 于点E ，如图：∠ADC ∠是ADE 的外角，∠ADC DAE AED ∠=∠+∠．∠AED ∠是CEB △的外角，∠AED DCB ABC ∠=∠+∠，∠ADC DAE DCB ABC DAB DCB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠．（2）解：∠EDF ∠和BDC ∠是对顶角，∠120BDC EDF ∠=∠=︒．由（1）的结论可知BDC A B C ∠=∠+∠+∠，EDF E G F ∠=∠+∠+∠，∠240A B C E G F DCB EDF ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键．25．（1）33°；（2）123°【解析】【分析】（1）AM 与BC 交于E ，AD 与MC 交于F ，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，BEM ∠是ABE △和MCE 的外角，MFD ∠是MAF △和FCD 的外角，列出关于AMC ∠的方程组，计算得出AMC ∠的度数．（2）AN 与BC 交于点G ，AD 与BC 交于点F ，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，BFD ∠是ABF 和FCD 的外角，AGC ∠是NGC 和ABG 的外角，列出关于ANC ∠的方程组，计算得出ANC ∠的度数．【详解】解：（1）AM 与BC 相交于E ，AD 与MC 相较于F ，如图：∠MA 和MC 是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，∠设∠BAM=∠MAD=a ，∠BCM=∠MCD=b ，∠∠BEM 是∠ABE和∠MCE 的外角，∠∠M+∠BCM=∠B+∠BAM ，即：∠M+b=24°+a∠，又∠∠MFD 是∠MAF 和∠CDF 的外角，可得∠M+a=42°+b∠，∠式＋∠式得2∠M=24°+42°，解得：∠M=33°，∠=33AMC ∠︒．（2）AN 与BC 相交于G ，AD 与BC 相较于F ，如图:∠NA 和NC 是∠EAD 和∠BCD 的角平分线，∠设∠EAN=∠NAD=m ，∠BCN=∠NCD=n ， ∠∠BFD 是∠ABF 和∠FCD 的外角，∠∠B+∠BAD=∠D+∠BCD ，即：24°+(180°-2m ）=42°+2n ，可得m+n=81°∠，又∠∠AGC 是∠NGC 和∠ABG 的外角，可得∠N+n=24°+(180°-m ），得∠N=204°-（m+n ）∠，∠式代入∠式，得∠N=204°-81°=123°，∠123ANC ∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．26．（1）120°；（2）1()2BOC A D ∠=∠+∠【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；（2）方法同（1）【详解】解：（1）∠∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，∠∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D ）=360°-240°=120°，∠OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∠∠OBC+∠OCB=111(221)1206220AB ABC DC C BCD B ∠+∠=⨯+∠︒=∠=︒ ， ∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-60°=120°；（2）1()2BOC A D ∠=∠+∠ 证明：在四边形ABCD 中，360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒∠360()ABC DCB A D ∠+∠=︒-∠+∠∠OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∠∠OBC+∠OCB=1111((222)180)2ABC BCD AB D A C D CB ∠+∠=︒-∠∠=+∠∠+ ∠180(1)()2O BOC BC OCB A D ∠+∠=︒-∠=∠+∠ 【点睛】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．27．（1）125° （2）60°；40°【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可；（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC ，∠OCB 的度数，利用角平分线的定义可求解；解：（1）∠ABC ∠和ACB ∠的平分线BO 与CO 相交于点O ，∠12EBO OBC ABC ∠=∠=∠，12FCO OC ACB ∠=∠=∠， 又50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，∠25OBC ∠=︒，30OCB ∠=︒，∠180125BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=︒︒；（2）∠130BOC ∠=︒，∠1250∠+∠=︒，∠1:23:2∠∠=，∠3150305∠=⨯︒=︒，2250205∠=⨯︒=︒，∠//BF BC ，∠130OBC ∠=∠=︒，220OCB ∠=∠=︒，∠ABC ∠和ACB ∠的平分线BO 与CO 相交于点O ，∠60ABC ∠=︒，40ACB ∠=︒．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．28．（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG ，∠DBC=12∠ABC ，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC ，∠CBE=12∠CBF ，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=12∠A ，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC ，∠DAM=12∠MAC ，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：（1）∠CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∠∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∠∠ACG=∠A+∠ABC，∠2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∠∠DCG=∠D+∠DBC，∠2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∠∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∠∠D=12∠A=35°；（2）∠BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∠∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∠∠DBC+∠CBE=12（∠ABC+∠CBF）=90°，∠∠DBE=90°，∠∠D=12∠A，∠A=α，∠∠D=12α，∠∠DBE=90°，∠∠E=90°-12α；（3）如图，∠BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∠AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∠∠DAM=12∠MAC，∠∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∠∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．29．（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-∠ 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∠40A ∠=︒，∠18040ABC ACB ∠+∠=︒-，∠ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，∠12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=， ∠()118090202BPC ABC ACB ∠=︒-∠+=︒+︒ 故答案为110° （2）12BPC A ∠=∠， 证明：∠ACE ∠是ABC 的外角，PCE ∠是PBC 的外角，∠ACE ABC A ∠=∠+∠PCE PBC BPC ∠=∠+∠，∠BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠，∠1122PBC ABC PCE ACE ∠=∠∠=∠，∠1122ACE ABC BPC ∠=∠+∠， ∠()111222BPC ABC ACE ABC ACE ∠=∠-∠=∠-∠， ∠12BPC A ∠=∠， 故答案为：12BPC A ∠=∠； （3）由（1）得，1902BPC A ∠=︒-∠， 故答案为：1902BPC A ∠=︒-∠． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键．30．（1）60；（2）1902︒-∠A ，见解析． 【解析】【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；（2）先根据角平分线的定义得到∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-12（∠ABC+∠ACB ），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，易得∠BPC=90°+12∠A ，再根据平角的定义解答即可． 【详解】（1）∠∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠∠A=180°-50°-70°=60°．故答案为60．（２）∠DPC=90°-12∠A ，理由：,ABC ACB ∠∠的平分线相交于点P ，111,222ABC ACB ∴∠=∠∠=∠， ()11118012180180222BPC ABC ACB ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠ 180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠()111801809022BPC A ∴∠=︒-︒-∠A =︒+∠，。

三角形及其性质一、单选题（共12题；共24分）1、等腰三角形的两边长分别为3、6，则该三角形的周长为（）A、12或15B、9C、12D、152、不一定在三角形内部的线段是（)A、三角形的角平分线B、三角形的中线C、三角形的高D、三角形的中位线3、△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°D、如果∠A=30°∠B=60°,那么AB=2BC4、如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°,把△ADC沿AD对折，使点C落在点C´的位置,则图中的一个等腰直角三角形是( ）A、△ADC′B、△BDC′C、△ADCD、不存在5、如图,AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB,垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（)A、△ABC中，AD是边BC上的高B、△ABC中,GC是边BC上的高C、△GBC中，GC是边BC上的高D、△GBC中，CF是边BG上的高6、如图，在△ABC中,已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=4cm2，则S△ABC的值为（）A、1cm2B、2cm2C、8cm2D、16cm27、下列图形中具有稳定性的有（)A、2个B、3个C、4个D、5个8、工人师傅要将边长为4m和3m的平行四边形框架固定,现有下列长度的木棒，在木棒的两端钉上达到固定平行四边形的目的，不符合要求的是（)A、2mB、3mC、4mD、8m 9、(2016•滨州）如图,△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE，∠A=50°,则∠CDE的度数为( ）A、50°B、51°C、51。

5°D、52.5°10、（2016•自贡）如图,⊙O中,弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A、15°B、25°C、30°D、75°11、（2016•北京）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（ )A、45°B、55°C、125°D、135°12、如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点,点P,点Q同时从点B 出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时,△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分）,则下列结论：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时,；③直线NH 的解析式为；④若△ABE与△QBP 相似，则t=秒.其中正确的结论个数为（)A、4B、3C、2D、1二、填空题（共5题；共5分）13、半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为________．14、在△ABC中，∠B,∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°,则∠A=________度。

中考数学专题复习：三角形的证明一．选择题1．下列语句中错误的是（）A. 角的大小与角两边的长短无关B. 过两点有且只有一条直线C. 若线段，则一定是的中点D. 与两点之间的距离是指连接．两点间的线段的长度2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC和△ACB角平分线交于点O，则AO的长度为（）A．2.5B．3C．D．3．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，△ABC＝60°，△C＝△DBE ＝90°，其中A，D，B三点在同一直线上，BM为△ABC的平分线，BN为△CBE 的平分线，则△MBN的度数是（）A．55°B．30°C．45°D．60°4．如图，△ABC中△ACB＝90°，且CD△AB．△B＝60°，则△1等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．若点在线段的垂直平分线上，，则( ).A. B. 无法确定 C. D.6．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm7．如图，在△ABC中，△C＝90°，AD是△BAC的角平分线，E是边AB上一点，若CD＝6，则DE的长可以是（）A．1B．3C．5D．78．下列命题：△一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；△对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；△一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；△对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．49．在△ABC中，有下列条件：△△A+△B＝△C；△△A：△B：△C＝1：2：3；△△A＝2△B＝3△C；△△A＝△B＝△C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC 的周长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm11．某一实验装置的截面图如图所示，上方装置可看做一长方形，其侧面与水平线的夹角为，下方是一个直径为，高为的圆柱形容器，若使容器中的液面与上方装置相接触，则容器中液体的高度至少应为（）A. B. C. D.12．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°时，首先应该假设（）A．三角形中每个内角都大于60°B．三角形中至少有一个内角大于60°C．三角形中每个内角都大于或等于60°D．三角形中每一个内角都小于成等于60°二．填空题13．如图，点A．O．E在同一直线上，△AOB＝40°，△EOD＝28°46′，OD平分△COE，则△COB的度数为__________．14．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD是△ABC的角平分线，DE△AB于点E，若DE＝4，则三角形ABC的面积为__________．15．如图，OP平分△AOB，△AOP＝15°，PC△OB，PD△OB于点D，PD＝4，则PC等于__________．16．如图，在△ABC中，△ABC和△ACB的平分线交于点E，过点E作MN△BC 交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝10，则线段MN的长为__________．17．说明命题“如果a．b．c是△ABC的三边，那么长为a﹣1．b﹣1．c﹣1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是a＝2，b＝2，c＝__________．18．用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设__________．三．解答题19．如图：△AOB＝160°，OC是△AOB的平分线，OD是△COB的平分线，求△COD 的度数．20．已知：如图，△AOB及M．N两点．请你在△AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M．N的距离分别相等（保留作图痕迹）．21．如图，已知：AD是△BAC的平分线，AB＝BD，过点B作BE△AC，与AD 交于点F．（1）求证：AC△BD；（2）若AE＝2，AB＝3，BF＝，求△ABF中AB边上的高．22．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD交于点E，现有三个条件：△AB＝DC；△△A＝△D，△△1＝△2，请你从三个条件中选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．（1）条件是__________；结论是__________（填序号）；（2）证明．23．如图所示，在△ABC中．AB＝AC．△A＝36°，DE垂直平分AB交AC于点D，垂足为点E，求证：AD＝BC．24．如图，在四边形中，已知为的角平分线，，．两点分别在．上，且.请完整说明为什么四边形的面积为四边形的一半．25．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB．AC．BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．（1）若点P在一边BC上[如图△]，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h；（2）当点P在△ABC内[如图△]，以及点P在△ABC外[如图△]这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由．参考答案13．82°28′14．3615．816．1017．3（答案不唯一）18．这五个数都小于19．解：△OC是△AOB的平分线，△AOB＝160°，△△COB＝△AOB＝80°，又△OD是△COB的平分线，△△COD＝△COB＝40°．20．解：点P就是所求的点．如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分21．（1）证明：△AD是△BAC的平分线，△△CAD＝△BAD，△AB＝BD，△△BDA＝△BAD，△△CAD＝△BDA，△AC△BD；（2）解：作FG△AB于G，在Rt△ABE中，AE＝2，AB＝3，△BE＝＝＝，△FE＝BE﹣BF＝﹣＝，△AD是△BAC的平分线，BE△AC，作FG△AB，△FG＝FE＝，即△ABF中AB边上的高为．22．解：（1）条件是：△AB＝DC；△△A＝△D，结论是△△1＝△2；（2）证明如下：在△ABE与△DEC中，△△ABE△△DEC（AAS），△BE＝EC，△△1＝△2．故答案为：△△；△23．证明：△△ABC中，AB＝AC，△A＝36°，△△ABC＝72°，△DE是线段AB的垂直平分线，△AD＝BD，△△A＝△ABD＝36°，△△CDB＝△A+△ABD＝72°，△△CDB＝△C，△BD＝BC，△AD＝BC．24．解：分别作于，于，△为的角平分线，△，△，△，又△，△，△，△，△，△四边形的面积，四边形的面积，△四边形的面积，又△四边形的面积，△四边形的面积，△四边形的面积为四边形的面积的一半．25．解：（1）如图1，连接AP，则S△ABC＝S△ABP+S△APC △BC•AM＝AB•PD+AC•PF即BC•h＝AB•h1+AC•h2又△△ABC是等边三角形△BC＝AB＝AC，△h＝h1+h2；（2）点P在△ABC内时，h＝h1+h2+h3，理由如下：如图2，连接AP．BP．CP，则S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP △BC•AM＝AB•PD+AC•PE+BC•PF即BC•h＝AB•h1+AC•h2+BC•h3又△△ABC是等边三角形，△BC＝AB＝AC．△h＝h1+h2+h3；点P在△ABC外时，h＝h1+h2﹣h3．理由如下：如图3，连接PB，PC，P A由三角形的面积公式得：S△ABC＝S△P AB+S△P AC﹣S△PBC，即BC•AM＝AB•PD+AC•PE﹣BC•PF，△AB＝BC＝AC，△h1+h2﹣h3＝h，即h1+h2﹣h3＝h．。

第十七讲三角形与全等三角形【重点考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （2013•温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11思路分析：看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．解：A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；B、因为4+5=9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；C、因为9-4＜5＜8+4，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确；D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；故选C．点评：本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．对应训练1．（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．81．B考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2013•湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°思路分析：先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°-45°-120°=15°．故选A．点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．对应训练2．（2013•鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°2．A考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2013•天门）如图，已知△ABC ≌△ADE ，AB 与ED 交于点M ，BC 与ED ，AD 分别交于点F ，N ．请写出图中两对全等三角形（△ABC ≌△ADE 除外），并选择其中的一对加以证明．思路分析：找到两三角形全等的条件，三角形全等就写出来，选择一组证明即可． 解：△AEM ≌△ACN ，△BMF ≌△DNF ，△ABN ≌△ADM ．选择△AEM ≌△ACN ，理由如下：∵△ADE ≌△ABC ，∴AE=AC ，∠E=∠C ，∠EAD=∠CAB ，∴∠EAM=∠CAN ，∵在△AEM 和△ACN 中，E C AE ACEAM CAN =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEM ≌△CAN （ASA ）．点评：本题考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．例4 （2013•宜宾）如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BE=CD ．思路分析：要证明BE=CD ，把BE 与CD 分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用AAS 可得出三角形ABE 与三角形ACD 全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．证明：在△ABE 和△ACD 中，B C A A AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （AAS ），∴BE=CD （全等三角形的对应边相等）．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角等隐含条件的运用．对应训练3．（2013•荆州）如图，△ABC 与△CDE 均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 在AB 上，连结BE ．请找出一对全等三角形，并说明理由．3．解：△ACE ≌△BCD ．∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BCD （都是∠ACD 的余角），在△ACE 和△BCD 中，∵CE CD ACE BCD CA CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD ．4．（2013•十堰）如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，BD=CE ．求证：AD=AE ．4．证明：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△ABD 与△ACE 中，∵AB AC B C BD EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD=AE ．考点四：全等三角形开放性问题例5 （2013•云南）如图，点B 在AE 上，点D 在AC 上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE （只能添加一个）．（1）你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请说明△ABC ≌△ADE 的理由．思路分析：（1）可以根据全等三角形的不同的判定方法选择添加不同的条件；（2）根据全等三角形的判定方法证明即可．解：（1）∵AB=AD ，∠A=∠A ，∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E ，若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE ，或∠EBC=∠CDE ，若利用“SAS”，可以添加AC=AE ，或BE=DC ，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E （或∠ABC=∠ADE 或∠EBC=∠CDE 或AC=AE 或BE=DC ）； 故答案为：∠C=∠E ；（2）选∠C=∠E 为条件．理由如下：在△ABC 和△ADE 中，A A C E AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．点评：本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．对应训练【聚焦山东中考】1．（2013•威海）将一副直角三角板如图摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D ．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC ．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．1．25°2．（2013•聊城）如图，四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD ，CE ⊥AD ，垂足为E ，求证：AE=CE ．2．证明：如图，过点B 作BF ⊥CE 于F ，∵CE ⊥AD ，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D ，在△BCF 和△CDE 中，90BCF D CED BFC BC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴BF=CE ，又∵∠A=90°，CE ⊥AD ，BF ⊥CE ，∴四边形AEFB 是矩形，∴AE=BF ，3．（2013•菏泽）如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC ．（1）求证：△ABE ≌△CBD ；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC 的度数．3．（1）证明：∵∠ABC=90°，D 为AB 延长线上一点，∴∠ABE=∠CBD=90°，在△ABE 和△CBD 中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；（2）解：∵AB=CB ，∠ABC=90°，∴∠CAB=45°，∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，∵△ABE ≌△CBD ，∴∠BCD=∠BAE=15°，∴∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75°；4．（2013•临沂）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AF=DC ；（2）若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．4．（1）证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ，∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴AE=DE ，BD=CD ，在△AFE 和△DBE 中AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ），∴AF=BD ，∴AF=DC ．（2）四边形ADCF 是菱形，证明：∥BC ，AF=DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵AC ⊥AB ，AD 是斜边BC 的中线，∴AD=DC ，∴平行四边形ADCF 是菱形．5．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE=BD+CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DEF 的形状．5．证明：（1）∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD ，∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD=BD+CE ；（2）∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠CAE=∠ABD ，∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD=BD+CE ；（3）由（2）知，△ADB ≌△CEA ，BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE ，∵BF=AF在△DBF 和△EAF 中FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△EAF （sas ），∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF 为等边三角形．6．（2013•烟台）已知，点P 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（不与A ，B 重合），分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF 的数量关系式 ；（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．6．解：（1）AE ∥BF ，QE=QF ，理由是：如图1，∵Q 为AB 中点，∴AQ=BQ ，∵BF ⊥CP ，AE ⊥CP ，∴BF ∥AE ，∠BFQ=∠AEQ ，在△BFQ 和△AEQ 中BFQ AEQBQF AQE BQ AQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFQ ≌△AEQ （AAS ），∴QE=QF ，故答案为：AE ∥BF ，QE=QF ．（2）QE=QF ，证明：如图2，延长FQ 交AE 于D ，∵AE ∥BF ，∴∠QAD=∠FBQ ，在△FBQ 和△DAQ 中FBQ DAQAQ BQ BQF AQD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FBQ ≌△DAQ （ASA ），∴QF=QD ，∵AE ⊥CP ，∴EQ 是直角三角形DEF 斜边上的中线，∴QE=QF=QD ，即QE=QF ．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ 、FB 交于D ，∵AE ∥BF ，∴∠1=∠D ，在△AQE 和△BQD 中123D AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AQE ≌△BQD （AAS ），∴QE=QD ，∵BF ⊥CP ，∴FQ 是斜边DE 上的中线，∴QE=QF ．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•泉州）在△ABC 中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形1．D2．（2013•宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A ．1，2，6B ．2，2，4C ．1，2，3D ．2，3，42．D3．（2013•衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°3．C4．（2013•河北）如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在AB 上B ．点M 在BC 的中点处C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远4．C5．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D5．C6．（2013•台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确6．A7．（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE 交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC7．A8．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°8．B9．（2013•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对9．C二、填空题10．（2013•黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．10．6011．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．11．2012．（2013•巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）12．CA=FD13．（2013•郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，13．∠B=∠C （答案不唯一）14．（2013•达州）如图，在△ABC 中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013= 度．14．20132m三、解答题15．（2013•玉林）如图，AB=AE ，∠1=∠2，∠C=∠D ．求证：△ABC ≌△AED ．15．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC ，即∠BAC=∠EAD ，∵在△ABC 和△AED 中，D C BAC EAD AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△AED （AAS ）．16．（2013•湛江）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB=CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，求证：AC=DF ．16．证明：∵FB=CE ，∴FB+FC=CE+FC ，∴BC=EF ，∵AB ∥ED ，AC ∥FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，∵在△ABC 和△DEF 中，B E BC EFACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC=DF ．17．（2013•佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS ；（2）证明推论AAS ．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．17．解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS 指的是：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．（2）已知：在△ABC 与△DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，BC=EF ．求证：△ABC ≌△DEF ．证明：如图，在△ABC 与△DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F （已知），∴∠A+∠C=∠D+∠F （等量代换）．又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），∴∠B=∠E ．∵在△ABC 与△DEF 中，C F BC EF B E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．18．（2013•随州）如图，点F 、B 、E 、C 在同一直线上，并且BF=CE ，∠ABC=∠DEF ．能否由上面的已知条件证明△ABC ≌△DEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC ≌△DEF ，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE ；②AC=DF ；③AC ∥DF ．18．解：不能；选择条件：①AB=DE ；∵BF=CE ，∴BF+BE=CE+BE ，即EF=CB ，在△ABC 和△DFE 中，AB DE ABC DEF EF CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DFE （SAS ）．19．（2013•内江）已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为AB 边上一点．求证：BD=AE ．19．证明：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CD=CE ，∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD ，∴∠ACE=∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中，AC BC ACE BCD CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴BD=AE ．20．（2013•舟山）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠A=∠D ，AB=DC ．（1）求证：△ABE ≌DCE ；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数？20．（1）证明：∵在△ABE 和△DCE 中A D AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCE （AAS ）；（2）解：∵△ABE ≌△DCE ，∴BE=EC ，∴∠EBC=∠ECB ，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°．21．（2013•荆门）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．21．证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE=∠EAC ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE EAC AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴BE=CE ；（2）∵∠BAC=45°，BF ⊥AF ，∴△ABF 为等腰直角三角形，∴AF=BF ，∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF ⊥AC ，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF ，在△AEF 和△BCF 中，90EAF CBF AF BF AFE BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△AEF ≌△BCF （ASA ）．。