大一高数期末考试试题

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2011 学年第一学期《高等数学（ 2-1）》期末模拟试卷

专业班级姓名学号开课系室高等数学考试日期 2010 年 1 月 11 日

页号一二三四五六总分得分阅卷人注意事项 1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共五道大题，满分 100 分；试卷本请勿撕开，否则作废.  x 1  x   e x

dx  2005 x

 tf (t )dt  f ( x) f x



（C） y  Ax cos2 x  Bx sin 2x ; （D） y  A sin 2 x . ,则必有  f x dx  

f x dx

（A）若 c, d  a, b

a, b

 t f t 

f x

本页满分 36 分本页得分一．填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分）

2． 1 1

1．

x0

1 lim(ex  x) x2 

. 3．设函数 y  y( x) 由方程



x y

1 et2dt  x

确定，则 dx x0  .

x 4. 设可导，且， f (0)  1

，则 f x





5．微分方程 y   4 y   4 y  0 的通解为 .

二．选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分） 1．设常数 k  0 ，则函数

f ( x)  ln x  x  k e 在 ( 0,  ) 内零点的个数为（）.

(A) 3 个; (B) 2 个; (C) 1 个; (D) 0 个.

2．微分方程 y  4 y  3cos2 x 的特解形式为（）.

（A） y  A cos2 x ; （B） y  Ax cos2 x ; *

3．下列结论不一定成立的是（）. d b c a ;

（B）若 f ( x)  0 在上可积,则

 b

a f x dx  0

;

（C）若 f x 是周期为 T 的连续函数 ,则对任意常数 a 都有 

a T

a f xdx  T f x d

x 0

;

x （D）若可积函数为奇函数,则也为奇函数.

f x   1 

e 1

4. 设 1 2  3e x , 则 x  0 是 f ( x) 的（）.

(A) 连续点; (B) 可去间断点;

三．计算题（共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分） 3．求摆线  y  a(1  cos t ),

本页满分 12 分本页得分 1．计算定积分 

0 2

x 3e  x2dx

2．计算不定积分  x sin x

cos 5 x

本页满分 12 分本页得分  x  a(t  sin t



t 

在



2 处的切线的方程. 4. 设 F ( x)   0x cos( x2  t )dt ，求 F ( x) .

本页满分 15 分本页得分 5．设 x 

(n  1)(n  2)(n  3) (2n)

n lim x

，求 n

n .

四．应用题（共 3 小题，每小题 9 分，共计 27 分） 1．求由曲线 y  x  2 与该曲线过坐标原点的切线及 x 轴所围图形的面积. 2．设平面图形 D 由 x  y  2 x 与 y  x 所确定，试求 D 绕直线 x  2

3. 设 a  1, f (t )  a  at 在 (, ) 内的驻点为 t (a). 问 a 为何值时 t (a) 最小? 并求

本页满分 18 分本页得分

2 2

旋转一周所生成的旋转体的体积.

t 最小值. f ( 0 ) f =  ( 1 )f 0 ，, ( lim(e  x) x2  e 1 e 确定，则 dx f (0)  1 ，则 f x  e 2 x 2 . （C） y  Ax cos2 x  Bx sin 2x ；（D） y  A sin 2 x c, d  a, b  f x dx   f x dx a, b  f x dx  0 本页满分 7 分本页得分五．证明题（7 分）设函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导且 1 2 ) 1 试证明至少存在一点  (0,1) , 使得 f ( )=1.

一．填空题（每小题 4 分，5 题共 20 分）： 1 x 1． x0 2 .

2．  1 1 x 1  x2005  x  e x dx 

e .

3．设函数 y  y( x) 由方程  x y 1 dy et2dt  x  x0 e  1 .

4. 设 f x 可导，且  x 1 tf (t )dt  f ( x) ， 1

5．微分方程 y   4 y   4 y  0 的通解为 y  (C1  C 2 x)e 2 x .

二．选择题（每小题 4 分，4 题共 16 分）：

1．设常数 k  0 ，则函数

f ( x)  ln x  x  k e

在 ( 0,  ) 内零点的个数为（ B ）.

(A) 3 个; (B) 2 个; (C) 1 个; (D) 0 个.

2．微分方程 y   4 y  3cos 2 x 的特解形式为（ C ）

（A） y  A cos2 x ；（B） y  Ax cos2 x ； *

3．下列结论不一定成立的是（ A ） (A)

(B) (A) 若 ,则必有 d b c a ; (C)

(D) (B) 若 f ( x)  0 在上可积,则 b a ; (E) (C) 若 f x 是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有 2  3e , 则 x  0 是 f ( x) 的（ C ）.

x 3e  x 2dx   te  t dt    tde  t

  tet  

2 et dt

 2

 

-------2

)    

3．求摆线  y  a(1  cos t ), dx t  a(1  co s) t 

2  1) )a

 a T

a f x dx  T f x d

x 0

;

(F) (D) 若可积函数 f x为奇函数,则  x 0 t f t dt 也为奇函数. f x  

1  e 1

4. 设 1 x

(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题 6 分，5 题共 30 分）： 1．计算定积分  0 2 x 3 e  x 2dx

解：设 x 2  t , 则  0 2 2

1 1

0 2 2 0

-------2

1  2 

0 0

1 2 1 3

  e  2  e  t   e  2

2 0 2 2

x sin x  dx 2．计算不定积分 cos 5 x .

--------2

解：  x sin x dx  1  xd (

cos5 x 4 1 1  x dx  cos 4 x 4  cos 4 x cos 4 x



--------3

 x 1  4cos4 x 4

 (tan 2 x  1)d tan x

x 1 1   tan 3 x  tan x  C 4cos4 x 12 4 -----------3

 x a(t sin t ),  t 

在



2 处的切线的方程.

解：切点为 (a(  2  1), a) -------2

k  dy a si n 

2 2

 1

-------2

切线方程为 y  a  x  a(  即 y  x  (2   2 . -------2

大一下学期高数期末试题及答案

大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 极限的定义中，ε的值可以是（）。

A. 任意正整数B. 任意正实数C. 固定正整数D. 只有12. 若函数f(x)在点x=a处连续，则以下哪项正确？（）A. f(a)为f(x)在x=a处的极限值B. f(a)等于f(x)在x=a处的左极限值C. f(a)等于f(x)在x=a处的右极限值D. 所有上述选项都正确3. 以下级数中，收敛的是（）。

A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...B. (1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...D. 1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ...4. 函数y = x^2的导数为（）。

A. 2xB. x^2C. 1/xD. -2x5. 微分方程dy/dx = x^2, y(0) = 0的解为（）。

A. y = x^3B. y = -x^3C. y = 1/xD. y = -1/x二、填空题（每题2分，共10分）6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。

7. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调递增区间为 _______。

8. 定积分∫(0→2) x^2 dx = _______。

9. 曲线y = x^3在点x=1处的切线斜率为 _______。

10. 微分方程d/dx(y^2) = 2xy，y(0) = 0的通解为 y = _______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5从x=-1到x=3的定积分值。

12. 求函数g(x) = e^(2x)的导数，并计算在区间[0,1]上的定积分值。

13. 求由曲线y = x^2, y = 2x - 1, x = 0所围成的面积。

大一高数c期末考试题及答案

大一高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于该点的极限值，下列哪个选项是正确的？A. 函数值可以无限接近但不等于极限值B. 函数值必须等于极限值C. 函数值可以等于也可以不等于极限值D. 函数值必须等于极限值，且只能等于一个值答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫x^3 dx = x^4 + CD. ∫x^4 dx = x^5 + C答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 2 + 3 + 4 + ...答案：B5. 以下哪个选项是正确的二阶导数？A. f''(x) = 2xB. f''(x) = 2x + 3C. f''(x) = 2D. f''(x) = 3x^2答案：C6. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. ∫0/0 形式的极限可以通过洛必达法则求解B. ∫∞/∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解C. ∫0×∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解D. ∫∞-∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解答案：B7. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A8. 以下哪个选项是正确的定积分计算？A. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3B. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4C. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5D. ∫[0,1] x^5 dx = 1/6答案：A9. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数？A. ∂f/∂x = 2x + 3yB. ∂f/∂y = 3x + 2yC. ∂f/∂z = 4x + 5yD. ∂f/∂w = 6x + 7y答案：A10. 以下哪个选项是正确的曲线积分？A. ∫C x ds = ∫C x dsB. ∫C y ds = ∫C y dsC. ∫C z ds = ∫C z dsD. ∫C xy ds = ∫C xy ds答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。

高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。

0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。

2.已知 f(x) = { e^x。

x < 1.ln x。

x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。

3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。

1/(2e))，答案为 C。

4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。

+∞) 内发散。

5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。

+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。

三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。

高数a大一期末考试题及答案专科

高数a大一期末考试题及答案专科一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为（）。 A. 2x+3 B. x^2+3 C. 2x+6 D. 3x+2

答案：A 2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为（）。 A. 0 B. 1 C. -1 D. 2

答案：B 3. 若函数f(x)在x=1处连续，则下列说法正确的是（）。 A. f(1)存在 B. ∃f(1) C. f(1)=lim(x→1)f(x) D. 以上说法均正确

答案：D 4. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在点(1,-1)处的切线斜率为（）。 A. 0 B. 1 C. -1 D. 2

答案：C 5. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

答案：C 6. 已知函数f(x)=e^x，则f'(x)为（）。 A. e^x B. -e^x C. e^(-x) D. -e^(-x)

答案：A 7. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点个数为（）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

答案：C 8. 函数y=ln(x)的反函数为（）。 A. y=e^x B. y=ln(x) C. y=x^(-1) D. y=x^2

答案：A 9. 若f(x)=x^2+2x+1，则f'(-1)的值为（）。 A. -1 B. 0 C. 1 D. 3 答案：C 10. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值为（）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

答案：D 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 函数f(x)=x^3的二阶导数为_________。答案：6x

12. 极限lim(x→∞) (1/x)的值为_________。答案：0 13. 函数f(x)=x^2-4x+3的单调递增区间为_________。答案：[2, +∞)

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