2016届海南中学高三考前高考模拟（十一）考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{|20}P x x =-≤，2{|90}Q x x x =+≥，则P Q = （ ） A ．(,9]-∞- B ．[0,2] C ．(,9][0,2]-∞- D ．[9,0]- 【答案】C【解析】试题分析：因为{|2}P x x =≤，{|90}Q x x x =≤-≥或，所以{|902}P Q x x x =≤-≤≤ 或，故选C.【考点】集合的运算.2．已知i 为虚数单位，则复数112112ii -+在复平面所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【解析】试题分析：由复数除法的运算法则可知1111(1)(1)34222111551(1)(1)222i i i i i i i ---==-++-，故选A.【考点】复数的运算.3．已知函数()f x 关于直线2x =-对称，且周期为2，当[3,2]x ∈--时，2()(2)f x x =+，则5()2f = （ ）A ．0B ．14C ．116D ．1【答案】B【解析】试题分析：由题意可得2513551()()()()(2)222224f f f f ==-=-=-+=，故选B.【考点】函数的周期性与对称性.4．已知a R ∈，则“33a<”是“1a <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】试题分析：由33a <，得1a <；由1a <，得33a <，则“33a<”是“1a <”的充要条件，故选C.【考点】充要条件的判断.5．已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂，则l α⊥B ．若,//,l m ααββ⊥⊂，则l m ⊥C ．若//,l m m α⊂，则//l αD ．若,,l m ααββ⊥⊥⊂，则//l m【答案】B【解析】试题分析：A 中，由线面垂直的判定定理可知，需满足：,m n 是两条相交直线，结论才成立，故A 项错误；B 中，因为,//l ααβ⊥，所以l β⊥. 又m β⊂，所以l m ⊥，故B 项正确；C 中，由线面平行的判定定理可知，需满足：l 在平面α外，结论才成立，故C 项错误；D 中，l 与m 还可以相交或异面，故D 项错误，故选B. 【考点】空间中直线与平面的平行与垂直关系.6．圆22(1)(2)1x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A ．22(2)(1)1x y -+-=B ．22(1)(2)1x y ++-=C ．22(2)(1)1x y ++-=D ．22(1)(2)1x y -++= 【答案】A【解析】试题分析：因为圆心(1,2)关于直线y x =的对称点为(2,1)，所以圆22(1)(2)1x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为22(2)(1)1x y -+-=，故选A.【考点】圆的标准方程.7．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 【答案】A【解析】试题分析：因为高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7人，所以每210307=人抽取1人，所以从高三学生中抽取的人数应为3001030=. 故选A. 【考点】分层抽样. 8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（ ）A ．．．3 D ．3【答案】【解析】试题分析：根据几何体的三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥P ABC -.则0122sin1202ABC S ∆=⨯⨯⨯1222=⨯⨯=，12222PAB S ∆=⨯⨯=，PB =，AC =，则12332PAC S ∆=⨯⨯=PBC ∆中，4PC ===，由余弦定理得：222cosPBC ∠==，则sin PBC ∠=，所以122PAC S ∆=⨯⨯=中，面积最大的面是PAC ∆，其面积为【考点】简单几何体的三视图.9．设,x y 均为正数，且111112x y +=++，则xy 的最小值为（ ） A ．16 B ．15 C ．10 D ．9 【答案】D【解析】试题分析：因为,x y 均为正数，且111112x y +=++，所以21(1)(1)2x y x y ++=++，整理可得：3xy x y =++，由基本不等式可得3xy ≥，整理可得2)30--≥3≥1-（舍去），所以9xy ≥，当且仅当x y =时取等号，故xy 的最小值为9，故选D.【考点】基本不等式.【方法点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.本题解答的关键是根据条件中111112x y +=++整理得到3xy x y =++，根据基本不等式x y +≥用不等式的性质变形得到xy 的范围，得其最小值.10．一弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下，设它第n 次着地时，共经过了n S ，则当2n ≥时，有（ ） A ．n S 的最小值为100 B ．n S 的最大值为400 C ．500n S < D ．500n S ≤【答案】C【解析】试题分析：第一次着地时，经过了100米；第二次着地时共经过了210010023+⨯⨯米；第三次着地时共经过了2221001002100()233+⨯⨯+⨯⨯米；…；以此类推，第n次着地时共经过了212221001002100()2100()2333n -+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ 米；所以212221*********()2100()2333n n S -=+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ 14002[1()]33100213n --=+-12100400[1()]3n -=+-，显然n S 是关于n 的单调增函数，所以当2n =时，n S 取得最小值27003S =；且100400500n S <+=，故选C.【考点】等比数列的前n 项和公式的应用.【方法点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，属于中档题.本题解答的关键是通过列举出小球第一次、第二次和第三次落地时经过路程的表达式，归纳出小球经过的路程实质上是一个等比数列的前n 项和，这种方法通常称为列举归纳法，也是解决数列应用问题的基本解题方法，最后通过等比数列的前n 项和公式所对应的函数单调性求得其最小值.11．已知椭圆221:113x y C m n+=+-与双曲线222:1x y C m n +=-有相同的焦点，则双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为（ ）A ．00(45,90)B ．00(45,90]C ．0(0,45)D ．00(45,60) 【答案】A【解析】试题分析：当焦点在x 轴上时，由题意知：0,0m n ><，椭圆221:113x y C m n +=+-中，22111,3a m b n =+=-，则2221112c a b m n =-=+-；双曲线222:1x y C m n -=-中，2222,a m b n ==-，则222222c a b m n =+=-；由题意，2m n m n +-=-，解得1n =，这与0n <矛盾；当焦点在y 轴上时，由题意知10,03m n -<<<<，椭圆221:131y x C n m +=-+中，22113,1a n b m =-=+，则2221112c a b m n =-=--+；双曲线222:1x y C m n -=-可化为222:1y x C n m-=-，2222,a n b m ==-，则222222c a b n m =+=-；由题意，2m n n m --+=-，解得1n =，双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的斜率为22a k b ===，又因为10m -<<，所以11m ->1>，即双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为(45,90)，故选A.【考点】椭圆与双曲线的标准方程及双曲线的简单几何性质.【方法点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程及双曲线的简单几何性质,属于中档题.解答本题时，因为题中的量较多，要把握好它们间的关系是解题的关键.解答时，首先通过讨论焦点的位置，确定,m n 的范围，在根据它们有相同的焦点即焦距相等，得到,m n 的关系，最后由双曲线的渐近线方程和不等式的性质得到其斜率的范围，从而得到其倾斜角的取值范围.二、填空题12．51(2)x -的展开式的21x 项的系数是 .【答案】80-【解析】试题分析：51(2)x -的展开式的21x项的系数是335(2)80C -=-. 【考点】二项式定理.13．下图是一个算法的流程图，则最后输出的S 值为 .【答案】9-【解析】试题分析：根据流程图知，第一次循环后，1,3S n =-=；第二次循环后，4,5S n =-=；第三次循环后，9,7S n =-=，此时6n >，退出循环，故输出9S =-.【考点】程序框图中的循环结构. 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346,12S S ==，定义211321nk n k aa a a--==+++∏ 为数 列{}n a 的前n 项奇数项之和，则211nk k a-==∏ .【答案】222n n -【解析】试题分析：由已知得113(31)3624(41)4122a d a d ⨯-⎧+=⎪⎪⎨⨯-⎪+=⎪⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩，所以22n a n =-.所以数列21{}n a -是首项为10a =，公差为24d =的等差数列，所以2211(1)04222nk k n n a n n n -=-=⨯+⨯=-∏. 【考点】等差数列的通项公式与前n 项和公式.【方法点睛】本题以新定义的形式考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式，属于中档题.本题中给出了“定义2113211nk n k aa a a --==+++∏ 为数列{}n a 的前n 项奇数项之和”，所以实际上就是求数列{}n a 中奇数项的和，根据等差数列的性质可知奇数项构成10a =，公差为24d =的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式即可求得结果.15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量(sin ,sin sin )a A B C =- 与 1(s i n s i n ,s i n s i n )2b A B B C =-+ 垂直，且2c =，则ABC ∆面积的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析：由正弦定理得221()2a a b c b -=-，即22212a b c ab +-=，代入余弦定理得222112cos 224ab a b c C ab ab +-===，所以sin C ==，又由22212a b c ab +-=，2c =，得221422a b ab ab +=+≥，解得83ab ≤，所以ABC∆面积为11sin 2248S ab C ab ab ==⋅⋅=⋅83≤=，当且仅当a b ==时等号成立，故ABC ∆面积的最大值为 【考点】正弦定理和余弦定理.【方法点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用属于中档题.本题解答时应先根据正弦定理把条件221sin (sin sin )sin sin 2A ABC B -=-转化为三边,,a b c 的关系，再根据余弦定理求得cos C ，进而得到sin C 的值，在根据余弦定理表示出2c ，根据重要不等式得到ab 的最大值，由面积公式即得其最大值.三、解答题16． 已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在3[,]48ππ-上的值域.【答案】（1）π；（2）[1]-.【解析】试题分析：（1）根据公式21cos 2sin 2xx -=可得()sin2cos21f x x x =+-，利用两角和的正弦公式即可把()f x 变成())14f x x π=+-，利用正弦函数的性质即得其周期；（2）当3[,]48x ππ∈-，2[,]44x πππ+∈-，集合正弦函数的图象及不等式的性质即可求得()f x 在3[,]48ππ-上的值域. 试题解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos 2)x x =--)14x π=+-，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==.（2）因为3[,]48x ππ∈-，所以2[,]44x πππ+∈-，所以sin(2)[42x π+∈-，所以())1[1]4f x x π=+-∈-，所以函数()f x 在3[,]48ππ-上的值域是[1]-.【考点】三角恒等变换与正弦函数的性质.17． 某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目的场馆（每名大学生只参加一个项目的服务）. （1）求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；（2）设,X Y 分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.【答案】（1）516；（2）158. 【解析】试题分析：（1）把5名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目的场馆共有52种不同的分配方法，其中恰有2名被分配到体操项目的分法有25C 种，作比即可求得所求的概率；（2）分析题意可知ξ的所有可能取值是1,3,5，分别根据ξ取每个值所对应的,X Y 的值及其意义求得概率，得到随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.试题解析：（1）设5名学生中恰有i 名被分到体操项目的事件为i A （0,1,2,3,4,5i =），则2353255()216C C P A ==. （2）ξ的所有可能取值是1,3,5，233253522323555(1)()()()228C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，144154511414555(3)()()()2216C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，0555550505551(5)()()()2216C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，则随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的数学期望55115()135816168E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【考点】组合与古典概型及离散型随机变量的分布列. 18． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点.（1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）若AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）连结1AC ，交1AC 于点E ，根据平行四边形的性质可知点E 是1AC 及1AC 的中点，由三角形的中位线定理可知1//DE A B ，，根据线面平行的判定定理可证得1//A B 平面1ADC ；（2）以A 为坐标原点，1,,AB AC AA为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面1ADC 与平面1ABA 的法向量，根据向量夹角的余弦公式求得余弦值，再根据同角三角函数的基本关系即可求得二面角的正弦值.试题解析：（1）证明：如图，连结1AC ，交1AC 于点E ， 则点E 是1AC 及1AC 的中点， 连结DE ，则1//DE A B ，因为DE ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC .（2）建立如图所示空间的直角坐标系A xyz -.则点111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,2),(,,0)22A B C C D ，则11(,,0)22AD = ，1(0,1,2)AC = ，设平面1ADC 的法向量(,,)m x y z =，则100m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1102220x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，不妨设(2,2,1)m =- ，易得平面1ABA 的一个法向量(0,1,0)n AC ==.故2cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==-，故平面1ADC 与平面1ABA 3=. 【考点】空间中直线与平面平行的证明及空间向量在求空间角中的应用.19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点. （1）若直线l 过焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点，若F 是AB 的一个靠近点B 的三等分点，且点B 的横坐标为1，弦长9AB =时，求抛物线C 的方程；（2）在（1）的条件下，若M 是抛物线C 上位于曲线AOB （O 为坐标原点，不含端点,A B ）上的一点，求ABM ∆的最大面积.【答案】（1） 28y x =；（2）4. 【解析】试题分析：（1）设点00(,)A x y ，由抛物线的定义可得5||||||192pAB AF BF =+=-=，从而求得p 的值；（2）由（1）求得,A B 两点坐标，分别讨论①当点(1,B -时，点A 和点(1B 时，点(4,A -两种情况下，ABM ∆的最大面积，可通过把直线AB 平移到与抛物线相切，利用导数的几何意义求出切线方程，得到ABM ∆的面积最大值. 试题解析：（1）设点00(,)A x y ，则0313(1)222p px =+-=-， 所以由抛物线的定义，得035||||||11219222222p p p p p pAB AF BF x =+=+++=++-+=-=， 解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =. （2）由（1）得，焦点(2,0)F ，03242px =-=.将1x =代入抛物线2:8C y x =中，得y =±(1,B ±；将4x =代入抛物线2:8C y x =中，得y =±(4,A ±.①当取点(1,B -时，点A ，此时直线AB 的方程为0y --=. 数形结合易知，当与直线AB 平行的直线与抛物线C 相切于第一象限的点M 时，ABM ∆的面积取得最大值.由28y x =(0)y >，得y ='12y ==令'y =，得14x =. 将14x =代入抛物线2:8C y x =中，得0)y y =>. 所以当点M的坐标为1(4时，ABM ∆的面积取得最大值，此时点M 1(4到直线:0AB y --=的距离是1|2d -==，||9AB ==，所以ABM ∆的最大面积是11||922S AB d =⋅=⨯=②当取点(1B 时，点(4,A -，同理，也验证ABM ∆的最大面积是S =综上，ABM ∆. 【考点】抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系，考查了考生数形结合的思想和运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据抛物线的定义及弦AB 的长求得抛物线方程，进而得到,A B 两点的坐标，通过讨论分别求出,A B 取不同的点时，ABM ∆的最大面积，其中求ABM ∆面积的最大值时，通过运动与变化的观点及导数的几何意义求得是面积最大的点M 的坐标，这是本题的难点. 20．设函数()(2)2(1ln )f x a x a x =-+-+.（1）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若对任意1(0,)2x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的最小值. 【答案】（1）10x y +-=；（2）24ln 2-.【解析】试题分析：（1）当1a =时，求得()10f =，根据导数的几何意义求得切线斜率，由直线的点斜式方程即可求得切线方程；（2）若对任意1(0,)2x ∈，()0f x >恒成立，分离参数可得2ln 21x a x >+-在1(0,)2上恒成立，设2ln ()21x h x x =+-，1(0,)2x ∈，利用导数研究其单调性，求得()max h x ，即得实数a 的取值范围.试题解析：（1）当1a =时，()12(1ln )12ln 2ln 1f x x x x x x x =+-+=+-=--，'22()1x f x x x-=-=. 则点(1,(1))f 处的切线的斜率为'(1)1f =-.故曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y f x -=--，即0(1)y x -=--，即10x y +-=.（2）()(2)2(1ln )f x a x a x =-+-+的定义域为(0,)+∞， 由题意知，(2)(1)2ln 0a x x --->在1(0,)2x ∈上恒成立， 即(2)(1)2ln a x x -->在区间1(0,)2上恒成立. 又10x ->，所以2ln 21x a x >+-在区间1(0,)2上恒成立. 设2ln ()21x h x x =+-，1(0,)2x ∈，则'2222(1)2ln 22ln ()(1)(1)x x xx x h x x x -+-+==--. 又令2()22ln m x x x =-+，1(0,)2x ∈，则'222222()xm x x x x -+=-+=. 当1(0,)2x ∈时，'()0m x <，()m x 单调递减，所以1()()422ln 202m x m >=-->.即'()0h x >在1(0,)2恒成立.所以()h x 在1(0,)2单调递增.所以12ln 12()()224ln 2122h x h <=+=-.故24ln 2a ≥-.【考点】导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题. 【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题，考查了转化的思想及函数的思想，属于中档题.求曲线上某点的切线方程只需要根据导数的几何意义求出切线的斜率即可写出切线的点斜式方程；对于不等式在给定区间上的恒成立问题，首选的策略是看能否分离参数，本题中因为1x (0,)2∈，a 系数的符号是确定的，便于分离参数，把问题转化为求定函数的最值问题，利用导数研究其单调性，求得其最大值即得实数a 的范围. 21．选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于,B C 两点，10,5PA PB ==，BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1）求证：AB PAAC PC=； （2）求AD AE ⋅的值.【答案】（1）证明见解析；（2）90. 【解析】试题分析：（1）由弦切角定理得PAB ACP ∠=∠，可证得PAB ∆～PCA ∆，从而有AB PA AC PC=；（2）由圆的切割线定理可得2PA PB PC =⋅，求得20,15PC BC ==，在ABC ∆中由勾股定理可得222225AC AB BC +==，在结合（1）可证得ACE ∆～ADB ∆，根据对应边成比例即可求得AD AE ⋅的值.试题解析：（1）因为PA 为圆O 的切线，所以由弦切角定理得：PAB ACP ∠=∠. 又P ∠为公共角，所以PAB ∆～PCA ∆，所以AB PAAC PC=. （2）解：因为PA 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线，所以2PA PB PC =⋅，所以20,15PC BC ==.又因为90CAB ∠= ，所以222225AC AB BC +==.又由（1）知12AB PA AC PC ==，所以AC AB ==连接EC ，则CAE EAB ∠=∠.所以ACE ∆～ADB ∆. 所以AB ADAE AC=.所以90AD AE AB AC ⋅=⋅==. 【考点】三角形相似与圆的切线性质的应用. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=.（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若,P Q 分别是曲线1C 和2C 上的任意一点，求||PQ 的最小值.【答案】（1）2211()24x y -+=；（2 【解析】试题分析：（1）在方程cos ρθ=两边同乘以ρ，由222x y ρ+=及cos x ρθ=即可把极坐标方程化成直角坐标方程；（2）根据1C 的参数方程设(2cos )P αα，易知2C 的圆心为1(,0)2，利用两点间的距离公式求出P 与圆心距离的最小值，减去半径即得||PQ 的最小值.试题解析：（1）因为cos ρθ=，所以22x y x +=.即2211()24x y -+=. 所以曲线2C 的直角坐标方程为2211()24x y -+=.（2）设(2cos )P αα，易知2C 的圆心为1(,0)2，所以2||PC ===当1cos 2α=，2||PC 取得最小值，2min ||2PC =所以min 1||2PQ =【考点】圆的极坐标方程与椭圆参数方程的应用. 23．选修4-5：不等式选讲已知,,a b c 为非零实数，且22210a b c m +++-=，222149120m a b c+++-=. （1）求证：22222214936a b c a b c++≥++； （2）求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）[5,)+∞.【解析】试题分析：（1）根据柯西不等式可证得222222123[()()()]()36a b c a b c++++≥，整理即得所证的不等式；（2）根据（1）的结论可得(1)(21)36m m --≥，解不等式求得72m ≤-或5m ≥，再根据已知条件和不等式的性质可得5m ≥，取交集即得实数m 的取值范围.试题解析：（1）证明：由柯西不等式得2222222123123[()()()]()()a b c a b c a b c a b c ++++≥⋅+⋅+⋅， 即222222123[()()()]()36a b c a b c ++++≥，所以22222214936a b c a b c ++≥++.（2）解：由已知得：2221a b c m ++=-，22214921m a b c++=-.所以(1)(21)36m m --≥，即223350m m --≥，解得72m ≤-或5m ≥.又22210a b c m ++=->，222149210m a b c ++=->，所以5m ≥，即实数m 的取值范围是[5,)+∞. 【考点】不等式的证明与解法.。
