数学选修2-3人教A学案：组合

1 1． 2．2组合 教学目标： 知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数mn与组合数 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。 情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。 教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时

一、复习引入： 1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种

不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有 12nNmmm种不同的方法

mnC 2

2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，……，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事有12nNmmm 种不同的方法 3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．． 4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫

做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示

5．排列数公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm（,,mnNmn） 6阶乘：!n表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!1．

7．排列数的另一个计算公式：mnA=!()!nnm 8.提出问题： 示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．．

二、讲解新课： 1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例1．判断下列问题是组合还是排列 （1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ （2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？ （3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ （4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合

2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号mnC表示．

例2．用计算器计算710C． 3

解：由计算器可得 例3．计算：（1）47C； （2）710C； （1）解： 4776544!C＝35； （2）解法1：710109876547!C＝120． 解法2：71010!10987!3!3!C＝120．

第二课时 3．组合数公式的推导： （1）从4个不同元素,,,abcd中取出3个元素的组合数34C是多少呢？ 启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A可以

求得，故我们可以考察一下34C和34A的关系，如下： 组 合 排列

dcbcdbbdcdbccbdbcdbcddcacdaadcdaccadacdacddbabdaadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有

34C个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A种方法．由分步计数原理得：

34A＝34C3

3A，所以，333434AAC． 4

（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，可以分如下两步： ① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC； ② 求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分步计数原理得：mnA＝mnCmmA． （3）组合数的公式： (1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm

或)!(!!mnmnCmn),,(nmNmn且 规定: 01nC. 三、讲解范例： 例4．求证：11mnmnCmnmC．

证明：∵)!(!!mnmnCmn 111!(1)!(1)!mnmmnCnmnmmnm



＝1!(1)!()(1)!mnmnmnm

＝!!()!nmnm ∴11mnmnCmnmC 例5．设,Nx 求321132xxxxCC的值 解：由题意可得：321132xxxx ，解得24x， ∵xN， ∴2x或3x或4x， 当2x时原式值为7；当3x时原式值为7；当4x时原式值为11． ∴所求值为4或7或11． 5

第三课时 例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问： (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题． 解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） . (2）教练员可以分两步完成这件事情：

第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C种选法；

第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C种选法． 所以教练员做这件事情的方法数有 1111711CC=136136（种）.

例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？ 解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素 6

中取出2个元素的组合数，即线段共有 210

1094512C

（条）.

(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有

21010990A（条）.

例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ 解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有

3100

1009998123C

= 161700 （种）.

(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 12298CC=9506(种).

(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298CC种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有 12298CC+21298CC=9 604 （种） .

解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即

3310098CC=161 700-152 096 = 9 604 （种）.

说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。 变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选； 例9．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？

解：90222426CCC． （2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？ 解：问题可以分成2类：

第一类 2名男生和2名女生参加，有225460CC中选法；