10.4 重积分的应用

b
对 y 轴 的 转 动 惯 量 为 o a x
Iy x2dxd,y D
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20
bdya(1by)x2dx 1 a3b.
00
12
同 理 ： 对 x 轴 的 转 动 惯 量 为
Ix Dy2dxdy112ab3.
整理课件
21
三、引力
设空间一物体对物体外一点 P0 x0, y0, z0 处的
zdvdzzdxdyahzdvydydxxoy平面上有设有一平面薄片占有xoy面上的闭区域的转动惯量为薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量设一均匀的直角三角形薄板两直角边长分别为ab求这三角形对其中任一直角边的转动惯量
第四节 重积分应用举例
❖一、曲面的面积 ❖二、质心和转动惯量 ❖三、引力
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曲面面积公式为：A 1 x y2 x z 2dy;dz Dyz
３．设曲面的方程为：yh(z,x)
曲面面积公式为：A
1 yz
2 y x
2dz.dx
Dzx
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8
例 1求 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 ， 含 在 圆 柱 体 x 2 y 2 a 内 部 x 的 那 部 分 面 积 .
则有 dAds.
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6
d为dA 在xo面 y 上的 , 投 d 影 dA co , s
cos 1 ,
1fx2fy2
dA 1fx 2fy2d曲面S的面积元素
A 1fx2fy2d, D
曲面面积公式为：A 1(xz)2(yz)2dxd
Dxy
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7
同理可得
２．设曲面的方程为：xg(y,z)
单位质量质点的引力为 F Fx, Fy , Fz

§7.4 重积分的应用举例
1. 重积分的几何应用
计算面积与体积
n
S
1d
D
lim 0 i1
i
n
V
1dV
lim 0
i 1
Vi
例1 求两曲面 z x2 3y2 与 z 8 x2 y2 所围区域的体积.
解 所求体积为 V dv, 将往oxy面上投影
z x2 3y2
z
(称为面积元素)
z
n
SP
o
x
d y
nz
dS P d
故有曲面面积公式
S D 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
即
S
1 ( z )2 ( z )2 d xd y
D
x y
若光滑曲面方程为
x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
若光滑曲面方程为
面积.
解 由已知条件得
S EG F 2 drd r 2 h2 drd
D
D
2
a
d
r 2 h2 dr [a
a2 h2 h2 ln( a
0
0
a2 h2 )].
h
2. 重积分的物理应用
(1) 质
量平面薄片的质量 M x, yd ,
D
x, y是薄片 D 在 x, y处的面密度.
2r.
V 2 (4 4r2 cos2 4r2 sin2 ) 2 2rdrd
D
16 2
2
d
1 4r(1 r 2 )dr 8
2.
0
0
曲面的面积
设曲面S的方程zf(x, y)在区域D上具有连续的一阶偏导数, 则曲面S的面积为

三. 物体的质量
解：
先求该物体的体密度
由题意
且
Hw p199 2,3(2).
Apr. 23 Mon. Review
重积分应用
1.几何应用：
2.物理应用：
2.物理应用：
四. 物体的质心
，质量元素为
当薄片是均匀的，质心称为形心.
解：
解：
以球心为原点，以物体的对称轴为z轴，建立坐标系，形状对称，故质心在z轴上，即
同理可得
若光滑曲面方程为隐式
则
1.
x
y
z
o
1
1
x
y
z
o
1
1.
x
y
z
o
1
1
D
S
.
.
.
.
.
.
.
1.
2.
a
y
x
z
o
2.
x
y
z
o
D
S =
共同的 D :
.
2
x
z
y
3.
o
3.
x
z
y
2
问题： 曲面向哪个坐标面投影？
.
o
只能向xoz平面投影
x
z
y
2
得 z = 2
Dxz
.
3.
o
其中，
x
z
y
2
Dxz
b
引理成立.
a
注：这里 即 两平面法矢量的夹角.
证毕
二. 曲面的面积
x
z
y
0
z = f (x,y)
D
(xi , yi)
Pi

F y (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 ) y 2 ( y (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
F z (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 ) z 2 ( z (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
2a
2
A 0
y(x)dx a (1 co t)d [s a (t sit)n ] 0
2a2(1cot)s2dt3a2. 0
由 于 区 域 关 于 直 线 x a 对 称 ， 所 以 形 心 在 x a 上 ， 即 x a ,
y 1
x A1 Dxd,
y A1 Dyd.
其中Ad
D
例3 设平面薄板由yxaa((1tcsiontts))，(0t2)
与x轴围成，它的面密度1，求形心坐标．
解 先 求 区 域 D 的 面 积 A ，
y(x)
D
0 t 2 ， 0 x 2 a a 2a
D
b
3h
12
.
设 物 体 占 有 空 间 有 界 闭 区 域 ,在 点 (x ,y ,z)处
的 体 密 度 为 (x ,y ,z),(x ,y ,z)在 上 连 续 ,则
对于 x轴的转动惯量
Ix(y2z2)(x,y,z)dv,
对于y轴的转动惯量
Iy(x2z2)(x,y,z)dv.
对于 z轴的转动惯量
Iz(x2y2)(x,y,z)dv.
五、引力
空间一物体对物体外一点p0(x0,y0,z0)处的
单位质量质点的引力为: F

km1m2 r3
r
F x (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 x )2 ( x (0 z ) z0 )2 )2 3d,v